પ્રમેય સમાંતર રેખાઓ સમાન ભાગોને કાપી નાખે છે. થેલ્સનું પ્રમેય. ત્રિકોણની મધ્ય રેખા

પાઠ વિષય

પાઠ હેતુઓ

નવી વ્યાખ્યાઓથી પરિચિત થાઓ અને પહેલાથી અભ્યાસ કરેલ કેટલીક યાદ કરો.
ચોરસના ગુણધર્મો ઘડવો અને સાબિત કરો, તેના ગુણધર્મો સાબિત કરો.
સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં આકારના ગુણધર્મો લાગુ કરવાનું શીખો.
વિકાસશીલ - વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન, દ્રઢતા, દ્રઢતા, તાર્કિક વિચારસરણી, ગાણિતિક ભાષણ વિકસાવવા.
શૈક્ષણિક - પાઠ દ્વારા, એકબીજા પ્રત્યે સચેત વલણ કેળવવું, સાથીઓને સાંભળવાની ક્ષમતા, પરસ્પર સહાયતા, સ્વતંત્રતા કેળવવી.

પાઠ હેતુઓ

વિદ્યાર્થીઓની સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા તપાસો.

પાઠ ની યોજના

ઇતિહાસ સંદર્ભ.
ગણિતશાસ્ત્રી તરીકે થેલ્સ અને તેમના કાર્યો.
યાદ રાખવું સારું.

ઇતિહાસ સંદર્ભ

થેલ્સનો પ્રમેય હજુ પણ દરિયાઈ નેવિગેશનમાં એક નિયમ તરીકે ઉપયોગમાં લેવાય છે કે જેમાંથી જહાજોની અથડામણ સતત ગતિ, અનિવાર્ય છે જો એકબીજા તરફ જહાજોનો માર્ગ જાળવવામાં આવે.

રશિયન-ભાષાના સાહિત્યની બહાર, થેલ્સ પ્રમેયને કેટલીકવાર પ્લાનિમેટ્રીનું બીજું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે, એટલે કે, વર્તુળના વ્યાસ પર આધારિત અંકિત કોણ યોગ્ય છે તેવું નિવેદન. પ્રોક્લસ દ્વારા પુરાવા મુજબ આ પ્રમેયની શોધ ખરેખર થેલ્સને આભારી છે.

થેલ્સે ઇજિપ્તમાં ભૂમિતિની મૂળભૂત બાબતો સમજ્યા.

તેના લેખકની શોધ અને ગુણો

શું તમે જાણો છો કે થેલ્સ ઓફ મિલેટસ તે સમયે ગ્રીસના સાત સૌથી પ્રખ્યાત ઋષિઓમાંના એક હતા. તેણે આયોનિયન શાળાની સ્થાપના કરી. થેલ્સે આ શાળામાં જે વિચારને પ્રોત્સાહન આપ્યું હતું તે બધી વસ્તુઓની એકતા હતી. ઋષિ માનતા હતા કે એક જ સ્ત્રોત છે જેમાંથી બધી વસ્તુઓની ઉત્પત્તિ થાય છે.

થેલ્સ ઓફ મિલેટસની મહાન યોગ્યતા એ વૈજ્ઞાનિક ભૂમિતિની રચના છે. આ મહાન શિક્ષણ ઇજિપ્તની માપનની કળામાંથી અનુમાણિક ભૂમિતિ બનાવવામાં સક્ષમ હતું, જેનો આધાર સામાન્ય જમીન છે.

ભૂમિતિના તેમના વિશાળ જ્ઞાન ઉપરાંત, થેલ્સ ખગોળશાસ્ત્રમાં પણ વાકેફ હતા. સૂર્યના સંપૂર્ણ ગ્રહણની આગાહી કરનાર સૌ પ્રથમ ઈએમ હતા. પરંતુ આમાં આવું ન થયું આધુનિક વિશ્વ, અને પાછા 585 માં, આપણા યુગ પહેલા પણ.

થેલ્સ ઓફ મિલેટસ એ એવા માણસ હતા જેમને સમજાયું કે ઉત્તર નક્ષત્ર ઉર્સા માઇનોર દ્વારા ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકાય છે. પરંતુ તે તે પણ ન હતો. નવીનતમ શોધ, કારણ કે તે વર્ષની લંબાઈને સચોટ રીતે નક્કી કરવામાં સક્ષમ હતો, તેને ત્રણસો અને સાઠ પાંચ દિવસમાં તોડી નાખ્યો અને સમપ્રકાશીયનો સમય પણ સેટ કર્યો.

થેલ્સ હકીકતમાં વ્યાપક રીતે વિકસિત અને શાણો માણસ. એક ઉત્તમ ગણિતશાસ્ત્રી, ભૌતિકશાસ્ત્રી અને ખગોળશાસ્ત્રી તરીકે પ્રખ્યાત હોવા ઉપરાંત, તેઓ વાસ્તવિક હવામાનશાસ્ત્રી તરીકે પણ હતા, જે ઓલિવની લણણીની ચોક્કસ આગાહી કરવામાં સક્ષમ હતા.

પરંતુ સૌથી નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે થેલ્સે ક્યારેય તેમના જ્ઞાનને માત્ર વૈજ્ઞાનિક અને સૈદ્ધાંતિક ક્ષેત્ર સુધી મર્યાદિત રાખ્યું નથી, પરંતુ હંમેશા તેમના સિદ્ધાંતોના પુરાવાઓને વ્યવહારમાં એકીકૃત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. અને સૌથી રસપ્રદ વાત એ છે કે મહાન ઋષિએ તેમના જ્ઞાનના કોઈપણ એક ક્ષેત્ર પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું ન હતું, તેમની રુચિની દિશા જુદી જુદી હતી.

થેલ્સનું નામ તે સમયે પણ ઋષિ માટે ઘરગથ્થુ નામ બની ગયું હતું. ગ્રીસ માટે તેમનું મહત્વ અને મહત્વ રશિયા માટે લોમોનોસોવના નામ જેટલું જ હતું. અલબત્ત, તેના ડહાપણને જુદી જુદી રીતે અર્થઘટન કરી શકાય છે. પરંતુ આપણે ચોક્કસપણે કહી શકીએ કે તે ચાતુર્ય, અને વ્યવહારુ ચાતુર્ય અને અમુક અંશે ટુકડી બંને દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

થેલ્સ ઓફ મિલેટસ એક ઉત્તમ ગણિતશાસ્ત્રી, ફિલસૂફ, ખગોળશાસ્ત્રી હતા, મુસાફરી કરવાનું પસંદ કરતા હતા, એક વેપારી અને ઉદ્યોગસાહસિક હતા, વેપારમાં રોકાયેલા હતા અને એક સારા ઈજનેર, રાજદ્વારી, દ્રષ્ટા હતા અને રાજકીય જીવનમાં સક્રિયપણે ભાગ લીધો હતો.

તેણે સ્ટાફ અને પડછાયાની મદદથી પિરામિડની ઊંચાઈ પણ નક્કી કરી. અને તે એવું હતું. એક સુંદર સન્ની દિવસ, થેલેસે તેનો સ્ટાફ સરહદ પર મૂક્યો જ્યાં પિરામિડનો પડછાયો સમાપ્ત થયો. પછી તેણે તેના સ્ટાફના પડછાયાની લંબાઈ તેની ઊંચાઈની બરાબર ન થાય ત્યાં સુધી રાહ જોઈ અને પિરામિડના પડછાયાની લંબાઈ માપી. તેથી, એવું લાગે છે કે થેલ્સે ફક્ત પિરામિડની ઊંચાઈ નક્કી કરી અને સાબિત કર્યું કે એક પડછાયાની લંબાઈ અન્ય પડછાયાની લંબાઈ સાથે સંબંધિત છે, જેમ પિરામિડની ઊંચાઈ સ્ટાફની ઊંચાઈ સાથે સંબંધિત છે. આનાથી ફારુન અમાસીસ પોતે ત્રાટકી.

થેલ્સનો આભાર, તે સમયે જાણીતા તમામ જ્ઞાનને વૈજ્ઞાનિક રસના ક્ષેત્રમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યા હતા. તે પરિણામોને વૈજ્ઞાનિક વપરાશ માટે યોગ્ય સ્તરે લાવવામાં સક્ષમ હતા, ચોક્કસ ખ્યાલોના સમૂહને પ્રકાશિત કરીને. અને કદાચ થેલ્સની મદદથી, પ્રાચીન ફિલસૂફીનો અનુગામી વિકાસ શરૂ થયો.

થેલ્સનું પ્રમેય એક ભજવે છે મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકાઓગણિતમાં. તેણી માત્ર માં જ જાણીતી હતી પ્રાચીન ઇજીપ્ટઅને બેબીલોન, પણ અન્ય દેશોમાં અને ગણિતના વિકાસ માટેનો આધાર હતો. હા અને માં રોજિંદુ જીવન, ઇમારતો, માળખાં, રસ્તાઓ, વગેરેના નિર્માણ દરમિયાન, વ્યક્તિ થેલ્સ પ્રમેય વિના કરી શકતો નથી.

સંસ્કૃતિમાં થેલ્સનું પ્રમેય

થેલ્સનું પ્રમેય માત્ર ગણિતમાં જ નહીં, પણ સંસ્કૃતિમાં પણ પ્રસિદ્ધ થયું. એકવાર, આર્જેન્ટિનાના મ્યુઝિકલ જૂથ લેસ લુથિયર્સ (સ્પેનિશ) એ પ્રેક્ષકોને એક ગીત રજૂ કર્યું, જે તેઓએ એક જાણીતા પ્રમેયને સમર્પિત કર્યું. લેસ લુથિયર્સના સભ્યોએ ખાસ કરીને આ ગીત માટે તેમની વિડિયો ક્લિપમાં પ્રમાણસર વિભાગો માટે સીધા પ્રમેયનો પુરાવો આપ્યો.

પ્રશ્નો

કઈ રેખાઓને સમાંતર કહેવામાં આવે છે?
થેલ્સ પ્રમેય વ્યવહારમાં ક્યાં લાગુ પડે છે?
થેલ્સ પ્રમેય શું છે?

વપરાયેલ સ્ત્રોતોની યાદી

બાળકો માટે જ્ઞાનકોશ. T.11. ગણિત / એડિટર-ઇન-ચીફ એમ.ડી. અક્સેનોવા.-એમ.: અવંતા +, 2001.
"યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા 2006. ગણિત. વિદ્યાર્થીઓની તૈયારી માટે શૈક્ષણિક અને તાલીમ સામગ્રી / રોસોબ્રનાડઝોર, આઇએસઓપી - એમ.: ઇન્ટેલેક્ટ-સેન્ટર, 2006 "
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "ભૂમિતિ, 7 - 9: શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક"

વિષયો > ગણિત > ગણિત ગ્રેડ 8

પ્રમેયમાં સેકન્ટ્સની પરસ્પર ગોઠવણી પર કોઈ નિયંત્રણો નથી (તે છેદતી રેખાઓ અને સમાંતર બંને માટે સાચું છે). તે પણ વાંધો નથી જ્યાં રેખા વિભાગો સેકન્ટ્સ પર છે.

સમાંતર રેખાઓના કિસ્સામાં પુરાવો

ચાલો BC રેખા દોરીએ. ખૂણા ABC અને BCD એ સમાંતર રેખાઓ AB અને CD અને સેકન્ટ BC હેઠળ આવેલા આંતરિક ક્રોસ જેવા સમાન છે, અને ખૂણા ACB અને CBD એ સમાંતર રેખાઓ AC અને BD અને સેકન્ટ BC હેઠળ આવેલા આંતરિક ક્રોસ જેવા સમાન છે. પછી, ત્રિકોણની સમાનતા માટેના બીજા માપદંડ મુજબ, ત્રિકોણ ABC અને DCB એકરૂપ છે. આ સૂચવે છે કે AC = BD અને AB = CD. ■

પણ અસ્તિત્વ ધરાવે છે પ્રમાણસર સેગમેન્ટ પ્રમેય:

સમાંતર રેખાઓ સેકન્ટ્સ પર પ્રમાણસર ભાગોને કાપે છે:

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

થેલ્સ પ્રમેય એ પ્રમાણસર સેગમેન્ટ પ્રમેયનો એક ખાસ કેસ છે, કારણ કે સમાન સેગમેન્ટ્સને 1 ની સમાન પ્રમાણસરતા ગુણાંક સાથે પ્રમાણસર સેગમેન્ટ ગણી શકાય.

વ્યસ્ત પ્રમેય

જો થેલ્સ પ્રમેયમાં સમાન વિભાગો શિરોબિંદુથી શરૂ થાય છે (આ ફોર્મ્યુલેશન ઘણીવાર શાળા સાહિત્યમાં વપરાય છે), તો કન્વર્ઝ પ્રમેય પણ સાચું બહાર આવશે. સેકન્ટ્સને છેદવા માટે, તે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે:

આમ (ફિગ જુઓ.) એ હકીકત પરથી $\frac(CB_1)(CA_1)=\frac(B_1B_2)(A_1A_2)=\ldots = (\rm આઈડીએમ)$ તે સીધી કે અનુસરે છે $A_1B_1||A_2B_2||\ldots$ .

જો સેકન્ટ્સ સમાંતર હોય, તો પછી બંને સેકન્ટ્સ પરના સેગમેન્ટ્સની સમાનતા જરૂરી છે, અન્યથા આ વિધાન ખોટું થઈ જાય છે (કાઉન્ટર ઉદાહરણ એ પાયાના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા દ્વારા છેદાયેલ ટ્રેપેઝોઈડ છે).

ભિન્નતા અને સામાન્યીકરણ

નીચેનું નિવેદન સોલેર્ટિન્સકીના લેમ્મા માટે દ્વિ છે:

થેલ્સનો પ્રમેય આજે પણ દરિયાઈ નેવિગેશનમાં નિયમ તરીકે ઉપયોગમાં લેવાય છે કે જો જહાજો એકબીજા તરફ આગળ વધતા રહે તો સતત ગતિએ આગળ વધતા જહાજો વચ્ચે અથડામણ અનિવાર્ય છે.
રશિયન-ભાષાના સાહિત્યની બહાર, થેલ્સ પ્રમેયને કેટલીકવાર પ્લાનિમેટ્રીનું બીજું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે, એટલે કે, વર્તુળના વ્યાસ પર આધારિત એક અંકિત કોણ યોગ્ય છે તેવું નિવેદન. પ્રોક્લસ દ્વારા પુરાવા મુજબ આ પ્રમેયની શોધ ખરેખર થેલ્સને આભારી છે.

લેખ "થેલ્સનું પ્રમેય" પર સમીક્ષા લખો

સાહિત્ય

અતાનાસ્યાન એલ.એસ. અને અન્ય.ભૂમિતિ 7-9. - એડ. 3જી. - એમ.: બોધ, 1992.

નોંધો

આ પણ જુઓ

વર્તુળના વ્યાસ પર આધારિત કોણ પર થેલ્સનું પ્રમેય

થેલ્સ પ્રમેયને દર્શાવતો એક અવતરણ

"મને કંઈ લાગતું નથી, હું તેને સમજી શકતો નથી ...
- રાહ જુઓ, સોન્યા, તમે બધું સમજી શકશો. જુઓ કે તે કેવો વ્યક્તિ છે. મારા કે તેના વિશે ખરાબ વિચારશો નહીં.
"હું કોઈના વિશે ખરાબ વિચારતો નથી: હું દરેકને પ્રેમ કરું છું અને દરેક માટે દિલગીર છું. પણ મારે શું કરવું?
સોન્યાએ નતાશાને જે નમ્ર સ્વરમાં સંબોધન કર્યું તે છોડી દીધું નહીં. નતાશાની અભિવ્યક્તિ જેટલી નરમ અને વધુ શોધતી હતી, સોન્યાનો ચહેરો વધુ ગંભીર અને કડક હતો.
"નતાશા," તેણીએ કહ્યું, "તમે મને તમારી સાથે વાત ન કરવા કહ્યું, મેં નથી કર્યું, હવે તમે જાતે જ શરૂ કર્યું. નતાશા, હું તેના પર વિશ્વાસ કરતો નથી. શા માટે આ રહસ્ય?
- ફરીથી, ફરીથી! નતાશાએ વિક્ષેપ પાડ્યો.
- નતાશા, હું તમારા માટે ભયભીત છું.
- શું ડરવું?
"મને ડર છે કે તમે તમારી જાતને બરબાદ કરી દેશો," સોન્યાએ નિર્ણાયક રીતે કહ્યું, તેણીએ જે કહ્યું તેનાથી ડરી ગઈ.
નતાશાના ચહેરા પર ફરી ગુસ્સો પ્રગટ થયો.
“અને હું નાશ કરીશ, હું નાશ કરીશ, હું શક્ય તેટલી વહેલી તકે મારી જાતને નષ્ટ કરીશ. તમારો કોઈ વ્યવસાય નથી. તમારા માટે નહીં, પરંતુ મારા માટે તે ખરાબ હશે. છોડો, મને છોડી દો. હું તને નફરત કરુ છુ.
- નતાશા! સોન્યાએ ડરીને બૂમ પાડી.
- હું તેને ધિક્કારું છું, હું તેને ધિક્કારું છું! અને તમે મારા કાયમ માટે દુશ્મન છો!
નતાશા રૂમની બહાર દોડી ગઈ.
નતાશાએ હવે સોન્યા સાથે વાત કરી નહીં અને તેને ટાળી દીધી. ઉશ્કેરાયેલા આશ્ચર્ય અને ગુનાખોરીની સમાન અભિવ્યક્તિ સાથે, તેણીએ ઓરડાઓ તરફ ગતિ કરી, પહેલા આ અને પછી બીજો વ્યવસાય લીધો અને તરત જ તેને છોડી દીધો.
સોન્યા માટે ભલે ગમે તેટલું મુશ્કેલ હોય, તેણીએ તેની નજર તેના મિત્ર પર રાખી.
તે દિવસની પૂર્વસંધ્યાએ કે જે દિવસે ગણતરી પાછી આવવાની હતી, સોન્યાએ જોયું કે નતાશા આખી સવાર લિવિંગ રૂમની બારી પાસે બેઠી હતી, જાણે કે કંઈકની રાહ જોઈ રહી હતી અને તેણે પસાર થઈ રહેલા લશ્કરી માણસને કોઈ પ્રકારનો સંકેત આપ્યો હતો, જેને સોન્યાએ એનાટોલે માટે ભૂલ કરી હતી.
સોન્યાએ તેના મિત્રને વધુ ધ્યાનપૂર્વક અવલોકન કરવાનું શરૂ કર્યું અને નોંધ્યું કે રાત્રિભોજન અને સાંજના તમામ સમયે નતાશા વિચિત્ર અને અકુદરતી સ્થિતિમાં હતી (તેણે તેને પૂછેલા પ્રશ્નોના અયોગ્ય જવાબો આપ્યા, શરૂ કર્યું અને શબ્દસમૂહો પૂરા કર્યા નહીં, દરેક વસ્તુ પર હસ્યા).
ચા પછી, સોન્યાએ નતાશાના દરવાજે એક ડરપોક દાસી તેની રાહ જોતી જોઈ. તેણીએ તેમાંથી પસાર થવા દીધું, અને, દરવાજા પર સાંભળીને, જાણ્યું કે પત્ર ફરીથી સોંપવામાં આવ્યો છે. અને અચાનક સોન્યાને તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે નતાશાની આ સાંજ માટે કોઈ પ્રકારની ભયંકર યોજના છે. સોન્યાએ તેનો દરવાજો ખખડાવ્યો. નતાશાએ તેને અંદર આવવા ન દીધી.
"તે તેની સાથે ભાગી જશે! સોન્યાએ વિચાર્યું. તેણી કંઈપણ માટે સક્ષમ છે. આજે તેના ચહેરા પર કંઈક ખાસ કરીને દયનીય અને નિશ્ચય હતો. તેણીના કાકાને વિદાય આપતાં તેણી રડી પડી, સોન્યાએ યાદ કર્યું. હા, તે સાચું છે, તેણી તેની સાથે દોડે છે - પણ મારે શું કરવું જોઈએ? સોન્યાએ વિચાર્યું, હવે તે ચિહ્નો યાદ કરે છે જે સ્પષ્ટપણે સાબિત કરે છે કે શા માટે નતાશાનો કોઈ પ્રકારનો ભયંકર હેતુ હતો. "કોઈ ગણતરી નથી. મારે શું કરવું જોઈએ, કુરાગિનને પત્ર લખીને તેની પાસેથી સમજૂતીની માંગણી કરવી જોઈએ? પણ તેને જવાબ આપવાનું કોણ કહે? પિયરને લખો, જેમ કે પ્રિન્સ આન્દ્રેએ અકસ્માતના કિસ્સામાં પૂછ્યું હતું? ... પરંતુ કદાચ, હકીકતમાં, તેણીએ પહેલાથી જ બોલ્કોન્સકીને ના પાડી દીધી હતી (તેણે ગઈકાલે પ્રિન્સેસ મેરિયાને પત્ર મોકલ્યો હતો). ત્યાં કોઈ કાકા નથી!" નતાશામાં ખૂબ વિશ્વાસ કરતી મરિયા દિમિત્રીવનાને કહેવું સોન્યાને ભયંકર લાગ્યું. પરંતુ એક અથવા બીજી રીતે, સોન્યાએ અંધારાવાળી કોરિડોરમાં ઉભા રહીને વિચાર્યું: હવે અથવા ક્યારેય સાબિત કરવાનો સમય નથી આવ્યો કે હું તેમના પરિવારના સારા કાર્યોને યાદ કરું છું અને નિકોલસને પ્રેમ કરું છું. ના, હું ઓછામાં ઓછી ત્રણ રાત સૂઈશ નહીં, પરંતુ હું આ કોરિડોર છોડીશ નહીં અને તેને બળજબરીથી અંદર જવા દઈશ નહીં, અને તેમના પરિવાર પર શરમ આવવા નહીં દઉં," તેણીએ વિચાર્યું.

એનાટોલે તાજેતરના સમયમાંડોલોખોવમાં સ્થળાંતર કર્યું. રોસ્ટોવાના અપહરણ માટેની યોજના ડોલોખોવ દ્વારા ઘણા દિવસોથી પહેલેથી જ વિચારવામાં આવી હતી અને તૈયાર કરવામાં આવી હતી, અને જે દિવસે સોન્યાએ નતાશાને દરવાજા પર સાંભળી હતી, તેણીને બચાવવાનું નક્કી કર્યું હતું, આ યોજના હાથ ધરવાની હતી. નતાશાએ સાંજે દસ વાગ્યે પાછળના મંડપ પર કુરાગિન જવાનું વચન આપ્યું. કુરાગિન તેને તૈયાર કરેલા ટ્રોઇકામાં મૂકવાની હતી અને તેને મોસ્કોથી 60 માઇલ દૂર કામેન્કા ગામમાં લઈ જવાની હતી, જ્યાં એક સુવ્યવસ્થિત પાદરી તૈયાર કરવામાં આવ્યો હતો, જે તેમની સાથે લગ્ન કરવાનો હતો. કામેન્કામાં, એક સેટ-અપ તૈયાર હતો, જે તેમને વર્ષાવસ્કાયા રોડ પર લઈ જવાનો હતો, અને ત્યાં તેઓ ટપાલ પર વિદેશ જવાના હતા.
એનાટોલે પાસે પાસપોર્ટ હતો, અને પ્રવાસીનો, અને તેની બહેન પાસેથી દસ હજાર પૈસા લેવામાં આવ્યા હતા, અને દસ હજાર ડોલોખોવ દ્વારા ઉધાર લીધા હતા.
બે સાક્ષીઓ - ખ્વોસ્ટીકોવ, ભૂતપૂર્વ કારકુન, જેનો ડોલોખોવ અને મકરિન રમવા માટે ઉપયોગ કરતા હતા, એક નિવૃત્ત હુસાર, સારા સ્વભાવના અને નબળા વ્યક્તિ, જેને કુરાગિન માટે અમર્યાદ પ્રેમ હતો - ચા માટે પહેલા રૂમમાં બેઠો.
ડોલોખોવની વિશાળ ઑફિસમાં, પર્શિયન કાર્પેટ, રીંછની ચામડી અને શસ્ત્રોથી દિવાલથી છત સુધી સુશોભિત, ડોલોખોવ એક ખુલ્લા બ્યુરોની સામે મુસાફરી કરતી બેશમેટ અને બૂટમાં બેઠો હતો, જેના પર પૈસાના બિલ અને વાડ મૂક્યા હતા. એનાટોલે, તેના બટન વગરના યુનિફોર્મમાં, સાક્ષીઓ બેઠા હતા તે રૂમમાંથી, અભ્યાસ દ્વારા પાછળના રૂમમાં ગયો, જ્યાં તેનો ફ્રેન્ચ ફૂટમેન અને અન્ય લોકો છેલ્લી વસ્તુઓ પેક કરી રહ્યા હતા. ડોલોખોવે પૈસાની ગણતરી કરી અને તે લખી નાખ્યું.
“સારું,” તેણે કહ્યું, “ખ્વોસ્તિકોવને બે હજાર આપવા જોઈએ.
- સારું, મને દો, - એનાટોલે કહ્યું.
- મકરકા (તેને તેઓ મકરીના કહે છે), આ તમારા માટે અગ્નિ અને પાણીમાં રસ નથી. સારું, સ્કોર્સ પૂરા થઈ ગયા છે, - ડોલોખોવે તેને એક નોંધ બતાવતા કહ્યું. - તો?
"હા, અલબત્ત, એવું જ છે," એનાટોલે કહ્યું, દેખીતી રીતે ડોલોખોવની વાત સાંભળી ન હતી અને એક સ્મિત સાથે જેણે તેનો ચહેરો છોડ્યો ન હતો, તેની સામે જોયું.

શબ્દો
પુરાવો;

પ્રમાણસર વિભાગો પર પ્રમેય;
સેવાના પ્રમેય;

શબ્દો
પુરાવો;

મેનેલોસનું પ્રમેય;

શબ્દો
પુરાવો;

કાર્યો અને તેમના ઉકેલો;
નિષ્કર્ષ;
વપરાયેલ સ્ત્રોતો અને સાહિત્યની યાદી.

પરિચય.

બધી નાની વસ્તુઓ જરૂરી છે

નોંધપાત્ર બનવા માટે ...

I. સેવેરયાનિન
આ અમૂર્ત પ્રમેયના પુરાવા અને સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવા માટે સમાંતર રેખાઓની પદ્ધતિના ઉપયોગને સમર્પિત છે. શા માટે આપણે આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ? તેમાં શૈક્ષણીક વર્ષગણિતમાં શાળા ઓલિમ્પિયાડમાં, ભૌમિતિક સમસ્યા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી, જે અમને ખૂબ જ મુશ્કેલ લાગતી હતી. તે આ કાર્ય હતું જેણે સેગમેન્ટ્સની લંબાઈના ગુણોત્તરને શોધવામાં સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં સમાંતર રેખાઓની પદ્ધતિના અભ્યાસ અને વિકાસ પર કામની શરૂઆતને પ્રોત્સાહન આપ્યું હતું.

પદ્ધતિનો વિચાર સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેયના ઉપયોગ પર આધારિત છે. થેલ્સ પ્રમેયનો અભ્યાસ આઠમા ધોરણમાં કરવામાં આવે છે, તેનું સામાન્યીકરણ અને વિષય "આકૃતિઓની સમાનતાઓ" નવમા ધોરણમાં અને માત્ર દસમા ધોરણમાં, પ્રારંભિક યોજનામાં, સીવા અને મેનેલોસના બે મહત્વપૂર્ણ પ્રમેયનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જેની મદદથી જે સેગમેન્ટની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધવા માટે સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓ પ્રમાણમાં સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. તેથી, મૂળભૂત શિક્ષણના સ્તરે, આપણે તદ્દન નક્કી કરી શકીએ છીએ સાંકડી વર્તુળઆ અભ્યાસ સામગ્રી માટે સોંપણીઓ. જો કે મુખ્ય શાળાના અભ્યાસક્રમ માટે અને ગણિતના USE ખાતે અંતિમ પ્રમાણપત્ર પર, પરીક્ષાના બીજા ભાગમાં આ વિષય પરના કાર્યો (થેલ્સનો પ્રમેય. ત્રિકોણની સમાનતા, સમાનતા ગુણાંક. ત્રિકોણની સમાનતાના ચિહ્નો) ઓફર કરવામાં આવે છે. કાગળ અને ઉચ્ચ સ્તરની જટિલતા છે.

અમૂર્ત પર કામ કરવાની પ્રક્રિયામાં, આ વિષય પર અમારા જ્ઞાનને વધુ ઊંડું કરવાનું શક્ય બન્યું. ત્રિકોણમાં પ્રમાણસર વિભાગો પરના પ્રમેયનો પુરાવો (પ્રમેય શાળાના અભ્યાસક્રમમાં શામેલ નથી) સમાંતર રેખાઓની પદ્ધતિ પર આધારિત છે. બદલામાં, આ પ્રમેયએ અમને Ceva અને Menelaus ના પ્રમેયને સાબિત કરવાની બીજી રીત પ્રસ્તાવિત કરવાની મંજૂરી આપી. અને પરિણામે, અમે સેગમેન્ટની લંબાઈની સરખામણી કરવા માટે સમસ્યાઓની વિશાળ શ્રેણીને કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખી શક્યા. આ આપણા કાર્યની સુસંગતતા છે.

સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય.

રચના:

આપેલ બે રેખાઓને છેદતી સમાંતર રેખાઓ આ રેખાઓ પર પ્રમાણસર ભાગોને કાપે છે.
આપેલ:

સીધું aસમાંતર રેખાઓ દ્વારા કાપો ( પરંતુ 1 એટી 1 , પરંતુ 2 એટી 2 , પરંતુ 3 એટી 3 ,…, પરંતુ n બી n) વિભાગોમાં પરંતુ 1 પરંતુ 2 , પરંતુ 2 પરંતુ 3 , …, એ n -1 એ n, અને સીધી રેખા b- વિભાગોમાં એટી 1 એટી 2 , એટી 2 એટી 3 , …, એટી n -1 એટી n .

સાબિત કરો:

પુરાવો:

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તે સાબિત કરીએ

બે કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લો:

1 કેસ (ફિગ. b)

પ્રત્યક્ષ aઅને bસમાંતર છે. પછી ચતુર્ભુજ

પરંતુ 1 પરંતુ 2 એટી 2 એટી 1 અને પરંતુ 2 પરંતુ 3 એટી 3 એટી 2 - સમાંતરગ્રામ. એટલા માટે

પરંતુ 1 પરંતુ 2 =એટી 1 એટી 2 અને પરંતુ 2 પરંતુ 3 =એટી 2 એટી 3 , જ્યાંથી તે તેને અનુસરે છે

2 કેસ (ફિગ. c)

રેખાઓ a અને b સમાંતર નથી. ડોટ દ્વારા પરંતુ 1 ચાલો એક સીધી રેખા દોરીએ સાથે, રેખાની સમાંતર b. તેણી રેખાઓ પાર કરશે પરંતુ 2 એટી 2 અને પરંતુ 3 એટી 3 અમુક બિંદુઓ પર થી 2 અને થી 3 . ત્રિકોણ પરંતુ 1 પરંતુ 2 થી 2 અને પરંતુ 1 પરંતુ 3 થી 3 બે ખૂણામાં સમાન છે (કોણ પરંતુ 1 - સામાન્ય, ખૂણા પરંતુ 1 પરંતુ 2 થી 2 અને પરંતુ 1 પરંતુ 3 થી 3 સમાંતર રેખાઓ હેઠળ અનુરૂપ સમાન પરંતુ 2 એટી 2 અને પરંતુ 3 એટી 3 સેકન્ટ પરંતુ 2 પરંતુ 3 ), એટલા માટે

અથવા પ્રમાણની મિલકત અનુસાર

બીજી બાજુ, પ્રથમ કેસમાં જે સાબિત થયું હતું તેના દ્વારા, અમારી પાસે છે પરંતુ 1 થી 2 =એટી 1 એટી 2 , થી 2 થી 3 =એટી 2 એટી 3 . પ્રમાણમાં બદલવું (1) પરંતુ 1 થી 2 પર એટી 1 એટી 2 અને થી 2 થી 3 પર એટી 2 એટી 3 , અમે સમાનતા પર પહોંચીએ છીએ

Q.E.D.
ત્રિકોણમાં પ્રમાણસર વિભાગો પર પ્રમેય.

બાજુઓ પર એસીઅને સૂર્યત્રિકોણ ABCપોઈન્ટ ચિહ્નિત થયેલ છે પ્રતિઅને એમતેથી AC:CS=m: n, બી.એમ: એમસી= પી: q. સેગમેન્ટ્સ એએમઅને વી.સીએક બિંદુ પર છેદે ઓ(ફિગ. 124બી).

સાબિત કરો:

પુરાવો:
ડોટ દ્વારા એમચાલો એક સીધી રેખા દોરીએ એમડી(ફિગ. 124a), સમાંતર વી.સી. તેણી બાજુ પાર કરે છે એસીબિંદુ પર ડી, અને થેલ્સ પ્રમેયના સામાન્યીકરણ અનુસાર

દો AK=mx. પછી, સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર KS=nx, અને ત્યારથી કેડી: ડીસી= પી: q, પછી ફરીથી આપણે થેલ્સ પ્રમેયના સામાન્યીકરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

તેવી જ રીતે, તે સાબિત થાય છે .

સેવાના પ્રમેય.
પ્રમેયનું નામ ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી જીઓવાન્ની સેવાના નામ પરથી રાખવામાં આવ્યું છે, જેમણે તેને 1678 માં સાબિત કર્યું હતું.

રચના:

જો બાજુઓ પર AB, BC અને CA ત્રિકોણ ABC બિંદુઓ C અનુક્રમે લેવામાં આવે છે 1 , પરંતુ 1 અને બી 1 , પછી સેગમેન્ટ્સ AA 1 , બી.બી 1 અને એસ.એસ 1 એક બિંદુ પર છેદે જો અને માત્ર જો

આપેલ:

ત્રિકોણ ABCઅને તેની બાજુઓ પર એબી, સૂર્યઅને એસીપોઈન્ટ ચિહ્નિત થયેલ છે થી 1 ,પરંતુ 1 અને એટી 1 .

સાબિત કરો:

2.કટ્સ એ એ 1 , બીબી 1 અને એસ.એસ 1 એક બિંદુ પર છેદે.

પુરાવો:
1. સેગમેન્ટ્સ દો એએ 1 , બીબી 1 અને એસ.એસ 1 એક બિંદુ પર છેદે ઓ. ચાલો સાબિત કરીએ કે સમાનતા (3) ધરાવે છે. ત્રિકોણ 1 માં પ્રમાણસર વિભાગો પરના પ્રમેય મુજબ આપણી પાસે છે:

આ સમાનતાઓના ડાબા ભાગો સમાન છે, તેથી જમણા ભાગો પણ સમાન છે. તેમની સમાનતા, અમને મળે છે

બંને ભાગોમાં વિભાજન જમણી બાજુ, અમે સમાનતા પર પહોંચીએ છીએ (3).

2. ચાલો વાતચીતના નિવેદનને સાબિત કરીએ. પોઈન્ટ દો થી 1 ,પરંતુ 1 અને એટી 1 બાજુઓ પર લેવામાં આવે છે એબી, સૂર્યઅને એસ.એજેથી સમાનતા (3) જળવાઈ રહે. ચાલો સાબિત કરીએ કે સેગમેન્ટ્સ એએ 1 , બીબી 1 અને એસ.એસ 1 એક બિંદુ પર છેદે. પત્ર દ્વારા સૂચવો ઓવિભાગોના આંતરછેદનું બિંદુ એ એ 1 અને બીબી 1 અને સીધી રેખા દોરો SO. તેણી બાજુ પાર કરે છે એબીઅમુક સમયે, જેને આપણે સૂચવીએ છીએ થી 2 . સેગમેન્ટ્સ થી એએ 1 , બીબી 1 અને એસ.એસ 1 એક બિંદુએ છેદે છે, પછી પ્રથમ ફકરામાં જે સાબિત થયું હતું તેના દ્વારા

આમ, સમાનતા (3) અને (4) ધરાવે છે.

તેમની સરખામણી કરતા, અમે સમાનતા = પર પહોંચીએ છીએ, જે દર્શાવે છે કે બિંદુઓ સી 1 અને સી 2 એક બાજુ શેર કરો એબી સી 1 અને સી 2 એકરુપ, અને તેથી સેગમેન્ટ્સ એએ 1 , બીબી 1 અને એસ.એસ 1 એક બિંદુ પર છેદે ઓ.

Q.E.D.
મેનેલોસનું પ્રમેય.

રચના:

જો AB અને BC બાજુઓ પર અને બાજુ AC નું વિસ્તરણ (અથવા AB, BC અને AC બાજુઓના વિસ્તરણ પર) પોઈન્ટ C અનુક્રમે લેવામાં આવે 1 , પરંતુ 1 , એટી 1 , તો પછી આ બિંદુઓ એ જ રેખા પર આવેલા છે જો અને માત્ર જો

આપેલ:

સાબિત કરો:

2. પોઈન્ટ પરંતુ 1 ,થી 1 અને એટી 1 એ જ લાઇન પર સૂવું
પુરાવો:
1. પોઈન્ટ દો પરંતુ 1 ,થી 1 અને એટી 1 એ જ લાઇન પર સૂવું. ચાલો સાબિત કરીએ કે સમાનતા (5) ધરાવે છે. ચાલો ખર્ચ કરીએ ઈ.સ,BEઅને સીએફસીધી રેખાની સમાંતર એટી 1 પરંતુ 1 (બિંદુ ડીસીધી રેખા પર આવેલું છે સૂર્ય). સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય મુજબ, અમારી પાસે છે:

આ સમાનતાઓના ડાબા અને જમણા ભાગોનો ગુણાકાર કરવાથી, આપણે મેળવીએ છીએ

તે સમાનતા (5) ધરાવે છે.
2. ચાલો વાતચીતના નિવેદનને સાબિત કરીએ. બિંદુ દો એટી 1 ચાલુ રાખવાની બાજુએ લેવામાં આવે છે એસી, અને પોઈન્ટ થી 1 અને પરંતુ 1 - બાજુઓ પર એબીઅને સૂર્ય, અને એવી રીતે કે સમાનતા (5) ધરાવે છે. ચાલો તે મુદ્દાઓ સાબિત કરીએ પરંતુ 1 ,થી 1 અને એટી 1 એ જ લાઇન પર સૂવું. સીધી રેખા A 1 C 1 એ બિંદુ B 2 પર બાજુની AC ની સાતત્યને છેદવા દો, પછી, પ્રથમ ફકરામાં જે સાબિત થયું હતું તેના દ્વારા

(5) અને (6) ની સરખામણી કરીને, આપણે સમાનતા = પર પહોંચીએ છીએ, જે દર્શાવે છે કે બિંદુઓ એટી 1 અને એટી 2 એક બાજુ શેર કરો એસીસમાન સંદર્ભમાં. તેથી, પોઈન્ટ એટી 1 અને એટી 2 એકરુપ, અને તેથી પોઈન્ટ પરંતુ 1 ,થી 1 અને એટી 1 એ જ લાઇન પર સૂવું. જ્યારે ત્રણેય મુદ્દાઓ હોય ત્યારે કન્વર્ઝ નિવેદન એ જ રીતે સાબિત થાય છે પરંતુ 1 ,થી 1 અને એટી 1 અનુરૂપ બાજુઓના એક્સ્ટેંશન પર આડો.

Q.E.D.

સમસ્યા ઉકેલવાની.

ત્રિકોણમાં વિભાગોના પ્રમાણસર વિભાજન પર સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓ ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રસ્તાવ છે. ઉપર નોંધ્યું છે તેમ, સમસ્યામાં જરૂરી બિંદુઓનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓ છે. અમારા કાર્યમાં, અમે સમાંતર રેખાઓની પદ્ધતિ પર સ્થાયી થયા. આ પદ્ધતિનો સૈદ્ધાંતિક આધાર સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય છે, જે ટ્રાન્સફર કરવા માટે સમાંતર રેખાઓનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. પ્રખ્યાત સંબંધોકોણની એક બાજુથી તેની બીજી બાજુનું પ્રમાણ, આમ, તમારે સમસ્યાને ઉકેલવા માટે અનુકૂળ રીતે આ સમાંતર રેખાઓ દોરવાની જરૂર છે.
ચોક્કસ કાર્યો ધ્યાનમાં લો:
કાર્ય №1 બિંદુ M એ ત્રિકોણ ABC માં BC બાજુએ લેવામાં આવે છે જેથી VM:MC=3:2. બિંદુ P સેગમેન્ટ AM ને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. રેખા BP બિંદુ B પર બાજુના AC ને છેદે છે 1 . બિંદુ B કયા સંદર્ભમાં છે 1 સાઇડ AC ને વિભાજિત કરે છે?

ઉકેલ: ગુણોત્તર AB 1: B 1 C શોધવાનું જરૂરી છે, AC એ ઇચ્છિત સેગમેન્ટ છે જેના પર બિંદુ B 1 આવેલો છે.

સમાંતર પદ્ધતિ નીચે મુજબ છે:

સમાંતર રેખાઓ સાથે ઇચ્છિત સેગમેન્ટ કાપો. એક BB 1 પહેલેથી જ છે, અને બીજો MN BB 1 ની સમાંતર M બિંદુ દ્વારા દોરવામાં આવશે.
જાણીતા ગુણોત્તરને કોણની એક બાજુથી તેની બીજી બાજુ પર સ્થાનાંતરિત કરો, એટલે કે. બાજુના ખૂણાઓને ધ્યાનમાં લો, જે આ સીધી રેખાઓ દ્વારા કાપવામાં આવે છે.

કોણ C ની બાજુઓ સીધી રેખાઓ BB 1 અને MN દ્વારા કાપવામાં આવે છે અને, સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય અનુસાર, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ એટી 1 એન=3p, NC=2p. MAC કોણની બાજુઓ PB 1 અને MN રેખાઓને છેદે છે અને તેની બાજુઓને 2: 1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે, તેથી AB 1: B 1 N \u003d 2: 1 અને તેથી AB 1 \u003d 2n, એટી 1 એન= n. કારણ કે એટી 1 એન=3p, અને એટી 1 એન= n, પછી 3p=n.

ચાલો આપણે AB 1: B 1 C \u003d AB 1: (B 1 N + NC) \u003d 2n: (3p + 2p) \u003d (2 * 3p): (5p) \u003d 6:5.

જવાબ: AB 1:B 1 C = 6:5.

ટિપ્પણી: આ સમસ્યા મેનેલોસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. તેને ત્રિકોણ AMC પર લાગુ કરવું. પછી રેખા BB 1 ત્રિકોણની બે બાજુઓને બિંદુ B 1 અને P પર છેદે છે, અને બિંદુ B પર ત્રીજાની ચાલુ છે. તેથી સમાનતા લાગુ પડે છે: , પરિણામે
કાર્ય નંબર 2 ત્રિકોણમાં ABC AN એ મધ્ય છે. AC બાજુ પર, બિંદુ M લેવામાં આવે છે જેથી AM: MC \u003d 1: 3. AN અને BM વિભાગો બિંદુ O પર છેદે છે, અને કિરણ CO AB ને બિંદુ K પર છેદે છે. બિંદુ K કયા ગુણોત્તરમાં સેગમેન્ટ AB ને વિભાજિત કરે છે.

ઉકેલ:આપણે AK થી KV નો ગુણોત્તર શોધવાની જરૂર છે.

1) રેખા SK ની સમાંતર રેખા NN 1 અને રેખા VM ની સમાંતર રેખા NN 2 દોરો.

2) કોણ ABC ની બાજુઓ સીધી રેખાઓ SC અને NN 1 દ્વારા છેદે છે અને, સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય મુજબ, આપણે BN 1:N 1 K=1:1 અથવા BN 1 = એન 1 કે= y.

3) કોણ BCM ની બાજુઓ BM અને NN 2 રેખાઓ દ્વારા છેદે છે અને, સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય મુજબ, આપણે CN 2:N 2 M=1:1 અથવા CN 2 = N 2 M=3:2= તારણ કાઢીએ છીએ. 1.5.

4) કોણ NAC ની બાજુઓ BM અને NN 2 રેખાઓ દ્વારા છેદે છે અને સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય અનુસાર આપણે AO: ON=1:1.5 અથવા AO=m ON=1.5m નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ.

5) કોણ BAN ની બાજુઓ સીધી રેખાઓ SK અને NN 1 દ્વારા છેદે છે અને, સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય અનુસાર, અમે AK: KN 1 \u003d 1: 1.5 અથવા AK \u003d n એ તારણ કાઢીએ છીએ. કે.એન 1 =1,5 n.

6) KN 1 \u003d y \u003d 1.5n.

જવાબ: AK:KV=1:3.

ટિપ્પણી: આ સમસ્યા Ceva ના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે, તેને ત્રિકોણ ABC પર લાગુ કરી શકાય છે. શરત પ્રમાણે, બિંદુઓ N, M, K ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ પર આવેલા છે અને AN, CK અને VM વિભાગો એક બિંદુ પર છેદે છે, જેનો અર્થ છે કે સમાનતા સાચી છે: , અમે જાણીતા સંબંધોને બદલીએ છીએ, અમારી પાસે છે , AK:KV=1:3.

કાર્ય નંબર 3 ત્રિકોણ ABC ની બાજુ BC પર, એક બિંદુ D લેવામાં આવે છે કે BD: DC \u003d 2: 5, અને બાજુ AC પર, બિંદુ E એવો છે કે . BE અને AD ખંડોને તેમના આંતરછેદના બિંદુ K દ્વારા કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે?
ઉકેલ:શોધવાની જરૂર છે 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) રેખા BE ની સમાંતર DD 1 રેખા દોરો.

2) કોણ ALL ની બાજુઓ BE અને DD 1 રેખાઓ દ્વારા છેદે છે અને, સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય મુજબ, આપણે CD 1:D 1 E=5:2 અથવા CD 1 = 5z, D 1 E=2z સમાપ્ત કરીએ છીએ.

3) શરત AE:EC=1:2 અનુસાર, એટલે કે. AE \u003d x, EC \u003d 2x, પરંતુ EC \u003d CD 1 + D 1 E, પછી 2y = 5z+2 z=7 z, z=

4) કોણ DCA ની બાજુઓ BE અને DD 1 રેખાઓ દ્વારા છેદે છે અને, સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય અનુસાર, અમે તારણ કાઢીએ છીએ

5) ગુણોત્તર VK:KE નક્કી કરવા માટે, આપણે સીધી રેખા EE 1 દોરીએ છીએ અને તે જ રીતે દલીલ કરીએ છીએ, આપણે મેળવીએ છીએ

જવાબ: AK:KD=7:4; VK:KE=6:5.
ટિપ્પણી:આ સમસ્યા મેનેલોસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. તેને ત્રિકોણ WEIGHT પર લાગુ કરવું. પછી રેખા DA ત્રિકોણની બે બાજુઓને બિંદુ D અને K પર છેદે છે, અને બિંદુ A પર ત્રીજી બાજુ ચાલુ છે. તેથી સમાનતા લાગુ પડે છે:

, તેથી VK:KE=6:5. ત્રિકોણ એડીસીના સંદર્ભમાં સમાન રીતે દલીલ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ

, AK:KD=7:4.
સમસ્યા #4 ∆ ABC માં, દ્વિભાજક AD બાજુ BC ને 2:1 ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. મધ્યક CE આ દ્વિભાજકને કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે?

ઉકેલ: O બિંદુ દો દ્વિભાજક AD અને મધ્ય CE નું આંતરછેદ. આપણે AO:OD ગુણોત્તર શોધવાની જરૂર છે.

1) રેખા CE ને સમાંતર DD 1 રેખા દોરો.

2) કોણ ABC ની બાજુઓ CE અને DD 1 રેખાઓ દ્વારા છેદે છે અને, સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય મુજબ, અમે BD 1:D 1 E=2:1 અથવા BD 1 = 2p, D 1 E=p સમાપ્ત કરીએ છીએ.

3) શરત AE:EB=1:1 અનુસાર, એટલે કે. AE=y, EB=y, પરંતુ EB= BD 1 + D 1 E, તેથી y=2પી+ પી=3 પી, પી =
4) કોણ BAD ની બાજુઓ OE અને DD 1 રેખાઓ દ્વારા છેદે છે અને, સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય અનુસાર, અમે તારણ કાઢીએ છીએ .

જવાબ: AO:OD=3:1.

કાર્ય #5 AB અને AC ∆ABC બાજુઓ પર, પોઈન્ટ M અને N અનુક્રમે આપવામાં આવ્યા છે, જેમ કે નીચેની સમાનતાઓ AM:MB=C સંતુષ્ટ છેએન: એન.એ=1:2. BN અને CM ખંડોના આંતરછેદનો બિંદુ S આ દરેક વિભાગોને કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.

સમસ્યા №6 બિંદુ K ત્રિકોણ ABC ના મધ્ય AM પર લેવામાં આવે છે, અને AK:KM=1:3. ગુણોત્તર શોધો કે જેમાં બિંદુ K માંથી પસાર થતી રેખા બાજુ AC ની સમાંતર બાજુ BC ને વિભાજિત કરે છે.

ઉકેલ: M ને 1 પોઈન્ટ થવા દો બાજુ AC અને બાજુ BC ની સમાંતર બિંદુ Kમાંથી પસાર થતી રેખાનું આંતરછેદ. BM 1:M 1 C નો ગુણોત્તર શોધવો જરૂરી છે.

1) કોણ AMC ની બાજુઓ સીધી રેખાઓ KM 1 અને AC દ્વારા છેદે છે અને, સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય અનુસાર, અમે MM 1: M 1 C=3:1 અથવા MM 1 \u003d 3z, M 1 C \u003d સમાપ્ત કરીએ છીએ z

2) શરત દ્વારા VM:MS=1:1, એટલે કે VM=y, MC=y, પરંતુ MC=MM 1 + M 1 C, તેથી y=3z+ z=4 z,

3) .

જવાબ: VM 1:M 1 C = 7:1.

સમસ્યા №7 ત્રિકોણ ABC આપેલ છે. બાજુના AC ના વિસ્તરણ પર, બિંદુ C માટે એક બિંદુ લેવામાં આવે છેએન, અને સીએન=AC; બિંદુ K એ બાજુ AB નો મધ્યબિંદુ છે. રેખા K કયા સંદર્ભમાં છેએનબાજુ BC ને વિભાજિત કરે છે.

ટિપ્પણી:આ સમસ્યા મેનેલોસ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. તેને ત્રિકોણ ABC પર લાગુ કરવું. પછી સીધી રેખા KN ત્રિકોણની બે બાજુઓને K અને K 1 બિંદુઓ પર છેદે છે, અને બિંદુ N પર ત્રીજાની ચાલુ છે. તેથી સમાનતા લાગુ પડે છે: , તેથી VK 1:K 1 C=2:1.

કાર્ય #8

સાઇટ્સ:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન 2011 ગણિત ટાસ્ક C4 આર.કે. ગોર્ડિન એમ.: MTSNMO, 2011, - 148 s

નિષ્કર્ષ:

સેગમેન્ટ્સની લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધવા માટે સમસ્યાઓ અને પ્રમેયનો ઉકેલ સામાન્યકૃત થેલ્સ પ્રમેય પર આધારિત છે. અમે એક પદ્ધતિ તૈયાર કરી છે જે, થેલ્સ પ્રમેયને લાગુ કર્યા વિના, સમાંતર રેખાઓનો ઉપયોગ કરવા, જાણીતા પ્રમાણને કોણની એક બાજુથી બીજી બાજુ સ્થાનાંતરિત કરવાની અને આમ, અમને જોઈતા બિંદુઓનું સ્થાન શોધવા અને લંબાઈની તુલના કરવાની મંજૂરી આપે છે. અમૂર્ત પર કામ કરવાથી અમને ભૌમિતિક સમસ્યાઓ કેવી રીતે હલ કરવી તે શીખવામાં મદદ મળી ઉચ્ચ સ્તરમુશ્કેલીઓ. અમને પ્રખ્યાત રશિયન કવિ ઇગોર સેવેર્યાનિનના શબ્દોની સત્યતાનો અહેસાસ થયો: "બધું નજીવું મહત્વપૂર્ણ હોવું જરૂરી છે ..." અને અમને ખાતરી છે કે યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં અમે સૂચિત કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ શોધી શકીશું. સમાંતર રેખાઓની પદ્ધતિ.

1 ત્રિકોણમાં પ્રમાણસર વિભાગો પરનું પ્રમેય એ ઉપર વર્ણવેલ પ્રમેય છે.

જો ખૂણાની બાજુઓને સીધી સમાંતર રેખાઓ વડે ઓળંગવામાં આવે છે જે એક બાજુને કેટલાક ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, તો બીજી બાજુ, સીધી રેખાઓ પણ બીજી બાજુની સમકક્ષ ભાગોમાં વિભાજિત થશે.

થેલ્સનું પ્રમેયનીચેના સાબિત કરે છે: С 1 , С 2 , С 3 - આ એવા સ્થાનો છે જ્યાં સમાંતર રેખાઓ કોણની કોઈપણ બાજુએ છેદે છે. C 1 અને C 3 ના સંદર્ભમાં C 2 મધ્યમાં છે.. બિંદુઓ D 1 , D 2 , D 3 એ સ્થાનો છે જ્યાં રેખાઓ છેદે છે, જે કોણની બીજી બાજુ સાથેની રેખાઓને અનુરૂપ છે. અમે સાબિત કરીએ છીએ કે જ્યારે C 1 C 2 \u003d C 2 C z, પછી D 1 D 2 \u003d D 2 D 3 .
અમે D 2 ની જગ્યાએ સીધો સેગમેન્ટ KR દોરીએ છીએ, વિભાગ C 1 C 3 ની સમાંતર. સમાંતરગ્રામ C 1 C 2 \u003d KD 2, C 2 C 3 \u003d D 2 P. જો C 1 C 2 \u003d C 2 C 3, તો KD 2 \u003d D 2 P.

પરિણામી ત્રિકોણાકાર આકૃતિઓ D 2 D 1 K અને D 2 D 3 P સમાન છે. અને પુરાવા દ્વારા D 2 K = D 2 P. ટોચના બિંદુ D 2 સાથેના ખૂણાઓ લંબરૂપ સમાન છે, અને ખૂણા D 2 KD 1 અને D 2 PD 3 સમાંતર C 1 D 1 અને C 3 D 3 અને KP ને અલગ કરતા આંતરિક ક્રોસ જેવા સમાન છે.
D 1 D 2 =D 2 D 3 થી પ્રમેય ત્રિકોણની બાજુઓની સમાનતા દ્વારા સાબિત થાય છે.

નોંધ: જો આપણે ખૂણાની બાજુઓ નહીં, પરંતુ બે સીધા ભાગો લઈએ, તો સાબિતી સમાન હશે.
એકબીજાની સમાંતર કોઈપણ સીધી રેખાના ભાગો, જે આપણે વિચારી રહ્યા છીએ તે બે રેખાઓને છેદે છે અને તેમાંથી એકને સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે, બીજા સાથે પણ તે જ કરો.

ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ

પ્રથમ ઉદાહરણ

કાર્યની શરત એ લાઇન સીડીને વિભાજિત કરવાની છે પીસમાન સેગમેન્ટ્સ.
અમે બિંદુ C થી અર્ધ-રેખા c દોરીએ છીએ, જે રેખા CD પર રહેતી નથી. ચાલો તેના પર સમાન કદના ભાગોને ચિહ્નિત કરીએ. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 ..... C p-1 C p. અમે C p ને D સાથે જોડીએ છીએ. અમે C 1, C 2, ...., C p બિંદુઓ પરથી સીધી રેખાઓ દોરીએ છીએ. -1 જે C p D ના સંદર્ભમાં સમાંતર હશે. રેખાઓ CD ને D 1 D 2 D p-1 સ્થાનો પર છેદે છે અને રેખા CD ને n સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરશે.

બીજું ઉદાહરણ

બિંદુ CK ત્રિકોણ ABC ની બાજુ AB પર ચિહ્નિત થયેલ છે. સેગમેન્ટ SK બિંદુ P પર ત્રિકોણના મધ્ય AM ને છેદે છે, જ્યારે AK = AP. VC અને RM નો ગુણોત્તર શોધવા માટે તે જરૂરી છે.
અમે બિંદુ M દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ છીએ, SC ની સમાંતર, જે બિંદુ D પર AB ને છેદે છે

દ્વારા થેલ્સ પ્રમેયВD=કેડી
પ્રમાણસર વિભાગોના પ્રમેય દ્વારા, આપણે તે મેળવીએ છીએ
PM \u003d KD \u003d VK / 2, તેથી, VK: PM \u003d 2: 1
જવાબ: VK: RM = 2:1

ત્રીજું ઉદાહરણ

ABC ત્રિકોણમાં, બાજુ BC = 8 cm. રેખા DE એ AC ની સમાંતર બાજુઓ AB અને BC ને છેદે છે. અને BC બાજુએ EU = 4cm સેગમેન્ટને કાપી નાખે છે. સાબિત કરો કે AD = DB.

ત્યારથી BC = 8 cm અને EU = 4 cm, પછી
BE = BC-EU, તેથી BE = 8-4 = 4(cm)
દ્વારા થેલ્સ પ્રમેય, કારણ કે AC એ DE અને EC \u003d BE ની સમાંતર છે, તેથી, AD \u003d DB. Q.E.D.

એટી મહિલા મેગેઝિન- ઓનલાઈન, તમને ઘણું બધું મળશે રસપ્રદ માહિતીમારી માટે. સેરગેઈ યેસેનિન દ્વારા લખાયેલી કવિતાઓને સમર્પિત એક વિભાગ પણ છે. અંદર આવો તમને અફસોસ થશે નહીં!

સમાંતર અને સેકન્ટ વિશે.

રશિયન-ભાષાના સાહિત્યની બહાર, થેલ્સ પ્રમેયને કેટલીકવાર પ્લાનિમેટ્રીનું બીજું પ્રમેય કહેવામાં આવે છે, એટલે કે, વર્તુળના વ્યાસ પર આધારિત એક અંકિત કોણ યોગ્ય છે તેવું નિવેદન. પ્રોક્લસ દ્વારા પુરાવા મુજબ આ પ્રમેયની શોધ ખરેખર થેલ્સને આભારી છે.

શબ્દરચના

જો બે સીધી રેખાઓમાંથી એક પર ઘણા સમાન ભાગો ક્રમિક રીતે બાજુ પર મૂકવામાં આવે છે અને સમાંતર રેખાઓ તેમના છેડા દ્વારા દોરવામાં આવે છે, બીજી સીધી રેખાને છેદે છે, તો તેઓ બીજી સીધી રેખા પર સમાન ભાગોને કાપી નાખશે.

વધુ સામાન્ય રચના, જેને પણ કહેવાય છે પ્રમાણસર સેગમેન્ટ પ્રમેય

સમાંતર રેખાઓ સેકન્ટ્સ પર પ્રમાણસર ભાગોને કાપે છે:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\Displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

ટીકા

પ્રમેયમાં સેકન્ટ્સની પરસ્પર ગોઠવણી પર કોઈ નિયંત્રણો નથી (તે છેદતી રેખાઓ અને સમાંતર બંને માટે સાચું છે). તે પણ વાંધો નથી જ્યાં રેખા વિભાગો સેકન્ટ્સ પર છે.

થેલ્સ પ્રમેય એ પ્રમાણસર સેગમેન્ટ પ્રમેયનો એક ખાસ કેસ છે, કારણ કે સમાન સેગમેન્ટ્સને 1 ની સમાન પ્રમાણસરતા ગુણાંક સાથે પ્રમાણસર સેગમેન્ટ ગણી શકાય.

સેકન્ટ્સના કિસ્સામાં પુરાવો

સેગમેન્ટ્સની અનકનેક્ટેડ જોડીવાળા વેરિઅન્ટને ધ્યાનમાં લો: કોણને સીધી રેખાઓ દ્વારા છેદે છે. A A 1 | | ભ ભ 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1))અને જેમાં A B = C D (\ displaystyle AB=CD).

સમાંતર રેખાઓના કિસ્સામાં પુરાવો

ચાલો એક સીધી રેખા દોરીએ પૂર્વે. ખૂણા ABCઅને BCDસમાંતર રેખાઓ પર પડેલા આંતરિક ક્રોસ જેવા સમાન છે એબીઅને સીડીઅને સેકન્ટ પૂર્વે, અને ખૂણા એસીબીઅને સીબીડીસમાંતર રેખાઓ પર પડેલા આંતરિક ક્રોસ જેવા સમાન છે એસીઅને બી.ડીઅને સેકન્ટ પૂર્વે. પછી, ત્રિકોણની સમાનતા માટેના બીજા માપદંડ મુજબ, ત્રિકોણ ABCઅને ડીસીબીસમાન છે. તેથી તે તેને અનુસરે છે એસી = બી.ડીઅને એબી = સીડી. ■

ભિન્નતા અને સામાન્યીકરણ

વ્યસ્ત પ્રમેય

વ્યસ્ત થેલ્સ પ્રમેયમાં, તે મહત્વનું છે કે સમાન ભાગો શિરોબિંદુથી શરૂ થાય

આમ (ફિગ જુઓ.) એ હકીકત પરથી C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), તે અનુસરે છે A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\Displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

આ પ્રમેય નેવિગેશનમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે: જો એક જહાજથી બીજા જહાજની દિશા જાળવી રાખવામાં આવે તો સતત ગતિએ આગળ વધી રહેલા જહાજોની અથડામણ અનિવાર્ય છે.

સોલેર્ટિન્સકીની લેમ્મા

નીચેનું નિવેદન સોલેર્ટિન્સકીના લેમ્મા માટે દ્વિ છે:

દો f (\પ્રદર્શન શૈલી f)- રેખાના બિંદુઓ વચ્ચે પ્રોજેક્ટિવ પત્રવ્યવહાર l (\પ્રદર્શન શૈલી l)અને પ્રત્યક્ષ m (\ displaystyle m). પછી રેખાઓનો સમૂહ અમુક (સંભવતઃ અધોગતિ) શંકુ વિભાગના સ્પર્શકનો સમૂહ હશે.

થેલ્સ પ્રમેયના કિસ્સામાં, શંકુ સમાંતર રેખાઓની દિશાને અનુરૂપ અનંતતા પર એક બિંદુ હશે.

આ નિવેદન, બદલામાં, નીચેના નિવેદનનો મર્યાદિત કેસ છે:

દો f (\પ્રદર્શન શૈલી f)કોનિકનું પ્રોજેક્ટિવ રૂપાંતર છે. પછી રેખાઓના સમૂહનું પરબિડીયું X f (X) (\displaystyle Xf(X))ત્યાં એક શંકુ (કદાચ અધોગતિ) હશે.