Skica grafa funkcije. Skica grafa funkcije (na primjeru razlomka-kvadratne funkcije). Zaštita ličnih podataka

1. Metodologija za izradu skica funkcijskih grafova

2. Rješenje primjera br. 1

3. Rješenje primjera br. 2

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Otkrivanje informacija trećim licima

Zaštita ličnih podataka

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije


Iscrtavanje grafova funkcija. . . . . . . . . . . .
1. Plan za proučavanje funkcije pri konstruisanju grafa. .
2. Osnovni pojmovi i faze istraživanja funkcija. . . .
1. Domen funkcije D f i skup
vrijednosti funkcije E f . Posebna svojstva
funkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Proučavanje asimptota. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Vertikalne asimptote. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Kose (horizontalne) asimptote. . . . . . .
2.3. Metode za proučavanje ne-vertikalnih asimptota. .
2.4. Relativna pozicija grafa funkcije
i njegove asimptote. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Skiciranje grafa funkcije. . . . . . . . . .
4. Sekcije rastuće i opadajuće funkcije
Minimum i maksimum bodova. . . . . . . . . . . . . . .
5. Konveksna funkcija gore i dolje
Pregibne tačke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Diferencijacija funkcije, analitička
čiji izraz sadrži modul. . . . . . . . . . . . .
4. Osnovni zahtjevi za rezultate istraživanja
i crtanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Primjeri istraživanja i konstrukcije funkcija
grafovi funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primjer 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primjer 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primjer 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primjer 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primjer 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primjer 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Crtanje krivulja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Plan istraživanja i izgradnje krivulja. . . . . . . . . .

2. Osnovni pojmovi i faze istraživanja krivulje. . . . .
	Proučavanje funkcija x x t i y y t. . . . . . .
	Korištenje rezultata istraživanja x x t . .
2.1. Vertikalne asimptote krive. . . . . . . . . . .
2.2. Kose (horizontalne) asimptote krive. .
	Analiza rezultata i izrada skice
funkcionalna grafika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Presjeci rastuće i opadajuće krive
Minimalne i maksimalne tačke funkcija
x x y i y y x , vršne tačke krive. . . . . . .
	Konveksna funkcija gore i dolje. Pregibne tačke. .
3. Konstrukcija parametarski specificiranih krivulja. . . . . .
Primjer 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primjer 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primjer 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemi za samostalno rješavanje. . . . . .
Odgovori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grafičke funkcije

1. Plan za proučavanje funkcije prilikom konstruisanja grafa

1. Pronađite domen definicije funkcije. Često je korisno razmotriti višestruke vrijednosti funkcije. Istražite posebna svojstva funkcije: parno, neparno; periodičnost, svojstva simetrije.

2. Istražite asimptote grafa funkcije: okomita, kosa. Analizirati relativni položaj grafa funkcije i njenih nagnutih (horizontalnih) asimptota.

3. Nacrtajte skicu grafikona.

4. Pronađite područja monotonosti funkcije: rastuća i opadajuća. Pronađite ekstreme funkcije: minimume i maksimume.

Naći jednostrane izvode u tačkama diskontinuiteta derivacije funkcije i na graničnim tačkama domene definicije funkcije (ako postoje jednostrane derivacije).

5. Pronađite intervale konveksnosti funkcije i točke pregiba.

2. Osnovni pojmovi i faze istraživanja funkcija

1. Domen funkcije Df and mnogo značenja

cija funkcije E f . Posebna svojstva funkcije

Označiti oblast definicije funkcije, označiti je na osi apscise graničnim tačkama i probušenim tačkama i označiti apscise ovih tačaka. Pronalaženje domene definicije funkcije nije potrebno.

Nije potrebno pronaći višestruke vrijednosti funkcija. Lako proučavana svojstva skupa vrijednosti: nenegativnost, ograničenost odozdo ili odozgo, itd., koriste se za konstruiranje skice grafa, kontrolu rezultata istraživanja i ispravnosti grafa.

x like

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatnu os Oy. Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište. Parne i neparne funkcije se ispituju na pozitivnoj polovini domene definicije.

Periodična funkcija se proučava na jednom periodu, i

Grafikon je prikazan na 2-3 perioda.
2. Proučavanje asimptota
2.1. Vertikalne asimptote
Definicija 1.				x x0		pozvao		vertikalno
asimptota grafa funkcije				y f x,			ako je završeno
jedan od uslova:			lim f x 1				lim f x .
			x x0 0				x x0 0
2.2. Kose (horizontalne) asimptote

noah) asimptota grafa funkcije					y f x na x,
lim f x kx b 0 .
					na x
	definicija asimptote
klim		b lim f x kx . Izračunavanje odgovarajućeg


granice, dobijamo jednačinu asimptote y kx b .
Slična izjava je tačna u slučaju kada

Ako je k 0, tada se asimptota naziva kosom.
k 0 , zatim asimptota			y b se naziva horizontalno.
Koncepti nagnutog i horizontalnog se uvode na sličan način.
asimptote grafa funkcije y f x						na x.

2.3. Metode za proučavanje ne-vertikalnih asimptota Proučavanje asimptota za x i za

pravilo se provodi odvojeno.

1 Koristićemo simbol i da označavamo ispunjenje jednog slučaja

U nekim posebnim slučajevima moguće je zajednički proučavati asimptote na x i na x, na primjer, za

1) racionalne funkcije;

2) parne i neparne funkcije, za čije grafove se može provesti istraživanje na dijelu domene definicije.

Način odabira glavnog dijela. Da biste pronašli asimptotu, odaberite glavni dio funkcije na x. Isto tako za x.

Glavni dio frakciono racionalne funkcije Zgodno je pronaći tako što ćete označiti cijeli dio razlomka:

Primjer 1. Pronađite nagnute asimptote grafa funkcije

f x 2 x 3 x 2 . x 1

f x 2 x 5					o 1 at	x , zatim ravno

May y 2 x 5 je željena asimptota. ◄

Glavni dio iracionalne funkcije pri rješavanju praktičnih primjera zgodno je pronaći koristeći metode predstavljanja funkcije Taylor formulom za x.

Primjer 2. Naći kosu asimptotu grafa funkcije

x4 3 x 1

na x.

x 4 o1

za x, zatim prava linija		y x 4 je željena asimptota.

		iracionalno
		f x 3		zgodno za pronalazak
	ax2 bx c i		ax3 bx2 cx d

koristiti metodu izolacije kompletnog kvadrata ili potpune kocke radikalnog izraza, respektivno.

Primjer 3. Naći nagnute asimptote grafa funkcije f x x 2 6 x 14 za x i x.

U radikalnom izrazu biramo potpuni kvadrat

x 3 2

5 . Budući da je graf funkcije

f x je simetričan

u odnosu na pravu x 3 i

onda f x ~

na x.

x 3 2 5

Tako da je pravo

y x 3 je

asimptota na x, a prava linija y 3 x

Asimptota na

x. ◄

Da biste pronašli asimptote, možete koristiti metodu izolacije glavnog dijela.

Primjer 4. Naći asimptote grafa funkcije f x 4 x 2 x 2 .

f x 2

To je funkcija

ima asimptotu

y 2 x

i asimptota

y 2 x

na x .◄

Za transcendentalne funkcije obje metode su prihvatljive

slijedeći asimptote pri rješavanju praktičnih primjera.

Napomena 1. Prilikom proučavanja asimptota iracionalne, transcendentalne funkcije, i funkcije čiji analitički izraz sadrži modul, Preporučljivo je razmotriti dva slučaja: x i x. Zajedničko proučavanje asimptota na x i na x može dovesti do grešaka u istraživanju. Prilikom pronalaženja granica ili glavnog dijela x potrebno je promijeniti varijablu x t.

2.4. Relativni položaj grafa funkcije i njenih asimptota

a) Ako funkcija y f x ima asimptotu na x,

je diferencibilan i striktno konveksan prema dolje na zraku x x 0, zatim na grafu

fic funkcije leži iznad asimptote (slika 1.1).

b) Ako funkcija y f x ima asimptotu na x,

je onda diferencibilan i striktno konveksan prema gore na zraku x x 0

graf funkcije leži ispod asimptote (slika 1.2).

c) Mogu postojati i drugi slučajevi ponašanja grafa funkcije dok teži asimptoti. Na primjer, moguće je da graf funkcije siječe asimptotu beskonačan broj puta (sl. 1.3 i 1.4).

Slična izjava je tačna za x.

Prije proučavanja svojstava konveksnosti grafa funkcije, relativne pozicije grafa funkcije i njegovih asimptota mogu se odrediti znakom o 1 u metodi izolacije glavnog dijela.

Primjer 5. Odrediti relativnu poziciju grafa

funkcija f x 2 x 2 3 x 2 i njene asimptote. x 1

0 na x, tada graf funkcije leži ispod asimptotike

ti y 2 x 5 . ◄

Primjer 6. Odrediti relativnu poziciju grafa

funkcije f x

x4 3 x 1

i njegove asimptote za x.

x 2 1

Od jednakosti

x slijedi da graf funkcije leži ispod asimptote y x 4 . ◄

Primjer 7. Odrediti relativni položaj grafa funkcije f x x 2 6 x 14 i njenih asimptota.

Pošto je f x x 3 (vidi primjer 3), onda

x 3 2 5 x 3

graf funkcije leži iznad asimptote y x 3 na x i na x. ◄

Primjer 8. Odrediti relativnu poziciju grafa

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 i njegove asimptote.

kao x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6 , zatim koristeći

a x 2 3 14 x 6 ,

b x 2 3 , dobijamo f x x 2

14x6

3 x 2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

razlika je pozitivna na x

i negativan na x

Stoga, na x, grafik funkcije leži ispod asimptote y x 2, a na x iznad asimptote y x 2.◄

Metoda za izračunavanje granica za proučavanje asimptota ne dozvoljava da se proceni relativni položaj grafa funkcije i njenih asimptota.

3. Skiciranje grafa funkcije Za konstruiranje skice grafa, vertikalnog i

nagnute asimptote, tačke preseka grafa funkcije sa osama. Uzimajući u obzir relativni položaj grafa funkcije i asimptote, konstruiše se skica grafa. Ako graf funkcije leži iznad (ispod) asimptote na x, onda, pod pretpostavkom da

postoji tačka x 0 takva da među tačkama x x 0 nema prevojnih tačaka,

nalazimo da je funkcija konveksna prema dolje (gore), odnosno do asimptote. Slično, može se predvidjeti smjer konveksnosti prema asimptoti za vertikalne asimptote i za asimptotu na x. Međutim, kao što pokazuje gornji primjer

funkcija y x sin 2 x , takve pretpostavke ne moraju biti x

4. Područja rastuće i opadajuće funkcije. Minimum i maksimum bodova

Definicija 3.	Poziva se funkcija fx	povećanje
(smanjenje) na intervalu a, b, ako postoji		x1 , x2 a, b ,
tako da je x 1 x 2	postoji nejednakost	f x1 f x2
(f x1 f x2).

Funkcija fx diferencibilna na intervalu a, b

topi (smanjuje) na intervalu a, b, ako i samo ako

funkcija f x .

Neophodan uslov za ekstrem. Ako

Tačka ex-

tremum funkcije f x , tada i u ovoj tački

f x 0 0 , ili

derivat ne postoji.

Dovoljni uslovi za ekstrem.

f x diferencijal

1. Neka postoji 0 tako da je funkcija

je radijbilan u probušenom susjedstvu tačke x 0

i kontinuirano

u tački x 0 . onda,

a) ako njegova derivacija promijeni predznak minus u plus kada se ponovo

napredovati kroz tačku		x 0 ,

			x x 0 , x 0 , tada je x 0 maksimalna tačka
	x 0 za bilo koji
funkcije f x ;
	b) ako njegova derivacija promijeni predznak plus u minus kada se ponovo
napredovati kroz tačku		x 0 ,
			one. f x 0 za bilo koji x x 0 , x 0 ,
			x x 0 , x 0 , tada je x 0 minimalna tačka
	x 0 za bilo koji

funkcije f x .

Primjeri modela uključuju y x (slika 2.1) i

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na tehniku konstruisanja skice grafa funkcije i dati primjere s objašnjenjima.

Tema: Ponavljanje

Lekcija: Skiciranje grafa funkcije (koristeći primjer razlomno-kvadratne funkcije)

Naš cilj je skicirati graf razlomke kvadratne funkcije. Na primjer, uzmimo funkciju koja nam je već poznata:

Zadana je funkcija razlomka čiji brojnik i nazivnik sadrže kvadratne funkcije.

Tehnika skiciranja je sljedeća:

1. Odaberite intervale konstantnog predznaka i odredite predznak funkcije na svakom (slika 1)

Detaljno smo ispitali i otkrili da funkcija koja je kontinuirana u ODZ-u može promijeniti predznak samo kada argument prođe kroz korijene i točke prekida ODZ-a.

Zadata funkcija y je kontinuirana u svom ODZ-u; naznačimo ODZ:

Nađimo korijene:

Istaknimo intervale konstantnosti znaka. Pronašli smo korijene funkcije i prijelomne tačke domene definicije - korijene nazivnika. Važno je napomenuti da unutar svakog intervala funkcija zadržava svoj predznak.

Rice. 1. Intervali konstantnog predznaka funkcije

Da biste odredili predznak funkcije na svakom intervalu, možete uzeti bilo koju tačku koja pripada intervalu, zamijeniti je u funkciju i odrediti njen predznak. Na primjer:

Na intervalu funkcija ima znak plus

Na intervalu funkcija ima predznak minus.

Ovo je prednost metode intervala: određujemo predznak u jednoj probnoj točki i zaključujemo da će funkcija imati isti predznak u cijelom odabranom intervalu.

Međutim, možete postaviti predznake automatski, bez izračunavanja vrijednosti funkcije, da biste to učinili, odredite predznak u ekstremnom intervalu, a zatim promijenite znakove.

1. Napravimo graf u blizini svakog korijena. Podsjetimo da su korijeni ove funkcije i :

Rice. 2. Grafikon u blizini korijena

Budući da se u jednoj tački predznak funkcije mijenja iz plusa u minus, kriva je prvo iznad ose, zatim prolazi kroz nulu, a zatim se nalazi ispod x ose. U ovom trenutku je suprotno.

2. Napravimo graf u blizini svakog ODZ diskontinuiteta. Podsjetimo da su korijeni nazivnika ove funkcije i :

Rice. 3. Grafikon funkcije u blizini tačaka diskontinuiteta ODZ-a

Kada je ili nazivnik razlomka praktično jednak nuli, to znači da kada vrijednost argumenta teži ovim brojevima, vrijednost razlomka teži beskonačnosti. U ovom slučaju, kada se argument približi trojci s lijeve strane, funkcija je pozitivna i teži plus beskonačnosti, na desnoj strani funkcija je negativna i ide dalje od minus beskonačnosti. Oko četiri, naprotiv, na lijevoj strani funkcija teži minus beskonačnosti, a desno napušta plus beskonačnost.

Prema izgrađenoj skici možemo naslutiti prirodu ponašanja funkcije u nekim intervalima.

Rice. 4. Skica grafa funkcije

Razmotrimo sljedeći važan zadatak - konstruirati skicu grafa funkcije u blizini tačaka u beskonačnosti, odnosno kada argument teži plus ili minus beskonačnosti. U ovom slučaju, konstantni termini se mogu zanemariti. Imamo:

Ponekad možete pronaći ovaj snimak ove činjenice:

Rice. 5. Skica grafa funkcije u blizini tačaka u beskonačnosti

Dobili smo približno ponašanje funkcije u cijeloj domeni definicije, a zatim moramo precizirati konstrukciju koristeći derivaciju.

Primjer 1 - skicirajte graf funkcije:

Imamo tri tačke kroz koje funkcija može promijeniti predznak kada argument prođe.

Određujemo predznake funkcije na svakom intervalu. Imamo plus na krajnjem desnom intervalu, tada se predznaci izmjenjuju, jer svi korijeni imaju prvi stepen.

Konstruiramo skicu grafa u blizini korijena i prijelomnih tačaka ODZ-a. Imamo: pošto se u jednoj tački predznak funkcije mijenja iz plusa u minus, kriva je prvo iznad ose, zatim prolazi kroz nulu i zatim se nalazi ispod x ose. Kada je ili nazivnik razlomka praktično jednak nuli, to znači da kada vrijednost argumenta teži ovim brojevima, vrijednost razlomka teži beskonačnosti. U ovom slučaju, kada se argument približi minus dva na lijevoj strani, funkcija je negativna i teži minus beskonačnosti, na desnoj strani funkcija je pozitivna i ostavlja plus beskonačnost. Oko dva je isto.

Nađimo derivaciju funkcije:

Očigledno, derivacija je uvijek manja od nule, stoga funkcija opada u svim dijelovima. Dakle, u dijelu od minus beskonačno do minus dva, funkcija opada od nule do minus beskonačnosti; u dijelu od minus dva do nule, funkcija se smanjuje od plus beskonačnosti na nulu; u dijelu od nula do dva, funkcija se smanjuje od nule do minus beskonačnosti; u dijelu od dva do plus beskonačno, funkcija se smanjuje sa plus beskonačnosti na nulu.

Ilustrujmo:

Rice. 6. Skica grafa funkcije na primjer 1

na x, onda gra-

y 2 x 5 . Jer

fic funkcije laži

iznad asimptote

Primjer 2 - skicirajte graf funkcije:

Gradimo skicu grafa funkcije bez korištenja izvoda.

Prvo, ispitajmo datu funkciju:

Imamo jednu tačku kroz koju funkcija može promijeniti predznak kada argument prođe.

Imajte na umu da je data funkcija neparna.

Određujemo predznake funkcije na svakom intervalu. Imamo plus na krajnjem desnom intervalu, tada se predznak mijenja, pošto korijen ima prvi stepen.

Konstruišemo skicu grafa u blizini korena. Imamo: pošto se u jednoj tački predznak funkcije mijenja iz minusa u plus, kriva je prvo ispod ose, zatim prolazi kroz nulu i zatim se nalazi iznad x-ose.

Sada gradimo skicu grafa funkcije u blizini tačaka u beskonačnosti, odnosno kada argument teži plus ili minus beskonačnosti. U ovom slučaju, konstantni termini se mogu zanemariti. Imamo:

Nakon izvođenja gornjih koraka, već zamišljamo graf funkcije, ali ga moramo razjasniti pomoću izvoda.

“Derivatni problemi” - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. Kako zamišljate trenutnu brzinu? Problem trenutne brzine. y. Kako zamišljate trenutnu brzinu? ?X=x-x0. Ono što je rečeno zapisano je u formularu. Prvo smo definirali “teritorij” našeg istraživanja. A l g o r i t m. Brzina v se postepeno povećava.

“Proučavanje funkcije derivacije” - Top puca pod uglom prema horizontu. Opcija 1 A B D Opcija 2 G B B. Opštinska obrazovna ustanova Srednja škola Meshkovskaya Nastavnica matematike Kovaleva T.V. Funkcija je definirana na segmentu [-4;4] . Kako su derivacija i funkcija povezane? Odgovori: PRIMJENA DERIVATA NA PROUČAVANJE FUNKCIJE: rastuće i opadajuće funkcije. ZADATAK Sjećate se priče o baronu Minhauzenu?

“Derivat kompleksne funkcije” - Kompleksna funkcija. Pravilo za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije. Derivat jednostavne funkcije. Derivat kompleksne funkcije. Kompleksna funkcija: Primjeri:

“Primjena derivacije u proučavanju funkcija” - 6. -1. 8. Identifikujte kritične tačke funkcije koristeći graf derivacije funkcije. 1. =. 1. jula 1646. - 14. novembra 1716., zagrijavanje. Znak rastućih i opadajućih funkcija. Odrediti predznak derivacije funkcije na intervalima.

“Lekcija o izvodu kompleksne funkcije” - Izvod kompleksne funkcije. Izračunajte brzinu tačke: a) u trenutku t; b) u trenutku t=2 s. Naći izvode funkcija: , If. Brooke Taylor. Pronađite diferencijal funkcije: Na kojim vrijednostima x vrijedi jednakost. Tačka se kreće pravolinijski prema zakonu s(t) = s(t) = (s je put u metrima, t je vrijeme u sekundama).

“Definicija derivacije” - 1. Dokaz: f(x+ ?x). Neka su u(x), v(x) i w(x) diferencijabilne funkcije u nekom intervalu (a; b), C je konstanta. f(x). Jednadžba prave linije sa ugaonim koeficijentom: Koristeći Newtonovu binomnu formulu imamo: Teorem. Zatim: Derivat kompleksne funkcije.

Ukupno je 31 prezentacija

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na tehniku konstruisanja skice grafa funkcije i dati primjere s objašnjenjima.

Tema: Ponavljanje

Lekcija: Skiciranje grafa funkcije (koristeći primjer razlomno-kvadratne funkcije)

Naš cilj je skicirati graf razlomke kvadratne funkcije. Na primjer, uzmimo funkciju koja nam je već poznata:

Zadana je funkcija razlomka čiji brojnik i nazivnik sadrže kvadratne funkcije.

Tehnika skiciranja je sljedeća:

1. Odaberite intervale konstantnog predznaka i odredite predznak funkcije na svakom (slika 1)

Detaljno smo ispitali i otkrili da funkcija koja je kontinuirana u ODZ-u može promijeniti predznak samo kada argument prođe kroz korijene i točke prekida ODZ-a.

Zadata funkcija y je kontinuirana u svom ODZ-u; naznačimo ODZ:

Nađimo korijene:

Rice. 1. Intervali konstantnog predznaka funkcije

Da biste odredili predznak funkcije na svakom intervalu, možete uzeti bilo koju tačku koja pripada intervalu, zamijeniti je u funkciju i odrediti njen predznak. Na primjer:

Na intervalu funkcija ima znak plus

Na intervalu funkcija ima predznak minus.

Ovo je prednost metode intervala: određujemo predznak u jednoj probnoj točki i zaključujemo da će funkcija imati isti predznak u cijelom odabranom intervalu.

Međutim, možete postaviti predznake automatski, bez izračunavanja vrijednosti funkcije, da biste to učinili, odredite predznak u ekstremnom intervalu, a zatim promijenite znakove.

1. Napravimo graf u blizini svakog korijena. Podsjetimo da su korijeni ove funkcije i :

Rice. 2. Grafikon u blizini korijena

Budući da se u jednoj tački predznak funkcije mijenja iz plusa u minus, kriva je prvo iznad ose, zatim prolazi kroz nulu, a zatim se nalazi ispod x ose. U ovom trenutku je suprotno.

2. Napravimo graf u blizini svakog ODZ diskontinuiteta. Podsjetimo da su korijeni nazivnika ove funkcije i :

Rice. 3. Grafikon funkcije u blizini tačaka diskontinuiteta ODZ-a

Prema izgrađenoj skici možemo naslutiti prirodu ponašanja funkcije u nekim intervalima.

Rice. 4. Skica grafa funkcije

Razmotrimo sljedeći važan zadatak - konstruirati skicu grafa funkcije u blizini tačaka u beskonačnosti, tj. kada argument teži plus ili minus beskonačnosti. U ovom slučaju, konstantni termini se mogu zanemariti. Imamo:

Ponekad možete pronaći ovaj snimak ove činjenice:

Rice. 5. Skica grafa funkcije u blizini tačaka u beskonačnosti

Dobili smo približno ponašanje funkcije u cijeloj domeni definicije, a zatim moramo precizirati konstrukciju koristeći derivaciju.

Primjer 1 - skicirajte graf funkcije:

Imamo tri tačke kroz koje funkcija može promijeniti predznak kada argument prođe.

Određujemo predznake funkcije na svakom intervalu. Imamo plus na krajnjem desnom intervalu, tada se predznaci izmjenjuju, jer svi korijeni imaju prvi stepen.

Nađimo derivaciju funkcije:

Ilustrujmo:

Rice. 6. Skica grafa funkcije na primjer 1

Primjer 2 - skicirajte graf funkcije:

Gradimo skicu grafa funkcije bez korištenja izvoda.

Prvo, ispitajmo datu funkciju:

Imamo jednu tačku kroz koju funkcija može promijeniti predznak kada argument prođe.

Imajte na umu da je data funkcija neparna.

Određujemo predznake funkcije na svakom intervalu. Imamo plus na krajnjem desnom intervalu, tada se predznak mijenja, pošto korijen ima prvi stepen.

Sada konstruišemo skicu grafa funkcije u blizini tačaka u beskonačnosti, tj. kada argument teži plus ili minus beskonačnosti. U ovom slučaju, konstantni termini se mogu zanemariti. Imamo:

Nakon izvođenja gornjih koraka, već zamišljamo graf funkcije, ali ga moramo razjasniti pomoću izvoda.

Nađimo derivaciju funkcije:

Odabiremo intervale konstantnog predznaka derivacije: at . ODZ ovdje. Dakle, imamo tri intervala konstantnog predznaka derivacije i tri dijela monotonosti izvorne funkcije. Odredimo predznake derivacije na svakom intervalu. Kada izvod je pozitivan, funkcija raste; kada je izvod negativan, funkcija se smanjuje. U ovom slučaju - minimalni bod, jer derivacija mijenja predznak iz minusa u plus; naprotiv, maksimalna tačka.