ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ നിർവചനം നൽകിയിരിക്കുന്നു. അനന്തമായി വർദ്ധിക്കുന്ന, ഒത്തുചേരൽ, വ്യത്യസ്‌ത ശ്രേണികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു. എല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളും അടങ്ങുന്ന ഒരു ശ്രേണി പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു.

നിർവ്വചനം .
സംഖ്യാ ക്രമം (xn) ഒരു നിയമമാണ് (നിയമം) അതനുസരിച്ച്, ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും n = 1, 2, 3, . . . ഒരു നിശ്ചിത നമ്പർ x n നൽകിയിട്ടുണ്ട്.
x n എന്ന മൂലകത്തെ വിളിക്കുന്നു nth ടെംഅല്ലെങ്കിൽ ഒരു ശ്രേണിയുടെ ഒരു ഘടകം.

ചുരുണ്ട ബ്രേസുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന n-ആം പദമായി ക്രമം സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: . ഇനിപ്പറയുന്ന പദവികളും സാധ്യമാണ്: സൂചിക n സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ പെട്ടതാണെന്നും അനുക്രമത്തിന് തന്നെ അനന്തമായ പദങ്ങളുണ്ടെന്നും അവർ വ്യക്തമായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ചില ഉദാഹരണ ശ്രേണികൾ ഇതാ:
, , .

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം എന്നത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ് നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ. ശ്രേണിയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്. ഘടകങ്ങളിൽ അംഗങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം ഒരേ മൂല്യങ്ങൾ. കൂടാതെ, ഒരു ശ്രേണിയെ അനന്തമായ അംഗങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന അക്കങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമായി കണക്കാക്കാം.

n അനന്തതയിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ സീക്വൻസുകൾ എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു എന്ന ചോദ്യത്തിലാണ് ഞങ്ങൾ പ്രധാനമായും താൽപ്പര്യപ്പെടുന്നത്: . ഈ മെറ്റീരിയൽ ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി എന്ന വിഭാഗത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു - അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങളും ഗുണങ്ങളും. ഇവിടെ നമ്മൾ സീക്വൻസുകളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

സീക്വൻസ് ഉദാഹരണങ്ങൾ

അനന്തമായി വർദ്ധിക്കുന്ന ക്രമങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ക്രമം പരിഗണിക്കുക. ഈ ശ്രേണിയിലെ സാധാരണ അംഗം. ആദ്യത്തെ കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ എഴുതാം:
.
n എന്ന സംഖ്യ കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് മൂലകങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളിലേക്ക് അനന്തമായി വർദ്ധിക്കുന്നതായി കാണാം. ഈ ക്രമം ഇതിലേക്ക് നയിക്കുന്നതായി നമുക്ക് പറയാം: വേണ്ടി.

ഇപ്പോൾ ഒരു പൊതു പദമുള്ള ഒരു ശ്രേണി പരിഗണിക്കുക. അതിൻ്റെ ആദ്യത്തെ കുറച്ച് അംഗങ്ങൾ ഇതാ:
.
നമ്പർ n വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, ഈ ശ്രേണിയിലെ മൂലകങ്ങൾ അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുന്നു യഥാർത്ഥ മൂല്യം, എന്നാൽ സ്ഥിരമായ ഒരു അടയാളം ഇല്ല. അതായത്, ഈ ക്രമം ഇതിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: at .

ഒരു പരിമിത സംഖ്യയിലേക്ക് മാറുന്ന സീക്വൻസുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ക്രമം പരിഗണിക്കുക. അവളുടെ സാധാരണ അംഗം. ആദ്യ നിബന്ധനകൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ട്:
.
നമ്പർ n വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, ഈ ശ്രേണിയിലെ മൂലകങ്ങൾ അവയുടെ പരിമിതമായ മൂല്യത്തെ സമീപിക്കുന്നതായി കാണാം = 0 : ചെയ്തത്. അതിനാൽ ഓരോ തുടർന്നുള്ള പദവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുന്നു. ഒരർത്ഥത്തിൽ, a എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു ഏകദേശ മൂല്യമുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം = 0 പിശകോടെ. n വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, ഈ പിശക് പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു, അതായത്, n തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ, പിശക് ആവശ്യമുള്ളത്ര ചെറുതാക്കാൻ കഴിയും. മാത്രമല്ല, തന്നിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും പിശകിന് ε > 0 നിങ്ങൾക്ക് N: എന്നതിനേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകളുള്ള എല്ലാ മൂലകങ്ങൾക്കും, a എന്ന പരിധി മൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള സംഖ്യയുടെ വ്യതിയാനം പിശക് ε: കവിയാത്ത വിധത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നമ്പർ N വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും.

അടുത്തതായി, ക്രമം പരിഗണിക്കുക. അവളുടെ സാധാരണ അംഗം. അതിൻ്റെ ആദ്യ അംഗങ്ങളിൽ ചിലത് ഇതാ:
.
ഈ ക്രമത്തിൽ, ഇരട്ട സംഖ്യകളുള്ള പദങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒറ്റ n ഉള്ള നിബന്ധനകൾ തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, n വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന മൂല്യത്തെ സമീപിക്കുന്നു = 0 . എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഇതും പിന്തുടരുന്നു
.
മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ, നമുക്ക് ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ചെറിയ പിശക് ε വ്യക്തമാക്കാം > 0 , ഇതിനായി N എന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ സാധിക്കും, N-നേക്കാൾ വലിയ സംഖ്യകളുള്ള മൂലകങ്ങൾ പരിധി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കും. = 0 നിർദ്ദിഷ്ട പിശകിൽ കവിയാത്ത തുകകൊണ്ട്. അതിനാൽ ഈ ശ്രേണി a എന്ന മൂല്യത്തിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നു = 0 : ചെയ്തത്.

വ്യത്യസ്‌ത ശ്രേണികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഇനിപ്പറയുന്ന പൊതുവായ പദമുള്ള ഒരു ശ്രേണി പരിഗണിക്കുക:

അതിൻ്റെ ആദ്യ അംഗങ്ങൾ ഇതാ:


.
ഇരട്ട സംഖ്യകളുള്ള പദങ്ങൾ കാണാം:
,
മൂല്യത്തിലേക്ക് ഒത്തുചേരുക a 1 = 0 . ഒറ്റ-അക്ക അംഗങ്ങൾ:
,
മൂല്യത്തിലേക്ക് ഒത്തുചേരുക a 2 = 2 . n വളരുന്നതിനനുസരിച്ച് ക്രമം തന്നെ ഒരു മൂല്യത്തിലേക്കും ഒത്തുചേരുന്നില്ല.

ഇടവേളയിൽ വിതരണം ചെയ്ത നിബന്ധനകളുള്ള ക്രമം (0;1)

ഇപ്പോൾ കൂടുതൽ രസകരമായ ഒരു ശ്രേണി നോക്കാം. നമ്പർ ലൈനിൽ ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് എടുക്കാം. നമുക്ക് അതിനെ പകുതിയായി വിഭജിക്കാം. നമുക്ക് രണ്ട് സെഗ്മെൻ്റുകൾ ലഭിക്കും. അനുവദിക്കുക
.
ഓരോ സെഗ്‌മെൻ്റും വീണ്ടും പകുതിയായി വിഭജിക്കാം. നമുക്ക് നാല് സെഗ്മെൻ്റുകൾ ലഭിക്കും. അനുവദിക്കുക
.
ഓരോ സെഗ്മെൻ്റും വീണ്ടും പകുതിയായി വിഭജിക്കാം. എടുക്കാം


.
ഇത്യാദി.

തൽഫലമായി, ഒരു തുറന്ന ഇടവേളയിൽ ഘടകങ്ങൾ വിതരണം ചെയ്യുന്ന ഒരു ശ്രേണി നമുക്ക് ലഭിക്കും (0; 1) . അടച്ച ഇടവേളയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ എന്ത് പോയിൻ്റ് എടുത്താലും , ഈ പോയിൻ്റിനോട് ഏകപക്ഷീയമായി അടുത്ത് വരുന്ന അല്ലെങ്കിൽ അതിനോട് യോജിക്കുന്ന ക്രമത്തിലെ അംഗങ്ങളെ നമുക്ക് എപ്പോഴും കണ്ടെത്താനാകും.

യഥാർത്ഥ ശ്രേണിയിൽ നിന്ന് ഒരാൾക്ക് ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു പോയിൻ്റിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്ന ഒരു ഉപക്രമം തിരഞ്ഞെടുക്കാം. . അതായത്, നമ്പർ n വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, ഉപവിഭാഗത്തിലെ അംഗങ്ങൾ മുൻകൂട്ടി തിരഞ്ഞെടുത്ത പോയിൻ്റിലേക്ക് കൂടുതൽ അടുക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിൻ്റ് എ = 0 നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പിന്തുടരൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാം:
.
= 0 .

പോയിൻ്റിന് എ = 1 നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന തുടർച്ച തിരഞ്ഞെടുക്കാം:
.
ഈ തുടർന്നുള്ള നിബന്ധനകൾ a എന്ന മൂല്യത്തിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നു = 1 .

അനന്തരഫലങ്ങൾ കൂടിച്ചേരുന്നതിനാൽ വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങൾ, അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ അനുക്രമം തന്നെ ഒരു സംഖ്യയിലേക്കും ഒത്തുചേരില്ല.

എല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളും അടങ്ങുന്ന ക്രമം

ഇനി നമുക്ക് എല്ലാ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളും അടങ്ങുന്ന ഒരു ശ്രേണി നിർമ്മിക്കാം. മാത്രമല്ല, ഓരോ റേഷണൽ സംഖ്യയും അത്തരം ഒരു ശ്രേണിയിൽ അനന്തമായ തവണ ദൃശ്യമാകും.

r എന്ന യുക്തിസഹ സംഖ്യയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
,
ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ എവിടെയാണ്; - സ്വാഭാവികം.
ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ n നെയും p, q എന്നീ ഒരു ജോഡി സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്, അങ്ങനെ ഏതെങ്കിലും ജോഡി p, q എന്നിവ നമ്മുടെ ക്രമത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തും.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വിമാനത്തിൽ p, q അക്ഷങ്ങൾ വരയ്ക്കുക. p, q എന്നിവയുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഗ്രിഡ് ലൈനുകൾ വരയ്ക്കുന്നു. അപ്പോൾ ഈ ഗ്രിഡിൻ്റെ ഓരോ നോഡും c ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടും. യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റും ഒരു കൂട്ടം നോഡുകൾ പ്രതിനിധീകരിക്കും. നോഡുകളൊന്നും നഷ്‌ടപ്പെടാതിരിക്കാൻ എല്ലാ നോഡുകളും അക്കമിടാനുള്ള മാർഗം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾ സ്ക്വയറുകളാൽ നോഡുകൾ അക്കമിട്ടാൽ ഇത് ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്, അവയുടെ കേന്ദ്രങ്ങൾ പോയിൻ്റിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു (0; 0) (ചിത്രം കാണുക). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്യു ഉള്ള സ്ക്വയറുകളുടെ താഴത്തെ ഭാഗങ്ങൾ < 1 ഞങ്ങൾക്ക് അത് ആവശ്യമില്ല. അതിനാൽ അവ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിട്ടില്ല.

അതുകൊണ്ട് മുകൾ വശംനമുക്കുള്ള ആദ്യത്തെ ചതുരത്തിൽ:
.
അടുത്തതായി ഞങ്ങൾ നമ്പർ മുകളിലെ ഭാഗംഇനിപ്പറയുന്ന ചതുരം:

.
ഇനിപ്പറയുന്ന ചതുരത്തിൻ്റെ മുകളിലെ ഭാഗം ഞങ്ങൾ അക്കമിട്ടു:

.
ഇത്യാദി.

ഈ രീതിയിൽ, നമുക്ക് എല്ലാ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളും അടങ്ങുന്ന ഒരു ശ്രേണി ലഭിക്കും. ഈ ശ്രേണിയിൽ അനന്തമായ തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. തീർച്ചയായും, നോഡിനൊപ്പം, ഈ ശ്രേണിയിൽ നോഡുകളും ഉൾപ്പെടും, എവിടെ - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ. എന്നാൽ ഈ നോഡുകളെല്ലാം ഒരേ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

തുടർന്ന് നമ്മൾ നിർമ്മിച്ച ശ്രേണിയിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് ഒരു ഉപക്രമം തിരഞ്ഞെടുക്കാം (അനന്തമായ മൂലകങ്ങൾ ഉള്ളത്), അതിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു യുക്തിസഹ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച ശ്രേണിയിൽ വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകളിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്ന ഉപക്രമങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഈ ശ്രേണി ഒരു സംഖ്യയിലേക്കും ഒത്തുചേരില്ല.

ഉപസംഹാരം

സംഖ്യാ ക്രമത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ നിർവചനം ഞങ്ങൾ ഇവിടെ നൽകിയിട്ടുണ്ട്. അവബോധജന്യമായ ആശയങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അതിൻ്റെ ഒത്തുചേരലിൻ്റെ പ്രശ്നവും ഞങ്ങൾ ഉന്നയിച്ചു. ഒത്തുചേരലിൻ്റെ കൃത്യമായ നിർവചനം ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി നിർവചിക്കുന്ന പേജിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു. അനുബന്ധ ഗുണങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും പേജിൽ പ്രസ്താവിച്ചിരിക്കുന്നു

തൊട്ടിൽ. ഡയപ്പറുകൾ. കരയുക.
വാക്ക്. ഘട്ടം. തണുപ്പ്. ഡോക്ടർ.
ചുറ്റും ഓടുന്നു. കളിപ്പാട്ടങ്ങൾ. സഹോദരൻ.
മുറ്റം ഊഞ്ഞാലാടുക. കിൻ്റർഗാർട്ടൻ.
സ്കൂൾ. രണ്ട്. ട്രോയിക്ക. അഞ്ച്.
പന്ത്. ഘട്ടം. ജിപ്സം. കിടക്ക.
പൊരുതുക. രക്തം. തകർന്ന മൂക്ക്.
മുറ്റം സുഹൃത്തുക്കൾ. പാർട്ടി. ശക്തിയാണ്.
ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട്. സ്പ്രിംഗ്. കുറ്റിക്കാടുകൾ.
വേനൽക്കാലം. സെഷൻ. വാലുകൾ.
ബിയർ. വോഡ്ക. ഐസ് ഉപയോഗിച്ച് ജിൻ.
കോഫി. സെഷൻ. ഡിപ്ലോമ.
റൊമാൻ്റിസിസം. സ്നേഹം. നക്ഷത്രം.
കൈകൾ. ചുണ്ടുകൾ. ഉറക്കമില്ലാത്ത ഒരു രാത്രി.
കല്യാണം. അമ്മായിയമ്മ. ഭാര്യാപിതാവ്. കെണി.
വാദം. ക്ലബ്ബ്. സുഹൃത്തുക്കൾ. കപ്പ്.
വീട്. ജോലി. വീട്. കുടുംബം.
സൂര്യൻ. വേനൽക്കാലം. മഞ്ഞ്. ശീതകാലം.
മകൻ. ഡയപ്പറുകൾ. തൊട്ടിൽ.
സമ്മർദ്ദം. യജമാനത്തി. കിടക്ക.
ബിസിനസ്സ്. പണം. പ്ലാൻ ചെയ്യുക. അടിയന്തരാവസ്ഥ.
ടി.വി. പരമ്പര.
നാടൻ വീട്. ചെറി. മരോച്ചെടി.
നരച്ച മുടി. മൈഗ്രേൻ. കണ്ണടകൾ.
കൊച്ചുമകൻ. ഡയപ്പറുകൾ. തൊട്ടിൽ.
സമ്മർദ്ദം. സമ്മർദ്ദം. കിടക്ക.
ഹൃദയം. വൃക്ക. അസ്ഥികൾ. ഡോക്ടർ.
പ്രസംഗങ്ങൾ. ശവപ്പെട്ടി. വിട. കരയുക.

ജീവിത ക്രമം

SEQUENCE - ഒരു സംഘടിത ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഘടകങ്ങൾ. 1, 2, 3, 4 എന്നീ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ സമ്പൂർണ്ണ ക്രമം പോലെയുള്ള സീക്വൻസുകൾ പരിമിതമോ (പരിമിതമായ എണ്ണം മൂലകങ്ങളുള്ളതോ) അനന്തമോ ആകാം.

ശാസ്ത്ര സാങ്കേതിക വിജ്ഞാനകോശ നിഘണ്ടു

നിർവ്വചനം:സംഖ്യാ ക്രമംസ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ N-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യാക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, സാധാരണയായി പകരം f(n)എഴുതുക ഒരു എൻ ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമം സൂചിപ്പിക്കുക: ( ഒരു എൻ ). നമ്പറുകൾ എ 1 , എ 2 , …, ഒരു എൻ,… വിളിച്ചു ക്രമത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ.

സാധാരണയായി സംഖ്യാ ക്രമം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ചുമതലയാണ് എൻ th ഘടകം അല്ലെങ്കിൽ ഓരോ തുടർന്നുള്ള ഘടകവും മുമ്പത്തേതിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം. ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു വിവരണാത്മക മാർഗവും സാധ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:

• ക്രമത്തിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും "1" ന് തുല്യമാണ്. ഇതിനർത്ഥം നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് 1, 1, 1, ..., 1, .... എന്ന ഒരു നിശ്ചല ശ്രേണിയെക്കുറിച്ചാണ്.

• ക്രമം എല്ലാം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു പ്രധാന സംഖ്യകൾആരോഹണ ക്രമത്തിൽ.അങ്ങനെ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ശ്രേണി 2, 3, 5, 7, 11, .... ഈ ഉദാഹരണത്തിലെ ക്രമം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, സീക്വൻസിൻ്റെ 1000-ാമത്തെ ഘടകം എന്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഉത്തരം നൽകാൻ പ്രയാസമാണ്.

ആവർത്തന രീതി ഉപയോഗിച്ച്, പ്രകടിപ്പിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല സൂചിപ്പിക്കുക എൻമുമ്പത്തെവയിലൂടെയുള്ള സീക്വൻസിലെ അംഗം, കൂടാതെ ക്രമത്തിലെ 1-2 പ്രാരംഭ അംഗങ്ങളെ വ്യക്തമാക്കുക.

• വൈ 1 = 3; y n =വൈ n-1 + 4 , എങ്കിൽ എൻ = 2, 3, 4,…

ഇവിടെ വൈ 1 = 3; വൈ 2 = 3 + 4 = 7;വൈ 3 = 7 + 4 = 11; ….

• വൈ 1 = 1; വൈ 2 = 1; വൈ എൻ =വൈ n-2 + വൈ n-1 , എങ്കിൽ എൻ = 3, 4,…

ഇവിടെ: വൈ 1 = 1; വൈ 2 = 1; വൈ 3 = 1 + 1 = 2; വൈ 4 = 1 + 2 = 3; വൈ 5 = 2 + 3 = 5; വൈ 6 = 3 + 5 = 8;

ആവർത്തന സൂത്രവാക്യത്താൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ക്രമം y n =വൈ n-1 + 4 വിശകലനപരമായും വ്യക്തമാക്കാം: വൈ എൻ= y 1 +4*(n-1)

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

ഇവിടെ nth ഘടകത്തെ കണക്കാക്കാൻ സംഖ്യാ ശ്രേണിയിലെ മുൻ അംഗത്തെ അറിയേണ്ടതില്ല;

നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഈ രീതി ഫംഗ്ഷനുകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള വിശകലന രീതിയുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണി ഒരു പ്രത്യേക തരം സംഖ്യാ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതിനാൽ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിരവധി ഗുണങ്ങളും സീക്വൻസുകൾക്കായി പരിഗണിക്കാം.

സംഖ്യാ ക്രമങ്ങൾ വളരെ രസകരമാണ് വിദ്യാഭ്യാസ വിഷയം. രചയിതാക്കൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്ന സങ്കീർണ്ണതയുടെ വർദ്ധിച്ച ജോലികളിൽ ഈ വിഷയം കാണപ്പെടുന്നു ഉപദേശപരമായ വസ്തുക്കൾ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡുകളുടെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഉന്നതരിലേക്കുള്ള പ്രവേശന പരീക്ഷകൾ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾപിന്നെ .നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ വിശദമായി പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യണമെങ്കിൽ പല തരംനമ്പർ ക്രമങ്ങൾ, ഇവിടെ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. ശരി, എല്ലാം നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തവും ലളിതവുമാണെങ്കിൽ, ഉത്തരം നൽകാൻ ശ്രമിക്കുക.

ആമുഖം ………………………………………………………………………………………………

1. സൈദ്ധാന്തിക ഭാഗം …………………………………………………….4

അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും നിബന്ധനകളും …………………………………………………………………………

1.1 സീക്വൻസുകളുടെ തരങ്ങൾ ………………………………………………………………………… 6

1.1.1.പരിമിതവും പരിധിയില്ലാത്തതുമായ സംഖ്യാ ക്രമങ്ങൾ.....6

1.1.2. അനുക്രമങ്ങളുടെ ഏകതാനത …………………………………………. 6

1.1.3.അനന്തമായ വലിയതും അനന്തമായതുമായ ശ്രേണികൾ.....7

1.1.4. അനന്തമായ സീക്വൻസുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ…………………….8

1.1.5.കൺവേർജൻ്റ് ആൻഡ് ഡിവേർജൻ്റ് സീക്വൻസുകളും അവയുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ.....9

1.2 സീക്വൻസ് പരിധി ……………………………………………… 11

1.2.1.സീക്വൻസുകളുടെ പരിധിയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തങ്ങൾ………………………………15

1.3 ഗണിത പുരോഗതി ……………………………………………… 17

1.3.1. പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഗണിത പുരോഗതി…………………………………..17

1.4 ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ………………………………………………………… 19

1.4.1. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ………………………………………….19

1.5 ഫിബൊനാച്ചി നമ്പറുകൾ………………………………………………………… 21

1.5.1 അറിവിൻ്റെ മറ്റ് മേഖലകളുമായി ഫിബൊനാച്ചി നമ്പറുകളുടെ കണക്ഷൻ……………….22

1.5.2. ജീവനുള്ളതും നിർജീവവുമായ പ്രകൃതിയെ വിവരിക്കാൻ ഫിബൊനാച്ചി നമ്പർ സീരീസ് ഉപയോഗിക്കുന്നു…………………………………………………………………………………………………………

2. സ്വന്തം ഗവേഷണം ……………………………………………………. 28

ഉപസംഹാരം …………………………………………………………………………………………………… 30

റഫറൻസുകളുടെ ലിസ്റ്റ്………………………………………………………………………….31

ആമുഖം.

സംഖ്യാ ക്രമങ്ങൾ വളരെ രസകരവും വിദ്യാഭ്യാസപരവുമായ വിഷയമാണ്. ഉപദേശപരമായ മെറ്റീരിയലുകളുടെ രചയിതാക്കൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്ന വർദ്ധിച്ച സങ്കീർണ്ണതയുടെ ജോലികൾ, ഗണിതശാസ്ത്ര ഒളിമ്പ്യാഡുകളുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ, ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളിലേക്കുള്ള പ്രവേശന പരീക്ഷകൾ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ എന്നിവയിൽ ഈ വിഷയം കണ്ടെത്തി. ഗണിതശാസ്ത്ര ശ്രേണികൾ അറിവിൻ്റെ മറ്റ് മേഖലകളുമായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് പഠിക്കാൻ എനിക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്.

ലക്ഷ്യം ഗവേഷണ ജോലി: സംഖ്യാ ക്രമത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് വികസിപ്പിക്കുക.

1. ക്രമം പരിഗണിക്കുക;

2. അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക;

3. ക്രമത്തിൻ്റെ വിശകലന ചുമതല പരിഗണിക്കുക;

4. അറിവിൻ്റെ മറ്റ് മേഖലകളുടെ വികസനത്തിൽ അതിൻ്റെ പങ്ക് പ്രകടിപ്പിക്കുക.

5. ജീവനുള്ളതും നിർജീവവുമായ പ്രകൃതിയെ വിവരിക്കാൻ ഫിബൊനാച്ചി ശ്രേണിയിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഉപയോഗം പ്രകടിപ്പിക്കുക.

1. സൈദ്ധാന്തിക ഭാഗം.

അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും നിബന്ധനകളും.

നിർവ്വചനം. നമ്പർ ക്രമം- y = f(x), x О N എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ, ഇവിടെ N എന്നത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണ് (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വാഭാവിക ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ), y = f(n) അല്ലെങ്കിൽ y1, y2,..., yn ,…. y1, y2, y3,... എന്നീ മൂല്യങ്ങളെ യഥാക്രമം ക്രമത്തിലെ ആദ്യത്തെ, രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത്,... അംഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു സംഖ്യയെ a എന്ന ശ്രേണിയുടെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു x = (x n ) ഒരു ഏകപക്ഷീയമായി മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള ഏകപക്ഷീയമായ ചെറിയ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് ε ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ N ഉണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാ n>N നും അസമത്വം |x n - a|< ε.

a എന്ന സംഖ്യ x = (x n ) ശ്രേണിയുടെ പരിധി ആണെങ്കിൽ, x n a ലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു എന്ന് അവർ പറയുന്നു, എഴുതുക

.

ഓരോ അംഗവും (ആദ്യത്തേത് ഒഴികെ) മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ ഒരു ശ്രേണി (yn) വർദ്ധിക്കുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

ഓരോ അംഗവും (ആദ്യത്തേത് ഒഴികെ) മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ ഒരു ശ്രേണിയെ (yn) കുറയുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

y1 > y2 > y3 > ... > yn > yn+1 > ….

കൂടുന്നതും കുറയുന്നതുമായ സീക്വൻസുകൾ പൊതുവായ പദത്തിന് കീഴിൽ സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു - മോണോടോണിക് സീക്വൻസുകൾ.

ചില n മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന yn = yn+T തുല്യത നിലനിർത്തുന്ന ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ T ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ശ്രേണിയെ ആനുകാലികം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ടി എന്ന സംഖ്യയെ പിരീഡ് ദൈർഘ്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി എന്നത് ഒരു ശ്രേണിയാണ് (an), അതിൻ്റെ ഓരോ പദവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തെ പദത്തിൻ്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യ d, ഒരു ഗണിത പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ നമ്പർ d എന്നത് ഒരു ൻ്റെ വ്യത്യാസമാണ്. ഗണിത പുരോഗതി.

അങ്ങനെ, ഒരു ഗണിത പുരോഗതി എന്നത് ബന്ധങ്ങളാൽ ആവർത്തിച്ച് നിർവചിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു സംഖ്യാ ക്രമമാണ് (a)

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

എല്ലാ പദങ്ങളും പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമായ ഒരു ശ്രേണിയാണ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ പദവും മുൻ പദത്തിൽ നിന്ന് അതേ സംഖ്യ q കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്നു.

അങ്ങനെ, ബന്ധങ്ങൾ ആവർത്തിച്ച് നിർവചിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണി (bn) ആണ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 സീക്വൻസുകളുടെ തരങ്ങൾ.

1.1.1 നിയന്ത്രിതവും അനിയന്ത്രിതവുമായ ക്രമങ്ങൾ.

ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും അസമത്വം bn≤ M കൈവശം വയ്ക്കുന്ന തരത്തിൽ M എന്ന സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ മുകളിൽ ഒരു സീക്വൻസ് (bn) പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു എന്ന് പറയപ്പെടുന്നു;

ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും അസമത്വം bn≥ M കൈവശം വയ്ക്കുന്ന തരത്തിൽ M എന്ന സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ താഴെയുള്ള ഒരു ശ്രേണിയെ (bn) ബൗണ്ടഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു;

ഉദാഹരണത്തിന്:

1.1.2 അനുക്രമങ്ങളുടെ ഏകതാനത.

ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ അസമത്വം bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) ശരിയാണെങ്കിൽ, ഒരു ശ്രേണിയെ (bn) നോൺ-ഇൻക്രെസിംഗ് (നോൺ-കുറയുന്നത്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു;

അസമത്വത്തിൽ bn> bn+1 (bn) ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഒരു ശ്രേണിയെ (bn) കുറയുന്നു (വർദ്ധിക്കുന്നു) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കുറയുന്നതും വർദ്ധിക്കുന്നതുമായ സീക്വൻസുകളെ കർശനമായി ഏകതാനമെന്നും വർദ്ധിപ്പിക്കാത്ത സീക്വൻസുകളെ വിശാലമായ അർത്ഥത്തിൽ മോണോടോണിക് എന്നും വിളിക്കുന്നു.

മുകളിലും താഴെയുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന സീക്വൻസുകളെ ബൗണ്ടഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ എല്ലാ തരത്തിലുമുള്ള ക്രമത്തെ മോണോടോണിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

1.1.3 അനന്തമായി വലുതും ചെറുതുമായ ശ്രേണികൾ.

പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാ ധർമ്മം അല്ലെങ്കിൽ അനുക്രമമാണ് അനന്തമായ അനുക്രമം.

ഒരു സീക്വൻസ് an അനന്തരമാനമാണെങ്കിൽ പറയപ്പെടുന്നു

ℓimx→x0 f(x)=0 ആണെങ്കിൽ x0 എന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ഇൻഫിനിറ്റസിമൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ℓimx→.+∞ f(x)=0 അല്ലെങ്കിൽ ℓimx→-∞ f(x)=0 ആണെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ ഇൻഫിനിറ്റിസിമൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷനും അതിൻ്റെ പരിധിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് ഇൻഫിനിറ്റസിമൽ, അതായത്, ℓimx→.+∞ f(x)=a ആണെങ്കിൽ, f(x) - a = α(x), ℓimx→.+∞ f(( x)-a)=0.

അനന്തമായ വലിയ അനുക്രമം അനന്തതയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യാ ധർമ്മം അല്ലെങ്കിൽ അനുക്രമമാണ്.

ഒരു ശ്രേണി an അനന്തമായി വലുതാണെങ്കിൽ പറയപ്പെടുന്നു

ℓimn→0 an=∞.

ℓimx→x0 f(x)= ∞ ആണെങ്കിൽ x0 എന്ന ബിന്ദുവിൻ്റെ അയൽപക്കത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ അനന്തമായി വലുതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അനന്തതയിൽ അനന്തമായി വലുതാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ അല്ലെങ്കിൽ ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 അനന്തമായ സീക്വൻസുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

രണ്ട് അനന്തസൂക്ഷ്മ ശ്രേണികളുടെ ആകെത്തുക തന്നെ ഒരു അനന്തമായ അനുക്രമമാണ്.

രണ്ട് അനന്തമായ ശ്രേണികളുടെ വ്യത്യാസം തന്നെ ഒരു അനന്തമായ അനുക്രമമാണ്.

ഏതെങ്കിലും പരിമിതമായ അനന്തമായ സീക്വൻസുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയും ഒരു അനന്തമായ അനുക്രമമാണ്.

ഒരു ബൗണ്ടഡ് സീക്വൻസിൻ്റെയും അനന്തമായ സീക്വൻസിൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നം ഒരു അനന്തമായ അനുക്രമമാണ്.

ഏതെങ്കിലും പരിമിതമായ അനന്തമായ അനുക്രമങ്ങളുടെ ഗുണനം ഒരു അനന്തമായ അനുക്രമമാണ്.

ഏത് അനന്തമായ അനുക്രമവും പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു നിശ്ചല ശ്രേണി അനന്തമാണെങ്കിൽ, ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദു മുതൽ അതിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

മുഴുവൻ അനന്തമായ സീക്വൻസിലും സമാന ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യങ്ങളാണ്.

(xn) പൂജ്യം പദങ്ങളില്ലാത്ത അനന്തമായ വലിയ ശ്രേണിയാണെങ്കിൽ, അനന്തമായ ഒരു ശ്രേണി (1/xn) ഉണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, (xn) പൂജ്യം മൂലകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെങ്കിൽ, സീക്വൻസ് (1/xn) n എന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് നിർവചിക്കാം, അപ്പോഴും അനന്തതയായിരിക്കും.

(an) പൂജ്യം പദങ്ങളില്ലാത്ത ഒരു അനന്തമായ അനുക്രമമാണെങ്കിൽ, അനന്തമായി വലുതായ ഒരു സീക്വൻസ് (1/an) ഉണ്ട്. (an) എന്നിരുന്നാലും പൂജ്യം മൂലകങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സീക്വൻസ് (1/an) n എന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് നിർവചിക്കാനാകും, അത് ഇപ്പോഴും അനന്തമായി വലുതായിരിക്കും.

1.1.5 സംയോജിതവും വ്യത്യസ്‌തവുമായ ശ്രേണികളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും.

ഈ ഗണത്തിൽ പരിധിയുള്ള X എന്ന സെറ്റിൻ്റെ മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ് കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസ്.

വ്യത്യസ്‌തമായ ഒരു ശ്രേണിയാണ് ഏകീകൃതമല്ലാത്ത ഒരു ശ്രേണി.

എല്ലാ അനന്തമായ അനുക്രമവും ഒത്തുചേരുന്നു. അതിൻ്റെ പരിധി പൂജ്യമാണ്.

അനന്തമായ ശ്രേണിയിൽ നിന്ന് ഏതെങ്കിലും പരിമിതമായ മൂലകങ്ങളെ നീക്കം ചെയ്യുന്നത് ആ ശ്രേണിയുടെ സംയോജനത്തെയോ പരിധിയെയോ ബാധിക്കില്ല.

ഏത് കൺവർജൻ്റ് സീക്വൻസും പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ ബൗണ്ടഡ് സീക്വൻസും ഒത്തുചേരുന്നില്ല.

അനുക്രമം (xn) ഒത്തുചേരുന്നു, എന്നാൽ അനന്തമായതല്ലെങ്കിൽ, ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, ഒരു സീക്വൻസ് (1/xn) നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, അത് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസുകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസും ആണ്.

കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസുകളുടെ വ്യത്യാസവും ഒരു കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസാണ്.

കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസുകളുടെ ഗുണനവും ഒരു കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസാണ്.

രണ്ട് കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസുകളുടെ ഘടകഭാഗം ചില മൂലകങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തെ ശ്രേണി അനന്തമായതല്ലെങ്കിൽ. രണ്ട് കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസുകളുടെ ഘടകഭാഗം നിർവചിച്ചാൽ, അത് ഒരു കൺവർജൻ്റ് സീക്വൻസാണ്.

ഒരു കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസ് താഴെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഇൻഫിമുകളൊന്നും അതിൻ്റെ പരിധി കവിയുന്നില്ല.

ഒരു കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസ് മുകളിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ പരിധി അതിൻ്റെ മുകളിലെ അതിരുകളൊന്നും കവിയരുത്.

ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ ഒരു കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസിൻറെ നിബന്ധനകൾ മറ്റൊരു കൺവേർജൻ്റ് സീക്വൻസിൻറെ നിബന്ധനകൾ കവിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ആദ്യ ശ്രേണിയുടെ പരിധിയും രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ പരിധി കവിയരുത്.

വിദ വൈ= എഫ്(x), xകുറിച്ച് എൻ, എവിടെ എൻ- ഒരു കൂട്ടം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വാഭാവിക വാദത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനം), സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു വൈ=എഫ്(എൻ) അഥവാ വൈ 1 ,വൈ 2 ,…, വൈ എൻ,…. മൂല്യങ്ങൾ വൈ 1 ,വൈ 2 ,വൈ 3 ,… യഥാക്രമം ആദ്യത്തെ, രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത്, ... ക്രമത്തിലെ അംഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനത്തിന് വൈ= എൻ 2 എഴുതാം:

വൈ 1 = 1 2 = 1;

വൈ 2 = 2 2 = 4;

വൈ 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

ക്രമങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.സീക്വൻസുകൾ വിവിധ രീതികളിൽ വ്യക്തമാക്കാം, അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം വളരെ പ്രധാനമാണ്: വിശകലനാത്മകവും വിവരണാത്മകവും ആവർത്തിച്ചുള്ളതും.

1. ഒരു ക്രമം അതിൻ്റെ ഫോർമുല നൽകിയാൽ വിശകലനാത്മകമായി നൽകും എൻഅംഗം:

വൈ എൻ=എഫ്(എൻ).

ഉദാഹരണം. വൈ എൻ= 2n - 1 – ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ക്രമം: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. വിവരണാത്മകം ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള മാർഗം ഏത് ഘടകങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ക്രമം നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് എന്ന് വിശദീകരിക്കുക എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണം 1. "ക്രമത്തിലെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും 1 ന് തുല്യമാണ്." ഇതിനർത്ഥം നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് 1, 1, 1, ..., 1, .... എന്ന ഒരു നിശ്ചല ശ്രേണിയെക്കുറിച്ചാണ്.

ഉദാഹരണം 2: "അനുക്രമത്തിൽ ആരോഹണ ക്രമത്തിലുള്ള എല്ലാ അഭാജ്യ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു." അങ്ങനെ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ശ്രേണി 2, 3, 5, 7, 11, .... ഈ ഉദാഹരണത്തിലെ ക്രമം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, സീക്വൻസിൻ്റെ 1000-ാമത്തെ ഘടകം എന്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഉത്തരം നൽകാൻ പ്രയാസമാണ്.

3. ഒരു ക്രമം വ്യക്തമാക്കുന്നതിനുള്ള ആവർത്തിച്ചുള്ള രീതി നിങ്ങളെ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു നിയമം വ്യക്തമാക്കുക എന്നതാണ് എൻഒരു ശ്രേണിയിലെ മുൻ അംഗങ്ങൾ അറിയാമെങ്കിൽ അതിലെ അംഗം. ലാറ്റിൻ പദത്തിൽ നിന്നാണ് ആവർത്തന രീതി എന്ന പേര് വന്നത് ആവർത്തിച്ചുള്ള- മടങ്ങിവരിക. മിക്കപ്പോഴും, അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പ്രകടിപ്പിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എൻമുമ്പത്തെവയിലൂടെയുള്ള സീക്വൻസിലെ അംഗം, കൂടാതെ ക്രമത്തിലെ 1-2 പ്രാരംഭ അംഗങ്ങളെ വ്യക്തമാക്കുക.

ഉദാഹരണം 1. വൈ 1 = 3; y n = y n–1 + 4 എങ്കിൽ എൻ = 2, 3, 4,….

ഇവിടെ വൈ 1 = 3; വൈ 2 = 3 + 4 = 7;വൈ 3 = 7 + 4 = 11; ….

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ ലഭിച്ച ക്രമം വിശകലനപരമായി വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും: വൈ എൻ= 4n - 1.

ഉദാഹരണം 2. വൈ 1 = 1; വൈ 2 = 1; വൈ എൻ = വൈ എൻ –2 + വൈ എൻ-1 എങ്കിൽ എൻ = 3, 4,….

ഇവിടെ: വൈ 1 = 1; വൈ 2 = 1; വൈ 3 = 1 + 1 = 2; വൈ 4 = 1 + 2 = 3; വൈ 5 = 2 + 3 = 5; വൈ 6 = 3 + 5 = 8;

ഈ ഉദാഹരണത്തിലെ ക്രമം പ്രത്യേകിച്ചും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പഠിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം ഇതിന് രസകരമായ നിരവധി ഗുണങ്ങളും പ്രയോഗങ്ങളും ഉണ്ട്. പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ പേരിലുള്ള ഫിബൊനാച്ചി സീക്വൻസ് എന്നാണ് ഇതിനെ വിളിക്കുന്നത്. ഫിബൊനാച്ചി സീക്വൻസ് ആവർത്തിച്ച് നിർവചിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, എന്നാൽ വിശകലനപരമായി വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. എൻഫിബൊനാച്ചി നമ്പർ അതിലൂടെയാണ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് സീരിയൽ നമ്പർഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല.

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഫോർമുല എൻഫിബൊനാച്ചി സംഖ്യ അസംഭവ്യമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, കാരണം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമം വ്യക്തമാക്കുന്ന സൂത്രവാക്യത്തിൽ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ മാത്രമേ അടങ്ങിയിട്ടുള്ളൂ, എന്നാൽ ആദ്യത്തെ കുറച്ച് ഈ ഫോർമുലയുടെ സാധുത നിങ്ങൾക്ക് "മാനുവലായി" പരിശോധിക്കാം. എൻ.

സംഖ്യാ ക്രമങ്ങളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

ഒരു ന്യൂമറിക്കൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ് സംഖ്യാ ശ്രേണി, അതിനാൽ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ നിരവധി ഗുണങ്ങളും സീക്വൻസുകൾക്കായി പരിഗണിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം . തുടർന്നുള്ള ( വൈ എൻ} അതിൻ്റെ ഓരോ നിബന്ധനകളും (ആദ്യത്തേത് ഒഴികെ) മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ വർദ്ധിക്കുന്നത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

വൈ 1 y 2 y 3 y n y n +1

നിർവ്വചനം. ക്രമം ( വൈ എൻ} അതിൻ്റെ ഓരോ നിബന്ധനകളും (ആദ്യത്തേത് ഒഴികെ) മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ കുറയുന്നത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

വൈ 1 > വൈ 2 > വൈ 3 > … > വൈ എൻ> വൈ എൻ +1 > … .

കൂടുന്നതും കുറയുന്നതുമായ സീക്വൻസുകൾ പൊതുവായ പദത്തിന് കീഴിൽ സംയോജിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു - മോണോടോണിക് സീക്വൻസുകൾ.

ഉദാഹരണം 1. വൈ 1 = 1; വൈ എൻ= എൻ 2 - വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ക്രമം.

അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ് (ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവ സവിശേഷത). ആദ്യത്തേത് ഒഴികെയുള്ള ഓരോ അംഗവും (ഒരു പരിമിത ശ്രേണിയുടെ കാര്യത്തിൽ അവസാനത്തേത്) മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണി ഗണിതമാണ്.

ഉദാഹരണം. എന്ത് മൂല്യത്തിലാണ് xഅക്കങ്ങൾ 3 x + 2, 5x- 4 ഉം 11 ഉം x+ 12 ഒരു പരിമിതമായ ഗണിത പുരോഗതിക്ക് രൂപം നൽകുന്നു?

സ്വഭാവ സവിശേഷത അനുസരിച്ച്, നൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ബന്ധത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് നൽകുന്നു x= –5,5. ഈ മൂല്യത്തിൽ xനൽകിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ 3 x + 2, 5x- 4 ഉം 11 ഉം x+ 12, യഥാക്രമം, മൂല്യങ്ങൾ -14.5 എടുക്കുക, –31,5, –48,5. ഇതൊരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്, അതിൻ്റെ വ്യത്യാസം -17 ആണ്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം, അതിൻ്റെ എല്ലാ പദങ്ങളും പൂജ്യമല്ലാത്തതും ഓരോ പദങ്ങളും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നതും, അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മുമ്പത്തെ പദത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും. q, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്നും സംഖ്യ എന്നും വിളിക്കുന്നു q- ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ.

അങ്ങനെ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഒരു സംഖ്യാ ക്രമമാണ് ( ബി എൻ), ബന്ധങ്ങൾ ആവർത്തിച്ച് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്

ബി 1 = ബി, ബി എൻ = ബി എൻ –1 q (എൻ = 2, 3, 4…).

(ബിഒപ്പം q -നൽകിയ നമ്പറുകൾ, ബി ≠ 0, q ≠ 0).

ഉദാഹരണം 1. 2, 6, 18, 54, ... – ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു ബി = 2, q = 3.

ഉദാഹരണം 2. 2, –2, 2, –2, … – ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ബി= 2,q= –1.

ഉദാഹരണം 3. 8, 8, 8, 8, … – ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ബി= 8, q= 1.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഒരു വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ക്രമമാണ് എങ്കിൽ ബി 1 > 0, q> 1, എങ്കിൽ കുറയുന്നു ബി 1 > 0, 0 ക്യു

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ വ്യക്തമായ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്ന്, ക്രമം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണെങ്കിൽ, ചതുരങ്ങളുടെ ക്രമവും അങ്ങനെയാണ്, അതായത്.

ബി 1 2 , ബി 2 2 , ബി 3 2 , …, ബി എൻ 2,... ആദ്യ പദം തുല്യമായ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് ബി 1 2, ഡിനോമിനേറ്റർ ആണ് q 2 .

ഫോർമുല n-ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

ബി എൻ= ബി 1 qn- 1 .

പരിമിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫോർമുല ലഭിക്കും.

ഒരു പരിമിത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകട്ടെ

ബി 1 ,ബി 2 ,ബി 3 , …, ബി എൻ

അനുവദിക്കുക എസ് എൻ -അതിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, അതായത്.

എസ് എൻ= ബി 1 + ബി 2 + ബി 3 + … +ബി എൻ.

അത് അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു qനമ്പർ 1. നിർണ്ണയിക്കാൻ എസ് എൻഒരു കൃത്രിമ സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കുന്നു: പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ചില ജ്യാമിതീയ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു എസ് എൻ ക്യു.

എസ് എൻ ക്യു = (ബി 1 + ബി 2 + ബി 3 + … + ബി എൻ –1 + ബി എൻ)q = ബി 2 + ബി 3 + ബി 4 + …+ ബി എൻ+ b n q = എസ് എൻ+ b n q– ബി 1 .

അങ്ങനെ, എസ് എൻ ക്യു= എസ് എൻ +b n q - b 1 അതിനാൽ

ഇതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതാണ് ഉമ്മ n ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾഎപ്പോൾ കേസിനായി q≠ 1.

ചെയ്തത് q= 1 ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സൂത്രവാക്യം പ്രത്യേകം ഉരുത്തിരിഞ്ഞു വരേണ്ടതില്ല എസ് എൻ= എ 1 എൻ.

പുരോഗതിയെ ജ്യാമിതീയമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിൽ ആദ്യത്തേത് ഒഴികെയുള്ള ഓരോ പദവും മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ പദങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്. തീർച്ചയായും, മുതൽ

bn=bn- 1 ക്യു;

bn = bn+ 1 /ക്യു,

അതിനാൽ, ബി എൻ 2=bn- 1 bn+ 1, ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ് (ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവഗുണം):

ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം എന്നത് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ അംഗങ്ങൾ.

സ്ഥിരത പരിധി.

ഒരു ക്രമം ഉണ്ടാകട്ടെ ( സി എൻ} = {1/എൻ}. ഈ ശ്രേണിയെ ഹാർമോണിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിൻ്റെ ഓരോ പദങ്ങളും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ പദങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ഹാർമോണിക് ശരാശരിയാണ്. സംഖ്യകളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരി എഒപ്പം ബിഒരു സംഖ്യയുണ്ട്

അല്ലാത്തപക്ഷം, ക്രമത്തെ വ്യതിചലനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരാൾക്ക്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പരിധിയുടെ അസ്തിത്വം തെളിയിക്കാൻ കഴിയും A=0ഹാർമോണിക് സീക്വൻസിനായി ( സി എൻ} = {1/എൻ). ε ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ചെറിയ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. വ്യത്യാസം പരിഗണിക്കുന്നു

അങ്ങനെയൊന്ന് നിലവിലുണ്ടോ? എൻഅത് എല്ലാവർക്കും വേണ്ടിയുള്ളതാണ് n ≥ എൻഅസമത്വം 1 നിലനിർത്തുന്നു /എൻ ? ആയി എടുത്താൽ എൻഅതിലും വലിയ ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ 1/ε , പിന്നെ എല്ലാവർക്കും n ≥ എൻഅസമത്വം 1 നിലനിർത്തുന്നു /n ≤ 1/N ε, ക്യു.ഇ.ഡി.

ഒരു പ്രത്യേക ശ്രേണിക്ക് ഒരു പരിധിയുടെ സാന്നിധ്യം തെളിയിക്കുന്നത് ചിലപ്പോൾ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. ഏറ്റവും പതിവായി സംഭവിക്കുന്ന സീക്വൻസുകൾ നന്നായി പഠിക്കുകയും റഫറൻസ് ബുക്കുകളിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇതിനകം പഠിച്ച സീക്വൻസുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഒരു നിശ്ചിത ശ്രേണിക്ക് ഒരു പരിധിയുണ്ടെന്ന് (അത് കണക്കാക്കുക പോലും) നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന പ്രധാനപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ട്.

സിദ്ധാന്തം 1. ഒരു ശ്രേണിക്ക് ഒരു പരിധിയുണ്ടെങ്കിൽ, അത് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2. ഒരു അനുക്രമം ഏകതാനവും അതിരുകളുള്ളതുമാണെങ്കിൽ, അതിന് ഒരു പരിധിയുണ്ട്.

സിദ്ധാന്തം 3. ക്രമമാണെങ്കിൽ ( ഒരു എൻ} ഒരു പരിധി ഉണ്ട് എ, പിന്നെ സീക്വൻസുകൾ ( ca n}, {ഒരു എൻ+ സി) കൂടാതെ (| ഒരു എൻ|} പരിധികൾ ഉണ്ട് cA, എ +സി, |എ| അതനുസരിച്ച് (ഇവിടെ സി- അനിയന്ത്രിതമായ നമ്പർ).

സിദ്ധാന്തം 4. ക്രമങ്ങളാണെങ്കിൽ ( ഒരു എൻ} ഒപ്പം ( ബി എൻ) തുല്യമായ പരിധികൾ ഉണ്ട് എഒപ്പം ബി പിഎ എൻ + qbn) പരിധിയുണ്ട് പിഎ+ qB.

സിദ്ധാന്തം 5. ക്രമങ്ങളാണെങ്കിൽ ( ഒരു എൻ) ഒപ്പം ( ബി എൻ) തുല്യമായ പരിധികൾ ഉണ്ട് എഒപ്പം ബിഅതനുസരിച്ച്, തുടർന്ന് ക്രമം ( a n b n) പരിധിയുണ്ട് എബി.

സിദ്ധാന്തം 6. ക്രമങ്ങളാണെങ്കിൽ ( ഒരു എൻ} ഒപ്പം ( ബി എൻ) തുല്യമായ പരിധികൾ ഉണ്ട് എഒപ്പം ബിഅതനുസരിച്ച്, കൂടാതെ, കൂടാതെ, b n ≠ 0 ഒപ്പം ബി≠ 0, തുടർന്ന് ക്രമം ( a n / b n) പരിധിയുണ്ട് എ/ബി.

അന്ന ചുഗൈനോവ

നമ്പർ ക്രമം.
എങ്ങനെ ?

ഈ പാഠത്തിൽ Vkontakte എന്ന വലിയ കമ്മ്യൂണിറ്റിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ജീവിതത്തിൽ നിന്ന് രസകരമായ ഒരുപാട് കാര്യങ്ങൾ നമ്മൾ പഠിക്കും സംഖ്യാ ക്രമങ്ങൾ. പരിഗണനയിലുള്ള വിഷയം ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ ഗതിയുമായി മാത്രമല്ല, അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളിലും സ്പർശിക്കുന്നു വ്യതിരിക്ത ഗണിതശാസ്ത്രം. കൂടാതെ, ടവറിൻ്റെ മറ്റ് വിഭാഗങ്ങൾ മാസ്റ്റേഴ്സ് ചെയ്യുന്നതിന് മെറ്റീരിയൽ ആവശ്യമാണ്, പ്രത്യേകിച്ച്, പഠന സമയത്ത് നമ്പർ പരമ്പരഒപ്പം ഫങ്ഷണൽ സീരീസ്. ഇത് പ്രധാനമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് നിസ്സാരമായി പറയാൻ കഴിയും, ഇത് ലളിതമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പ്രോത്സാഹജനകമായി പറയാം, നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ പതിവ് ശൈലികൾ പറയാം, എന്നാൽ ഇന്ന് സ്കൂളിലെ ആദ്യത്തെ, അസാധാരണമായ അലസമായ ആഴ്ചയാണ്, അതിനാൽ ആദ്യ ഖണ്ഡിക എഴുതാൻ ഇത് എന്നെ ഭയപ്പെടുത്തുന്നു =) ഞാൻ 'ഫയൽ ഇതിനകം എൻ്റെ ഹൃദയത്തിൽ സംരക്ഷിച്ച് ഉറങ്ങാൻ തയ്യാറായി, പെട്ടെന്ന് ... ആത്മാർത്ഥമായ ഒരു കുമ്പസാരം എന്ന ആശയത്താൽ എൻ്റെ തല പ്രകാശിച്ചു, അത് എൻ്റെ ആത്മാവിനെ അവിശ്വസനീയമാംവിധം പ്രകാശിപ്പിക്കുകയും കീബോർഡിൽ എൻ്റെ വിരലുകൾ തപ്പുന്നത് തുടരാൻ എന്നെ പ്രേരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. .

നമുക്ക് വേനൽ ഓർമ്മകളിൽ നിന്ന് ഒരു ഇടവേള എടുത്ത് പുതിയതിൻ്റെ ആകർഷകവും പോസിറ്റീവുമായ ഈ ലോകത്തേക്ക് നോക്കാം സോഷ്യൽ നെറ്റ്വർക്ക്:

സംഖ്യാ ക്രമം എന്ന ആശയം

ആദ്യം, നമുക്ക് ഈ വാക്കിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാം: എന്താണ് ക്രമം? എന്തെങ്കിലും എന്തെങ്കിലും പിന്തുടരുന്നതാണ് സീക്വൻസ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ക്രമം, സീസണുകളുടെ ഒരു ക്രമം. അല്ലെങ്കിൽ ആരെങ്കിലും ആരുടെയെങ്കിലും പുറകിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുമ്പോൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്യൂവിൽ നിൽക്കുന്ന ആളുകളുടെ ഒരു ക്രമം, വെള്ളക്കെട്ടിലേക്കുള്ള പാതയിലെ ആനകളുടെ ഒരു ക്രമം.

ഉടനെ വ്യക്തമാക്കാം സ്വഭാവ സവിശേഷതകൾക്രമങ്ങൾ. ഒന്നാമതായി, ക്രമം അംഗങ്ങൾസ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു കർശനമായി ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ. അതിനാൽ, ക്യൂവിലുള്ള രണ്ട് ആളുകളെ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ, ഇത് ഇതിനകം തന്നെ ആയിരിക്കും മറ്റുള്ളവതുടർന്നുള്ള. രണ്ടാമതായി, എല്ലാവരും ക്രമം അംഗംനിങ്ങൾക്ക് ഒരു സീരിയൽ നമ്പർ നൽകാം:

അക്കങ്ങളുടെ കാര്യവും അങ്ങനെ തന്നെ. അനുവദിക്കുക ഓരോന്നിനുംസ്വാഭാവിക മൂല്യം ചില നിയമം അനുസരിച്ച്ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. അപ്പോൾ ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് അവർ പറയുന്നു.

അതെ, ഇൻ ഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾവ്യത്യസ്തമായി ജീവിത സാഹചര്യങ്ങൾക്രമത്തിൽ മിക്കവാറും എപ്പോഴും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു അനന്തമായി പലതുംസംഖ്യകൾ.

അതിൽ:
വിളിച്ചു ആദ്യ അംഗംക്രമങ്ങൾ;
– രണ്ടാമത്തെ അംഗംക്രമങ്ങൾ;
– മൂന്നാമത്തെ അംഗംക്രമങ്ങൾ;
…
– nthഅഥവാ സാധാരണ അംഗംക്രമങ്ങൾ;
…

പ്രായോഗികമായി, ക്രമം സാധാരണയായി നൽകിയിരിക്കുന്നു പൊതുവായ പദ സൂത്രവാക്യം, ഉദാഹരണത്തിന്:
- പോസിറ്റീവ് ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ക്രമം:

അതിനാൽ, റെക്കോർഡ് ക്രമത്തിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളെയും അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കുന്നു - ഇതാണ് സ്വാഭാവിക മൂല്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് നിയമം (സൂത്രവാക്യം). നമ്പറുകൾ കത്തിടപാടുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്. അതിനാൽ, ക്രമം പലപ്പോഴും ഒരു പൊതു പദത്താൽ ചുരുക്കമായി സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ "x" ന് പകരം മറ്റ് ലാറ്റിൻ അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്:

പോസിറ്റീവ് ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ക്രമം:

മറ്റൊരു സാധാരണ ക്രമം:

പലരും ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കാം, "en" വേരിയബിൾ ഒരു തരത്തിലുള്ള കൌണ്ടറിൻ്റെ പങ്ക് വഹിക്കുന്നു.

വാസ്തവത്തിൽ, മിഡിൽ സ്കൂളിൽ ഞങ്ങൾ നമ്പർ സീക്വൻസുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്തു. ഓർക്കാം ഗണിത പുരോഗതി. ഞാൻ നിർവചനം മാറ്റിയെഴുതില്ല; ആദ്യ പദം ആകട്ടെ, ഒപ്പം - ഘട്ടംഗണിത പുരോഗതി. അപ്പോൾ:
- ഈ പുരോഗതിയുടെ രണ്ടാം പദം;
- ഈ പുരോഗതിയുടെ മൂന്നാം ടേം;
- നാലാമത്തെ;
- അഞ്ചാമത്;
…
കൂടാതെ, വ്യക്തമായും, nth ടെം നൽകിയിരിക്കുന്നു ആവർത്തിച്ചുള്ളഫോർമുല

കുറിപ്പ് : ഒരു ആവർത്തന സൂത്രവാക്യത്തിൽ, ഓരോ തുടർന്നുള്ള പദവും മുൻ പദത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മുമ്പത്തെ പദങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പോലും പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുല പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗപ്രദമല്ല - പറയുന്നതിന്, മുമ്പത്തെ എല്ലാ നിബന്ധനകളിലൂടെയും നിങ്ങൾ പോകേണ്ടതുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ nth പദത്തിന് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു പദപ്രയോഗം ഉരുത്തിരിഞ്ഞു: . ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ:

ഫോർമുലയിലേക്ക് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് മുകളിൽ നിർമ്മിച്ച സംഖ്യാ ക്രമത്തിൻ്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുക.

സമാനമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, സൂത്രവാക്യം നൽകുന്ന n-ആം പദം, ആദ്യ പദം എവിടെയാണ്, കൂടാതെ – ഡിനോമിനേറ്റർപുരോഗതി. ഗണിത ജോലികളിൽ, ആദ്യ പദം പലപ്പോഴും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

പുരോഗതി ക്രമം സജ്ജമാക്കുന്നു ;
പുരോഗതി ക്രമം സജ്ജമാക്കുന്നു;
പുരോഗതി ക്രമം സജ്ജമാക്കുന്നു ;
പുരോഗതി ക്രമം സജ്ജമാക്കുന്നു .

ഒറ്റ പവർ മുതൽ -1 വരെ -1, ഇരട്ട ശക്തി - ഒന്ന് എന്ന് എല്ലാവർക്കും അറിയാമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു അനന്തമായി കുറയുന്നു, എങ്കിൽ (അവസാന രണ്ട് കേസുകൾ).

നമ്മുടെ ലിസ്റ്റിലേക്ക് രണ്ട് പുതിയ ചങ്ങാതിമാരെ ചേർക്കാം, അവരിൽ ഒരാൾ മോണിറ്ററിൻ്റെ മാട്രിക്സിൽ തട്ടി:

ഗണിത പദപ്രയോഗത്തിലെ ക്രമത്തെ "ബ്ലിങ്കർ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു:

അങ്ങനെ, സീക്വൻസ് അംഗങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാം. അതിനാൽ, പരിഗണിച്ച ഉദാഹരണത്തിൽ, ക്രമത്തിൽ രണ്ട് അനന്തമായി ഒന്നിടവിട്ടുള്ള സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഒരു ശ്രേണിയിൽ ഒരേ സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നത് സംഭവിക്കുമോ? തീർച്ചയായും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇത് "മൂന്ന്" എന്ന അനന്തമായ എണ്ണം സജ്ജമാക്കുന്നു. സൗന്ദര്യശാസ്ത്രത്തിന്, ഫോർമുലയിൽ "en" ഇപ്പോഴും ഔപചാരികമായി ദൃശ്യമാകുമ്പോൾ ഒരു സാഹചര്യമുണ്ട്:

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ സുഹൃത്തിനെ നൃത്തം ചെയ്യാൻ ക്ഷണിക്കാം:

"en" അനന്തതയിലേക്ക് വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ എന്ത് സംഭവിക്കും? വ്യക്തമായും, ക്രമത്തിലെ അംഗങ്ങൾ ആയിരിക്കും അനന്തമായി അടുത്ത്പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുക. ഇതാണ് ഈ ശ്രേണിയുടെ പരിധി, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു അനന്തമായ.

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലന സിദ്ധാന്തത്തിൽ ഇത് നൽകിയിരിക്കുന്നു അനുക്രമ പരിധിയുടെ കർശനമായ നിർവചനംഎപ്സിലോൺ പരിസരം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയിലൂടെ. അടുത്ത ലേഖനം ഈ നിർവചനത്തിന് സമർപ്പിക്കും, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ അതിൻ്റെ അർത്ഥം നോക്കാം:

പൂജ്യം (പരിധി):


ഇപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ കൈപ്പത്തിയുടെ അരികുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നീല പ്രദേശം പിഞ്ച് ചെയ്ത് അത് കുറയ്ക്കാൻ തുടങ്ങുക, പരിധിയിലേക്ക് (ചുവപ്പ് പോയിൻ്റ്) വലിക്കുക. മുൻകൂട്ടി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഏതെങ്കിലും അയൽപക്കത്തിനാണെങ്കിൽ, ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധിയാണ് സംഖ്യ (നിങ്ങളുടെ ഇഷ്ടം പോലെ ചെറുത്)അത് അകത്തായിരിക്കും അനന്തമായി പലതുംക്രമത്തിലെ അംഗങ്ങൾ, അതിന് പുറത്ത് - മാത്രം ഫൈനൽഅംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം (അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല). അതായത്, എപ്സിലോൺ അയൽപക്കത്തിന് സൂക്ഷ്മദർശിനിയും അതിലും ചെറുതും ആകാം, എന്നാൽ ഈ ശ്രേണിയുടെ "അനന്തമായ വാൽ" എത്രയും വേഗം അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് വേണം. പൂർണ്ണമായുംപ്രദേശത്ത് പ്രവേശിക്കുക.

ക്രമവും അനന്തമാണ്: വ്യത്യാസത്തിൽ അതിലെ അംഗങ്ങൾ അങ്ങോട്ടും ഇങ്ങോട്ടും ചാടുന്നില്ല, മറിച്ച് വലതുവശത്ത് നിന്ന് മാത്രമായി പരിധിയെ സമീപിക്കുന്നു.

സ്വാഭാവികമായും, പരിധി മറ്റേതൊരു പരിമിത സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യമായിരിക്കും, ഒരു പ്രാഥമിക ഉദാഹരണം:

ഇവിടെ ഭിന്നസംഖ്യ പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറുന്നു, അതനുസരിച്ച്, പരിധി "രണ്ട്" ന് തുല്യമാണ്.

ക്രമമാണെങ്കിൽ ഒരു പരിമിതമായ പരിധി ഉണ്ട്, പിന്നെ വിളിക്കുന്നു ഒത്തുചേരുന്ന(പ്രത്യേകിച്ച്, അനന്തമായ at ). അല്ലെങ്കിൽ - വ്യത്യസ്‌തമായ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ സാധ്യമാണ്: ഒന്നുകിൽ പരിധി നിലവിലില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അത് അനന്തമാണ്. പിന്നീടുള്ള സന്ദർഭത്തിൽ, ക്രമം വിളിക്കുന്നു അനന്തമായി വലുത്. ആദ്യ ഖണ്ഡികയുടെ ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ നമുക്ക് കടന്നുപോകാം:

സീക്വൻസുകൾ ആകുന്നു അനന്തമായി വലുത്, അവരുടെ അംഗങ്ങൾ ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ "പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി"യിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ:

ആദ്യ പദവും ഘട്ടവുമുള്ള ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയും അനന്തമായി വലുതാണ്:

വഴിയിൽ, ഏത് ഗണിത പുരോഗതിയും വ്യതിചലിക്കുന്നു, ഒരു പൂജ്യം ഘട്ടം ഒഴികെ - എപ്പോൾ . അത്തരമൊരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി നിലവിലുണ്ട്, ആദ്യ പദവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

സീക്വൻസുകൾക്ക് സമാനമായ വിധി ഉണ്ട്:

പേരിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാകുന്നത് പോലെ, അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അനന്തമായ ചെറുത്:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ആണെങ്കിൽ, ക്രമം അനന്തമായി വലുതാണ്:

ഉദാഹരണത്തിന്, പരിധി നിലവിലില്ലെങ്കിൽ, അംഗങ്ങൾ അശ്രാന്തമായി ഒന്നുകിൽ "പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി" അല്ലെങ്കിൽ "മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി" എന്നതിലേക്ക് ചാടുന്നു. സാമാന്യബുദ്ധിയും മാറ്റൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങളും സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എവിടെയെങ്കിലും എന്തെങ്കിലും പരിശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് മാത്രമാണ് പ്രിയപ്പെട്ട സ്ഥലമെന്ന്.

ഒരു ചെറിയ വെളിപ്പെടുത്തലിന് ശേഷം അനിയന്ത്രിതമായ എറിയലിന് “മിന്നുന്ന വെളിച്ചം” കുറ്റപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാകും, അത് സ്വയം വ്യതിചലിക്കുന്നു.
വാസ്‌തവത്തിൽ, ഒരു സീക്വൻസിനായി, ഒരു അയൽപക്കം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, അതായത്, നമ്പർ –1 മാത്രം ക്ലാമ്പ് ചെയ്യുന്നു. തൽഫലമായി, അനന്തമായ എണ്ണം സീക്വൻസ് അംഗങ്ങൾ ("പ്ലസ് വൺസ്") ഈ അയൽപക്കത്തിന് പുറത്ത് നിലനിൽക്കും. എന്നാൽ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു നിശ്ചിത നിമിഷത്തിൽ നിന്നുള്ള (സ്വാഭാവിക സംഖ്യ) ക്രമത്തിൻ്റെ "അനന്തമായ വാൽ" പൂർണ്ണമായുംനിങ്ങളുടെ പരിധിയുടെ ഏത് പരിസരത്തേക്കും പോകുക. ഉപസംഹാരം: ആകാശമാണ് പരിധി.

ഫാക്‌ടോറിയൽ ആണ് അനന്തമായി വലുത്ക്രമം:

മാത്രമല്ല, അത് കുതിച്ചുയരുകയും അതിരുകൾ കൊണ്ട് വളരുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിനാൽ ഇത് 100-ലധികം അക്കങ്ങൾ (അക്കങ്ങൾ) ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ്! എന്തുകൊണ്ട് കൃത്യമായി 70? അതിൽ എൻ്റെ എഞ്ചിനീയറിംഗ് മൈക്രോകാൽക്കുലേറ്റർ കരുണയ്ക്കായി യാചിക്കുന്നു.

ഒരു കൺട്രോൾ ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച്, എല്ലാം കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണ്, ഞങ്ങൾ പ്രഭാഷണത്തിൻ്റെ പ്രായോഗിക ഭാഗത്തേക്ക് വന്നിരിക്കുന്നു, അതിൽ ഞങ്ങൾ പോരാട്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും:

എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പരിധികൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയണം, കുറഞ്ഞത് രണ്ട് അടിസ്ഥാന പാഠങ്ങളുടെ തലത്തിലെങ്കിലും: പരിധികൾ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾഒപ്പം അതിശയകരമായ പരിധികൾ. കാരണം പല പരിഹാര രീതികളും സമാനമായിരിക്കും. പക്ഷേ, ഒന്നാമതായി, ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധിയും ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധിയും തമ്മിലുള്ള അടിസ്ഥാന വ്യത്യാസങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യാം:

ശ്രേണിയുടെ പരിധിയിൽ, "ഡൈനാമിക്" വേരിയബിൾ "en" ന് പ്രവണത കാണിക്കാം "പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി" വരെ മാത്രം- സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന് .
ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധിയിൽ, "x" എവിടെയും - "പ്ലസ്/മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി" അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിലേക്ക് നയിക്കാനാകും.

തുടർന്നുള്ള വ്യതിരിക്തമായ(തുടരാതെ), അതായത്, അതിൽ വ്യക്തിഗത ഒറ്റപ്പെട്ട അംഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്, നാല്, അഞ്ച്, ബണ്ണി നടക്കാൻ പോയി. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വാദം തുടർച്ചയുടെ സവിശേഷതയാണ്, അതായത്, “എക്സ്” സുഗമമായി, സംഭവമില്ലാതെ, ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു മൂല്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു. കൂടാതെ, അതനുസരിച്ച്, ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളും തുടർച്ചയായി അവയുടെ പരിധിയെ സമീപിക്കും.

കാരണം വിവേചനാധികാരംസീക്വൻസുകൾക്കുള്ളിൽ ഫാക്‌ടോറിയലുകൾ, "ഫ്ലാഷിംഗ് ലൈറ്റുകൾ", പുരോഗതികൾ മുതലായവ പോലുള്ള അവരുടെ സ്വന്തം കൈയൊപ്പുണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഞാൻ സീക്വൻസുകൾക്ക് പ്രത്യേകമായ പരിധികൾ വിശകലനം ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കും.

പുരോഗതികളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം:

ഉദാഹരണം 1

ക്രമത്തിൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് സമാനമായ ഒന്ന്, എന്നാൽ അത് ശരിക്കും അങ്ങനെയാണോ? വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് ആദ്യത്തെ കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ എഴുതാം:

അതിനുശേഷം, ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത് തുകഅനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ, ഇത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഒരു തീരുമാനം എടുക്കുന്നു:

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ: - ആദ്യ പദം, - പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ.

ഉദാഹരണം 2

ക്രമത്തിൻ്റെ ആദ്യ നാല് നിബന്ധനകൾ എഴുതി അതിൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ന്യൂമറേറ്ററിലെ അനിശ്ചിതത്വം ഇല്ലാതാക്കാൻ, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കായി നിങ്ങൾ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്:
, എവിടെയാണ് ആദ്യത്തേതും a എന്നത് പുരോഗതിയുടെ nth ടേം ആണ്.

സീക്വൻസുകൾക്കുള്ളിൽ "en" എല്ലായ്പ്പോഴും "പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റി" ആയി മാറുന്നതിനാൽ, അനിശ്ചിതത്വം ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല.
കൂടാതെ പല ഉദാഹരണങ്ങളും ഫംഗ്‌ഷൻ പരിധികൾ പോലെ തന്നെ പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു!

അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ എന്തെങ്കിലും ? ലേഖനത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം നമ്പർ 3 പരിശോധിക്കുക പരിധികൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.

ഒരു ഔപചാരിക വീക്ഷണകോണിൽ, വ്യത്യാസം ഒരു അക്ഷരത്തിൽ മാത്രമായിരിക്കും - ഇവിടെ "x", ഇവിടെ "en".
സാങ്കേതികത ഒന്നുതന്നെയാണ് - ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും "en" കൊണ്ട് ഏറ്റവും ഉയർന്ന തലത്തിലേക്ക് വിഭജിക്കണം.

കൂടാതെ, ക്രമങ്ങൾക്കുള്ളിലെ അനിശ്ചിതത്വം വളരെ സാധാരണമാണ്. പോലുള്ള പരിധികൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം അതേ ലേഖനത്തിൻ്റെ 11-13 ഉദാഹരണങ്ങളിൽ കാണാം.

പരിധി മനസ്സിലാക്കാൻ, പാഠത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണ നമ്പർ 7 കാണുക അതിശയകരമായ പരിധികൾ(രണ്ടാം അത്ഭുതകരമായ പരിധിവ്യതിരിക്ത കേസിനും സാധുതയുള്ളതാണ്). ഒറ്റ അക്ഷര വ്യത്യാസത്തിൽ കാർബൺ കോപ്പി പോലെയാകും പരിഹാരം.

അടുത്ത നാല് ഉദാഹരണങ്ങളും (നമ്പർ 3-6) "ദ്വിമുഖം" ആണ്, എന്നാൽ ചില കാരണങ്ങളാൽ അവ പ്രവർത്തന പരിധികളേക്കാൾ അനുക്രമ പരിധികളുടെ സ്വഭാവമാണ്:

ഉദാഹരണം 3

ക്രമത്തിൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം: ആദ്യം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരം, തുടർന്ന് ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള അഭിപ്രായങ്ങൾ:

(1) ന്യൂമറേറ്ററിൽ നമ്മൾ സൂത്രവാക്യം രണ്ടുതവണ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

(2) ഞങ്ങൾ സമാന പദങ്ങൾ ന്യൂമറേറ്ററിൽ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

(3) അനിശ്ചിതത്വം ഇല്ലാതാക്കാൻ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും (“en” ഉയർന്ന തലത്തിലേക്ക്) കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല.

ഉദാഹരണം 4

ക്രമത്തിൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്, ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾസഹായിക്കാൻ.

കൾക്കുള്ളിൽ സൂചകമായസീക്വൻസുകൾ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും വിഭജിക്കാൻ സമാനമായ ഒരു രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 5

ക്രമത്തിൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരംഅതേ സ്കീം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഇത് ക്രമീകരിക്കാം:

ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് സമാനമായ ഒരു സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്: ഒരു ബൗണ്ടഡ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെയും അനന്തമായ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നം അനന്തമായ പ്രവർത്തനമാണ്.

ഉദാഹരണം 9

ക്രമത്തിൻ്റെ പരിധി കണ്ടെത്തുക