Prisma. Parallelepiped

prisma dipanggil polihedron yang dua mukanya adalah sama n-gons (alasan) , terletak dalam satah selari, dan baki n muka ialah segiempat selari (muka sisi) . rusuk sebelah prisma ialah sisi muka sisi yang bukan milik tapak.

Prisma yang tepi sisinya berserenjang dengan satah tapak dipanggil lurus prisma (Rajah 1). Jika tepi sisi tidak berserenjang dengan satah tapak, maka prisma itu dipanggil serong . betul Prisma ialah prisma lurus yang tapaknya adalah poligon sekata.

Ketinggian prisma dipanggil jarak antara satah tapak. pepenjuru Prisma ialah ruas yang menghubungkan dua bucu yang bukan kepunyaan muka yang sama. bahagian pepenjuru Keratan prisma oleh satah yang melalui dua tepi sisi yang tidak mempunyai muka yang sama dipanggil. Bahagian serenjang dipanggil keratan prisma dengan satah berserenjang dengan tepi sisi prisma itu.

Luas permukaan sisi prisma ialah hasil tambah luas semua muka sisi. Luas permukaan penuh jumlah luas semua muka prisma dipanggil (iaitu, jumlah luas muka sisi dan luas tapak).

Untuk prisma arbitrari, formula adalah benar:

di mana l ialah panjang rusuk sisi;

H- ketinggian;

P

Q

sebelah S

S penuh

S utama ialah kawasan pangkalan;

V ialah isipadu prisma itu.

Untuk prisma lurus, rumus berikut adalah benar:

di mana hlm- perimeter pangkalan;

l ialah panjang rusuk sisi;

H- ketinggian.

Parallelepiped Prisma yang tapaknya ialah segiempat selari dipanggil. Parallelepiped yang tepi sisinya berserenjang dengan tapak dipanggil langsung (Gamb. 2). Jika tepi sisi tidak berserenjang dengan tapak, maka parallelepiped dipanggil serong . Paip selari kanan yang tapaknya ialah segi empat tepat dipanggil segi empat tepat. Paip selari segi empat tepat di mana semua tepi adalah sama dipanggil kiub.

Muka parallelepiped yang tidak mempunyai bucu sepunya dipanggil bertentangan . Panjang tepi yang terpancar dari satu bucu dipanggil ukuran parallelepiped. Oleh kerana kotak itu adalah prisma, elemen utamanya ditakrifkan dengan cara yang sama seperti yang ditakrifkan untuk prisma.

Teorem.

1. Diagonal bagi parallelepiped bersilang pada satu titik dan membelahnya.

2. Dalam segi empat sama selari, kuasa dua panjang pepenjuru adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua tiga dimensinya:

3. Kesemua empat pepenjuru bagi sebuah selari segi empat sama adalah sama antara satu sama lain.

Untuk parallelepiped arbitrari, formula berikut adalah benar:

di mana l ialah panjang rusuk sisi;

H- ketinggian;

P ialah perimeter bahagian serenjang;

Q- Luas bahagian serenjang;

sebelah S ialah kawasan permukaan sisi;

S penuh ialah jumlah luas permukaan;

S utama ialah kawasan pangkalan;

V ialah isipadu prisma itu.

Untuk parallelepiped kanan, formula berikut adalah benar:

di mana hlm- perimeter pangkalan;

l ialah panjang rusuk sisi;

H ialah ketinggian parallelepiped kanan.

Untuk selari segi empat tepat, formula berikut adalah benar:

(3)

di mana hlm- perimeter pangkalan;

H- ketinggian;

d- pepenjuru;

a,b,c– ukuran parallelepiped.

Rumus yang betul untuk kubus ialah:

di mana a ialah panjang rusuk;

d ialah pepenjuru bagi kubus itu.

Contoh 1 Diagonal kuboid segi empat tepat ialah 33 dm, dan ukurannya adalah berkaitan sebagai 2:6:9. Cari ukuran kuboid itu.

Penyelesaian. Untuk mencari dimensi parallelepiped, kami menggunakan formula (3), i.e. hakikat bahawa kuasa dua hipotenus kuboid adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dimensinya. Nyatakan dengan k pekali perkadaran. Kemudian dimensi parallelepiped akan sama dengan 2 k, 6k dan 9 k. Kami menulis formula (3) untuk data masalah:

Menyelesaikan persamaan ini untuk k, kita mendapatkan:

Oleh itu, dimensi selari ialah 6 dm, 18 dm dan 27 dm.

Jawapan: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Contoh 2 Cari isipadu prisma segi tiga condong yang tapaknya ialah segi tiga sama sisi dengan sisi 8 cm, jika tepi sisi adalah sama dengan sisi tapak dan condong pada sudut 60º ke tapak.

Penyelesaian . Mari buat lukisan (Gamb. 3).

Untuk mencari isipadu prisma condong, anda perlu mengetahui luas tapak dan ketinggian bit. Luas tapak prisma ini ialah luas segi tiga sama sisi dengan sisi 8 cm. Mari kita hitungnya:

Ketinggian prisma ialah jarak antara tapaknya. Dari atas TAPI 1 daripada tapak atas kita menurunkan serenjang dengan satah tapak bawah TAPI 1 D. Panjangnya akan menjadi ketinggian prisma. Pertimbangkan D TAPI 1 AD: kerana ini adalah sudut kecondongan rusuk sisi TAPI 1 TAPI ke satah asas TAPI 1 TAPI= 8 cm Daripada segi tiga ini kita dapati TAPI 1 D:

Sekarang kita mengira isipadu menggunakan formula (1):

Jawapan: 192 cm3.

Contoh 3 Tepi sisi prisma heksagon sekata ialah 14 cm. Luas keratan pepenjuru terbesar ialah 168 cm 2. Cari jumlah luas permukaan prisma itu.

Penyelesaian. Mari buat lukisan (Gamb. 4)

Bahagian pepenjuru terbesar ialah segi empat tepat AA 1 DD 1 , sejak pepenjuru AD heksagon biasa A B C D E F adalah yang terbesar. Untuk mengira luas permukaan sisi prisma, adalah perlu untuk mengetahui sisi tapak dan panjang rusuk sisi.

Mengetahui luas bahagian pepenjuru (segi empat tepat), kita dapati pepenjuru tapak.

Sejak itu

Sejak itu AB= 6 cm.

Maka perimeter tapak ialah:

Cari luas permukaan sisi prisma:

Luas sebuah heksagon sekata dengan sisi 6 cm ialah:

Cari jumlah luas permukaan prisma itu:

Jawapan:

Contoh 4 Tapak selari kanan ialah rombus. Luas bahagian pepenjuru ialah 300 cm 2 dan 875 cm 2. Cari luas permukaan sisi parallelepiped.

Penyelesaian. Mari buat lukisan (Gamb. 5).

Nyatakan sisi rombus dengan a, pepenjuru rombus d 1 dan d 2, ketinggian kotak h. Untuk mencari luas permukaan sisi selari lurus, adalah perlu untuk mendarab perimeter tapak dengan ketinggian: (formula (2)). Perimeter asas p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, kerana ABCD- belah ketupat. H = AA 1 = h. Itu. Perlu mencari a dan h.

Pertimbangkan bahagian pepenjuru. AA 1 SS 1 - segi empat tepat, sebelahnya ialah pepenjuru rombus AC = d 1 , tepi sisi kedua AA 1 = h, kemudian

Begitu juga untuk bahagian BB 1 DD 1 kita dapat:

Dengan menggunakan sifat segi empat selari supaya jumlah kuasa dua pepenjuru adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua semua sisinya, kita mendapat kesamaan Kita mendapat yang berikut.

Definisi.

Ini ialah heksagon, tapaknya ialah dua segi empat sama, dan muka sisi ialah segi empat sama.

rusuk sebelah ialah sisi biasa bagi dua muka sisi yang bersebelahan

Ketinggian Prisma ialah satu ruas garis yang berserenjang dengan tapak prisma itu

Prisma Diagonal- segmen yang menghubungkan dua bucu tapak yang tidak tergolong dalam muka yang sama

Satah pepenjuru- satah yang melalui pepenjuru prisma dan tepi sisinya

Bahagian pepenjuru- sempadan persilangan prisma dan satah pepenjuru. Bahagian pepenjuru bagi prisma segi empat sekata ialah segi empat tepat

Bahagian serenjang (bahagian ortogon)- ini ialah persilangan prisma dan satah yang dilukis berserenjang dengan tepi sisinya

Unsur bagi prisma segi empat sekata

Rajah menunjukkan dua prisma segi empat sekata, yang ditandakan dengan huruf yang sepadan:

• Tapak ABCD dan A 1 B 1 C 1 D 1 adalah sama dan selari antara satu sama lain
• Muka sisi AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C dan CC 1 D 1 D, setiap satunya ialah segi empat tepat
• Permukaan sisi - jumlah luas semua muka sisi prisma
• Jumlah permukaan - jumlah luas semua tapak dan muka sisi (jumlah luas permukaan sisi dan tapak)
• Rusuk sisi AA 1 , BB 1 , CC 1 dan DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• pepenjuru tapak BD
• Bahagian pepenjuru BB 1 D 1 D
• Bahagian serenjang A 2 B 2 C 2 D 2 .

Sifat prisma segi empat sekata

• Tapaknya ialah dua segi empat sama
• Tapaknya selari antara satu sama lain
• Sisi adalah segi empat tepat.
• Muka sisi adalah sama antara satu sama lain
• Muka sisi berserenjang dengan tapak
• Tulang rusuk sisi selari antara satu sama lain dan sama
• Bahagian berserenjang berserenjang dengan semua rusuk sisi dan selari dengan tapak
• Sudut Bahagian Serenjang - Kanan
• Bahagian pepenjuru bagi prisma segi empat sekata ialah segi empat tepat
• Serenjang (bahagian ortogon) selari dengan tapak

Formula untuk prisma segi empat biasa

Arahan untuk menyelesaikan masalah

Apabila menyelesaikan masalah mengenai topik " prisma segi empat sekata"menyiratkan bahawa:

Prisma yang betul- sebuah prisma di tapak yang terletak poligon sekata, dan tepi sisinya berserenjang dengan satah tapak. Iaitu, prisma segi empat sekata sekata mengandungi pada tapaknya segi empat sama. (lihat di atas sifat-sifat prisma segi empat sekata) Catatan. Ini adalah sebahagian daripada pelajaran dengan tugasan dalam geometri (bahagian geometri pepejal - prisma). Berikut adalah tugas yang menyebabkan kesukaran untuk diselesaikan. Jika anda perlu menyelesaikan masalah dalam geometri, yang tidak ada di sini - tulis mengenainya di forum. Untuk menyatakan tindakan mengekstrak punca kuasa dua dalam menyelesaikan masalah, simbol digunakan√ .

Satu tugas.

Dalam prisma segi empat sekata, luas tapak ialah 144 cm 2 dan tingginya ialah 14 cm Cari pepenjuru prisma itu dan jumlah luas permukaan.

Penyelesaian.
Segiempat sekata ialah segi empat sama.
Sehubungan itu, sisi tapak akan sama dengan

√144 = 12 cm.
Dari mana pepenjuru tapak prisma segi empat tepat sekata akan sama dengan
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonal prisma sekata membentuk segi tiga tepat dengan pepenjuru tapak dan ketinggian prisma itu. Sehubungan itu, menurut teorem Pythagoras, pepenjuru bagi prisma segi empat sekata sekata akan sama dengan:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Jawab: 22 sm

Satu tugas

Cari jumlah luas permukaan prisma segi empat sekata jika pepenjurunya ialah 5 cm dan pepenjuru muka sisi ialah 4 cm.

Penyelesaian.
Oleh kerana tapak prisma segi empat sekata adalah segi empat sama, maka sisi tapak (ditandakan sebagai a) ditemui oleh teorem Pythagoras:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Ketinggian muka sisi (ditandakan sebagai h) kemudiannya akan sama dengan:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Jumlah luas permukaan akan sama dengan jumlah luas permukaan sisi dan dua kali luas tapak

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Jawapan: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Dalam geometri spatial, apabila menyelesaikan masalah dengan prisma, selalunya terdapat masalah dengan mengira luas sisi atau muka yang membentuk angka tiga dimensi ini. Artikel ini ditumpukan kepada isu menentukan luas tapak prisma dan permukaan sisinya.

Prisma Rajah

Sebelum meneruskan pertimbangan formula untuk luas tapak dan permukaan prisma dari satu jenis atau yang lain, adalah perlu untuk memahami jenis angka yang kita bicarakan.

Prisma dalam geometri ialah rajah ruang yang terdiri daripada dua poligon selari yang sama antara satu sama lain, dan beberapa segi empat atau segiempat selari. Nombor yang terakhir sentiasa sama dengan bilangan bucu satu poligon. Contohnya, jika rajah itu dibentuk oleh dua n-gon selari, maka bilangan segiempat selari ialah n.

N-gon penghubung segi empat selari dipanggil sisi prisma, dan jumlah luasnya ialah luas permukaan sisi rajah. N-gon itu sendiri dipanggil asas.

Rajah di atas menunjukkan contoh prisma kertas. Segi empat tepat kuning ialah tapak atasnya. Di pangkalan kedua angka yang sama berdiri. Segi empat tepat merah dan hijau adalah muka sisi.

Apakah prisma itu?

Terdapat beberapa jenis prisma. Kesemuanya berbeza antara satu sama lain hanya dalam dua parameter:

• jenis n-gon yang membentuk asas;
• sudut antara n-gon dan muka sisi.

Sebagai contoh, jika tapaknya adalah segi tiga, maka prisma itu dipanggil segi tiga, jika segi empat, seperti dalam rajah sebelumnya, maka rajah itu dipanggil prisma segiempat, dan seterusnya. Selain itu, n-gon boleh berbentuk cembung atau cekung, maka sifat ini juga ditambah kepada nama prisma.

Sudut antara muka sisi dan tapak boleh sama ada lurus atau akut atau tumpul. Dalam kes pertama, mereka bercakap tentang prisma segi empat tepat, dalam kes kedua - mengenai condong atau serong.

Prisma biasa dibezakan kepada jenis rajah khas. Mereka mempunyai simetri tertinggi antara prisma lain. Ia akan betul hanya jika ia adalah segi empat tepat dan tapaknya ialah n-gon sekata. Rajah di bawah menunjukkan satu set prisma sekata, di mana bilangan sisi n-gon berbeza dari tiga hingga lapan.

Permukaan prisma

Di bawah permukaan angka yang dipertimbangkan jenis sewenang-wenangnya difahami keseluruhan semua titik yang dimiliki oleh muka prisma. Adalah mudah untuk mengkaji permukaan prisma dengan mempertimbangkan perkembangannya. Di bawah ialah contoh sapuan sedemikian untuk prisma segi tiga.

Dapat dilihat bahawa keseluruhan permukaan dibentuk oleh dua segi tiga dan tiga segi empat tepat.

Dalam kes prisma jenis am, permukaannya akan terdiri daripada dua tapak n-gonal dan n segiempat.

Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci isu pengiraan luas permukaan prisma pelbagai jenis.

Luas tapak prisma

Mungkin tugas paling mudah apabila bekerja dengan prisma adalah masalah mencari luas asas angka biasa. Oleh kerana ia dibentuk oleh n-gon, di mana semua sudut dan panjang sisi adalah sama, ia sentiasa mungkin untuk membahagikannya kepada segi tiga yang sama, yang mana sudut dan sisi diketahui. Jumlah luas segi tiga akan menjadi luas n-gon.

Satu lagi cara untuk menentukan bahagian luas permukaan prisma (tapak) adalah dengan menggunakan formula yang terkenal. Ia kelihatan seperti ini:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Iaitu, luas S n bagi n-gon ditentukan secara unik berdasarkan pengetahuan tentang panjang sisi a. Beberapa kesukaran dalam mengira formula boleh menjadi pengiraan kotangen, terutamanya apabila n>4 (untuk n≤4, nilai-nilai kotangen adalah data jadual). Untuk menentukan fungsi trigonometri ini, adalah disyorkan untuk menggunakan kalkulator.

Apabila menetapkan masalah geometri, anda harus berhati-hati, kerana anda mungkin perlu mencari luas tapak prisma. Kemudian nilai yang diperolehi oleh formula hendaklah didarabkan dengan dua.

Luas tapak prisma segi tiga

Menggunakan contoh prisma segi tiga, pertimbangkan bagaimana anda boleh mencari luas tapak rajah ini.

Pertama, pertimbangkan kes mudah - prisma biasa. Luas tapak dikira mengikut formula yang diberikan dalam perenggan di atas, anda perlu menggantikan n \u003d 3 ke dalamnya. Kita mendapatkan:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Ia kekal untuk menggantikan dalam ungkapan nilai-nilai khusus panjang sisi a segitiga sama sisi untuk mendapatkan luas tapak satu.

Sekarang andaikan kita mempunyai sebuah prisma yang tapaknya ialah segi tiga sewenang-wenangnya. Dua sisi a dan b dan sudut di antara mereka α diketahui. Angka ini ditunjukkan di bawah.

Bagaimana untuk mencari luas tapak prisma segi tiga dalam kes ini? Perlu diingat bahawa luas mana-mana segi tiga adalah sama dengan separuh produk sisi dan ketinggian diturunkan ke sisi ini. Rajah menunjukkan ketinggian h ke sisi b. Panjang h sepadan dengan hasil darab sinus sudut alfa dan panjang sisi a. Maka luas keseluruhan segitiga ialah:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Ini adalah kawasan asas bagi prisma segi tiga yang digambarkan.

Permukaan sisi

Kami mengetahui cara mencari luas tapak prisma. Permukaan sisi rajah ini sentiasa terdiri daripada segi empat selari. Untuk prisma lurus, segiempat selari menjadi segi empat tepat, jadi mudah untuk mengira jumlah luasnya:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Di sini b ialah panjang tepi sisi, dan i ialah panjang sisi segi empat ke-i, yang bertepatan dengan panjang sisi n-gon. Dalam kes prisma n-gonal biasa, kita mendapat ungkapan mudah:

Sekiranya prisma itu condong, maka untuk menentukan luas permukaan sisinya, potongan serenjang harus dibuat, perimeter P sr dikira dan didarab dengan panjang rusuk sisi.

Rajah di atas menunjukkan bagaimana potongan ini perlu dibuat untuk prisma pentagonal serong.

Prisma yang berbeza adalah berbeza antara satu sama lain. Pada masa yang sama, mereka mempunyai banyak persamaan. Untuk mencari luas tapak prisma, anda perlu mengetahui jenis prisma itu.

Teori am

Prisma ialah sebarang polihedron yang sisinya mempunyai bentuk selari. Selain itu, mana-mana polihedron boleh berada di pangkalannya - dari segi tiga kepada n-gon. Selain itu, tapak prisma sentiasa sama antara satu sama lain. Apa yang tidak terpakai pada muka sisi - saiznya boleh berbeza-beza dengan ketara.

Apabila menyelesaikan masalah, bukan sahaja luas tapak prisma yang ditemui. Mungkin perlu mengetahui permukaan sisi, iaitu semua muka yang bukan tapak. Permukaan penuh sudah menjadi penyatuan semua muka yang membentuk prisma.

Kadangkala ketinggian muncul dalam tugasan. Ia berserenjang dengan tapak. Diagonal polyhedron ialah segmen yang menghubungkan secara berpasangan mana-mana dua bucu yang bukan milik muka yang sama.

Perlu diingatkan bahawa luas tapak prisma lurus atau condong tidak bergantung pada sudut antara mereka dan muka sisi. Jika mereka mempunyai angka yang sama di muka atas dan bawah, maka kawasan mereka akan sama.

Prisma segi tiga

Ia mempunyai di dasar angka dengan tiga bucu, iaitu segitiga. Ia diketahui berbeza. Jika itu cukup untuk mengingati bahawa kawasannya ditentukan oleh separuh produk kaki.

Notasi matematik kelihatan seperti ini: S = ½ av.

Untuk mengetahui luas tapak dalam bentuk umum, formula berguna: Bangau dan yang separuh bahagiannya dibawa ke ketinggian yang ditarik kepadanya.

Formula pertama harus ditulis seperti ini: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Catatan ini mengandungi separuh perimeter (p), iaitu hasil tambah tiga sisi dibahagikan dengan dua.

Kedua: S = ½ n a * a.

Jika anda ingin mengetahui luas tapak prisma segi tiga, yang sekata, maka segitiga itu ternyata sama sisi. Ia mempunyai formula tersendiri: S = ¼ a 2 * √3.

prisma segi empat

Tapaknya ialah mana-mana segiempat yang diketahui. Ia boleh menjadi segi empat tepat atau segi empat sama, selari atau rombus. Dalam setiap kes, untuk mengira luas tapak prisma, anda memerlukan formula anda sendiri.

Jika tapak ialah segi empat tepat, maka luasnya ditentukan seperti berikut: S = av, dengan a, b ialah sisi segi empat tepat itu.

Apabila ia datang kepada prisma segi empat, luas tapak prisma sekata dikira menggunakan formula untuk segi empat sama. Kerana ia adalah dia yang terletak di pangkalan. S \u003d a 2.

Dalam kes apabila pangkalannya adalah selari, kesamaan berikut akan diperlukan: S \u003d a * n a. Ia berlaku bahawa sisi selari dan salah satu sudut diberikan. Kemudian, untuk mengira ketinggian, anda perlu menggunakan formula tambahan: na \u003d b * sin A. Selain itu, sudut A bersebelahan dengan sisi "b", dan ketinggian adalah na bertentangan dengan sudut ini.

Jika rombus terletak di dasar prisma, maka formula yang sama diperlukan untuk menentukan luasnya seperti segi empat selari (kerana ia adalah kes khasnya). Tetapi anda juga boleh menggunakan yang ini: S = ½ d 1 d 2. Di sini d 1 dan d 2 ialah dua pepenjuru bagi rombus.

Prisma pentagon biasa

Kes ini melibatkan pembahagian poligon kepada segi tiga, yang kawasannya lebih mudah untuk diketahui. Walaupun ia berlaku bahawa angka boleh dengan bilangan bucu yang berbeza.

Oleh kerana tapak prisma ialah pentagon sekata, ia boleh dibahagikan kepada lima segi tiga sama sisi. Kemudian luas tapak prisma adalah sama dengan luas satu segi tiga tersebut (rumus boleh dilihat di atas), didarab dengan lima.

Prisma heksagon biasa

Mengikut prinsip yang diterangkan untuk prisma pentagonal, adalah mungkin untuk membahagi heksagon tapak kepada 6 segi tiga sama sisi. Formula untuk luas tapak prisma sedemikian adalah serupa dengan yang sebelumnya. Hanya di dalamnya perlu didarab dengan enam.

Formula akan kelihatan seperti ini: S = 3/2 dan 2 * √3.

Tugasan

No. 1. Garis lurus sekata diberikan. Diagonalnya ialah 22 cm, ketinggian polihedron ialah 14 cm. Kira luas tapak prisma dan keseluruhan permukaan.

Penyelesaian. Tapak prisma ialah segi empat sama, tetapi sisinya tidak diketahui. Anda boleh mencari nilainya daripada pepenjuru segi empat sama (x), yang berkaitan dengan pepenjuru prisma (d) dan ketinggiannya (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Sebaliknya, segmen "x" ini ialah hipotenus dalam segitiga yang kakinya sama dengan sisi segi empat sama. Iaitu, x 2 \u003d a 2 + a 2. Oleh itu, ternyata 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Gantikan nombor 22 dan bukannya d, dan gantikan "n" dengan nilainya - 14, ternyata sisi segi empat sama ialah 12 cm Kini mudah untuk mengetahui luas tapak: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Untuk mengetahui luas keseluruhan permukaan, anda perlu menambah dua kali ganda nilai luas tapak dan empat kali ganda sisi. Yang terakhir mudah dicari dengan formula untuk segi empat tepat: darab ketinggian polihedron dan sisi tapak. Iaitu, 14 dan 12, nombor ini akan sama dengan 168 cm 2. Jumlah luas permukaan prisma itu didapati 960 cm 2 .

Jawab. Luas tapak prisma itu ialah 144 cm2. Seluruh permukaan - 960 cm 2 .

No 2. Dana Di tapak terletak sebuah segitiga dengan sisi 6 cm Dalam kes ini, pepenjuru muka sisi ialah 10 cm Kirakan luas: tapak dan permukaan sisi.

Penyelesaian. Oleh kerana prisma itu sekata, tapaknya ialah segi tiga sama sisi. Oleh itu, luasnya ternyata sama dengan 6 kali kuasa dua ¼ dan punca kuasa dua bagi 3. Pengiraan mudah membawa kepada keputusan: 9√3 cm 2. Ini adalah luas satu tapak prisma.

Semua muka sisi adalah sama dan adalah segi empat tepat dengan sisi 6 dan 10 cm Untuk mengira luasnya, cukup untuk mendarabkan nombor ini. Kemudian darabnya dengan tiga, kerana prisma itu mempunyai banyak muka sisi. Kemudian luas permukaan sisi dililit 180 cm 2 .

Jawab. Luas: tapak - 9√3 cm 2, permukaan sisi prisma - 180 cm 2.

Dalam kurikulum sekolah untuk kursus geometri pepejal, kajian angka tiga dimensi biasanya bermula dengan badan geometri mudah - polihedron prisma. Peranan tapaknya dilakukan oleh 2 poligon sama yang terletak dalam satah selari. Kes khas ialah prisma segi empat sekata. Tapaknya ialah 2 segiempat sekata yang sama, yang sisinya berserenjang, mempunyai bentuk segi empat selari (atau segi empat tepat jika prisma tidak condong).

Apakah rupa prisma

Prisma segi empat sama sekata ialah heksagon, pada tapaknya terdapat 2 segi empat sama, dan muka sisi diwakili oleh segi empat tepat. Nama lain untuk rajah geometri ini ialah selari lurus.

Rajah, yang menggambarkan prisma segi empat, ditunjukkan di bawah.

Anda juga boleh lihat dalam gambar unsur terpenting yang membentuk badan geometri. Mereka biasanya dirujuk sebagai:

Kadang-kadang dalam masalah dalam geometri anda boleh menemui konsep bahagian. Takrifan akan berbunyi seperti ini: bahagian ialah semua titik badan isipadu yang tergolong dalam satah pemotongan. Bahagiannya berserenjang (melintasi tepi rajah pada sudut 90 darjah). Untuk prisma segi empat tepat, keratan pepenjuru juga dipertimbangkan (bilangan maksimum keratan yang boleh dibina ialah 2), melalui 2 tepi dan pepenjuru tapak.

Jika bahagian itu dilukis sedemikian rupa sehingga satah pemotongan tidak selari dengan sama ada tapak atau muka sisi, hasilnya ialah prisma terpotong.

Pelbagai nisbah dan formula digunakan untuk mencari unsur prismatik terkurang. Sebahagian daripada mereka diketahui dari kursus planimetri (contohnya, untuk mencari luas tapak prisma, cukup untuk mengingat formula untuk luas segi empat sama).

Luas permukaan dan isipadu

Untuk menentukan isipadu prisma menggunakan formula, anda perlu mengetahui luas tapak dan ketinggian bit:

V = Sprim h

Oleh kerana tapak prisma tetrahedral sekata ialah segi empat sama dengan sisi a, Anda boleh menulis formula dalam bentuk yang lebih terperinci:

V = a² h

Jika kita bercakap tentang kubus - prisma biasa dengan panjang, lebar dan tinggi yang sama, isipadu dikira seperti berikut:

Untuk memahami cara mencari luas permukaan sisi prisma, anda perlu membayangkan sapuannya.

Dari lukisan itu dapat dilihat bahawa permukaan sisi terdiri daripada 4 segi empat sama. Luasnya dikira sebagai hasil darab perimeter tapak dan ketinggian rajah:

Sside = Pos h

Oleh kerana perimeter segi empat sama ialah P = 4a, formula mengambil bentuk:

Sside = 4a h

Untuk kubus:

Sisi = 4a²

Untuk mengira jumlah luas permukaan prisma, tambahkan 2 luas tapak ke kawasan sisi:

Sfull = Sside + 2Sbase

Seperti yang digunakan pada prisma sekata empat segi, formulanya mempunyai bentuk:

Penuh = 4a h + 2a²

Untuk luas permukaan kubus:

Penuh = 6a²

Mengetahui isipadu atau luas permukaan, anda boleh mengira elemen individu badan geometri.

Mencari unsur prisma

Selalunya terdapat masalah di mana isipadu diberikan atau nilai kawasan permukaan sisi diketahui, di mana perlu untuk menentukan panjang sisi tapak atau ketinggian. Dalam kes sedemikian, formula boleh diperolehi:

• panjang sisi asas: a = Sside / 4j = √(V / j);
• ketinggian atau panjang rusuk sisi: h = Sside / 4a = V / a²;
• kawasan asas: Sprim = V / j;
• kawasan muka sisi: sebelah gr = Sside / 4.

Untuk menentukan berapa luas bahagian pepenjuru, anda perlu mengetahui panjang pepenjuru dan ketinggian rajah. Untuk segi empat sama d = a√2. Oleh itu:

Sdiag = ah√2

Untuk mengira pepenjuru prisma, formula digunakan:

dhadiah = √(2a² + h²)

Untuk memahami cara menggunakan nisbah di atas, anda boleh berlatih dan menyelesaikan beberapa tugas mudah.

Contoh masalah dengan penyelesaian

Berikut adalah beberapa tugasan yang muncul dalam peperiksaan akhir negeri dalam matematik.

Latihan 1.

Pasir dituang ke dalam kotak berbentuk seperti prisma segi empat biasa. Ketinggian arasnya ialah 10 cm Apakah paras pasir jika anda mengalihkannya ke dalam bekas yang sama bentuk, tetapi dengan panjang tapak 2 kali lebih panjang?

Ia harus dihujahkan seperti berikut. Jumlah pasir dalam bekas pertama dan kedua tidak berubah, iaitu, isipadu di dalamnya adalah sama. Anda boleh menentukan panjang tapak sebagai a. Dalam kes ini, untuk kotak pertama, isipadu bahan ialah:

V₁ = ha² = 10a²

Untuk kotak kedua, panjang tapaknya ialah 2a, tetapi ketinggian paras pasir tidak diketahui:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Kerana ia V₁ = V₂, ungkapan boleh disamakan:

10a² = 4ha²

Selepas mengurangkan kedua-dua belah persamaan dengan a², kita dapat:

Akibatnya, paras pasir baharu akan menjadi h = 10 / 4 = 2.5 cm.

Tugasan 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ ialah prisma sekata. Diketahui bahawa BD = AB₁ = 6√2. Cari jumlah luas permukaan badan.

Untuk memudahkan untuk memahami elemen mana yang diketahui, anda boleh melukis angka.

Oleh kerana kita bercakap tentang prisma sekata, kita boleh membuat kesimpulan bahawa tapak ialah segi empat sama dengan pepenjuru 6√2. Diagonal muka sisi mempunyai nilai yang sama, oleh itu, muka sisi juga mempunyai bentuk segi empat sama dengan tapak. Ternyata ketiga-tiga dimensi - panjang, lebar dan tinggi - adalah sama. Kita boleh membuat kesimpulan bahawa ABCDA₁B₁C₁D₁ ialah sebuah kubus.

Panjang mana-mana tepi ditentukan melalui pepenjuru yang diketahui:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Jumlah luas permukaan ditemui oleh formula untuk kubus:

Penuh = 6a² = 6 6² = 216

Tugasan 3.

Bilik sedang diubah suai. Diketahui lantainya berbentuk segi empat sama dengan keluasan 9 m². Ketinggian bilik ialah 2.5 m. Berapakah kos terendah untuk memasang kertas dinding bilik jika 1 m² berharga 50 rubel?

Oleh kerana lantai dan siling adalah segi empat sama, iaitu segi empat biasa, dan dindingnya berserenjang dengan permukaan mendatar, kita boleh membuat kesimpulan bahawa ia adalah prisma biasa. Ia adalah perlu untuk menentukan kawasan permukaan sisinya.

Panjangnya bilik itu a = √9 = 3 m.

Dataran itu akan ditutup dengan kertas dinding Sisi = 4 3 2.5 = 30 m².

Kos kertas dinding yang paling rendah untuk bilik ini ialah 50 30 = 1500 rubel.

Oleh itu, untuk menyelesaikan masalah bagi prisma segi empat tepat, cukup untuk mengira luas dan perimeter segi empat sama dan segi empat tepat, serta mengetahui formula untuk mencari isipadu dan luas permukaan.

Bagaimana untuk mencari luas kubus