"Povećavajuća i opadajuća funkcija"

Ciljevi lekcije:

1. Naučite pronaći periode monotonije.

2. Razvijanje misaonih sposobnosti koje osiguravaju analizu situacije i razvijanje adekvatnih metoda djelovanja (analiza, sinteza, poređenje).

3. Formiranje interesovanja za predmet.

Tokom nastave

Danas nastavljamo s proučavanjem primjene derivacije i razmatramo pitanje njene primjene na proučavanje funkcija. Front work

Hajde sada da damo neke definicije svojstvima funkcije „Brainstorming“.

1. Kako se zove funkcija?

2. Kako se zove varijabla X?

3. Kako se zove varijabla Y?

4. Koja je domena funkcije?

5. Koji je skup vrijednosti funkcije?

6. Koja funkcija se zove parna?

7. Koja funkcija se zove neparna?

8. Šta možete reći o grafu parne funkcije?

9. Šta možete reći o grafu neparne funkcije?

10. Koja se funkcija naziva rastućom?

11. Koja se funkcija naziva opadajućom?

12. Koja funkcija se zove periodična?

Matematika je proučavanje matematičkih modela. Jedan od najvažnijih matematički modeli je funkcija. Postoji Različiti putevi opisi funkcija. Koji je najočitiji?

– Grafika.

– Kako napraviti grafikon?

- Tačku po tačku.

Ova metoda je prikladna ako unaprijed znate kako otprilike izgleda grafikon. Na primjer, šta je graf kvadratna funkcija, linearna funkcija, inverzna proporcionalnost, funkcije y = sinx? (Demonstriraju se odgovarajuće formule, učenici imenuju krive koje su grafikoni.)

Ali što ako trebate nacrtati graf funkcije ili još složenije? Možete pronaći više tačaka, ali kako se funkcija ponaša između ovih tačaka?

Postavite dvije tačke na ploču i zamolite učenike da pokažu kako bi mogao izgledati graf "između njih":

Njegov derivat pomaže vam da shvatite kako se funkcija ponaša.

Otvorite sveske, zapišite broj, odličan posao.

Svrha lekcije: naučiti kako je graf funkcije povezan s grafom njene derivacije i naučiti rješavati dvije vrste problema:

1. Koristeći graf derivacije, pronaći intervale povećanja i smanjenja same funkcije, kao i tačke ekstrema funkcije;

2. Koristeći shemu predznaka izvoda na intervalima, pronaći intervale povećanja i smanjenja same funkcije, kao i tačke ekstrema funkcije.

Slični zadaci ne postoje u našim udžbenicima, ali se nalaze u testovima jedinstvenog državnog ispita (dio A i B).

Danas ćemo u lekciji pogledati mali element rada druge faze proučavanja procesa, proučavanje jednog od svojstava funkcije - određivanje intervala monotonosti

Da bismo riješili ovaj problem, moramo se prisjetiti nekih pitanja o kojima smo ranije govorili.

Dakle, zapišimo temu današnje lekcije: Znakovi rastućih i opadajućih funkcija.

Znakovi rastuće i opadajuće funkcije:

Ako je derivacija date funkcije pozitivna za sve vrijednosti x u intervalu (a; b), tj. f"(x) > 0, tada funkcija raste u ovom intervalu.
Ako je derivacija date funkcije negativna za sve vrijednosti x u intervalu (a; b), tj. f"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

Redoslijed pronalaženja intervala monotonosti:

Pronađite domen definicije funkcije.

1. Pronađite prvi izvod funkcije.

2. odlučite sami na odboru

Pronaći kritične tačke, istražiti predznak prvog izvoda u intervalima na koje pronađene kritične tačke dijele područje definicije funkcije. Pronađite intervale monotonosti funkcija:

a) domen definicije,

b) pronađite prvi izvod:

c) pronaći kritične tačke: ; , And

3. Ispitujemo predznak derivacije u rezultujućim intervalima, a rješenje predstavljamo u obliku tabele.

tačka do ekstremnih tačaka

Pogledajmo nekoliko primjera proučavanja funkcija za povećanje i smanjenje.

Dovoljan uslov za postojanje maksimuma je promena predznaka derivacije pri prolasku kroz kritičnu tačku sa “+” na “-”, a za minimum sa “-” na “+”. Ako se pri prolasku kroz kritičnu tačku predznak derivacije ne promijeni, tada u ovoj tački nema ekstrema

1. Pronađite D(f).

2. Pronađite f"(x).

3. Pronađite stacionarne tačke, tj. tačke u kojima je f"(x) = 0 ili f"(x) ne postoji.
(Izvod je 0 na nulama brojila, izvod ne postoji na nulama nazivnika)

4. Postavite D(f) i ove tačke na koordinatnu pravu.

5. Odrediti predznake izvoda na svakom od intervala

6. Primijenite znakove.

7. Zapišite odgovor.

Konsolidacija novog materijala.

Učenici rade u parovima i zapisuju rješenje u svoje sveske.

a) y = x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y = 3 x² - 5x + 4.

Za odborom rade dvije osobe.

a) y = 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40

b) y = x4-2 x³

3. Sažetak lekcije

Domaća zadaća: test (diferencirani)

Da bismo odredili prirodu funkcije i govorili o njenom ponašanju, potrebno je pronaći intervale povećanja i smanjenja. Ovaj proces se naziva istraživanje funkcija i grafički prikaz. Ekstremna tačka se koristi pri pronalaženju najveće i najmanje vrijednosti funkcije, jer se kod njih funkcija povećava ili smanjuje iz intervala.

Ovaj članak otkriva definicije, formuliše dovoljan znak povećanja i smanjenja na intervalu i uslov za postojanje ekstrema. Ovo se odnosi na rješavanje primjera i problema. Odjeljak o diferenciranju funkcija treba ponoviti, jer će rješenje morati koristiti pronalaženje derivacije.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Funkcija y = f (x) će se povećati na intervalu x kada je za bilo koje x 1 ∈ X i x 2 ∈ X, x 2 > x 1, zadovoljena nejednakost f (x 2) > f (x 1). Drugim riječima, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Definicija 2

Funkcija y = f (x) se smatra opadajućom na intervalu x kada je za bilo koje x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, jednakost f (x 2) > f (x 1) smatra se istinitim. Drugim riječima, veća vrijednost funkcije odgovara manjoj vrijednosti argumenta. Razmotrite sliku ispod.

komentar: Kada je funkcija određena i kontinuirana na krajevima intervala rasta i opadanja, odnosno (a; b), gdje je x = a, x = b, tačke su uključene u interval rasta i opadanja. Ovo nije u suprotnosti sa definicijom, to znači da se dešava na intervalu x.

Glavna svojstva elementarnih funkcija tipa y = sin x su sigurnost i kontinuitet za stvarne vrijednosti argumenata. Odavde dobijamo da se sinus povećava u intervalu - π 2; π 2, tada povećanje na segmentu ima oblik - π 2; π 2.

Definicija 3

Tačka x 0 se zove maksimalni poen za funkciju y = f (x), kada za sve vrijednosti x vrijedi nejednakost f (x 0) ≥ f (x). Maksimalna funkcija je vrijednost funkcije u tački, a označava se sa y m a x .

Tačka x 0 naziva se minimalna tačka za funkciju y = f (x), kada za sve vrijednosti x vrijedi nejednakost f (x 0) ≤ f (x). Minimalne funkcije je vrijednost funkcije u tački i ima oznaku oblika y m i n .

Razmatraju se susjedstva tačke x 0 ekstremne tačke, i vrijednost funkcije koja odgovara tačkama ekstrema. Razmotrite sliku ispod.

Ekstremi funkcije s najvećom i najmanjom vrijednošću funkcije. Razmotrite sliku ispod.

Prva slika kaže da je potrebno pronaći najveću vrijednost funkcije iz segmenta [a; b ] . Nalazi se pomoću maksimalnih tačaka i jednaka je maksimalnoj vrijednosti funkcije, a druga brojka više liči na pronalaženje maksimalne točke na x = b.

Dovoljni uslovi za povećanje i smanjenje funkcije

Za pronalaženje maksimuma i minimuma funkcije potrebno je primijeniti predznake ekstrema u slučaju kada funkcija zadovoljava ove uvjete. Prvi znak se smatra najčešće korištenim.

Prvi dovoljan uslov za ekstrem

Definicija 4

Neka je data funkcija y = f (x) koja je diferencibilna u ε susjedstvu tačke x 0 i ima kontinuitet u datoj tački x 0. Odavde to dobijamo

• kada je f " (x) > 0 sa x ∈ (x 0 - ε ; x 0) i f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• kada je f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 za x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), tada je x 0 minimalna tačka.

Drugim riječima, dobijamo njihove uslove za postavljanje znaka:

• kada je funkcija kontinuirana u tački x 0, tada ima izvod sa promjenjivim predznakom, odnosno od + do -, što znači da se tačka naziva maksimumom;
• kada je funkcija kontinuirana u tački x 0, tada ima izvod sa promjenjivim predznakom od - do +, što znači da se tačka naziva minimumom.

Da biste ispravno odredili maksimalnu i minimalnu točku funkcije, morate slijediti algoritam za njihovo pronalaženje:

• pronaći domen definicije;
• pronaći derivaciju funkcije na ovom području;
• identificirati nule i tačke u kojima funkcija ne postoji;
• određivanje predznaka derivacije na intervalima;
• izaberite tačke gde funkcija menja predznak.

Razmotrimo algoritam rješavanjem nekoliko primjera pronalaženja ekstrema funkcije.

Primjer 1

Pronađite maksimalne i minimalne bodove datu funkciju y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Rješenje

Područje definicije ove funkcije su svi realni brojevi osim x = 2. Prvo, pronađimo derivaciju funkcije i dobijemo:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

Odavde vidimo da su nule funkcije x = - 1, x = 5, x = 2, odnosno svaka zagrada mora biti izjednačena sa nulom. Označimo ga na brojevnoj osi i dobijemo:

Sada određujemo predznake derivacije iz svakog intervala. Potrebno je odabrati tačku uključenu u interval i zamijeniti je u izraz. Na primjer, tačke x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Shvatili smo to

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, što znači da interval - ∞ - 1 ima pozitivan izvod.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Pošto je drugi interval bio manji od nule, to znači da će izvod na intervalu biti negativan. Treći sa minusom, četvrti sa plusom. Da biste odredili kontinuitet, morate obratiti pažnju na predznak derivacije, ako se promijeni, onda je to tačka ekstrema.

Nalazimo da će u tački x = - 1 funkcija biti kontinuirana, što znači da će derivacija promijeniti predznak sa + na -. Prema prvom znaku, imamo da je x = - 1 maksimalna tačka, što znači da dobijamo

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Tačka x = 5 označava da je funkcija kontinuirana, a derivacija će promijeniti predznak sa – na +. To znači da je x = -1 minimalna tačka, a njeno određivanje ima oblik

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafička slika

odgovor: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Vrijedi obratiti pažnju na činjenicu da korištenje prvog dovoljnog kriterija za ekstrem ne zahtijeva diferencijabilnost funkcije u tački x 0, što pojednostavljuje proračun.

Primjer 2

Naći maksimalnu i najmanju tačku funkcije y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Rješenje.

Domen funkcije su svi realni brojevi. Ovo se može napisati kao sistem jednačina oblika:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Zatim morate pronaći derivat:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Tačka x = 0 nema derivaciju, jer su vrijednosti jednostranih granica različite. dobijamo to:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Iz toga slijedi da je funkcija kontinuirana u tački x = 0, onda izračunavamo

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Potrebno je izvršiti proračune kako bi se pronašla vrijednost argumenta kada derivacija postane nula:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Sve dobijene tačke moraju biti označene na pravoj liniji da bi se odredio predznak svakog intervala. Stoga je potrebno izračunati izvod u proizvoljnim tačkama za svaki interval. Na primjer, možemo uzeti točke sa vrijednostima x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Shvatili smo to

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Slika na pravoj liniji izgleda ovako

To znači da dolazimo do zaključka da je potrebno pribjeći prvom znaku ekstremuma. Hajde da izračunamo i nađemo to

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , onda odavde maksimalni bodovi imaju vrijednosti x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Pređimo na izračun minimuma:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Izračunajmo maksimume funkcije. Shvatili smo to

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafička slika

odgovor:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 3 8 m x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Ako je data funkcija f " (x 0) = 0, onda ako je f "" (x 0) > 0, dobijamo da je x 0 minimalna tačka ako je f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Primjer 3

Pronađite maksimume i minimume funkcije y = 8 x x + 1.

Rješenje

Prvo, pronalazimo domen definicije. Shvatili smo to

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Potrebno je razlikovati funkciju, nakon čega se dobija

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Kod x = 1 derivacija postaje nula, što znači da je tačka mogući ekstrem. Da pojasnimo, potrebno je pronaći drugi izvod i izračunati vrijednost pri x = 1. Dobijamo:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

To znači da koristeći dovoljan uslov 2 za ekstrem, dobijamo da je x = 1 tačka maksimuma. Inače, unos izgleda kao y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Grafička slika

odgovor: y m a x = y (1) = 4 ..

Definicija 5

Funkcija y = f (x) ima svoj izvod do n-og reda u ε okolini date tačke x 0 i njen izvod do n + 1. reda u tački x 0 . Tada je f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Iz toga slijedi da kada je n paran broj, tada se x 0 smatra prelomnom tačkom, kada je n neparan broj, tada je x 0 tačka ekstrema, a f (n + 1) (x 0) > 0, tada je x 0 je minimalna tačka, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Primjer 4

Pronađite maksimalnu i najmanju tačku funkcije y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Rješenje

Originalna funkcija je racionalna cijela funkcija, što znači da su domen definicije svi realni brojevi. Potrebno je razlikovati funkciju. Shvatili smo to

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ovaj izvod će ići na nulu pri x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. To jest, tačke mogu biti moguće tačke ekstrema. Potrebno je primijeniti treći dovoljan uvjet za ekstrem. Pronalaženje drugog izvoda omogućava vam da precizno odredite prisustvo maksimuma i minimuma funkcije. Druga derivacija se izračunava u tačkama njenog mogućeg ekstremuma. Shvatili smo to

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

To znači da je x 2 = 5 7 maksimalna tačka. Primjenjujući 3. dovoljan kriterij, dobivamo da je za n = 1 i f (n + 1) 5 7< 0 .

Potrebno je odrediti prirodu tačaka x 1 = - 1, x 3 = 3. Da biste to učinili, morate pronaći treći izvod i izračunati vrijednosti u ovim točkama. Shvatili smo to

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

To znači da je x 1 = - 1 tačka pregiba funkcije, jer za n = 2 i f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Potrebno je istražiti tačku x 3 = 3. Da bismo to učinili, nalazimo 4. izvod i izvršimo proračune u ovoj tački:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Iz onoga što je gore odlučeno zaključujemo da je x 3 = 3 minimalna tačka funkcije.

Grafička slika

odgovor: x 2 = 5 7 je maksimalna tačka, x 3 = 3 je minimalna tačka date funkcije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Na osnovu dovoljnih znakova nalaze se intervali rastuće i opadajuće funkcije.

Evo tekstova znakova:

• ako je derivacija funkcije y = f(x) pozitivno za bilo koga x iz intervala X, tada se funkcija povećava za X;
• ako je derivacija funkcije y = f(x) negativan za bilo koga x iz intervala X, tada se funkcija smanjuje za X.

Dakle, da bi se odredili intervali povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je:

• pronaći domenu definicije funkcije;

• pronaći derivaciju funkcije;

• rezultujućim intervalima dodajte granične točke na kojima je funkcija definirana i kontinuirana.

Pogledajmo primjer da objasnimo algoritam.

Primjer.

Naći intervale rastuće i opadajuće funkcije.

Rješenje.

Prvi korak je pronaći definiciju funkcije. U našem primjeru, izraz u nazivniku ne bi trebao ići na nulu, dakle, .

Pređimo na derivirajuću funkciju:

Da bismo odredili intervale povećanja i smanjenja funkcije na osnovu dovoljnog kriterija, rješavamo nejednačine I na domenu definicije. Koristimo generalizaciju metode intervala. Jedini pravi korijen brojioca je x = 2, a imenilac ide na nulu u x = 0. Ove tačke dijele područje definicije na intervale u kojima derivacija funkcije zadržava svoj predznak. Označimo ove tačke na brojevnoj pravoj. Uobičajeno sa plusima i minusima označavamo intervale u kojima je derivacija pozitivna ili negativna. Strelice ispod šematski pokazuju povećanje ili smanjenje funkcije na odgovarajućem intervalu.

dakle, I .

U tački x = 2 funkcija je definirana i kontinuirana, pa je treba dodati i rastućim i opadajućim intervalima. U tački x = 0 funkcija nije definirana, tako da ovu tačku ne uključujemo u tražene intervale.

Predstavljamo graf funkcije da bismo uporedili dobijene rezultate s njom.

odgovor: funkcija se povećava sa , smanjuje se na intervalu (0; 2] .

- Ekstremne tačke funkcije jedne varijable. Dovoljni uslovi za ekstrem

Neka funkcija f(x), definirana i kontinuirana u intervalu, nije monotona u njemu. Postoje dijelovi [ , ] intervala u kojima se postiže najveća i najmanja vrijednost funkcije u unutrašnjoj tački, tj. između i.

Kaže se da funkcija f(x) ima maksimum (ili minimum) u tački ako ova tačka može biti okružena takvim susjedstvom (x 0 - ,x 0 +) sadržanim u intervalu u kojem je funkcija data da je nejednakost važi za sve svoje tačke.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x 0))

Drugim riječima, tačka x 0 daje funkciji f(x) maksimum (minimum) ako se ispostavi da je vrijednost f(x 0) najveća (najmanja) od vrijednosti koje je funkcija prihvatila u nekom (barem malom) susjedstvu ove tačke. Imajte na umu da sama definicija maksimuma (minimuma) pretpostavlja da je funkcija specificirana s obje strane točke x 0.

Ako postoji komšiluk unutar kojeg je (pri x=x 0) stroga nejednakost

f(x) f(x 0)

onda kažu da funkcija ima svoj maksimum (minimum) u tački x 0, inače ima nepravilan.

Ako funkcija ima maksimume u tačkama x 0 i x 1, tada, primjenom druge Weierstrassove teoreme na interval, vidimo da funkcija dostiže svoju najmanju vrijednost u ovom intervalu u nekoj tački x 2 između x 0 i x 1 i ima minimum tamo. Isto tako, između dva minimuma sigurno će postojati maksimum. U najjednostavnijem (i u praksi najvažnijem) slučaju, kada funkcija općenito ima samo konačan broj maksimuma i minimuma, oni se jednostavno izmjenjuju.

Imajte na umu da za označavanje maksimuma ili minimuma postoji i pojam koji ih ujedinjuje - ekstrem.

Koncepti maksimuma (max f(x)) i minimuma (min f(x)) su lokalna svojstva funkcije i odvijaju se u određenoj tački x 0. Koncepti najveće (sup f(x)) i najmanje (inf f(x)) vrijednosti odnose se na konačni segment i globalna su svojstva funkcije na segmentu.

Sa slike 1 je jasno da u tačkama x 1 i x 3 postoje lokalni maksimumi, au tačkama x 2 i x 4 lokalni minimumi. Međutim, funkcija dostiže svoju minimalnu vrijednost u tački x=a, a svoju maksimalnu vrijednost u tački x=b.

Postavimo problem pronalaženja svih vrijednosti argumenta koji funkciji daju ekstrem. Prilikom njegovog rješavanja, derivat će igrati glavnu ulogu.

Pretpostavimo prvo da funkcija f(x) ima konačan izvod u intervalu (a,b). Ako u tački x 0 funkcija ima ekstrem, onda, primjenjujući Fermatov teorem na interval (x 0 - , x 0 +), o kojem smo gore govorili, zaključujemo da je f (x) = 0 to je neophodan uvjet za ekstrem . Ekstremum treba tražiti samo u onim tačkama u kojima je izvod jednak nuli.

Ne treba, međutim, misliti da svaka tačka u kojoj je derivacija jednaka nuli daje funkciji ekstrem: nužni uslov koji je upravo naznačen nije dovoljan

Monotona

Veoma važna imovina funkcija je njena monotonost. Poznavajući ovo svojstvo raznih posebnih funkcija, moguće je odrediti ponašanje različitih fizičkih, ekonomskih, društvenih i mnogih drugih procesa.

Razlikuju se sljedeće vrste monotonije funkcija:

1) funkcija povećava, Ako na određenom intervalu, ako za bilo koje dvije točke i ovaj interval takav da . One. veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije;

2) funkcija smanjuje se, Ako na određenom intervalu, ako za bilo koje dvije točke i ovaj interval takav da . One. veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije;

3) funkcija neopadajući, ako na određenom intervalu, ako za bilo koje dvije točke i ovaj interval takav da ;

4) funkcija ne povećava, Ako na određenom intervalu, ako za bilo koje dvije točke i ovaj interval takav da .

2. Za prva dva slučaja koristi se i termin „stroga monotonost“.

3. Zadnja dva slučaja su specifična i obično se specificiraju kao sastav od nekoliko funkcija.

4. Posebno, napominjemo da povećanje i smanjenje grafa funkcije treba posmatrati s lijeva na desno i ništa drugo.

2. Čak i čudno.

Funkcija se naziva neparna, ako kada se promijeni predznak argumenta, on mijenja svoju vrijednost na suprotnu. Formula za ovo izgleda ovako . To znači da nakon zamjene vrijednosti "minus x" u funkciju umjesto svih x, funkcija će promijeniti svoj predznak. Grafikon takve funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Primjeri neparnih funkcija su itd.

Na primjer, graf zapravo ima simetriju oko ishodišta:

Funkcija se zove parna, ako kada se promijeni znak argumenta, on ne mijenja svoju vrijednost. Formula za ovo izgleda ovako. To znači da nakon zamjene vrijednosti "minus x" u funkciju umjesto svih x, funkcija se neće promijeniti kao rezultat. Grafikon takve funkcije je simetričan u odnosu na os.

Primjeri parnih funkcija su itd.

Na primjer, pokažimo simetriju grafa oko ose:

Ako funkcija ne pripada nijednom od navedenih tipova, onda se ne zove ni parna ni neparna ili funkcija opšti pogled . Takve funkcije nemaju simetriju.

Takva je funkcija, na primjer, linearna funkcija koju smo nedavno razmatrali s grafom:

3. Posebno svojstvo funkcija je periodičnost.

Činjenica je da su periodične funkcije koje se razmatraju u standardnom školskom programu samo trigonometrijske funkcije. O njima smo već detaljno govorili prilikom proučavanja relevantne teme.

Periodična funkcija je funkcija koja ne mijenja svoje vrijednosti kada se argumentu doda određena konstanta različita od nule.

Ovaj minimalni broj se zove period funkcije i označeni su slovom .

Formula za ovo izgleda ovako: .

Pogledajmo ovo svojstvo koristeći primjer sinusnog grafa:

Sjetimo se da je period funkcija i je , I period i je .

Kao što već znamo, trigonometrijske funkcije sa složenim argumentima mogu imati nestandardni period. Govorimo o funkcijama oblika:

Njihov period je jednak. I o funkcijama:

Njihov period je jednak.

Kao što vidite, da biste izračunali novi period, standardni period se jednostavno podijeli sa faktorom u argumentu. Ne ovisi o drugim modifikacijama funkcije.

Ograničenje.

Funkcija y=f(x) naziva se ograničenim odozdo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da za bilo koji xϵX vrijedi nejednakost f(x)< a.

Funkcija y=f(x) naziva se ograničenim odozgo na skupu X⊂D(f) ako postoji broj a takav da za bilo koji hϵH vrijedi nejednakost f(x)< a.

Ako interval X nije specificiran, onda se smatra da je funkcija ograničena na cijelom domenu definicije. Funkcija koja je ograničena i iznad i odozdo naziva se ograničenom.

Ograničenje funkcije je lako pročitati iz grafa. Možete nacrtati neku liniju y=a, a ako je funkcija viša od ove linije, onda je ograničena odozdo.

Ako ispod, onda prema tome gore. Ispod je graf funkcije ograničene ispod. Ljudi, pokušajte sami nacrtati graf ograničene funkcije.

Tema: Svojstva funkcija: intervali rasta i opadanja; najviše i najniže vrijednosti; tačke ekstrema (lokalni maksimum i minimum), konveksnost funkcije.

Intervali povećanja i smanjenja.

Na osnovu dovoljnih uslova (znakova) za povećanje i smanjenje funkcije, nalaze se intervali povećanja i smanjenja funkcije.

Evo formulacija znakova rastućih i opadajućih funkcija na intervalu:

· ako je derivacija funkcije y=f(x) pozitivno za bilo koga x iz intervala X, tada se funkcija povećava za X;

· ako je derivacija funkcije y=f(x) negativan za bilo koga x iz intervala X, tada se funkcija smanjuje za X.

Dakle, da bi se odredili intervali povećanja i smanjenja funkcije, potrebno je:

· pronaći domenu definicije funkcije;

· naći derivaciju funkcije;

· rješavaju nejednakosti u domenu definicije;

Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije

Pronalaženje intervala povećanja, smanjenja i ekstrema funkcije je i samostalan zadatak i bitan dio drugih zadataka, posebno, studija pune funkcije. Date su početne informacije o porastu, smanjenju i ekstremima funkcije teorijsko poglavlje o derivatu, što toplo preporučujem za preliminarnu studiju (ili ponavljanje)– također iz razloga što je sljedeći materijal zasnovan na samom suštinski derivat,što je skladan nastavak ovog članka. Mada, ako je vremena malo, onda je moguća i čisto formalna praksa primjera iz današnje lekcije.

I danas je u zraku duh rijetke jednodušnosti i direktno osjećam da svi prisutni gore od želje naučiti istraživati ​​funkciju koristeći njen derivat. Stoga se razumna, dobra, vječna terminologija odmah pojavljuje na ekranima vašeg monitora.

Za što? Jedan od razloga je najpraktičniji: tako da je jasno šta se generalno traži od vas u određenom zadatku!

Monotonost funkcije. Ekstremne tačke i ekstremi funkcije

Razmotrimo neku funkciju. Pojednostavljeno, pretpostavljamo da ona kontinuirano na cijeloj brojevnoj pravoj:

Za svaki slučaj, hajde da se odmah oslobodimo mogućih iluzija, posebno za one čitaoce koji su se nedavno upoznali sa intervali konstantnog predznaka funkcije. Sada mi NEZAINTERESOVAN, kako se graf funkcije nalazi u odnosu na osu (iznad, ispod, gdje se osa siječe). Da biste bili uvjerljivi, mentalno obrišite ose i ostavite jedan grafikon. Jer tu leži interes.

Funkcija povećava na intervalu ako je za bilo koje dvije točke ovog intervala povezane relacijom , nejednakost je istinita. To je, veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“. Funkcija demonstracije raste u intervalu.

Isto tako, funkcija smanjuje se na intervalu ako za bilo koje dvije točke datog intervala takve da , nejednakost je istinita. To jest, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naša funkcija opada u intervalima .

Ako se funkcija povećava ili smanjuje u intervalu, tada se ona poziva strogo monotono u ovom intervalu. Šta je monotonija? Shvatite to doslovno – monotonija.

Također možete definirati neopadajući funkcija (opušteno stanje u prvoj definiciji) i bez povećanja funkcija (ublaženi uslov u 2. definiciji). Funkcija koja se ne opada ili ne raste na intervalu naziva se monotonom funkcijom na datom intervalu (stroga monotonija - poseban slučaj"samo" monotonija).

Teorija takođe razmatra i druge pristupe određivanju povećanja/smanjenja funkcije, uključujući na poluintervali, segmente, ali kako vam ne bismo sipali ulje-ulje-ulje na glavu, dogovorićemo se da radimo sa otvorenim intervalima sa kategoričkim definicijama - ovo je jasnije, a za rješavanje mnogih praktičnih problema sasvim dovoljno.

dakle, u mojim člancima formulacija "monotonost funkcije" će gotovo uvijek biti skrivena intervalima stroga monotonija(strogo rastuća ili striktno opadajuća funkcija).

Susjedstvo tačke. Riječi nakon kojih učenici bježe gdje god mogu i kriju se užasnuti po ćoškovima. ...Iako posle posta Cauchy granice Vjerojatno se više ne kriju, već se samo lagano dršću =) Ne brinite, sada neće biti dokaza o teoremama matematičke analize - trebala mi je okolina da strože formuliram definicije ekstremne tačke. prisjetimo se:

Susjedstvo tačke naziva se interval koji sadrži datu tačku, a radi pogodnosti se često pretpostavlja da je interval simetričan. Na primjer, tačka i njeno standardno susjedstvo:

Zapravo, definicije:

Tačka se zove stroga maksimalna tačka, Ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost . U našem konkretnom primjeru, ovo je tačka.

Tačka se zove stroga minimalna tačka, Ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost . Na crtežu se nalazi tačka “a”.

Bilješka : zahtjev simetrije susjedstva uopće nije neophodan. Osim toga, važno je sama činjenica postojanja susjedstvo (bilo maleno ili mikroskopsko) koje zadovoljava navedene uvjete

Tačke se zovu strogo ekstremne tačke ili jednostavno ekstremne tačke funkcije. Odnosno, to je generalizovani termin za maksimalne i minimalne poene.

Kako razumemo reč „ekstremno“? Da, direktno kao i monotonija. Ekstremne tačke rolerkostera.

Kao iu slučaju monotonosti, labavi postulati postoje i još su češći u teoriji (pod koje, naravno, spadaju strogi slučajevi koji se smatraju!):

Tačka se zove maksimalni poen, Ako postoji njegova okolina je takva da za sve
Tačka se zove minimalna tačka, Ako postoji njegova okolina je takva da za sve vrijednosti ovog susjedstva, vrijedi nejednakost.

Imajte na umu da se prema posljednje dvije definicije, svaka tačka konstantne funkcije (ili „ravni presjek“ funkcije) smatra i maksimalnom i minimalnom točkom! Funkcija je, inače, i nerastuća i neopadajuća, odnosno monotona. Međutim, ova razmatranja ćemo prepustiti teoretičarima, jer u praksi gotovo uvijek razmatramo tradicionalna „brda“ i „udubine“ (vidi crtež) sa jedinstvenim „kraljem brda“ ili „princezom močvare“. Kao varijanta, javlja se tip, usmjeren gore ili dolje, na primjer, minimum funkcije u tački.

Oh, i kad smo kod kraljevske porodice:
– naziva se značenje maksimum funkcije;
– naziva se značenje minimum funkcije.

Uobičajeno ime - ekstremi funkcije.

Molimo budite oprezni sa svojim riječima!

Ekstremne tačke– ovo su “X” vrijednosti.
Ekstremi– značenja „igre“.

! Bilješka : ponekad se navedeni pojmovi odnose na “X-Y” tačke koje leže direktno na GRAFIKU SAME funkcije.

Koliko ekstrema može imati funkcija?

Ništa, 1, 2, 3, ... itd. do beskonačnosti. Na primjer, sinus ima beskonačno mnogo minimuma i maksimuma.

BITAN! Izraz "maksimum funkcije" nije identično pojam " maksimalna vrijednost funkcije". Lako je primijetiti da je vrijednost maksimalna samo u lokalnoj četvrti, a u gornjem lijevom kutu su “hladniji drugovi”. Isto tako, “minimum funkcije” nije isto što i “minimalna vrijednost funkcije”, a na crtežu vidimo da je vrijednost minimalna samo u određenom području. U tom smislu nazivaju se i ekstremne tačke lokalne ekstremne tačke, a ekstremi – lokalni ekstremi. Šetaju i lutaju u blizini i globalno braćo. Dakle, svaka parabola ima na svom vrhu globalni minimum ili globalni maksimum. Nadalje, neću praviti razliku između vrsta ekstrema, a objašnjenje je izraženo više u općeobrazovne svrhe - dodatni pridjevi „lokalni“/„globalni“ ne bi vas trebali iznenaditi.

Sumirajmo naš kratki izlet u teoriju uz probni snimak: šta znači zadatak „pronaći intervale monotonosti i tačke ekstrema funkcije“?

Formulacija vas podstiče da pronađete:

– intervali rastuće/opadajuće funkcije (neopadajući, nerastući se pojavljuje mnogo rjeđe);

– maksimalne i/ili minimalne bodove (ako postoje). Pa, da biste izbjegli neuspjeh, bolje je sami pronaći minimume/maksimume ;-)

Kako sve ovo utvrditi? Korištenje derivacijske funkcije!

Kako pronaći intervale povećanja, smanjenja,
tačke ekstrema i ekstremi funkcije?

Mnoga pravila su, zapravo, već poznata i shvaćena lekcija o značenju izvedenice.

Tangentni derivat donosi vesele vijesti da se funkcija sve više povećava domenu definicije.

Sa kotangensom i njegovim derivatom situacija je upravo suprotna.

Arksinus raste u intervalu - izvod je ovdje pozitivan: .
Kada je funkcija definirana, ali nije diferencirana. Međutim, u kritična tačka postoje desna derivacija i desna tangenta, a na drugoj ivici su njihovi lijevi dvojnici.

Mislim da vam neće biti previše teško izvesti slično razmišljanje za ark kosinus i njegovu derivaciju.

Svi gore navedeni slučajevi, od kojih mnogi jesu tabelarne izvedenice, podsjećam, pratite direktno iz derivativne definicije.

Zašto istraživati ​​funkciju koristeći njen derivat?

Da bismo bolje razumjeli kako izgleda graf ove funkcije: gdje ide “odozdo prema gore”, gdje “odozgo prema dolje”, gdje dostiže minimume i maksimume (ako uopće dostigne). Nisu sve funkcije tako jednostavne - u većini slučajeva nemamo pojma o grafu određene funkcije.

Vrijeme je da prijeđemo na značajnije primjere i razmotrimo algoritam za pronalaženje intervala monotonosti i ekstrema funkcije:

Primjer 1

Naći intervale povećanja/spadanja i ekstreme funkcije

Rješenje:

1) Prvi korak je pronaći domenu funkcije, a također uzmite u obzir tačke prekida (ako postoje). U ovom slučaju, funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, a ova radnja je u određenoj mjeri formalna. Ali u nizu slučajeva ovdje se razbuktaju ozbiljne strasti, pa hajde da se odnosimo prema paragrafu bez prezira.

2) Druga tačka algoritma je zbog

neophodan uslov za ekstrem:

Ako u nekoj tački postoji ekstremum, tada vrijednost ili ne postoji.

Zbunjeni zbog kraja? Ekstremum funkcije “modulus x”. .

Uslov je neophodan, ali nije dovoljno, a obrnuto nije uvijek tačno. Dakle, iz jednakosti još ne slijedi da funkcija doseže maksimum ili minimum u tački . Klasičan primjer je već istaknut gore - ovo je kubna parabola i njena kritična tačka.

Ali kako god bilo, neophodni uslov za ekstrem diktira potrebu za pronalaženjem sumnjivih tačaka. Da biste to učinili, pronađite izvod i riješite jednačinu:

Na početku prvog članka o grafovima funkcija Rekao sam vam kako brzo izgraditi parabolu koristeći primjer : “...uzimamo prvi izvod i izjednačavamo ga sa nulom: ...Dakle, rješenje naše jednačine: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole...”. Sada, mislim, svi razumiju zašto se vrh parabole nalazi upravo u ovoj tački =) Općenito, ovdje bismo trebali početi sa sličnim primjerom, ali je previše jednostavan (čak i za čajnik). Osim toga, postoji analog na samom kraju lekcije o derivacija funkcije. Stoga, povećajmo stepen:

Primjer 2

Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Kompletno rješenje i približan konačni uzorak problema na kraju lekcije.

Došao je dugo očekivani trenutak susreta sa frakcijsko-racionalnim funkcijama:

Primjer 3

Istražite funkciju koristeći prvi izvod

Obratite pažnju na to koliko promjenljivo jedan te isti zadatak može biti preformulisan.

Rješenje:

1) Funkcija trpi beskonačne diskontinuitete u tačkama.

2) Otkrivamo kritične tačke. Nađimo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom:

Hajde da riješimo jednačinu. Razlomak je nula kada mu je brojilac nula:

Tako dobijamo tri kritične tačke:

3) Ucrtavamo SVE otkrivene tačke na brojevnu pravu i intervalna metoda definišemo znakove DERIVATA:

Podsjećam vas da trebate uzeti neku tačku u intervalu i izračunati vrijednost derivacije na njoj i odredi njegov predznak. Isplativije je ni ne brojati, već verbalno „procenjivati“. Uzmimo, na primjer, tačku koja pripada intervalu i izvršimo zamjenu: .

Dva “plusa” i jedan “minus” daju “minus”, dakle, što znači da je izvod negativan u cijelom intervalu.

Radnju, kao što razumijete, treba izvršiti za svaki od šest intervala. Usput, imajte na umu da su faktor brojila i nazivnik striktno pozitivni za bilo koju tačku u bilo kojem intervalu, što uvelike pojednostavljuje zadatak.

Dakle, derivat nam je rekao da se SAMA FUNKCIJA povećava za i smanjuje se za . Pogodno je spojiti intervale istog tipa pomoću ikone za spajanje.

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum:
U trenutku kada funkcija dosegne minimum:

Razmislite zašto ne morate preračunavati drugu vrijednost ;-)

Prilikom prolaska kroz tačku derivacija ne mijenja predznak, pa funkcija tu NEMA EKSTREMUMA - i smanjila se i ostala u opadanju.

! Hajde da ponovimo važna tačka : tačke se ne smatraju kritičnim - one sadrže funkciju nije utvrđeno. Shodno tome, evo U principu ne može biti ekstrema(čak i ako derivacija promijeni predznak).

Odgovori: funkcija se povećava za i smanjuje se za U tački dostizanja maksimuma funkcije: , a u tački – minimum: .

Poznavanje intervala monotonosti i ekstrema, zajedno sa utvrđenim asimptote već daje vrlo dobru ideju izgled funkcionalna grafika. Osoba prosječne obuke može verbalno odrediti da graf funkcije ima dvije vertikalne asimptote i jednu kosu asimptotu. Evo naseg heroja:

Pokušajte još jednom povezati rezultate studije s grafikonom ove funkcije.
Ne postoji ekstremum na kritičnoj tački, ali postoji fleksija grafa(što se po pravilu dešava u sličnim slučajevima).

Primjer 4

Pronađite ekstreme funkcije

Primjer 5

Pronađite intervale monotonosti, maksimume i minimume funkcije

…to je skoro kao neka vrsta praznika „X u kocki“ danas....
Jaooo, ko je u galeriji ponudio piće za ovo? =)

Svaki zadatak ima svoje suštinske nijanse i tehničke suptilnosti, koje se komentarišu na kraju lekcije.