Spletni kalkulator Zmanjševanje ulomkov (nepravilni, mešani). Kako zmanjšati algebraične ulomke
Spletni kalkulator deluje redukcija algebrskih ulomkov v skladu s pravilom zmanjševanja ulomkov: zamenjava prvotnega ulomka z enakim ulomkom, vendar z manjšim števcem in imenovalcem, tj. sočasno deljenje števca in imenovalca ulomka z njunim skupnim največjim skupni delilnik(KIMAJ). Prikaže se tudi kalkulator podrobna rešitev, ki vam bo pomagal razumeti zaporedje zmanjšanja.
podano:
rešitev:
Izvajanje zmanjševanja ulomkov
preverjanje možnosti izvedbe redukcije algebraičnega ulomka
1) Določitev največjega skupnega delitelja (GCD) števca in imenovalca ulomka
določanje največjega skupnega delitelja (GCD) števca in imenovalca algebraičnega ulomka
2) Zmanjševanje števca in imenovalca ulomka
zmanjševanje števca in imenovalca algebraičnega ulomka
3) Izbira celega dela ulomka
ločevanje celega dela algebraičnega ulomka
4) Pretvarjanje algebraičnega ulomka v decimalni ulomek
pretvorbo algebraičnega ulomka v decimalno
Pomoč pri razvoju spletne strani projekta
Spoštovani obiskovalec spletnega mesta.
Če niste mogli najti, kar ste iskali, se prepričajte, da o tem napišete v komentarjih, kaj trenutno manjka na spletnem mestu. To nam bo pomagalo razumeti, v katero smer se moramo premakniti naprej, drugi obiskovalci pa bodo kmalu lahko prejeli potrebno gradivo.
Če se je spletno mesto izkazalo za uporabno, ga podarite projektu samo 2 ₽ in vedeli bomo, da gremo v pravo smer.
Hvala, da ste se ustavili!
I. Postopek za zmanjšanje algebraičnega ulomka s spletnim kalkulatorjem:
- Če želite zmanjšati algebraični ulomek, v ustrezna polja vnesite vrednosti števca in imenovalca ulomka. Če je ulomek mešan, izpolnite tudi polje, ki ustreza celotnemu delu ulomka. Če je ulomek preprost, pustite polje celotnega dela prazno.
- Če želite določiti negativni ulomek, postavite znak minus na cel del ulomka.
- Odvisno od navedenega algebraičnega ulomka se samodejno izvede naslednje zaporedje dejanj:
- določanje največjega skupnega delitelja (GCD) števca in imenovalca ulomka;
- zmanjšanje števca in imenovalca ulomka za gcd;
- poudarjanje celega dela ulomka, če je števec končnega ulomka večji od imenovalca.
- pretvorbo končnega algebraičnega ulomka v decimalni ulomek zaokroženo na najbližjo stotino.
II. Za referenco:
Ulomek je število, sestavljeno iz enega ali več delov (ulomkov) enote. Navadni ulomek (prosti ulomek) je zapisan kot dve števili (števec ulomka in imenovalec ulomka), ločeni z vodoravno črto (ulomkovo vrstico), ki označuje znak deljenja. Števec ulomka je število nad ulomkovo črto. Števec prikazuje, koliko delnic je bilo odvzetih iz celote. Imenovalec ulomka je število pod ulomkovo črto. Imenovalec pove, na koliko enakih delov je razdeljena celota. Enostavni ulomek je ulomek, ki nima celega dela. Preprost ulomek je lahko pravilen ali nepravilen. Pravi ulomek je ulomek, katerega števec je manjši od imenovalca, zato je pravi ulomek vedno manjši od ena. Primer pravilnih ulomkov: 8/7, 11/19, 16/17. Nepravi ulomek je ulomek, pri katerem je števec večji ali enak imenovalcu, torej je nepravi ulomek vedno večji ali enak ena. Primer nepravilnih ulomkov: 7/6, 8/7, 13/13. mešani ulomek je število, ki vsebuje celo število in pravi ulomek ter označuje vsoto tega celega števila in pravega ulomka. Vsak mešani ulomek je mogoče pretvoriti v nepravi ulomek enostavni ulomek. Primer mešane frakcije: 1¼, 2½, 4¾.
III. Opomba:
- Blok izvornih podatkov je označen rumena , vmesni obračunski blok dodeljen modra , blok rešitve je označen z zeleno.
- Za seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje navadnih ali mešanih ulomkov uporabite spletni kalkulator ulomkov s podrobnimi rešitvami.
Temelji na njihovi osnovni lastnosti: če števec in imenovalec ulomka delimo z istim polinomom, ki ni nič, dobimo enak ulomek.
Množitelje lahko samo zmanjšate!
Članov polinomov ni mogoče skrajšati!
Za zmanjšanje algebraičnega ulomka je treba najprej faktorizirati polinome v števcu in imenovalcu.
Oglejmo si primere zmanjševanja ulomkov.
Števec in imenovalec ulomka vsebujeta monome. Predstavljajo delo(števila, spremenljivke in njihove moči), multiplikatorji lahko zmanjšamo.
Števila zmanjšamo z največjim skupnim deliteljem, torej z največjim večje število, s katerim je vsako od teh števil deljeno. Za 24 in 36 je to 12. Po zmanjšanju ostane 2 od 24 in 3 od 36.
Stopinje zmanjšamo za stopnjo z najnižjim indeksom. Zmanjšati ulomek pomeni deliti števec in imenovalec z istim deliteljem ter odšteti eksponente.
a² in a⁷ se zmanjšata na a². V tem primeru v števcu a² ostane ena (1 pišemo le v primeru, ko po redukciji ne ostane noben drug faktor. Od 24 ostane 2, zato 1 ostane od a² ne pišemo). Od a⁷ po zmanjšanju ostane a⁵.
b in b zmanjšamo za b; nastale enote ne zapišemo.
c³º in c5 sta skrajšana na c5. Od c³º ostane c²⁵, od c5 pa ena (ne pišemo). torej
Števec in imenovalec tega algebraičnega ulomka sta polinoma. Ne morete preklicati členov polinomov! (ne morete zmanjšati npr. 8x² in 2x!). Če želite zmanjšati ta delež, potrebujete. Števec ima skupni faktor 4x. Vzemimo iz oklepajev:
Tako števec kot imenovalec imata enak faktor (2x-3). S tem faktorjem zmanjšamo ulomek. V števcu smo dobili 4x, v imenovalcu - 1. Glede na 1 lastnost algebraičnih ulomkov je ulomek enak 4x.
Lahko samo zmanjšate faktorje (tega ulomka ne morete zmanjšati za 25x²!). Zato je treba polinome v števcu in imenovalcu ulomka faktorizirati.
Števec je celoten kvadrat vsote, imenovalec razlika kvadratov. Po razgradnji s skrajšanimi formulami za množenje dobimo:
Ulomek zmanjšamo za (5x+1) (če želite to narediti, prečrtajte dve v števcu kot eksponent, tako da ostane (5x+1)² (5x+1)):
Števec ima skupni faktor 2, vzemimo ga iz oklepaja. Imenovalec je formula za razliko kock:
Kot rezultat razširitve sta števec in imenovalec dobila enak faktor (9+3a+a²). Z njim zmanjšamo ulomek:
Polinom v števcu je sestavljen iz 4 členov. prvi člen z drugim, tretji s četrtim in odstranite skupni faktor x² iz prvih oklepajev. Imenovalec razčlenimo po formuli vsote kubov:
V števcu vzemimo skupni faktor (x+2) iz oklepaja:
Zmanjšaj ulomek za (x+2):
V tem članku si bomo podrobno ogledali, kako zmanjševanje ulomkov. Najprej se pogovorimo o tem, kaj se imenuje zmanjševanje ulomka. Po tem se pogovorimo o zmanjševanju reducibilnega ulomka v nezmanjšano obliko. Nato bomo pridobili pravilo za zmanjševanje ulomkov in na koncu razmislili o primerih uporabe tega pravila.
Navigacija po straneh.
Kaj pomeni zmanjšati ulomek?
Vemo, da navadne ulomke delimo na zmanjšene in nezmanjšljive ulomke. Iz imen lahko sklepate, da je zmanjšene ulomke mogoče skrčiti, nezmanjšanih pa ne.
Kaj pomeni zmanjšati ulomek? Zmanjšaj ulomek- to pomeni, da njegov števec in imenovalec delimo z njunim pozitivnim in različnim od enote. Jasno je, da z zmanjševanjem ulomka dobimo nov ulomek z manjšim števcem in imenovalcem, zaradi osnovne lastnosti ulomka pa je dobljeni ulomek enak prvotnemu.
Na primer, zmanjšajmo navadni ulomek 8/24 tako, da njegov števec in imenovalec delimo z 2. Z drugimi besedami, zmanjšajmo ulomek 8/24 za 2. Ker je 8:2=4 in 24:2=12, je rezultat tega zmanjšanja ulomek 4/12, ki je enak prvotnemu ulomku 8/24 (glejte enake in neenake ulomke). Kot rezultat, imamo.
Reduciranje navadnih ulomkov v nezmanjšano obliko
Običajno je končni cilj zmanjševanja ulomka pridobiti nezmanjšljiv ulomek, ki je enak prvotnemu pomanjšljivemu ulomku. Ta cilj je mogoče doseči z redukcijo prvotnega pomanjšanega ulomka na njegov števec in imenovalec. Kot rezultat takšne redukcije vedno dobimo nezmanjšani ulomek. Res, delček 
je nepopravljiva, saj je znano, da 
in 
- . Tukaj bomo rekli, da je največji skupni delitelj števca in imenovalca ulomka največje število, s katerim se ta delež lahko zmanjša.
Torej, zmanjševanje navadnega ulomka v nezmanjšano obliko sestoji iz deljenja števca in imenovalca prvotnega pomanjšanega ulomka z njunim gcd.
Poglejmo primer, za katerega se vrnemo k ulomku 8/24 in ga zmanjšamo za največji skupni delitelj števil 8 in 24, ki je enak 8. Ker je 8:8=1 in 24:8=3, pridemo do nezmanjšanega ulomka 1/3. Torej, .
Upoštevajte, da besedna zveza "zmanjšaj ulomek" pogosto pomeni zmanjševanje prvotnega ulomka na njegovo nezmanjšano obliko. Z drugimi besedami, zmanjševanje ulomka se zelo pogosto nanaša na deljenje števca in imenovalca z njunim največjim skupnim faktorjem (namesto s katerimkoli skupnim faktorjem).
Kako zmanjšati ulomek? Pravila in primeri zmanjševanja ulomkov
Preostane nam le še ogled pravila za zmanjševanje ulomkov, ki pojasnjuje, kako zmanjševati dani ulomek.
Pravilo za zmanjševanje ulomkov je sestavljen iz dveh korakov:
- najprej se najde gcd števca in imenovalca ulomka;
- drugič, števec in imenovalec ulomka se deli z njunim gcd, kar daje nezmanjšani ulomek, ki je enak prvotnemu.
Uredimo to primer zmanjševanja ulomka po navedenem pravilu.
Primer.
Zmanjšaj ulomek 182/195.
rešitev.
Izvedemo oba koraka, ki ju predpisuje pravilo za zmanjševanje ulomka.
Najprej najdemo GCD(182, 195) . Najprimerneje je uporabiti Evklidov algoritem (glej): 195=182·1+13, 182=13·14, to je GCD(182, 195)=13.
Zdaj delimo števec in imenovalec ulomka 182/195 s 13 in dobimo nezmanjšani ulomek 14/15, ki je enak prvotnemu ulomku. S tem je zmanjšanje frakcije končano.
Rešitev lahko na kratko zapišemo takole: .
odgovor:
Tu lahko končamo zmanjševanje ulomkov. Za popolnost pa si poglejmo še dva načina za zmanjševanje ulomkov, ki se običajno uporabljata v lažjih primerih.
Včasih števec in imenovalec ulomka, ki ga zmanjšujemo, nista težka. Zmanjšanje ulomka v tem primeru je zelo preprosto: samo odstraniti morate vse skupne faktorje iz števca in imenovalca.
Omeniti velja, da ta metoda neposredno izhaja iz pravila zmanjševanja ulomkov, saj je zmnožek vseh skupnih prafaktorjev števca in imenovalca enak njihovemu največjemu skupnemu delitelju.
Poglejmo rešitev primera.
Primer.
Zmanjšaj ulomek 360/2 940.
rešitev.
Razložimo števec in imenovalec na preproste faktorje: 360=2·2·2·3·3·5 in 2,940=2·2·3·5·7·7. torej 
.
Zdaj se znebimo skupnih faktorjev v števcu in imenovalcu, zaradi udobja jih preprosto prečrtamo: 
.
Na koncu pomnožimo preostale faktorje: , in krajšanje ulomka je končano.
Tukaj je kratek povzetek rešitve: 
.
odgovor:
Razmislimo o drugem načinu zmanjševanja ulomka, ki je sestavljen iz zaporednega zmanjševanja. Tu se ulomek na vsakem koraku zmanjša za nek skupni delitelj števca in imenovalca, ki je očiten ali pa ga zlahka določimo z
Zadnjič smo naredili načrt, po katerem se lahko naučite, kako hitro zmanjšati ulomke. Zdaj pa si poglejmo konkretne primere zmanjševanja ulomkov.
Primeri.
Preverimo, ali je večje število deljivo z manjšim (števec z imenovalcem ali imenovalec s števcem)? Da, v vseh teh treh primerih je večje število deljeno z manjšim številom. Tako vsak ulomek zmanjšamo za manjše izmed števil (za števec ali za imenovalec). Imamo:
Preverimo, ali je večje število deljivo z manjšim? Ne, ne deli.
Nato preidemo na preverjanje naslednje točke: ali se vnos števca in imenovalca konča z eno, dvema ali več ničlami? V prvem primeru se števec in imenovalec končata na ničlo, v drugem primeru dve ničli, v tretjem pa tri ničle. To pomeni, da prvi ulomek zmanjšamo za 10, drugega za 100 in tretjega za 1000:
Dobili smo nezmanjšane ulomke.
Večjega števila ni mogoče deliti z manjšim številom, števila pa se ne končajo z ničlami.
Zdaj pa preverimo, ali sta števec in imenovalec v tabeli množenja v istem stolpcu? 36 in 81 sta oba deljiva z 9, 28 in 63 sta deljiva s 7, 32 in 40 pa z 8 (deljiva sta tudi s 4, a če je izbira, bomo vedno zmanjšali za večjega). Tako pridemo do odgovorov:
Vsa dobljena števila so nezmanjšani ulomki.
Večjega števila ni mogoče deliti z manjšim številom. Toda zapis števca in imenovalca se konča na nič. Torej zmanjšamo ulomek za 10:
Ta delež je še mogoče zmanjšati. Preverimo tabelo množenja: tako 48 kot 72 sta deljiva z 8. Ulomek zmanjšamo za 8:
Dobljeni ulomek lahko tudi zmanjšamo za 3:
Ta ulomek je nezmanjšljiv.
Večje število ni deljivo z manjšim številom. Števec in imenovalec se končata na nič, kar pomeni, da ulomek zmanjšamo za 10.
Dobljena števila preverimo v števcu in imenovalcu za in. Ker je vsota števk 27 in 531 deljiva s 3 in 9, lahko ta ulomek zmanjšamo za 3 ali 9. Izberemo večjega in zmanjšamo za 9. Dobljeni rezultat je nezmanjšljiv ulomek.
Ne da bi vedeli, kako zmanjšati ulomek in imeli stabilno spretnost pri reševanju takih primerov, je zelo težko študirati algebro v šoli. Dlje kot greš, več je osnovnih znanj o okrajšavah navadni ulomki nove informacije se prekrivajo. Najprej se pojavijo potence, nato faktorji, ki kasneje postanejo polinomi.
Kako se lahko tukaj izognete zmedi? Temeljito utrdite veščine prejšnjih tem in se postopoma pripravite na znanje o zmanjševanju ulomka, ki postaja iz leta v leto bolj zapleteno.
Osnovno znanje
Brez njih se ne boste mogli spoprijeti z nalogami katere koli ravni. Da bi razumeli, morate razumeti dvoje preprosti trenutki. Prvič: dejavnike lahko le zmanjšate. Ta odtenek se izkaže za zelo pomemben, ko se v števcu ali imenovalcu pojavijo polinomi. Nato morate jasno ločiti, kje je množitelj in kje seštevalec.
Druga točka pravi, da je poljubno število mogoče predstaviti v obliki faktorjev. Poleg tega je rezultat zmanjšanja ulomek, katerega števca in imenovalca ni več mogoče zmanjšati.
Pravila za zmanjševanje navadnih ulomkov
Najprej preverite, ali je števec deljiv z imenovalcem ali obratno. Potem je treba ravno to število zmanjšati. To je najpreprostejša možnost.
Drugi je analiza videzštevilke. Če se oba končata z eno ali več ničlami, ju je mogoče skrajšati za 10, 100 ali tisoč. Tukaj lahko opazite, ali so števila soda. Če da, potem ga lahko varno prerežete na dva.
Tretje pravilo za zmanjševanje ulomka je razčlenitev števca in imenovalca na prafaktorje. V tem času morate aktivno uporabiti vse svoje znanje o znakih deljivosti števil. Po tem razčlenjevanju preostane le še poiskati vse ponavljajoče se, jih pomnožiti in zmanjšati za dobljeno število.
Kaj pa, če je v ulomku algebrski izraz?
Tu se pojavijo prve težave. Ker se tu pojavljajo termini, ki so lahko identični faktorjem. Zelo jih želim zmanjšati, a ne morem. Preden lahko zmanjšate algebraični ulomek, ga morate pretvoriti tako, da ima faktorje.
Če želite to narediti, boste morali izvesti več korakov. Morda boste morali iti skozi vse ali pa vam bo prvi ponudil ustrezno možnost.
Preverite, ali se števec in imenovalec oziroma katerikoli izraz v njiju razlikujeta po predznaku. V tem primeru morate le dati minus ena iz oklepaja. To proizvaja enake faktorje, ki jih je mogoče zmanjšati.
Preverite, ali je možno odstraniti skupni faktor iz polinoma iz oklepaja. Morda bo tako nastal oklepaj, ki ga je mogoče tudi skrajšati, ali pa bo odstranjen monom.
Poskusite združiti monome, da jim nato dodate skupni faktor. Po tem se lahko izkaže, da bodo dejavniki, ki jih je mogoče zmanjšati, ali pa se bo spet ponovilo oklepanje skupnih elementov.
Poskusite pisno obravnavati formule za skrajšano množenje. Z njihovo pomočjo lahko preprosto pretvorite polinome v faktorje.
Zaporedje operacij z ulomki s potencami
Da bi zlahka razumeli vprašanje, kako zmanjšati ulomek s potencami, se morate trdno spomniti osnovnih operacij z njimi. Prva od teh je povezana z množenjem moči. V tem primeru, če so osnove enake, je treba indikatorje dodati.
Drugo je delitev. Še enkrat, za tiste, ki imajo iste razloge, bo treba kazalnike odšteti. Poleg tega morate odšteti od števila, ki je v dividendi, in ne obratno.
Tretja je potenciranje. V tem primeru se kazalniki pomnožijo.
Uspešno zmanjšanje bo zahtevalo tudi sposobnost zmanjšanja stopinj na iz istih razlogov. To pomeni, da vidimo, da je štiri dva na kvadrat. Ali 27 - kocka treh. Ker je zmanjševanje 9 na kvadrat in 3 kub težko. Toda če transformiramo prvi izraz kot (3 2) 2, bo redukcija uspešna.