Арифметик прогресстооны дарааллыг нэрлэх (прогрессийн гишүүд)

Дараачийн нэр томъёо бүр нь өмнөхөөсөө ган нэр томъёогоор ялгаатай байдаг бөгөөд үүнийг бас нэрлэдэг алхам эсвэл дэвшлийн ялгаа.

Тиймээс, дэвшлийн алхам ба түүний эхний гишүүнийг тохируулснаар та томъёог ашиглан түүний аль ч элементийг олох боломжтой

Арифметик прогрессийн шинж чанарууд

1) Хоёр дахь тооноос эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь прогрессийн өмнөх ба дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.

Эсрэг заалт нь бас үнэн юм. Прогрессийн хөрш сондгой (тэгш) гишүүдийн арифметик дундаж нь тэдгээрийн хооронд байрлах гишүүнтэй тэнцүү бол энэ тооны дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ мэдэгдлээр аливаа дарааллыг шалгахад маш хялбар байдаг.

Мөн арифметик прогрессийн шинж чанараар дээрх томъёог дараах байдлаар ерөнхийлж болно

Хэрэв бид тэнцүү тэмдгийн баруун талд нөхцөлийг бичвэл үүнийг шалгахад хялбар болно

Бодлогын тооцооллыг хялбарчлахын тулд үүнийг практикт ихэвчлэн ашигладаг.

2) Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг томъёогоор тооцоолно

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог сайн санаарай, энэ нь тооцоололд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд энгийн амьдралын нөхцөлд нэлээд түгээмэл байдаг.

3) Хэрэв та бүхэл нийлбэрийг биш, харин дарааллын нэг хэсгийг түүний k -р гишүүнээс олох шаардлагатай бол дараах нийлбэрийн томъёо танд хэрэг болно.

4) k-р тооноос эхлэн арифметик прогрессийн n гишүүний нийлбэрийг олох нь практик сонирхолтой юм. Үүнийг хийхийн тулд томъёог ашиглана уу

Энд онолын материал дуусч, практикт нийтлэг тохиолддог асуудлуудыг шийдвэрлэхэд шилжинэ.

Жишээ 1. 4;7;... арифметик прогрессийн дөчин гишүүнийг ол.

Шийдвэр:

Нөхцөлийн дагуу бол бидэнд байгаа

Явцын алхамыг тодорхойл

Алдарт томьёоны дагуу бид прогрессийн дөчин гишүүнийг олдог

Жишээ 2. Арифметик прогрессийг гурав, долоо дахь гишүүд нь өгдөг. Прогрессийн эхний гишүүн ба арвын нийлбэрийг ол.

Шийдвэр:

Бид прогрессийн өгөгдсөн элементүүдийг томъёоны дагуу бичдэг

Бид эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь тэгшитгэлээс хасч, үр дүнд нь прогрессийн алхамыг олно

Олдсон утгыг аль ч тэгшитгэлд орлуулж арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг олно.

Прогрессийн эхний арван гишүүний нийлбэрийг тооцоол

Нарийн төвөгтэй тооцоолол хийхгүйгээр бид шаардлагатай бүх утгыг олсон.

Жишээ 3. Арифметик прогрессийг хуваагч болон түүний аль нэг гишүүн өгнө. Прогрессийн эхний гишүүн, 50-аас эхэлсэн 50 гишүүний нийлбэр, эхний 100 гишүүний нийлбэрийг ол.

Шийдвэр:

Прогрессийн зуу дахь элементийн томъёог бичье

мөн эхнийхийг нь олоорой

Эхнийх нь дээр үндэслэн бид прогрессийн 50 дахь гишүүнийг олдог

Прогрессийн хэсгийн нийлбэрийг олох

ба эхний 100-ийн нийлбэр

Прогрессийн нийлбэр нь 250 байна.

Жишээ 4

Дараах тохиолдолд арифметик прогрессийн гишүүдийн тоог ол.

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Шийдвэр:

Бид тэгшитгэлийг эхний гишүүн болон прогрессийн алхамаар бичиж, тодорхойлно

Бид олж авсан утгыг нийлбэрийн томъёонд орлуулж, нийлбэр дэх нэр томъёоны тоог тодорхойлно.

Хялбарчлал хийх

тэгээд шийднэ квадрат тэгшитгэл

Олдсон хоёр утгын зөвхөн 8 тоо нь асуудлын нөхцөл байдалд тохирно. Ийнхүү прогрессийн эхний найман гишүүний нийлбэр нь 111 байна.

Жишээ 5

тэгшитгэлийг шийд

1+3+5+...+x=307.

Шийдэл: Энэ тэгшитгэл нь арифметик прогрессийн нийлбэр юм. Бид түүний эхний гишүүнийг бичиж, дэвшлийн зөрүүг олно

Тиймээ, тийм: арифметик прогресс бол таны хувьд тоглоом биш юм :)

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг мэдэхгүй хэвээр байгаа гэдгийг дотоод cap нотлох баримт хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, үүн шиг: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс, би чамайг урт танилцуулгаар тарчлаахгүй бөгөөд тэр даруй ажилдаа орно.

Эхлэхийн тулд хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг авч үзье:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: Дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд тус бүр нь өмнөхөөсөө илүү байна. Хоёр дахь тохиолдолд хоорондын ялгаа байнгын тооаль хэдийн тавтай тэнцэж байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд ерөнхийдөө үндэс байдаг. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ байхад $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр зүгээр л $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг зүгээр л арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Мөн хэдхэн чухал тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг эмх цэгцтэйтоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Та дугаарыг солих, солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та (1; 2; 3; 4; ...) гэх мэт зүйлийг бичвэл энэ нь аль хэдийн хязгааргүй прогресс юм. Дөрөвийн дараах зууван зураас нь нэлээд олон тоо цааш явж байгааг сануулж байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь. :)

Мөн ахиц дэвшил нэмэгдэж, буурч байгааг тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

За, зүгээр: сүүлчийн жишээ хэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

1. дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;
2. Хэрэв эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Үүнээс гадна "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, i.e. явцын ялгаа:

1. Хэрэв $d \gt 0$ бол явц нэмэгдэж байна;
2. Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
3. Эцэст нь, $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс ижил тоонуудын хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээрх гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тоо, зүүн талд байгаа тооноос хасахад хангалттай. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Таны харж байгаагаар гурван тохиолдолд ялгаа нь үнэхээр сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага багаар олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогресс болон давтагдах томъёоны гишүүд

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн\(((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун\)\]

Энэ багцын бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоонуудын тусламжтайгаар ийм байдлаар зааж өгдөг: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, ахиц дэвшлийн хөрш зэргэлдээ гишүүд дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Ийм томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та ямар ч тоог олж чадна, зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх) мэдэж болно. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү төвөгтэй томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томьёог өмнө нь тааралдсан байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, решебникт өгөх дуртай. Математикийн аливаа ухаалаг сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдвэр. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба прогрессийн зөрүү $d=-5$ гэдгийг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; -2)

Тэгээд л болоо! Бидний ахиц дэвшил буурч байгааг анхаарна уу.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-г орлуулах боломжгүй байсан - бид эхний нэр томъёог аль хэдийн мэддэг болсон. Гэсэн хэдий ч нэгжийг орлуулснаар бид эхний улиралд ч гэсэн бидний томъёо ажиллах болно гэдгийг баталгаажуулсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгаврын дугаар 2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдвэр. Бид асуудлын нөхцөлийг ердийн үгээр бичдэг.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг биелүүлэх ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Яг үүнтэй адил бид явцын ялгааг олсон! Системийн аль ч тэгшитгэлд олсон тоог орлуулах хэвээр байна. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдэж.

Хариулт: (-34; -35; -36)

Бидний нээсэн прогрессийн нэгэн сонин шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг авна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш ашигтай эд хөрөнгө, үүнийг та мэдээж мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон асуудлыг шийдвэрлэх явцыг хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна:

Даалгаврын дугаар 3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдвэр. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тэгэхээр $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Тэгээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг зохиож, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг гишүүдийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, эхний гишүүн нь сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нөхцөлүүд гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ, элементүүдийг дараалан ангилж, энэ мөчийг "духан дээр" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ асуудлыг томьёо мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас шаардагдахаар төлөвлөгдсөн байдаг - хариултыг олох хүртэл бид зүгээр л унтдаг. Тиймээс бид эдгээр асуудлыг хурдан шуурхай шийдвэрлэхийг хичээх болно.

Даалгаврын дугаар 4. Арифметик прогрессийн хэдэн сөрөг гишүүн -38.5; -35.8; …?

Шийдвэр. Тэгэхээр $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, үүнээс бид шууд ялгааг олно.

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгдэж байгааг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Нэр томъёоны сөрөг тал хэр удаан (өөрөөр хэлбэл $n$ ямар натурал тоо хүртэл) хадгалагдаж байгааг олж мэдэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөрийг тодруулах шаардлагатай байна. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөө талаас, зөвхөн бүхэл тоонууд бидэнд тохирох болно (түүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн их зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$, ямар ч тохиолдолд 16 биш юм.

Даалгаврын дугаар 5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-г мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн зөрүүг хялбархан олох боломжтой:

Нэмж дурдахад стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний болон зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид өмнөх асуудалтай адилтгаж үргэлжлүүлнэ. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг бид олж мэднэ.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл нь 56 тоо юм.

Сүүлийн даалгаварт бүх зүйлийг хатуу тэгш бус байдалд хүргэсэн тул $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг сурцгаая, энэ нь ирээдүйд бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно. :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөн нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан нөхцөлийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе:

Тооны шулуун дээрх арифметик прогрессийн гишүүд

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын гишүүдийг онцгойлон тэмдэглэсэн бөгөөд ямар ч $((a)_(1)) биш, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Рекурсив томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх гишүүдэд бичье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За яахав? Гэхдээ $((a)_(n-1))$ болон $((a)_(n+1))$ гэсэн нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тай тэнцүү байна. Та хязгааргүй үргэлжлүүлж болно, гэхдээ зураг нь утгыг сайн харуулж байна

Прогрессийн гишүүд төвөөс ижил зайд байрладаг

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш зэргэлдээх тоонууд нь мэдэгдэж байвал та $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг юм.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид гайхалтай мэдэгдлийг гаргасан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнээс гадна, бид $((a)_(n))$-оос баруун, зүүн тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхмуудаар хазайж болно - тэгсэн ч гэсэн томъёо зөв байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практик дээр арифметик дундажийг ашиглахын тулд олон ажлыг тусгайлан "хурцалсан" байдаг. Энийг хар даа:

Даалгаврын дугаар 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ба $14+4((x)^(2))$ тоонууд нь дараалсан гишүүд байхаар $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдвэр. Учир нь заасан тоонуудПрогрессийн гишүүд бөгөөд тэдгээр нь арифметик дундаж нөхцөлийг хангана: $x+1$ төв элементийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үр дүн нь сонгодог квадрат тэгшитгэл юм. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: -3; 2.

Даалгаврын дугаар 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд арифметик прогресс (энэ дарааллаар) үүсгэхийн тулд $$-ын утгыг ол.

Шийдвэр. Дахин илэрхийлье дунд гишүүнхөрш гишүүдийн арифметик дундажаар:

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Өөр нэг квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та хэрцгий тоонуудыг олж авах юмуу эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай заль мэх байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод бид -3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$ орлуулах:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид -54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь даалгаврыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө сүүлийн даалгавруудыг шийдвэрлэх явцад бид өөр нэг зүйл дээр бүдэрсэн сонирхолтой баримт, үүнийг бас санах хэрэгтэй:

Хэрэв гурван тоо нь хоёр дахь нь эхний ба сүүлчийнхүүдийн дундаж байхаар байвал эдгээр тоо нь арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь асуудлын нөхцөл байдалд тулгуурлан шаардлагатай дэвшлийг шууд утгаар нь "бүтээх" боломжийг бидэнд олгоно. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө өмнө нь авч үзсэн зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийн бүлэг ба нийлбэр

Дахиад тооны мөрөнд орцгооё. Бид ахиц дэвшлийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийн хооронд байж магадгүй юм. бусад олон гишүүдийн үнэ цэнэтэй:

Тооны мөрөнд тэмдэглэгдсэн 6 элемент

"Зүүн сүүл"-ийг $((a)_(n))$, $d$, "баруун сүүл"-ийг $((a)_(k))$, $-оор илэрхийлэхийг хичээцгээе. d$. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах нийлбэрүүд тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл эдгээр элементүүдээс эсрэг чиглэлд (бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээр) алхаж эхэлнэ. тэгээд Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн сайн дүрсэлж болно:

Ижил догол мөр нь тэнцүү дүнг өгдөг

Ойлголт энэ баримтасуудлыг үндсээр нь шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно өндөр түвшиндээр дурдсантай харьцуулахад нарийн төвөгтэй байдал. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгаврын дугаар 8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь боломжит хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдвэр. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид $d$ прогрессийн ялгааг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул бүх шийдэл нь ялгааг тойрон гарах болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((а)_(12))=((а)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүст: Би хоёр дахь хаалтаас нийтлэг хүчин зүйл 11-ийг авсан. Тиймээс хүссэн бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчийн хувьд квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. Хэрэв бид хаалтуудыг нээвэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн өндөр утгатай коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо тул бид дээшээ салбарласан параболатай үнэхээр харьцаж байна.

хуваарь квадрат функц- парабол

Анхаарна уу: энэ парабола хамгийн бага утгыг орой дээрээ $((d)_(0))$ абсциссатай авна. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг ашиглан тооцоолж болно стандарт схем($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ гэсэн томьёо байдаг, гэхдээ хүссэн орой нь тэгш хэмийн тэнхлэг дээр байрладаг гэдгийг тэмдэглэх нь илүү үндэслэлтэй байх болно. парабол, тэгэхээр $((d) _(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d\баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисс нь дундаж утгатай тэнцүү байна арифметик тоо-66 ба -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоог бидэнд юу өгдөг вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүн нь хамгийн бага утгыг авдаг (Дашрамд хэлэхэд бид $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - энэ нь бидэнд шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ энэ тоо нь эхний дэвшлийн зөрүү, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгаврын дугаар 9. $-\frac(1)(2)$ ба $-\frac(1)(6)$ тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар өгөгдсөн тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдвэр. Үнэн хэрэгтээ бид эхний болон сүүлчийн тоог аль хэдийн мэддэг таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэ.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас, $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)( 6)$. Хэрэв $x$ ба $z$ тоонуудаас бид байгаа бол Энэ мөчБид $y$-г авч чадахгүй бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санаарай:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ ба $y=-\frac(1)(3)$ хооронд байгааг анхаарна уу. тиймээс

Үүнтэй адилаар бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг анхны тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар нь хариултанд бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгаврын дугаар 10. 2 ба 42 гэсэн тоонуудын хооронд эхний, хоёр дахь, сүүлчийн оруулсан тоонуудын нийлбэр нь 56 байх нь мэдэгдэж байгаа бол өгөгдсөн тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна.

Шийдвэр. Өшөө илүү хэцүү даалгавар, гэхдээ энэ нь өмнөхтэй ижил аргаар - арифметик дундажаар шийдэгддэг. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулахаа мэдэхгүй байгаа явдал юм. Тиймээс тодорхой байхын тулд бид оруулсны дараа яг $n$ тоо байх бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж таамаглаж байна. Энэ тохиолдолд хүссэн арифметик прогрессийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэхдээ $((a)_(2))$ болон $((a)_(n-1))$ тоонуудыг бие бие рүүгээ нэг алхмаар ирмэг дээр зогсож буй 2 ба 42 тооноос авсан болохыг анхаарна уу. , өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дараа нь дээрх илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-ийг мэдсэнээр бид явцын зөрүүг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн гишүүдийг олоход л үлдлээ.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байсан: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Процесс бүхий текст даалгавар

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй энгийн хэд хэдэн асуудлыг авч үзэхийг хүсч байна. За, энгийн зүйл бол: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудын хувьд эдгээр даалгавар нь дохио зангаа мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикийн OGE болон USE-д яг ийм даалгавар гардаг тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 11. Тус багийнхан 1-р сард 62 ширхэг үйлдвэрлэсэн бол дараагийн сар бүр өмнөхөөсөө 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэсэн байна. Бригад арваннэгдүгээр сард хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдвэр. Мэдээжийн хэрэг, сараар будсан хэсгүүдийн тоо нь арифметик прогрессоор нэмэгдэх болно. Мөн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгаврын дугаар 12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном хавсаргасан бөгөөд сар бүр өмнөх сараас 4-өөр илүү ном хавсаргасан байна. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдвэр. Бүгд адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

Хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчны курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Прогрессийн нийлбэрийн томъёо, мөн үүнээс чухал бөгөөд маш хэрэгтэй үр дагаврыг судлах дараагийн хичээл рүү бид аюулгүйгээр шилжиж болно.

Онлайн тооцоолуур.
Арифметик прогрессийн шийдэл.
Өгөгдсөн: a n, d, n
Олно: a 1

Энэ математикийн программ нь хэрэглэгчийн тодорхойлсон \(a_n, d \) болон \(n \) тоон дээр үндэслэн арифметик прогрессийн \(a_1\)-г олдог.
\(a_n\) ба \(d \) тоонуудыг зөвхөн бүхэл тоо бус бутархай тоогоор зааж өгч болно. Түүнээс гадна бутархай тоог аравтын бутархай (\ (2.5 \)) болон хэлбэрээр оруулж болно. энгийн бутархай(\(-5\frac(2)(7) \)).

Програм нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдлийг олох үйл явцыг харуулдаг.

Энэхүү онлайн тооцоолуур нь ахлах сургуулийн сурагчдад бэлтгэхэд хэрэг болно хяналтын ажилболон шалгалт, шалгалтын өмнө мэдлэг шалгах үед эцэг эхчүүд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан дуусгахыг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварматематик эсвэл алгебр? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг нарийвчилсан шийдэлтэй ашиглаж болно.

Ингэснээр та өөрийн үйл ажиллагааг хэрэгжүүлэх боломжтой болно өөрийн гэсэн сургалтболон/эсвэл дүү нараа сургах, харин шийдвэрлэх зорилтын хүрээнд боловсролын түвшинг дээшлүүлэх.

Хэрэв та тоо оруулах дүрмийг сайн мэдэхгүй бол тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Тоо оруулах дүрэм

\(a_n\) ба \(d \) тоонуудыг зөвхөн бүхэл тоо бус бутархай тоогоор зааж өгч болно.
\(n\) тоо нь зөвхөн эерэг бүхэл тоо байж болно.

Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээлбэл, та орж болно аравтын бутархайтэгэхээр 2.5 эсвэл 2.5

Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.

Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.

Та ороход тоон бутархайТоолуурыг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Оруулах:
Үр дүн: \(-\frac(2)(3) \)

Бүхэл тоо нь бутархай хэсгээс тэмдэгт тэмдэгээр тусгаарлагдана: &
Оруулах:
Үр дүн: \(-1\frac(2)(3) \)

a n, d, n тоонуудыг оруулна уу

1-ийг олоорой

Энэ даалгаврыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй, програм ажиллахгүй байж магадгүй нь тогтоогдсон.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд JavaScript идэвхжсэн байх ёстой.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх гэсэн хүмүүс их байна, таны хүсэлт дараалалд орчихлоо.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Жаахан онол.

Тоон дараалал

Өдөр тутмын практикт янз бүрийн объектуудын дугаарлалт нь тэдгээрийн байршлыг заахдаа ихэвчлэн ашиглагддаг. Тухайлбал, гудамж бүрийн байшинг дугаарласан. Номын санд уншигчийн захиалгыг дугаарлаж, дараа нь тусгай файлын шүүгээнд хуваарилагдсан дугаарын дарааллаар байрлуулна.

Хадгаламжийн банкинд хадгаламж эзэмшигчийн нэрийн дансны дугаараар та энэ дансыг хялбархан олж, ямар хадгаламжтай болохыг харах боломжтой. 1-р дансанд а1 рублийн хадгаламж, 2-р дансанд а2 рубль гэх мэт хадгаламж байх болтугай. тоон дараалал
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
Энд N нь бүх дансны тоо юм. Энд 1-ээс N хүртэлх натурал n тоо бүрт a n тоо өгөгдсөн.

Математик бас сурдаг Хязгааргүй тооны дараалал:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
a 1 тоог дууддаг дарааллын эхний гишүүн, дугаар a 2 - дарааллын хоёр дахь гишүүн, дугаар a 3 - дарааллын гурав дахь гишүүнгэх мэт.
a n тоог дууддаг дарааллын n-р (n-р) гишүүн, мөн натурал n тоо нь түүний байна тоо.

Жишээлбэл, квадратуудын дарааллаар натурал тоонууд 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... ба 1 = 1 нь дарааллын эхний гишүүн; ба n = n 2 байна n-р гишүүндараалал; a n+1 = (n + 1) 2 нь дарааллын (n + 1)-р (en нэмэх эхний) гишүүн юм. Ихэнхдээ дарааллыг түүний n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлж болно. Жишээлбэл, \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) томъёо нь \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \цэгүүд,\frac(1)(n) , \цэгүүд \)

Арифметик прогресс

Жилийн үргэлжлэх хугацаа ойролцоогоор 365 хоног байна. Илүү нарийвчлалтай утга нь \(365\frac(1)(4) \) хоног тул дөрвөн жил тутамд нэг өдрийн алдаа хуримтлагддаг.

Энэ алдааг тооцохын тулд дөрөв дэх жил тутамд нэг өдрийг нэмж, уртассан жилийг үсрэлтийн жил гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, гуравдугаар мянганы үед үсрэнгүй он жилүүдонууд нь 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Энэ дараалалд хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр өмнөхтэй тэнцүү бөгөөд ижил тооны 4-ээр нэмэгдэнэ. Ийм дарааллыг нэрлэдэг. арифметик прогрессууд.

Тодорхойлолт.
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... гэсэн тоон дарааллыг гэнэ. арифметик прогресс, хэрэв бүх байгалийн n тэгш байдал
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
энд d ямар нэг тоо.

Энэ томьёогоос a n+1 - a n = d гэж гарна. d тоог ялгаа гэж нэрлэдэг арифметик прогресс.

Арифметик прогрессийн тодорхойлолтоор бид:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
хаана
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), энд \(n>1 \)

Ийнхүү хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хажууд байгаа хоёр гишүүний арифметик дундажтай тэнцүү байна. Энэ нь "арифметик" прогрессийн нэрийг тайлбарладаг.

Хэрэв a 1 ба d өгөгдсөн бол арифметик прогрессийн үлдсэн гишүүдийг a n+1 = a n + d рекурсив томъёогоор тооцоолж болохыг анхаарна уу. Ийм байдлаар прогрессийн эхний хэдэн нөхцлийг тооцоолоход хэцүү биш боловч жишээлбэл, 100-ийн хувьд маш олон тооцоолол шаардлагатай болно. Үүнд ихэвчлэн n-р нэр томъёоны томъёог ашигладаг. Арифметик прогрессийн тодорхойлолтын дагуу
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
гэх мэт.
Ерөнхийдөө,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
d тоог (n-1) үржүүлснээр арифметик прогрессийн n-р гишүүнийг эхний гишүүнээс авдаг тул.
Энэ томъёог гэж нэрлэдэг арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёо.

Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр

1-ээс 100 хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг олъё.
Бид энэ нийлбэрийг хоёр аргаар бичдэг.
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Бид эдгээр тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нь нэмдэг:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Энэ нийлбэрт 100 нэр томъёо байна.
Тиймээс 2S = 101 * 100, үүнээс S = 101 * 50 = 5050 байна.

Одоо дурын арифметик прогрессийг авч үзье
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Энэ прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг S n гэж үзье.
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Дараа нь арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

\(a_n=a_1+(n-1)d \) тул энэ томъёонд n-г орлуулснаар бид олох өөр томьёог олж авна. арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Ном (сурах бичиг) Улсын нэгдсэн шалгалтын хураангуй ба OGE тестийн онлайн тоглоомууд, оньсого тоглоомууд Функцийн график байгуулах Орос хэлний залуучуудын хэл ярианы зөв бичгийн толь бичиг Орос сургуулиудын лавлах Орос дахь ерөнхий боловсролын сургуулиудын каталог Оросын их дээд сургуулиудын каталоги Даалгавруудын жагсаалт

Ерөнхий боловсролын сургуульд (9-р анги) алгебр судлахдаа нэг чухал сэдвүүдсудалгаа юм тооны дараалал, үүнд прогрессууд орно - геометрийн болон арифметик. Энэ нийтлэлд бид арифметик прогресс болон шийдлийн жишээг авч үзэх болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ?

Үүнийг ойлгохын тулд авч үзэж буй дэвшлийн тодорхойлолтыг өгөхөөс гадна асуудлыг шийдвэрлэхэд цаашид ашиглах үндсэн томъёог өгөх шаардлагатай.

Арифметик буюу гишүүн бүр нь өмнөх тооноос тодорхой тогтмол утгаараа ялгаатай эрэмблэгдсэн оновчтой тоонуудын багц юм. Энэ утгыг зөрүү гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, эрэмбэлэгдсэн цуврал тоонуудын аль нэг гишүүн ба ялгааг мэдсэнээр та арифметик прогрессийг бүхэлд нь сэргээж чадна.

Нэг жишээ татъя. Дараагийн тоон дараалал нь арифметик прогресс байх болно: 4, 8, 12, 16, ..., учир нь энэ тохиолдолд ялгаа нь 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) байна. Гэхдээ 3, 5, 8, 12, 17 тоонуудын багцыг тухайн прогрессийн төрөлд хамааруулах боломжгүй, учир нь түүний ялгаа нь тогтмол утга биш (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17) - 12).

Чухал томъёонууд

Одоо бид арифметик прогресс ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай үндсэн томъёог өгье. Дарааллын n-р гишүүнийг a n гэж тэмдэглэе, энд n нь бүхэл тоо. Энэ ялгааг латин d үсгээр тэмдэглэв. Дараа нь дараах илэрхийллүүд үнэн болно.

1. N-р гишүүний утгыг тодорхойлохын тулд томъёо тохиромжтой: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Эхний n гишүүний нийлбэрийг тодорхойлохдоо: S n = (a n + a 1)*n/2.

9-р ангийн шийдэл бүхий арифметик прогрессийн жишээг ойлгохын тулд эдгээр хоёр томьёог санахад хангалттай, учир нь авч үзэж буй төрлийн аливаа асуудлыг тэдгээрийн хэрэглээн дээр үндэслэсэн болно. Мөн прогрессийн зөрүүг дараах томъёогоор тодорхойлно гэдгийг мартаж болохгүй: d = a n - a n-1 .

Жишээ №1: Үл мэдэгдэх гишүүнийг олох

Бид арифметик прогрессийн энгийн жишээ, шийдвэрлэхэд ашиглах ёстой томьёо өгдөг.

10, 8, 6, 4, ... дарааллыг өгье, үүнээс таван гишүүнийг олох шаардлагатай.

Асуудлын нөхцлөөс харахад эхний 4 нэр томъёо нь мэдэгдэж байна. Тав дахь нь хоёр янзаар тодорхойлогддог.

1. Эхлээд зөрүүг тооцоолъё. Бидэнд: d = 8 - 10 = -2 байна. Үүний нэгэн адил, өөр хоёр нэр томъёог хажууд нь авч болно. Жишээлбэл, d = 4 - 6 = -2. d \u003d a n - a n-1, дараа нь d \u003d a 5 - a 4 гэдгийг мэддэг тул бид хаанаас авдаг: a 5 \u003d a 4 + d. Бид мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Хоёрдахь арга нь тухайн явцын ялгааг мэдэхийг шаарддаг тул дээр дурдсанчлан эхлээд үүнийг тодорхойлох хэрэгтэй (d = -2). Эхний гишүүн a 1 = 10 гэдгийг мэдэж, бид дарааллын n тооны томъёог ашигладаг. Бидэнд: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Сүүлийн илэрхийлэлд n = 5-ыг орлуулснаар бид: a 5 = 12-2 * 5 = 2 болно.

Таны харж байгаагаар хоёр шийдэл нь ижил үр дүнд хүргэдэг. Энэ жишээнд прогрессийн ялгаа d сөрөг байгааг анхаарна уу. Дараалсан гишүүн бүр өмнөхөөсөө бага байдаг тул ийм дарааллыг буурах гэж нэрлэдэг.

Жишээ №2: явцын зөрүү

Одоо даалгаврыг бага зэрэг хүндрүүлье, арифметик прогрессийн ялгааг хэрхэн олох жишээг өгье.

Зарим алгебрийн прогрессийн 1-р гишүүн 6-тай, 7-р гишүүн нь 18-тай тэнцүү байдаг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд ялгааг олж, энэ дарааллыг 7-р гишүүн рүү сэргээх шаардлагатай.

Үл мэдэгдэх нэр томъёог тодорхойлохын тулд томъёог ашиглая: a n = (n - 1) * d + a 1 . Бид нөхцөл байдлаас мэдэгдэж буй өгөгдлийг, өөрөөр хэлбэл a 1 ба 7 тоонуудыг орлуулж, бидэнд: 18 \u003d 6 + 6 * d байна. Энэ илэрхийллээс та ялгааг хялбархан тооцоолж болно: d = (18 - 6) / 6 = 2. Ийнхүү бодлогын эхний хэсэгт хариулав.

7 хүртэлх нэр томъёоны дарааллыг сэргээхийн тулд тодорхойлолтыг ашиглах хэрэгтэй алгебрийн прогресс, өөрөөр хэлбэл a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d гэх мэт. Үүний үр дүнд бид бүх дарааллыг сэргээдэг: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 ба 7 = 18.

Жишээ №3: ахиц дэвшил гаргах

Үүнийг улам хүндрүүлье илүү хүчтэй нөхцөлдаалгавар. Одоо та арифметик прогрессийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултанд хариулах хэрэгтэй. Бид дараах жишээг өгч болно: жишээлбэл, 4 ба 5 гэсэн хоёр тоо өгөгдсөн. Эдгээрийн хооронд өөр гурван гишүүн багтахын тулд алгебрийн прогресс хийх шаардлагатай.

Энэ асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө өгөгдсөн тоо нь цаашдын хөгжилд ямар байр суурь эзлэхийг ойлгох шаардлагатай. Тэдний хооронд дахин гурван нэр томъёо байх тул 1 \u003d -4 ба 5 \u003d 5 байна. Үүнийг тогтоосны дараа бид өмнөхтэй ижил төстэй ажлыг үргэлжлүүлнэ. Дахин хэлэхэд, n-р нэр томьёоны хувьд бид томъёог ашиглана: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Эхнээс: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Энд ялгаа нь бүхэл тоо биш, харин рационал тоо учраас алгебрийн прогрессийн томьёо ижил хэвээр байна.

Одоо олсон зөрүүг 1 дээр нэмээд прогрессийн алга болсон гишүүдийг сэргээцгээе. Бид дараахийг авна: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u00, Энэ нь асуудлын нөхцөлтэй давхцсан.

Жишээ №4: Прогрессийн эхний гишүүн

Бид шийдтэй арифметик прогрессийн жишээг үргэлжлүүлэн үзүүлсээр байна. Өмнөх бүх бодлогод алгебрийн прогрессийн эхний тоог мэддэг байсан. Одоо өөр төрлийн бодлогыг авч үзье: 15 = 50 ба 43 = 37 гэсэн хоёр тоог өгье. Энэ дараалал аль тооноос эхэлж байгааг олох шаардлагатай.

Өнөөг хүртэл ашиглагдаж байсан томьёо нь 1 ба d-ийн мэдлэгтэй гэж үздэг. Асуудлын нөхцөлд эдгээр тоонуудын талаар юу ч мэдэгдээгүй байна. Гэсэн хэдий ч бидэнд мэдээлэл байгаа нэр томъёо бүрийн илэрхийлэлийг бичье: a 15 = a 1 + 14 * d, a 43 = a 1 + 42 * d. Бид 2 үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй (a 1 ба d) хоёр тэгшитгэл авсан. Энэ нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд асуудлыг багасгасан гэсэн үг юм.

Хэрэв та тэгшитгэл бүрт 1-ийг илэрхийлж, дараа нь үүссэн илэрхийлэлүүдийг харьцуулж үзвэл заасан системийг шийдвэрлэхэд хамгийн хялбар байдаг. Эхний тэгшитгэл: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; хоёр дахь тэгшитгэл: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Эдгээр илэрхийлэлийг тэгшитгэснээр бид дараахь зүйлийг авна: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, ялгаа нь d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (зөвхөн 3 аравтын бутархай өгөгдсөн).

d-г мэдэж байгаа тул дээрх 2 илэрхийллийн аль нэгийг 1-д ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхлээд: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Хэрэв үр дүнгийн талаар эргэлзэж байвал та үүнийг шалгаж болно, жишээлбэл, нөхцөл байдалд заасан дэвшлийн 43 дахь гишүүнийг тодорхойлж болно. Бид авна: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Тооцоололд мянгад нь бөөрөнхийлсөнтэй холбоотой жижиг алдаа гарсан.

Жишээ №5: Нийлбэр

Одоо арифметик прогрессийн нийлбэрийн шийдэл бүхий зарим жишээг харцгаая.

Дараах хэлбэрийн тоон прогрессийг өгье: 1, 2, 3, 4, ...,. Эдгээр тооны 100-ийн нийлбэрийг хэрхэн тооцоолох вэ?

Компьютерийн технологийн хөгжлийн ачаар энэ асуудлыг шийдэж болох юм, өөрөөр хэлбэл хүн Enter товчийг дармагц компьютер хийх бүх тоонуудыг дарааллаар нь нэгтгэж болно. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та танилцуулсан тоон цуваа нь алгебрийн прогресс бөгөөд түүний ялгаа нь 1 гэдгийг анхаарч үзвэл асуудлыг оюун ухаанаар шийдэж болно. Нийлбэрийн томъёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг авна: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Энэ асуудлыг 18-р зууны эхээр 10-хан настай Германы алдарт хүн хэдхэн секундын дотор оюун ухаандаа шийдэж чадсан тул энэ асуудлыг "Гаусс" гэж нэрлэсэн нь сонин байна. Хүү алгебрийн прогрессийн нийлбэрийн томъёог мэддэггүй байсан ч дарааллын ирмэг дээр байрлах хос тоог нэмбэл үргэлж ижил үр дүн, өөрөөр хэлбэл 1 + 100 = 2 + 99 гарна гэдгийг анзаарчээ. = 3 + 98 = ..., эдгээр нийлбэрүүд яг 50 (100/2) байх тул зөв хариултыг авахын тулд 50-г 101-ээр үржүүлэхэд хангалттай.

Жишээ №6: n-ээс m хүртэлх гишүүний нийлбэр

Арифметик прогрессийн нийлбэрийн өөр нэг ердийн жишээ бол: 3, 7, 11, 15, ... гэсэн цуврал тоонуудыг өгвөл 8-аас 14 хүртэлх гишүүний нийлбэр хэд болохыг олох хэрэгтэй.

Асуудлыг хоёр аргаар шийддэг. Эхнийх нь 8-аас 14 хүртэлх үл мэдэгдэх нэр томъёог олж, дараа нь тэдгээрийг нэгтгэн дүгнэх явдал юм. Цөөн нэр томъёо байдаг тул энэ арга нь хангалттай хөдөлмөр биш юм. Гэсэн хэдий ч энэ асуудлыг илүү түгээмэл хоёр дахь аргаар шийдвэрлэхийг санал болгож байна.

Гол санаа нь n > m нь бүхэл тоо болох m ба n гишүүний хоорондох алгебрийн прогрессийн нийлбэрийн томьёог олж авах явдал юм. Хоёр тохиолдолд бид нийлбэрийн хоёр илэрхийлэл бичнэ.

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

n > m тул 2 нийлбэрт эхнийх нь багтах нь ойлгомжтой. Сүүлийн дүгнэлт нь хэрэв бид эдгээр нийлбэрүүдийн зөрүүг авч, түүнд a m нэр томъёог нэмбэл (зөрүү авах тохиолдолд S n нийлбэрээс хасна) бид асуудлын шаардлагатай хариултыг авна гэсэн үг юм. Бидэнд: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- м / 2). Энэ илэрхийлэлд n ба m-ийн томъёог орлуулах шаардлагатай. Дараа нь бид дараахь зүйлийг авна: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - м / 2) = a 1 * (n - м + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * м - м 2 - 2) / 2.

Үүссэн томъёо нь бага зэрэг төвөгтэй боловч S mn нийлбэр нь зөвхөн n, m, a 1, d-ээс хамаарна. Манай тохиолдолд a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Эдгээр тоог орлуулснаар бид: S mn = 301 болно.

Дээрх шийдлүүдээс харахад бүх бодлого нь n-р гишүүний илэрхийлэл ба эхний гишүүний олонлогийн нийлбэрийн томъёоны мэдлэг дээр суурилдаг. Эдгээр асуудлын аль нэгийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө нөхцөл байдлыг анхааралтай уншиж, юу олохыг хүсч байгаагаа тодорхой ойлгож, дараа нь шийдлийг үргэлжлүүлэхийг зөвлөж байна.

Өөр нэг зөвлөгөө бол энгийн байхыг хичээх явдал юм, өөрөөр хэлбэл та нарийн төвөгтэй математик тооцоололгүйгээр асуултанд хариулж чадвал үүнийг хийх хэрэгтэй, учир нь энэ тохиолдолд алдаа гаргах магадлал бага байдаг. Жишээлбэл, 6-р шийдэлтэй арифметик прогрессийн жишээн дээр S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m томъёогоор зогсоож болно. ерөнхий даалгаврыг тусдаа дэд даалгавар болгон хуваах (энэ тохиолдолд эхлээд a n ба a m нэр томъёог олоорой).

Хэрэв олж авсан үр дүнд эргэлзэж байвал зарим жишээн дээр дурдсанчлан үүнийг шалгахыг зөвлөж байна. Арифметик прогрессийг хэрхэн олохыг олж мэдэв. Нэг л мэдэхэд энэ тийм ч хэцүү биш.

Хичээлийн төрөл:шинэ материал сурах.

Хичээлийн зорилго:

• арифметик прогресс ашиглан шийдсэн даалгаврын талаархи оюутнуудын санаа бодлыг өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх; арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог гаргахдаа оюутнуудын хайлтын үйл ажиллагааг зохион байгуулах;
• бие даан шинэ мэдлэг олж авах чадварыг хөгжүүлэх, өмнө нь олж авсан мэдлэгээ зорилгодоо хүрэхийн тулд ашиглах;
• олж авсан баримтуудыг нэгтгэх хүсэл, хэрэгцээг хөгжүүлэх, бие даасан байдлыг хөгжүүлэх.

Даалгаварууд:

• "Арифметик прогресс" сэдвээр байгаа мэдлэгээ нэгтгэх, системчлэх;
• арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг тооцоолох томьёог гаргаж авах;
• олж авсан томъёог шийдвэрлэхдээ хэрхэн хэрэглэхийг заах янз бүрийн даалгавар;
• тоон илэрхийллийн утгыг олох журамд оюутнуудын анхаарлыг хандуулах.

Тоног төхөөрөмж:

• бүлэг, хосоор ажиллах даалгавар бүхий картууд;
• үнэлгээний хуудас;
• танилцуулга"Арифметик прогресс".

I. Суурь мэдлэгийг бодит болгох.

1. Бие даасан ажилхосоор нь.

1-р сонголт:

Арифметик прогрессийг тодорхойлно уу. Арифметик прогрессийг тодорхойлсон рекурсив томьёог бич. Арифметик прогрессийн жишээг өгч, ялгааг заана уу.

2-р сонголт:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёог бич. Арифметик прогрессийн 100 дахь гишүүнийг ол ( a n}: 2, 5, 8 …
Энэ үед хоёр оюутан урвуу талУдирдах зөвлөлүүд ижил асуултын хариултыг бэлтгэдэг.
Оюутнууд хамтрагчийн ажлыг самбартай харьцуулан үнэлдэг. (Хариулт бүхий ухуулах хуудсыг гардуулав).

2. Тоглоомын мөч.

Дасгал 1.

Багш аа.Би арифметик прогрессийг төсөөлсөн. Хариултуудын дараа та энэ дэвшлийн 7 дахь гишүүнийг хурдан нэрлэхийн тулд надаас хоёр асуулт асуу. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Оюутнуудын асуулт.

1. Прогрессийн зургаа дахь гишүүн гэж юу вэ, ялгаа нь юу вэ?
2. Прогрессийн найм дахь гишүүн гэж юу вэ, ялгаа нь юу вэ?

Хэрэв өөр асуулт байхгүй бол багш тэднийг өдөөж болно - d (ялгаа) дээр "хориг" тавих, өөрөөр хэлбэл ялгаа нь юу болохыг асуухыг хориглоно. Та асуулт асууж болно: дэвшилтийн 6-р гишүүн, 8-р гишүүн гэж юу вэ?

Даалгавар 2.

Самбар дээр 20 тоо бичсэн байна. 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Багш самбар руу нуруугаа харуулан зогсож байна. Оюутнууд дугаарын дугаарыг нь хэлж, багш тэр даруй дугаараа өөрөө дууддаг. Би үүнийг яаж хийхийг тайлбарлана уу?

Багш n-р улирлын томъёог санаж байна a n \u003d 3n - 2өгөгдсөн n утгыг орлуулж харгалзах утгыг олно a n .

II. Боловсролын даалгаврын мэдэгдэл.

Би Египетийн папиристаас олдсон МЭӨ 2-р мянганы хуучин асуудлыг шийдэхийг санал болгож байна.

Даалгавар:"Та нарт хэлье: 10 хэмжүүр арвайг 10 хүнд хуваа, хүн бүр болон түүний хөршийн хоорондох ялгаа нь хэмжүүрийн 1/8 байна."

• Энэ асуудал арифметик прогрессийн сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? (Дараагийн хүн бүр хэмжүүрийн 1/8-ийг илүү авдаг тул ялгаа нь d=1/8, 10 хүн, тэгэхээр n=10.)
• Таны бодлоор 10 тоо юу гэсэн үг вэ? (Дэвшилтийн бүх гишүүдийн нийлбэр.)
• Асуудлын нөхцлийн дагуу арвайг хуваахад хялбар, хялбар болгохын тулд өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? (Дэвшилтийн эхний үе.)

Хичээлийн зорилго- Прогрессийн гишүүний нийлбэр нь тэдгээрийн тоо, эхний гишүүн, ялгавараас хамаарах хамаарлыг олж, асуудлыг эрт дээр үед зөв шийдсэн эсэхийг шалгах.

Томьёог гаргахын өмнө эртний египетчүүд асуудлыг хэрхэн шийдсэнийг харцгаая.

Тэгээд тэд үүнийг ингэж шийдсэн:

1) 10 хэмжүүр: 10 = 1 хэмжүүр - дундаж хувь;
2) 1 хэмжүүр ∙ = 2 хэмжигдэхүүн - хоёр дахин нэмэгдсэн дундажхуваалцах.
хоёр дахин нэмэгдсэн дундажхувь нь 5 ба 6 дахь этгээдийн хувьцааны нийлбэр юм.
3) 2 хэмжигдэхүүн - 1/8 хэмжигдэхүүн = 1 7/8 хэмжигдэхүүн - тав дахь хүний ​​хувиас хоёр дахин их.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - тав дахь хувь; гэх мэтээр та өмнөх болон дараагийн хүн бүрийн эзлэх хувийг олох боломжтой.

Бид дарааллыг авна:

III. Даалгаврын шийдэл.

1. Бүлгээр ажиллах

1-р бүлэг:Дараалсан 20 натурал тооны нийлбэрийг ол: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ерөнхийдөө

II бүлэг: 1-ээс 100 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол (Бяцхан Гауссын домог).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Дүгнэлт:

III бүлэг: 1-ээс 21 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол.

Шийдэл: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Дүгнэлт:

IV бүлэг: 1-ээс 101 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол.

Дүгнэлт:

Энэ асуудлыг шийдвэрлэх аргыг "Гаусын арга" гэж нэрлэдэг.

2. Бүлэг бүр асуудлын шийдлийг самбар дээр гаргана.

3. Дурын арифметик прогрессийн санал болгож буй шийдлүүдийн ерөнхий дүгнэлт:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Бид энэ нийлбэрийг үүнтэй төстэй байдлаар олж авна.

4. Бид даалгавраа шийдсэн үү?(Тийм.)

IV. Асуудлыг шийдвэрлэхэд олж авсан томъёог анхан шатны ойлголт, хэрэглээ.

1. Хуучин асуудлын шийдлийг томъёогоор шалгах.

2. Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд томьёог хэрэглэх.

3. Бодлого шийдвэрлэхэд томьёог хэрэглэх чадварыг бүрдүүлэх дасгалууд.

A) № 613

Өгөгдсөн :( ба n) -арифметик прогресс;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Хай: S 1500

Шийдвэр: , ба 1 = 1, мөн 1500 = 1500,

B) Өгөгдсөн: ( ба n) -арифметик прогресс;
(ба n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Хай: n
Шийдвэр:

V. Бие даан, харилцан баталгаажуулах ажил.

Денис шуудан зөөгчөөр ажиллахаар явсан. Эхний сард түүний цалин 200 рубль байсан бол дараагийн сар бүр 30 рублиэр нэмэгдэв. Тэр жилдээ хэр их орлого олсон бэ?

Өгөгдсөн :( ба n) -арифметик прогресс;
a 1 = 200, d=30, n=12
Хай: S 12
Шийдвэр:

Хариулт: Денис жилд 4380 рубль авсан.

VI. Гэрийн даалгавар.

1. х 4.3 - томъёоны гарал үүслийг сурах.
2. №№ 585, 623 .
3. Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглан шийдэх бодлого зохио.

VII. Хичээлийг дүгнэж байна.

1. Онооны хуудас

2. Өгүүлбэрүүдийг үргэлжлүүлнэ үү

• Өнөөдөр хичээл дээр би сурсан ...
• Сурсан томъёонууд...
• Би итгэж байна …

3. Та 1-ээс 500 хүртэлх тооны нийлбэрийг олж чадах уу? Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд ямар арга хэрэглэх вэ?

Ном зүй.

1. Алгебр, 9-р анги. зориулсан заавар боловсролын байгууллагууд. Эд. Г.В. Дорофеева.Москва: Гэгээрэл, 2009 он.