Pryzmat. Równoległościan

pryzmat nazywa się wielościanem, którego dwie ściany są równe n-gonom (fusy) , leżące w równoległych płaszczyznach, a pozostałe n ścian to równoległoboki (boczne powierzchnie) . Boczne żebro pryzmat to ta strona ściany bocznej, która nie należy do podstawy.

Nazywa się graniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstaw proste pryzmat (rys. 1). Jeśli krawędzie boczne nie są prostopadłe do płaszczyzn podstaw, wówczas nazywa się pryzmat skośny . prawidłowy Graniastosłup to graniastosłup prosty, którego podstawą są wielokąty foremne.

Wzrost pryzmat nazywany jest odległością między płaszczyznami podstaw. Przekątna Pryzmat to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany. przekrój przekątny Nazywa się odcinek pryzmatu przez płaszczyznę przechodzącą przez dwie boczne krawędzie, które nie należą do tej samej ściany. Przekrój prostopadły nazwany sekcją pryzmatu przez płaszczyznę prostopadłą do bocznej krawędzi pryzmatu.

Powierzchnia boczna pryzmat to suma obszarów wszystkich ścian bocznych. Pełna powierzchnia nazywana jest suma powierzchni wszystkich ścian pryzmatu (tj. suma powierzchni ścian bocznych i powierzchni podstaw).

Dla dowolnego pryzmatu formuły są prawdziwe:

gdzie ja to długość bocznego żebra;

H- wzrost;

P

Q

Strona S

S pełne

S główne to obszar baz;

V to objętość pryzmatu.

Dla prostego pryzmatu prawdziwe są następujące wzory:

gdzie p- obwód podstawy;

ja to długość bocznego żebra;

H- wzrost.

Równoległościan Nazywa się pryzmat, którego podstawą jest równoległobok. Nazywa się równoległościan, którego boczne krawędzie są prostopadłe do podstaw bezpośredni (rys. 2). Jeśli krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw, nazywa się równoległościan skośny . Prawy równoległościan, którego podstawą jest prostokąt, nazywa się prostokątny. Prostokątny równoległościan, w którym wszystkie krawędzie są równe, nazywa się sześcian.

Nazywa się ściany równoległościanu, które nie mają wspólnych wierzchołków naprzeciwko . Długości krawędzi emanujących z jednego wierzchołka nazywane są pomiary równoległościan. Ponieważ pudełko jest pryzmatem, jego główne elementy są definiowane w taki sam sposób, jak w przypadku pryzmatów.

Twierdzenia.

1. Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie i przecinają go.

2. W prostopadłościanie prostokątnym kwadrat długości przekątnej jest równy sumie kwadratów jego trzech wymiarów:

3. Wszystkie cztery przekątne prostokątnego równoległościanu są sobie równe.

Dla dowolnego równoległościanu prawdziwe są następujące formuły:

gdzie ja to długość bocznego żebra;

H- wzrost;

P jest obwodem przekroju prostopadłego;

Q– Powierzchnia przekroju prostopadłego;

Strona S to powierzchnia boczna;

S pełne to całkowita powierzchnia;

S główne to obszar baz;

V to objętość pryzmatu.

Dla prawego równoległościanu prawdziwe są następujące formuły:

gdzie p- obwód podstawy;

ja to długość bocznego żebra;

H to wysokość prawego równoległościanu.

W przypadku równoległościanu prostokątnego prawdziwe są następujące formuły:

(3)

gdzie p- obwód podstawy;

H- wzrost;

d- przekątna;

ABC– pomiary równoległościanu.

Prawidłowe formuły dla kostki to:

gdzie a to długość żebra;

d to przekątna sześcianu.

Przykład 1 Przekątna prostopadłościanu wynosi 33 dm, a jego wymiary są odniesione do 2:6:9 Znajdź wymiary prostopadłościanu.

Rozwiązanie. Aby znaleźć wymiary równoległościanu, używamy wzoru (3), tj. fakt, że kwadrat przeciwprostokątnej prostopadłościanu jest równy sumie kwadratów jego wymiarów. Oznacz przez k współczynnik proporcjonalności. Wtedy wymiary równoległościanu będą równe 2 k, 6k i 9 k. Na dane problemu piszemy wzór (3):

Rozwiązywanie tego równania dla k otrzymujemy:

Stąd wymiary równoległościanu to 6 dm, 18 dm i 27 dm.

Odpowiadać: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Przykład 2 Znajdź objętość nachylonego trójkątnego graniastosłupa, którego podstawą jest trójkąt równoboczny o boku 8 cm, jeśli krawędź boczna jest równa boku podstawy i jest nachylona pod kątem 60º do podstawy.

Rozwiązanie . Zróbmy rysunek (ryc. 3).

Aby znaleźć objętość pochylonego pryzmatu, musisz znać obszar jego podstawy i wysokości. Powierzchnia podstawy tego pryzmatu to powierzchnia trójkąta równobocznego o boku 8 cm, policzmy to:

Wysokość pryzmatu to odległość między jego podstawami. Z góry ALE 1 górnej podstawy obniżamy prostopadle do płaszczyzny dolnej podstawy ALE 1 D. Jego długość będzie wysokością pryzmatu. Rozważ D ALE 1 OGŁOSZENIE: ponieważ jest to kąt nachylenia żebra bocznego ALE 1 ALE do płaszczyzny bazowej ALE 1 ALE= 8 cm Z tego trójkąta znajdujemy ALE 1 D:

Teraz obliczamy objętość za pomocą wzoru (1):

Odpowiadać: 192 cm3.

Przykład 3 Boczna krawędź regularnego sześciokątnego pryzmatu wynosi 14 cm, a powierzchnia największego przekroju przekątnej wynosi 168 cm 2. Znajdź całkowitą powierzchnię pryzmatu.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 4)

Największy przekrój przekątnej to prostokąt AA 1 DD 1 , ponieważ przekątna OGŁOSZENIE regularny sześciokąt ALFABET jest największy. Aby obliczyć powierzchnię boczną pryzmatu, konieczne jest poznanie boku podstawy i długości bocznego żebra.

Znając obszar przekroju przekątnego (prostokąt), znajdujemy przekątną podstawy.

Ponieważ wtedy

Od tego czasu AB= 6 cm.

Wtedy obwód podstawy to:

Znajdź obszar bocznej powierzchni pryzmatu:

Powierzchnia sześciokąta foremnego o boku 6 cm to:

Znajdź całkowitą powierzchnię pryzmatu:

Odpowiadać:

Przykład 4 Podstawą prawego równoległościanu jest romb. Pola przekrojów to 300 cm2 i 875 cm2. Znajdź obszar bocznej powierzchni równoległościanu.

Rozwiązanie. Zróbmy rysunek (ryc. 5).

Oznacz bok rombu przez a, przekątne rombu d 1 i d 2, wysokość pudełka! h. Aby znaleźć boczną powierzchnię prostego równoległościanu, należy pomnożyć obwód podstawy przez wysokość: (wzór (2)). Obwód podstawy p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, dlatego ABCD- romb. H = AA 1 = h. To. Trzeba znaleźć a oraz h.

Rozważ przekroje przekątne. AA 1 SS 1 - prostokąt, którego jedna strona jest przekątną rombu AC = d 1, druga krawędź boczna AA 1 = h, następnie

Podobnie dla sekcji nocleg ze śniadaniem 1 DD 1 otrzymujemy:

Używając własności równoległoboku takiej, że suma kwadratów przekątnych jest równa sumie kwadratów wszystkich jego boków, otrzymujemy równość.

Definicja.

Jest to sześciokąt, którego podstawy są dwoma równymi kwadratami, a ściany boczne są równymi prostokątami.

Boczne żebro jest wspólną stroną dwóch sąsiednich ścian bocznych

Wysokość pryzmatu to odcinek prostopadły do ​​podstawy pryzmatu

Przekątna pryzmatu- segment łączący dwa wierzchołki baz, które nie należą do tej samej ściany

Płaszczyzna ukośna- płaszczyzna przechodząca przez przekątną pryzmatu i jego boczne krawędzie

Przekrój po przekątnej- granice przecięcia pryzmatu i płaszczyzny przekątnej. Przekątna zwykłego czworokątnego graniastosłupa to prostokąt

Przekrój prostopadły (przekrój ortogonalny)- to przecięcie pryzmatu i płaszczyzny narysowanej prostopadle do jego bocznych krawędzi

Elementy zwykłego czworokątnego pryzmatu

Rysunek przedstawia dwa regularne pryzmaty czworokątne, które są oznaczone odpowiednimi literami:

• Bazy ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 są równe i równoległe do siebie
• Powierzchnie boczne AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, z których każda jest prostokątem
• Powierzchnia boczna - suma pól wszystkich powierzchni bocznych pryzmatu
• Powierzchnia całkowita - suma powierzchni wszystkich podstaw i ścian bocznych (suma powierzchni powierzchni bocznych i podstaw)
• Żebra boczne AA 1 , BB 1 , CC 1 i DD 1 .
• Przekątna B 1 D
• Przekątna podstawy BD
• Przekrój skośny BB 1 D 1 D
• Przekrój prostopadły A 2 B 2 C 2 D 2 .

Właściwości regularnego pryzmatu czworokątnego

• Bazy to dwa równe kwadraty
• Podstawy są do siebie równoległe
• Boki są prostokątami.
• Boki są sobie równe
• Ściany boczne są prostopadłe do podstaw
• Żebra boczne są do siebie równoległe i równe
• Przekrój prostopadły prostopadły do ​​wszystkich bocznych żeber i równoległy do ​​podstaw
• Kąty przekroju prostopadłego — z prawej
• Przekątna zwykłego czworokątnego graniastosłupa to prostokąt
• Prostopadły (przekrój ortogonalny) równoległy do ​​podstaw

Wzory na zwykły pryzmat czworokątny

Instrukcje rozwiązywania problemów

Podczas rozwiązywania problemów na ten temat ” zwykły czworokątny pryzmat” oznacza, że:

Prawidłowy pryzmat- graniastosłup, u którego podstawy leży wielokąt foremny, a krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn podstawy. Oznacza to, że u podstawy znajduje się zwykły czworokątny pryzmat kwadrat. (patrz powyżej właściwości zwykłego pryzmatu czworokątnego) Notatka. Jest to część lekcji z zadaniami z geometrii (sekcja geometria bryłowa - pryzmat). Oto zadania, które powodują trudności w rozwiązaniu. Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrii, którego tutaj nie ma - napisz o tym na forum. Dla oznaczenia czynności wyciągania pierwiastka kwadratowego w rozwiązywaniu problemów stosuje się symbol√ .

Zadanie.

W zwykłym czworokątnym pryzmacie powierzchnia podstawy wynosi 144 cm 2, a wysokość 14 cm. Znajdź przekątną pryzmatu i całkowitą powierzchnię.

Rozwiązanie.
Regularny czworokąt to kwadrat.
W związku z tym bok podstawy będzie równy

√144 = 12 cm.
Skąd przekątna podstawy regularnego prostopadłościanu będzie równa
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Przekątna zwykłego graniastosłupa tworzy z przekątną podstawy i wysokością pryzmatu trójkąt prostokątny. W związku z tym, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, przekątna danego regularnego graniastosłupa czworokątnego będzie równa:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odpowiadać: 22 cm

Zadanie

Znajdź całkowitą powierzchnię zwykłego czworokątnego pryzmatu, jeśli jego przekątna wynosi 5 cm, a przekątna powierzchni bocznej 4 cm.

Rozwiązanie.
Ponieważ podstawa zwykłego czworokątnego graniastosłupa jest kwadratem, to bok podstawy (oznaczony jako a) znajduje się w twierdzeniu Pitagorasa:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Wysokość ściany bocznej (oznaczona jako h) będzie wtedy równa:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Całkowita powierzchnia będzie równa sumie powierzchni bocznej i dwukrotnej powierzchni bazowej

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odpowiedź: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

W geometrii przestrzennej przy rozwiązywaniu problemów z pryzmatami często pojawia się problem z obliczeniem pola powierzchni boków lub ścian tworzących te trójwymiarowe figury. Artykuł poświęcony jest zagadnieniu wyznaczania pola podstawy pryzmatu oraz jego powierzchni bocznej.

Pryzmat figury

Przed przystąpieniem do rozważania wzorów dotyczących powierzchni podstawy i powierzchni takiego czy innego pryzmatu należy zrozumieć, o jakiej postaci mówimy.

Graniastosłup w geometrii to figura przestrzenna składająca się z dwóch równoległych wielokątów, które są sobie równe, oraz kilku czworokątów lub równoległoboków. Liczba tych ostatnich jest zawsze równa liczbie wierzchołków jednego wielokąta. Na przykład, jeśli figurę tworzą dwa równoległe n-kąty, liczba równoległoboków wyniesie n.

Łączące się n-gony równoległoboku nazywane są bokami pryzmatu, a ich całkowita powierzchnia to powierzchnia bocznej powierzchni figury. Same n-gony nazywane są zasadami.

Powyższy rysunek przedstawia przykład pryzmatu papierowego. Żółty prostokąt to jego górna podstawa. Na drugiej podstawie stoi ta sama figura. Czerwone i zielone prostokąty to ściany boczne.

Jakie są pryzmaty?

Istnieje kilka rodzajów pryzmatów. Wszystkie różnią się od siebie tylko dwoma parametrami:

• rodzaj n-gonów tworzących bazy;
• kąt między n-gonem a ścianami bocznymi.

Na przykład, jeśli podstawy są trójkątami, to pryzmat nazywa się pryzmatem trójkątnym, jeśli czworokąty, jak na poprzednim rysunku, to figura nazywa się pryzmatem czworokątnym i tak dalej. Dodatkowo n-gon może być wypukły lub wklęsły, wtedy ta właściwość jest również dodawana do nazwy pryzmatu.

Kąt między ścianami bocznymi a podstawą może być prosty, ostry lub rozwarty. W pierwszym przypadku mówią o pryzmacie prostokątnym, w drugim - o pochylonym lub ukośnym.

Graniastosłupy regularne wyróżniają się specjalnym typem figury. Mają najwyższą symetrię spośród pozostałych pryzmatów. Będzie poprawny tylko wtedy, gdy jest prostokątny, a jego podstawą jest n-gon foremny. Poniższy rysunek przedstawia zestaw pryzmatów regularnych, w których liczba boków n-kąta waha się od trzech do ośmiu.

Powierzchnia pryzmatu

Pod powierzchnią rozważanej figury dowolnego typu rozumie się całość wszystkich punktów należących do powierzchni pryzmatu. Wygodnie jest badać powierzchnię pryzmatu, biorąc pod uwagę jego rozwój. Poniżej przykład takiego przeciągnięcia dla trójkątnego pryzmatu.

Widać, że całą powierzchnię tworzą dwa trójkąty i trzy prostokąty.

W przypadku pryzmatu ogólnego typu, jego powierzchnia będzie się składać z dwóch n-kątnych podstaw i n czworoboków.

Rozważmy bardziej szczegółowo kwestię obliczania powierzchni pryzmatów różnych typów.

Powierzchnia podstawy pryzmatu

Być może najłatwiejszym zadaniem podczas pracy z pryzmatami jest problem ze znalezieniem obszaru podstawy zwykłej figury. Ponieważ tworzy go n-gon, dla którego wszystkie kąty i długości boków są takie same, zawsze można go podzielić na identyczne trójkąty, dla których znane są kąty i boki. Całkowity obszar trójkątów będzie polem n-gonu.

Innym sposobem określenia części pola powierzchni pryzmatu (podstawy) jest użycie dobrze znanego wzoru. To wygląda tak:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Oznacza to, że powierzchnia S n n-kąta jest jednoznacznie określona na podstawie znajomości długości jego boku a. Pewną trudnością w obliczeniu wzoru może być obliczenie cotangensa, zwłaszcza gdy n>4 (dla n≤4, wartości cotangensa są danymi tabelarycznymi). Aby określić tę funkcję trygonometryczną, zaleca się użycie kalkulatora.

Przy ustalaniu problemu geometrycznego należy zachować ostrożność, ponieważ może być konieczne znalezienie obszaru podstaw pryzmatu. Następnie wartość uzyskaną ze wzoru należy pomnożyć przez dwa.

Powierzchnia podstawy trójkątnego pryzmatu

Na przykładzie trójkątnego pryzmatu zastanów się, jak znaleźć obszar podstawy tej figury.

Najpierw rozważ prosty przypadek - zwykły pryzmat. Powierzchnia podstawy jest obliczana zgodnie ze wzorem podanym w powyższym akapicie, należy w nim zastąpić n \u003d 3. Otrzymujemy:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Pozostaje zastąpić w wyrażeniu określone wartości długości boku trójkąta równobocznego, aby uzyskać obszar podstawy.

Załóżmy teraz, że mamy pryzmat, którego podstawą jest dowolny trójkąt. Znane są jego dwie strony a i b oraz kąt między nimi α. Ten rysunek pokazano poniżej.

Jak w tym przypadku znaleźć obszar podstawy trójkątnego pryzmatu? Należy pamiętać, że pole dowolnego trójkąta jest równe połowie iloczynu boku i wysokości obniżonej do tej strony. Rysunek pokazuje wysokość od h do boku b. Długość h odpowiada iloczynowi sinusa kąta alfa i długości boku a. Wtedy obszar całego trójkąta to:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Jest to podstawa przedstawionego trójkątnego pryzmatu.

Powierzchnia boczna

Dowiedzieliśmy się, jak znaleźć obszar podstawy pryzmatu. Boczna powierzchnia tej figury zawsze składa się z równoległoboków. W przypadku prostych pryzmatów równoległoboki stają się prostokątami, więc łatwo jest obliczyć ich całkowitą powierzchnię:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Tutaj b jest długością krawędzi bocznej, a i jest długością boku i-tego prostokąta, który pokrywa się z długością boku n-kąta. W przypadku zwykłego graniastosłupa n-kątnego otrzymujemy proste wyrażenie:

Jeśli pryzmat jest pochylony, to w celu określenia pola powierzchni bocznej należy wykonać cięcie prostopadłe, obliczyć jego obwód P sr i pomnożyć przez długość żebra bocznego.

Powyższy rysunek pokazuje, jak należy wykonać to cięcie dla skośnego pryzmatu pięciokątnego.

Różne pryzmaty różnią się od siebie. Jednocześnie mają ze sobą wiele wspólnego. Aby znaleźć obszar podstawy pryzmatu, musisz dowiedzieć się, jak wygląda.

Ogólna teoria

Graniastosłup to dowolny wielościan, którego boki mają kształt równoległoboku. Co więcej, u jego podstawy może znajdować się dowolny wielościan - od trójkąta do n-kąta. Co więcej, podstawy pryzmatu są zawsze sobie równe. Co nie dotyczy bocznych ścianek - mogą one znacznie różnić się wielkością.

Podczas rozwiązywania problemów napotykany jest nie tylko obszar podstawy pryzmatu. Może być konieczne poznanie powierzchni bocznej, to znaczy wszystkich ścian, które nie są podstawami. Cała powierzchnia będzie już połączeniem wszystkich ścian tworzących pryzmat.

Czasami w zadaniach pojawiają się wysokości. Jest prostopadły do ​​podstaw. Przekątna wielościanu to odcinek łączący parami dowolne dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany.

Należy zauważyć, że powierzchnia podstawy prostego lub pochyłego pryzmatu nie zależy od kąta między nimi a powierzchniami bocznymi. Jeśli mają te same cyfry na górnej i dolnej powierzchni, ich obszary będą równe.

trójkątny pryzmat

Ma u podstawy figurę z trzema wierzchołkami, czyli trójkąt. Wiadomo, że jest inny. Jeśli to wystarczy przypomnieć, że jego powierzchnia jest określona przez połowę iloczynu nóg.

Notacja matematyczna wygląda tak: S = ½ śr.

Aby określić obszar podstawy w ogólnej formie, przydatne są formuły: Czapla i ta, w której połowa boku jest przenoszona na narysowaną do niej wysokość.

Pierwsza formuła powinna być napisana w następujący sposób: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Ten wpis zawiera półobwód (p), czyli sumę trzech boków podzieloną przez dwa.

Po drugie: S = ½ n a * a.

Jeśli chcesz poznać obszar podstawy trójkątnego pryzmatu, który jest regularny, trójkąt okazuje się być równoboczny. Ma własną formułę: S = ¼ a 2 * √3.

pryzmat czworokątny

Jego podstawą jest dowolny ze znanych czworoboków. Może to być prostokąt lub kwadrat, równoległościan lub romb. W każdym przypadku, aby obliczyć powierzchnię podstawy pryzmatu, będziesz potrzebować własnej formuły.

Jeżeli podstawą jest prostokąt, to jego pole wyznaczamy następująco: S = av, gdzie a, b są bokami prostokąta.

Jeśli chodzi o pryzmat czworokątny, powierzchnię podstawy zwykłego pryzmatu oblicza się ze wzoru na kwadrat. Bo to on leży u podstawy. S \u003d 2.

W przypadku, gdy podstawa jest równoległościanem, potrzebna będzie następująca równość: S \u003d a * n a. Zdarza się, że podano bok równoległościanu i jeden z kątów. Następnie, aby obliczyć wysokość, musisz użyć dodatkowego wzoru: na \u003d b * sin A. Co więcej, kąt A sąsiaduje z bokiem „b”, a wysokość jest przeciwna do tego kąta.

Jeśli u podstawy pryzmatu leży romb, to do określenia jego powierzchni potrzebny będzie ten sam wzór, jak dla równoległoboku (ponieważ jest to szczególny przypadek). Ale możesz również użyć tego: S = ½ d 1 d 2. Tutaj d 1 i d 2 to dwie przekątne rombu.

Regularny pryzmat pięciokątny

Ten przypadek polega na podzieleniu wielokąta na trójkąty, których obszary są łatwiejsze do odnalezienia. Chociaż zdarza się, że figury mogą mieć różną liczbę wierzchołków.

Ponieważ podstawą pryzmatu jest pięciokąt foremny, można go podzielić na pięć trójkątów równobocznych. Następnie powierzchnia podstawy pryzmatu jest równa powierzchni jednego takiego trójkąta (wzór widać powyżej), pomnożonej przez pięć.

Regularny sześciokątny pryzmat

Zgodnie z zasadą opisaną dla graniastosłupa pięciokątnego można podzielić sześciokąt podstawowy na 6 trójkątów równobocznych. Wzór na powierzchnię podstawy takiego pryzmatu jest podobny do poprzedniego. Tylko w nim należy pomnożyć przez sześć.

Formuła będzie wyglądać tak: S = 3/2 i 2 * √3.

Zadania

Nr 1. Podana jest regularna linia prosta, której przekątna wynosi 22 cm, wysokość wielościanu wynosi 14 cm Oblicz obszar podstawy pryzmatu i całej powierzchni.

Rozwiązanie. Podstawa pryzmatu jest kwadratem, ale jego bok nie jest znany. Jego wartość można znaleźć na podstawie przekątnej kwadratu (x), która jest powiązana z przekątną pryzmatu (d) i jego wysokością (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Z drugiej strony ten odcinek „x” jest przeciwprostokątną w trójkącie, którego nogi są równe bokowi kwadratu. Oznacza to, że x 2 \u003d a 2 + a 2. Okazuje się zatem, że 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Zastąp liczbę 22 zamiast d i zastąp „n” jej wartością - 14, okazuje się, że bok kwadratu ma 12 cm Teraz łatwo jest znaleźć obszar podstawowy: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Aby określić obszar całej powierzchni, musisz dodać dwukrotną wartość obszaru bazowego i czterokrotnie zwiększyć bok. Tę ostatnią łatwo znaleźć według wzoru na prostokąt: pomnóż wysokość wielościanu i bok podstawy. To znaczy 14 i 12, ta liczba będzie równa 168 cm 2. Stwierdzono, że całkowita powierzchnia pryzmatu wynosi 960 cm2.

Odpowiadać. Powierzchnia podstawy pryzmatu wynosi 144 cm2. Cała powierzchnia - 960 cm 2 .

Nr 2. Dana U podstawy leży trójkąt o boku 6 cm, w tym przypadku przekątna powierzchni bocznej wynosi 10 cm Oblicz obszary: podstawę i powierzchnię boczną.

Rozwiązanie. Ponieważ pryzmat jest regularny, jego podstawą jest trójkąt równoboczny. Dlatego jego powierzchnia okazuje się równa 6 do kwadratu razy ¼, a pierwiastek kwadratowy z 3. Proste obliczenie prowadzi do wyniku: 9√3 cm2. Jest to powierzchnia jednej podstawy pryzmatu.

Wszystkie ściany boczne są takie same i są prostokątami o bokach 6 i 10 cm, aby obliczyć ich powierzchnie, wystarczy pomnożyć te liczby. Następnie pomnóż je przez trzy, bo pryzmat ma dokładnie tyle ścian bocznych. Następnie obszar powierzchni bocznej nawija się 180 cm 2 .

Odpowiadać. Obszary: podstawa - 9√3 cm2, boczna powierzchnia pryzmatu - 180 cm2.

W szkolnym programie nauczania dla kursu geometrii bryły badanie figur trójwymiarowych zwykle zaczyna się od prostego geometrycznego ciała - wielościanu pryzmatu. Rolę jego podstaw pełnią 2 równe wielokąty leżące w równoległych płaszczyznach. Szczególnym przypadkiem jest zwykły czworokątny pryzmat. Jego podstawy to 2 identyczne regularne czworokąty, do których prostopadłe są boki, mające kształt równoległoboków (lub prostokątów, jeśli graniastosłup nie jest pochylony).

Jak wygląda pryzmat

Regularny czworokątny pryzmat to sześcian, u którego podstaw znajdują się 2 kwadraty, a ściany boczne są reprezentowane przez prostokąty. Inną nazwą tej figury geometrycznej jest prosty równoległościan.

Rysunek przedstawiający czworokątny pryzmat pokazano poniżej.

Możesz również zobaczyć na zdjęciu najważniejsze elementy składające się na geometryczną bryłę. Są one powszechnie określane jako:

Czasami w problemach z geometrią można znaleźć pojęcie przekroju. Definicja będzie brzmiała tak: przekrój to wszystkie punkty bryły objętościowej, które należą do płaszczyzny cięcia. Przekrój jest prostopadły (przecina krawędzie figury pod kątem 90 stopni). W przypadku prostokątnego graniastosłupa uwzględniany jest również przekrój ukośny (maksymalna liczba przekrojów, które można zbudować to 2), przechodzący przez 2 krawędzie i przekątne podstawy.

Jeśli przekrój jest narysowany w taki sposób, że płaszczyzna cięcia nie jest równoległa ani do podstaw, ani do ścian bocznych, wynikiem jest ścięty pryzmat.

Do znalezienia zredukowanych elementów pryzmatycznych stosuje się różne proporcje i wzory. Niektóre z nich są znane z przebiegu planimetrii (np. aby znaleźć pole podstawy pryzmatu, wystarczy przypomnieć wzór na pole kwadratu).

Powierzchnia i objętość

Aby określić objętość pryzmatu za pomocą wzoru, musisz znać obszar jego podstawy i wysokości:

V = Sprim h

Ponieważ podstawą regularnego graniastosłupa czworościennego jest kwadrat o boku a, Możesz napisać wzór w bardziej szczegółowej formie:

V = a² h

Jeśli mówimy o sześcianie - zwykłym pryzmacie o równej długości, szerokości i wysokości, objętość oblicza się w następujący sposób:

Aby zrozumieć, jak znaleźć boczną powierzchnię pryzmatu, musisz wyobrazić sobie jego przeciągnięcie.

Z rysunku widać, że boczna powierzchnia składa się z 4 równych prostokątów. Jego powierzchnia jest obliczana jako iloczyn obwodu podstawy i wysokości figury:

Bok = Poz h

Ponieważ obwód kwadratu wynosi P = 4a, formuła przyjmuje postać:

Strona = 4a h

Na kostkę:

Bok = 4a²

Aby obliczyć całkowitą powierzchnię pryzmatu, dodaj 2 obszary bazowe do powierzchni bocznej:

Sfull = Side + 2Sbase

W odniesieniu do czworokątnego pryzmatu regularnego wzór ma postać:

Sfull = 4ah + 2a²

Dla powierzchni sześcianu:

Pełna = 6a²

Znając objętość lub powierzchnię, możesz obliczyć poszczególne elementy bryły geometrycznej.

Znajdowanie elementów pryzmatycznych

Często pojawiają się problemy, w których podawana jest objętość lub znana jest wartość pola powierzchni bocznej, gdzie konieczne jest określenie długości boku podstawy lub wysokości. W takich przypadkach można wyprowadzić wzory:

• długość boku podstawy: a = strona / 4h = √(V/h);
• wysokość lub długość bocznego żebra: h = Bok / 4a = V / a²;
• powierzchnia bazowa: Sprim = V / h;
• powierzchnia boczna: Bok gr = Strona / 4.

Aby określić, ile powierzchni ma sekcja po przekątnej, musisz znać długość przekątnej i wysokość figury. Na kwadrat d = a√2. W związku z tym:

Sdiag = ah√2

Aby obliczyć przekątną pryzmatu, stosuje się wzór:

dcena = √(2a² + h²)

Aby zrozumieć, jak stosować powyższe proporcje, możesz przećwiczyć i rozwiązać kilka prostych zadań.

Przykłady problemów z rozwiązaniami

Oto niektóre z zadań, które pojawiają się na państwowych egzaminach końcowych z matematyki.

Ćwiczenie 1.

Piasek wsypuje się do pudełka w kształcie zwykłego czworokątnego graniastosłupa. Wysokość jego poziomu wynosi 10 cm Jaki będzie poziom piasku, jeśli przeniesiesz go do pojemnika o tym samym kształcie, ale o długości podstawy 2 razy dłuższej?

Należy argumentować w następujący sposób. Ilość piasku w pierwszym i drugim pojemniku nie uległa zmianie, tj. jego objętość w nich jest taka sama. Możesz zdefiniować długość podstawy jako a. W takim przypadku w pierwszym polu objętość substancji będzie wynosić:

V₁ = ha² = 10a²

W przypadku drugiego pudełka długość podstawy wynosi 2a, ale wysokość poziomu piasku jest nieznana:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Ponieważ V₁ = V₂, wyrażenia można porównać:

10a² = 4ha²

Po zmniejszeniu obu stron równania o a² otrzymujemy:

W rezultacie nowy poziom piasku będzie h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadanie 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ to zwykły pryzmat. Wiadomo, że BD = AB₁ = 6√2. Znajdź całkowitą powierzchnię ciała.

Aby ułatwić zrozumienie, które elementy są znane, możesz narysować figurę.

Ponieważ mówimy o zwykłym pryzmacie, możemy wywnioskować, że podstawą jest kwadrat o przekątnej 6√2. Przekątna lica bocznego ma taką samą wartość, dlatego lica boczna również ma kształt kwadratu równej podstawie. Okazuje się, że wszystkie trzy wymiary – długość, szerokość i wysokość – są sobie równe. Możemy stwierdzić, że ABCDA₁B₁C₁D₁ jest sześcianem.

Długość każdej krawędzi jest określana przez znaną przekątną:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Całkowitą powierzchnię określa wzór na sześcian:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Zadanie 3.

Pokój jest w remoncie. Wiadomo, że jego podłoga ma kształt kwadratu o powierzchni 9 m². Wysokość pomieszczenia wynosi 2,5 m. Jaki jest najniższy koszt tapetowania pokoju, jeśli 1 m² kosztuje 50 rubli?

Ponieważ podłoga i sufit są kwadratami, czyli regularnymi czworokątami, a jej ściany są prostopadłe do powierzchni poziomych, możemy wywnioskować, że jest to pryzmat regularny. Konieczne jest określenie obszaru jego powierzchni bocznej.

Długość pokoju wynosi a = √9 = 3 m.

Plac zostanie pokryty tapetą Bok = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniższy koszt tapety do tego pokoju będzie 50 30 = 1500 rubli.

Tak więc do rozwiązywania problemów na prostopadłościanie wystarczy umieć obliczyć pole i obwód kwadratu i prostokąta, a także znać wzory na obliczanie objętości i pola powierzchni.

Jak znaleźć obszar sześcianu