Pole każdej podstawy walca wynosi π R 2, pole obu podstaw będzie wynosić 2π R 2 (rys.).

Pole powierzchni bocznej walca jest równe polu prostokąta, którego podstawa wynosi 2π R, a wysokość jest równa wysokości cylindra H, tj. 2π rh.

Całkowita powierzchnia walca będzie wynosić: 2π R 2 + 2π rh= 2π R(R+ H).

Przyjmuje się obszar powierzchni bocznej cylindra obszar zamiatania jego powierzchni bocznej.

Dlatego powierzchnia bocznej powierzchni prawego okrągłego cylindra jest równa powierzchni odpowiedniego prostokąta (ryc.) i jest obliczana według wzoru

S. p.n.e. = 2πRH, (1)

Jeśli do pola powierzchni bocznej cylindra dodamy pole jego dwóch podstaw, otrzymamy całkowitą powierzchnię cylindra

Pełny =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Objętość prostego cylindra

Twierdzenie. Objętość prostego cylindra równy produktowi obszar podstawy do wysokości , tj.

gdzie Q jest polem podstawy, a H jest wysokością cylindra.

Ponieważ powierzchnia podstawy walca wynosi Q, wówczas istnieją sekwencje wielokątów opisanych i wpisanych o obszarach Q N i Q' N takie, że

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ N= pytanie

Skonstruujmy ciąg graniastosłupów, których podstawą są omówione powyżej wielokąty wpisane i opisane, a krawędzie boczne są równoległe do tworzącej danego walca i mają długość H. Pryzmaty te są opisane i wpisane na dany cylinder. Ich objętości można znaleźć za pomocą wzorów

V N= pytanie N H i V' N= Q' N H.

Stąd,

V= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q N H = \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q’ N H = QH.

Konsekwencja.
Objętość prawego walca kołowego oblicza się ze wzoru

V = π R 2 H

gdzie R jest promieniem podstawy, a H jest wysokością walca.

Ponieważ podstawą okrągłego cylindra jest okrąg o promieniu R, wówczas Q = π R 2, a zatem

Istnieje duża liczba problemy związane z cylindrem. W nich musisz znaleźć promień i wysokość ciała lub rodzaj jego przekroju. Ponadto czasami trzeba obliczyć powierzchnię cylindra i jego objętość.

Które ciało jest cylindrem?

W programie szkolnym badany jest okrągły cylinder, czyli jeden u podstawy. Ale wyróżnia się także eliptyczny wygląd tej figury. Z nazwy jasno wynika, że ​​​​jego podstawą będzie elipsa lub owal.

Cylinder ma dwie podstawy. Są sobie równe i połączone segmentami, które łączą odpowiednie punkty podstaw. Nazywa się je generatorami cylindra. Wszystkie generatory są do siebie równoległe i równe. Tworzą boczną powierzchnię ciała.

Ogólnie rzecz biorąc, cylinder jest nachylonym korpusem. Jeśli generatory tworzą kąt prosty z podstawami, wówczas mówimy o figurze prostej.

Co ciekawe, okrągły cylinder jest korpusem obrotowym. Uzyskuje się go poprzez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków.

Główne elementy cylindra

Główne elementy cylindra wyglądają tak.

1. Wysokość. Jest to najkrótsza odległość pomiędzy podstawami cylindra. Jeśli jest prosty, wysokość pokrywa się z tworzącą.
2. Promień. Zbiega się z tym, który można narysować u podstawy.
3. Oś. Jest to linia prosta zawierająca środki obu podstaw. Oś jest zawsze równoległa do wszystkich generatorów. W prostym cylindrze jest prostopadły do ​​podstaw.
4. Sekcja osiowa. Powstaje, gdy walec przecina płaszczyznę zawierającą oś.
5. Płaszczyzna styczna. Przechodzi przez jedną z tworzących i jest prostopadła do przekroju osiowego, który przechodzi przez tę tworzącą.

W jaki sposób cylinder jest połączony z wpisanym w niego pryzmatem lub opisanym wokół niego?

Czasami pojawiają się problemy, w których trzeba obliczyć powierzchnię cylindra, ale znane są niektóre elementy powiązanego pryzmatu. Jak te liczby mają się do siebie?

Jeśli pryzmat jest wpisany w cylinder, to jego podstawy są równymi wielokątami. Ponadto są one wpisane w odpowiednie podstawy cylindra. Boczne krawędzie pryzmatu pokrywają się z generatorami.

Opisywany pryzmat ma u podstawy wielokąty foremne. Są one opisane wokół okręgów walca, które są jego podstawami. Płaszczyzny zawierające ściany pryzmatu dotykają cylindra wzdłuż swoich generatorów.

Na powierzchni bocznej i podstawie prawego walca okrągłego

Jeśli rozpakujesz powierzchnię boczną, otrzymasz prostokąt. Jego boki będą pokrywać się z tworzącą i obwodem podstawy. Dlatego powierzchnia boczna cylindra będzie równa iloczynowi tych dwóch wielkości. Jeśli zapiszesz formułę, otrzymasz następujące informacje:

Strona S = l * n,

gdzie n to generator, l to obwód.

Ponadto ostatni parametr oblicza się ze wzoru:

l = 2 π * r,

gdzie r jest promieniem okręgu, π jest liczbą „pi” równą 3,14.

Ponieważ podstawą jest okrąg, jego pole oblicza się za pomocą następującego wyrażenia:

S główny = π * r 2 .

Na obszarze całej powierzchni prawego okrągłego cylindra

Ponieważ składa się z dwóch podstaw i powierzchni bocznej, należy dodać te trzy wielkości. Oznacza to, że całkowita powierzchnia cylindra zostanie obliczona według wzoru:

S piętro = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Często jest zapisywane w innej formie:

S piętro = 2 π * r (n + r).

Na obszarach nachylonego okrągłego cylindra

Jeśli chodzi o podstawy, wszystkie formuły są takie same, ponieważ nadal są to koła. I tu powierzchnia boczna nie tworzy już prostokąta.

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej nachylonego cylindra, należy pomnożyć wartości tworzącej i obwód przekroju, który będzie prostopadły do ​​wybranej tworzącej.

Formuła wygląda następująco:

Strona S = x * P,

gdzie x jest długością tworzącej walca, P jest obwodem przekroju.

Nawiasem mówiąc, lepiej wybrać sekcję tak, aby tworzyła elipsę. Wtedy obliczenia jego obwodu zostaną uproszczone. Długość elipsy oblicza się za pomocą wzoru, który daje przybliżoną odpowiedź. Często jednak do zadań kursu szkolnego wystarczy:

l = π * (a + b),

gdzie „a” i „b” to półosie elipsy, czyli odległość od środka do jej najbliższych i najdalszych punktów.

Pole całej powierzchni należy obliczyć za pomocą następującego wyrażenia:

S piętro = 2 π * r 2 + x * R.

Jakie są części prawego walca okrągłego?

Kiedy przekrój przechodzi przez oś, jego pole wyznacza się jako iloczyn tworzącej i średnicy podstawy. Wyjaśnia to fakt, że ma kształt prostokąta, którego boki pokrywają się z wyznaczonymi elementami.

Aby znaleźć pole przekroju walca równoległego do osiowego, potrzebny będzie również wzór na prostokąt. W tej sytuacji jeden z jego boków nadal będzie pokrywał się z wysokością, a drugi będzie równy cięciwie podstawy. Ta ostatnia pokrywa się z linią przekroju wzdłuż podstawy.

Gdy przekrój jest prostopadły do ​​osi, wygląda jak okrąg. Co więcej, jego powierzchnia jest taka sama jak podstawa figury.

Możliwe jest również przecięcie pod pewnym kątem z osią. Następnie z przekroju powstaje owal lub jego część.

Przykłady problemów

Zadanie nr 1. Dany jest prosty walec, którego powierzchnia podstawy wynosi 12,56 cm 2 . Konieczne jest obliczenie całkowitej powierzchni cylindra, jeśli jego wysokość wynosi 3 cm.

Rozwiązanie. Konieczne jest użycie wzoru na całkowitą powierzchnię okrągłego prostego cylindra. Brakuje jednak danych, a mianowicie promienia podstawy. Ale obszar koła jest znany. Z tego łatwo obliczyć promień.

Okazuje się, że jest równy pierwiastek kwadratowy z ilorazu otrzymanego przez podzielenie pola podstawy przez pi. Po podzieleniu 12,56 przez 3,14 otrzymamy 4. Pierwiastek kwadratowy z 4 to 2. Dlatego promień będzie miał tę wartość.

Odpowiedź: S podłoga = 50,24 cm 2.

Zadanie nr 2. Walec o promieniu 5 cm przecięty płaszczyzną równoległą do osi. Odległość przekroju od osi wynosi 3 cm. Wysokość walca wynosi 4 cm. Musisz znaleźć pole przekroju.

Rozwiązanie. Kształt przekroju poprzecznego jest prostokątny. Jeden z jego boków pokrywa się z wysokością cylindra, a drugi jest równy cięciwie. Jeśli znana jest pierwsza wielkość, należy znaleźć drugą.

Aby to zrobić, należy wykonać dodatkową konstrukcję. U podstawy rysujemy dwa segmenty. Obaj zaczną od środka okręgu. Pierwsza zakończy się w środku cięciwy i będzie równa znanej odległości od osi. Drugi znajduje się na końcu akordu.

Otrzymasz trójkąt prostokątny. Znana jest w nim przeciwprostokątna i jedna z nóg. Przeciwprostokątna pokrywa się z promieniem. Druga noga jest równa połowie akordu. Nieznana noga pomnożona przez 2 da pożądaną długość cięciwy. Obliczmy jego wartość.

Aby znaleźć nieznaną nogę, musisz podnieść przeciwprostokątną i znaną nogę do kwadratu, odjąć drugą od pierwszej i wyciągnąć pierwiastek kwadratowy. Kwadraty to 25 i 9. Ich różnica wynosi 16. Po wyjęciu pierwiastka kwadratowego pozostaje 4. To jest pożądana noga.

Cięciwa będzie równa 4 * 2 = 8 (cm). Teraz możesz obliczyć pole przekroju poprzecznego: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Odpowiedź: S krzyż jest równy 32 cm 2.

Zadanie nr 3. Konieczne jest obliczenie powierzchni przekrój osiowy cylinder. Wiadomo, że wpisano w niego sześcian o krawędzi 10 cm.

Rozwiązanie. Przekrój osiowy walca pokrywa się z prostokątem przechodzącym przez cztery wierzchołki sześcianu i zawierającym przekątne jego podstaw. Bok sześcianu jest tworzącą walca, a przekątna podstawy pokrywa się ze średnicą. Iloczyn tych dwóch wielkości da obszar, który musisz znaleźć w zadaniu.

Aby obliczyć średnicę, trzeba będzie skorzystać z wiedzy, że podstawą sześcianu jest kwadrat, a jego przekątna tworzy trójkąt równoboczny. Jej przeciwprostokątna jest pożądaną przekątną figury.

Aby to obliczyć, będziesz potrzebować wzoru twierdzenia Pitagorasa. Musisz podnieść bok sześcianu do kwadratu, pomnożyć go przez 2 i wyciągnąć pierwiastek kwadratowy. Dziesięć do potęgi drugiej równa się sto. Pomnożone przez 2 daje dwieście. Pierwiastek kwadratowy z 200 to 10√2.

Przekrój jest znowu prostokątem o bokach 10 i 10√2. Jego powierzchnię można łatwo obliczyć, mnożąc te wartości.

Odpowiedź. Przekrój S = 100√2 cm 2.

Reprezentuje geometryczne ciało, ograniczony dwiema równoległymi płaszczyznami i powierzchnią cylindryczną.

Cylinder składa się z powierzchni bocznej i dwóch podstaw. Wzór na powierzchnię walca obejmuje oddzielne obliczenie pola podstawy i powierzchni bocznej. Ponieważ podstawy w cylindrze są równe, jego całkowite pole zostanie obliczone ze wzoru:

Rozważymy przykład obliczenia powierzchni cylindra po poznaniu wszystkich niezbędnych wzorów. Najpierw potrzebujemy wzoru na pole podstawy cylindra. Ponieważ podstawą cylindra jest okrąg, będziemy musieli zastosować:
Pamiętamy, że w tych obliczeniach stosuje się stałą liczbę Π = 3,1415926, którą oblicza się jako stosunek obwodu koła do jego średnicy. Liczba ta jest stałą matematyczną. Przyjrzymy się również przykładowi obliczenia pola podstawy walca nieco później.

Powierzchnia boczna cylindra

Wzór na pole powierzchni bocznej walca jest iloczynem długości podstawy i jej wysokości:

Przyjrzyjmy się teraz problemowi, w którym musimy obliczyć całkowitą powierzchnię cylindra. Na podanym rysunku wysokość wynosi h = 4 cm, r = 2 cm. Znajdźmy całkowitą powierzchnię cylindra.
Najpierw obliczmy pole podstaw:
Spójrzmy teraz na przykład obliczenia pola powierzchni bocznej cylindra. Po rozwinięciu reprezentuje prostokąt. Jego powierzchnię oblicza się według powyższego wzoru. Podstawmy do niego wszystkie dane:
Całkowita powierzchnia koła jest sumą podwójnego pola podstawy i boku:

Zatem korzystając ze wzorów na pole podstaw i powierzchnię boczną figury, udało nam się znaleźć całkowitą powierzchnię walca.
Przekrój osiowy cylindra jest prostokątem, którego boki są równe wysokości i średnicy cylindra.

Wzór na pole przekroju osiowego cylindra wyprowadza się ze wzoru obliczeniowego:

Znajdź obszar przekroju osiowego prostopadłego do podstaw cylindra. Jeden z boków tego prostokąta jest równy wysokości walca, drugi - średnicy koła podstawowego. Odpowiednio pole przekroju poprzecznego w tym przypadku będzie równe iloczynowi boków prostokąta. S=2R*h, gdzie S jest polem przekroju poprzecznego, R jest promieniem okręgu podstawowego określonym przez warunki zadania, a h jest wysokością walca, również wyznaczoną przez warunki zadania.

Jeżeli przekrój jest prostopadły do ​​podstaw, ale nie przechodzi przez oś obrotu, prostokąt nie będzie równy średnicy koła. Trzeba to obliczyć. Aby to zrobić, zadanie musi określać, w jakiej odległości od osi obrotu przechodzi płaszczyzna przekroju. Dla ułatwienia obliczeń skonstruuj okrąg u podstawy walca, narysuj promień i na nim wykreśl odległość, w jakiej znajduje się przekrój od środka okręgu. Z tego punktu narysuj prostopadłe do ich przecięcia z okręgiem. Połącz punkty przecięcia ze środkiem. Musisz znaleźć akordy. Znajdź rozmiar połowy cięciwy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Będzie równy pierwiastkowi kwadratowemu różnicy między kwadratami promienia okręgu od środka do linii przekroju. a2=R2-b2. Cały akord będzie odpowiednio równy 2a. Oblicz pole przekroju poprzecznego, które jest równe iloczynowi boków prostokąta, czyli S=2a*h.

Cylinder można ciąć bez przechodzenia przez płaszczyznę podstawy. Jeżeli przekrój jest prostopadły do ​​osi obrotu, to będzie to okrąg. Jego powierzchnia w tym przypadku jest równa powierzchni podstaw, czyli obliczonej według wzoru S = πR2.

Pomocna rada

Aby dokładniej wyobrazić sobie sekcję, wykonaj dla niej rysunek i dodatkowe konstrukcje.

Źródła:

• pole przekroju cylindra

Linia przecięcia powierzchni z płaszczyzną należy zarówno do powierzchni, jak i do płaszczyzny cięcia. Linia przecięcia powierzchni cylindrycznej z płaszczyzną cięcia równoległą do prostej tworzącej jest linią prostą. Jeżeli płaszczyzna cięcia jest prostopadła do osi powierzchni obrotu, przekrój będzie kołem. Ogólnie rzecz biorąc, linia przecięcia powierzchni cylindrycznej z płaszczyzną cięcia jest linią zakrzywioną.

Będziesz potrzebować

• Ołówek, linijka, trójkąt, wzory, kompas, metr.

Instrukcje

Na przedniej płaszczyźnie rzutów П₂ linia przekroju pokrywa się z rzutem płaszczyzny cięcia Σ₂ w postaci linii prostej.
Wyznacz punkty przecięcia tworzących walca z rzutem Σ₂ 1₂, 2₂ itd. do punktów 10₂ i 11₂.

Na płaszczyźnie P₁ jest kołem. Punkty 1₂, 2₂ itd. zaznaczone na płaszczyźnie przekroju Σ₂. za pomocą rzutowanej linii łączącej są rzutowane na obrys tego okręgu. Zaznacz ich poziome rzuty symetrycznie względem poziomej osi okręgu.

W ten sposób wyznacza się rzuty żądanego przekroju: na płaszczyznę P₂ – linię prostą (punkty 1₂, 2₂…10₂); na płaszczyźnie P₁ – okrąg (punkty 1₁, 2₁…10₁).

Korzystając z dwóch, skonstruuj naturalny rozmiar przekroju tego walca w oparciu o wystającą płaszczyznę czołową Σ. Aby to zrobić, użyj metody projekcji.

Narysuj płaszczyznę П₄ równoległą do rzutu płaszczyzny Σ₂. Na tej nowej osi x₂₄ zaznacz punkt 1₀. Odległości pomiędzy punktami 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ itd. z rzutu czołowego przekroju umieść go na osi x₂₄, narysuj cienkie linie połączenia projekcji prostopadle do osi x₂₄.

W Ta metoda płaszczyznę P₄ zastępuje się płaszczyzną P₁, dlatego z rzutu poziomego należy przenieść wymiary z osi na punkty do osi płaszczyzny P₄.

Przykładowo na P₁ dla punktów 2 i 3 będzie to odległość 2₁ i 3₁ od osi (punktu A) itd.

Odkładając wskazane odległości od rzutu poziomego, otrzymujesz punkty 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Następnie dla większej dokładności konstrukcji wyznaczane są pozostałe punkty pośrednie.

Łącząc wszystkie punkty krzywą wzorcową, uzyskujemy wymagany naturalny rozmiar przekroju cylindra przy czołowej płaszczyźnie wystającej.

Źródła:

• jak zastąpić samolot

Wskazówka 3: Jak znaleźć osiowe pole przekroju poprzecznego ściętego stożka

Aby rozwiązać ten problem, musisz pamiętać, czym jest stożek ścięty i jakie ma właściwości. Pamiętaj, aby wykonać rysunek. Umożliwi to określenie, jaką figurę geometryczną reprezentuje przekrój. Jest całkiem możliwe, że po tym rozwiązanie problemu nie będzie już dla Ciebie trudne.

Instrukcje

Okrągły stożek to bryła uzyskana przez obrót trójkąta wokół jednej z jego nóg. Proste linie wychodzące z wierzchołka stożek i przecinające jego podstawę nazywane są generatorami. Jeśli wszystkie generatory są równe, wówczas stożek jest prosty. U podstawy rundy stożek leży okrąg. Prostopadła opuszczona z wierzchołka na podstawę to wysokość stożek. Na prostej na okrągło stożek wysokość pokrywa się z jego osią. Oś jest linią prostą łączącą się ze środkiem podstawy. Jeśli pozioma płaszczyzna cięcia jest okrągła stożek, to jego górna podstawa jest okręgiem.

Ponieważ w opisie problemu nie określono, że w tym przypadku podany jest stożek, możemy stwierdzić, że jest to prosty stożek ścięty, którego przekrój poziomy jest równoległy do ​​podstawy. Jego przekrój osiowy, tj. płaszczyzna pionowa, która przechodzi przez oś koła stożek, jest trapezem równobocznym. Wszystko osiowe Sekcje okrągłe proste stożek są sobie równe. Dlatego znaleźć kwadrat osiowy Sekcje, musisz znaleźć kwadrat trapez, którego podstawy są średnicami podstaw ściętych stożek, a boki boczne są jego składnikami. Wysokość ściętego stożek jest także wysokością trapezu.

Pole trapezu określa się wzorem: S = ½(a+b) h, gdzie S – kwadrat trapez; a – wielkość dolnej podstawy trapezu, b – wielkość jego górnej podstawy, h – wysokość trapezu.

Ponieważ warunek nie określa, które z nich są podane, możliwe jest, że średnice obu podstaw zostaną obcięte stożek znane: AD = d1 – średnica dolnej podstawy ściętego stożek;BC = d2 – średnica jego górnej podstawy; EH = h1 – wysokość stożek.Zatem, kwadrat osiowy Sekcje kadłubowy stożek jest zdefiniowana: S1 = ½ (d1+d2) h1

Źródła:

• obszar ściętego stożka

Cylinder jest figurą przestrzenną i składa się z dwóch równe podstawy, które przedstawiają okręgi i powierzchnię boczną łączącą linie wyznaczające podstawy. Liczyć kwadrat cylinder, znajdź pola wszystkich jego powierzchni i dodaj je.