Povprečna dolžina trapeza je enaka vsoti njegovih osnov. Trapez. Celoten ilustriran vodnik (2019)

Zato bomo poklicali enega od njih velik , drugič - majhna osnova trapez. Višina trapez lahko imenujemo kateri koli odsek navpičnice, potegnjen iz oglišč na ustrezno nasprotno stran (za vsako oglišče sta dve nasprotni strani), zaprt med vzeto ogliščem in nasprotno stranjo. Vendar je mogoče izpostaviti "poseben tip" višin.
Opredelitev 8. Višina osnove trapeza je odsek ravne črte, ki je pravokoten na osnovici, zaprt med osnovama.
Izrek 7 . Srednja črta trapeza je vzporedna z osnovama in je enaka polovici njihove vsote.
Dokaz. Naj bo dan trapez ABCD in srednja črta KM. Skozi točki B in M ​​nariši premico. Stranico AD nadaljujemo skozi točko D, dokler se ne preseka z BM. Trikotnika BCm in MPD sta enaka po stranicah in dveh kotih (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - prekrivajoča se, ∠ BMC=∠ DMP - navpična), zato je VM=MP ali točka M razpolovišče BP. KM je srednjica v trikotniku ABP. Glede na lastnost srednje črte trikotnika je KM vzporedna z AP in še posebej z AD in je enaka polovici AP:

Izrek 8 . Diagonale delijo trapez na štiri dele, od katerih sta dva, ki mejita na stranice, enaka.
Naj vas spomnim, da se figure imenujejo enake, če imajo enako površino. Trikotnika ABD in ACD sta enaka: imata enaki višini (označeni z rumeno) in skupno osnovo. Ti trikotniki so splošni del AOD. Njihovo območje je mogoče razširiti na naslednji način:

Vrste trapeza:
Opredelitev 9. (Slika 1) Ostrokotni trapez je trapez, v katerem so koti, ki mejijo na večjo osnovo, ostri.
Opredelitev 10. (Slika 2) Topi trapez je trapez, pri katerem je eden od kotov, ki mejijo na večjo osnovo, top.
Opredelitev 11. (Slika 4) Trapez imenujemo pravokotnik, pri katerem je ena stranica pravokotna na osnove.
Opredelitev 12. (Slika 3) Enakokraki (enakokraki, enakokraki) je trapez, pri katerem sta stranici enaki.

Lastnosti enakokrakega trapeza:
Izrek 10 . Koti, ki ležijo na vsaki od osnov enakokrakega trapeza, so enaki.
Dokaz. Dokažimo na primer enakost kotov A in D z večjo osnovo AD enakokrakega trapeza ABCD. V ta namen narišemo premico skozi točko C vzporedno s stransko stranico AB. Veliko osnovo bo sekal v točki M. Štirikotnik ABCM je paralelogram, ker po zgradbi ima dva para vzporednih stranic. Zato je odsek CM sekanse, ki je zaprt znotraj trapeza, enak njegovi stranski stranici: CM=AB. Od tod je razvidno, da je CM=CD, trikotnik CMD je enakokrak, ∠CMD=∠CDM in torej ∠A=∠D. Tudi kota pri manjši osnovnici sta enaka, ker so za tiste, ki so notranje enostranske in imajo vsoto dveh črt.
Izrek 11 . Diagonali enakokrakega trapeza sta enaki.
Dokaz. Razmislite o trikotnikih ABD in ACD. Enak je na dveh stranicah in kotu med njima (AB=CD, AD je skupen, kota A in D sta enaka po izreku 10). Zato je AC=BD.

Izrek 13 . Diagonale enakokrakega trapeza so s presečiščem razdeljene na ustrezno enake odseke. Razmislite o trikotnikih ABD in ACD. Enak je na dveh stranicah in kotu med njima (AB=CD, AD je skupen, kota A in D sta enaka po izreku 10). Zato je ∠ ОАD=∠ ОDA, zato sta kota OВС in OSV enaka kot ustrezno prekrivajoča se kota ODA in OAD. Spomnimo se izreka: če sta dva kota v trikotniku enaka, potem je ta enakokrak, torej sta trikotnika ОВС in ОAD enakokraka, kar pomeni OS=OB in OA=OD itd.
Enakokraki trapez je simetričen lik.
Opredelitev 13. Simetrična os enakokrakega trapeza se imenuje ravna črta, ki poteka skozi središča njegovih baz.
Izrek 14 . Simetrijska os enakokrakega trapeza je pravokotna na njegove osnove.
V izreku 9 smo dokazali, da premica, ki povezuje razpolovišči osnov trapeza, poteka skozi presečišče diagonal. Nato (izrek 13) smo dokazali, da sta trikotnika AOD in BOC enakokraka. OM in OK sta mediani teh trikotnikov po definiciji. Spomnimo se lastnosti enakokrakega trikotnika: mediana enakokrakega trikotnika, spuščena na osnovo, je tudi višina trikotnika. Zaradi pravokotnosti osnov delov premice KM je simetrijska os pravokotna na osnovke.
Znaki, ki razlikujejo enakokraki trapez med vsemi trapezi:
Izrek 15 . Če sta kota, ki mejita na eno od osnov trapeza, enaka, potem je trapez enakokrak.
Izrek 16 . Če sta diagonali trapeza enaki, potem je trapez enakokrak.
Izrek 17 . Če stranske stranice trapeza, razširjene do presečišča, tvorijo enakokrak trikotnik skupaj z njegovo veliko osnovo, potem je trapez enakokrak.
Izrek 18 . Če lahko trapez vpišemo v krog, potem je enakokrak.
Znak pravokotnega trapeza:
Izrek 19 . Vsak štirikotnik, ki ima samo dva prava kota v sosednjih ogliščih, je pravokotni trapez (očitno je, da sta stranici vzporedni, ker sta enostranici enaki. v primeru, ko so trije pravi koti pravokotnik)
Izrek 20 . Polmer kroga, včrtanega v trapez, je enak polovici višine osnove.
Dokaz tega izreka je pojasniti, da polmeri, narisani na osnovici, ležijo na višini trapeza. Iz točke O - središča kroga ABCD, včrtanega v ta trapez, narišemo polmere do stičnih točk z njegovimi osnovami trapeza. Kot veste, je polmer, narisan na stično točko, pravokoten na tangento, torej OK ^ BC in OM ^ AD. Spomnimo se izreka: če je premica pravokotna na eno od vzporednih premic, je pravokotna tudi na drugo. Zato je tudi premica OK pravokotna na AD. Tako potekata dve premici, pravokotni na premico AD, skozi točko O, kar pa ne more biti, zato ti premici sovpadata in sestavljata skupno navpičnico KM, kar je enaka vsoti dva polmera in je premer včrtanega kroga, torej r=KM/2 ali r=h/2.
Izrek 21 . Ploščina trapeza je enaka produktu polovice vsote baz in višine baz.

Dokaz: Naj bo ABCD dani trapez, AB in CD pa njegovi osnovici. Naj bo tudi AH višina, spuščena iz točke A na premico CD. Potem je S ABCD = S ACD + S ABC.
Toda S ACD = 1/2AH CD in S ABC = 1/2AH AB.
Zato je S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

Druga formula se je preselila iz štirikotnika.

\[(\Velik(\besedilo(Poljubni trapez)))\]

Definicije

Trapez je konveksen štirikotnik, v katerem sta dve strani vzporedni, drugi dve stranici pa nista vzporedni.

Vzporedni strani trapeza imenujemo njegove osnove, drugi dve stranici pa njegove stranice.

Višina trapeza je navpičnica, spuščena iz katere koli točke ene osnove na drugo osnovo.

Izreki: lastnosti trapeza

1) Vsota kotov pri strani je \(180^\circ\) .

2) Diagonale delijo trapez na štiri trikotnike, od katerih sta dva podobna, druga dva pa enaka.

Dokaz

1) Ker \(AD\vzporednik BC\) , potem sta kota \(\kot BAD\) in \(\kot ABC\) pri teh premicah enostranična in sekanta \(AB\) , torej \(\kot BAD +\kot ABC=180^\krog\).

2) Ker \(AD\vzporednik BC\) in \(BD\) je sekanta, potem \(\kot DBC=\kot BDA\), ki leži počez.
Tudi \(\kot BOC=\kot AOD\) kot navpično.
Zato v dveh kotih \(\trikotnik BOC \sim \trikotnik AOD\).

Dokažimo to \(S_(\trikotnik AOB)=S_(\trikotnik COD)\). Naj bo \(h\) višina trapeza. Potem \(S_(\trikotnik ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trikotnik ACD)\). Nato: \

Opredelitev

Srednja črta trapeza je odsek, ki povezuje središča stranic.

Izrek

Srednja črta trapeza je vzporedna z osnovama in je enaka polovici njihove vsote.

Dokaz*

1) Dokažimo vzporednost.

Nariši premico \(MN"\vzporednik AD\) (\(N"\v CD\) ) skozi točko \(M\) ). Potem, po Thalesovem izreku (ker \(MN"\vzporedno AD\vzporedno BC, AM=MB\)) točka \(N"\) je razpolovišče odseka \(CD\)... Zato bosta točki \(N\) in \(N"\) sovpadali.

2) Dokažimo formulo.

Narišimo \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Pustiti \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Potem sta po Thalesovem izreku \(M"\) in \(N"\) razpolovišči odsekov \(BB"\) oziroma \(CC"\). Torej \(MM"\) je srednja črta \(\trikotnik ABB"\) , \(NN"\) je srednja črta \(\trikotnik DCC"\) . Zato: \

Ker \(MN\vzporednik AD\vzporednik BC\) in \(BB", CC"\perp AD\) , potem sta \(B"M"N"C"\) in \(BM"N"C\) pravokotnika. Po Thalesovem izreku \(MN\parallel AD\) in \(AM=MB\) pomenita, da \(B"M"=M"B\) . Zato \(B"M"N"C"\) in \(BM"N"C\) sta enaka pravokotnika, torej \(M"N"=B"C"=BC\) .

V to smer:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\desno)=\dfrac12\left(AD+BC\desno)\]

Izrek: lastnost poljubnega trapeza

Razpolovišča osnov, presečišče diagonal trapeza in presečišče podaljškov stranskih stranic ležijo na isti premici.

Dokaz*
Priporočljivo je, da se z dokazom seznanite po preučevanju teme "Podobni trikotniki".

1) Dokažimo, da točke \(P\) , \(N\) in \(M\) ležijo na isti premici.

Narišite črto \(PN\) (\(P\) je točka presečišča podaljškov stranic, \(N\) je razpolovna točka \(BC\) ). Naj seka stranico \(AD\) v točki \(M\) . Dokažimo, da je \(M\) razpolovišče \(AD\) .

Razmislite o \(\trikotniku BPN\) in \(\trikotniku APM\) . Podobna sta si v dveh kotih (\(\kot APM\) - skupni, \(\kot PAM=\kot PBN\) kot ustreza \(AD\vzporednik BC\) in \(AB\) sekans). Pomeni: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Razmislite o \(\trikotniku CPN\) in \(\trikotniku DPM\) . Podobna sta si v dveh kotih (\(\kot DPM\) - skupni, \(\kot PDM=\kot PCN\) kot ustreza \(AD\vzporednik BC\) in \(CD\) sekans). Pomeni: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Od tod \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Toda \(BN=NC\) , torej \(AM=DM\) .

2) Dokažimo, da točke \(N, O, M\) ležijo na eni premici.

Naj bo \(N\) razpolovišče \(BC\) , \(O\) presečišče diagonal. Nariši premico \(NO\), ki bo sekala stranico \(AD\) v točki \(M\). Dokažimo, da je \(M\) razpolovišče \(AD\) .

\(\trikotnik BNO\sim \trikotnik DMO\) pod dvema kotoma (\(\kot OBN=\kot ODM\) kot leži na \(BC\vzporednik AD\) in \(BD\) sekant; \(\kot BON=\kot DOM\) kot navpično). Pomeni: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

podobno \(\trikotnik CON\sim \trikotnik AOM\). Pomeni: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Od tod \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Toda \(BN=CN\) , torej \(AM=MD\) .

\[(\Velik(\text(Enakokraki trapez)))\]

Definicije

Trapez se imenuje pravokoten, če je eden od njegovih kotov pravi.

Trapez se imenuje enakokrak, če sta njegovi stranici enaki.

Izreki: lastnosti enakokrakega trapeza

1) Enakokraki trapez ima enake osnovne kote.

2) Diagonali enakokrakega trapeza sta enaki.

3) Dva trikotnika, ki ju tvorita diagonali in osnovo, sta enakokraka.

Dokaz

1) Razmislite o enakokrakem trapezu \(ABCD\) .

Iz oglišč \(B\) in \(C\) spustimo na stranico \(AD\) navpičnici \(BM\) oziroma \(CN\). Ker \(BM\perp AD\) in \(CN\perp AD\) , potem \(BM\parallel CN\) ; \(AD\vzporednik BC\) , potem je \(MBCN\) paralelogram, torej \(BM = CN\) .

Razmislite o pravokotnih trikotnikih \(ABM\) in \(CDN\) . Ker imata enaki hipotenuzi in je krak \(BM\) enak kraku \(CN\) , sta ti trikotnika skladna, torej \(\kot DAB = \kot CDA\) .

Ker \(AB=CD, \kot A=\kot D, AD\)- splošno, nato na prvi znak. Zato \(AC=BD\) .

3) Ker \(\trikotnik ABD=\trikotnik ACD\), potem \(\kot BDA=\kot CAD\) . Zato je trikotnik \(\trikotnik AOD\) enakokrak. Podobno lahko dokažemo, da je \(\trikotnik BOC\) enakokrak.

Izreki: znaki enakokrakega trapeza

1) Če sta kota na dnu trapeza enaka, je enakokrak.

2) Če sta diagonali trapeza enaki, je enakokrak.

Dokaz

Razmislite o trapezu \(ABCD\), tako da \(\kotnik A = \kotnik D\) .

Dopolnimo trapez do trikotnika \(AED\), kot je prikazano na sliki. Ker je \(\kot 1 = \kot 2\) , potem je trikotnik \(AED\) enakokrak in \(AE = ED\) . Kota \(1\) in \(3\) sta enaka, kot ustrezata vzporednima premicama \(AD\) in \(BC\) ter sekanti \(AB\) . Podobno sta kota \(2\) in \(4\) enaka, vendar \(\kot 1 = \kot 2\), potem \(\kot 3 = \kot 1 = \kot 2 = \kot 4\), torej je tudi trikotnik \(BEC\) enakokrak in \(BE = EC\) .

Sčasoma \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), tj. \(AB = CD\) , kar je bilo treba dokazati.

2) Naj \(AC=BD\) . Ker \(\trikotnik AOD\sim \trikotnik BOC\), potem njun koeficient podobnosti označimo z \(k\) . Potem, če \(BO=x\) , potem \(OD=kx\) . Podobno \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Ker \(AC=BD\) , nato \(x+kx=y+ky \desna puščica x=y\) . Torej \(\trikotnik AOD\) je enakokrak in \(\kotnik OAD=\kotnik ODA\) .

Tako, glede na prvi znak \(\trikotnik ABD=\trikotnik ACD\) (\(AC=BD, \kot OAD=\kot ODA, AD\)- splošno). Torej \(AB=CD\) , torej.

Tra-pe-cija

1. Trapez in njegove vrste

Opredelitev

Tra-pe-cija- to je štiri-you-rekh-coal-nick, nekdo-ro-go ima dvesto-ro-pa-ral-lel-na, druga dva pa ne.

Na sl. 1. image-ra-same-on pro-from-free-tra-pe-tion. - to so b-to-th-s-ro-ns (tisti, ki niso par-ral-lel-ny). - os-no-va-niya (par-ral-lel-nye sto-ro-ny).

riž. 1. Tra-pe-cija

Če primerjamo tra-pe-tion s para-ral-le-lo-gram-m, potem ima para-ral-le-lo-gram-ma dva para para-le-lo-gramov. To pomeni, da pa-ral-le-lo-gram ni poseben primer tra-pe-cije, saj je v definiciji tra-pe-cije jasno rečeno -za-ampak, da dvesto-ro-na -tra-pe-cije niso par-ral-lel-na.

Deliminirate določene vrste tra-pe-cije (zasebni primeri):

2. Srednja črta trapeza in njene lastnosti

Opredelitev

Srednja linija tra-pe-cije- od-re-zok, pridružite se-nya-yu-schee se-re-di-ny strani bo-to-y.

Na sl. 2. slika-ra-enako-na tra-pe-ciji s povprečno linijo-ni-je.

riž. 2. Srednja linija tra-pe-cije

Lastnosti srednje črte tra-pe-cije:

1. Srednja črta tra-pe-cije para-ral-lel-na os-no-va-ni-yam tra-pe-cije.

Dokaz:

Naj bo se-re-di-na strani strani tra-pe-cije točka. Skozi to točko gremo ravno črto, par-ral-lel-naya os-but-va-ni-pits. Ta ravna črta re-re-se-tudi drugi bo-ko-vu sto-ro-well tra-pe-tion na točki.

Po naročilu-e-tion:. Po teo-re-me Fa-le-sa to sledi:. Torej goljufija - se-re-di-na sto-ro-na. Torej, - srednja črta.

Pred-za-ampak.

2. Srednja črta tra-pe-cije je enaka lu-sum-me os-no-va-ny tra-pe-tion:.

Dokaz:

Narišimo srednjo črto tra-pe-cije in eno od dia-go-on-lei: na primer (glej sliko 3).

Po teoriji Fa-le-sa so para-ral-lel-ny ravne črte iz-se-ka-yut na straneh kota prop-qi-o-nal-cut- ki. Ker so enaki iz rezov:. Torej, od-re-zok yav-la-is-sya srednji-no-njen trikotnik-no-ka, in od-re-zok - srednji-no-njen trikotnik -Nika .

Pomeni,.

Opomba: to izhaja iz lastnosti srednje črte trikotnika: srednja črta trikotne-no-ka para-ral-lel-na os- but-va-niyu in je enaka njegovi napaki. Prvi del te lastnosti je do-ka-zy-va-et-sya ana-logika-toda z do-ka-za-prvo lastnostjo srednje črte trape-cije, drugi del pa lahko dokazati (na primer za srednjo črto trikotnika), risanje ravne črte skozi točko, paral-lel-nuyu. Iz teorije Fa-le-sa bo sledilo, da bo ta ravna črta srednja črta in you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram-mama (dva para v paru, ampak para-ral-lel-ny strani). Od-tu-da, to je že enostavno, ampak v-lu-chit tre-bu-e-moja lastnina.

On-lu-cha-jesti:.

Pred-za-ampak.

Raz-poglej zdaj, na frakcijski način, glavne vrste tra-pe-cije in njihove lastnosti.

3. Znaki enakokrakega trapeza

Naj vas spomnimo, da je enako revna-ren-naya tra-pe-tion tra-pe-tion, za nekatere so strani enake. Poglejmo si lastnosti bo-ko-jokanja tra-pe-cije.

1. Koti na os-no-va-nii enakega, a slabega-ren-noy tra-pe-tion so enaki.

Dokaz:

Ti-pol-mu standardni do-pol-no-tel-noe in-stro-e-tion, nekdo zelo pogosto uporablja pri reševanju časov -osebne naloge za tra-pe-tion: izvedimo neposredno para-ral-lel- ampak ob strani (glej sliko 4).

Paralelogram.

Od tod-da sledi, da:. Torej, trikotnik-nick je enak-vendar-reven-ren-ny. In to pomeni, da sta kota pri njegovi osnovi enaka, to je: smo X ).

Pred-za-ampak.

2. Dia-go-on-ali so enake-vendar-revne-ren-noy tra-pe-cije enake.

Dokaz:

Če želite narediti-ka-za-tel-stva te lastnosti, uporabite prejšnji-du-shim. Dejansko razmislimo o trikotnikih: in (glej sliko 5.).

(glede na prvi znak enakosti trikotnikov: dve stranici in kot med njima).

Iz te enakosti takoj sledi:.

Pred-za-ampak.

Oka-zy-va-et-sya, da ima, tako kot v primeru pa-ral-le-lo-gram-mama, enako slaba-ren-noy tra-pe-tion lastnosti enega -ampak- čas-moški-ampak yav-la-yut-sya in prepozna-ka-mi. Sfor-mu-li-ru-em in do-recite te znake.

Znaki enakopravne, vendar postelje-ren-noy tra-pe-tion

1. Glede na: - tra-pe-tion; .

Dokaži:

Dokaz:

To-ka-za-tel-stvo tega-no-go priznanja-ka ab-so-lute-ampak ana-lo-gich-ampak to-ka-za-tel-stvo z-od-vet-stvo- yu -schego lastnina. Pojdimo v tra-pe-tion neposredno para-ral-lel-na strani (glej sliko 6).

(ustrezni koti z vzporednimi premicami). Od-ku-da, z uporabo stanja-jemo, v-lu-cha-jemo: - enak-vendar-reven-ren-ny

(koti so enaki na os-no-va-nii). Pomeni: (za par-ral-le-lo-gram-ma so pro-ti-in-on-false strani enake).

Pred-za-ampak.

2. Glede na: - tra-pe-tion; .

Dokaži: .

Dokaz:

You-half-it je še en standard-full-nor-tel-noe in-stro-e-tion pri reševanju težav s tra-pe-qi-her: we-we-we-dem skozi ver-shi-nu-muu -muyu para-ral-lel-but dia-go-na-li (glej sliko 7).

Pa-ral-le-lo-gram (dva para v parih, vendar para-ral-lel-ny strani).

(ustrezni koti z vzporednimi premicami). Poleg tega - enako-vendar-revni-ren-ny ( - po stanju; - po lastnini, pa-ral-le-lo-gram-ma). In to pomeni:.

Pred-za-ampak.

4. Vzorčne naloge

Oglejmo si nekaj primerov reševanja problemov s tra-pe-qi.

Primer 1.

Glede na: - tra-pe-tion; .

rešitev:

Vsota kotov s stransko stranjo tra-pe-cije je enaka - lastnost notranjih enostranskih kotov z vzporednimi črtami. Iz tega dejstva lahko izpeljemo dve enakosti:

Primer 2.

Glede na: - tra-pe-tion; . .

rešitev:

Pro-we-dem you-so-tu. In-lu-cha-eat che-you-rekh-coal-nick, in some-rum about-ti-in-on-false sides-ro-na-pair-but pa-ral-lel- us, and the two koti so enaki v . Torej, - pa-ral-le-lo-gram, ali bolje rečeno, pravokotnik-nick.

Sledi, da . Kje: .

Ras-pogled-rob pravokotnega trikotnika. V njem je eden od ostrih kotov po pogoju enak . Torej, drugi roj je enak, to je:. Vos-use-zu-em z lastnostjo ka-te-ta, le-zha-sche-proti vogalu: je polovica velikosti gi-po-te-nu-zy.

V tej lekciji bomo preverili, ali razumemo tra-pe-tion in njegove lastnosti, preučili bomo vrste tra-pe-tiona in tudi rešili nekaj ko -mer ty-by-out nalog.

VIR

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/trapetsiya

http://img3.proshkolu.ru/content/media/pic/std/1000000/983000/982960-b6b4e8f6a4e7b336.jpg

http://static.wixstatic.com/media/13679f_7ac2889143594b059462e77b25eda7c6.jpg

http://delaem-uroki.narod.ru/img/102/792/KZqhOMb.gif

Trapez. Naloga na srednji črti trapeza.

http://cs323223.vk.me/v323223595/5e51/Gi2qlTPgLVo.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/47/46420/img2.jpg

V tem članku bomo poskušali čim bolj odražati lastnosti trapeza. Še posebej bomo govorili o pogosti znaki in lastnostih trapeza ter o lastnostih včrtanega trapeza in o trapezu včrtane krožnice. Dotaknili se bomo tudi lastnosti enakokrakega in pravokotnega trapeza.

Primer reševanja problema z uporabo obravnavanih lastnosti vam bo pomagal urediti stvari v glavi in ​​si bolje zapomniti gradivo.

Trapez in vse-vse-vse

Za začetek se na kratko spomnimo, kaj je trapez in kateri drugi pojmi so povezani z njim.

Torej, trapez je štirikotnik, katerega dve strani sta vzporedni drug z drugim (to sta osnovi). In dva nista vzporedna - to sta strani.

V trapezu lahko višino izpustimo – pravokotno na osnove. Srednja črta in diagonale so narisane. In tudi iz katerega koli kota trapeza je mogoče narisati simetralo.

O različnih lastnostih, povezanih z vsemi temi elementi in njihovimi kombinacijami, bomo zdaj govorili.

Lastnosti diagonal trapeza

Da bo bolj jasno, med branjem na list papirja narišite trapez ACME in vanj narišite diagonale.

1. Če poiščete središča vsake diagonale (recimo tem točkama X in T) in ju povežete, dobite odsek. Ena od lastnosti diagonal trapeza je, da odsek XT leži na srednji črti. In njegovo dolžino lahko dobimo tako, da razliko baz delimo z dvema: XT \u003d (a - b) / 2.
2. Pred nami je isti trapez ACME. Diagonali se sekata v točki O. Oglejmo si trikotnika AOE in IOC, ki ju tvorijo odseki diagonal skupaj z osnovami trapeza. Ti trikotniki so si podobni. Koeficient podobnosti k trikotnikov je izražen z razmerjem osnov trapeza: k = AE/KM.
   Razmerje ploščin trikotnikov AOE in IOC opisujemo s koeficientom k 2 .
3. Vse isti trapez, iste diagonale, ki se sekajo v točki O. Samo tokrat bomo obravnavali trikotnike, ki so jih diagonalni segmenti tvorili skupaj s stranicami trapeza. Ploščini trikotnikov AKO in EMO sta enaki – njuni ploščini sta enaki.
4. Druga lastnost trapeza vključuje konstrukcijo diagonal. Torej, če stranice AK in ME nadaljujemo v smeri manjše osnove, se prej ali slej sekata v neki točki. Nato narišite ravno črto skozi sredine baz trapeza. Seka osnove v točkah X in T.
   Če zdaj podaljšamo premico XT, bo povezala presečišče diagonal trapeza O, točko, v kateri se sekata podaljška stranic in razpolovišča osnov X in T.
5. Skozi točko presečišča diagonal narišemo odsek, ki bo povezal osnove trapeza (T leži na manjši osnovi KM, X - na večji AE). Presek diagonal deli ta segment v naslednjem razmerju: TO/OH = KM/AE.
6. In zdaj skozi točko presečišča diagonal narišemo segment, ki je vzporeden z osnovami trapeza (a in b). Presečišče ga bo razdelilo na dva enaka dela. Dolžino segmenta lahko najdete s formulo 2ab/(a + b).

Lastnosti srednje črte trapeza

Narišite srednjo črto v trapezu vzporedno z njegovimi osnovami.

1. Dolžino srednje črte trapeza lahko izračunamo tako, da seštejemo dolžine osnov in jih delimo na pol: m = (a + b)/2.
2. Če narišete kateri koli segment (na primer višino) skozi obe osnovi trapeza, ga bo srednja črta razdelila na dva enaka dela.

Lastnost simetrale trapeza

Izberi poljuben kot trapeza in nariši simetralo. Vzemimo za primer kot KAE našega trapeza ACME. Ko sami dokončate konstrukcijo, lahko zlahka vidite, da simetrala odreže od osnove (ali njenega nadaljevanja na ravni črti zunaj same figure) segment enake dolžine kot stranica.

Lastnosti kota trapeza

1. Ne glede na to, kateri od dveh parov kotov, ki mejijo na stranico, izberete, je vsota kotov v paru vedno 180 0: α + β = 180 0 in γ + δ = 180 0 .
2. Povežite razpolovni točki osnov trapeza z odsekom TX. Zdaj pa poglejmo kote na osnovah trapeza. Če je vsota kotov katerega koli od njih 90 0, je dolžino segmenta TX enostavno izračunati na podlagi razlike v dolžinah baz, deljenih na polovico: TX \u003d (AE - KM) / 2.
3. Če skozi stranice kota trapeza narišemo vzporedne črte, bodo stranice kota razdelile na sorazmerne segmente.

Lastnosti enakokrakega (enakokrakega) trapeza

1. V enakokrakem trapezu sta kota pri kateri koli osnovici enaka.
2. Sedaj znova zgradite trapez, da si boste lažje predstavljali, za kaj gre. Pazljivo poglejte osnovo AE - oglišče nasprotne osnovke M je projicirano na določeno točko na premici, ki vsebuje AE. Razdalja od oglišča A do projekcijske točke oglišča M in srednje črte enakokrakega trapeza sta enaki.
3. Nekaj ​​besed o lastnosti diagonal enakokrakega trapeza - njuni dolžini sta enaki. In tudi koti naklona teh diagonal na osnovo trapeza so enaki.
4. Samo v bližini enakokrakega trapeza je mogoče opisati krožnico, saj je vsota nasprotnih kotov štirikotnika 180 0 predpogoj za to.
5. Lastnost enakokrakega trapeza izhaja iz prejšnjega odstavka – če lahko v bližini trapeza opišemo krog, je ta enakokrak.
6. Iz značilnosti enakokrakega trapeza sledi lastnost višine trapeza: če se njegovi diagonali sekata pod pravim kotom, je dolžina višine enaka polovici vsote osnov: h = (a + b)/2.
7. Ponovno nariši premico TX skozi središča osnov trapeza – v enakokrakem trapezu je pravokotna na osnovice. In hkrati je TX simetrijska os enakokrakega trapeza.
8. Tokrat znižamo na večjo osnovo (recimo ji a) višino iz nasprotnega vrha trapeza. Dobili boste dva reza. Dolžino enega lahko ugotovimo, če dolžine osnov seštejemo in razdelimo na pol: (a+b)/2. Drugo dobimo, če od večje osnove odštejemo manjšo in dobljeno razliko delimo z dve: (a – b)/2.

Lastnosti trapeza, včrtanega v krog

Ker že govorimo o trapezu, vpisanem v krog, se o tem vprašanju podrobneje pogovorimo. Še posebej, kje je središče kroga glede na trapez. Tudi tukaj je priporočljivo, da ne boste preveč leni, da vzamete svinčnik in narišete, o čemer bomo razpravljali spodaj. Tako boste hitreje razumeli in si bolje zapomnili.

1. Lokacija središča kroga je določena s kotom naklona diagonale trapeza na njegovo stran. Na primer, diagonala lahko izhaja iz vrha trapeza pod pravim kotom na stran. V tem primeru večja osnovca seka središče opisane krožnice točno po sredini (R = ½AE).
2. Diagonala in stranica se lahko srečata tudi pod ostrim kotom – takrat je središče kroga znotraj trapeza.
3. Središče opisanega kroga je lahko zunaj trapeza, onstran njegovega velikega vznožja, če je med diagonalo trapeza in stransko stranjo top kot.
4. Kot, ki ga tvorita diagonala in velika osnova trapeza ACME (včrtani kot), je polovica središčnega kota, ki ji ustreza: MAE = ½ MOJ.
5. Na kratko o dveh načinih iskanja polmera opisanega kroga. Prva metoda: pozorno poglejte svojo risbo - kaj vidite? Zlahka boste opazili, da diagonala deli trapez na dva trikotnika. Polmer je mogoče najti z razmerjem med stranico trikotnika in sinusom nasprotnega kota, pomnoženim z dva. na primer R \u003d AE / 2 * sinAME. Podobno lahko formulo zapišemo za katero koli stran obeh trikotnikov.
6. Druga metoda: poiščemo polmer opisanega kroga skozi območje trikotnika, ki ga tvorijo diagonala, stranica in osnova trapeza: R \u003d AM * JAZ * AE / 4 * S ISTO.

Lastnosti trapeza, opisanega okoli kroga

V trapez lahko vpišete krog, če je izpolnjen en pogoj. Več o tem spodaj. In skupaj ima ta kombinacija figur vrsto zanimivih lastnosti.

1. Če je krog vpisan v trapez, lahko dolžino njegove srednje črte zlahka najdemo tako, da seštejemo dolžine stranic in dobljeno vsoto delimo na polovico: m = (c + d)/2.
2. Za trapez ACME, obkrožen okrog kroga, je vsota dolžin osnov enaka vsoti dolžin stranic: AK + ME = KM + AE.
3. Iz te lastnosti osnov trapeza sledi obratna trditev: v ta trapez lahko vpišemo krog, katerega vsota osnov je enaka vsoti stranic.
4. Tangenta kroga s polmerom r, včrtanega v trapez, deli stransko stranico na dva segmenta, imenujemo ju a in b. Polmer kroga lahko izračunate po formuli: r = √ab.
5. In še ena nepremičnina. Da ne boste zmedeni, narišite ta primer sami. Imamo stari dobri ACME trapez, obkrožen okoli kroga. V njem so narisane diagonale, ki se sekajo v točki O. Trikotnika AOK in EOM, ki ju tvorita odseka diagonal in stranic, sta pravokotna.
   Višine teh trikotnikov, spuščene na hipotenuze (tj. stranice trapeza), sovpadajo s polmeri včrtanega kroga. In višina trapeza je enaka premeru včrtanega kroga.

Lastnosti pravokotnega trapeza

Trapez se imenuje pravokoten, katerega eden od vogalov je pravi. In njegove lastnosti izhajajo iz te okoliščine.

1. Pravokotni trapez ima eno od stranic pravokotno na osnovo.
2. Višina in stranica trapeza, ki meji na pravi kot, sta enaka. To vam omogoča izračun površine pravokotnega trapeza ( splošna formula S = (a + b) * h/2) ne le po višini, ampak tudi po stranici, ki meji na pravi kot.
3. Za pravokotni trapez so pomembne splošne lastnosti že opisanih diagonal trapeza.

Dokazi nekaterih lastnosti trapeza

Enakost kotov na dnu enakokrakega trapeza:

• Verjetno ste že uganili, da tukaj spet potrebujemo trapez ACME - narišite enakokraki trapez. Nariši premico MT iz oglišča M vzporedno s stranico AK (MT || AK).

Dobljeni štirikotnik AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Ker je ME = KA = MT, je ∆ MTE enakokrak in MET = MTE.

AK || MT, torej MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kjer je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Zdaj na podlagi lastnosti enakokrakega trapeza (enakost diagonal) to tudi dokažemo trapez ACME je enakokrak:

• Za začetek narišimo ravno črto МХ – МХ || KE. Dobimo paralelogram KMHE (osnova - MX || KE in KM || EX).

∆AMH je enakokrak, ker je AM = KE = MX in MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, torej MAE = MXE.

Izkazalo se je, da sta trikotnika AKE in EMA enaka drug drugemu, ker je AM \u003d KE in AE skupna stranica obeh trikotnikov. In tudi MAE \u003d MXE. Sklepamo lahko, da je AK ​​= ME, iz česar sledi, da je trapez AKME enakokrak.

Naloga za ponovitev

Osnovici trapeza ACME sta 9 cm in 21 cm, stranica KA, enaka 8 cm, tvori z manjšo osnovo kot 150 0. Najti morate območje trapeza.

Rešitev: Iz oglišča K spustimo višino na večjo osnovo trapeza. In začnimo gledati kote trapeza.

Kota AEM in KAN sta enostranična. Kar pomeni, da seštejejo 1800. Zato je KAN = 30 0 (na podlagi lastnosti kotov trapeza).

Razmislite zdaj o pravokotniku ∆ANK (mislim, da je ta točka očitna bralcem brez dodatnega dokaza). Iz nje najdemo višino trapeza KH - v trikotniku je krak, ki leži nasproti kota 30 0. Zato je KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Območje trapeza najdemo po formuli: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Pogovor

Če ste skrbno in premišljeno preučili ta članek, niste bili preveč leni, da bi s svinčnikom v rokah narisali trapeze za vse zgoraj navedene lastnosti in jih analizirali v praksi, bi morali dobro obvladati gradivo.

Seveda je tu veliko informacij, raznolikih in včasih celo zmedenih: lastnosti opisanega trapeza ni tako težko zamenjati z lastnostmi včrtanega. Sami pa ste videli, da je razlika ogromna.

Zdaj imate podroben povzetek vseh skupne lastnosti trapez. Kot tudi posebne lastnosti in značilnosti enakokrakih in pravokotnih trapezov. Zelo priročno ga je uporabljati za pripravo na teste in izpite. Preizkusite sami in delite povezavo s prijatelji!

spletno mesto, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva je obvezna povezava do vira.

Trapez je poseben primerštirikotnik z enim parom vzporednih stranic. Izraz "trapez" izhaja iz grške besede τράπεζα, kar pomeni "miza", "miza". V tem članku bomo obravnavali vrste trapeza in njegove lastnosti. Poleg tega bomo ugotovili, kako izračunati posamezne elemente tega primera, diagonalo enakokrakega trapeza, srednjo črto, ploščino itd. Gradivo je predstavljeno v slogu elementarne popularne geometrije, torej na lahko dostopen način. oblika.

Splošne informacije

Najprej razumemo, kaj je štirikotnik. Ta slika je poseben primer mnogokotnika, ki vsebuje štiri stranice in štiri oglišča. Dve oglišči štirikotnika, ki nista sosednji, imenujemo nasprotni. Enako lahko rečemo za dve nesosednji strani. Glavne vrste štirikotnikov so paralelogram, pravokotnik, romb, kvadrat, trapez in deltoid.

Torej, nazaj k trapezu. Kot smo že povedali, ima ta lik dve strani, ki sta vzporedni. Imenujejo se baze. Drugi dve (nevzporedni) sta stranici. V izpitnem gradivu in razn nadzorna dela zelo pogosto lahko srečate naloge, povezane s trapezi, katerih rešitev pogosto zahteva od učenca znanje, ki ga program ne predvideva. Šolski predmet geometrije učence seznani z lastnostmi kotov in diagonal ter srednje črte enakokrakega trapeza. Toda navsezadnje ima omenjena geometrijska figura poleg tega še druge lastnosti. A več o njih kasneje ...

Vrste trapeza

Obstaja veliko vrst te figure. Vendar pa je najpogosteje običajno upoštevati dva od njih - enakokrake in pravokotne.

1. Pravokotni trapez je figura, pri kateri je ena od stranic pravokotna na osnove. Ima dva kota, ki sta vedno devetdeset stopinj.

2. Enakokraki trapez je geometrijski lik, katerega stranice so med seboj enake. To pomeni, da sta tudi kota pri osnovah po parih enaka.

Glavna načela metodologije za preučevanje lastnosti trapeza

Glavno načelo je uporaba tako imenovanega pristopa nalog. Pravzaprav ni potrebe po uvajanju novih lastnosti te figure v teoretični potek geometrije. Lahko jih odkrijemo in oblikujemo v procesu reševanja razne naloge(boljši od sistema). Ob tem je zelo pomembno, da učitelj ve, kakšne naloge mora učencem kdaj postaviti. izobraževalni proces. Poleg tega lahko vsako lastnost trapeza predstavimo kot ključno nalogo v sistemu nalog.

Drugi princip je tako imenovana spiralna organizacija študije "izjemnih" lastnosti trapeza. To pomeni vračanje v učnem procesu k posameznim značilnostim danosti geometrijski lik. Tako si jih učenci lažje zapomnijo. Na primer, lastnost štirih točk. To je mogoče dokazati tako v študiji podobnosti kot kasneje s pomočjo vektorjev. In enako površino trikotnikov, ki mejijo na stranice figure, je mogoče dokazati z uporabo ne le lastnosti trikotnikov z enakimi višinami, narisanimi na straneh, ki ležijo na isti črti, temveč tudi z uporabo formule S = 1/2 (ab*sinα). Poleg tega lahko telovadite na včrtanem trapezu ali pravokotnem trikotniku na obrobnem trapezu itd.

Uporaba "zunajprogramskih" lastnosti geometrijske figure v vsebini šolski tečaj je naloga tehnologija njihovega poučevanja. Nenehno pozivanje na preučevane lastnosti pri prehodu skozi druge teme omogoča učencem, da pridobijo globlje znanje o trapezu in zagotavlja uspešnost reševanja nalog. Torej, začnimo preučevati to čudovito figuro.

Elementi in lastnosti enakokrakega trapeza

Kot smo že omenili, so stranice te geometrijske figure enake. Znan je tudi kot pravi trapez. Zakaj je tako izjemen in zakaj je dobil tako ime? Značilnosti te figure vključujejo dejstvo, da niso samo strani in vogali na dnu enaki, temveč tudi diagonale. Prav tako je vsota kotov enakokrakega trapeza 360 stopinj. A to še ni vse! Od vseh znanih trapezov je le okoli enakokrakega mogoče opisati krog. To je posledica dejstva, da je vsota nasprotnih kotov te figure 180 stopinj in samo pod tem pogojem je mogoče opisati krog okoli štirikotnika. Naslednja lastnost obravnavane geometrijske figure je, da bo razdalja od osnovnega vrha do projekcije nasprotnega vrha na ravno črto, ki vsebuje to osnovo, enaka srednji črti.

Zdaj pa ugotovimo, kako najti kote enakokrakega trapeza. Razmislite o rešitvi tega problema, če so znane dimenzije strani figure.

rešitev

Običajno štirikotnik običajno označujemo s črkami A, B, C, D, kjer sta BS in AD osnovici. V enakokrakem trapezu sta stranici enaki. Predpostavili bomo, da je njihova velikost X, velikosti baz pa Y in Z (manjša oziroma večja). Za izračun je potrebno iz kota B narisati višino H. Rezultat je pravokotni trikotnik ABN, kjer je AB hipotenuza, BN in AN pa kraka. Izračunamo velikost noge AN: manjšo odštejemo od večje osnove in rezultat delimo z 2. Zapišemo jo v obliki formule: (Z-Y) / 2 \u003d F. Zdaj, da izračunamo ostri kot trikotnika, uporabimo funkcijo cos. Dobimo naslednji zapis: cos(β) = Х/F. Zdaj izračunamo kot: β=arcos (Х/F). Nadalje, če poznamo en kot, lahko določimo drugega, za to izvedemo osnovno aritmetično operacijo: 180 - β. Vsi koti so definirani.

Obstaja tudi druga rešitev tega problema. Na začetku spustimo višino H iz kota B. Izračunamo vrednost kraka BN. Vemo, da je kvadrat hipotenuze pravokotnega trikotnika enak vsoti kvadratov katet. Dobimo: BN \u003d √ (X2-F2). Nato uporabimo trigonometrično funkcijo tg. Kot rezultat imamo: β = arctg (BN / F). Najden oster kot. Nato določimo na enak način kot prva metoda.

Lastnost diagonal enakokrakega trapeza

Najprej zapišimo štiri pravila. Če sta diagonali v enakokrakem trapezu pravokotni, potem:

Višina figure bo enaka vsoti baz, deljeni z dva;

Njegova višina in sredinska črta sta enaki;

Središče kroga je točka, kjer je ;

Če je stranska stran razdeljena s stično točko na segmenta H in M, potem je enaka kvadratni koren izdelki teh segmentov;

Štirikotnik, ki ga tvorijo tangentne točke, oglišče trapeza in središče včrtanega kroga, je kvadrat, katerega stranica je enaka polmeru;

Ploščina figure je enaka produktu baz in produktu polovice vsote baz in njene višine.

Podobni trapezi

Ta tema je zelo priročna za preučevanje lastnosti tega.Na primer, diagonale delijo trapez na štiri trikotnike, tiste, ki mejijo na baze, so podobne, na straneh pa enake. To trditev lahko imenujemo lastnost trikotnikov, na katere je trapez razdeljen s svojimi diagonalami. Prvi del te trditve dokazujemo s kriterijem podobnosti v dveh kotih. Za dokaz drugega dela je bolje uporabiti spodaj navedeno metodo.

Dokaz izreka

Sprejmemo, da je lik ABSD (AD in BS - osnovici trapeza) razdeljen z diagonalama VD in AC. Njihovo presečišče je O. Dobimo štiri trikotnike: AOS - na spodnji podlagi, BOS - na zgornji podlagi, ABO in SOD na straneh. Trikotnika SOD in BOS imata skupno višino, če sta dolžini BO in OD njuni osnovici. Dobimo, da je razlika med njihovimi površinami (P) enaka razliki med temi segmenti: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Zato je PSOD = PBOS / K. Podobno imata trikotnika BOS in AOB skupno višino. Za osnovo vzamemo segmenta CO in OA. Dobimo PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K in PAOB \u003d PBOS / K. Iz tega sledi, da je PSOD = PAOB.

Za utrjevanje snovi učencem svetujemo, da z reševanjem naslednje naloge poiščejo povezavo med ploščinami nastalih trikotnikov, na katere je trapez razdeljen s svojimi diagonalami. Znano je, da sta površini trikotnikov BOS in AOD enaki, potrebno je najti površino trapeza. Ker je PSOD \u003d PAOB, to pomeni, da je PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Iz podobnosti trikotnikov BOS in AOD sledi, da je BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Zato je PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobimo PSOD = √ (PBOS * PAOD). Potem je PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

lastnosti podobnosti

Če nadaljujemo z razvojem te teme, lahko dokažemo drugo zanimive lastnosti trapez. Tako lahko z uporabo podobnosti dokažete lastnost segmenta, ki poteka skozi točko, ki jo tvori presečišče diagonal te geometrijske figure, vzporedne z bazami. Za to rešimo naslednji problem: najti je treba dolžino odseka RK, ki poteka skozi točko O. Iz podobnosti trikotnikov AOD in BOS sledi, da je AO/OS=AD/BS. Iz podobnosti trikotnikov AOP in ASB sledi, da je AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Od tu dobimo RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Podobno iz podobnosti trikotnikov DOK in DBS sledi, da je OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Od tu dobimo, da je RO=OK in RK=2*BS*AD/(BS+AD). Odsek, ki poteka skozi presečišče diagonal, vzporedno z bazami in povezuje obe strani, je razdeljen s presečiščem na polovico. Njegova dolžina je harmonična sredina baz figure.

Razmislite naslednja kakovost trapeza, kar imenujemo lastnost štirih točk. Presečišča diagonal (O), presečišča nadaljevanja stranic (E) ter razpolovišča osnov (T in W) vedno ležijo na isti premici. To je enostavno dokazati z metodo podobnosti. Nastala trikotnika BES in AED sta si podobna, v vsakem od njih pa mediani ET in EZH delita kot pri oglišču E na enake dele. Zato ležijo točke E, T in W na isti premici. Enako se na isti premici nahajajo točke T, O in G. Vse to izhaja iz podobnosti trikotnikov BOS in AOD. Iz tega sklepamo, da bodo vse štiri točke - E, T, O in W - ležale na eni premici.

Z uporabo podobnih trapezov lahko študente prosimo, da poiščejo dolžino segmenta (LF), ki deli lik na dva podobna. Ta segment mora biti vzporeden z osnovami. Ker sta nastala trapeza ALFD in LBSF podobna, je BS/LF=LF/AD. Iz tega sledi LF=√(BS*BP). Dobimo, da ima odsek, ki trapez deli na dva podobna, dolžino, ki je enaka geometrični sredini dolžin osnov figure.

Razmislite o naslednji lastnosti podobnosti. Temelji na segmentu, ki deli trapez na dve enaki figuri. Sprejmemo, da je trapez ABSD razdeljen z odsekom EN na dva podobna. Iz oglišča B je izpuščena višina, ki jo segment EH deli na dva dela - B1 in B2. Dobimo: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 in PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Nato sestavimo sistem, katerega prva enačba je (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 in druga (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Iz tega sledi B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) in BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Dobimo, da je dolžina odseka, ki deli trapez na dva enaka, enaka povprečju kvadrata dolžin osnov: √ ((BS2 + AD2) / 2).

Sklepi o podobnosti

Tako smo dokazali, da:

1. Odsek, ki povezuje razpolovišči stranic trapeza, je vzporeden z AD in BS in je enak aritmetični sredini BS in AD (dolžina osnove trapeza).

2. Premica, ki poteka skozi točko O presečišča diagonal, vzporednih z AD in BS, bo enaka harmonični sredini števil AD in BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).

3. Odsek, ki deli trapez na enake, ima dolžino geometrične sredine osnov BS in AD.

4. Element, ki deli lik na dva enaka, ima dolžino srednjih kvadratnih števil AD in BS.

Za utrditev materiala in razumevanje povezave med obravnavanimi segmenti jih mora študent zgraditi za določen trapez. Z lahkoto lahko prikaže srednjo črto in segment, ki poteka skozi točko O - presečišče diagonal figure - vzporedno z bazami. Kje pa bosta tretji in četrti? Ta odgovor bo študenta pripeljal do odkritja želenega razmerja med povprečji.

Odsek, ki povezuje razpoloviščni točki diagonal trapeza

Razmislite o naslednji lastnosti te figure. Sprejmemo, da je odsek MH vzporeden z osnovami in razpolavlja diagonali. Imenujmo presečni točki W in W. Ta segment bo enak polovični razliki baz. Analizirajmo to podrobneje. MSH - srednja črta trikotnika ABS, je enaka BS / 2. MS - srednja črta trikotnika ABD, je enaka AD / 2. Potem dobimo, da je ShShch = MShch-MSh, torej Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.

Težišče

Poglejmo, kako je ta element določen za dano geometrijsko figuro. Da bi to naredili, je potrebno razširiti baze v nasprotnih smereh. Kaj to pomeni? Zgornji podlagi je treba dodati spodnjo podlago - na katero koli stran, na primer na desno. In spodnji del je podaljšan za dolžino zgornjega v levo. Nato jih povežemo z diagonalo. Točka presečišča tega segmenta s srednjo črto slike je težišče trapeza.

Včrtani in opisani trapezi

Naštejmo značilnosti takšnih številk:

1. Trapez je lahko včrtan v krog le, če je enakokrak.

2. Trapez lahko opišemo okrog kroga, če je vsota dolžin njunih osnov enaka vsoti dolžin stranic.

Posledice včrtanega kroga:

1. Višina opisanega trapeza je vedno enaka dvema polmeroma.

2. Stranico opisanega trapeza opazujemo iz središča kroga pod pravim kotom.

Prva posledica je očitna, za dokazovanje druge pa je treba ugotoviti, da je kot SOD pravi, kar pravzaprav tudi ne bo težko. Toda poznavanje te lastnosti nam bo omogočilo uporabo pravokotnega trikotnika pri reševanju problemov.

Sedaj določimo te posledice za enakokraki trapez, ki je vpisan v krog. Dobimo, da je višina geometrična sredina osnov lika: H=2R=√(BS*AD). Pri vadbi glavne tehnike reševanja nalog za trapeze (princip risanja dveh višin) mora študent rešiti naslednjo nalogo. Sprejmemo, da je BT višina enakokrakega lika ABSD. Najti je treba odseke AT in TD. Z uporabo zgoraj opisane formule to ne bo težko narediti.

Zdaj pa ugotovimo, kako določiti polmer kroga z uporabo območja opisanega trapeza. Višino spustimo od vrha B do baze AD. Ker je krog vpisan v trapez, potem BS + AD \u003d 2AB ali AB \u003d (BS + AD) / 2. Iz trikotnika ABN najdemo sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Dobimo PABSD \u003d (BS + HELL) * R, iz tega sledi R \u003d PABSD / (BS + HELL).

Vse formule srednje črte trapeza

Zdaj je čas, da preidemo na zadnji element te geometrijske figure. Ugotovimo, čemu je enaka srednja črta trapeza (M):

1. Skozi baze: M \u003d (A + B) / 2.

2. Skozi višino, osnovo in kote:

M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;

M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.

3. Skozi višino, diagonale in kot med njimi. Na primer, D1 in D2 sta diagonali trapeza; α, β - koti med njimi:

M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.

4. Skozi območje in višino: M = P / N.