Prisma. Parallelepiped

prisma ay tinatawag na polyhedron na ang dalawang mukha ay magkapantay na n-gons (grounds) , nakahiga sa parallel na mga eroplano, at ang natitirang n mga mukha ay parallelograms (mga mukha sa gilid) . Tadyang sa gilid Ang prisma ay ang gilid ng lateral face na hindi kabilang sa base.

Ang isang prisma na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng mga base ay tinatawag tuwid prisma (Larawan 1). Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa mga eroplano ng mga base, kung gayon ang prisma ay tinatawag pahilig . tama Ang prisma ay isang tuwid na prisma na ang mga base ay regular na polygons.

taas Ang prisma ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base. dayagonal Ang prisma ay isang segment na nag-uugnay sa dalawang vertice na hindi kabilang sa parehong mukha. diagonal na seksyon Ang isang seksyon ng isang prisma sa pamamagitan ng isang eroplano na dumadaan sa dalawang gilid na gilid na hindi kabilang sa parehong mukha ay tinatawag. Perpendikular na seksyon tinatawag na seksyon ng prisma sa pamamagitan ng isang eroplanong patayo sa gilid ng gilid ng prisma.

Lugar sa ibabaw ng gilid Ang prisma ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha. Buong lugar sa ibabaw ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha ng prisma ay tinatawag (i.e., ang kabuuan ng mga lugar ng mga gilid na mukha at ang mga lugar ng mga base).

Para sa isang di-makatwirang prisma, ang mga formula ay totoo:

saan l ay ang haba ng gilid ng tadyang;

H- taas;

P

Q

S gilid

S puno

S pangunahing ay ang lugar ng mga base;

V ay ang dami ng prisma.

Para sa isang tuwid na prisma, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan p- ang perimeter ng base;

l ay ang haba ng gilid ng tadyang;

H- taas.

Parallelepiped Ang isang prisma na ang base ay isang paralelogram ay tinatawag. Ang isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga base ay tinatawag direkta (Larawan 2). Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa mga base, kung gayon ang parallelepiped ay tinatawag pahilig . Ang kanang parallelepiped na ang base ay isang parihaba ay tinatawag hugis-parihaba. Ang isang parihabang parallelepiped kung saan ang lahat ng mga gilid ay pantay ay tinatawag kubo.

Ang mga mukha ng isang parallelepiped na walang mga karaniwang vertex ay tinatawag kabaligtaran . Ang mga haba ng mga gilid na nagmumula sa isang vertex ay tinatawag mga sukat parallelepiped. Dahil ang kahon ay isang prisma, ang mga pangunahing elemento nito ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng mga ito ay tinukoy para sa mga prisma.

Theorems.

1. Ang mga dayagonal ng parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ito.

2. Sa isang parihabang parallelepiped, ang parisukat ng haba ng dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito:

3. Ang lahat ng apat na diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng bawat isa.

Para sa isang arbitrary na parallelepiped, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan l ay ang haba ng gilid ng tadyang;

H- taas;

P ay ang perimeter ng perpendikular na seksyon;

Q- Lugar ng patayong seksyon;

S gilid ay ang lateral surface area;

S puno ay ang kabuuang lugar sa ibabaw;

S pangunahing ay ang lugar ng mga base;

V ay ang dami ng prisma.

Para sa isang right parallelepiped, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

saan p- ang perimeter ng base;

l ay ang haba ng gilid ng tadyang;

H ay ang taas ng kanang parallelepiped.

Para sa isang parihabang parallelepiped, ang mga sumusunod na formula ay totoo:

(3)

saan p- ang perimeter ng base;

H- taas;

d- dayagonal;

a,b,c– mga sukat ng parallelepiped.

Ang mga tamang formula para sa isang kubo ay:

saan a ay ang haba ng tadyang;

d ay ang dayagonal ng kubo.

Halimbawa 1 Ang dayagonal ng isang rectangular cuboid ay 33 dm, at ang mga sukat nito ay nauugnay bilang 2:6:9. Hanapin ang mga sukat ng cuboid.

Solusyon. Upang mahanap ang mga sukat ng parallelepiped, ginagamit namin ang formula (3), i.e. ang katotohanan na ang parisukat ng hypotenuse ng isang cuboid ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga sukat nito. Tukuyin sa pamamagitan ng k koepisyent ng proporsyonalidad. Kung gayon ang mga sukat ng parallelepiped ay magiging katumbas ng 2 k, 6k at 9 k. Sumulat kami ng formula (3) para sa data ng problema:

Paglutas ng equation na ito para sa k, nakukuha natin ang:

Samakatuwid, ang mga sukat ng parallelepiped ay 6 dm, 18 dm at 27 dm.

Sagot: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Halimbawa 2 Hanapin ang volume ng isang inclined triangular prism na ang base ay isang equilateral triangle na may gilid na 8 cm, kung ang lateral edge ay katumbas ng gilid ng base at nakakiling sa isang anggulo na 60º sa base.

Solusyon . Gumawa tayo ng drawing (Larawan 3).

Upang mahanap ang dami ng isang hilig na prisma, kailangan mong malaman ang lugar ng base at taas. Ang lugar ng base ng prisma na ito ay ang lugar ng isang equilateral triangle na may gilid na 8 cm. Kalkulahin natin ito:

Ang taas ng isang prisma ay ang distansya sa pagitan ng mga base nito. Mula sa itaas PERO 1 ng itaas na base ay ibinababa namin ang patayo sa eroplano ng mas mababang base PERO 1 D. Ang haba nito ay magiging taas ng prisma. Isaalang-alang ang D PERO 1 AD: dahil ito ang anggulo ng pagkahilig ng gilid na tadyang PERO 1 PERO sa base plane PERO 1 PERO= 8 cm Mula sa tatsulok na ito makikita natin PERO 1 D:

Ngayon kinakalkula namin ang dami gamit ang formula (1):

Sagot: 192 cm3.

Halimbawa 3 Ang lateral edge ng isang regular na hexagonal prism ay 14 cm. Ang lugar ng pinakamalaking diagonal na seksyon ay 168 cm 2. Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Fig. 4)

Ang pinakamalaking seksyon ng dayagonal ay isang parihaba AA 1 DD 1 , dahil ang dayagonal AD regular na heksagono ABCDEF ay ang pinakamalaking. Upang makalkula ang lateral surface area ng isang prisma, kinakailangang malaman ang gilid ng base at ang haba ng lateral rib.

Alam ang lugar ng seksyon ng dayagonal (parihaba), nahanap namin ang dayagonal ng base.

Dahil, kung gayon

Simula noon AB= 6 cm.

Pagkatapos ang perimeter ng base ay:

Hanapin ang lugar ng lateral surface ng prisma:

Ang lugar ng isang regular na hexagon na may gilid na 6 cm ay:

Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng prisma:

Sagot:

Halimbawa 4 Ang base ng isang kanang parallelepiped ay isang rhombus. Ang mga lugar ng diagonal na mga seksyon ay 300 cm 2 at 875 cm 2. Hanapin ang lugar ng gilid na ibabaw ng parallelepiped.

Solusyon. Gumawa tayo ng drawing (Larawan 5).

Tukuyin ang gilid ng rhombus sa pamamagitan ng a, ang mga dayagonal ng rhombus d 1 at d 2, ang taas ng kahon h. Upang mahanap ang lateral surface area ng isang tuwid na parallelepiped, kinakailangan upang i-multiply ang perimeter ng base sa taas: (formula (2)). Base perimeter p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, dahil A B C D- rhombus. H = AA 1 = h. yun. Kailangang hanapin a at h.

Isaalang-alang ang mga diagonal na seksyon. AA 1 SS 1 - isang rektanggulo, ang isang gilid nito ay ang dayagonal ng isang rhombus AC = d 1 , pangalawang gilid na gilid AA 1 = h, pagkatapos

Katulad din para sa seksyon BB 1 DD 1 makuha natin:

Gamit ang pag-aari ng isang paralelogram na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng lahat ng panig nito, nakukuha natin ang pagkakapantay-pantay Nakukuha natin ang sumusunod.

Kahulugan.

Ito ay isang heksagono, ang mga base nito ay dalawang pantay na parisukat, at ang mga gilid na mukha ay pantay na parihaba.

Tadyang sa gilid ay ang karaniwang bahagi ng dalawang magkatabing gilid na mukha

Taas ng Prisma ay isang segment ng linya na patayo sa mga base ng prisma

Prism Diagonal- isang segment na nagkokonekta sa dalawang vertice ng mga base na hindi kabilang sa parehong mukha

Diagonal na eroplano- isang eroplano na dumadaan sa dayagonal ng prism at sa mga gilid nito

Diagonal na seksyon- ang mga hangganan ng intersection ng prism at ang diagonal na eroplano. Ang dayagonal na seksyon ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba

Perpendicular section (orthogonal section)- ito ang intersection ng isang prisma at isang eroplanong iginuhit patayo sa mga gilid nito

Mga elemento ng isang regular na quadrangular prism

Ang figure ay nagpapakita ng dalawang regular na quadrangular prisms, na minarkahan ng kaukulang mga titik:

• Ang mga batayang ABCD at A 1 B 1 C 1 D 1 ay pantay-pantay at parallel sa isa't isa
• Nakaharap sa gilid AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C at CC 1 D 1 D, bawat isa ay parihaba
• Lateral surface - ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng panig na mukha ng prisma
• Kabuuang ibabaw - ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga base at gilid na mukha (ang kabuuan ng lugar ng gilid na ibabaw at mga base)
• Mga side ribs AA 1 , BB 1 , CC 1 at DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Base dayagonal BD
• Diagonal na seksyon BB 1 D 1 D
• Perpendikular na seksyon A 2 B 2 C 2 D 2 .

Mga katangian ng isang regular na quadrangular prism

• Ang mga base ay dalawang pantay na parisukat
• Ang mga base ay parallel sa bawat isa
• Ang mga gilid ay parihaba.
• Ang mga gilid na mukha ay pantay sa bawat isa
• Ang mga gilid na mukha ay patayo sa mga base
• Ang mga lateral ribs ay parallel sa isa't isa at pantay
• Perpendicular section patayo sa lahat ng side ribs at parallel sa bases
• Perpendicular Section Angles - Kanan
• Ang dayagonal na seksyon ng isang regular na quadrangular prism ay isang parihaba
• Perpendicular (orthogonal section) parallel sa mga base

Mga formula para sa isang regular na quadrangular prism

Mga tagubilin para sa paglutas ng mga problema

Kapag nilulutas ang mga problema sa paksa " regular na quadrangular prism" nagpapahiwatig na:

Tamang prisma- isang prisma sa base kung saan matatagpuan ang isang regular na polygon, at ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga eroplano ng base. Iyon ay, ang isang regular na quadrangular prism ay naglalaman sa base nito parisukat. (tingnan sa itaas ang mga katangian ng isang regular na quadrangular prism) Tandaan. Ito ay bahagi ng aralin na may mga gawain sa geometry (seksyon solid geometry - prism). Narito ang mga gawain na nagdudulot ng kahirapan sa paglutas. Kung kailangan mong malutas ang isang problema sa geometry, na wala dito - isulat ang tungkol dito sa forum. Upang tukuyin ang aksyon ng pagkuha ng square root sa paglutas ng mga problema, ginagamit ang simbolo√ .

Isang gawain.

Sa isang regular na quadrangular prism, ang base area ay 144 cm 2 at ang taas ay 14 cm. Hanapin ang dayagonal ng prism at ang kabuuang surface area.

Solusyon.
Ang isang regular na may apat na gilid ay isang parisukat.
Alinsunod dito, ang gilid ng base ay magiging katumbas ng

√144 = 12 cm.
Kung saan ang dayagonal ng base ng isang regular na parihabang prism ay magiging katumbas ng
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Ang dayagonal ng isang regular na prism ay bumubuo ng isang tamang tatsulok na may dayagonal ng base at ang taas ng prisma. Alinsunod dito, ayon sa Pythagorean theorem, ang dayagonal ng isang regular na quadrangular prism ay magiging katumbas ng:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Sagot: 22 cm

Isang gawain

Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng isang regular na quadrangular prism kung ang dayagonal nito ay 5 cm at ang dayagonal ng gilid na mukha ay 4 cm.

Solusyon.
Dahil ang base ng isang regular na quadrangular prism ay isang parisukat, kung gayon ang gilid ng base (na tinukoy bilang a) ay matatagpuan ng Pythagorean theorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Ang taas ng gilid na mukha (na tinukoy bilang h) ay magiging katumbas ng:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Ang kabuuang lugar sa ibabaw ay magiging katumbas ng kabuuan ng lateral surface area at dalawang beses sa base area

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Sagot: 25 + 10√7 ≈ 51.46 cm 2.

Sa spatial geometry, kapag nilulutas ang mga problema sa prisms, madalas na may problema sa pagkalkula ng lugar ng mga gilid o mga mukha na bumubuo sa mga three-dimensional na figure na ito. Ang artikulong ito ay nakatuon sa isyu ng pagtukoy ng lugar ng base ng prisma at ang lateral surface nito.

Larawang prisma

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang ng mga formula para sa lugar ng base at ang ibabaw ng isang prisma ng isang uri o iba pa, kinakailangang maunawaan kung anong uri ng figure ang pinag-uusapan natin.

Ang prisma sa geometry ay isang spatial figure na binubuo ng dalawang parallel polygons na pantay sa isa't isa, at ilang quadrangles o parallelograms. Ang bilang ng huli ay palaging katumbas ng bilang ng mga vertices ng isang polygon. Halimbawa, kung ang pigura ay nabuo ng dalawang parallel n-gons, kung gayon ang bilang ng parallelograms ay magiging n.

Ang pagkonekta ng mga n-gon ng parallelogram ay tinatawag na mga gilid ng prisma, at ang kanilang kabuuang lugar ay ang lugar ng gilid na ibabaw ng pigura. Ang mga n-gon mismo ay tinatawag na mga base.

Ang figure sa itaas ay nagpapakita ng isang halimbawa ng isang papel na prisma. Ang dilaw na parihaba ay ang itaas na base nito. Sa pangalawang base ng parehong figure ay nakatayo. Ang pula at berdeng mga parihaba ay ang mga gilid na mukha.

Ano ang mga prisma?

Mayroong ilang mga uri ng prisms. Lahat ng mga ito ay naiiba sa bawat isa sa dalawang parameter lamang:

• ang uri ng n-gon na bumubuo ng mga base;
• anggulo sa pagitan ng n-gon at mga gilid na mukha.

Halimbawa, kung ang mga base ay mga tatsulok, kung gayon ang prisma ay tinatawag na tatsulok, kung quadrilaterals, tulad ng sa nakaraang figure, kung gayon ang figure ay tinatawag na quadrangular prism, at iba pa. Bilang karagdagan, ang n-gon ay maaaring maging matambok o malukong, pagkatapos ang pag-aari na ito ay idinagdag din sa pangalan ng prisma.

Ang anggulo sa pagitan ng mga gilid na mukha at base ay maaaring maging tuwid o talamak o mahina. Sa unang kaso, pinag-uusapan nila ang isang hugis-parihaba na prisma, sa pangalawa - tungkol sa isang hilig o pahilig.

Ang mga regular na prisma ay nakikilala sa isang espesyal na uri ng pigura. Mayroon silang pinakamataas na simetrya sa iba pang mga prisma. Ito ay magiging tama lamang kung ito ay hugis-parihaba at ang base nito ay isang regular na n-gon. Ang figure sa ibaba ay nagpapakita ng isang set ng mga regular na prism, kung saan ang bilang ng mga gilid ng n-gon ay nag-iiba mula tatlo hanggang walo.

Ibabaw ng prisma

Sa ilalim ng ibabaw ng itinuturing na pigura ng isang arbitrary na uri ay nauunawaan ang kabuuan ng lahat ng mga punto na nabibilang sa mga mukha ng prisma. Maginhawang pag-aralan ang ibabaw ng isang prisma sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa pag-unlad nito. Nasa ibaba ang isang halimbawa ng naturang sweep para sa isang tatsulok na prisma.

Makikita na ang buong ibabaw ay binubuo ng dalawang tatsulok at tatlong parihaba.

Sa kaso ng isang pangkalahatang uri ng prism, ang ibabaw nito ay bubuo ng dalawang n-gonal na base at n quadrilaterals.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang isyu ng pagkalkula ng ibabaw na lugar ng mga prisma ng iba't ibang uri.

Base area ng isang prisma

Marahil ang pinakamadaling gawain kapag nagtatrabaho sa mga prisma ay ang problema sa paghahanap ng base area ng isang regular na pigura. Dahil ito ay nabuo sa pamamagitan ng isang n-gon, kung saan ang lahat ng mga anggulo at haba ng gilid ay pareho, ito ay palaging posible na hatiin ito sa magkaparehong mga tatsulok, kung saan ang mga anggulo at panig ay kilala. Ang kabuuang lugar ng mga tatsulok ay ang lugar ng n-gon.

Ang isa pang paraan upang matukoy ang bahagi ng ibabaw na lugar ng isang prisma (base) ay ang paggamit ng isang kilalang formula. Mukhang ganito:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Ibig sabihin, ang lugar na S n ng isang n-gon ay natatanging tinutukoy batay sa kaalaman sa haba ng gilid nito a. Ang ilang kahirapan sa pagkalkula ng formula ay maaaring ang pagkalkula ng cotangent, lalo na kapag n>4 (para sa n≤4, ang mga halaga ng cotangent ay tabular data). Upang matukoy ang trigonometric function na ito, inirerekomenda na gumamit ng calculator.

Kapag nagtatakda ng isang geometric na problema, dapat kang mag-ingat, dahil maaaring kailanganin mong hanapin ang lugar ng mga base ng prisma. Pagkatapos ang halaga na nakuha ng formula ay dapat na i-multiply sa dalawa.

Base area ng triangular prism

Gamit ang halimbawa ng isang tatsulok na prisma, isaalang-alang kung paano mo mahahanap ang lugar ng base ng figure na ito.

Una, isaalang-alang ang isang simpleng kaso - isang regular na prisma. Ang lugar ng base ay kinakalkula ayon sa formula na ibinigay sa talata sa itaas, kailangan mong palitan ang n \u003d 3 dito. Nakukuha namin:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Ito ay nananatiling palitan sa expression ang mga tiyak na halaga ng haba ng gilid a ng isang equilateral triangle upang makuha ang lugar ng isang base.

Ngayon ipagpalagay na mayroon kaming isang prisma na ang base ay isang arbitrary na tatsulok. Ang dalawang panig nito a at b at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay kilala. Ang figure na ito ay ipinapakita sa ibaba.

Paano mahahanap ang lugar ng base ng isang tatsulok na prisma sa kasong ito? Dapat alalahanin na ang lugar ng anumang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng gilid at ang taas ay ibinaba sa panig na ito. Ipinapakita ng figure ang taas h sa gilid b. Ang haba h ay tumutugma sa produkto ng sine ng anggulong alpha at ang haba ng gilid a. Kung gayon ang lugar ng buong tatsulok ay:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Ito ang base area ng itinatanghal na triangular prism.

Ibabaw sa gilid

Naisip namin kung paano hanapin ang lugar ng base ng isang prisma. Ang lateral surface ng figure na ito ay palaging binubuo ng parallelograms. Para sa mga tuwid na prisma, ang mga parallelogram ay nagiging mga parihaba, kaya madaling kalkulahin ang kanilang kabuuang lugar:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Narito ang b ay ang haba ng gilid ng gilid, at ang i ay ang haba ng gilid ng i-th rectangle, na tumutugma sa haba ng gilid ng n-gon. Sa kaso ng isang regular na n-gonal prism, nakakakuha tayo ng isang simpleng expression:

Kung ang prisma ay hilig, pagkatapos ay upang matukoy ang lugar ng lateral surface nito, dapat gawin ang isang perpendicular cut, ang perimeter P sr nito ay kinakalkula at pinarami ng haba ng lateral rib.

Ipinapakita ng figure sa itaas kung paano dapat gawin ang cut na ito para sa isang pahilig na pentagonal prism.

Ang iba't ibang mga prisma ay naiiba sa bawat isa. Kasabay nito, marami silang pagkakatulad. Upang mahanap ang lugar ng base ng isang prisma, kailangan mong malaman kung anong uri ang hitsura nito.

Pangkalahatang teorya

Ang prisma ay anumang polyhedron na ang mga gilid ay may anyo ng paralelogram. Bukod dito, ang anumang polyhedron ay maaaring nasa base nito - mula sa isang tatsulok hanggang sa isang n-gon. Bukod dito, ang mga base ng prisma ay palaging pantay sa bawat isa. Ano ang hindi nalalapat sa mga mukha sa gilid - maaari silang mag-iba nang malaki sa laki.

Kapag nilulutas ang mga problema, hindi lamang ang lugar ng base ng prisma ang nakatagpo. Maaaring kailanganin na malaman ang lateral surface, iyon ay, lahat ng mga mukha na hindi base. Ang buong ibabaw ay magiging unyon na ng lahat ng mukha na bumubuo sa prisma.

Minsan lumilitaw ang mga taas sa mga gawain. Ito ay patayo sa mga base. Ang dayagonal ng isang polyhedron ay isang segment na nag-uugnay sa mga pares ng anumang dalawang vertices na hindi kabilang sa parehong mukha.

Dapat pansinin na ang lugar ng base ng isang tuwid o hilig na prisma ay hindi nakasalalay sa anggulo sa pagitan nila at ng mga gilid na mukha. Kung mayroon silang parehong mga numero sa itaas at ibabang mga mukha, kung gayon ang kanilang mga lugar ay magiging pantay.

tatsulok na prisma

Ito ay may sa base ng isang figure na may tatlong vertices, iyon ay, isang tatsulok. Ito ay kilala na naiiba. Kung pagkatapos ay sapat na upang maalala na ang lugar nito ay tinutukoy ng kalahati ng produkto ng mga binti.

Ganito ang hitsura ng notasyong matematika: S = ½ av.

Upang malaman ang lugar ng base sa isang pangkalahatang anyo, ang mga formula ay kapaki-pakinabang: Heron at ang isa kung saan ang kalahati ng gilid ay dadalhin sa taas na iginuhit dito.

Ang unang formula ay dapat na nakasulat tulad nito: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c)). Ang entry na ito ay naglalaman ng isang semi-perimeter (p), iyon ay, ang kabuuan ng tatlong panig na hinati sa dalawa.

Pangalawa: S = ½ n a * a.

Kung nais mong malaman ang lugar ng base ng isang tatsulok na prism, na regular, kung gayon ang tatsulok ay nagiging equilateral. Mayroon itong sariling formula: S = ¼ a 2 * √3.

parisukat na prisma

Ang base nito ay alinman sa mga kilalang quadrilaterals. Maaari itong maging isang parihaba o isang parisukat, isang parallelepiped o isang rhombus. Sa bawat kaso, upang makalkula ang lugar ng base ng prisma, kakailanganin mo ang iyong sariling formula.

Kung ang base ay isang parihaba, ang lugar nito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: S = av, kung saan ang a, b ay ang mga gilid ng parihaba.

Pagdating sa isang quadrangular prism, ang base area ng isang regular na prism ay kinakalkula gamit ang formula para sa isang parisukat. Dahil siya ang nakahiga sa base. S \u003d a 2.

Sa kaso kapag ang base ay isang parallelepiped, kakailanganin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: S \u003d a * n a. Ito ay nangyayari na ang isang gilid ng isang parallelepiped at isa sa mga anggulo ay ibinigay. Pagkatapos, upang kalkulahin ang taas, kakailanganin mong gumamit ng karagdagang formula: na \u003d b * sin A. Bukod dito, ang anggulo A ay katabi ng gilid na "b", at ang taas ay na kabaligtaran sa anggulong ito.

Kung ang isang rhombus ay namamalagi sa base ng prisma, kung gayon ang parehong formula ay kinakailangan upang matukoy ang lugar nito tulad ng para sa isang paralelogram (dahil ito ay isang espesyal na kaso nito). Ngunit maaari mo ring gamitin ang isang ito: S = ½ d 1 d 2. Narito ang d 1 at d 2 ay dalawang dayagonal ng rhombus.

Regular na pentagonal prism

Ang kasong ito ay nagsasangkot ng paghahati ng polygon sa mga tatsulok, ang mga lugar kung saan mas madaling malaman. Bagaman nangyayari na ang mga numero ay maaaring may ibang bilang ng mga vertex.

Dahil ang base ng prisma ay isang regular na pentagon, maaari itong hatiin sa limang equilateral triangles. Kung gayon ang lugar ng base ng prisma ay katumbas ng lugar ng isang ganoong tatsulok (ang formula ay makikita sa itaas), na pinarami ng lima.

Regular na hexagonal prism

Ayon sa prinsipyong inilarawan para sa isang pentagonal prism, posibleng hatiin ang base hexagon sa 6 equilateral triangles. Ang formula para sa lugar ng base ng naturang prisma ay katulad ng nauna. Lamang sa ito ay dapat na multiplied sa anim.

Magiging ganito ang formula: S = 3/2 at 2 * √3.

Mga gawain

Hindi.

Solusyon. Ang base ng isang prisma ay isang parisukat, ngunit ang gilid nito ay hindi kilala. Mahahanap mo ang halaga nito mula sa dayagonal ng parisukat (x), na nauugnay sa dayagonal ng prisma (d) at taas nito (h). x 2 \u003d d 2 - n 2. Sa kabilang banda, ang segment na ito na "x" ay ang hypotenuse sa isang tatsulok na ang mga binti ay katumbas ng gilid ng parisukat. Iyon ay, x 2 \u003d a 2 + a 2. Kaya, lumalabas na ang isang 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Palitan ang numero 22 sa halip na d, at palitan ang "n" ng halaga nito - 14, lumalabas na ang gilid ng parisukat ay 12 cm Ngayon ay madaling malaman ang base area: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Upang malaman ang lugar ng buong ibabaw, kailangan mong magdagdag ng dalawang beses sa halaga ng base area at apat na beses sa gilid. Ang huli ay madaling mahanap sa pamamagitan ng formula para sa isang rektanggulo: i-multiply ang taas ng polyhedron at ang gilid ng base. Iyon ay, 14 at 12, ang bilang na ito ay magiging katumbas ng 168 cm 2. Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng prisma ay matatagpuan na 960 cm 2 .

Sagot. Ang base area ng prism ay 144 cm2. Ang buong ibabaw - 960 cm 2 .

Hindi.

Solusyon. Dahil ang prisma ay regular, ang base nito ay isang equilateral triangle. Samakatuwid, ang lawak nito ay lumalabas na katumbas ng 6 squared times ¼ at ang square root ng 3. Ang isang simpleng pagkalkula ay humahantong sa resulta: 9√3 cm 2. Ito ang lugar ng isang base ng prisma.

Ang lahat ng mga mukha sa gilid ay pareho at mga parihaba na may mga gilid na 6 at 10 cm. Upang kalkulahin ang kanilang mga lugar, sapat na upang i-multiply ang mga numerong ito. Pagkatapos ay i-multiply ang mga ito sa tatlo, dahil ang prisma ay may eksaktong napakaraming panig na mukha. Pagkatapos ang lugar ng gilid na ibabaw ay sugat 180 cm 2 .

Sagot. Mga lugar: base - 9√3 cm 2, gilid na ibabaw ng prisma - 180 cm 2.

Sa kurikulum ng paaralan para sa kurso ng solid geometry, ang pag-aaral ng mga three-dimensional na figure ay karaniwang nagsisimula sa isang simpleng geometric na katawan - isang prism polyhedron. Ang papel ng mga base nito ay ginagampanan ng 2 pantay na polygon na nakahiga sa magkatulad na mga eroplano. Ang isang espesyal na kaso ay isang regular na quadrangular prism. Ang mga base nito ay 2 magkaparehong regular na quadrilaterals, kung saan ang mga gilid ay patayo, na may hugis ng parallelograms (o mga parihaba kung ang prisma ay hindi hilig).

Ano ang hitsura ng isang prisma

Ang isang regular na quadrangular prism ay isang heksagono, sa mga base kung saan mayroong 2 mga parisukat, at ang mga gilid na mukha ay kinakatawan ng mga parihaba. Ang isa pang pangalan para sa geometric figure na ito ay isang tuwid na parallelepiped.

Ang figure, na naglalarawan ng quadrangular prism, ay ipinapakita sa ibaba.

Makikita mo rin sa larawan ang pinakamahalagang elemento na bumubuo sa isang geometric na katawan. Sila ay karaniwang tinutukoy bilang:

Minsan sa mga problema sa geometry maaari mong mahanap ang konsepto ng isang seksyon. Ang kahulugan ay magiging ganito: ang isang seksyon ay ang lahat ng mga punto ng isang volumetric na katawan na kabilang sa cutting plane. Ang seksyon ay patayo (tumatawid sa mga gilid ng figure sa isang anggulo ng 90 degrees). Para sa isang parihabang prisma, ang isang diagonal na seksyon ay isinasaalang-alang din (ang maximum na bilang ng mga seksyon na maaaring itayo ay 2), na dumadaan sa 2 mga gilid at ang mga diagonal ng base.

Kung ang seksyon ay iginuhit sa isang paraan na ang cutting plane ay hindi parallel sa alinman sa mga base o mga gilid na mukha, ang resulta ay isang pinutol na prisma.

Ang iba't ibang mga ratio at formula ay ginagamit upang mahanap ang pinababang mga elemento ng prismatic. Ang ilan sa kanila ay kilala mula sa kurso ng planimetry (halimbawa, upang mahanap ang lugar ng base ng isang prisma, sapat na upang maalala ang formula para sa lugar ng isang parisukat).

Surface area at volume

Upang matukoy ang dami ng isang prisma gamit ang formula, kailangan mong malaman ang lugar ng base at taas:

V = Sprim h

Dahil ang base ng isang regular na tetrahedral prism ay isang parisukat na may gilid a, Maaari mong isulat ang formula sa isang mas detalyadong anyo:

V = a² h

Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang kubo - isang regular na prisma na may pantay na haba, lapad at taas, ang dami ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

Upang maunawaan kung paano hanapin ang lateral surface area ng isang prisma, kailangan mong isipin ang sweep nito.

Makikita mula sa pagguhit na ang ibabaw ng gilid ay binubuo ng 4 na pantay na parihaba. Ang lugar nito ay kinakalkula bilang produkto ng perimeter ng base at ang taas ng figure:

Sside = Pos h

Dahil ang perimeter ng isang parisukat ay P = 4a, ang pormula ay nasa anyo:

Sside = 4a h

Para sa cube:

Sside = 4a²

Upang kalkulahin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng isang prisma, magdagdag ng 2 base area sa gilid na lugar:

Sfull = Sside + 2Sbase

Tulad ng inilapat sa isang quadrangular regular prism, ang formula ay may anyo:

Puno = 4a h + 2a²

Para sa ibabaw na lugar ng isang kubo:

Puno = 6a²

Alam ang dami o lugar sa ibabaw, maaari mong kalkulahin ang mga indibidwal na elemento ng isang geometric na katawan.

Paghahanap ng mga elemento ng prisma

Kadalasan may mga problema kung saan ang volume ay ibinigay o ang halaga ng lateral surface area ay kilala, kung saan kinakailangan upang matukoy ang haba ng gilid ng base o ang taas. Sa ganitong mga kaso, ang mga formula ay maaaring makuha:

• haba ng gilid ng base: a = Sside / 4h = √(V / h);
• taas o haba ng tadyang sa gilid: h = Sside / 4a = V / a²;
• base area: Sprim = V / h;
• bahagi ng mukha: Gilid gr = Sside / 4.

Upang matukoy kung gaano karaming lugar ang isang seksyon ng dayagonal, kailangan mong malaman ang haba ng dayagonal at ang taas ng pigura. Para sa isang parisukat d = a√2. Samakatuwid:

Sdiag = ah√2

Upang makalkula ang dayagonal ng prisma, ginagamit ang formula:

dprize = √(2a² + h²)

Upang maunawaan kung paano ilapat ang mga ratio sa itaas, maaari kang magsanay at malutas ang ilang simpleng gawain.

Mga halimbawa ng mga problema sa mga solusyon

Narito ang ilan sa mga gawain na lumilitaw sa panghuling pagsusulit ng estado sa matematika.

Ehersisyo 1.

Ang buhangin ay ibinubuhos sa isang kahon na hugis tulad ng isang regular na quadrangular prism. Ang taas ng antas nito ay 10 cm. Ano ang magiging antas ng buhangin kung ililipat mo ito sa isang lalagyan na may parehong hugis, ngunit may haba ng base nang 2 beses na mas mahaba?

Dapat itong pagtalunan bilang mga sumusunod. Ang dami ng buhangin sa una at pangalawang lalagyan ay hindi nagbago, ibig sabihin, ang dami nito sa kanila ay pareho. Maaari mong tukuyin ang haba ng base bilang a. Sa kasong ito, para sa unang kahon, ang dami ng sangkap ay magiging:

V₁ = ha² = 10a²

Para sa pangalawang kahon, ang haba ng base ay 2a, ngunit ang taas ng antas ng buhangin ay hindi alam:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Dahil ang V₁ = V₂, ang mga expression ay maaaring itumbas:

10a² = 4ha²

Matapos bawasan ang magkabilang panig ng equation ng a², nakukuha natin ang:

Bilang resulta, ang bagong antas ng buhangin ay magiging h = 10 / 4 = 2.5 cm.

Gawain 2.

Ang ABCDA₁B₁C₁D₁ ay isang regular na prisma. Alam na ang BD = AB₁ = 6√2. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng katawan.

Upang gawing mas madaling maunawaan kung aling mga elemento ang kilala, maaari kang gumuhit ng isang pigura.

Dahil pinag-uusapan natin ang isang regular na prisma, maaari nating tapusin na ang base ay isang parisukat na may dayagonal na 6√2. Ang dayagonal ng gilid na mukha ay may parehong halaga, samakatuwid, ang gilid na mukha ay mayroon ding hugis ng isang parisukat na katumbas ng base. Lumalabas na ang lahat ng tatlong dimensyon - haba, lapad at taas - ay pantay. Maaari nating tapusin na ang ABCDA₁B₁C₁D₁ ay isang kubo.

Ang haba ng anumang gilid ay tinutukoy sa pamamagitan ng kilalang dayagonal:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ang kabuuang lugar ng ibabaw ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula para sa kubo:

Puno = 6a² = 6 6² = 216

Gawain 3.

Nire-renovate ang kwarto. Nabatid na ang sahig nito ay may hugis na parisukat na may lawak na 9 m². Ang taas ng silid ay 2.5 m. Ano ang pinakamababang halaga ng paglalagay ng wallpaper sa isang silid kung ang 1 m² ay nagkakahalaga ng 50 rubles?

Dahil ang sahig at kisame ay mga parisukat, iyon ay, regular na quadrangles, at ang mga dingding nito ay patayo sa pahalang na ibabaw, maaari nating tapusin na ito ay isang regular na prisma. Kinakailangan upang matukoy ang lugar ng lateral surface nito.

Ang haba ng kwarto eh a = √9 = 3 m.

Ang parisukat ay tatakpan ng wallpaper Sside = 4 3 2.5 = 30 m².

Ang pinakamababang halaga ng wallpaper para sa kuwartong ito ay 50 30 = 1500 rubles.

Kaya, upang malutas ang mga problema para sa isang hugis-parihaba na prisma, sapat na upang makalkula ang lugar at perimeter ng isang parisukat at isang parihaba, pati na rin upang malaman ang mga formula para sa paghahanap ng dami at ibabaw na lugar.

Paano hanapin ang lugar ng isang kubo