Równanie prądu w obwodzie oscylacyjnym. Obwód oscylacyjny. Swobodne oscylacje elektromagnetyczne. Przemiana energii w obwodzie oscylacyjnym. Wzór Thompsona
Oscylacje elektryczne oznaczają okresowe zmiany ładunku, prądu i napięcia. Najprostszym układem, w którym możliwe są swobodne oscylacje elektryczne, jest tzw. obwód oscylacyjny. Jest to urządzenie składające się z kondensatora i cewki połączonych ze sobą. Zakładamy, że cewka nie ma czynnego oporu, w takim przypadku obwód nazywamy idealnym. Kiedy energia jest przekazywana do tego układu, jest ona nietłumiona drgania harmoniczneładunek na kondensatorze, napięcie i prąd.
Możesz przekazać energię do obwodu oscylacyjnego różne sposoby. Na przykład ładując kondensator ze źródła prądu stałego lub wzbudzając prąd w cewce indukcyjnej. W pierwszym przypadku energia jest przekazywana przez pole elektryczne pomiędzy płytami kondensatora. W drugim energia zawarta jest w polu magnetycznym prądu płynącego przez obwód.
§1 Równanie drgań w obwodzie
Udowodnimy, że po przekazaniu energii do obwodu wystąpią w nim nietłumione oscylacje harmoniczne. Aby to zrobić, musisz zdobyć równanie różniczkowe drgania harmoniczne formy.
Załóżmy, że kondensator jest naładowany i zwarty do cewki. Kondensator zacznie się rozładowywać, a przez cewkę będzie przepływał prąd. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa suma spadków napięcia w obwodzie zamkniętym jest równa sumie siły emf w tym obwodzie 
.
W naszym przypadku spadek napięcia wynika z idealnego obwodu. Kondensator w obwodzie zachowuje się jak źródło prądu; różnica potencjałów między płytkami kondensatora działa jak pole elektromagnetyczne, gdzie jest ładunek na kondensatorze i jest pojemnością elektryczną kondensatora. Ponadto, gdy przez cewkę przepływa zmienny prąd, a Samoindukowane emf, gdzie jest indukcyjnością cewki, jest szybkością zmian prądu w cewce. Ponieważ siła samoindukcji zapobiega procesowi rozładowywania kondensatora, drugie prawo Kirchhoffa ma postać
Jednak prąd w obwodzie jest zatem prądem rozładowania lub ładowania kondensatora. Następnie
Równanie różniczkowe zostaje przekształcone do postaci
Wprowadzając zapis, otrzymujemy znane równanie różniczkowe oscylacji harmonicznych.
Oznacza to, że ładunek kondensatora w obwodzie oscylacyjnym będzie się zmieniać zgodnie z prawem harmonicznym
gdzie jest maksymalną wartością ładunku na kondensatorze, jest częstotliwością cykliczną, jest początkową fazą oscylacji.
Okres oscylacji ładunku 
. Wyrażenie to nazywa się formułą Thompsona.
Napięcie kondensatora
Prąd obwodu
Widzimy, że oprócz ładunku na kondensatorze, zgodnie z prawem harmonicznym, zmienią się również prąd w obwodzie i napięcie na kondensatorze. Napięcie oscyluje w fazie z ładunkiem, a siła prądu prowadzi ładunek
faza włączona.
Energia pole elektryczne kondensator
Energia pole magnetyczne aktualny
Zatem energie pól elektrycznych i magnetycznych również zmieniają się zgodnie z prawem harmonicznym, ale z dwukrotnie większą częstotliwością.
Podsumować
Oscylacje elektryczne należy rozumieć jako okresowe zmiany ładunku, napięcia, prądu, energii pola elektrycznego i energii pola magnetycznego. Drgania te, podobnie jak drgania mechaniczne, mogą być swobodne lub wymuszone, harmoniczne i nieharmoniczne. W idealnym obwodzie oscylacyjnym możliwe są wolne harmoniczne oscylacje elektryczne.
§2 Procesy zachodzące w obwodzie oscylacyjnym
Udowodniliśmy matematycznie istnienie oscylacji wolnych harmonicznych w obwodzie oscylacyjnym. Nie jest jednak jasne, dlaczego taki proces jest możliwy. Co powoduje oscylacje w obwodzie?
W przypadku swobodnych drgań mechanicznych znaleziono taką przyczynę - jest to siła wewnętrzna powstająca przy wyjmowaniu układu z położenia równowagi. Siła ta w dowolnym momencie jest skierowana w stronę położenia równowagi i jest proporcjonalna do współrzędnej ciała (ze znakiem minus). Spróbujmy znaleźć podobną przyczynę występowania oscylacji w obwodzie oscylacyjnym.
Pozwól, aby oscylacje w obwodzie wzbudziły się, ładując kondensator i zwierając go do cewki.
W początkowej chwili ładunek kondensatora jest maksymalny. W związku z tym napięcie i energia pola elektrycznego kondensatora są również maksymalne.
W obwodzie nie ma prądu, energia pola magnetycznego prądu wynosi zero.
Pierwszy kwartał okresu– rozładowanie kondensatora.
Płytki kondensatora o różnych potencjałach są połączone przewodem, więc kondensator zaczyna się rozładowywać przez cewkę. Zmniejsza się ładunek, napięcie na kondensatorze i energia pola elektrycznego.
Prąd pojawiający się w obwodzie wzrasta, jednak jego wzrostowi zapobiega samoindukcja emf występująca w cewce. Energia pola magnetycznego prądu wzrasta.
Minęła jedna czwarta okresu- kondensator jest rozładowany.
Kondensator został rozładowany, napięcie na nim stało się równe zeru. Energia pola elektrycznego w tym momencie również wynosi zero. Zgodnie z prawem zachowania energii nie może zniknąć. Energia pola kondensatora jest całkowicie przekształcana w energię pola magnetycznego cewki, która w tym momencie osiąga wartość maksymalną. Maksymalny prąd w obwodzie.
Wydawać by się mogło, że w tym momencie prąd w obwodzie powinien się zatrzymać, gdyż zniknęła przyczyna prądu – pole elektryczne. Jednakże zanikowi prądu ponownie zapobiega samoindukcyjne pole elektromagnetyczne w cewce. Teraz będzie podtrzymywał malejący prąd i będzie nadal płynął w tym samym kierunku, ładując kondensator. Rozpoczyna się drugi kwartał okresu.
Drugi kwartał okresu
– ładowanie kondensatora.
Prąd, wspomagany przez samoindukcję emf, nadal płynie w tym samym kierunku, stopniowo maleje. Prąd ten ładuje kondensator o przeciwnej polaryzacji. Zwiększa się ładunek i napięcie na kondensatorze.
Energia pola magnetycznego prądu, zmniejszając się, zamienia się w energię pola elektrycznego kondensatora.
Minął drugi kwartał tego okresu - kondensator został naładowany.
Kondensator ładuje się tak długo, jak długo istnieje prąd. Dlatego w momencie ustania prądu ładunek i napięcie na kondensatorze przyjmują wartość maksymalną.
Energia pola magnetycznego w tym momencie została całkowicie zamieniona na energię pola elektrycznego kondensatora.
Sytuacja w obwodzie w tym momencie jest równoważna pierwotnej. Procesy w obwodzie będą się powtarzać, ale w przeciwnym kierunku. Jedna pełna oscylacja w obwodzie, trwająca pewien okres, zakończy się, gdy system powróci do stanu pierwotnego, to znaczy, gdy kondensator zostanie ponownie naładowany w pierwotnej polaryzacji.
Łatwo zauważyć, że przyczyną oscylacji w obwodzie jest zjawisko samoindukcji. Samoindukcyjne pole elektromagnetyczne zapobiega zmianom prądu: zapobiega jego natychmiastowemu wzrostowi i natychmiastowemu zanikowi.
Nawiasem mówiąc, nie byłoby błędem porównanie wyrażeń do obliczania siły quasi-sprężystej w mechanicznym układzie oscylacyjnym i emf samoindukcji w obwodzie:
Wcześniej uzyskano równania różniczkowe dla mechanicznych i elektrycznych układów oscylacyjnych:
Pomimo zasadniczych różnic w procesach fizycznych mechanicznych i elektrycznych układów oscylacyjnych, wyraźnie widoczna jest matematyczna tożsamość równań opisujących procesy zachodzące w tych układach. Powinniśmy porozmawiać o tym bardziej szczegółowo.
§3 Analogia pomiędzy wibracjami elektrycznymi i mechanicznymi
Dokładna analiza równań różniczkowych wahadła sprężystego i obwodu oscylacyjnego oraz wzorów łączących wielkości charakteryzujące procesy w tych układach pozwala zidentyfikować, które wielkości zachowują się tak samo (tabela 2).
| Wahadło sprężynowe | Obwód oscylacyjny |
| Współrzędna ciała() | Ładunek na kondensatorze () |
| Prędkość ciała | Siła prądu w obwodzie |
| Energia potencjalna sprężyście odkształconej sprężyny | Energia pola elektrycznego kondensatora |
| Energia kinetyczna ładunku | Energia pola magnetycznego cewki prądowej |
| Odwrotność sztywności sprężyny | Pojemność kondensatora |
| Waga ładunku | Indukcyjność cewki |
Siła sprężystości  | Samoindukcja emf równa napięciu na kondensatorze  |
Tabela 2
Istotna jest nie tylko formalna zbieżność wielkości opisujących procesy drgań wahadła i procesów zachodzących w obwodzie. Same procesy są identyczne!
Skrajne położenia wahadła odpowiadają stanowi obwodu, w którym ładunek na kondensatorze jest maksymalny.
Położenie równowagi wahadła jest równoważne stanowi obwodu, gdy kondensator jest rozładowany. W tym momencie siła sprężystości staje się zerowa, a na kondensatorze w obwodzie nie ma napięcia. Prędkość wahadła i prąd w obwodzie są maksymalne. Energia potencjalna odkształcenia sprężystego sprężyny i energia pola elektrycznego kondensatora są równe zeru. Energia układu składa się z energii kinetycznej ładunku lub energii pola magnetycznego prądu.
Rozładowanie kondensatora przebiega podobnie do ruchu wahadła od jego skrajnego położenia do położenia równowagi. Proces ładowania kondensatora jest identyczny z procesem usuwania obciążenia z położenia równowagi do położenia skrajnego.
Całkowita energia układu oscylacyjnego 
Lub 
pozostaje niezmieniona w czasie.
Podobną analogię można prześledzić nie tylko pomiędzy wahadłem sprężynowym a obwodem oscylacyjnym. Uniwersalne prawa drgań swobodnych dowolnej natury! Wzorce te, zilustrowane na przykładzie dwóch układów oscylacyjnych (wahadło sprężynowe i obwód oscylacyjny), są nie tylko możliwe, ale musisz zobaczyć w oscylacjach dowolnego układu.
W zasadzie możliwe jest rozwiązanie problemu dowolnego procesu oscylacyjnego poprzez zastąpienie go oscylacjami wahadłowymi. Aby to zrobić, wystarczy kompetentnie skonstruować równoważny układ mechaniczny, rozwiązać problem mechaniczny i zastąpić ilości w wyniku końcowym. Na przykład musisz znaleźć okres oscylacji w obwodzie zawierającym kondensator i dwie cewki połączone równolegle.
Obwód oscylacyjny zawiera jeden kondensator i dwie cewki. Ponieważ cewka zachowuje się jak ciężar wahadła sprężynowego, a kondensator jak sprężyna, równoważny układ mechaniczny musi zawierać jedną sprężynę i dwa obciążniki. Problem polega na tym, jak obciążniki są przymocowane do sprężyny. Możliwe są dwa przypadki: jeden koniec sprężyny jest nieruchomy, a jeden obciążnik jest przymocowany do wolnego końca, drugi jest do pierwszego, lub też obciążniki są przymocowane do różne końcówki sprężyny.
Kiedy cewki o różnych indukcyjnościach są połączone równolegle, przepływają przez nie różne prądy. W związku z tym prędkości obciążeń w identycznym układzie mechanicznym również muszą być różne. Oczywiście jest to możliwe tylko w drugim przypadku.
Znalezliśmy już okres tego układu oscylacyjnego. To jest równe 
. Zastępując masy obciążeń indukcyjnością cewek i odwrotność sztywności sprężyny pojemnością kondensatora, otrzymujemy 
.
§4 Obwód oscylacyjny ze źródłem prądu stałego
Rozważmy obwód oscylacyjny zawierający źródło prądu stałego. Niech kondensator będzie początkowo nienaładowany. Co stanie się w systemie po zamknięciu klucza K? Czy w tym przypadku będą obserwowane oscylacje oraz jaka jest ich częstotliwość i amplituda?
Oczywiście po zamknięciu kluczyka kondensator zacznie się ładować. Zapisujemy drugie prawo Kirchhoffa:
Prąd w obwodzie jest zatem prądem ładowania kondensatora. Następnie . Równanie różniczkowe zostaje przekształcone do postaci
*Równanie rozwiązujemy zmieniając zmienne.
Oznaczmy . Różniczkujemy dwukrotnie i biorąc pod uwagę fakt, że , otrzymujemy . Równanie różniczkowe przyjmuje postać
Jest to równanie różniczkowe oscylacji harmonicznych, jego rozwiązaniem jest funkcja
gdzie jest częstotliwością cykliczną, stałymi całkowania i wynika z warunków początkowych.
Ładunek kondensatora zmienia się zgodnie z prawem
Natychmiast po zamknięciu kluczyka ładunek na kondensatorze wynosi zero, a w obwodzie nie ma prądu 
. Uwzględniając warunki początkowe otrzymujemy układ równań:
Rozwiązując układ, otrzymujemy i . Po zamknięciu kluczyka ładunek kondensatora zmienia się zgodnie z prawem.
Łatwo zauważyć, że w obwodzie występują oscylacje harmoniczne. Obecność źródła prądu stałego w obwodzie nie miała wpływu na częstotliwość oscylacji, pozostała równa. Zmieniła się „pozycja równowagi” - w momencie, gdy prąd w obwodzie jest maksymalny, kondensator jest ładowany. Amplituda oscylacji ładunku na kondensatorze jest równa Cε.
Ten sam wynik można uzyskać prościej, stosując analogię między oscylacjami w obwodzie a oscylacjami wahadła sprężynowego. Źródło prądu stałego jest równoważne prądowi stałemu pole siłowe, w którym umieszczone jest wahadło sprężyste, np. pole grawitacyjne. Brak ładunku na kondensatorze w chwili zamknięcia obwodu jest identyczny z brakiem odkształcenia sprężyny w chwili wprowadzenia wahadła w ruch oscylacyjny.
W stałym polu siłowym okres drgań wahadła sprężynowego nie zmienia się. Okres oscylacji w obwodzie zachowuje się tak samo - pozostaje niezmieniony, gdy do obwodu zostanie wprowadzone źródło prądu stałego.
W położeniu równowagi, gdy prędkość obciążenia jest maksymalna, sprężyna ulega odkształceniu:
Gdy prąd w obwodzie oscylacyjnym jest maksymalny 
. Drugie prawo Kirchhoffa zostanie zapisane w następujący sposób
W tym momencie ładunek na kondensatorze jest równy. Ten sam wynik można uzyskać na podstawie wyrażenia (*) dokonując zamiany
§5 Przykłady rozwiązywania problemów
Problem 1 Prawo zachowania energii
L= 0,5 µH i kondensator o pojemności Z= Występują oscylacje elektryczne o wartości 20 pF. Jakie jest maksymalne napięcie na kondensatorze, jeśli amplituda prądu w obwodzie wynosi 1 mA? Aktywny opór cewki jest znikomy.
Rozwiązanie:
(1)
2 W chwili, gdy napięcie na kondensatorze jest maksymalne (maksymalny ładunek na kondensatorze), w obwodzie nie ma prądu. Całkowita energia układu składa się wyłącznie z energii pola elektrycznego kondensatora
(2)
3 W momencie, gdy prąd w obwodzie jest maksymalny, kondensator jest całkowicie rozładowany. Całkowita energia układu składa się wyłącznie z energii pola magnetycznego cewki
(3)
4 Na podstawie wyrażeń (1), (2), (3) otrzymujemy równość 
. Maksymalne napięcie na kondensatorze wynosi
Problem 2 Prawo zachowania energii
W obwodzie oscylacyjnym składającym się z cewki indukcyjnej L i kondensator o pojemności Z, oscylacje elektryczne występują z okresem T = 1 μs. Maksymalna wartość ładunku 
. Jaki jest prąd w obwodzie w chwili, gdy ładunek na kondensatorze jest równy? Aktywny opór cewki jest znikomy.
Rozwiązanie:
1 Ponieważ można pominąć rezystancję czynną cewki, całkowita energia układu, składająca się z energii pola elektrycznego kondensatora i energii pola magnetycznego cewki, pozostaje niezmieniona w czasie:
(1)
2 W chwili, gdy ładunek na kondensatorze jest maksymalny, w obwodzie nie ma prądu. Całkowita energia układu składa się wyłącznie z energii pola elektrycznego kondensatora
(2)
3 Na podstawie (1) i (2) otrzymujemy równość 
. Prąd w obwodzie wynosi 
.
4 Okres oscylacji w obwodzie jest określony wzorem Thomsona. Stąd. Następnie dla prądu w obwodzie otrzymujemy
Problem 3 Obwód oscylacyjny z dwoma równolegle połączonymi kondensatorami
W obwodzie oscylacyjnym składającym się z cewki indukcyjnej L i kondensator o pojemności Z, oscylacje elektryczne występują wraz z amplitudą ładunku. W chwili, gdy poziom naładowania kondensatora jest maksymalny, przełącznik K jest zamknięty. Jaki będzie okres oscylacji w obwodzie po zamknięciu kluczyka? Jaka jest amplituda prądu w obwodzie po zamknięciu wyłącznika? Pomiń rezystancję omową obwodu.
Rozwiązanie:
1 Zamknięcie kluczyka powoduje pojawienie się w obwodzie kolejnego kondensatora, połączonego równolegle z pierwszym. Całkowita pojemność dwóch równolegle połączonych kondensatorów jest równa.
Okres drgań w obwodzie zależy wyłącznie od jego parametrów, a nie od tego, w jaki sposób drgania zostały wzbudzone w układzie i jaka energia została w tym celu przekazana układowi. Według wzoru Thomsona.
2 Aby znaleźć amplitudę prądu, dowiedzmy się, jakie procesy zachodzą w obwodzie po zamknięciu wyłącznika.
Drugi kondensator został podłączony w momencie, gdy ładunek na pierwszym kondensatorze był maksymalny, dlatego w obwodzie nie było prądu.
Kondensator pętli powinien zacząć się rozładowywać. Prąd rozładowania po dotarciu do węzła należy podzielić na dwie części. Jednakże w odgałęzieniu z cewką powstaje samoindukcyjne pole elektromagnetyczne, które zapobiega wzrostowi prądu rozładowania. Z tego powodu cały prąd rozładowania popłynie do gałęzi z kondensatorem, którego rezystancja omowa wynosi zero. Prąd ustanie, gdy tylko napięcia na kondensatorach zrównają się, a początkowy ładunek na kondensatorze zostanie rozdzielony pomiędzy oba kondensatory. Czas redystrybucji ładunku pomiędzy dwoma kondensatorami jest znikomy ze względu na brak rezystancji omowej w gałęziach z kondensatorami. W tym czasie prąd w odgałęzieniu z cewką nie będzie miał czasu powstać. Wahania w nowy system będzie kontynuowany po redystrybucji ładunku pomiędzy kondensatorami.
Ważne jest, aby zrozumieć, że w procesie redystrybucji ładunku pomiędzy dwoma kondensatorami energia układu nie jest zachowywana! Przed zamknięciem kluczyka jeden kondensator, obwód, miał energię:
Po redystrybucji ładunku bateria kondensatorów ma energię:
Łatwo zauważyć, że energia układu spadła!
3 Nową amplitudę prądu wyznaczamy korzystając z prawa zachowania energii. Podczas procesu oscylacji energia baterii kondensatorów zamieniana jest na energię pola magnetycznego prądu:
Należy pamiętać, że prawo zachowania energii zaczyna „działać” dopiero po zakończeniu redystrybucji ładunku między kondensatorami.
Problem 4 Obwód oscylacyjny z dwoma kondensatorami połączonymi szeregowo
Obwód oscylacyjny składa się z cewki o indukcyjności L i dwóch połączonych szeregowo kondensatorów C i 4C. Kondensator o pojemności C jest ładowany do napięcia, kondensator o pojemności 4C nie jest ładowany. Po zamknięciu klucza w obwodzie rozpoczynają się oscylacje. Jaki jest okres tych oscylacji? Określ amplitudę prądu, maksymalne i minimalne wartości napięcia na każdym kondensatorze.
Rozwiązanie:
1 W momencie, gdy prąd w obwodzie jest maksymalny, w cewce nie ma samoindukcyjnego emf 
. W tym momencie zapisujemy drugie prawo Kirchhoffa
Widzimy, że w momencie, gdy prąd w obwodzie jest maksymalny, kondensatory są ładowane do tego samego napięcia, ale w przeciwnej polaryzacji:
2 Przed zamknięciem wyłącznika na całkowitą energię układu składała się wyłącznie energia pola elektrycznego kondensatora C:
W momencie, gdy prąd w obwodzie jest maksymalny, energia układu jest sumą energii pola magnetycznego prądu i energii dwóch kondensatorów naładowanych do tego samego napięcia:
Zgodnie z prawem zachowania energii
Aby znaleźć napięcie na kondensatorach, skorzystamy z prawa zachowania ładunku - ładunek dolnej płyty kondensatora C jest częściowo przenoszony na górną płytkę kondensatora 4C:
Podstawiamy znalezioną wartość napięcia do prawa zachowania energii i znajdujemy amplitudę prądu w obwodzie:
3 Znajdźmy granice, w jakich zmienia się napięcie na kondensatorach podczas oscylacji.
Oczywiste jest, że w momencie zamknięcia obwodu na kondensatorze C było maksymalne napięcie. Kondensator 4C nie został zatem naładowany.
Po zamknięciu kluczyka kondensator C zaczyna się rozładowywać, a kondensator o pojemności 4C zaczyna się ładować. Proces rozładowywania pierwszego i ładowania drugiego kondensatora kończy się, gdy tylko ustanie prąd w obwodzie. Nastąpi to po połowie okresu. Zgodnie z prawami zachowania energii i ładunku elektrycznego:
Rozwiązując układ znajdujemy:
.
Znak minus oznacza, że po połowie cyklu kondensator C jest ładowany w przeciwnej polaryzacji do pierwotnej.
Problem 5 Obwód oscylacyjny z dwiema cewkami połączonymi szeregowo
Obwód oscylacyjny składa się z kondensatora o pojemności C i dwóch cewek indukcyjnych L 1 I L 2. W momencie, gdy prąd w obwodzie osiągnie wartość maksymalną, do pierwszej cewki szybko (w porównaniu z okresem oscylacji) wprowadza się żelazny rdzeń, co powoduje μ-krotny wzrost jego indukcyjności. Jaka będzie amplituda napięcia podczas dalszych oscylacji w obwodzie?
Rozwiązanie:
1 Gdy rdzeń zostanie szybko włożony do cewki, strumień magnetyczny musi zostać utrzymany (zjawisko Indukcja elektromagnetyczna). Dlatego doprowadzi to do szybkiej zmiany indukcyjności jednej z cewek szybka zmiana prąd w obwodzie.
2 W czasie wprowadzenia rdzenia do cewki ładunek na kondensatorze nie miał czasu się zmienić; pozostawał on nienaładowany (rdzeń został wprowadzony w momencie, gdy prąd w obwodzie był maksymalny). Po ćwierć okresu energia pola magnetycznego prądu zamieni się w energię naładowanego kondensatora:
Podstawiamy bieżącą wartość do wynikowego wyrażenia I i znajdź amplitudę napięcia na kondensatorze:
Problem 6 Obwód oscylacyjny z dwiema cewkami połączonymi równolegle
Cewki indukcyjne L 1 i L 2 są połączone poprzez przełączniki K1 i K2 z kondensatorem o pojemności C. W początkowej chwili oba przełączniki są otwarte, a kondensator jest ładowany do różnicy potencjałów. Najpierw przełącznik K1 jest zamknięty, a gdy napięcie na kondensatorze spadnie do zera, K2 zostaje zamknięty. Określ maksymalne napięcie na kondensatorze po zamknięciu K2. Pomiń rezystancję cewki.
Rozwiązanie:
1 Gdy przełącznik K2 jest otwarty, w obwodzie składającym się z kondensatora i pierwszej cewki występują oscylacje. Do czasu zamknięcia K2 energia kondensatora została przeniesiona na energię pola magnetycznego prądu w pierwszej cewce:
2 Po zamknięciu K2 w obwodzie oscylacyjnym znajdują się dwie cewki połączone równolegle.
Prąd w pierwszej cewce nie może się zatrzymać ze względu na zjawisko samoindukcji. W węźle jest on podzielony: jedna część prądu trafia do drugiej cewki, a druga ładuje kondensator.
3 Napięcie na kondensatorze będzie maksymalne, gdy prąd ustanie I, ładowanie kondensatora. Oczywiście w tym momencie prądy w cewkach będą równe.
:Wahadło porusza się do przodu z prędkością środka masy 
i oscyluje względem środka masy.
Siła sprężystości jest największa w momencie maksymalnego odkształcenia sprężyny. Oczywiście w tym momencie prędkość względna ładunków staje się zerowa, a ciężarki względem stołu poruszają się z prędkością środka masy. Zapisujemy prawo zachowania energii:
Znajdujemy rozwiązanie układu
Robimy zamiennik
i otrzymujemy wcześniej znalezioną wartość maksymalnego napięcia 
§6 Zadania do samodzielnego rozwiązania
Ćwiczenie 1 Obliczanie okresu i częstotliwości drgań własnych
1 Obwód oscylacyjny zawiera cewkę o zmiennej indukcyjności, która zmienia się wewnątrz L 1= 0,5 µH do L 2= 10 µH i kondensator, którego pojemność może się różnić C 1= 10 pF do
C 2=500 pF. Jaki zakres częstotliwości można objąć strojeniem tego obwodu?
2 Ile razy zmieni się częstotliwość drgań własnych w obwodzie, jeśli jego indukcyjność wzrośnie 10 razy, a pojemność zmniejszy się 2,5 razy?
3 Obwód oscylacyjny z kondensatorem 1 µF jest dostrojony do częstotliwości 400 Hz. Jeśli podłączysz do niego równolegle drugi kondensator, częstotliwość oscylacji w obwodzie stanie się równa 200 Hz. Określ pojemność drugiego kondensatora.
4 Obwód oscylacyjny składa się z cewki i kondensatora. Ile razy zmieni się częstotliwość drgań własnych w obwodzie, jeśli do obwodu zostanie podłączony szeregowo drugi kondensator, którego pojemność jest 3 razy mniejsza niż pojemność pierwszego?
5 Wyznacz okres drgań obwodu, który obejmuje cewkę (bez rdzenia) o długości V= 50 cm m powierzchni przekroju poprzecznego
S= 3 cm 2, mając N= 1000 zwojów i pojemność kondensatora Z= 0,5 µF.
6 Obwód oscylacyjny zawiera cewkę indukcyjną L= 1,0 µH i kondensator powietrzny, którego powierzchnia płytki S= 100 cm2. Obwód jest dostrojony do częstotliwości 30 MHz. Określ odległość między płytami. Aktywny opór obwodu jest znikomy.
Naładuj kondensator z akumulatora i podłącz go do cewki. W utworzonym przez nas konturze wibracje elektromagnetyczne(ryc. 46). Prąd rozładowania kondensatora przechodząc przez cewkę wytwarza wokół niego pole magnetyczne. Oznacza to, że podczas rozładowywania kondensatora energia jego pola elektrycznego zamienia się w energię pola magnetycznego cewki, podobnie jak podczas drgań wahadła lub struny energia potencjalna przekształca się w energię kinetyczną.
W miarę rozładowywania kondensatora napięcie na jego płytkach spada, a prąd w obwodzie wzrasta, a do czasu całkowitego rozładowania kondensatora prąd będzie maksymalny (amplituda prądu). Ale nawet po zakończeniu rozładowania kondensatora prąd nie zatrzyma się - malejące pole magnetyczne cewki utrzyma ruch ładunków i ponownie zaczną się one gromadzić na płytkach kondensatora. W takim przypadku prąd w obwodzie maleje, a napięcie na kondensatorze wzrasta. Ten proces odwrotnego przejścia energii pola magnetycznego cewki na energię pola elektrycznego kondensatora przypomina nieco to, co dzieje się, gdy wahadło po minięciu punktu środkowego unosi się w górę.
Do czasu ustania prądu w obwodzie i zaniku pola magnetycznego cewki, kondensator zostanie naładowany do maksymalnego (amplitudy) napięcia o odwrotnej polaryzacji. To drugie oznacza, że na płycie, na której wcześniej znajdowały się ładunki dodatnie, teraz będą ładunki ujemne i odwrotnie. Dlatego też, gdy rozładowywanie kondensatora zacznie się ponownie (a stanie się to natychmiast po jego całkowitym naładowaniu), w obwodzie popłynie prąd w przeciwnym kierunku.
Okresowo powtarzająca się wymiana energii pomiędzy kondensatorem a cewką reprezentuje oscylacje elektromagnetyczne w obwodzie. Podczas tych oscylacji w obwodzie płynie prąd przemienny (to znaczy nie tylko wielkość, ale także kierunek zmian prądu), a na kondensator działa napięcie przemienne (to znaczy zmienia się nie tylko wielkość napięcia, ale także także polaryzacja ładunków gromadzących się na płytach). Jeden z kierunków napięcia prądu nazywa się umownie dodatnim, a kierunek przeciwny nazywany jest ujemnym.
Obserwując zmiany napięcia lub prądu, można zbudować wykres oscylacji elektromagnetycznych w obwodzie (ryc. 46), podobnie jak zbudowaliśmy wykres drgań mechanicznych wahadła (). Na wykresie dodatnie wartości prądu lub napięcia są wykreślone powyżej osi poziomej, a ujemne prądy lub napięcia poniżej tej osi. Ta połowa okresu, w którym prąd płynie w kierunku dodatnim, nazywana jest często dodatnim półcyklem prądu, a druga połowa - ujemnym półcyklem prądu. Można także mówić o dodatnich i ujemnych półcyklach napięcia.
Jeszcze raz chciałbym podkreślić, że słów „pozytywny” i „negatywny” używamy całkowicie warunkowo, tylko po to, aby rozróżnić dwa przeciwne kierunki prądu.
Oscylacje elektromagnetyczne, które znamy, nazywane są oscylacjami swobodnymi lub naturalnymi. Występują one zawsze, gdy przekażemy do obwodu pewną ilość energii, a następnie pozwolimy, aby kondensator i cewka swobodnie wymieniały tę energię. Częstotliwość swobodnych oscylacji (to znaczy częstotliwość napięcia i prądu przemiennego w obwodzie) zależy od tego, jak szybko kondensator i cewka mogą magazynować i uwalniać energię. To z kolei zależy od indukcyjności Lk i pojemności Ck obwodu, tak jak częstotliwość drgań struny zależy od jej masy i sprężystości. Im większa indukcyjność L cewki, tym więcej czasu potrzeba na wytworzenie w niej pola magnetycznego i tym dłużej to pole magnetyczne może utrzymać prąd w obwodzie. Im większa pojemność C kondensatora, tym dłużej trwa rozładowywanie i tym dłużej trwa ładowanie tego kondensatora. Zatem im większe Lk i Ck obwodu, tym wolniej występują w nim oscylacje elektromagnetyczne, tym niższa jest ich częstotliwość. Zależność częstotliwości fo swobodnych oscylacji L do i C do obwodu wyraża się prostym wzorem, który jest jednym z podstawowych wzorów radiotechniki:
Znaczenie tego wzoru jest niezwykle proste: aby zwiększyć częstotliwość naturalnych oscylacji f 0, należy zmniejszyć indukcyjność L k lub pojemność C k obwodu; aby zmniejszyć f 0, należy zwiększyć indukcyjność i pojemność (rysunek 47).
Ze wzoru na częstotliwość można łatwo wyprowadzić (zrobiliśmy to już korzystając ze wzoru na prawo Ohma) wzory obliczeniowe umożliwiające wyznaczenie jednego z parametrów obwodu L k lub C k przy zadanej częstotliwości f0 i znanym drugim parametrze. Wzory dogodne do praktycznych obliczeń podano na arkuszach 73, 74 i 75.
Swobodne oscylacje elektromagnetyczne Są to okresowe zmiany ładunku na kondensatorze, prądu w cewce oraz pól elektrycznych i magnetycznych w obwodzie oscylacyjnym, które zachodzą pod wpływem sił wewnętrznych.
Ciągłe oscylacje elektromagnetyczne
Służy do wzbudzania oscylacji elektromagnetycznych obwód oscylacyjny , składający się z cewki indukcyjnej L połączonej szeregowo i kondensatora o pojemności C (ryc. 17.1).
Rozważmy obwód idealny, czyli taki, którego rezystancja omowa wynosi zero (R=0). Aby wzbudzić oscylacje w tym obwodzie, konieczne jest albo przekazanie określonego ładunku płytkom kondensatora, albo wzbudzenie prądu w cewce indukcyjnej. Niech w początkowej chwili kondensator zostanie naładowany do różnicy potencjałów U (ryc. (ryc. 17.2, a), dlatego ma energię potencjalną 
.W tym momencie prąd w cewce I = 0 .
Ten stan obwodu oscylacyjnego jest podobny do stanu wahadła matematycznego odchylonego o kąt α (ryc. 17.3, a). W tym momencie prąd w cewce wynosi I=0. Po podłączeniu naładowanego kondensatora do cewki, pod wpływem pola elektrycznego wytworzonego przez ładunki na kondensatorze, wolne elektrony w obwodzie zaczną przemieszczać się z ujemnie naładowanej płytki kondensatora na dodatnio naładowaną płytkę. Kondensator zacznie się rozładowywać, a w obwodzie pojawi się rosnący prąd. Zmienne pole magnetyczne tego prądu wytworzy wir elektryczny. To pole elektryczne będzie skierowane przeciwnie do prądu i dlatego nie pozwoli mu natychmiast osiągnąć maksymalnej wartości. Prąd będzie stopniowo wzrastał. Kiedy siła w obwodzie osiąga maksimum, ładunek na kondensatorze i napięcie między płytami wynoszą zero. Nastąpi to po upływie jednej czwartej okresu t = π/4. Jednocześnie energia e 
pole elektryczne zamienia się w energię pola magnetycznego W e =1/2C U 2 0. W tym momencie na dodatnio naładowaną płytkę kondensatora zostanie do niego przeniesionych tak wiele elektronów, że ich ładunek ujemny całkowicie neutralizuje dodatni ładunek obecnych tam jonów. Prąd w obwodzie zacznie się zmniejszać, a indukcja wytwarzanego przez niego pola magnetycznego zacznie się zmniejszać. Zmieniające się pole magnetyczne ponownie wygeneruje wir elektryczny, który tym razem będzie skierowany w tym samym kierunku co prąd. Prąd obsługiwany przez to pole będzie płynął w tym samym kierunku i stopniowo ładował kondensator. Jednakże w miarę gromadzenia się ładunku na kondensatorze jego własne pole elektryczne będzie w coraz większym stopniu hamować ruch elektronów, a natężenie prądu w obwodzie będzie coraz mniejsze. Gdy prąd spadnie do zera, kondensator zostanie całkowicie przeładowany.
Stany układu pokazane na rys. 17.2 i 17.3 odpowiadają kolejnym momentom w czasie T
= 0;
;
;
I T.
Samoindukcyjny emf powstający w obwodzie jest równy napięciu na płytkach kondensatora: ε = U
I 
Wierzyć 
, otrzymujemy
(17.1)
Wzór (17.1) jest podobny do równania różniczkowego drgań harmonicznych rozpatrywanego w mechanice; będzie jego decyzja
q = q max sin(ω 0 t+φ 0) (17,2)
gdzie q max to największy (początkowy) ładunek na płytkach kondensatora, ω 0 to częstotliwość kołowa drgań własnych obwodu, φ 0 to faza początkowa.
Zgodnie z przyjętą notacją, 
Gdzie
(17.3)
Wywołuje się wyrażenie (17.3). Wzór Thomsona i pokazuje, że gdy R=0, o okresie drgań elektromagnetycznych powstających w obwodzie decydują jedynie wartości indukcyjności L i pojemności C.
Zgodnie z prawem harmonicznym zmienia się nie tylko ładunek na płytkach kondensatora, ale także napięcie i prąd w obwodzie:
gdzie U m i I m są amplitudami napięcia i prądu.
Z wyrażeń (17.2), (17.4), (17.5) wynika, że oscylacje ładunku (napięcia) i prądu w obwodzie są przesunięte fazowo o π/2. W rezultacie prąd osiąga swoją maksymalną wartość w tych momentach, gdy ładunek (napięcie) na płytkach kondensatora wynosi zero i odwrotnie.
Kiedy kondensator jest naładowany, pomiędzy jego płytkami pojawia się pole elektryczne, którego energia
Lub 
Kiedy kondensator jest rozładowywany na cewce, powstaje w nim pole magnetyczne, którego energia
W idealnym obwodzie maksymalna energia pola elektrycznego jest równa maksymalnej energii pola magnetycznego:
Energia naładowanego kondensatora zmienia się okresowo w czasie, zgodnie z obowiązującym prawem
Lub 
Biorąc pod uwagę, że 
, otrzymujemy
Energia pola magnetycznego solenoidu zmienia się w czasie zgodnie z prawem
(17.6)
Biorąc pod uwagę, że I m =q m ω 0, otrzymujemy
(17.7)
Całkowita energia pola elektromagnetycznego obwodu oscylacyjnego jest równa
W = W mi + W m = (17,8)
W idealnym obwodzie całkowita energia jest zachowana, a oscylacje elektromagnetyczne nie są tłumione.
Tłumione oscylacje elektromagnetyczne
Prawdziwy obwód oscylacyjny ma rezystancję omową, więc występujące w nim oscylacje są tłumione. W odniesieniu do tego obwodu zapisujemy prawo Ohma dla całego obwodu w postaci
(17.9)
Przekształcając tę równość:
i dokonanie zamiany:
I 
, gdzie otrzymujemy współczynnik tłumienia β
(17.10) - to równanie różniczkowe tłumionych drgań elektromagnetycznych
.
Proces swobodnych oscylacji w takim obwodzie nie podlega już prawu harmonicznemu. W każdym okresie oscylacji część energii elektromagnetycznej zgromadzonej w obwodzie jest zamieniana na ciepło Joule'a, a oscylacje stają się zblakły(ryc. 17.5). Dla małych tłumień ω ≈ ω 0 rozwiązaniem równania różniczkowego będzie równanie postaci
(17.11)
Tłumione drgania w obwodzie elektrycznym są podobne do tłumionych drgań mechanicznych obciążenia na sprężynie w obecności tarcia lepkiego.
Logarytmiczny ubytek tłumienia jest równy
(17.12)
Przedział czasowy 
podczas którego amplituda oscylacji maleje o e ≈ 2,7 razy czas zaniku
.
Współczynnik jakości Q układu oscylacyjnego określone wzorem:
(17.13)
W przypadku obwodu RLC współczynnik jakości Q wyraża się wzorem
(17.14)
Współczynnik jakości obwodów elektrycznych stosowanych w radiotechnice jest zwykle rzędu kilkudziesięciu, a nawet setek.
1. Obwód oscylacyjny.
2 Równanie obwodu oscylacyjnego
3. Drgania swobodne w obwodzie
4. Swobodne tłumione oscylacje w obwodzie
5. Wymuszone oscylacje elektryczne.
6. Rezonans w obwodzie szeregowym
7. Rezonans w obwodzie równoległym
8. Prąd przemienny
1. 5.1. Obwód oscylacyjny.
Przekonajmy się, jak powstają i utrzymują się oscylacje elektryczne w obwodzie oscylacyjnym.
Niech najpierw Górna płyta kondensatora jest naładowana dodatnio ,a dolny jest ujemny(ryc. 11.1, A).
W tym przypadku cała energia obwodu oscylacyjnego jest skoncentrowana w kondensatorze.
Zamknijmy klucz DO.. Kondensator zacznie się rozładowywać i przez cewkę L popłynie prąd. Energia elektryczna kondensatora zacznie przekształcać się w energię magnetyczną cewki. Proces ten zakończy się, gdy kondensator zostanie całkowicie rozładowany, a prąd w obwodzie osiągnie maksimum (ryc. 11.1, B).
Od tego momentu prąd, bez zmiany kierunku, zacznie się zmniejszać. Jednak nie zatrzyma się od razu – będzie wspierany przez m.in. ds. samoindukcja. Prąd naładuje kondensator i powstanie pole elektryczne, które będzie osłabiać prąd. Wreszcie prąd ustanie, a ładunek na kondensatorze osiągnie maksimum.
Od tego momentu kondensator zacznie się ponownie rozładowywać, prąd będzie płynął w przeciwnym kierunku itd. – proces się powtórzy
W obwodzie w przypadku braku oporu dyrygenci zostaną przeprowadzeni ściśle okresowe oscylacje. Podczas tego procesu ładunek na płytkach kondensatora, napięcie na nim i prąd płynący przez cewkę okresowo się zmieniają.
Oscylacjom towarzyszą wzajemne przemiany energii pola elektrycznego i magnetycznego.
Jeśli rezystancja przewodów 
, wówczas oprócz opisanego procesu nastąpi konwersja energii elektromagnetycznej na ciepło Joule'a.
Rezystancja przewodu obwoduR zwykle tzwaktywny opór.
1.5.2. Równanie obwodu oscylacyjnego
Znajdźmy równanie oscylacji w obwodzie zawierającym kondensator połączony szeregowo Z, induktor L,
aktywny opór R
i zmienna zewnętrzna e. ds. 
(Rys. 1.5.1).
Wybierzmy dodatni kierunek przechodzenia po obwodzie, na przykład zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
Oznaczmy Poprzez Q ładunek tej płytki kondensatora, którego kierunek do drugiej płytki pokrywa się z wybranym dodatnim kierunkiem omijania obwodu.
Następnie określa się prąd w obwodzie jako 
(1)
Dlatego jeśli I > Och, to wszystko dq > 0 i odwrotnie (znak I pasuje do znaku dq).
Zgodnie z prawem Ohma dla odcinka obwodu 1 R.L.2
.
(2),
Gdzie 
- uh. ds. samoindukcja.
W naszym przypadku 
(podpisać Q
musi pasować do znaku różnicy 
, ponieważ C > 0).
Dlatego równanie (2) można przepisać jako 
lub biorąc pod uwagę (1) jako 
To jest to równanie obwodu oscylacyjnego
- liniowe równanie różniczkowe niejednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach. Znalezienie za pomocą tego równania Q(T),
możemy łatwo obliczyć napięcie na kondensatorze 
i natężenie prądu I- zgodnie ze wzorem (1).
Równanie obwodu oscylacyjnego można podać w innej postaci:
(5)
gdzie wprowadzono oznaczenie
.
(6)
Rozmiar 
- zwany naturalna frekwencja kontur,
β - współczynnik tłumienia.
Jeśli ξ = 0, wówczas zwykle nazywa się oscylacje bezpłatny.
- Na R = Och, zrobią to nietłumiony,
- Na R ≠0 - tłumione.
Rozważmy następujący obwód oscylacyjny. Założymy, że jego opór R jest tak mały, że można go pominąć.
Całkowita energia elektromagnetyczna obwodu oscylacyjnego w dowolnym momencie będzie równa sumie energii kondensatora i energii pola magnetycznego prądu. Do obliczenia tego zostanie wykorzystany następujący wzór:
W = L*i^2/2 + q^2/(2*C).
Całkowita energia elektromagnetyczna nie zmieni się w czasie, ponieważ nie ma strat energii przez opór. Chociaż jego składniki będą się zmieniać, zawsze będą się sumować w tej samej liczbie. Zapewnia to prawo zachowania energii.
Z tego możemy otrzymać równania opisujące swobodne oscylacje w elektrycznym obwodzie oscylacyjnym. Równanie będzie wyglądać następująco:
q"’ = -(1/(L*C))*q.
To samo równanie, aż do zapisu, otrzymuje się przy opisie drgań mechanicznych. Biorąc pod uwagę analogię pomiędzy tego typu drganiami, można zapisać wzór opisujący drgania elektromagnetyczne.
Częstotliwość i okres drgań elektromagnetycznych
Ale najpierw przyjrzyjmy się częstotliwości i okresowi oscylacji elektromagnetycznych. Wartość częstotliwości drgań własnych można ponownie otrzymać poprzez analogię z drganiami mechanicznymi. Współczynnik k/m będzie równy kwadratowi częstotliwości drgań własnych.
Dlatego w naszym przypadku kwadrat częstotliwości swobodne oscylacje będą równe 1/(L*C)
ω0 = 1/√(L*C).
Stąd okres wibracje swobodne:
T = 2*pi/ω0 = 2*pi*√(L*C).
Ta formuła nazywa się Wzory Thompsona. Wynika z tego, że okres oscylacji rośnie wraz ze wzrostem pojemności kondensatora lub indukcyjności cewki. Wnioski te są logiczne, ponieważ wraz ze wzrostem pojemności zwiększa się czas ładowania kondensatora, a wraz ze wzrostem indukcyjności siła prądu w obwodzie będzie rosła wolniej z powodu samoindukcji.
Równanie oscylacji ładunku kondensator opisuje następujący wzór:
q = qm*cos(ω0*t), gdzie qm jest amplitudą oscylacji ładunku kondensatora.
Natężenie prądu w obwodzie obwodu oscylacyjnego będzie również powodować oscylacje harmoniczne:
I = q’= Im*cos(ω0*t+pi/2).
Tutaj Im jest amplitudą wahań prądu. Należy zauważyć, że pomiędzy oscylacjami ładunku i natężeniem prądu istnieje różnica w wazonach równa pi/2.
Poniższy rysunek przedstawia wykresy tych wahań.
Znowu analogicznie do drgań mechanicznych, gdzie wahania prędkości ciała wyprzedzają wahania współrzędnych tego ciała o pi/2.
W warunkach rzeczywistych nie można pominąć rezystancji obwodu oscylacyjnego, dlatego oscylacje będą tłumione.
Przy bardzo dużej rezystancji R oscylacje mogą w ogóle się nie rozpocząć. W tym przypadku energia kondensatora jest uwalniana w postaci ciepła na oporze.