માધ્યમિક શાળા (ગ્રેડ 9) માં બીજગણિતનો અભ્યાસ કરતી વખતે એક મહત્વપૂર્ણ વિષયોસંખ્યા ક્રમનો અભ્યાસ છે, જેમાં પ્રગતિનો સમાવેશ થાય છે - ભૌમિતિક અને અંકગણિત. આ લેખમાં આપણે અંકગણિતની પ્રગતિ અને ઉકેલો સાથેના ઉદાહરણો જોઈશું.

અંકગણિત પ્રગતિ શું છે?

આ સમજવા માટે, પ્રશ્નમાં પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરવી જરૂરી છે, સાથે સાથે મૂળભૂત સૂત્રો પ્રદાન કરવા કે જે પછીથી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે ઉપયોગમાં લેવાશે.

તે જાણીતું છે કે કેટલાક બીજગણિત પ્રગતિમાં 1 લી ટર્મ 6 ની બરાબર છે, અને 7મી ટર્મ 18 ની બરાબર છે. તફાવત શોધવા અને આ ક્રમને 7 મી પદ પર પુનઃસ્થાપિત કરવો જરૂરી છે.

ચાલો અજ્ઞાત શબ્દ નક્કી કરવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: a n = (n - 1) * d + a 1 . ચાલો શરતમાંથી જાણીતા ડેટાને તેમાં બદલીએ, એટલે કે, a 1 અને a 7, આપણી પાસે છે: 18 = 6 + 6 * d. આ અભિવ્યક્તિથી તમે સરળતાથી તફાવતની ગણતરી કરી શકો છો: d = (18 - 6) /6 = 2. આમ, અમે સમસ્યાના પ્રથમ ભાગનો જવાબ આપ્યો છે.

ક્રમને 7મી શબ્દમાં પુનઃસ્થાપિત કરવા માટે, તમારે વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ બીજગણિત પ્રગતિ, એટલે કે, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d વગેરે. પરિણામે, અમે સમગ્ર ક્રમને પુનઃસ્થાપિત કરીએ છીએ: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

ઉદાહરણ નંબર 3: પ્રગતિનું ચિત્ર બનાવવું

ચાલો તેને વધુ જટિલ બનાવીએ મજબૂત સ્થિતિકાર્યો. હવે આપણે અંકગણિત પ્રગતિ કેવી રીતે શોધવી તે પ્રશ્નનો જવાબ આપવાની જરૂર છે. નીચેનું ઉદાહરણ આપી શકાય છે: બે સંખ્યાઓ આપવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે - 4 અને 5. બીજગણિતીય પ્રગતિ બનાવવી જરૂરી છે જેથી આની વચ્ચે ત્રણ વધુ પદો મૂકવામાં આવે.

તમે આ સમસ્યાને ઉકેલવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે આપેલ નંબરો ભવિષ્યની પ્રગતિમાં કયું સ્થાન લેશે. તેમની વચ્ચે ત્રણ વધુ પદો હશે, પછી 1 = -4 અને 5 = 5. આ સ્થાપિત કર્યા પછી, અમે સમસ્યા તરફ આગળ વધીએ છીએ, જે પહેલાની સમાન છે. ફરીથી, nમા શબ્દ માટે આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, આપણને મળે છે: a 5 = a 1 + 4 * d. પ્રતિ: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. આપણે અહીં જે મેળવ્યું છે તે તફાવતનું પૂર્ણાંક મૂલ્ય નથી, પરંતુ તે એક તર્કસંગત સંખ્યા છે, તેથી બીજગણિત પ્રગતિ માટેના સૂત્રો સમાન રહે છે.

ચાલો હવે મળેલ તફાવતને 1 માં ઉમેરીએ અને પ્રગતિની ગુમ થયેલ શરતોને પુનઃસ્થાપિત કરીએ. આપણને મળે છે: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, જે સિક્કો સમસ્યાની શરતો સાથે.

ઉદાહરણ નંબર 4: પ્રગતિની પ્રથમ મુદત

ચાલો ઉકેલો સાથે અંકગણિત પ્રગતિના ઉદાહરણો આપવાનું ચાલુ રાખીએ. અગાઉની તમામ સમસ્યાઓમાં, બીજગણિતીય પ્રગતિનો પ્રથમ નંબર જાણીતો હતો. હવે ચાલો એક અલગ પ્રકારની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લઈએ: બે સંખ્યાઓ આપીએ, જ્યાં 15 = 50 અને 43 = 37. આ ક્રમ કઈ સંખ્યાથી શરૂ થાય છે તે શોધવું જરૂરી છે.

અત્યાર સુધી વપરાતા સૂત્રો 1 અને d નું જ્ઞાન ધારણ કરે છે. સમસ્યા નિવેદનમાં, આ નંબરો વિશે કંઈ જ જાણીતું નથી. તેમ છતાં, અમે દરેક શબ્દ માટે સમીકરણો લખીશું કે જેના વિશે માહિતી ઉપલબ્ધ છે: a 15 = a 1 + 14 * d અને a 43 = a 1 + 42 * d. અમને બે સમીકરણો મળ્યા જેમાં 2 અજાણ્યા જથ્થાઓ (a 1 અને d) છે. આનો અર્થ એ છે કે સમસ્યા રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમને હલ કરવા માટે ઓછી થઈ છે.

આ સિસ્ટમને હલ કરવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો એ છે કે દરેક સમીકરણમાં 1 વ્યક્ત કરો અને પછી પરિણામી સમીકરણોની તુલના કરો. પ્રથમ સમીકરણ: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; બીજું સમીકરણ: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. આ અભિવ્યક્તિઓની સમાનતા કરતા, આપણને મળે છે: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, જ્યાંથી તફાવત d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (માત્ર 3 દશાંશ સ્થાનો આપવામાં આવ્યા છે).

d ને જાણીને, તમે 1 માટે ઉપરના 2 સમીકરણોમાંથી કોઈપણનો ઉપયોગ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

જો તમને પ્રાપ્ત પરિણામ વિશે શંકા હોય, તો તમે તેને ચકાસી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રગતિની 43 મી મુદત નક્કી કરો, જે શરતમાં ઉલ્લેખિત છે. આપણને મળે છે: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. નાની ભૂલ એ હકીકતને કારણે છે કે ગણતરીમાં હજારમા ભાગનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો.

ઉદાહરણ નંબર 5: રકમ

હવે અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા માટે ઉકેલો સાથેના કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ.

તેને આપવા દો સંખ્યાત્મક પ્રગતિનીચેના ફોર્મમાંથી: 1, 2, 3, 4, ...,. આ સંખ્યાઓમાંથી 100 ના સરવાળાની ગણતરી કેવી રીતે કરવી?

કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીના વિકાસ માટે આભાર, આ સમસ્યાનું નિરાકરણ શક્ય છે, એટલે કે, બધી સંખ્યાઓ ક્રમિક રીતે ઉમેરો, જે કોઈ વ્યક્તિ એન્ટર કી દબાવતાની સાથે જ કમ્પ્યુટર કરશે. જો કે, સમસ્યા માનસિક રીતે ઉકેલી શકાય છે જો તમે ધ્યાન આપો કે સંખ્યાઓની પ્રસ્તુત શ્રેણી બીજગણિત પ્રગતિ છે, અને તેનો તફાવત 1 જેટલો છે. સરવાળો માટે સૂત્ર લાગુ કરવાથી, અમને મળશે: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

એ નોંધવું રસપ્રદ છે કે આ સમસ્યાને "ગૌસિયન" કહેવામાં આવે છે કારણ કે 18 મી સદીની શરૂઆતમાં પ્રખ્યાત જર્મન, જે હજુ પણ માત્ર 10 વર્ષનો છે, તેને થોડીક સેકંડમાં તેના માથામાં હલ કરવામાં સક્ષમ હતો. છોકરાને બીજગણિત પ્રગતિના સરવાળા માટેનું સૂત્ર ખબર ન હતી, પરંતુ તેણે નોંધ્યું કે જો તમે અનુક્રમના છેડે સંખ્યાઓને જોડીમાં ઉમેરો છો, તો તમને હંમેશા સમાન પરિણામ મળે છે, એટલે કે, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., અને આ સરવાળો બરાબર 50 (100 / 2) હશે, તો સાચો જવાબ મેળવવા માટે 50 ને 101 વડે ગુણાકાર કરવો પૂરતો છે.

ઉદાહરણ નંબર 6: n થી m સુધીના શબ્દોનો સરવાળો

અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળાનું બીજું વિશિષ્ટ ઉદાહરણ નીચે મુજબ છે: સંખ્યાઓની શ્રેણીને જોતાં: 3, 7, 11, 15, ..., તમારે તે શોધવાની જરૂર છે કે 8 થી 14 સુધીના તેના શબ્દોનો સરવાળો શું હશે. .

સમસ્યા બે રીતે ઉકેલાય છે. તેમાંના પ્રથમમાં 8 થી 14 સુધીના અજ્ઞાત શબ્દો શોધવાનો સમાવેશ થાય છે, અને પછી તેમને અનુક્રમે સારાંશ આપવામાં આવે છે. થોડી શરતો હોવાથી, આ પદ્ધતિ તદ્દન શ્રમ-સઘન નથી. તેમ છતાં, બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને હલ કરવાનો પ્રસ્તાવ છે, જે વધુ સાર્વત્રિક છે.

વિચાર એ છે કે m અને n શબ્દો વચ્ચે બીજગણિતીય પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્ર મેળવવાનો છે, જ્યાં n > m પૂર્ણાંકો છે. બંને કિસ્સાઓમાં, અમે સરવાળા માટે બે અભિવ્યક્તિઓ લખીએ છીએ:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

n > m થી, તે સ્પષ્ટ છે કે 2જી રકમમાં પ્રથમનો સમાવેશ થાય છે. છેલ્લા નિષ્કર્ષનો અર્થ એ છે કે જો આપણે આ રકમો વચ્ચેનો તફાવત લઈએ અને તેમાં a m શબ્દ ઉમેરીએ (તફાવત લેવાના કિસ્સામાં, તે રકમ S n માંથી બાદ કરવામાં આવે છે), તો આપણને સમસ્યાનો જરૂરી જવાબ મળશે. અમારી પાસે છે: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). આ અભિવ્યક્તિમાં n અને a m માટે સૂત્રોને બદલવાની જરૂર છે. પછી આપણને મળે છે: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

પરિણામી સૂત્ર કંઈક અંશે બોજારૂપ છે, જો કે, S mn નો સરવાળો માત્ર n, m, a 1 અને d પર આધાર રાખે છે. અમારા કિસ્સામાં, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. આ સંખ્યાઓને બદલીને, આપણને મળે છે: S mn = 301.

ઉપરોક્ત ઉકેલો પરથી જોઈ શકાય છે તેમ, બધી સમસ્યાઓ nth પદની અભિવ્યક્તિ અને પ્રથમ પદોના સમૂહના સરવાળા માટેના સૂત્રના જ્ઞાન પર આધારિત છે. આમાંની કોઈપણ સમસ્યાનો ઉકેલ લાવવાનું શરૂ કરતા પહેલા, એવી ભલામણ કરવામાં આવે છે કે તમે શરતને કાળજીપૂર્વક વાંચો, તમારે શું શોધવાની જરૂર છે તે સ્પષ્ટપણે સમજો અને પછી જ ઉકેલ સાથે આગળ વધો.

બીજી ટીપ એ છે કે સરળતા માટે પ્રયત્ન કરવો, એટલે કે, જો તમે જટિલ ગાણિતિક ગણતરીઓનો ઉપયોગ કર્યા વિના કોઈ પ્રશ્નનો જવાબ આપી શકો, તો તમારે તે જ કરવાની જરૂર છે, કારણ કે આ કિસ્સામાં ભૂલ થવાની સંભાવના ઓછી છે. ઉદાહરણ તરીકે, સોલ્યુશન નંબર 6 સાથે અંકગણિત પ્રગતિના ઉદાહરણમાં, કોઈ સૂત્ર S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, અને એકંદર સમસ્યાને અલગ પેટા કાર્યોમાં વિભાજીત કરો (આ કિસ્સામાં, પ્રથમ a n અને a m શબ્દો શોધો).

જો તમને પ્રાપ્ત પરિણામ વિશે શંકા હોય, તો તેને તપાસવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે, જેમ કે આપેલા કેટલાક ઉદાહરણોમાં કરવામાં આવ્યું હતું. અંકગણિતની પ્રગતિ કેવી રીતે શોધવી તે અમે શોધી કાઢ્યું. જો તમે તેને આકૃતિ કરો છો, તો તે એટલું મુશ્કેલ નથી.

મહત્વપૂર્ણ નોંધો!
1. જો તમને સૂત્રોને બદલે ગોબ્લેડીગુક દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. તમારા બ્રાઉઝરમાં આ કેવી રીતે કરવું તે અહીં લખ્યું છે:
2. તમે લેખ વાંચવાનું શરૂ કરો તે પહેલાં, સૌથી વધુ માટે અમારા નેવિગેટર પર ધ્યાન આપો ઉપયોગી સંસાધનમાટે

સંખ્યા ક્રમ

તો, ચાલો બેસીએ અને અમુક સંખ્યાઓ લખવાનું શરૂ કરીએ. દાખ્લા તરીકે:
તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે (અમારા કિસ્સામાં, તે છે). ભલે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ લખીએ, આપણે હંમેશા કહી શકીએ છીએ કે કઈ પ્રથમ છે, કઈ બીજી છે, અને તેથી છેલ્લી સુધી, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે:

સંખ્યા ક્રમ
ઉદાહરણ તરીકે, અમારા ક્રમ માટે:

અસાઇન કરેલ નંબર અનુક્રમમાં માત્ર એક નંબર માટે વિશિષ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાં કોઈ ત્રણ બીજી સંખ્યાઓ નથી. બીજી સંખ્યા (મી સંખ્યાની જેમ) હંમેશા સમાન હોય છે.
સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમની મી પદ કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે આખા ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

અમારા કિસ્સામાં:

ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.
દાખ્લા તરીકે:

વગેરે
આ સંખ્યા ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે.
"પ્રોગ્રેસન" શબ્દ 6ઠ્ઠી સદીમાં રોમન લેખક બોથિયસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને તેને વ્યાપક અર્થમાં અનંત સંખ્યાત્મક ક્રમ તરીકે સમજવામાં આવ્યો હતો. "અંકગણિત" નામ સતત પ્રમાણના સિદ્ધાંતમાંથી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો પ્રાચીન ગ્રીક લોકો દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે, જેનો દરેક સભ્ય સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા પહેલાના સભ્ય જેટલો છે. આ સંખ્યાને અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

કઈ સંખ્યા ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે અને કઈ નથી તે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો:

a)
b)
c)
ડી)

જાણ્યું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:
છેઅંકગણિત પ્રગતિ - b, c.
નથીઅંકગણિત પ્રગતિ - a, d.

ચાલો આપેલ પ્રગતિ () પર પાછા જઈએ અને તેના મી શબ્દનું મૂલ્ય શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. અસ્તિત્વમાં છે બેતેને શોધવાની રીત.

1. પદ્ધતિ

જ્યાં સુધી આપણે પ્રગતિની મી મુદત સુધી ન પહોંચીએ ત્યાં સુધી આપણે અગાઉના મૂલ્યમાં પ્રગતિ નંબર ઉમેરી શકીએ છીએ. તે સારું છે કે અમારી પાસે સારાંશ આપવા માટે વધુ નથી - ફક્ત ત્રણ મૂલ્યો:

તેથી, વર્ણવેલ અંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ બરાબર છે.

2. પદ્ધતિ

જો આપણે પ્રગતિના મી શબ્દનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય તો શું? સારાંશમાં અમને એક કલાકથી વધુ સમય લાગશે, અને તે હકીકત નથી કે સંખ્યાઓ ઉમેરતી વખતે અમે ભૂલો કરતા નથી.
અલબત્ત, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એવી રીત શોધી કાઢી છે જેમાં અગાઉના મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત ઉમેરવાની જરૂર નથી. દોરેલા ચિત્રને નજીકથી જુઓ... ચોક્કસ તમે પહેલેથી જ એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું હશે, એટલે કે:

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિના મી શબ્દનું મૂલ્ય શું છે:


બીજા શબ્દો માં:

આ રીતે આપેલ અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યનું મૂલ્ય જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

શું તમે ગણતરી કરી? જવાબ સાથે તમારી નોંધોની તુલના કરો:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે અમે અનુક્રમે પાછલા મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો ઉમેરી ત્યારે તમને અગાઉની પદ્ધતિની જેમ બરાબર એ જ નંબર મળ્યો છે.
ચાલો આ ફોર્મ્યુલાને "વ્યક્તિગત" કરવાનો પ્રયાસ કરીએ - ચાલો તેને અંદર લાવીએ સામાન્ય સ્વરૂપઅને અમને મળે છે:

અંકગણિત પ્રગતિ સમીકરણ.

અંકગણિત પ્રગતિમાં વધારો અથવા ઘટાડો થઈ શકે છે.

વધી રહી છે- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા વધારે છે.
દાખ્લા તરીકે:

ઉતરતા- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા ઓછું છે.
દાખ્લા તરીકે:

વ્યુત્પન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ અંકગણિત પ્રગતિના વધતા અને ઘટતા બંને શબ્દોમાં પદોની ગણતરીમાં થાય છે.
ચાલો વ્યવહારમાં આ તપાસીએ.
અમને નીચેની સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરતી એક અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવી છે: ચાલો તપાસીએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિની મી સંખ્યા શું હશે જો આપણે તેની ગણતરી કરવા માટે અમારા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

ત્યારથી:

આમ, અમને ખાતરી છે કે સૂત્ર અંકગણિતની પ્રગતિ ઘટતા અને વધતા બંનેમાં કાર્ય કરે છે.
આ અંકગણિતની પ્રગતિની મી અને મી શરતો જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:

અંકગણિત પ્રગતિ ગુણધર્મ

ચાલો સમસ્યાને જટિલ બનાવીએ - અમે અંકગણિત પ્રગતિની મિલકત મેળવીશું.
ચાલો કહીએ કે અમને નીચેની શરત આપવામાં આવી છે:
- અંકગણિત પ્રગતિ, મૂલ્ય શોધો.
સરળ, તમે કહો અને તમે પહેલાથી જ જાણો છો તે સૂત્ર અનુસાર ગણતરી કરવાનું શરૂ કરો:

ચાલો, આહ, પછી:

બિલકુલ સાચું. તે તારણ આપે છે કે આપણે પહેલા શોધીએ છીએ, પછી તેને પ્રથમ નંબરમાં ઉમેરીએ છીએ અને આપણે જે શોધી રહ્યા છીએ તે મેળવીએ છીએ. જો પ્રગતિ નાના મૂલ્યો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તો તેમાં કંઈ જટિલ નથી, પરંતુ જો આપણને સ્થિતિમાં નંબરો આપવામાં આવે તો શું? સંમત થાઓ, ગણતરીમાં ભૂલ થવાની સંભાવના છે.
હવે વિચારો કે શું કોઈ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને એક પગલામાં ઉકેલવી શક્ય છે? અલબત્ત હા, અને તે જ અમે હવે બહાર લાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

ચાલો આપણે અંકગણિત પ્રગતિના જરૂરી શબ્દને સૂચવીએ કારણ કે, તે શોધવાનું સૂત્ર આપણને જાણીતું છે - આ તે જ સૂત્ર છે જે આપણે શરૂઆતમાં મેળવ્યું છે:
, પછી:

• પ્રગતિની પાછલી મુદત છે:
• પ્રગતિની આગામી મુદત છે:

ચાલો પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો કરીએ:

તે તારણ આપે છે કે પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો એ તેમની વચ્ચે સ્થિત પ્રગતિ શબ્દનું ડબલ મૂલ્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અગાઉના અને ક્રમિક મૂલ્યો સાથે પ્રગતિ શબ્દનું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

તે સાચું છે, અમને સમાન નંબર મળ્યો. ચાલો સામગ્રીને સુરક્ષિત કરીએ. પ્રગતિ માટેના મૂલ્યની જાતે ગણતરી કરો, તે બિલકુલ મુશ્કેલ નથી.

શાબ્બાશ! તમે પ્રગતિ વિશે લગભગ બધું જ જાણો છો! તે માત્ર એક સૂત્ર શોધવાનું બાકી છે, જે, દંતકથા અનુસાર, તમામ સમયના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક, "ગણિતશાસ્ત્રીઓના રાજા" દ્વારા સરળતાથી અનુમાનિત કરવામાં આવ્યું હતું - કાર્લ ગૌસ...

જ્યારે કાર્લ ગૌસ 9 વર્ષનો હતો, ત્યારે એક શિક્ષક, અન્ય વર્ગોમાં વિદ્યાર્થીઓનું કામ તપાસવામાં વ્યસ્ત હતો, તેણે વર્ગમાં નીચેની સમસ્યા પૂછી: “બધાના સરવાળાની ગણતરી કરો. કુદરતી સંખ્યાઓથી (અન્ય સ્ત્રોતો અનુસાર) સુધીનો સમાવેશ થાય છે.” શિક્ષકના આશ્ચર્યની કલ્પના કરો જ્યારે તેના એક વિદ્યાર્થીએ (આ કાર્લ ગૌસ હતો) એક મિનિટ પછી કાર્યનો સાચો જવાબ આપ્યો, જ્યારે ડેરડેવિલના મોટાભાગના સહપાઠીઓને, લાંબી ગણતરીઓ પછી, ખોટું પરિણામ મળ્યું...

યુવાન કાર્લ ગૌસે એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું જે તમે સરળતાથી નોંધી શકો છો.
ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે -th પદો ધરાવતી અંકગણિત પ્રગતિ છે: આપણે અંકગણિત પ્રગતિના આ શબ્દોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. અલબત્ત, આપણે મેન્યુઅલી તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ, પરંતુ જો કાર્યને તેની શરતોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર હોય તો શું, જેમ કે ગૌસ શોધી રહ્યા હતા?

અમને આપવામાં આવેલ પ્રગતિનું નિરૂપણ કરીએ. પ્રકાશિત સંખ્યાઓ પર નજીકથી નજર નાખો અને તેમની સાથે વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરવાનો પ્રયાસ કરો.


શું તમે તેનો પ્રયાસ કર્યો છે? તમે શું નોંધ્યું? અધિકાર! તેમની રકમ સમાન છે

હવે મને કહો, અમને આપેલી પ્રગતિમાં કુલ આવી કેટલી જોડી છે? અલબત્ત, બધી સંખ્યાઓનો બરાબર અડધો, એટલે કે.
એ હકીકતને આધારે કે અંકગણિત પ્રગતિના બે પદોનો સરવાળો સમાન છે, અને સમાન જોડીઓ સમાન છે, અમે મેળવીએ છીએ કે કુલ સરવાળો બરાબર છે:
.
આમ, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર આ હશે:

કેટલીક સમસ્યાઓમાં આપણે મી શબ્દ જાણતા નથી, પરંતુ આપણે પ્રગતિનો તફાવત જાણીએ છીએ. મી શબ્દના સૂત્રને સરવાળા સૂત્રમાં બદલવાનો પ્રયાસ કરો.
તમને શું મળ્યું?

શાબ્બાશ! હવે ચાલો તે સમસ્યા પર પાછા ફરીએ જે કાર્લ ગૌસને પૂછવામાં આવી હતી: તમારા માટે ગણતરી કરો કે th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અને th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.

તમને કેટલું મળ્યું?
ગૌસે જોયું કે શરતોનો સરવાળો સમાન છે, અને શરતોનો સરવાળો છે. તે તમે નક્કી કર્યું છે?

હકીકતમાં, અંકગણિત પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક ડાયોફેન્ટસ દ્વારા 3જી સદીમાં સાબિત થયું હતું, અને આ સમય દરમિયાન, વિનોદી લોકોએ અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મોનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કર્યો હતો.
ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પના કરો પ્રાચીન ઇજીપ્ટઅને તે સમયનો સૌથી મોટો બાંધકામ પ્રોજેક્ટ - પિરામિડનું બાંધકામ... ચિત્ર તેની એક બાજુ બતાવે છે.

અહીં પ્રગતિ ક્યાં છે, તમે કહો છો? કાળજીપૂર્વક જુઓ અને પિરામિડ દિવાલની દરેક હરોળમાં રેતીના બ્લોક્સની સંખ્યામાં એક પેટર્ન શોધો.


શા માટે અંકગણિત પ્રગતિ નથી? જો બ્લોક ઇંટો પાયા પર મૂકવામાં આવે તો એક દિવાલ બનાવવા માટે કેટલા બ્લોકની જરૂર છે તેની ગણતરી કરો. હું આશા રાખું છું કે મોનિટર પર તમારી આંગળી ખસેડતી વખતે તમે ગણતરી કરશો નહીં, તમને છેલ્લું સૂત્ર અને અંકગણિત પ્રગતિ વિશે અમે જે કહ્યું તે બધું યાદ છે?

આ કિસ્સામાં, પ્રગતિ આના જેવી લાગે છે: .
અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
અંકગણિત પ્રગતિના પદોની સંખ્યા.
ચાલો આપણા ડેટાને છેલ્લા સૂત્રોમાં બદલીએ (2 રીતે બ્લોક્સની સંખ્યાની ગણતરી કરો).

પદ્ધતિ 1.

પદ્ધતિ 2.

અને હવે તમે મોનિટર પર ગણતરી કરી શકો છો: અમારા પિરામિડમાં રહેલા બ્લોક્સની સંખ્યા સાથે પ્રાપ્ત મૂલ્યોની તુલના કરો. જાણ્યું? સારું કર્યું, તમે અંકગણિતની પ્રગતિના nમા શબ્દોના સરવાળામાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.
અલબત્ત, તમે બેઝ પરના બ્લોક્સમાંથી પિરામિડ બનાવી શકતા નથી, પણ ક્યાંથી? આ સ્થિતિ સાથે દિવાલ બનાવવા માટે કેટલી રેતીની ઇંટોની જરૂર છે તેની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો.
શું તમે મેનેજ કર્યું?
સાચો જવાબ બ્લોક્સ છે:

તાલીમ

કાર્યો:

1. માશા ઉનાળા માટે આકારમાં આવી રહી છે. દરરોજ તે સ્ક્વોટ્સની સંખ્યામાં વધારો કરે છે. જો તેણીએ પ્રથમ તાલીમ સત્રમાં સ્ક્વોટ્સ કર્યું હોય તો માશા અઠવાડિયામાં કેટલી વાર સ્ક્વોટ્સ કરશે?
2. સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.
3. લોગ સંગ્રહ કરતી વખતે, લોગર્સ તેમને એવી રીતે સ્ટેક કરે છે કે દરેક ઉપલા સ્તરઅગાઉના એક કરતાં એક ઓછો લોગ સમાવે છે. એક ચણતરમાં કેટલા લોગ હોય છે, જો ચણતરનો પાયો લોગ હોય તો?

જવાબો:

1. ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિના પરિમાણોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. આ બાબતે
   (અઠવાડિયા = દિવસો).

   જવાબ:બે અઠવાડિયામાં, માશાએ દિવસમાં એકવાર સ્ક્વોટ્સ કરવું જોઈએ.

2. પ્રથમ બેકી સંખ્યા, છેલ્લી સંખ્યા.
   અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
   માં બેકી સંખ્યાઓની સંખ્યા અડધી છે, જો કે, ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિની મી પદ શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ હકીકતને તપાસીએ:

   સંખ્યાઓમાં વિષમ સંખ્યાઓ હોય છે.
   ચાલો ઉપલબ્ધ ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:માં સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન છે.

3. ચાલો પિરામિડ વિશેની સમસ્યાને યાદ કરીએ. અમારા કેસ માટે, a , કારણ કે દરેક ટોચનું સ્તર એક લોગ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, તો કુલ સ્તરોનો સમૂહ છે, એટલે કે.
   ચાલો ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:ચણતરમાં લોગ છે.

ચાલો તેનો સરવાળો કરીએ

1. - સંખ્યા ક્રમ કે જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન હોય છે. તે વધી અથવા ઘટી શકે છે.
2. ફોર્મ્યુલા શોધવીઅંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે - , પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.
3. અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત- - સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં પ્રગતિમાં છે.
4. અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળોબે રીતે શોધી શકાય છે:
   
   , મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિ. સરેરાશ સ્તર

સંખ્યા ક્રમ

ચાલો બેસો અને કેટલાક નંબરો લખવાનું શરૂ કરીએ. દાખ્લા તરીકે:

તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે. પરંતુ આપણે હંમેશા કહી શકીએ કે કયું પ્રથમ છે, કયું બીજું છે, અને તેથી વધુ, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે.

સંખ્યા ક્રમસંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકને એક અનન્ય નંબર અસાઇન કરી શકાય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક સંખ્યા ચોક્કસ પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને અનન્ય સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. અને અમે આ નંબર આ સેટમાંથી અન્ય કોઈ નંબરને સોંપીશું નહીં.

સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમનો મી સભ્ય કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે આખા ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

તે ખૂબ અનુકૂળ છે જો ક્રમનો મી શબ્દ અમુક સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર

ક્રમ સુયોજિત કરે છે:

અને સૂત્ર નીચેનો ક્રમ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ એ ક્રમ છે (અહીં પ્રથમ પદ સમાન છે, અને તફાવત છે). અથવા (, તફાવત).

ફોર્મ્યુલા nમી પદ

અમે એક ફોર્મ્યુલાને રિકરન્ટ કહીએ છીએ જેમાં, મી શબ્દ શોધવા માટે, તમારે અગાઉના અથવા ઘણા પહેલાના મુદ્દાઓ જાણવાની જરૂર છે:

દાખલા તરીકે, આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિનો મી શબ્દ શોધવા માટે, આપણે અગાઉના નવની ગણતરી કરવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, તે દો. પછી:

સારું, હવે સ્પષ્ટ છે કે સૂત્ર શું છે?

દરેક લીટીમાં આપણે અમુક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. કયો? ખૂબ જ સરળ: આ વર્તમાન સભ્યની સંખ્યા ઓછા છે:

હવે વધુ અનુકૂળ છે, બરાબર ને? અમે તપાસીએ છીએ:

તમારા માટે નક્કી કરો:

અંકગણિતની પ્રગતિમાં, nમી પદ માટે સૂત્ર શોધો અને સોમો પદ શોધો.

ઉકેલ:

પ્રથમ પદ સમાન છે. શું તફાવત છે? અહીં શું છે:

(આ કારણે તેને તફાવત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે પ્રગતિના ક્રમિક પદોના તફાવત સમાન છે).

તેથી, સૂત્ર:

પછી સોમો પદ સમાન છે:

થી સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે?

દંતકથા અનુસાર, મહાન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ ગૌસે, 9 વર્ષના છોકરા તરીકે, થોડીવારમાં આ રકમની ગણતરી કરી. તેણે નોંધ્યું કે પ્રથમ અને છેલ્લી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન છે, બીજા અને ઉપાંત્યનો સરવાળો સમાન છે, ત્રીજા અને અંતથી ત્રીજા નંબરનો સરવાળો સમાન છે, વગેરે. આવી કુલ કેટલી જોડી છે? તે સાચું છે, બધી સંખ્યાઓની બરાબર અડધી સંખ્યા, એટલે કે. તેથી,

કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર આ હશે:

ઉદાહરણ:
બધાનો સરવાળો શોધો બે અંકની સંખ્યાઓ, ગુણાંક.

ઉકેલ:

આવો પહેલો નંબર આ છે. દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉના નંબરમાં ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. આમ, આપણને જે સંખ્યાઓમાં રસ છે તે પ્રથમ પદ અને તફાવત સાથે અંકગણિતની પ્રગતિ બનાવે છે.

આ પ્રગતિ માટે મી શબ્દનું સૂત્ર:

જો તે બધા બે-અંકના હોવા જોઈએ તો પ્રગતિમાં કેટલા પદો છે?

અત્યંત સરળ: .

પ્રગતિની છેલ્લી મુદત સમાન હશે. પછી સરવાળો:

જવાબ:.

હવે તમારા માટે નક્કી કરો:

1. દરરોજ રમતવીર પાછલા દિવસ કરતા વધુ મીટર દોડે છે. તે અઠવાડિયામાં કુલ કેટલા કિલોમીટર દોડશે, જો પ્રથમ દિવસે તે કિમી મીટર દોડશે?
2. સાઇકલ સવાર પાછલા દિવસ કરતાં દરરોજ વધુ કિલોમીટરની મુસાફરી કરે છે. પહેલા દિવસે તેણે કિ.મી. તેને એક કિલોમીટર કવર કરવા માટે કેટલા દિવસ મુસાફરી કરવાની જરૂર છે? તેની મુસાફરીના છેલ્લા દિવસ દરમિયાન તે કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરશે?
3. સ્ટોરમાં રેફ્રિજરેટરની કિંમત દર વર્ષે સમાન રકમ દ્વારા ઘટે છે. દર વર્ષે રેફ્રિજરેટરની કિંમત કેટલી ઘટે છે તે નક્કી કરો જો, રુબેલ્સ માટે વેચાણ માટે મૂકવામાં આવે, છ વર્ષ પછી તે રુબેલ્સમાં વેચવામાં આવે.

જવાબો:

1. અહીં સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે અંકગણિતની પ્રગતિને ઓળખવી અને તેના પરિમાણો નક્કી કરવા. આ કિસ્સામાં, (અઠવાડિયા = દિવસો). તમારે આ પ્રગતિની પ્રથમ શરતોનો સરવાળો નક્કી કરવાની જરૂર છે:
   .
   જવાબ:
2. અહીં તે આપવામાં આવ્યું છે: , મળવું આવશ્યક છે.
   દેખીતી રીતે, તમારે અગાઉની સમસ્યાની જેમ સમાન સરવાળા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:
   .
   મૂલ્યો બદલો:

   રુટ દેખીતી રીતે ફિટ નથી, તેથી જવાબ છે.
   ચાલો મી શબ્દના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લા દિવસે મુસાફરી કરેલ પાથની ગણતરી કરીએ:
   (કિમી).
   જવાબ:

3. આપેલ: . શોધો: .
   તે સરળ ન હોઈ શકે:
   (ઘસવું).
   જવાબ:

અંકગણિત પ્રગતિ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં અડીને સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.

અંકગણિત પ્રગતિ() વધી શકે છે અને () ઘટી શકે છે.

દાખ્લા તરીકે:

અંકગણિત પ્રગતિનો nમો શબ્દ શોધવા માટેનું સૂત્ર

સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે, જ્યાં પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા છે.

અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત

તે તમને પ્રગતિનો શબ્દ સરળતાથી શોધી શકે છે જો તેની પડોશી શરતો જાણીતી હોય - પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોનો સરવાળો

રકમ શોધવાની બે રીત છે:

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

બસ, વિષય પૂરો થયો. જો તમે આ લાઈનો વાંચી રહ્યા છો, તો તેનો અર્થ એ છે કે તમે ખૂબ જ શાનદાર છો.

કારણ કે માત્ર 5% લોકો જ પોતાની મેળે કંઈક માસ્ટર કરવામાં સક્ષમ છે. અને જો તમે અંત સુધી વાંચો છો, તો તમે આ 5% માં છો!

હવે સૌથી મહત્વની વાત.

તમે આ વિષય પરનો સિદ્ધાંત સમજી ગયા છો. અને, હું પુનરાવર્તન કરું છું, આ... આ માત્ર સુપર છે! તમે તમારા મોટા ભાગના સાથીદારો કરતા પહેલાથી જ સારા છો.

સમસ્યા એ છે કે આ પૂરતું નથી...

શેના માટે?

માટે સફળ સમાપ્તિયુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા, બજેટમાં કૉલેજમાં પ્રવેશ માટે અને, સૌથી મહત્વપૂર્ણ, જીવન માટે.

હું તમને કંઈપણ સમજાવીશ નહીં, હું ફક્ત એક વાત કહીશ ...

જે લોકો પ્રાપ્ત થયા હતા સારું શિક્ષણ, જેમણે તે પ્રાપ્ત કર્યું નથી તેના કરતા ઘણું વધારે કમાઓ. આ આંકડા છે.

પરંતુ આ મુખ્ય વસ્તુ નથી.

મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે તેઓ વધુ ખુશ છે (ત્યાં આવા અભ્યાસો છે). કદાચ કારણ કે તેમની આગળ ઘણી વધુ તકો ખુલે છે અને જીવન તેજસ્વી બને છે? ખબર નથી...

પણ તમારા માટે વિચારો ...

યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અન્ય કરતા વધુ સારા બનવા માટે અને આખરે... ખુશ રહેવા માટે શું જરૂરી છે?

આ વિષય પર સમસ્યાઓ હલ કરીને તમારો હાથ મેળવો.

પરીક્ષા દરમિયાન તમને થિયરી માટે પૂછવામાં આવશે નહીં.

તમને જરૂર પડશે સમયસર સમસ્યાઓ ઉકેલો.

અને, જો તમે તેમને ઉકેલ્યા નથી (ઘણું!), તો તમે ચોક્કસપણે ક્યાંક મૂર્ખ ભૂલ કરશો અથવા તમારી પાસે સમય નહીં હોય.

તે રમતગમતની જેમ છે - ખાતરી માટે જીતવા માટે તમારે તેને ઘણી વખત પુનરાવર્તન કરવાની જરૂર છે.

તમે ઇચ્છો ત્યાં સંગ્રહ શોધો, આવશ્યકપણે ઉકેલો સાથે, વિગતવાર વિશ્લેષણ અને નક્કી કરો, નક્કી કરો, નક્કી કરો!

તમે અમારા કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકો છો (વૈકલ્પિક) અને અમે, અલબત્ત, તેમની ભલામણ કરીએ છીએ.

અમારા કાર્યોનો વધુ સારી રીતે ઉપયોગ કરવા માટે, તમે હાલમાં વાંચી રહ્યાં છો તે YouClever પાઠ્યપુસ્તકનું આયુષ્ય વધારવામાં મદદ કરવાની જરૂર છે.

કેવી રીતે? ત્યાં બે વિકલ્પો છે:

1. આ લેખમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોને અનલૉક કરો -
2. પાઠ્યપુસ્તકના તમામ 99 લેખોમાં છુપાયેલા તમામ કાર્યોની ઍક્સેસને અનલૉક કરો - પાઠ્યપુસ્તક ખરીદો - 499 RUR

હા, અમારી પાઠ્યપુસ્તકમાં આવા 99 લેખો છે અને તમામ કાર્યોની ઍક્સેસ છે અને તેમાં છુપાયેલા તમામ પાઠો તરત જ ખોલી શકાય છે.

સાઇટના સમગ્ર જીવન માટે તમામ છુપાયેલા કાર્યોની ઍક્સેસ પ્રદાન કરવામાં આવે છે.

નિષ્કર્ષમાં...

જો તમને અમારા કાર્યો પસંદ ન હોય, તો અન્યને શોધો. ફક્ત સિદ્ધાંત પર અટકશો નહીં.

"સમજ્યું" અને "હું હલ કરી શકું છું" એ સંપૂર્ણપણે અલગ કુશળતા છે. તમારે બંનેની જરૂર છે.

સમસ્યાઓ શોધો અને તેમને હલ કરો!

અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો.

અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો એ એક સરળ વસ્તુ છે. અર્થ અને સૂત્ર બંનેમાં. પરંતુ આ વિષય પર તમામ પ્રકારના કાર્યો છે. મૂળભૂત થી તદ્દન નક્કર.

પ્રથમ, ચાલો રકમનો અર્થ અને સૂત્ર સમજીએ. અને પછી અમે નક્કી કરીશું. તમારા પોતાના આનંદ માટે.) રકમનો અર્થ મૂઠ જેવો સરળ છે. અંકગણિતની પ્રગતિનો સરવાળો શોધવા માટે, તમારે ફક્ત તેની બધી શરતો કાળજીપૂર્વક ઉમેરવાની જરૂર છે. જો આ શરતો થોડા છે, તો તમે કોઈપણ ફોર્મ્યુલા વગર ઉમેરી શકો છો. પરંતુ જો ત્યાં ઘણું છે, અથવા ઘણું છે... ઉમેરો હેરાન કરે છે.) આ કિસ્સામાં, ફોર્મ્યુલા બચાવમાં આવે છે.

રકમ માટેનું સૂત્ર સરળ છે:

ચાલો આકૃતિ કરીએ કે ફોર્મ્યુલામાં કયા પ્રકારનાં અક્ષરો શામેલ છે. તેનાથી ઘણી બધી બાબતો સાફ થઈ જશે.

એસ એન - અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો. વધારાનું પરિણામ દરેક વ્યક્તિસભ્યો, સાથે પ્રથમદ્વારા છેલ્લા.તે મહત્વનું છે. તેઓ બરાબર ઉમેરે છે બધાસળંગ સભ્યો, અવગણ્યા અથવા છોડ્યા વિના. અને, ચોક્કસપણે, થી શરૂ થાય છે પ્રથમત્રીજા અને આઠમા પદોનો સરવાળો અથવા પાંચમાથી વીસમા પદોનો સરવાળો શોધવા જેવી સમસ્યાઓમાં, સૂત્રનો સીધો ઉપયોગ નિરાશ થશે.)

a 1 - પ્રથમપ્રગતિના સભ્ય. અહીં બધું સ્પષ્ટ છે, તે સરળ છે પ્રથમપંક્તિ નંબર.

એક એન- છેલ્લાપ્રગતિના સભ્ય. શ્રેણીનો છેલ્લો નંબર. બહુ જાણીતું નામ નથી, પરંતુ જ્યારે રકમ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે ખૂબ જ યોગ્ય છે. પછી તમે તમારા માટે જોશો.

n - છેલ્લા સભ્યની સંખ્યા. તે સમજવું અગત્યનું છે કે સૂત્રમાં આ સંખ્યા ઉમેરવામાં આવેલી શરતોની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે.

ચાલો ખ્યાલ વ્યાખ્યાયિત કરીએ છેલ્લાસભ્ય એક એન. મુશ્કેલ પ્રશ્ન: કયો સભ્ય કરશે ઍક્દમ છેલ્લુજો આપવામાં આવે અનંતઅંકગણિત પ્રગતિ?)

આત્મવિશ્વાસપૂર્વક જવાબ આપવા માટે, તમારે અંકગણિતની પ્રગતિનો પ્રાથમિક અર્થ સમજવાની જરૂર છે અને... કાર્યને ધ્યાનથી વાંચો!)

અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો શોધવાના કાર્યમાં, છેલ્લો શબ્દ હંમેશા દેખાય છે (સીધી કે પરોક્ષ રીતે), જે મર્યાદિત હોવું જોઈએ.નહિંતર, અંતિમ, ચોક્કસ રકમ ખાલી અસ્તિત્વમાં નથી.ઉકેલ માટે, તે કોઈ વાંધો નથી કે શું પ્રગતિ આપવામાં આવે છે: મર્યાદિત અથવા અનંત. તે કેવી રીતે આપવામાં આવે છે તેનાથી કોઈ ફરક પડતો નથી: સંખ્યાઓની શ્રેણી, અથવા nth શબ્દ માટેનું સૂત્ર.

સૌથી અગત્યની બાબત એ સમજવાની છે કે સૂત્ર પ્રગતિના પ્રથમ પદથી સંખ્યા સાથેના પદ સુધી કાર્ય કરે છે nવાસ્તવમાં, સૂત્રનું પૂરું નામ આના જેવું દેખાય છે: અંકગણિતની પ્રગતિની પ્રથમ n શરતોનો સરવાળો.આ પ્રથમ સભ્યોની સંખ્યા, એટલે કે. n, ફક્ત કાર્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. એક કાર્યમાં, આ બધી મૂલ્યવાન માહિતી ઘણીવાર એન્ક્રિપ્ટેડ હોય છે, હા... પરંતુ તે ઠીક છે, નીચેના ઉદાહરણોમાં આપણે આ રહસ્યો જાહેર કરીએ છીએ.)

અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળા પરના કાર્યોના ઉદાહરણો.

સૌ પ્રથમ, મદદરૂપ માહિતી:

અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળા સાથે સંકળાયેલા કાર્યોમાં મુખ્ય મુશ્કેલી સૂત્રના ઘટકોના યોગ્ય નિર્ધારણમાં રહેલી છે.

કાર્ય લેખકો આ તત્વોને અમર્યાદ કલ્પના સાથે એન્ક્રિપ્ટ કરે છે.) અહીં મુખ્ય વસ્તુ ડરવાની નથી. તત્વોના સારને સમજવું, તે ફક્ત તેમને સમજવા માટે પૂરતું છે. ચાલો કેટલાક ઉદાહરણોને વિગતવાર જોઈએ. ચાલો વાસ્તવિક GIA પર આધારિત કાર્ય સાથે પ્રારંભ કરીએ.

1. અંકગણિત પ્રગતિ શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે: a n = 2n-3.5. તેના પ્રથમ 10 પદોનો સરવાળો શોધો.

સારુ કામ. સરળ.) ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને રકમ નક્કી કરવા માટે, આપણે શું જાણવાની જરૂર છે? પ્રથમ સભ્ય a 1, છેલ્લી મુદત એક એન, હા છેલ્લા સભ્યની સંખ્યા n

હું છેલ્લા સભ્યનો નંબર ક્યાંથી મેળવી શકું? n? હા, ત્યાં જ, શરતે! તે કહે છે: સરવાળો શોધો પ્રથમ 10 સભ્યો.સારું, તે કયા નંબર સાથે હશે? છેલ્લા,દસમો સભ્ય?) તમે તેના પર વિશ્વાસ કરશો નહીં, તેનો નંબર દસમો છે!) તેથી, તેના બદલે એક એનઆપણે ફોર્મ્યુલામાં બદલીશું a 10, અને તેના બદલે n- દસ. હું પુનરાવર્તન કરું છું, છેલ્લા સભ્યની સંખ્યા સભ્યોની સંખ્યા સાથે એકરુપ છે.

તે નક્કી કરવાનું બાકી છે a 1અને a 10. આ સરળતાથી nth શબ્દ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે, જે સમસ્યા નિવેદનમાં આપવામાં આવ્યું છે. આ કેવી રીતે કરવું તે ખબર નથી? અગાઉના પાઠમાં હાજરી આપો, આ વિના કોઈ રસ્તો નથી.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10=2·10 - 3.5 =16.5

એસ એન = એસ 10.

અમે અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્રના તમામ ઘટકોનો અર્થ શોધી કાઢ્યો છે. જે બાકી છે તે તેમને બદલવા અને ગણતરી કરવાનું છે:

બસ આ જ. જવાબ: 75.

GIA પર આધારિત અન્ય કાર્ય. થોડી વધુ જટિલ:

2. અંકગણિત પ્રગતિ (a n) જોતાં, જેનો તફાવત 3.7 છે; a 1 =2.3. તેના પ્રથમ 15 પદોનો સરવાળો શોધો.

અમે તરત જ સરવાળા સૂત્ર લખીએ છીએ:

આ સૂત્ર આપણને કોઈપણ પદની સંખ્યા દ્વારા તેની કિંમત શોધવાની મંજૂરી આપે છે. અમે એક સરળ અવેજી શોધીએ છીએ:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

જે બાકી છે તે બધા તત્વોને અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્રમાં બદલવા અને જવાબની ગણતરી કરવાનું છે:

જવાબ: 423.

માર્ગ દ્વારા, જો તેના બદલે સરવાળા સૂત્રમાં એક એનઅમે ફક્ત nમા શબ્દ માટે સૂત્રને બદલીએ છીએ અને મેળવીએ છીએ:

ચાલો આપણે સમાન રજૂ કરીએ અને અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોના સરવાળા માટે એક નવું સૂત્ર મેળવીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, તે અહીં જરૂરી નથી nમી મુદત એક એન. કેટલીક સમસ્યાઓમાં આ ફોર્મ્યુલા ઘણી મદદ કરે છે, હા... તમે આ સૂત્ર યાદ રાખી શકો છો. અથવા તમે તેને યોગ્ય સમયે પ્રદર્શિત કરી શકો છો, જેમ કે અહીં. છેવટે, તમારે હંમેશા સરવાળા માટેનું સૂત્ર અને nમી પદ માટેનું સૂત્ર યાદ રાખવાની જરૂર છે.)

હવે ટૂંકા એન્ક્રિપ્શનના રૂપમાં કાર્ય):

3. ત્રણના ગુણાકાર હોય તેવી તમામ હકારાત્મક બે-અંકની સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.

વાહ! ન તો તમારો પહેલો સભ્ય, ન તમારો છેલ્લો, ન તો પ્રગતિ જ... કેવી રીતે જીવવું!?

તમારે તમારા માથા સાથે વિચારવું પડશે અને અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળાના તમામ ઘટકોને સ્થિતિમાંથી બહાર કાઢવા પડશે. આપણે જાણીએ છીએ કે બે-અંકની સંખ્યાઓ શું છે. તેમાં બે સંખ્યાઓ હોય છે.) બે-અંકની સંખ્યા કઈ હશે પ્રથમ? 10, સંભવતઃ.) એ છેલ્લી વસ્તુડબલ ડિજિટ નંબર? 99, અલબત્ત! ત્રણ અંકો તેને અનુસરશે...

ત્રણના ગુણાકાર... હં... આ એવી સંખ્યાઓ છે જે ત્રણ વડે ભાગી શકાય છે, અહીં! દસ એ ત્રણ વડે વિભાજ્ય નથી, 11 એ વિભાજ્ય નથી... 12... વિભાજ્ય છે! તેથી, કંઈક ઉભરી રહ્યું છે. તમે પહેલાથી જ સમસ્યાની શરતો અનુસાર શ્રેણી લખી શકો છો:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

શું આ શ્રેણી અંકગણિતની પ્રગતિ હશે? ચોક્કસ! દરેક શબ્દ પાછલા શબ્દથી સખત રીતે ત્રણથી અલગ પડે છે. જો તમે શબ્દમાં 2 અથવા 4 ઉમેરો છો, તો કહો, પરિણામ, એટલે કે. નવી સંખ્યા હવે 3 વડે વિભાજ્ય નથી. તમે અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત તરત જ નક્કી કરી શકો છો: d = 3.તે કામમાં આવશે!)

તેથી, અમે કેટલાક પ્રગતિ પરિમાણો સુરક્ષિત રીતે લખી શકીએ છીએ:

સંખ્યા શું હશે? nછેલ્લા સભ્ય? કોઈપણ જે વિચારે છે કે 99 જીવલેણ ભૂલ છે... નંબરો હંમેશા એક પંક્તિમાં જાય છે, પરંતુ અમારા સભ્યો ત્રણથી ઉપર જાય છે. તેઓ મેળ ખાતા નથી.

અહીં બે ઉકેલો છે. એક રસ્તો સુપર મહેનતુ લોકો માટે છે. તમે પ્રગતિ, સંખ્યાઓની સમગ્ર શ્રેણી લખી શકો છો અને તમારી આંગળી વડે સભ્યોની સંખ્યા ગણી શકો છો.) બીજી રીત વિચારશીલ લોકો માટે છે. તમારે nમી ટર્મ માટે ફોર્મ્યુલા યાદ રાખવાની જરૂર છે. જો આપણે આપણી સમસ્યા માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ, તો આપણને જણાય છે કે 99 એ પ્રગતિની ત્રીસમી મુદત છે. તે. n = 30.

ચાલો અંકગણિત પ્રગતિના સરવાળા માટે સૂત્ર જોઈએ:

અમે જોઈએ છીએ અને આનંદ કરીએ છીએ.) અમે રકમની ગણતરી કરવા માટે જરૂરી બધું જ સમસ્યા નિવેદનમાંથી બહાર કાઢ્યું છે:

a 1= 12.

એ 30= 99.

એસ એન = એસ 30.

જે બાકી છે તે પ્રાથમિક અંકગણિત છે. અમે સંખ્યાઓને સૂત્રમાં બદલીએ છીએ અને ગણતરી કરીએ છીએ:

જવાબ: 1665

લોકપ્રિય પઝલનો બીજો પ્રકાર:

4. અંકગણિત પ્રગતિ આપેલ:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

વીસમા થી ચોત્રીસ સુધીના શબ્દોનો સરવાળો શોધો.

અમે રકમ માટે સૂત્ર જોઈએ છીએ અને... અમે અસ્વસ્થ થઈ જઈએ છીએ.) સૂત્ર, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું, રકમની ગણતરી કરે છે પ્રથમ થીસભ્ય અને સમસ્યામાં તમારે સરવાળાની ગણતરી કરવાની જરૂર છે વીસમી થી...ફોર્મ્યુલા કામ કરશે નહીં.

તમે, અલબત્ત, શ્રેણીમાં સંપૂર્ણ પ્રગતિ લખી શકો છો અને 20 થી 34 સુધીના શબ્દો ઉમેરી શકો છો. પરંતુ... તે કોઈક રીતે મૂર્ખ છે અને ઘણો સમય લે છે, ખરું ને?)

ત્યાં એક વધુ ભવ્ય ઉકેલ છે. ચાલો આપણી શ્રેણીને બે ભાગમાં વહેંચીએ. પ્રથમ ભાગ હશે પ્રથમ ટર્મથી ઓગણીસમી સુધી.બીજો ભાગ - વીસ થી ચોત્રીસ સુધી.તે સ્પષ્ટ છે કે જો આપણે પ્રથમ ભાગની શરતોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ એસ 1-19, ચાલો તેને બીજા ભાગની શરતોના સરવાળા સાથે ઉમેરીએ એસ 20-34, આપણને પ્રથમ પદથી ચોત્રીસમા સુધીની પ્રગતિનો સરવાળો મળે છે એસ 1-34. આની જેમ:

એસ 1-19 + એસ 20-34 = એસ 1-34

આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સરવાળો શોધો એસ 20-34સરળ બાદબાકી દ્વારા કરી શકાય છે

એસ 20-34 = એસ 1-34 - એસ 1-19

જમણી બાજુની બંને રકમ ગણવામાં આવે છે પ્રથમ થીસભ્ય, એટલે કે પ્રમાણભૂત સરવાળો સૂત્ર તેમને તદ્દન લાગુ પડે છે. ચાલો, શરુ કરીએ?

અમે પ્રોબ્લેમ સ્ટેટમેન્ટમાંથી પ્રોગ્રેસન પેરામીટર્સ કાઢીએ છીએ:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

પ્રથમ 19 અને પ્રથમ 34 પદોના સરવાળાની ગણતરી કરવા માટે, અમને 19મી અને 34મી શરતોની જરૂર પડશે. અમે સમસ્યા 2 ની જેમ nth શબ્દ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેમની ગણતરી કરીએ છીએ:

એ 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

a 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

કંઈ બાકી નથી. 34 પદોના સરવાળામાંથી 19 પદોનો સરવાળો બાદ કરો:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

જવાબ: 262.5

એક મહત્વપૂર્ણ નોંધ! આ સમસ્યાને હલ કરવા માટે એક ખૂબ જ ઉપયોગી યુક્તિ છે. સીધી ગણતરીને બદલે તમને શું જોઈએ છે (S 20-34),અમે ગણ્યા કંઈક કે જેની જરૂર જણાતી નથી - S 1-19.અને પછી તેઓએ નક્કી કર્યું એસ 20-34, સંપૂર્ણ પરિણામમાંથી બિનજરૂરી કાઢી નાખવું. આ પ્રકારનું "તમારા કાન સાથે ધૂણવું" ઘણીવાર તમને દુષ્ટ સમસ્યાઓમાં બચાવે છે.)

આ પાઠમાં આપણે એવી સમસ્યાઓ પર ધ્યાન આપ્યું કે જેના માટે અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળાનો અર્થ સમજવા માટે તે પૂરતું છે. સારું, તમારે કેટલાક સૂત્રો જાણવાની જરૂર છે.)

વ્યવહારુ સલાહ:

અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા સાથે સંકળાયેલી કોઈપણ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે, હું તરત જ આ વિષયમાંથી બે મુખ્ય સૂત્રો લખવાની ભલામણ કરું છું.

nમી ટર્મ માટે ફોર્મ્યુલા:

આ સૂત્રો તમને તરત જ કહેશે કે સમસ્યાને ઉકેલવા માટે શું જોવું જોઈએ અને કઈ દિશામાં વિચારવું જોઈએ. મદદ કરે છે.

અને હવે સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કાર્યો.

5. ત્રણ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી તમામ બે-અંકની સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.

સરસ?) સમસ્યા 4ની નોંધમાં સંકેત છુપાયેલ છે. સારું, સમસ્યા 3 મદદ કરશે.

6. અંકગણિત પ્રગતિ શરત દ્વારા આપવામાં આવે છે: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. તેના પ્રથમ 24 પદોનો સરવાળો શોધો.

અસામાન્ય?) આ એક આવર્તક સૂત્ર છે. તમે તેના વિશે પાછલા પાઠમાં વાંચી શકો છો. લિંકને અવગણશો નહીં, આવી સમસ્યાઓ ઘણીવાર સ્ટેટ એકેડેમી ઓફ સાયન્સમાં જોવા મળે છે.

7. વાસ્યાએ રજા માટે પૈસા બચાવ્યા. 4550 રુબેલ્સ જેટલું! અને મેં મારી પ્રિય વ્યક્તિને (મારી જાતને) થોડા દિવસોની ખુશી આપવાનું નક્કી કર્યું). તમારી જાતને કંઈપણ નકાર્યા વિના સુંદર રીતે જીવો. પ્રથમ દિવસે 500 રુબેલ્સ ખર્ચો, અને દરેક અનુગામી દિવસે પાછલા એક કરતા 50 રુબેલ્સ વધુ ખર્ચો! જ્યાં સુધી પૈસા પૂરા ન થાય. વાસ્યાને કેટલા દિવસોની ખુશી હતી?

શું તે મુશ્કેલ છે?) કાર્ય 2 માંથી વધારાની ફોર્મ્યુલા મદદ કરશે.

જવાબો (અવ્યવસ્થિતમાં): 7, 3240, 6.

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

અંકગણિત પ્રગતિસંખ્યાઓના ક્રમને નામ આપો (પ્રગતિની શરતો)

જેમાં દરેક અનુગામી પદ નવા શબ્દ દ્વારા અગાઉના એક કરતા અલગ પડે છે, જેને પણ કહેવામાં આવે છે પગલું અથવા પ્રગતિ તફાવત.

આમ, પ્રગતિના પગલા અને તેની પ્રથમ મુદતનો ઉલ્લેખ કરીને, તમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તેના કોઈપણ ઘટકો શોધી શકો છો.

અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મો

1) અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજા નંબરથી શરૂ થતા, પ્રગતિના અગાઉના અને પછીના સભ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ છે.

વાતચીત પણ સાચી છે. જો પ્રગતિના સંલગ્ન વિષમ (સમ) પદોનો અંકગણિત સરેરાશ તેમની વચ્ચેના શબ્દ સમાન હોય, તો સંખ્યાઓનો આ ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે. આ નિવેદનનો ઉપયોગ કરીને, કોઈપણ ક્રમને તપાસવું ખૂબ જ સરળ છે.

ઉપરાંત, અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મ દ્વારા, ઉપરોક્ત સૂત્રને નીચેનામાં સામાન્ય બનાવી શકાય છે

જો તમે સમાન ચિહ્નની જમણી બાજુએ શરતો લખો છો તો આ ચકાસવું સરળ છે

સમસ્યાઓમાં ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે તેનો વ્યવહારમાં ઉપયોગ થાય છે.

2) અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ n પદોના સરવાળાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે.

અંકગણિતની પ્રગતિના સરવાળા માટેનું સૂત્ર સારી રીતે યાદ રાખો;

3) જો તમારે આખો સરવાળો નહીં, પરંતુ તેના kth પદથી શરૂ થતા ક્રમનો ભાગ શોધવાની જરૂર હોય, તો નીચેના સરવાળા સૂત્ર તમારા માટે ઉપયોગી થશે

4) વ્યાવહારિક રસ એ છે કે kth નંબરથી શરૂ થતા અંકગણિતની પ્રગતિના n શરતોનો સરવાળો શોધવો. આ કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ કરો

આ સૈદ્ધાંતિક સામગ્રીને સમાપ્ત કરે છે અને વ્યવહારમાં સામાન્ય સમસ્યાઓના નિરાકરણ તરફ આગળ વધે છે.

ઉદાહરણ 1. અંકગણિત પ્રગતિ 4;7;...નો ચાલીસમો શબ્દ શોધો

ઉકેલ:

અમારી પાસે જે શરત છે તે મુજબ

ચાલો પ્રગતિનું પગલું નક્કી કરીએ

જાણીતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે પ્રગતિનો ચાલીસમો શબ્દ શોધીએ છીએ

ઉદાહરણ 2. અંકગણિતની પ્રગતિ તેના ત્રીજા અને સાતમા પદો દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રગતિનું પ્રથમ પદ અને દસનો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિના આપેલ ઘટકોને લખીએ

અમે બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદબાકી કરીએ છીએ, પરિણામે આપણને પ્રગતિનું પગલું મળે છે

અમે અંકગણિતની પ્રગતિના પ્રથમ પદને શોધવા માટે કોઈપણ સમીકરણોમાં મળેલ મૂલ્યને બદલીએ છીએ

અમે પ્રગતિની પ્રથમ દસ શરતોના સરવાળાની ગણતરી કરીએ છીએ

જટિલ ગણતરીઓનો ઉપયોગ કર્યા વિના, અમને બધી જરૂરી માત્રા મળી.

ઉદાહરણ 3. અંકગણિતની પ્રગતિ છેદ અને તેના એક પદ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રગતિની પ્રથમ અવધિ, 50 થી શરૂ થતા તેના 50 પદોનો સરવાળો અને પ્રથમ 100 નો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:

ચાલો પ્રગતિના સોમા તત્વ માટે સૂત્ર લખીએ

અને પ્રથમ શોધો

પ્રથમના આધારે, અમે પ્રગતિની 50મી મુદત શોધીએ છીએ

પ્રગતિના ભાગનો સરવાળો શોધવો

અને પ્રથમ 100 નો સરવાળો

પ્રગતિ રકમ 250 છે.

ઉદાહરણ 4.

અંકગણિત પ્રગતિના શબ્દોની સંખ્યા શોધો જો:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

ઉકેલ:

ચાલો પ્રથમ પદ અને પ્રગતિના પગલાના સંદર્ભમાં સમીકરણો લખીએ અને તેમને નિર્ધારિત કરીએ

સરવાળામાં પદોની સંખ્યા નક્કી કરવા માટે અમે મેળવેલ મૂલ્યોને સરવાળા ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ છીએ

અમે સરળીકરણો હાથ ધરીએ છીએ

અને ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો

મળેલા બે મૂલ્યોમાંથી, માત્ર નંબર 8 સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓને બંધબેસે છે. આમ, પ્રગતિના પ્રથમ આઠ પદોનો સરવાળો 111 છે.

ઉદાહરણ 5.

સમીકરણ ઉકેલો

1+3+5+...x=307.

ઉકેલ: આ સમીકરણ એ અંકગણિતની પ્રગતિનો સરવાળો છે. ચાલો તેની પ્રથમ મુદત લખીએ અને પ્રગતિમાં તફાવત શોધીએ

સંખ્યા ક્રમની વિભાવના સૂચવે છે કે દરેક કુદરતી સંખ્યા અમુક વાસ્તવિક મૂલ્યને અનુરૂપ છે. સંખ્યાઓની આવી શ્રેણી કાં તો મનસ્વી હોઈ શકે છે અથવા ચોક્કસ ગુણધર્મો ધરાવે છે - એક પ્રગતિ. પછીના કિસ્સામાં, ક્રમના દરેક અનુગામી તત્વ (સદસ્ય) ની ગણતરી પાછલા એકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાત્મક મૂલ્યોનો ક્રમ છે જેમાં તેના પડોશી સભ્યો સમાન સંખ્યા દ્વારા એકબીજાથી ભિન્ન હોય છે (શ્રેણીના તમામ ઘટકો, 2જીથી શરૂ કરીને, સમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે). આ નંબર- અગાઉના અને અનુગામી શબ્દો વચ્ચેનો તફાવત સ્થિર છે અને તેને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે.

પ્રગતિ તફાવત: વ્યાખ્યા

j મૂલ્યો A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ N ના સમૂહ સાથે સંબંધ ધરાવતા ક્રમને ધ્યાનમાં લો. એક અંકગણિત પ્રગતિ, તેની વ્યાખ્યા મુજબ, એક ક્રમ છે, જેમાં a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = ડી. મૂલ્ય d એ આ પ્રગતિનો ઇચ્છિત તફાવત છે.

d = a(j) – a(j-1).

હાઇલાઇટ:

• વધતી જતી પ્રગતિ, જે કિસ્સામાં d > 0. ઉદાહરણ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• ઘટતી પ્રગતિ, પછી ડી< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

તફાવત પ્રગતિ અને તેના મનસ્વી તત્વો

જો પ્રગતિની 2 મનસ્વી શરતો જાણીતી હોય (i-th, k-th), તો આપેલ ક્રમ માટેનો તફાવત સંબંધના આધારે નક્કી કરી શકાય છે:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, જેનો અર્થ થાય છે d = (a(i) – a(k))/(i-k).

પ્રગતિ અને તેની પ્રથમ મુદતનો તફાવત

આ અભિવ્યક્તિ અજ્ઞાત મૂલ્ય નિર્ધારિત કરવામાં મદદ કરશે માત્ર એવા કિસ્સાઓમાં જ્યાં ક્રમ ઘટકની સંખ્યા જાણીતી હોય.

પ્રગતિ તફાવત અને તેનો સરવાળો

પ્રગતિનો સરવાળો એ તેની શરતોનો સરવાળો છે. તેના પ્રથમ j તત્વોના કુલ મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે, યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, પરંતુ ત્યારથી a(j) = a(1) + d(j – 1), પછી S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.