Izrazi, konverzija izraza

Izrazi moći (izrazi sa potencijama) i njihova transformacija

U ovom članku ćemo govoriti o transformaciji izraza s ovlastima. Prvo ćemo se fokusirati na transformacije koje se izvode s izrazima bilo koje vrste, uključujući izraze potenciranja, kao što su otvarajuće zagrade, smanjujući slične pojmove. Zatim ćemo analizirati transformacije specifično svojstvene izrazima sa stupnjevima: rad s bazom i eksponentom, korištenjem svojstava stupnjeva itd.

Navigacija po stranici.

Šta su izrazi moći?

Pojam " izrazi moći”praktički se ne nalazi u školskim udžbenicima matematike, ali se prilično često pojavljuje u zbirkama zadataka, posebno dizajniranih za pripremu za Jedinstveni državni ispit i OGE, na primjer. Nakon analize zadataka u kojima je potrebno izvršiti bilo koju radnju sa izrazima stepena, postaje jasno da se izrazi stepena shvataju kao izrazi koji u svojim unosima sadrže stepene. Stoga za sebe možete uzeti sljedeću definiciju:

Definicija.

Izrazi moći su izrazi koji sadrže moći.

Hajde da donesemo primjere izraza moći. Štaviše, prikazaćemo ih prema tome kako se razvijaju pogledi na stepen prirodni pokazatelj do realnog eksponenta.

Kao što znate, prvo se upoznate sa stepenom broja sa prirodnim eksponentom, u ovoj fazi prvi najjednostavniji izrazi stepena tipa 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nešto kasnije se proučava stepen broja sa celobrojnim eksponentom, što dovodi do pojave stepena izraza sa celim brojevima. negativne moći, kao što je sljedeće: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 + c 2 .

U višim razredima se ponovo vraćaju na diplome. Tu se uvodi stepen sa racionalnim eksponentom, što dovodi do pojave odgovarajućih izraza stepena: , , itd. Konačno, razmatraju se stepeni sa iracionalnim eksponentima i izrazi koji ih sadrže: , .

Stvar nije ograničena na navedene izraze stepena: dalje varijabla prodire u eksponent, a postoje npr. takvi izrazi 2 x 2 +1 ili . I nakon upoznavanja, počinju se pojavljivati ​​izrazi sa potencijama i logaritmima, na primjer, x 2 lgx -5 x lgx.

Dakle, shvatili smo pitanje šta su izrazi moći. Zatim ćemo naučiti kako ih transformirati.

Glavne vrste transformacija izraza moći

Sa izrazima moći, možete izvesti bilo koju od osnovnih transformacija identiteta izraza. Na primjer, možete proširiti zagrade, zamijeniti numeričke izraze njihovim vrijednostima, dodati slične pojmove i tako dalje. Naravno, u ovom slučaju je potrebno poštovati prihvaćenu proceduru za izvođenje radnji. Navedimo primjere.

Primjer.

Izračunajte vrijednost izraza stepena 2 3 ·(4 2 −12) .

Rješenje.

Prema redoslijedu radnji, prvo izvodimo akcije u zagradama. Tu, prvo, zamjenjujemo stepen 4 2 njegovom vrijednošću 16 (vidi ako je potrebno), a drugo, izračunavamo razliku 16−12=4 . Imamo 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

U rezultirajućem izrazu zamjenjujemo stepen 2 3 njegovom vrijednošću 8 , nakon čega izračunavamo proizvod 8·4=32 . Ovo je željena vrijednost.

dakle, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

odgovor:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Primjer.

Pojednostavite izraze snage 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Rješenje.

Očigledno, ovaj izraz sadrži slične članove 3 · a 4 · b − 7 i 2 · a 4 · b − 7 , i možemo ih reducirati: .

odgovor:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Primjer.

Izrazite izraz sa moćima kao proizvod.

Rješenje.

Da biste se nosili sa zadatkom, omogućava predstavljanje broja 9 kao stepen od 3 2 i naknadnu upotrebu skraćene formule za množenje, razliku kvadrata:

odgovor:

Postoji i broj identične transformacije, koji su svojstveni izrazima moći. Zatim ćemo ih analizirati.

Rad sa bazom i eksponentom

Postoje stepeni u čijoj osnovi i/ili indikatoru nisu samo brojevi ili varijable, već neki izrazi. Kao primjer, napišimo (2+0,3 7) 5−3,7 i (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Kada se radi sa takvim izrazima, moguće je zameniti i izraz u bazi stepena i izraz u indikatoru sa identično jednakim izrazom na DPV njegovih varijabli. Drugim riječima, prema nama poznatim pravilima, možemo zasebno pretvoriti bazu stepena, a posebno - indikator. Jasno je da se kao rezultat ove transformacije dobija izraz koji je identično jednak originalnom.

Takve transformacije nam omogućavaju da pojednostavimo izraze sa moćima ili postignemo druge ciljeve koji su nam potrebni. Na primjer, u gore spomenutom izrazu za stepen (2+0,3 7) 5−3,7, možete izvoditi operacije sa brojevima u bazi i eksponentu, što će vam omogućiti da pređete na stepen 4,1 1,3. A nakon otvaranja zagrada i dovođenja sličnih članova u bazu stepena (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) dobijamo izraz stepena više jednostavan oblik a 2 (x+1) .

Korištenje Power Properties

Jedno od glavnih oruđa za transformaciju izraza sa moćima su jednakosti koje odražavaju . Prisjetimo se glavnih. Za bilo koje pozitivne brojeve a i b i proizvoljne realne brojeve r i s vrijede sljedeća svojstva snage:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Imajte na umu da za prirodne, cjelobrojne i pozitivne eksponente ograničenja na brojeve a i b možda nisu tako stroga. Na primjer, za prirodne brojeve m i n jednakost a m ·a n =a m+n vrijedi ne samo za pozitivne a, već i za negativne, i za a=0.

U školi je glavna pažnja u transformaciji izraza moći usmjerena upravo na sposobnost odabira odgovarajućeg svojstva i pravilne primjene. U ovom slučaju, baze stupnjeva su obično pozitivne, što vam omogućava da koristite svojstva stupnjeva bez ograničenja. Isto se odnosi i na transformaciju izraza koji sadrže varijable u bazama stupnjeva - raspon prihvatljivih vrijednosti varijabli je obično takav da baze uzimaju samo pozitivne vrijednosti na njemu, što vam omogućava da slobodno koristite svojstva stepena. Općenito, morate se stalno pitati da li je u ovom slučaju moguće primijeniti neko svojstvo stupnjeva, jer neprecizno korištenje svojstava može dovesti do sužavanja ODZ-a i drugih nevolja. Ove tačke se detaljno i uz primjere razmatraju u članku o transformaciji izraza korištenjem svojstava stupnjeva. Ovdje se ograničavamo na nekoliko jednostavnih primjera.

Primjer.

Izraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 izraziti kao stepen sa bazom a .

Rješenje.

Prvo transformiramo drugi faktor (a 2) −3 svojstvom dizanja stepena na stepen: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. U ovom slučaju, početni izraz snage će imati oblik a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Očigledno, ostaje da koristimo svojstva množenja i dijeljenja potencija sa istom bazom, imamo
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

odgovor:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Svojstva snage se koriste pri transformaciji izraza snage i s lijeva na desno i s desna na lijevo.

Primjer.

Nađite vrijednost izraza snage.

Rješenje.

Jednakost (a·b) r =a r ·b r, primijenjena s desna na lijevo, omogućava vam da idete od originalnog izraza do proizvoda forme i dalje. I pri množenju snaga sa istih osnova indikatori se zbrajaju: .

Transformaciju originalnog izraza bilo je moguće izvesti na drugi način:

odgovor:

.

Primjer.

Dat izraz za stepen a 1,5 −a 0,5 −6 , unesite novu varijablu t=a 0,5 .

Rješenje.

Stepen a 1,5 može se predstaviti kao 0,5 3 i dalje na osnovu svojstva stepena u stepenu (a r) s =a r s primijenjenom s desna na lijevo, pretvoriti ga u oblik (a 0,5) 3 . Na ovaj način, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Sada je lako uvesti novu varijablu t=a 0.5, dobijamo t 3 −t−6 .

odgovor:

t 3 −t−6 .

Pretvaranje razlomaka koji sadrže stepene

Izrazi stepena mogu sadržavati razlomke sa potencijama ili predstavljati takve razlomke. Bilo koja od osnovnih transformacija razlomaka koja je svojstvena razlomcima bilo koje vrste u potpunosti je primjenjiva na takve razlomke. Odnosno, razlomci koji sadrže stupnjeve mogu se reducirati, svesti na novi nazivnik, raditi odvojeno sa svojim brojiocem i zasebno sa nazivnikom, itd. Da biste ilustrirali gornje riječi, razmotrite rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Pojednostavite Power Expression .

Rješenje.

Ovaj izraz snage je razlomak. Poradimo sa njegovim brojinikom i nazivnikom. U brojiocu otvaramo zagrade i pojednostavljujemo dobijeni izraz koristeći svojstva potencija, a u nazivniku predstavljamo slične pojmove:

I također mijenjamo predznak nazivnika stavljajući minus ispred razlomka: .

odgovor:

.

Svođenje razlomaka koji sadrže potencije na novi nazivnik se provodi slično kao svođenje racionalnih razlomaka na novi nazivnik. Istovremeno se pronalazi i dodatni faktor i njime se množe brojnik i imenilac razlomka. Prilikom obavljanja ove radnje, vrijedi zapamtiti da smanjenje na novi nazivnik može dovesti do sužavanja DPV-a. Da se to ne bi dogodilo, potrebno je da dodatni faktor ne nestane ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za originalni izraz.

Primjer.

Dovedite razlomke na novi nazivnik: a) na nazivnik a, b) na imenilac.

Rješenje.

a) U ovom slučaju, prilično je lako shvatiti koji dodatni faktor pomaže da se postigne željeni rezultat. Ovo je množitelj a 0,3, budući da je a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Imajte na umu da na rasponu prihvatljivih vrijednosti varijable a (ovo je skup svih pozitivnih realnih brojeva), stepen a 0,3 ne nestaje, stoga imamo pravo da pomnožimo brojnik i imenilac datog razlomka ovim dodatnim faktorom:

b) Ako pažljivije pogledamo imenilac, nalazimo da

i množenjem ovog izraza sa će dati zbroj kocki i , To jest, . A ovo je novi nazivnik do kojeg trebamo dovesti originalni razlomak.

Tako smo pronašli dodatni faktor. Izraz ne nestaje u rasponu prihvatljivih vrijednosti varijabli x i y, stoga možemo pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s njim:

odgovor:

a) , b) .

Takođe nema ničeg novog u redukciji razlomaka koji sadrže stepene: brojilac i imenilac su predstavljeni kao određeni broj faktora, a isti faktori brojnika i imenioca su redukovani.

Primjer.

Smanjite razlomak: a) , b).

Rješenje.

a) Prvo, brojilac i imenilac se mogu smanjiti za brojeve 30 i 45, što je jednako 15. Također, očito, možete smanjiti za x 0,5 +1 i za . Evo šta imamo:

b) U ovom slučaju, isti faktori u brojniku i nazivniku nisu odmah vidljivi. Da biste ih dobili, morate izvršiti preliminarne transformacije. U ovom slučaju, oni se sastoje od razlaganja nazivnika na faktore prema formuli razlike kvadrata:

odgovor:

a)

b) .

Svođenje razlomaka na novi nazivnik i redukcija razlomaka uglavnom se koristi za izvođenje operacija nad razlomcima. Radnje se izvode prema poznatim pravilima. Prilikom sabiranja (oduzimanja) razlomaka oni se svode na zajednički imenilac, nakon čega se brojnici sabiraju (oduzimaju), a imenilac ostaje isti. Rezultat je razlomak čiji je brojilac umnožak brojilaca, a nazivnik proizvod nazivnika. Deljenje razlomkom je množenje njegovom recipročnom vrednosti.

Primjer.

Slijedite korake .

Rješenje.

Prvo oduzimamo razlomke u zagradama. Da bismo to učinili, dovodimo ih do zajedničkog nazivnika, a to je , zatim oduzmi brojioce:

Sada množimo razlomke:

Očigledno je moguće smanjenje za snagu x 1/2, nakon čega imamo .

Također možete pojednostaviti izraz stepena u nazivniku korištenjem formule razlike kvadrata: .

odgovor:

Primjer.

Pojednostavite Power Expression .

Rješenje.

Očigledno, ovaj razlomak se može smanjiti za (x 2,7 +1) 2, što daje razlomak . Jasno je da je potrebno još nešto uraditi sa stepenom x. Da bismo to učinili, rezultirajuću frakciju pretvaramo u proizvod. Ovo nam daje priliku da koristimo svojstvo podjele snaga s istim osnovama: . I na kraju procesa prelazimo sa posljednjeg proizvoda na razlomak.

odgovor:

.

I dodajemo da je moguće i u mnogim slučajevima poželjno faktore sa negativnim eksponentima prenijeti iz brojila u imenilac ili iz nazivnika u brojnik promjenom predznaka eksponenta. Takve transformacije često pojednostavljuju dalje radnje. Na primjer, izraz snage može se zamijeniti sa .

Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama

Često u izrazima u kojima su potrebne neke transformacije, zajedno sa stepenima sa razlomkom eksponenta, postoje i korijeni. Za pretvaranje takvog izraza u pravu vrstu, u većini slučajeva dovoljno je ići samo do korijena ili samo do moći. Ali budući da je prikladnije raditi sa stepenima, oni se obično kreću od korijena do stupnjeva. Međutim, preporučljivo je izvršiti takav prijelaz kada ODZ varijabli za originalni izraz omogućava zamjenu korijena stupnjevima bez potrebe za pristupom modulu ili podjelom ODZ-a na nekoliko intervala (o tome smo detaljno raspravljali u članka, prijelaz s korijena na stepene i obrnuto Nakon upoznavanja stepena sa racionalnim eksponentom uvodi se stepen sa iracionalnim indikatorom, što omogućava da se govori o stepenu sa proizvoljnim realnim indikatorom. U ovoj fazi, škola počinje da uči eksponencijalna funkcija, koji je analitički zadan stepenom, u čijoj osnovi se nalazi broj, au indikatoru - varijabla. Dakle, suočeni smo sa izrazima stepena koji sadrže brojeve u bazi stepena, au eksponentu - izraze sa varijablama, i prirodno se javlja potreba da se izvrši transformacija takvih izraza.

Treba reći da se kod rješavanja obično mora izvršiti transformacija izraza naznačenog tipa eksponencijalne jednačine i eksponencijalne nejednakosti, a ove transformacije su prilično jednostavne. U velikoj većini slučajeva zasnivaju se na svojstvima stepena i uglavnom imaju za cilj uvođenje nove varijable u budućnosti. Jednačina će nam omogućiti da ih demonstriramo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Prvo, eksponenti, u čijim se eksponentima nalazi zbir neke varijable (ili izraza sa varijablama) i broja, zamjenjuju se produktima. Ovo se odnosi na prvi i zadnji izraz izraza na lijevoj strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Zatim se obje strane jednakosti dijele izrazom 7 2 x , koji uzima samo pozitivne vrijednosti na ODZ varijablu x za originalnu jednačinu (ovo je standardna tehnika za rješavanje jednadžbi ove vrste, ne govorimo o sada, pa se fokusirajte na naknadne transformacije izraza sa potencijama ):

Sada su razlomci sa potencijama poništeni, što daje .

Konačno, omjer potencija s istim eksponentima zamjenjuje se snagama omjera, što dovodi do jednačine , što je ekvivalentno . Izvršene transformacije nam omogućavaju da uvedemo novu varijablu , koja reducira rješenje originala eksponencijalna jednačina na rješenje kvadratne jednadžbe

I. V. Boikov, L. D. Romanova Zbirka zadataka za pripremu ispita. Dio 1. Penza 2003.

Razmotrimo temu transformacije izraza s potencijama, ali prvo ćemo se zadržati na brojnim transformacijama koje se mogu izvesti s bilo kojim izrazima, uključujući i one potencirane. Naučićemo kako otvarati zagrade, davati slične pojmove, raditi sa bazom i eksponentom, koristiti svojstva potencija.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Šta su izrazi moći?

AT školski kurs malo ljudi koristi izraz "izrazi moći", ali ovaj termin se stalno nalazi u zbirkama za pripremu ispita. U većini slučajeva, izraz označava izraze koji sadrže stupnjeve u svojim unosima. To je ono što ćemo odraziti u našoj definiciji.

Definicija 1

Izraz moći je izraz koji sadrži moći.

Dajemo nekoliko primjera izraza stepena, počevši od stepena sa prirodnim eksponentom i završavajući stepenom sa realnim eksponentom.

Najjednostavniji izrazi stepena mogu se smatrati potencijama broja sa prirodnim eksponentom: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Kao i potencije sa nultim eksponentom: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . I potenci sa negativnim cijelim potencijama: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Malo je teže raditi sa diplomom koja ima racionalne i iracionalne eksponente: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikator može biti varijabla 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ili logaritam x 2 l g x − 5 x l g x.

Bavili smo se pitanjem šta su izrazi moći. Pogledajmo sada njihovu transformaciju.

Glavne vrste transformacija izraza moći

Prije svega, razmotrit ćemo osnovne transformacije identiteta izraza koje se mogu izvesti sa izrazima moći.

Primjer 1

Izračunajte vrijednost izraza snage 2 3 (4 2 − 12).

Rješenje

Sve transformacije ćemo izvršiti u skladu sa redosledom radnji. U ovom slučaju, počet ćemo izvođenjem radnji u zagradama: zamijenit ćemo stepen digitalnom vrijednošću i izračunati razliku između dva broja. Imamo 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Ostaje nam da zamijenimo diplomu 2 3 njegovo značenje 8 i izračunaj proizvod 8 4 = 32. Evo našeg odgovora.

odgovor: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Primjer 2

Pojednostavite izražavanje pomoću ovlasti 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Rješenje

Izraz koji nam je dat u uslovu problema sadrži slične pojmove, koje možemo donijeti: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

odgovor: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Primjer 3

Izraz sa potencijama 9 - b 3 · π - 1 2 izraziti kao proizvod.

Rješenje

Predstavimo broj 9 kao stepen 3 2 i primijeniti skraćenu formulu množenja:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

odgovor: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A sada pređimo na analizu identičnih transformacija koje se mogu primijeniti posebno na izraze stepena.

Rad sa bazom i eksponentom

Stepen u bazi ili eksponentu može imati brojeve, varijable i neke izraze. Na primjer, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 i . Teško je raditi sa takvim zapisima. Mnogo je lakše zamijeniti izraz u bazi stepena ili izraz u eksponentu identično jednakim izrazom.

Transformacije stepena i indikatora provode se prema nama poznatim pravilima odvojeno jedan od drugog. Najvažnije je da se kao rezultat transformacija dobije izraz koji je identičan originalnom.

Svrha transformacija je da se pojednostavi originalni izraz ili da se dobije rješenje problema. Na primjer, u primjeru koji smo dali gore, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 možete izvoditi operacije da biste prešli na stepen 4 , 1 1 , 3 . Otvarajući zagrade, možemo uvesti slične pojmove u osnovu stepena (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) i dobiti izraz moći jednostavnijeg oblika a 2 (x + 1).

Korištenje Power Properties

Svojstva stepeni, zapisana kao jednakosti, jedno su od glavnih alata za transformaciju izraza sa stepenima. Predstavljamo vam glavne, s obzirom na to a i b su bilo koji pozitivni brojevi, i r i s- proizvoljni realni brojevi:

Definicija 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

U slučajevima kada imamo posla s prirodnim, cjelobrojnim, pozitivnim eksponentima, ograničenja za brojeve a i b mogu biti mnogo manje stroga. Tako, na primjer, ako uzmemo u obzir jednakost a m a n = a m + n, gdje m i n su prirodni brojevi, onda će to vrijediti za sve vrijednosti a, pozitivne i negativne, kao i za a = 0.

Svojstva stupnjeva možete primijeniti bez ograničenja u slučajevima kada su baze stupnjeva pozitivne ili sadrže varijable čiji je raspon prihvatljivih vrijednosti takav da baze uzimaju samo pozitivne vrijednosti na njemu. Naime, u okviru školskog nastavnog plana i programa iz matematike, zadatak učenika je da odabere odgovarajuće svojstvo i da ga pravilno primijeni.

Prilikom pripreme za upis na fakultete mogu postojati zadaci u kojima će neprecizna primjena svojstava dovesti do sužavanja ODZ-a i drugih poteškoća s rješenjem. U ovom dijelu ćemo razmotriti samo dva takva slučaja. Više informacija o ovoj temi možete pronaći u temi "Transformiranje izraza korištenjem svojstava eksponenta".

Primjer 4

Predstavite izraz a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 kao diploma sa bazom a.

Rješenje

Za početak, koristimo svojstvo eksponencije i transformiramo drugi faktor koristeći ga (a 2) − 3. Zatim koristimo svojstva množenja i dijeljenja potencija sa istom osnovom:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5 ) = a 2 .

odgovor: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformacija izraza stepena prema svojstvu stepeni može se vršiti i s leva na desno i u suprotnom smeru.

Primjer 5

Naći vrijednost izraza stepena 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Rješenje

Ako primijenimo jednakost (a b) r = a r b r, s desna na lijevo, tada dobivamo proizvod oblika 3 7 1 3 21 2 3 i zatim 21 1 3 21 2 3 . Dodajmo eksponente pri množenju potencija s istim bazama: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Postoji još jedan način da napravite transformaciju:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

odgovor: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Primjer 6

Dat izraz moći a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, unesite novu varijablu t = a 0 , 5.

Rješenje

Zamislite stepen a 1, 5 kako a 0 , 5 3. Korišćenje svojstva stepena u stepenu (a r) s = a r s s desna na lijevo i dobijemo (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . U rezultirajući izraz možete lako uvesti novu varijablu t = a 0 , 5: dobiti t 3 − t − 6.

odgovor: t 3 − t − 6 .

Pretvaranje razlomaka koji sadrže stepene

Obično imamo posla sa dve varijante izraza stepena sa razlomcima: izraz je razlomak sa stepenom ili sadrži takav razlomak. Sve osnovne transformacije razlomaka su primjenjive na takve izraze bez ograničenja. Mogu se reducirati, dovesti do novog nazivnika, raditi odvojeno sa brojnikom i nazivnikom. Ilustrirajmo to primjerima.

Primjer 7

Pojednostavite izraz stepena 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Rješenje

Radimo sa razlomkom, pa ćemo izvršiti transformacije i u brojniku i u nazivniku:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Stavite minus ispred razlomka da promijenite predznak nazivnika: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

odgovor: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Razlomci koji sadrže stupnjeve svode se na novi nazivnik na isti način kao i racionalni razlomci. Da biste to učinili, morate pronaći dodatni faktor i pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s njim. Potrebno je odabrati dodatni faktor na način da ne nestane ni za jednu vrijednost varijabli iz ODZ varijabli za originalni izraz.

Primjer 8

Dovedite razlomke na novi nazivnik: a) a + 1 a 0, 7 na nazivnik a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 na nazivnik x + 8 y 1 2 .

Rješenje

a) Odaberemo faktor koji će nam omogućiti da svedemo na novi nazivnik. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , stoga kao dodatni faktor uzimamo a 0 , 3. Raspon dozvoljenih vrijednosti varijable a uključuje skup svih pozitivnih realnih brojeva. U ovoj oblasti, stepen a 0 , 3 ne ide na nulu.

Pomnožimo brojilac i imenilac razlomka sa a 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Obratite pažnju na imenilac:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Pomnožimo ovaj izraz sa x 1 3 + 2 · y 1 6 , dobićemo zbir kocki x 1 3 i 2 · y 1 6 , tj. x + 8 · y 1 2 . Ovo je naš novi nazivnik na koji trebamo dovesti originalni razlomak.

Tako smo pronašli dodatni faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . O rasponu prihvatljivih vrijednosti varijabli x i y izraz x 1 3 + 2 y 1 6 ne nestaje, pa s njim možemo pomnožiti brojilac i imenilac razlomka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

odgovor: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Primjer 9

Smanjite razlomak: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Rješenje

a) Koristite najveći zajednički imenilac (GCD) kojim se brojnik i imenilac mogu smanjiti. Za brojeve 30 i 45, ovo je 15. Možemo i smanjiti x 0 , 5 + 1 i na x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Dobijamo:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Ovdje nije očigledno prisustvo identičnih faktora. Morat ćete izvršiti neke transformacije da biste dobili iste faktore u brojniku i nazivniku. Da bismo to učinili, proširimo nazivnik koristeći formulu razlike kvadrata:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

odgovor: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Glavne operacije s razlomcima uključuju svođenje na novi nazivnik i redukciju razlomaka. Obje radnje se izvode u skladu s nizom pravila. Prilikom sabiranja i oduzimanja razlomaka, razlomci se prvo svode na zajednički nazivnik, nakon čega se radnje (sabiranje ili oduzimanje) izvode s brojiocima. Imenilac ostaje isti. Rezultat naših radnji je novi razlomak, čiji je brojnik proizvod brojilaca, a nazivnik je proizvod nazivnika.

Primjer 10

Uradite korake x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Rješenje

Počnimo oduzimanjem razlomaka koji su u zagradama. Hajde da ih dovedemo do zajedničkog imenioca:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Oduzmimo brojioce:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Sada množimo razlomke:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Smanjimo za stepen x 1 2, dobijamo 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Dodatno, možete pojednostaviti izraz stepena u nazivniku koristeći formulu za razliku kvadrata: kvadrati: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

odgovor: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Primjer 11

Pojednostavite izraz stepena x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Rješenje

Razlomak možemo smanjiti za (x 2 , 7 + 1) 2. Dobijamo razlomak x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Nastavimo transformacije x potencija x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Sada možete koristiti svojstvo podjele snage sa istim bazama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Od posljednjeg proizvoda prelazimo na razlomak x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

odgovor: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

U većini slučajeva pogodnije je prenijeti množitelje s negativnim eksponentima iz brojnika u nazivnik i obrnuto promjenom predznaka eksponenta. Ova radnja pojednostavljuje dalju odluku. Dajemo primjer: izraz stepena (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 može se zamijeniti sa x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Pretvaranje izraza s korijenima i potencijama

U zadacima postoje izrazi stepena koji sadrže ne samo stupnjeve s razlomcima, već i korijene. Poželjno je takve izraze svesti samo na korijene ili samo na moći. Prelazak na stepene je poželjniji, jer je s njima lakše raditi. Takav prijelaz je posebno povoljan kada vam DPV varijabli za originalni izraz omogućava zamjenu korijena potencijama bez pristupa modulu ili podjele DPV-a na nekoliko intervala.

Primjer 12

Izraz x 1 9 x x 3 6 izraziti kao stepen.

Rješenje

Važeći raspon varijable x određena je sa dvije nejednakosti x ≥ 0 i x · x 3 ≥ 0, koji definišu skup [ 0 , + ∞) .

Na ovom skupu imamo pravo da se krećemo od korena do moći:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Koristeći svojstva stupnjeva, pojednostavljujemo rezultujući izraz snage.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

odgovor: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Pretvaranje stepena sa varijablama u eksponentu

Ove transformacije je prilično jednostavno napraviti ako pravilno koristite svojstva stepena. Na primjer, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Možemo zamijeniti proizvod stepena u smislu kojeg se nalazi zbir neke varijable i broja. Na lijevoj strani, to se može učiniti s prvim i posljednjim pojmom na lijevoj strani izraza:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Podijelimo sada obje strane jednačine sa 7 2 x. Ovaj izraz na ODZ-u varijable x uzima samo pozitivne vrijednosti:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Smanjimo razlomke potencijama, dobićemo: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Konačno, omjer stepena sa istim eksponentima zamjenjuje se potencijama omjera, što dovodi do jednačine 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , što je ekvivalentno 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Uvodimo novu varijablu t = 5 7 x , koja svodi rješenje originalne eksponencijalne jednadžbe na rješenje kvadratna jednačina 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Pretvaranje izraza sa stepenom i logaritmima

Izrazi koji sadrže stepene i logaritme također se nalaze u problemima. Primjeri takvih izraza su: 1 4 1 - 5 log 2 3 ili log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformacija ovakvih izraza se vrši korištenjem pristupa o kojima smo raspravljali i svojstava logaritama, koje smo detaljno analizirali u temi “Transformacija logaritamskih izraza”.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Algebarski izraz u čijem zapisu se, uz operacije sabiranja, oduzimanja i množenja, koristi i dijeljenje na literalne izraze, naziva se frakcioni algebarski izraz. Takvi su, na primjer, izrazi

Mi to zovemo algebarski razlomak algebarski izraz, koji ima oblik kvocijenta dva cjelobrojna algebarska izraza (na primjer, monomi ili polinomi). Takvi su, na primjer, izrazi

treći od izraza).

Transformacije identiteta frakcionih algebarskih izraza su uglavnom namijenjene da ih predstave u obliku algebarski razlomak. Da bi se pronašao zajednički imenilac, koristi se faktorizacija nazivnika razlomaka - pojmova kako bi se pronašao njihov najmanji zajednički višekratnik. Prilikom redukcije algebarskih razlomaka može se narušiti strogi identitet izraza: potrebno je isključiti vrijednosti veličina pri kojima nestaje faktor kojim se vrši redukcija.

Navedimo primjere identičnih transformacija frakcionih algebarskih izraza.

Primjer 1: Pojednostavite izraz

Svi članovi se mogu svesti na zajednički nazivnik (zgodno je promijeniti predznak u nazivniku posljednjeg člana i znak ispred njega):

Naš izraz je jednak jedinici za sve vrijednosti osim ovih vrijednosti, nije definiran i smanjenje razlomka je nezakonito).

Primjer 2. Predstavite izraz kao algebarski razlomak

Rješenje. Izraz se može uzeti kao zajednički imenilac. Nalazimo sukcesivno:

Vježbe

1. Pronađite vrijednosti algebarskih izraza za navedene vrijednosti parametara:

2. Faktorizirajte.

Pojednostavljivanje algebarskih izraza je jedan od ključne točke učenje algebre i izuzetno korisna vještina za sve matematičare. Pojednostavljenje vam omogućava da svedete složeni ili dugi izraz na jednostavan izraz s kojim je lako raditi. Osnovne vještine pojednostavljivanja dobre su čak i za one koji nisu entuzijasti u matematici. Prateći nekoliko jednostavnih pravila, mnogi od najčešćih tipova algebarskih izraza mogu se pojednostaviti bez ikakvog posebnog matematičkog znanja.

Koraci

Važne definicije

1. Slični članovi. To su članovi sa varijablom istog reda, članovi sa istim varijablama ili slobodni članovi (članovi koji ne sadrže varijablu). Drugim riječima, slični pojmovi uključuju jednu varijablu u istoj mjeri, uključuju nekoliko identičnih varijabli ili uopće ne uključuju varijablu. Redosled pojmova u izrazu nije bitan.

   • Na primjer, 3x 2 i 4x 2 su slični termini jer sadrže varijablu "x" drugog reda (u drugom stepenu). Međutim, x i x 2 nisu slični članovi, jer sadrže varijablu "x" različitog reda (prvi i drugi). Slično, -3yx i 5xz nisu slični članovi jer sadrže različite varijable.

2. Faktorizacija. Ovo je pronalaženje takvih brojeva, čiji proizvod vodi do originalnog broja. Svaki originalni broj može imati nekoliko faktora. Na primjer, broj 12 se može razložiti na sljedeći redčinioci: 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, pa možemo reći da su brojevi 1, 2, 3, 4, 6 i 12 činioci broja 12. Faktori su isti kao i djelitelji, tj. , brojevi kojima se dijeli originalni broj.

   • Na primjer, ako želite da faktorirate broj 20, napišite ga ovako: 4×5.
   • Imajte na umu da se prilikom faktoringa varijabla uzima u obzir. Na primjer, 20x = 4(5x).
   • Prosti brojevi se ne mogu rastaviti na faktore jer su djeljivi samo sa sobom i 1.

3. Zapamtite i slijedite redoslijed operacija kako biste izbjegli greške.

   • Zagrade
   • Stepen
   • Množenje
   • Division
   • Dodatak
   • Oduzimanje

   Casting Like Members

   1. Zapišite izraz. Najjednostavniji algebarski izrazi (koji ne sadrže razlomke, korijene i tako dalje) mogu se riješiti (pojednostaviti) u samo nekoliko koraka.

      • Na primjer, pojednostavite izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definirajte slične članove (članove sa varijablom istog reda, članove sa istim varijablama ili slobodne članove).

      • Pronađite slične pojmove u ovom izrazu. Termini 2x i 4x sadrže varijablu istog reda (prva). Također, 1 i -3 su slobodni članovi (ne sadrže varijablu). Dakle, u ovom izrazu, termini 2x i 4x slični su i članovi 1 i -3 takođe su slični.

   3. Dajte slične članove. To znači njihovo dodavanje ili oduzimanje i pojednostavljivanje izraza.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepišite izraz uzimajući u obzir date pojmove. Dobićete jednostavan izraz sa manje pojmova. Novi izraz je jednak originalnom.

      • U našem primjeru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, odnosno originalni izraz je pojednostavljen i lakši za rad.

   5. Posmatrajte redosled kojim se operacije izvode prilikom bacanja sličnih termina. U našem primjeru bilo je lako donijeti slične pojmove. Međutim, u slučaju složenih izraza u kojima su članovi zatvoreni u zagrade, a prisutni su razlomci i korijeni, nije tako lako donijeti takve pojmove. U tim slučajevima slijedite redoslijed operacija.

      • Na primjer, razmotrite izraz 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Ovdje bi bilo pogrešno odmah definirati 3x i 2x kao slične pojmove i citirati ih, jer prvo treba proširiti zagrade. Stoga izvršite operacije po njihovom redoslijedu.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Sad, kada izraz sadrži samo operacije sabiranja i oduzimanja, možete baciti slične pojmove.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Stavljanje u zagrade množitelja

   1. Pronađite najveći zajednički djelitelj (gcd) svih koeficijenata izraza. NOD je najveći broj, kojim su podijeljeni svi koeficijenti izraza.

      • Na primjer, razmotrite jednačinu 9x 2 + 27x - 3. U ovom slučaju, gcd=3, budući da je bilo koji koeficijent ovog izraza djeljiv sa 3.

   2. Podijelite svaki član izraza sa gcd. Rezultirajući termini će sadržavati manje koeficijente nego u originalnom izrazu.

      • U našem primjeru, podijelite svaki izraz sa 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ispostavilo se izraz 3x2 + 9x-1. Nije jednak originalnom izrazu.

   3. Napišite originalni izraz kao jednak proizvodu GCD za rezultirajući izraz. To jest, stavite rezultujući izraz u zagrade, a GCD izvucite iz zagrada.

      • U našem primjeru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Pojednostavljivanje frakcijskih izraza izvlačenjem množitelja iz zagrada. Zašto samo izvaditi množitelj iz zagrada, kao što je učinjeno ranije? Zatim, da naučite kako da pojednostavite složene izraze, kao što su frakcioni izrazi. U ovom slučaju, stavljanje faktora iz zagrada može pomoći da se riješite razlomka (od nazivnika).

      • Na primjer, razmotrite frakcioni izraz(9x 2 + 27x - 3)/3. Koristite zagrade da pojednostavite ovaj izraz.
        • Odvojite faktor 3 (kao što ste ranije radili): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Imajte na umu da i brojilac i imenilac sada imaju broj 3. Ovo se može smanjiti i dobićete izraz: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Budući da je svaki razlomak koji ima broj 1 u nazivniku jednak brojiocu, originalni izraz razlomaka se pojednostavljuje na: 3x2 + 9x-1.

   Dodatne tehnike pojednostavljenja

4. Razmotrimo jednostavan primjer: √(90). Broj 90 se može razložiti na sljedeće faktore: 9 i 10, te iz 9 izdvojiti Kvadratni korijen(3) i izvadite 3 ispod korijena.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Pojednostavljivanje izraza sa potencijama. U nekim izrazima postoje operacije množenja ili dijeljenja pojmova sa stepenom. U slučaju množenja članova sa jednom osnovom, sabiraju se njihovi stepeni; u slučaju dijeljenja članova sa istom osnovom, njihovi stupnjevi se oduzimaju.

   • Na primjer, razmotrite izraz 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). U slučaju množenja zbrojite eksponente, a u slučaju dijeljenja ih oduzmite.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Slijedi objašnjenje pravila za množenje i dijeljenje pojmova sa stepenom.
     • Množenje pojmova sa potencijama je ekvivalentno množenju pojmova sami po sebi. Na primjer, pošto je x 3 = x × x × x i x 5 = x × x × x × x × x, tada je x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) ili x 8 .
     • Slično tome, podjela pojmova sa ovlastima je ekvivalentna podjela pojmova na sebe. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Budući da se slični članovi koji se nalaze i u brojniku i u nazivniku mogu smanjiti, proizvod dva "x", ili x 2, ostaje u brojniku.

• Uvijek budite svjesni znakova (plus ili minus) ispred izraza, jer mnogi ljudi imaju poteškoća pri odabiru pravog znaka.
• Zatražite pomoć ako je potrebna!
• Pojednostavljivanje algebarskih izraza nije lako, ali ako se dočepate, ovu vještinu možete koristiti cijeli život.

Odjeljak 5. IZRAZI I JEDNAČINE

U sekciji ćete naučiti:

ü o izrazi i njihova pojednostavljenja;

ü koja su svojstva jednakosti;

ü kako rješavati jednačine na osnovu svojstava jednakosti;

ü koje vrste problema se rješavaju uz pomoć jednačina; šta su okomite i kako ih graditi;

ü koje se prave nazivaju paralelnim i kako ih graditi;

ü šta je koordinatna ravan;

ü kako odrediti koordinate tačke na ravni;

ü šta je graf zavisnosti između količina i kako ga izgraditi;

ü kako primijeniti naučeno gradivo u praksi

§ 30. IZRAZI I NJIHOVO POJEDNOSTAVLJANJE

Već znate šta su doslovni izrazi i znate kako ih pojednostaviti koristeći zakone sabiranja i množenja. Na primjer, 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . U rezultirajućem izrazu, broj -8 naziva se koeficijent izraza.

Obavlja izraz cd koeficijent? Dakle. To je jednako 1 jer cd - 1 ∙ cd .

Podsjetimo da se pretvaranje izraza sa zagradama u izraz bez zagrada naziva proširenje zagrada. Na primjer: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Obrnuta radnja u ovom primjeru je stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada.

Izrazi koji sadrže iste bukvalne faktore nazivaju se sličnim terminima. Izvlačenjem zajedničkog faktora iz zagrada, postavljaju se slični pojmovi:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

B x + 7y - 5.

Pravila proširenja zagrada

1. Ako se ispred zagrada nalazi znak „+“, tada se prilikom otvaranja zagrada čuvaju znaci pojmova u zagradama;

2. Ako se ispred zagrada nalazi znak „-“, onda kada se zagrade otvore, znaci pojmova u zagradama se menjaju.

Zadatak 1. Pojednostavite izraz:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 g -(-8 + 7 y ).

Rješenja. 1. Ispred zagrada se nalazi znak „+“, pa se prilikom otvaranja zagrada čuvaju znaci svih pojmova:

4x + (-7x + 5) = 4x - 7x + 5 = -3x + 5.

2. Ispred zagrada je znak "-", dakle, prilikom otvaranja zagrada: predznaci svih pojmova su obrnuti:

15 - (- 8 + 7y) \u003d 15y + 8 - 7y \u003d 8y +8.

Da otvorite zagrade, koristite distributivno svojstvo množenja: a( b + c) = ab + ac. Ako je a > 0, onda su predznaci pojmova b i sa ne mijenjaju. Ako a< 0, то знаки слагаемых b i od su obrnuti.

Zadatak 2. Pojednostavite izraz:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Rješenja. 1. Faktor 2 ispred zagrada e je pozitivan, stoga pri otvaranju zagrada zadržavamo predznake svih članova: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Faktor -5 ispred zagrada e je negativan, stoga pri otvaranju zagrada mijenjamo predznake svih članova u suprotne:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Saznati više

1. Riječ "suma" dolazi iz latinskog summa , što znači "ukupno", "ukupno".

2. Riječ "plus" dolazi iz latinskog plus , što znači "više", a riječ "minus" - od latinskog oduzeti , što znači "manje". Znakovi "+" i "-" koriste se za označavanje operacija sabiranja i oduzimanja. Ove znakove uveo je češki naučnik J. Vidman 1489. godine u knjizi "Brz i ugodan račun za sve trgovce"(Sl. 138).

Rice. 138

ZAPAMTITE GLAVNE STVARI

1. Koji pojmovi se nazivaju sličnima? Kako se konstruiraju slični pojmovi?

2. Kako otvoriti zagrade kojima prethodi znak “+”?

3. Kako otvarate zagrade kojima prethodi znak "-"?

4. Kako otvarate zagrade kojima prethodi pozitivan faktor?

5. Kako otvoriti zagrade kojima prethodi negativni faktor?

1374". Navedite koeficijent izraza:

1) 12 a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Navedite pojmove koji se razlikuju samo po koeficijentu:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Kako se zovu ovi pojmovi?

1376". Postoje li slični izrazi u izrazu:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". Da li je potrebno mijenjati predznake pojmova u zagradama, otvarajući zagrade u izrazu:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Pojednostavite izraz i podvucite koeficijent:

1379°. Pojednostavite izraz i podvucite koeficijent:

1380°. Smanjite slične pojmove:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Smanjite slične pojmove:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1) 1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5 s + 5d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Izvadite zajednički faktor iz zagrada:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384°. Otvorite zagrade i smanjite slične pojmove;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Otvorite zagrade i smanjite slične pojmove:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Proširite zagrade i pronađite značenje izraza:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Proširite zagrade i pronađite značenje izraza:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Otvorena zagrada:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Otvorena zagrada:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6-(-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Pojednostavite izraz:

1391. Pojednostavite izraz:

1392. Smanjite slične pojmove:

1393. Smanjite slične pojmove:

1394. Pojednostavite izraz:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, po) + 4,5 ∙ (-6 g - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Pojednostavite izraz:

1396. Pronađite značenje izraza;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), ako je a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), ako je = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Pronađite vrijednost izraza:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), ako je x = -0,25;

1398*. Pronađite grešku u rješenju:

1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) \u003d 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Proširite zagrade i pojednostavite izraz:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Rasporedite zagrade da dobijete tačnu jednakost:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Dokažite da za bilo koje brojeve a i b ako je a > b , tada vrijedi sljedeća jednakost:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Da li će ova jednakost biti tačna ako: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Dokažite to za bilo koji prirodni broj a aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg broja jednaka je broju a.

PRIMJENITE U PRAKSI

1403. Za pripremu voćnog deserta za tri osobe potrebno je: 2 jabuke, 1 narandža, 2 banane i 1 kivi. Kako napraviti doslovni izraz za određivanje količine voća koja je potrebna za pripremu deserta za goste? Pomozite Marinu da izračuna koliko voća treba da kupi ako dođe u posjetu: 1) 5 prijatelja; 2) 8 prijatelja.

1404. Napravite doslovni izraz da odredite vrijeme potrebno za izradu domaće zadaće iz matematike, ako:

1) min je utrošeno na rješavanje problema; 2) pojednostavljenje izraza je 2 puta veće nego kod rješavanja zadataka. Koliko je to trajalo zadaća Vasilko, ako je utrošio 15 minuta rješavajući probleme?

1405. Ručak u školskoj menzi sastoji se od salate, boršča, sarmice i kompota. Cijena salate je 20%, boršč - 30%, rolnice - 45%, kompot - 5% ukupni troškovi ceo ručak. Napišite izraz da pronađete cijenu ručka u školskoj menzi. Koliko košta ručak ako je cijena salate 2 UAH?

ZADACI ZA PONAVLJANJE

1406. Riješite jednačinu:

1407. Tanya je potrošila na sladoledsav raspoloživi novac, a za slatkiše -ostalo. Koliko novca Tanja ima?

ako slatkiši koštaju 12 UAH?