Dokaži izrek o razmerju ploščin podobnih trikotnikov. "razmerje ploščin podobnih trikotnikov"

Definicija in lastnosti podobnih trikotnikov

Števila a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n imenujemo sorazmerna s števili b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n, če velja enakost: a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = a 3 / b 3 = ... = a n /b n = k, kjer je k določeno število, ki se imenuje koeficient sorazmernosti.

Primer.Številke 6; 7,5 in 15 sta sorazmerna z -4; 5 in 10. Faktor sorazmernosti je -1,5, ker

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Sorazmernost števil velja, če so ta števila povezana z razmerjem.

Znano je, da je sorazmerje lahko sestavljeno iz vsaj štirih števil, zato je pojem sorazmernosti uporaben za vsaj štiri števila (en par števil je sorazmeren z drugim parom ali ena trojka števil je sorazmerna z drugo trojko itd.). .).

Razmislite o riž. eno dva trikotnika ABC in A 1 B 1 C 1 z enakimi koti v parih: A \u003d A 1, B \u003d B 1, C \u003d C 1.

Stranice, ki so nasproti enakim parom kotov obeh trikotnikov, se imenujejo podobno. Da, na riž. eno stranice AB in A 1 B 1 , AC in A 1 C 1 , BC in B 1 C 1 , podobne, ker ležijo nasproti enakih kotov trikotnikov ABC oziroma A 1 B 1 C 1 .

Določimo podobne trikotnike:

Dva trikotnika se imenujeta podobno, če sta njuna kota po parih enaka in sta podobni stranici sorazmerni.

Razmerje podobnih strani podobnih trikotnikov se imenuje koeficient podobnosti.

Podobni trikotniki so označeni takole: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Tako naprej riž. 2 imamo: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

koti A = A 1, B = B 1, C = C 1 in AB / A 1 B 1 = BC / B 1 C 1 = AC / A 1 C 1 = k, kjer je k podobnost koeficient. Od riž. 2 vidi se, da imajo podobni trikotniki enaka razmerja, razlikujejo pa se le v merilu.

Opomba 1: enaki trikotniki so si podobni s faktorjem 1.

Opomba 2: Pri označevanju podobnih trikotnikov naj bodo njihova oglišča urejena tako, da so koti pri njih v parih enaki. Na primer, za trikotnike, prikazane na sliki 2, ni pravilno reči, da je Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1. Ob upoštevanju pravilnega vrstnega reda oglišč je priročno zapisati delež, ki povezuje podobne stranice trikotnikov, ne da bi se sklicevali na risbo: števec in imenovalec ustreznih razmerij morata vsebovati pare oglišč, ki zasedajo enake položaje v oznaki podobnih trikotnikov. Na primer, iz zapisa "Δ ABC ~ Δ KNL" sledi, da so koti A = K, B = N, C = L in AB / KN = BC / NL = AC / KL.

Opomba 3: Zahteve, navedene v definiciji podobnih trikotnikov, so odveč. Kriteriji podobnosti trikotnikov, ki vsebujejo manj zahtev za podobne trikotnike, bomo dokazali nekoliko kasneje.

Oblikujmo lastnosti podobnih trikotnikov:

1. Razmerje ustreznih linearnih elementov podobnih trikotnikov je enako koeficientu njihove podobnosti. Takšni elementi podobnih trikotnikov vključujejo tiste, ki se merijo v dolžinskih enotah. To je na primer stranica trikotnika, obod, mediana. Kot ali območje nista takšna elementa.
2. Razmerje ploščin podobnih trikotnikov je enako kvadratu njihovega koeficienta podobnosti.

Naj sta si trikotnika ABC in A 1 B 1 C 1 podobna s koeficientom k (slika 2).

Dokažimo, da je S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

Ker so koti podobnih trikotnikov enaki po parih, tj. A \u003d A 1, in glede na izrek o razmerju ploščin trikotnikov z enakimi koti, imamo:

S ABC /S A1 B1 C1 \u003d (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d AB / A 1 B 1 AC / A 1 C 1.

Zaradi podobnosti trikotnikov AB/A 1 B 1 = k in AC/A 1 C 1 = k,

torej S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 AC/A 1 C 1 = k k = k 2 .

Opomba: Zgoraj formulirane lastnosti podobnih trikotnikov veljajo tudi za poljubne figure.

Znaki podobnosti trikotnikov

Zahteve, ki so po definiciji naložene podobnim trikotnikom (to je enakost kotov in sorazmernost stranic), so odveč. Podobnost trikotnikov lahko nastavite tudi z manjšim številom elementov.

Torej, pri reševanju problemov se najpogosteje uporablja prvi znak podobnosti trikotnikov, ki pravi, da je za podobnost dveh trikotnikov dovolj, da sta njuna kota enaka:

Prvi znak podobnosti trikotnikov (na dveh kotih): Če sta dva kota enega trikotnika enaka dvema kotoma drugega trikotnika, sta si ta trikotnika podobna (slika 3).

Naj so podani trikotniki Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1, v katerih sta kota A = A 1 , B = B 1 . Dokazati je treba, da je Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Dokaz.

1) Po izreku o vsoti kotov trikotnika imamo:

kot C = 180° (kot A + kot B) = 180° (kot A 1 + kot B 1) = kot C 1 .

2) Po izreku o razmerju ploščin trikotnikov z enakim kotom,

S ABC /S A1 B1 C1 \u003d (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) \u003d (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1).

3) Iz enakosti (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) sledi, da je AC / A 1 C 1 = BC /B 1 C 1.

4) Iz enakosti (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1) sledi, da je AB / A 1 B 1 = AC /A 1 C 1.

Tako je za trikotnike ABC in A 1 B 1 C 1 DA \u003d DA 1, DB = DB 1, DC \u003d DC 1 in AB / A 1 B 1 \u003d AC / A 1 C 1.

5) AB / A 1 B 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d BC / B 1 C 1, to pomeni, da so podobne stranice sorazmerne. Torej, Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 po definiciji.

Izrek o proporcionalnih odsekih. Delitev segmenta v danem razmerju

Izrek o proporcionalnem intervalu je posplošitev Thalesovega izreka.

Za uporabo Thalesovega izreka je potrebno, da vzporedne premice, ki sekajo dve dani premici, na eni od njiju odrežejo enake odseke. Posplošen Thalesov izrek pravi, da če vzporedni premici sekata dve dani premici, so odseki, ki jih odsekajo na eni premici, sorazmerni z odseki, odrezanimi na drugi premici.

Izrek o sorazmernih odsekih dokazujemo podobno kot Thalesov izrek (le da je tukaj namesto enakosti trikotnikov uporabljena njihova podobnost).

Izrek o proporcionalnih odsekih (posplošen Thalesov izrek): Vzporedne premice, ki sekajo dve dani premici, režejo na njih sorazmerne odseke.

Lastnost mediane trikotnika

Prvi znak podobnosti trikotnikov nam omogoča, da dokažemo lastnost mediane trikotnika:

Lastnost mediane trikotnika: Mediane trikotnika se sekajo v eni točki in jih ta točka deli v razmerju 2:1, šteto od vrha (slika 4).

Točka presečišča median se imenuje središče trikotnik.

Naj bo podan Δ ABC, za katerega so AA 1 , BB 1 , CC 1 mediane, poleg tega pa AA 1 ∩CC 1 = O. Treba je dokazati, da je BB 1 ∩ CC 1 = O in AO/OA 1 = BO /OB 1 \u003d CO / OS 1 \u003d 2.

Dokaz.

1) Nariši srednjo črto A 1 C 1 . Glede na izrek o srednja črta trikotnik A 1 C 1 || AC in A 1 C 1 = AC/2.

2) Trikotnika AOC in A 1 OC 1 sta si podobna v dveh kotih (kot AOC = kot A 1 OC 1 kot navpičnica, kot OAC = kot OA 1 C 1 kot notranji križ, ki leži na A 1 C 1 || AC in sekanti AA 1 ) , torej po definiciji podobnih trikotnikov AO / A 1 O \u003d OS / OS 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d 2.

3) Naj bo BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Podobno kot pri točkah 1 in 2 je mogoče dokazati, da je BO / O 1 B 1 \u003d CO 1 / O 1 C \u003d 2. Ker pa obstaja ena sama točka O na segmentu SS 1, ki ga deli glede na CO : OS 1 \u003d 2: 1, potem točki O in O 1 sovpadata. To pomeni, da se vse mediane trikotnika sekajo v eni točki in vsako od njih delijo v razmerju 2:1, šteto od vrha.

V tečaju geometrije v temi "območje poligonov" je dokazano dejstvo, da mediana deli poljuben trikotnik na dva enaka dela. Poleg tega, ko se sekajo tri mediane trikotnika, nastane šest trikotnikov z enako površino.

Imaš kakšno vprašanje? Ne veste, kako rešiti težave s trikotniki?
Če želite dobiti pomoč od mentorja -.
Prva lekcija je brezplačna!

blog.site, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Proporcionalni segmenti

Za uvedbo koncepta podobnosti se moramo najprej spomniti koncepta sorazmernih odsekov. Spomnimo se tudi definicije razmerja dveh segmentov.

Definicija 1

Razmerje dveh segmentov je razmerje med njunima dolžinama.

Velja tudi koncept sorazmernosti segmentov več segmenti. Naj bo na primer $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, potem

To pomeni, da so odseki $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ sorazmerni z odseki $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Podobni trikotniki

Za začetek se spomnimo, kaj sploh je pojem podobnosti.

Definicija 3

Številke naj bi bile podobne, če imajo enako obliko, a različne velikosti.

Opravimo zdaj koncept podobnih trikotnikov. Razmislite o sliki 1.

Slika 1. Dva trikotnika

Naj imajo ti trikotniki $\kot A=\kot A_1,\ \kot B=\kot B_1,\ \kot C=\kot C_1$. Predstavljamo naslednjo definicijo:

Definicija 4

Stranici dveh trikotnikov se imenujeta podobni, če ležita nasproti enakih kotov teh trikotnikov.

Na sliki 1 so stranice $AB$ in $A_1B_1$, $BC$ in $B_1C_1$, $AC$ in $A_1C_1$ podobne. Sedaj uvedemo definicijo podobnih trikotnikov.

Definicija 5

Dva trikotnika imenujemo podobna, če so koti in vsi koti enega trikotnika enaki kotom drugega in trikotnika in so vse podobne stranice teh trikotnikov sorazmerne, tj.

\[\kot A=\kot A_1,\ \kot B=\kot B_1,\ \kot C=\kot C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Slika 1 prikazuje podobne trikotnike.

Oznaka: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Za koncept podobnosti obstaja tudi koncept koeficienta podobnosti.

Opredelitev 6

Število $k$, ki je enako razmerju podobnih stranic podobnih likov, imenujemo koeficient podobnosti teh likov.

Površine podobnih trikotnikov

Razmislite zdaj o izreku o razmerju ploščin podobnih trikotnikov.

1. izrek

Razmerje ploščin dveh podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti, tj.

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Dokaz.

Razmislite o dveh podobnih trikotnikih in njuni ploščini označite kot $S$ oziroma $S_1$ (slika 2).

Slika 2.

Da bi dokazali ta izrek, se spomnite naslednjega izreka:

2. izrek

Če je kot enega trikotnika enak kotu drugega trikotnika, potem sta njuni ploščini povezani kot zmnožki stranic, ki mejijo na ta kot.

Ker sta trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna, je po definiciji $\kotnik A=\kotnik A_1$. Potem z izrekom 2 dobimo to

Ker $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, dobimo

Izrek je dokazan.

Problemi, povezani s konceptom podobnosti trikotnika

Primer 1

Dana sta podobna trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1.$ Stranice prvega trikotnika so $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Koeficient podobnosti teh trikotnikov je $k=2$. Poiščite stranice drugega trikotnika.

rešitev.

Ta problem ima dve možni rešitvi.

Naj bo $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Potem $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Zato je $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Naj bo $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Potem $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Torej $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Primer 2

Dana sta podobna trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1.$ Stranica prvega trikotnika je $AB=2$, ustrezna stranica drugega trikotnika je $A_1B_1=6$. Višina prvega trikotnika je $CH=4$. Poiščite območje drugega trikotnika.

rešitev.

Ker sta trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna, je $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Poiščite območje prvega trikotnika.

Po izreku 1 imamo:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \

Lekcija 34 TEOREM. Razmerje ploščin dveh podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti. kjer je k koeficient podobnosti. Razmerje obsegov dveh podobnih trikotnikov je enako koeficientu podobnosti. V. A. S. R. M. K. Reševanje nalog: št. 545, 549. Domača naloga: str. 56-58, št. 544, 548.

diapozitiv 6 iz predstavitve "Geometrija "Podobni trikotniki"". Velikost arhiva s predstavitvijo je 232 KB.

Geometrija 8. razred

povzetek druge predstavitve

"Opredelitev osne simetrije" - Simetrija v naravi. Namig. Simetrične osi. Narišite točko. Gradnja točke. Konstrukcija trikotnika. Gradnja segmenta. Ljudje. Simetrija v poeziji. Številke, ki nimajo osne simetrije. Figure z dvema simetričnima osema. Pravokotnik. Simetrija. Naravnost. Plot točke. Osna simetrija. Odsek črte. Simetrična os. Narišite dve črti. Točke, ki ležijo na isti navpičnici. Sorazmernost.

"Iskanje površine paralelograma" - Poiščite površino paralelograma. Območje paralelograma. Višina. Poiščite površino kvadrata. Kvadratno območje. Višine paralelogramov. Poiščite območje trikotnika. Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov. Poiščite površino pravokotnika. Določanje višine paralelograma. Osnova. Območje trikotnika. Poiščite obseg kvadrata. Lastnosti območja. ustne vaje.

"Naloge za iskanje območja" - Lekcija - razlaga novega gradiva, izdelana v obliki predstavitve "Power point". Primarni cilj. "Območje paralelograma". "Trapezni kvadrat". PREVERJANJE NAUČENE SNOVI. Za rešitev naloge. Delovni zvezek št. 42, ponovite vse preučene formule. Izpeljite formule za površino pravokotnika, paralelograma, trapeza, trikotnika. Razširite in poglobite ideje o merjenju površin. Učencem predstavite pojem območja.

"Geometrija "Podobni trikotniki"" - Dva trikotnika imenujemo podobna. Sorazmernost stranic kota. Vrednosti sinusa, kosinusa in tangensa. Prvi znak podobnosti trikotnikov. Proporcionalni odseki v pravokotnem trikotniku. lastnost simetrale trikotnika. Matematični narek. Poiščite površino enakokrakega pravokotnega trikotnika. proporcionalni rezi. Vrednosti sinusa, kosinusa in tangensa za kote 30°, 45°, 60°.

"Pravokotniki" - Človek. nasprotnih straneh. Stran pravokotnika. Pravljica o pravokotniku. stranice pravokotnika. Pravokotnik v življenju. Obseg pravokotnika. Pravokotnik. Diagonale. Slike. Diagonala. Opredelitev. Območje pravokotnika.

""Kvadrat pravokotnika" 8. razred" - območje osenčenega kvadrata. Stranice vsakega od pravokotnikov. ABCD in DSMK sta kvadrata. Na stranici AB je narisan paralelogram. Površinske enote. Poiščite površino kvadrata. Območje pravokotnika. ABCD je paralelogram. Lastnosti območja. Poiščite površino štirikotnika. Površine kvadratov, zgrajenih na stranicah pravokotnika. Tlo prostora je pravokotne oblike. Površina kvadrata je enaka kvadratu njegove stranice.

Namen lekcije: podati definicijo podobnih trikotnikov, dokazati izrek o razmerju podobnih trikotnikov.

Cilji lekcije:

• Izobraževalni: dijaki naj poznajo definicijo podobnih trikotnikov, izrek o razmerju podobnih trikotnikov, jih znati uporabiti pri reševanju nalog, izvajati medpredmetne povezave z algebro in fiziko.
• Izobraževalni: gojiti prizadevnost, pozornost, marljivost, gojiti kulturo vedenja učencev.
• V razvoju: razvoj pozornosti učencev, razvoj sposobnosti razmišljanja, logičnega razmišljanja, sklepanja, razvijanje kompetentnega matematičnega govora in mišljenja učencev, razvijanje veščin introspekcije in neodvisnosti.
• Varčevanje zdravja: upoštevanje sanitarnih in higienskih standardov, sprememba dejavnosti v lekciji.

Oprema: računalnik, projektor, didaktično gradivo: samostojna in testne naloge pri algebri in geometriji za 8. razred A.P. Eršova itd.

Vrsta lekcije: učenje nove snovi.

Med poukom

I. Organizacijski trenutek(pozdrav, preverjanje pripravljenosti na lekcijo).

II. Tema lekcije.

Učiteljica: AT Vsakdanje življenje obstajajo predmeti enake oblike, vendar različnih velikosti.

primer: nogometne in teniške žoge.

V geometriji se figure enake oblike imenujejo podobne: poljubna dva kroga, poljubna dva kvadrata.

Uvedimo pojem podobnih trikotnikov.

definicija: Za dva trikotnika pravimo, da sta si podobna, če sta njuna kota enaka in so stranice enega trikotnika sorazmerne s podobnimi stranicami drugega.

številka k, enak razmerju podobnih stranic podobnih trikotnikov, imenujemo koeficient podobnosti. ∆ABC ~ A 1 B 1 C 1

1. Ustno: Ali so si trikotniki podobni? Zakaj? (pripravljena risba na ekranu).

a) Trikotnik ABC in trikotnik A 1 B 1 C 1, če je AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A 1 = 46˚, ∠B 1 = 50˚. , A 1 B 1 \u003d 10,5, B 1 C 1 \u003d 7,5, A 1 C 1 \u003d 6.

b) V enem enakokrakem trikotniku je kot pri vrhu 24˚, v drugem enakokrakem trikotniku pa je kot pri dnu 78˚.

Fantje! Spomnimo se izreka o razmerju ploščin trikotnikov z enakim kotom.

Izrek:Če je kot enega trikotnika enak kotu drugega trikotnika, potem sta ploščini teh trikotnikov povezani kot zmnožki stranic z enakimi koti.

2. Pisno delo po pripravljenih risbah.

Risba na zaslonu:

a) Podano: BN: NC = 1:2,

BM=7cm, AM=3cm,

S MBN \u003d 7 cm 2.

Najdi: S ABC

(odgovor: 30 cm2.)

b) Podano: AE = 2 cm,

S AEK \u003d 8 cm 2.

Najdi: S ABC

(odgovor: 56 cm2.)

3. Dokažimo izrek o razmerju ploščin podobnih trikotnikov ( učenec dokaže izrek na tabli, pomaga cel razred).

Izrek: Razmerje dveh podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti.

4. Aktualizacija znanja.

Reševanje problema:

1. Ploščini dveh podobnih trikotnikov sta 75 cm 2 in 300 cm 2. Ena od stranic drugega trikotnika je 9 cm. Poiščite stranico prvega trikotnika, ki mu je podobna. ( odgovor: 4,5 cm.)

2. Podobni stranici podobnih trikotnikov sta 6 cm in 4 cm, vsota njunih ploščin pa 78 cm 2. Poiščite ploščine teh trikotnikov. ( odgovor: 54 cm2 in 24 cm2.)

Če je čas samostojno delo izobraževalni značaj.

Možnost 1

Podobni trikotniki imajo podobni stranici, enaki 7 cm in 35 cm.

Ploščina prvega trikotnika je 27 cm2.

Poiščite območje drugega trikotnika. ( odgovor: 675 cm2.)

Možnost 2

Ploščini podobnih trikotnikov sta 17 cm 2 in 68 cm 2. Stranica prvega trikotnika je 8 cm. Poiščite podobno stranico drugega trikotnika. ( odgovor: 4 cm)

5. Domača naloga: učbenik za geometrijo 7-9 L.S. Atanasyan in drugi, strani 57, 58, št. 545, 547.

6. Povzetek lekcije.

Proporcionalni segmenti

Za uvedbo koncepta podobnosti se moramo najprej spomniti koncepta sorazmernih odsekov. Spomnimo se tudi definicije razmerja dveh segmentov.

Definicija 1

Razmerje dveh segmentov je razmerje med njunima dolžinama.

Koncept sorazmernosti segmentov velja tudi za večje število segmentov. Naj bo na primer $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, potem

To pomeni, da so odseki $AB$, $A_1B_1$, $\ A_2B_2$ sorazmerni z odseki $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$.

Podobni trikotniki

Za začetek se spomnimo, kaj sploh je pojem podobnosti.

Definicija 3

Številke naj bi bile podobne, če imajo enako obliko, a različne velikosti.

Opravimo zdaj koncept podobnih trikotnikov. Razmislite o sliki 1.

Slika 1. Dva trikotnika

Naj imajo ti trikotniki $\kot A=\kot A_1,\ \kot B=\kot B_1,\ \kot C=\kot C_1$. Predstavljamo naslednjo definicijo:

Definicija 4

Stranici dveh trikotnikov se imenujeta podobni, če ležita nasproti enakih kotov teh trikotnikov.

Na sliki 1 so stranice $AB$ in $A_1B_1$, $BC$ in $B_1C_1$, $AC$ in $A_1C_1$ podobne. Sedaj uvedemo definicijo podobnih trikotnikov.

Definicija 5

Dva trikotnika imenujemo podobna, če so koti in vsi koti enega trikotnika enaki kotom drugega in trikotnika in so vse podobne stranice teh trikotnikov sorazmerne, tj.

\[\kot A=\kot A_1,\ \kot B=\kot B_1,\ \kot C=\kot C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Slika 1 prikazuje podobne trikotnike.

Oznaka: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Za koncept podobnosti obstaja tudi koncept koeficienta podobnosti.

Opredelitev 6

Število $k$, ki je enako razmerju podobnih stranic podobnih likov, imenujemo koeficient podobnosti teh likov.

Površine podobnih trikotnikov

Razmislite zdaj o izreku o razmerju ploščin podobnih trikotnikov.

1. izrek

Razmerje ploščin dveh podobnih trikotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti, tj.

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Dokaz.

Razmislite o dveh podobnih trikotnikih in njuni ploščini označite kot $S$ oziroma $S_1$ (slika 2).

Slika 2.

Da bi dokazali ta izrek, se spomnite naslednjega izreka:

2. izrek

Če je kot enega trikotnika enak kotu drugega trikotnika, potem sta njuni ploščini povezani kot zmnožki stranic, ki mejijo na ta kot.

Ker sta trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna, je po definiciji $\kotnik A=\kotnik A_1$. Potem z izrekom 2 dobimo to

Ker $\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$, dobimo

Izrek je dokazan.

Problemi, povezani s konceptom podobnosti trikotnika

Primer 1

Dana sta podobna trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1.$ Stranice prvega trikotnika so $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$. Koeficient podobnosti teh trikotnikov je $k=2$. Poiščite stranice drugega trikotnika.

rešitev.

Ta problem ima dve možni rešitvi.

Naj bo $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Potem $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Zato je $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Naj bo $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Potem $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Torej $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2,5,\ \ A_1C_1=3$.

Primer 2

Dana sta podobna trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1.$ Stranica prvega trikotnika je $AB=2$, ustrezna stranica drugega trikotnika je $A_1B_1=6$. Višina prvega trikotnika je $CH=4$. Poiščite območje drugega trikotnika.

rešitev.

Ker sta trikotnika $ABC$ in $A_1B_1C_1$ podobna, je $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Poiščite območje prvega trikotnika.

Po izreku 1 imamo:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \