Površina vsake osnove valja je π r 2, bo površina obeh baz 2π r 2 (slika).

Površina stranske površine valja je enaka površini pravokotnika, katerega osnova je 2π r, višina pa je enaka višini valja h, tj. 2π rh.

Celotna površina valja bo: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

Območje stranske površine valja je vzeto območje pometanja njegovo stransko površino.

Zato je površina stranske površine desnega krožnega valja enaka površini ustreznega pravokotnika (slika) in se izračuna po formuli

S pr.n.št. = 2πRH, (1)

Če površini bočne površine valja prištejemo površino njegovih dveh baz, dobimo skupno površino valja

S poln =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Prostornina ravnega valja

Izrek. Prostornina ravnega valja enako zmnožku območje njegove baze do višine , tj.

kjer je Q površina osnove, H pa višina valja.

Ker je ploščina osnove valja Q, potem obstajajo zaporedja opisanih in včrtanih poligonov s ploščinami Q n in Q' n tako da

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) Q n= \(\lim_(n \desna puščica \infty)\) Q’ n= Q.

Sestavimo zaporedje prizem, katerih osnove so opisani in včrtani mnogokotniki, obravnavani zgoraj, in katerih stranski robovi so vzporedni z generatriso danega valja in imajo dolžino H. Te prizme so opisane in včrtane za dani valj. Njihove prostornine najdemo s formulami

V n=Q n H in V' n= Q' n H.

torej

V= \(\lim_(n \desna puščica \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \desna puščica \infty)\) Q’ n H = QH.

Posledica.
Prostornina pravega krožnega valja se izračuna po formuli

V = π R 2 H

kjer je R polmer osnove in H višina valja.

Ker je osnova krožnega valja krog s polmerom R, potem je Q = π R 2 in zato

obstaja veliko število težave v zvezi s cilindrom. V njih morate najti polmer in višino telesa ali vrsto njegovega odseka. Poleg tega je včasih treba izračunati površino valja in njegovo prostornino.

Katero telo je valj?

V šolskem kurikulumu se preučuje krožni valj, to je tisti, ki ima osnovo. Odlikuje pa se tudi eliptični videz te figure. Iz imena je jasno, da bo njegova osnova elipsa ali oval.

Cilinder ima dve podstavki. Med seboj so enake in so povezane z odseki, ki združujejo ustrezne točke baz. Imenujejo se generatorji valja. Vsi generatorji so med seboj vzporedni in enaki. Sestavljajo stransko površino telesa.

Na splošno je valj nagnjeno telo. Če generatorji z osnovami tvorijo pravi kot, govorimo o ravni liku.

Zanimivo je, da je krožni valj vrtilno telo. Dobimo ga z vrtenjem pravokotnika okoli ene od njegovih stranic.

Glavni elementi cilindra

Glavni elementi cilindra izgledajo takole.

1. Višina. Je najkrajša razdalja med osnovama valja. Če je ravna, potem višina sovpada z generatriko.
2. Radij. Sovpada s tistim, ki ga lahko narišemo na dnu.
3. os. To je ravna črta, ki vsebuje središča obeh baz. Os je vedno vzporedna z vsemi generatorji. V ravnem valju je pravokotna na osnove.
4. Aksialni odsek. Nastane, ko valj seka ravnino, ki vsebuje os.
5. Tangentna ravnina. Poteka skozi eno od generatrik in je pravokotna na osni prerez, ki je narisan skozi to generatriso.

Kako je valj povezan s prizmo, ki je vanj včrtana ali okoli njega opisana?

Včasih obstajajo težave, pri katerih morate izračunati površino valja, vendar so nekateri elementi povezane prizme znani. Kako so te številke povezane?

Če je prizma včrtana v valj, potem sta njeni osnovi enaka mnogokotnika. Poleg tega so vpisani v ustrezne osnove valja. Stranski robovi prizme sovpadajo z generatorji.

Opisana prizma ima na dnu pravilne mnogokotnike. Opisane so okrog krogov valja, ki so njegove osnove. Ravnine, ki vsebujejo ploskve prizme, se dotikajo valja po svojih generatorjih.

Na območju stranske površine in podlage za desni krožni valj

Če odvijete stransko površino, boste dobili pravokotnik. Njegove stranice bodo sovpadale z generatriko in obodom baze. Zato bo stranska površina valja enaka produktu teh dveh količin. Če zapišete formulo, dobite naslednje:

S stran = l * n,

kjer je n generator, l je obseg.

Poleg tega se zadnji parameter izračuna po formuli:

l = 2 π * r,

tukaj je r polmer kroga, π je število "pi", enako 3,14.

Ker je osnova krog, se njegova ploščina izračuna z naslednjim izrazom:

S glavni = π * r 2 .

Na površini celotne površine desnega krožnega valja

Ker ga tvorita dve osnovi in ​​stranska površina, morate te tri količine sešteti. To pomeni, da bo skupna površina valja izračunana po formuli:

S nadstropje = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Pogosto je zapisano v drugačni obliki:

S nadstropje = 2 π * r (n + r).

Na ploskvah nagnjenega krožnega valja

Kar zadeva baze, so vse formule enake, ker so še vedno krogi. In tukaj stransko površino ne ustvarja več pravokotnika.

Če želite izračunati površino stranske površine nagnjenega valja, boste morali pomnožiti vrednosti generatrike in oboda odseka, ki bo pravokoten na izbrano generatriko.

Formula izgleda takole:

stran S = x * P,

kjer je x dolžina generatrise valja, P je obseg odseka.

Mimogrede, bolje je izbrati odsek tako, da tvori elipso. Potem bodo izračuni njegovega oboda poenostavljeni. Dolžina elipse se izračuna s formulo, ki daje približen odgovor. Toda za naloge šolskega tečaja pogosto zadostuje:

l = π * (a + b),

kjer sta "a" in "b" pol-osi elipse, to je razdalja od središča do najbližje in najbolj oddaljene točke.

Površino celotne površine je treba izračunati z naslednjim izrazom:

S nadstropje = 2 π * r 2 + x * R.

Kateri so nekateri deli pravilnega krožnega valja?

Ko prerez poteka skozi os, je njegova ploščina določena kot produkt generatrise in premera osnove. To je razloženo z dejstvom, da ima obliko pravokotnika, katerega stranice sovpadajo z označenimi elementi.

Če želite najti površino prečnega prereza valja, ki je vzporedna z osno, boste potrebovali tudi formulo za pravokotnik. V tem primeru bo ena od njegovih strani še vedno sovpadala z višino, druga pa bo enaka tetivi osnove. Slednji sovpada s prerezom vzdolž baze.

Ko je odsek pravokoten na os, je videti kot krog. Poleg tega je njegova površina enaka površini osnove figure.

Možno je tudi sekanje pod določenim kotom na os. Nato prečni prerez povzroči oval ali njegov del.

Vzorčne težave

Naloga št. 1. Podan je raven valj, katerega osnovna ploščina je 12,56 cm 2 . Treba je izračunati skupno površino valja, če je njegova višina 3 cm.

rešitev. Potrebno je uporabiti formulo za skupno površino krožnega ravnega valja. Manjkajo pa podatki, in sicer polmer baze. Toda območje kroga je znano. Iz tega je enostavno izračunati polmer.

Izkaže se, da je enakovreden kvadratni koren iz količnika, ki ga dobimo tako, da ploščino osnove delimo s pi. Po delitvi 12,56 s 3,14 je rezultat 4. Kvadratni koren iz 4 je 2. Zato bo imel polmer to vrednost.

Odgovor: S tla = 50,24 cm 2.

Naloga št. 2. Valj s polmerom 5 cm prereže ravnina, ki je vzporedna z osjo. Razdalja od preseka do osi je 4 cm. Najti morate površino prereza.

rešitev. Oblika prečnega prereza je pravokotna. Ena od njegovih stranic sovpada z višino valja, druga pa je enaka tetivi. Če je prva količina znana, je treba najti drugo.

Za to je treba narediti dodatno konstrukcijo. Na dnu narišemo dva segmenta. Oba bosta začela v središču kroga. Prvi se bo končal v središču tetive in je enak znani razdalji do osi. Drugi je na koncu akorda.

Dobili boste pravokotni trikotnik. V njem sta znana hipotenuza in ena od nog. Hipotenuza sovpada s polmerom. Drugi krak je enak polovici tetive. Neznani krak, pomnožen z 2, bo dal želeno dolžino tetive. Izračunajmo njegovo vrednost.

Da bi našli neznani krak, boste morali kvadrirati hipotenuzo in znani krak, odšteti drugi od prvega in vzeti kvadratni koren. Kvadrata sta 25 in 9. Njuna razlika je 16. Ko vzamemo kvadratni koren, ostane 4. To je želeni krak.

Tetiva bo enaka 4 * 2 = 8 (cm). Zdaj lahko izračunate površino prečnega prereza: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Odgovor: S križ je enak 32 cm 2.

Naloga št. 3. Potrebno je izračunati površino aksialni prerez valj. Znano je, da je vanjo včrtana kocka z robom 10 cm.

rešitev. Osni odsek valja sovpada s pravokotnikom, ki poteka skozi štiri oglišča kocke in vsebuje diagonale njegovih baz. Stranica kocke je generatriksa valja, diagonala osnove pa sovpada s premerom. Zmnožek teh dveh količin bo dal površino, ki jo morate najti v problemu.

Če želite najti premer, boste morali uporabiti znanje, da je osnova kocke kvadrat, njena diagonala pa tvori enakostranični pravokotni trikotnik. Njegova hipotenuza je želena diagonala figure.

Za izračun boste potrebovali formulo Pitagorovega izreka. Stranico kocke morate kvadrirati, jo pomnožiti z 2 in izvleči kvadratni koren. Deset na drugo potenco je sto. Pomnoženo z 2 je dvesto. Kvadratni koren iz 200 je 10√2.

Odsek je spet pravokotnik s stranicama 10 in 10√2. Njegovo površino je mogoče enostavno izračunati z množenjem teh vrednosti.

Odgovori. S prerez = 100√2 cm 2.

Predstavlja geometrijsko telo, ki ga omejujejo dve vzporedni ravnini in valjasta površina.

Cilinder je sestavljen iz stranske površine in dveh podstavkov. Formula za površino valja vključuje ločen izračun površine osnove in stranske površine. Ker sta osnovi v valju enaki, bo njegova skupna površina izračunana po formuli:

Upoštevali bomo primer izračuna površine valja, potem ko poznamo vse potrebne formule. Najprej potrebujemo formulo za površino osnove valja. Ker je osnova valja krog, bomo morali uporabiti:
Spomnimo se, da se v teh izračunih uporablja konstantno število Π = 3,1415926, ki se izračuna kot razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom. To število je matematična konstanta. Malo kasneje si bomo ogledali tudi primer izračuna površine osnove valja.

Površina bočne površine cilindra

Formula za površino stranske površine valja je produkt dolžine osnove in njene višine:

Zdaj pa poglejmo problem, v katerem moramo izračunati skupno površino valja. Na dani sliki je višina h = 4 cm, r = 2 cm. Poiščimo celotno površino valja.
Najprej izračunajmo površino baz:
Zdaj pa si poglejmo primer izračuna površine bočne površine valja. Ko je razširjen, predstavlja pravokotnik. Njegova površina se izračuna po zgornji formuli. Vanj nadomestimo vse podatke:
Skupna površina kroga je vsota dvojne površine osnove in stranice:

Tako smo z uporabo formul za površino baz in stransko površino figure lahko našli skupno površino valja.
Osni prerez valja je pravokotnik, katerega stranice so enake višini in premeru valja.

Formula za površino osnega prereza valja izhaja iz formule za izračun:

Poiščite površino osnega odseka, pravokotnega na osnove valja. Ena od strani tega pravokotnika je enaka višini valja, druga pa premeru osnovnega kroga. V skladu s tem bo površina preseka v tem primeru enaka produktu stranic pravokotnika. S=2R*h, kjer je S površina prečnega prereza, R polmer osnovnega kroga, ki ga določajo pogoji problema, in h je višina valja, prav tako podana s pogoji problema.

Če je odsek pravokoten na osnove, vendar ne poteka skozi vrtilno os, pravokotnik ne bo enak premeru kroga. Treba je izračunati. Da bi to naredili, mora problem povedati, na kateri razdalji od osi vrtenja poteka presečna ravnina. Za lažje izračune sestavite krog na dnu valja, narišite polmer in nanj narišite razdaljo, na kateri se odsek nahaja od središča kroga. Od te točke narišite pravokotnice do njihovega presečišča s krogom. Povežite presečišča s središčem. Najti moraš akorde. Poiščite velikost polovice tetive s pomočjo Pitagorovega izreka. Enak bo kvadratnemu korenu razlike med kvadrati polmera kroga od središča do presečne črte. a2=R2-b2. Celotna tetiva bo torej enaka 2a. Izračunaj površino prečnega prereza, ki je enaka zmnožku stranic pravokotnika, to je S=2a*h.

Cilinder je mogoče rezati, ne da bi šel skozi ravnino baze. Če je prerez pravokoten na os vrtenja, bo to krog. Njegova površina je v tem primeru enaka površini baz, to je izračunana po formuli S = πR2.

Koristen nasvet

Če si želite natančneje predstavljati odsek, naredite risbo in dodatne konstrukcije zanj.

Viri:

• površina preseka cilindra

Presečišče ploskve z ravnino pripada tako ploskvi kot sečni ravnini. Linija presečišča cilindrične površine z rezalno ravnino, vzporedno z ravno generatriko, je ravna črta. Če je rezalna ravnina pravokotna na os vrtilne površine, bo prerez krog. Na splošno je črta presečišča cilindrične površine z ravnino reza ukrivljena črta.

Boste potrebovali

• Svinčnik, ravnilo, trikotnik, vzorci, šestilo, meter.

Navodila

Na čelni ravnini projekcij P₂ prečna črta sovpada s projekcijo rezalne ravnine Σ₂ v obliki ravne črte.
Označite točke presečišča generatrik valja s projekcijo Σ₂ 1₂, 2₂ itd. do točk 10₂ in 11₂.

Na ravnini P₁ je krožnica. Točke 1₂, 2₂ itd. označene na presečni ravnini Σ₂. s pomočjo projekcijske povezovalne črte projicirajo na obris tega kroga. Označite njihove vodoravne projekcije simetrično glede na vodoravno os kroga.

Tako se določijo projekcije želenega odseka: na ravnini P₂ – premica (točke 1₂, 2₂…10₂); na ravnini P₁ – krog (točke 1₁, 2₁…10₁).

S pomočjo dveh sestavite naravno velikost preseka tega valja s čelno projekcijsko ravnino Σ. Če želite to narediti, uporabite metodo projekcije.

Nariši ravnino П₄ vzporedno s projekcijo ravnine Σ₂. Na tej novi osi x₂₄ označite točko 1₀. Razdalje med točkami 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ itd. od čelne projekcije odseka ga postavite na os x₂₄, narišite tanke črte povezave projekcije pravokotno na os x₂₄.

IN ta metoda ravnina P₄ se nadomesti z ravnino P₁, zato iz vodoravne projekcije prenesite dimenzije z osi na točke na os ravnine P₄.

Na primer, na P₁ za točki 2 in 3 bo to razdalja od 2₁ in 3₁ do osi (točka A) itd.

Če odložimo navedene razdalje od vodoravne projekcije, dobimo točke 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Nato se za večjo natančnost konstrukcije določijo preostale vmesne točke.

Če povežete vse točke z vzorčno krivuljo, dobite zahtevano naravno velikost preseka valja s čelno projekcijsko ravnino.

Viri:

• kako zamenjati letalo

Nasvet 3: Kako najti površino osnega prereza prisekanega stožca

Če želite rešiti to težavo, se morate spomniti, kaj je prisekan stožec in kakšne lastnosti ima. Bodite prepričani, da naredite risbo. Tako boste lahko ugotovili, katero geometrijsko figuro predstavlja odsek. Povsem možno je, da vam po tem reševanje težave ne bo več težko.

Navodila

Okrogel stožec je telo, ki ga dobimo z vrtenjem trikotnika okoli enega od njegovih krakov. Ravne črte, ki izhajajo iz vrha stožec in sekajo njegovo bazo, se imenujejo generatorji. Če so vsi generatorji enaki, je stožec raven. Na dnu kroga stožec leži krog. Navpičnica, spuščena na vznožje iz oglišča, je višina stožec. Na okrogli ravnini stožec višina sovpada z njegovo osjo. Os je ravna črta, ki se povezuje s središčem baze. Če je vodoravna rezalna ravnina krožnice stožec, potem je njegova zgornja osnova krog.

Ker v nalogi naloge ni določeno, da je v tem primeru podan stožec, lahko sklepamo, da je to raven prisekan stožec, katerega vodoravni presek je vzporeden z vznožjem. Njegov aksialni prerez, tj. navpična ravnina, ki skozi os okroglega stožec, je enakostranični trapez. Vsi aksialni razdelki okrogla ravna stožec so med seboj enake. Zato najti kvadrat aksialni razdelki, morate najti kvadrat trapeza, katerega osnove so premeri osnov prisekanega stožec, stranske stranice pa so njegove sestavine. Frustum višina stožec je tudi višina trapeza.

Površina trapeza je določena s formulo: S = ½(a+b) h, kjer je S – kvadrat trapez; - velikost spodnje osnove trapeza; h - višina trapeza.

Ker pogoj ne določa, kateri so podani, je možno, da sta premera obeh osnov prisekanega stožec znano: AD = d1 – premer spodnje baze okrnjenega stožec;BC = d2 – premer njene zgornje baze; EH = h1 – višina stožec.Tako kvadrat aksialni razdelki okrnjena stožec je definiran: S1 = ½ (d1+d2) h1

Viri:

• območje prisekanega stožca

Valj je prostorski lik in je sestavljen iz dveh enake podlage, ki predstavljajo kroge in stransko ploskev, ki povezuje črte, ki razmejujejo osnove. Za izračun kvadrat valj, poiščite ploščine vseh njegovih površin in jih seštejte.