Garis selari teorem memotong segmen yang sama. Teorem Thales. Garis tengah segitiga

Topik pelajaran

Objektif Pelajaran

Berkenalan dengan definisi baharu dan ingat beberapa yang telah dipelajari.
Rumus dan buktikan sifat segi empat sama, buktikan sifatnya.
Belajar mengaplikasikan sifat-sifat bentuk dalam menyelesaikan masalah.
Membangunkan - untuk mengembangkan perhatian pelajar, ketabahan, ketabahan, pemikiran logik, ucapan matematik.
Pendidikan - melalui pelajaran, untuk memupuk sikap penuh perhatian terhadap satu sama lain, untuk menanamkan keupayaan untuk mendengar rakan seperjuangan, bantuan bersama, kemerdekaan.

Objektif pelajaran

Semak kebolehan pelajar menyelesaikan masalah.

Pelan pembelajaran

Rujukan sejarah.
Thales sebagai ahli matematik dan karyanya.
Sedap untuk diingati.

Rujukan sejarah

Teorem Thales masih digunakan dalam pelayaran maritim sebagai peraturan bahawa perlanggaran kapal yang bergerak dari kelajuan tetap, tidak dapat dielakkan jika perjalanan kapal-kapal ke arah satu sama lain dikekalkan.

Di luar kesusasteraan bahasa Rusia, teorem Thales kadangkala dipanggil satu lagi teorem planimetri, iaitu, pernyataan bahawa sudut tertulis berdasarkan diameter bulatan adalah tepat. Penemuan teorem ini sememangnya dikaitkan dengan Thales, seperti yang dibuktikan oleh Proclus.

Thales memahami asas geometri di Mesir.

Penemuan dan kebaikan pengarangnya

Adakah anda tahu bahawa Thales of Miletus adalah salah seorang daripada tujuh orang bijak yang paling terkenal di Greece pada masa itu. Dia mengasaskan sekolah Ionia. Idea yang dipromosikan oleh Thales di sekolah ini ialah perpaduan semua perkara. Orang bijak percaya bahawa terdapat satu sumber dari mana semua benda berasal.

Merit hebat Thales of Miletus ialah penciptaan geometri saintifik. Ajaran yang hebat ini dapat mencipta geometri deduktif daripada seni pengukuran Mesir, yang asasnya adalah asas yang sama.

Di samping pengetahuannya yang luas tentang geometri, Thales juga mahir dalam astronomi. Em adalah orang pertama yang meramalkan gerhana penuh Matahari. Tetapi ini tidak berlaku dalam dunia moden, dan pada tahun 585, bahkan sebelum era kita.

Thales of Miletus adalah lelaki yang menyedari bahawa utara boleh ditentukan dengan tepat oleh buruj Ursa Minor. Tetapi bukan dia juga. penemuan terbaru, kerana dia dapat menentukan panjang tahun dengan tepat, memecahkannya menjadi tiga ratus enam puluh lima hari, dan juga menetapkan masa ekuinoks.

Thales sebenarnya dibangunkan secara menyeluruh dan lelaki bijak. Selain terkenal sebagai ahli matematik, ahli fizik dan astronomi yang cemerlang, dia juga, sebagai ahli meteorologi sebenar, dapat meramalkan hasil buah zaitun dengan tepat.

Tetapi perkara yang paling luar biasa ialah Thales tidak pernah mengehadkan pengetahuannya hanya kepada bidang saintifik dan teori, tetapi sentiasa cuba untuk menyatukan bukti teorinya dalam amalan. Dan perkara yang paling menarik adalah bahawa orang bijak yang hebat itu tidak menumpukan pada mana-mana satu bidang pengetahuannya, minatnya mempunyai arah yang berbeza.

Nama Thales menjadi nama rumah untuk orang bijak itu. Kepentingan dan kepentingannya untuk Greece adalah sama besar dengan nama Lomonosov untuk Rusia. Sudah tentu, kebijaksanaan beliau boleh ditafsirkan dengan cara yang berbeza. Tetapi kita pasti boleh mengatakan bahawa dia dicirikan oleh kedua-dua kepintaran, dan kepintaran praktikal, dan, pada tahap tertentu, detasmen.

Thales of Miletus adalah seorang ahli matematik, ahli falsafah, ahli astronomi yang sangat baik, suka mengembara, seorang saudagar dan usahawan, terlibat dalam perdagangan, dan juga seorang jurutera, diplomat, pelihat yang baik dan mengambil bahagian secara aktif dalam kehidupan politik.

Dia juga berjaya menentukan ketinggian piramid itu dengan bantuan tongkat dan bayang-bayang. Dan ia adalah seperti itu. Pada suatu hari yang cerah, Thales meletakkan tongkatnya di sempadan tempat bayang piramid itu berakhir. Kemudian dia menunggu sehingga panjang bayang-bayang tongkatnya menyamai ketinggiannya, dan mengukur panjang bayang-bayang piramid itu. Jadi, nampaknya Thales hanya menentukan ketinggian piramid dan membuktikan bahawa panjang satu bayang-bayang adalah berkaitan dengan panjang bayang-bayang yang lain, sama seperti ketinggian piramid itu berkaitan dengan ketinggian kakitangan. Ini melanda Firaun Amasis sendiri.

Terima kasih kepada Thales, semua pengetahuan yang diketahui pada masa itu dipindahkan ke bidang minat saintifik. Dia dapat membawa keputusan ke tahap yang sesuai untuk penggunaan saintifik, menonjolkan set konsep tertentu. Dan mungkin dengan bantuan Thales, perkembangan falsafah kuno yang seterusnya bermula.

Teorem Thales memainkan satu peranan penting dalam matematik. Dia dikenali bukan sahaja di Mesir Purba dan Babylon, tetapi juga di negara-negara lain dan merupakan asas kepada perkembangan matematik. Ya dan masuk Kehidupan seharian, semasa pembinaan bangunan, struktur, jalan raya, dll., seseorang tidak boleh melakukannya tanpa teorem Thales.

Teorem Thales dalam budaya

Teorem Thales menjadi terkenal bukan sahaja dalam matematik, tetapi ia juga diperkenalkan kepada budaya. Suatu ketika, kumpulan muzik Argentina Les Luthiers (Bahasa Sepanyol) menyampaikan lagu kepada penonton, yang mereka dedikasikan untuk teorem yang terkenal. Ahli Les Luthiers memberikan bukti untuk teorem langsung untuk segmen berkadar dalam klip video mereka terutamanya untuk lagu ini.

Soalan

Apakah garisan yang dipanggil selari?
Di manakah teorem Thales digunakan dalam amalan?
Apakah teorem Thales?

Senarai sumber yang digunakan

Ensiklopedia untuk kanak-kanak. T.11. Matematik / Ketua Pengarang M.D. Aksenova.-m.: Avanta +, 2001.
“Peperiksaan negeri bersatu 2006. Matematik. Bahan pendidikan dan latihan untuk penyediaan pelajar / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Geometri, 7 - 9: buku teks untuk institusi pendidikan"

Mata Pelajaran > Matematik > Matematik Gred 8

Tiada sekatan pada susunan secan bersama dalam teorem (ia adalah benar untuk garis bersilang dan untuk garis selari). Ia juga tidak kira di mana segmen garisan berada pada sekan.

Bukti dalam kes garis selari

Mari kita lukis garisan BC. Sudut ABC dan BCD adalah sama dengan salib dalam yang terletak di bawah garis selari AB dan CD dan sekan BC, dan sudut ACB dan CBD adalah sama dengan salib dalam yang terletak di bawah garis selari AC dan BD dan sekan BC. Kemudian, mengikut kriteria kedua bagi kesamaan segi tiga, segitiga ABC dan DCB adalah kongruen. Ini menunjukkan bahawa AC = BD dan AB = CD. ■

Juga wujud teorem segmen berkadar:

Garis selari memotong segmen berkadar pada secan:

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Teorem Thales ialah kes khas teorem segmen berkadar, kerana segmen yang sama boleh dianggap sebagai segmen berkadar dengan pekali kekadaran sama dengan 1.

Teorem songsang

Jika dalam teorem Thales segmen yang sama bermula dari puncak (rumusan ini sering digunakan dalam kesusasteraan sekolah), maka teorem terbalik juga akan menjadi benar. Untuk secan bersilang, ia dirumuskan seperti berikut:

Oleh itu (lihat Rajah) daripada fakta bahawa $\frac(CB_1)(CA_1)=\frac(B_1B_2)(A_1A_2)=\ldots = (\rm idem)$ ia berikutan bahawa langsung $A_1B_1||A_2B_2||\ldots$ .

Jika secan adalah selari, maka adalah perlu untuk menghendaki kesamaan segmen pada kedua-dua secan di antara mereka, jika tidak, pernyataan ini menjadi tidak betul (contoh balas ialah trapezoid yang bersilang dengan garis yang melalui titik tengah tapak).

Variasi dan Generalisasi

Pernyataan berikut adalah dua daripada lemma Sollertinsky:

Teorem Thales masih digunakan hari ini dalam navigasi maritim sebagai peraturan bahawa perlanggaran antara kapal yang bergerak pada kelajuan tetap tidak dapat dielakkan jika kapal terus menuju ke arah satu sama lain.
Di luar kesusasteraan bahasa Rusia, teorem Thales kadangkala dipanggil satu lagi teorem planimetri, iaitu, pernyataan bahawa sudut tertulis berdasarkan diameter bulatan adalah tepat. Penemuan teorem ini sememangnya dikaitkan dengan Thales, seperti yang dibuktikan oleh Proclus.

Tulis ulasan tentang artikel "Teorem Thales"

kesusasteraan

Atanasyan L. S. dan lain-lain. Geometri 7-9. - Ed. ke-3. - M .: Pencerahan, 1992.

Nota

lihat juga

Teorem Thales pada sudut berdasarkan diameter bulatan

Petikan yang mencirikan Teorem Thales

"Saya tidak fikir apa-apa, saya hanya tidak memahaminya ...
- Tunggu, Sonya, awak akan faham semuanya. Tengok macam mana dia orang. Jangan fikir buruk tentang saya atau dia.
"Saya tidak fikir perkara buruk tentang sesiapa: Saya sayang semua orang dan kasihan kepada semua orang. Tetapi apa yang saya perlu lakukan?
Sonya tidak berputus asa dengan nada lembut yang diucapkan Natasha kepadanya. Semakin lembut dan semakin merisik riak wajah Natasha, semakin serius dan tegas wajah Sonya.
"Natasha," katanya, "anda meminta saya untuk tidak bercakap dengan anda, saya tidak, sekarang anda sendiri yang mulakan. Natasha, saya tidak percaya dia. Kenapa rahsia ini?
- Lagi lagi! Natasha mencelah.
- Natasha, saya takut untuk awak.
- Apa yang perlu ditakutkan?
"Saya takut awak akan merosakkan diri sendiri," kata Sonya dengan tegas, dirinya sendiri takut dengan apa yang dia katakan.
Wajah Natasha kembali meluahkan rasa marah.
“Dan saya akan memusnahkan, saya akan memusnahkan, saya akan memusnahkan diri saya secepat mungkin. Bukan urusan anda. Bukan kepada anda, tetapi pada saya ia akan menjadi buruk. Tinggalkan, tinggalkan saya. Saya benci awak.
- Natasha! Sonya memanggil dalam ketakutan.
- Saya benci, saya benci! Dan anda adalah musuh saya selama-lamanya!
Natasha berlari keluar dari biliknya.
Natasha tidak bercakap dengan Sonya lagi dan mengelak darinya. Dengan ekspresi terkejut dan jenayah yang sama, dia mundar-mandir di dalam bilik, mula-mula mengambil ini dan kemudian satu lagi pekerjaan dan segera meninggalkannya.
Tidak kira betapa sukarnya untuk Sonya, dia tetap memandang rakannya itu.
Pada malam hari di mana kiraan itu sepatutnya kembali, Sonya menyedari bahawa Natasha telah duduk sepanjang pagi di tingkap ruang tamu, seolah-olah menunggu sesuatu dan dia telah membuat semacam tanda kepada lelaki tentera yang berlalu itu, yang Sonya sangkakan sebagai Anatole.
Sonya mula memerhatikan rakannya dengan lebih teliti dan menyedari bahawa Natasha berada dalam keadaan yang pelik dan tidak wajar sepanjang masa makan malam dan petang (dia menjawab dengan tidak sesuai soalan yang dikemukakan kepadanya, memulakan dan tidak menghabiskan frasa, ketawa pada segala-galanya).
Selepas minum teh, Sonya melihat seorang pembantu rumah yang malu-malu menunggunya di depan pintu rumah Natasha. Dia membiarkannya, dan, mencuri dengar di pintu, mengetahui bahawa surat itu telah diserahkan sekali lagi. Dan tiba-tiba menjadi jelas kepada Sonya bahawa Natasha mempunyai rancangan buruk untuk petang ini. Sonya mengetuk pintu rumahnya. Natasha tidak membenarkannya masuk.
“Dia akan lari bersamanya! Sonya berfikir. Dia mampu melakukan apa sahaja. Hari ini ada sesuatu yang sangat menyedihkan dan tegas di wajahnya. Dia menangis, mengucapkan selamat tinggal kepada bapa saudaranya, ingat Sonya. Ya, betul, dia berlari bersamanya - tetapi apa yang perlu saya lakukan? fikir Sonya, kini teringat tanda-tanda yang jelas membuktikan mengapa Natasha mempunyai niat jahat. “Tiada kiraan. Apa yang perlu saya lakukan, tulis kepada Kuragin, menuntut penjelasan daripadanya? Tapi siapa suruh dia jawab? Tulis kepada Pierre, seperti yang ditanya oleh Putera Andrei sekiranya berlaku kemalangan? ... Tetapi mungkin, sebenarnya, dia telah menolak Bolkonsky (dia menghantar surat kepada Puteri Marya semalam). Tak ada pakcik!” Nampaknya mengerikan bagi Sonya untuk memberitahu Marya Dmitrievna, yang sangat percaya kepada Natasha. Tetapi satu cara atau yang lain, fikir Sonya, berdiri di koridor gelap: sekarang atau tidak masanya telah tiba untuk membuktikan bahawa saya mengingati perbuatan baik keluarga mereka dan mencintai Nicolas. Tidak, saya tidak akan tidur selama sekurang-kurangnya tiga malam, tetapi saya tidak akan meninggalkan koridor ini dan tidak akan membenarkannya masuk secara paksa, dan tidak akan membiarkan rasa malu menimpa keluarga mereka, "fikirnya.

Anatole kebelakangan ini berpindah ke Dolokhov. Rancangan untuk penculikan Rostova telah difikirkan dan disediakan oleh Dolokhov selama beberapa hari, dan pada hari ketika Sonya, setelah mendengar Natasha di pintu, memutuskan untuk melindunginya, rancangan ini akan dilaksanakan. Natasha berjanji akan keluar ke Kuragin di anjung belakang pada pukul sepuluh malam. Kuragin sepatutnya memasukkannya ke dalam troika yang disediakan dan membawanya sejauh 60 batu dari Moscow ke kampung Kamenka, di mana seorang imam yang dipotong telah disediakan, yang sepatutnya mengahwini mereka. Di Kamenka, satu set-up telah siap, yang sepatutnya membawa mereka ke jalan Varshavskaya, dan di sana mereka sepatutnya menunggang ke luar negara dengan bayaran pos.
Anatole mempunyai pasport, dan seorang pengembara, dan sepuluh ribu wang diambil dari kakaknya, dan sepuluh ribu dipinjam melalui Dolokhov.
Dua saksi - Khvostikov, bekas kerani, yang Dolokhov dan Makarin gunakan untuk bermain, seorang pesara hussar, baik hati dan orang yang lemah, yang mempunyai cinta yang tidak terhingga untuk Kuragin - duduk di bilik pertama untuk minum teh.
Di pejabat besar Dolokhov, dihiasi dari dinding ke siling dengan permaidani Parsi, kulit beruang dan senjata, Dolokhov duduk dalam beshmet perjalanan dan but di hadapan biro terbuka, yang meletakkan bil dan gumpalan wang. Anatole, dengan pakaian seragamnya yang tidak berbutang, berjalan dari bilik tempat saksi duduk, melalui ruang kerja ke bilik belakang, di mana kaki kaki Perancisnya dan yang lain sedang mengemas barang-barang terakhir. Dolokhov mengira wang dan menulisnya.
"Nah," katanya, "Khvostikov harus diberikan dua ribu.
- Baiklah, biarkan saya, - kata Anatole.
- Makarka (itulah yang mereka panggil Makarina), yang ini tidak berminat untuk anda melalui api dan ke dalam air. Baiklah, markah sudah tamat, - kata Dolokhov sambil menunjukkan nota kepadanya. - Jadi?
"Ya, sudah tentu, begitulah keadaannya," kata Anatole, nampaknya tidak mendengar Dolokhov dan dengan senyuman yang tidak meninggalkan wajahnya, memandang ke hadapan dirinya.

perkataan;
Bukti;

Teorem pada segmen berkadar;
Teorem Ceva;

perkataan;
Bukti;

Teorem Menelaus;

perkataan;
Bukti;

Tugas dan penyelesaiannya;
Kesimpulan;
Senarai sumber dan literatur yang digunakan.

pengenalan.

Semua perkara kecil diperlukan

Menjadi penting...

I. Severyanin
Abstrak ini ditumpukan kepada aplikasi kaedah garis selari kepada pembuktian teorem dan penyelesaian masalah. Mengapa kita menggunakan kaedah ini? Dalam itu tahun akademik Di Olympiad sekolah dalam matematik, masalah geometri telah dicadangkan, yang nampaknya sangat sukar bagi kami. Tugas inilah yang memberi dorongan kepada permulaan kerja pada kajian dan pembangunan kaedah garis selari dalam menyelesaikan masalah mencari nisbah panjang segmen.

Idea kaedah itu sendiri adalah berdasarkan penggunaan teorem Thales umum. Teorem Thales dipelajari dalam gred kelapan, generalisasi dan topik "Persamaan Rajah" dalam gred kesembilan dan hanya dalam gred kesepuluh, dalam pelan pengenalan, dua teorem penting Ceva dan Menelaus dipelajari, dengan bantuan yang mana beberapa masalah agak mudah diselesaikan untuk mencari nisbah panjang segmen. Oleh itu, di peringkat pendidikan asas, kita boleh membuat keputusan dengan agak bulatan sempit tugasan untuk bahan kajian ini. Walaupun pada pensijilan akhir untuk kursus sekolah utama dan di USE dalam matematik, tugasan mengenai topik ini (teorem Thales. Persamaan segitiga, pekali persamaan. Tanda-tanda persamaan segitiga) ditawarkan di bahagian kedua peperiksaan. kertas dan mempunyai tahap kerumitan yang tinggi.

Dalam proses mengusahakan abstrak, ia menjadi mungkin untuk memperdalam pengetahuan kami mengenai topik ini. Bukti teorem pada segmen berkadar dalam segitiga (teorem tidak termasuk dalam kurikulum sekolah) adalah berdasarkan kaedah garis selari. Seterusnya, teorem ini membenarkan kami mencadangkan cara lain untuk membuktikan teorem Ceva dan Menelaus. Hasilnya, kami dapat mempelajari cara menyelesaikan masalah yang lebih luas untuk membandingkan panjang segmen. Ini adalah kaitan kerja kami.

Teorem Thales umum.

Formulasi:

Garis selari yang bersilang dua garisan tertentu memotong segmen berkadar pada garisan ini.
Diberi:

Lurus a dipotong dengan garis selari ( TAPI 1 AT 1 , TAPI 2 AT 2 , TAPI 3 AT 3 ,…, TAPI n B n) ke dalam segmen TAPI 1 TAPI 2 , TAPI 2 TAPI 3 , …, A n -1 A n, dan garis lurus b- ke dalam segmen AT 1 AT 2 , AT 2 AT 3 , …, AT n -1 AT n .

Buktikan:

Bukti:

Mari kita buktikan, sebagai contoh, itu

Pertimbangkan dua kes:

1 kes (Gamb. b)

Langsung a dan b adalah selari. Kemudian segi empat

TAPI 1 TAPI 2 AT 2 AT 1 dan TAPI 2 TAPI 3 AT 3 AT 2 - segi empat selari. sebab tu

TAPI 1 TAPI 2 =AT 1 AT 2 dan TAPI 2 TAPI 3 =AT 2 AT 3 , dari mana ia mengikutinya

2 kes (rajah c)

Garis a dan b tidak selari. Melalui titik TAPI 1 mari kita lukis garis lurus Dengan, selari dengan garisan b. Dia akan melintasi garisan TAPI 2 AT 2 dan TAPI 3 AT 3 pada beberapa titik DARI 2 dan DARI 3 . segi tiga TAPI 1 TAPI 2 DARI 2 dan TAPI 1 TAPI 3 DARI 3 adalah serupa dalam dua sudut (sudut TAPI 1 – am, sudut TAPI 1 TAPI 2 DARI 2 dan TAPI 1 TAPI 3 DARI 3 sama dengan sepadan di bawah garis selari TAPI 2 AT 2 dan TAPI 3 AT 3 sekan TAPI 2 TAPI 3 ), itulah sebabnya

Atau mengikut harta perkadaran

Sebaliknya, dengan apa yang dibuktikan dalam kes pertama, kita ada TAPI 1 DARI 2 =AT 1 AT 2 , DARI 2 DARI 3 =AT 2 AT 3 . Mengganti dalam perkadaran (1) TAPI 1 DARI 2 pada AT 1 AT 2 dan DARI 2 DARI 3 pada AT 2 AT 3 , kita sampai pada kesaksamaan

Q.E.D.
Teorem mengenai segmen berkadar dalam segitiga.

Di bahagian tepi AC dan matahari segi tiga ABC mata ditanda Kepada dan M jadi AC:CS=m: n, BM: MC= hlm: q. Segmen pagi dan VC bersilang pada satu titik O(Gamb. 124b).

Buktikan:

Bukti:
Melalui titik M mari kita lukis garis lurus MD(Gamb. 124a), selari VC. Dia menyeberang AC pada titik D, dan mengikut generalisasi teorem Thales

biarlah AK=mx. Kemudian, sesuai dengan keadaan masalah KS=nx, dan sejak KD: DC= hlm: q, sekali lagi kita menggunakan generalisasi teorem Thales:

Begitu juga, terbukti bahawa .

Teorem Ceva.
Teorem ini dinamakan sempena ahli matematik Itali Giovanni Ceva, yang membuktikannya pada tahun 1678.

Formulasi:

Jika pada sisi AB, BC dan CA segitiga ABC, titik C diambil masing-masing 1 , TETAPI 1 dan B 1 , kemudian segmen AA 1 , BB 1 dan SS 1 bersilang pada satu titik jika dan hanya jika

Diberi:

Segi tiga ABC dan di sisinya AB, matahari dan AC mata ditanda DARI 1 ,TAPI 1 dan AT 1 .

Buktikan:

2.keratan A A 1 , BB 1 dan SS 1 bersilang pada satu titik.

Bukti:
1. Biarkan segmen AA 1 , BB 1 dan SS 1 bersilang pada satu titik O. Mari kita buktikan bahawa kesaksamaan (3) berlaku. Menurut teorem pada segmen berkadar dalam segitiga 1 kita ada:

Bahagian kiri kesamaan ini adalah sama, jadi bahagian kanan juga sama. Menyamakan mereka, kita dapat

Membahagikan kedua-dua bahagian kepada sebelah kanan, kita sampai pada kesaksamaan (3).

2. Mari kita buktikan dakwaan sebaliknya. Biarkan mata DARI 1 ,TAPI 1 dan AT 1 diambil di sisi AB, matahari dan SA supaya persamaan (3) dipegang. Mari kita buktikan bahawa segmen AA 1 , BB 1 dan SS 1 bersilang pada satu titik. Nyatakan dengan huruf O titik persilangan segmen A A 1 dan BB 1 dan lukis garis lurus JADI. Dia menyeberang AB pada satu ketika, yang kami nyatakan DARI 2 . Sejak segmen AA 1 , BB 1 dan SS 1 bersilang pada satu titik, kemudian dengan apa yang dibuktikan dalam perenggan pertama

Oleh itu, kesamaan (3) dan (4) dipegang.

Membandingkannya, kita sampai pada kesamaan = , yang menunjukkan bahawa mata C 1 dan C 2 berkongsi sisi AB C 1 dan C 2 bertepatan, dan oleh itu segmen AA 1 , BB 1 dan SS 1 bersilang pada satu titik O.

Q.E.D.
Teorem Menelaus.

Formulasi:

Jika pada sisi AB dan BC dan lanjutan sisi AC (atau pada lanjutan sisi AB, BC dan AC) titik C diambil masing-masing 1 , TETAPI 1 , AT 1 , maka titik ini terletak pada baris yang sama jika dan hanya jika

Diberi:

Segi tiga ABC dan di sisinya AB, matahari dan AC mata ditanda DARI 1 ,TAPI 1 dan AT 1 .

Buktikan:

2. mata TAPI 1 ,DARI 1 dan AT 1 berbohong pada baris yang sama
Bukti:
1. Biarkan mata TAPI 1 ,DARI 1 dan AT 1 berbohong pada baris yang sama. Mari kita buktikan bahawa kesaksamaan (5) berlaku. Jom belanja AD,JADILAH dan CF selari dengan garis lurus AT 1 TAPI 1 (titik D terletak pada garis lurus matahari). Menurut teorem Thales umum, kita mempunyai:

Mendarab bahagian kiri dan kanan kesamaan ini, kita perolehi

mereka. kesaksamaan (5) dipegang.
2. Mari kita buktikan dakwaan sebaliknya. Biarkan titik AT 1 diambil di sebelah sambungan AC, dan mata DARI 1 dan TAPI 1 - di sisi AB dan matahari, dan dengan cara yang sama (5) dipegang. Mari kita buktikan bahawa mata TAPI 1 ,DARI 1 dan AT 1 berbohong pada baris yang sama. Biarkan garis lurus A 1 C 1 memotong kesinambungan sisi AC di titik B 2, kemudian, dengan apa yang dibuktikan dalam perenggan pertama

Membandingkan (5) dan (6), kita sampai pada kesamaan = , yang menunjukkan bahawa mata AT 1 dan AT 2 berkongsi sisi AC dalam hal yang sama. Oleh itu, mata AT 1 dan AT 2 bertepatan, dan oleh itu mata TAPI 1 ,DARI 1 dan AT 1 berbohong pada baris yang sama. Pernyataan sebaliknya dibuktikan sama dalam kes apabila ketiga-tiga mata TAPI 1 ,DARI 1 dan AT 1 terletak pada sambungan sisi yang sepadan.

Q.E.D.

Penyelesaian masalah.

Adalah dicadangkan untuk mempertimbangkan beberapa masalah mengenai pembahagian bahagian berkadar dalam segitiga. Seperti yang dinyatakan di atas, terdapat beberapa kaedah untuk menentukan lokasi titik yang diperlukan dalam masalah. Dalam kerja kami, kami menyelesaikan kaedah garis selari. Asas teori kaedah ini ialah teorem Thales umum, yang membenarkan penggunaan garis selari untuk dipindahkan hubungan yang terkenal perkadaran dari satu sisi sudut ke sisi kedua, oleh itu, anda hanya perlu melukis garis selari ini dengan cara yang mudah untuk menyelesaikan masalah.
Pertimbangkan tugas khusus:
Tugasan №1 Titik M diambil dalam segi tiga ABC di sisi BC supaya VM:MC=3:2. Titik P membahagikan segmen AM dalam nisbah 2:1. Garisan BP bersilang AC sisi di titik B 1 . Dari segi apakah titik B 1 membahagikan AC sisi?

Penyelesaian: Adalah perlu untuk mencari nisbah AB 1: B 1 C, AC ialah segmen yang dikehendaki di mana titik B 1 terletak.

Kaedah selari adalah seperti berikut:

potong segmen yang dikehendaki dengan garis selari. Satu BB 1 sudah ada, dan MN kedua akan dilukis melalui titik M, selari dengan BB 1.
Pindahkan nisbah yang diketahui dari satu sisi sudut ke sisi yang lain, i.e. pertimbangkan sudut sisi, yang dipotong oleh garis lurus ini.

Sisi sudut C dipotong oleh garis lurus BB 1 dan MN dan, mengikut teorem Thales umum, kita membuat kesimpulan AT 1 N=3r, NC=2r. Sisi sudut MAC bersilang dengan garis PB 1 dan MN dan bahagikan sisinya dalam nisbah 2: 1, oleh itu AB 1: B 1 N \u003d 2: 1 dan oleh itu AB 1 \u003d 2n, AT 1 N= n. Kerana AT 1 N=3r, dan AT 1 N= n, kemudian 3p=n.

Mari kita beralih kepada nisbah faedah kepada kita AB 1: B 1 C \u003d AB 1: (B 1 N + NC) \u003d 2n: (3p + 2p) \u003d (2 * 3p): (5p) \u003d 6: 5.

Jawapan: AB 1:B 1 C = 6:5.

Komen: Masalah ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Menelaus. Memohon pada segitiga AMC. Kemudian garis BB 1 bersilang dua sisi segi tiga pada titik B 1 dan P, dan kesinambungan ketiga pada titik B. Jadi kesamaan terpakai: , Akibatnya
Tugasan nombor 2 Dalam segi tiga ABC AN ialah median. Di sebelah AC, titik M diambil supaya AM: MC \u003d 1: 3. Segmen AN dan BM bersilang pada titik O, dan sinar CO bersilang dengan AB pada titik K. Dalam nisbah apakah titik K membahagi segmen AB.

Penyelesaian: Kita perlu mencari nisbah AK kepada KV.

1) Lukis garis NN 1 selari dengan garis SK dan garis NN 2 selari dengan garis VM.

2) Sisi sudut ABC bersilang dengan garis lurus SC dan NN 1 dan, mengikut teorem Thales umum, kita membuat kesimpulan BN 1:N 1 K=1:1 atau BN 1 = N 1 K= y.

3) Sisi sudut BCM bersilang oleh garis BM dan NN 2 dan, mengikut teorem Thales umum, kita menyimpulkan CN 2:N 2 M=1:1 atau CN 2 = N 2 M=3:2= 1.5.

4) Sisi sudut NAC bersilang dengan garis BM dan NN 2 dan mengikut teorem Thales umum kita simpulkan AO: ON=1:1.5 atau AO=m ON=1.5m.

5) Sisi sudut BAN bersilang dengan garis lurus SK dan NN 1 dan, menurut teorem Thales umum, kami menyimpulkan AK: KN 1 \u003d 1: 1.5 atau AK \u003d n KN 1 =1,5 n.

6) KN 1 \u003d y \u003d 1.5n.

Jawapan: AK:KV=1:3.

Komen: Masalah ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Ceva, mengaplikasikannya pada segi tiga ABC. Mengikut keadaan, titik N, M, K terletak pada sisi segitiga ABC dan segmen AN, CK dan VM bersilang pada satu titik, yang bermaksud bahawa kesamaan adalah benar: , kita menggantikan hubungan yang diketahui, kita ada , AK:KV=1:3.

Tugasan No. 3 Di sisi BC segitiga ABC, titik D diambil sedemikian rupa sehingga BD: DC \u003d 2: 5, dan di sisi AC, titik E adalah sedemikian rupa sehingga . Dalam nisbah apakah segmen BE dan AD dibahagikan dengan titik K persilangannya?
Penyelesaian: Perlu mencari 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) Lukis garisan DD 1 selari dengan garis BE.

2) Sisi sudut SEMUA bersilang dengan garis BE dan DD 1 dan, mengikut teorem Thales umum, kita membuat kesimpulan CD 1:D 1 E=5:2 atau CD 1 = 5z, D 1 E=2z.

3) Mengikut keadaan AE:EC=1:2, i.e. AE \u003d x, EC \u003d 2x, tetapi EC \u003d CD 1 + D 1 E, kemudian 2y=5z+2 z=7 z, z=

4) Sisi sudut DCA bersilang oleh garis BE dan DD 1 dan, mengikut teorem Thales umum, kita membuat kesimpulan

5) Untuk menentukan nisbah VK:KE, kami melukis garis lurus EE 1 dan, berhujah dengan cara yang sama, kami memperoleh

Jawapan: AK:KD=7:4; VK:KE=6:5.
Ulasan: Masalah ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Menelaus. Sapukan pada segi tiga BERAT. Kemudian garis DA bersilang dua sisi segitiga pada titik D dan K, dan kesinambungan yang ketiga di titik A. Jadi kesamaan terpakai:

, oleh itu VK:KE=6:5. Berhujah sama berkenaan dengan segi tiga ADC, kita perolehi

, AK:KD=7:4.
Masalah #4 Dalam ∆ ABC, pembahagi dua AD membahagikan sisi BC dalam nisbah 2:1. Dalam nisbah apakah median CE membahagikan pembahagi dua bahagian ini?

Penyelesaian: Biarkan titik O persilangan pembahagi dua AD dan median CE. Kita perlu mencari nisbah AO:OD.

1) Lukis garisan DD 1 selari dengan garis CE.

2) Sisi sudut ABC bersilang oleh garis CE dan DD 1 dan, mengikut teorem Thales umum, kita membuat kesimpulan BD 1:D 1 E=2:1 atau BD 1 = 2p, D 1 E=p.

3) Mengikut keadaan AE:EB=1:1, i.e. AE=y, EB=y, tetapi EB= BD 1 + D 1 E, jadi y=2hlm+ hlm=3 hlm, hlm =
4) Sisi sudut BAD bersilang oleh garis OE dan DD 1 dan, mengikut teorem Thales umum, kita membuat kesimpulan .

Jawapan: AO:OD=3:1.

Tugasan #5 Pada sisi AB dan AC ∆ABC, titik M dan N diberikan, masing-masing, supaya kesamaan berikut AM:MB=C dipenuhiN: NA=1:2. Dalam nisbah apakah titik S persilangan segmen BN dan CM membahagikan setiap segmen ini.

Masalah №6 Titik K diambil pada median AM bagi segi tiga ABC, dan AK:KM=1:3. Cari nisbah di mana garis yang melalui titik K selari dengan sisi AC membahagi sisi BC.

Penyelesaian: Biarkan M ialah 1 mata persilangan garis yang melalui titik K selari dengan sisi AC dan sisi BC. Adalah perlu untuk mencari nisbah BM 1:M 1 C.

1) Sisi sudut AMC bersilang dengan garis lurus KM 1 dan AC dan, mengikut teorem Thales umum, kami membuat kesimpulan MM 1: M 1 C=3:1 atau MM 1 \u003d 3z, M 1 C \u003d z

2) Dengan syarat VM:MS=1:1, iaitu VM=y, MC=y, tetapi MC=MM 1 + M 1 C, jadi y=3z+ z=4 z,

3) .

Jawapan: VM 1:M 1 C = 7:1.

Masalah №7 Segitiga ABC diberikan. Pada lanjutan sisi AC, satu titik diambil untuk titik CN, dan CN=AC; titik K ialah titik tengah sisi AB. Dari segi apakah garis KNmembahagi sisi BC.

Ulasan: Masalah ini boleh diselesaikan menggunakan teorem Menelaus. Mengaplikasikannya pada segi tiga ABC. Kemudian garis lurus KN bersilang dua sisi segitiga pada titik K dan K 1, dan kesinambungan ketiga pada titik N. Jadi kesamaan terpakai: , oleh itu VK 1:K 1 C=2:1.

Tugasan #8

Tapak:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

Peperiksaan Negeri Bersepadu 2011 Tugasan Matematik C4 R.K. Gordin M .: MTSNMO, 2011, - 148 s

Kesimpulan:

Penyelesaian masalah dan teorem untuk mencari nisbah panjang segmen adalah berdasarkan teorem Thales umum. Kami telah merumuskan kaedah yang membolehkan, tanpa menggunakan teorem Thales, menggunakan garis selari, memindahkan perkadaran yang diketahui dari satu sisi sudut ke sisi lain dan, dengan itu, mencari lokasi titik yang kita perlukan dan membandingkan panjangnya. Mengusahakan abstrak membantu kami mempelajari cara menyelesaikan masalah geometri tahap tinggi kesukaran. Kami menyedari kebenaran kata-kata penyair terkenal Rusia Igor Severyanin: "Semua yang tidak penting diperlukan untuk menjadi penting ..." dan kami yakin bahawa pada Peperiksaan Negeri Bersatu kami akan dapat mencari penyelesaian kepada tugas yang dicadangkan menggunakan kaedah garis selari.

1 Teorem mengenai segmen berkadar dalam segitiga ialah teorem yang diterangkan di atas.

Jika sisi sudut disilang oleh garis selari lurus yang membahagikan salah satu sisi kepada beberapa segmen, maka sisi kedua, garis lurus, juga akan dibahagikan kepada segmen yang setara dengan sisi yang lain.

Teorem Thales membuktikan perkara berikut: С 1 , С 2 , С 3 - ini adalah tempat di mana garis selari bersilang pada mana-mana sisi sudut. C 2 berada di tengah-tengah berkenaan dengan C 1 dan C 3 .. Titik D 1 , D 2 , D 3 ialah tempat di mana garis bersilang, yang sepadan dengan garisan dengan sisi sudut yang lain. Kami membuktikan bahawa apabila C 1 C 2 \u003d C 2 C z, maka D 1 D 2 \u003d D 2 D 3 .
Kami melukis segmen lurus KR di tempat D 2, selari dengan bahagian C 1 C 3. Dalam sifat segi empat selari C 1 C 2 \u003d KD 2, C 2 C 3 \u003d D 2 P. Jika C 1 C 2 \u003d C 2 C 3, maka KD 2 \u003d D 2 P.

Angka segi tiga yang terhasil D 2 D 1 K dan D 2 D 3 P adalah sama. Dan D 2 K=D 2 P dengan bukti. Sudut dengan titik atas D 2 adalah sama dengan menegak, dan sudut D 2 KD 1 dan D 2 PD 3 adalah sama dengan salib dalam yang terletak selari C 1 D 1 dan C 3 D 3 dan memisahkan KP.
Oleh kerana D 1 D 2 =D 2 D 3 teorem dibuktikan dengan kesamaan sisi segi tiga

nota itu: Jika kita tidak mengambil sisi sudut, tetapi dua segmen lurus, buktinya akan sama.
Mana-mana segmen garis lurus selari antara satu sama lain, yang bersilang dengan dua garis yang sedang kita pertimbangkan dan membahagikan satu daripadanya kepada bahagian yang sama, lakukan perkara yang sama dengan yang kedua.

Mari lihat beberapa contoh

Contoh pertama

Syarat tugas adalah untuk membahagikan CD baris menjadi P segmen yang sama.
Kami menarik dari titik C separa garis c, yang tidak terletak pada garis CD. Mari tandakan bahagian yang sama saiz di atasnya. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 ..... C p-1 C p. Kami menyambung C p dengan D. Kami melukis garis lurus dari titik C 1, C 2, ...., C p -1 yang akan selari dengan C p D. Garisan akan bersilang CD di tempat D 1 D 2 D p-1 dan membahagikan CD garis kepada n segmen yang sama.

Contoh kedua

Titik CK ditanda pada sisi AB bagi segi tiga ABC. Segmen SK memotong median AM bagi segi tiga di titik P, manakala AK = AP. Ia dikehendaki mencari nisbah VC kepada RM.
Kami melukis garis lurus melalui titik M, selari dengan SC, yang bersilang dengan AB di titik D

Oleh Teorem ThalesВD=КD
Dengan teorem segmen berkadar, kita mendapatnya
PM \u003d KD \u003d VK / 2, oleh itu, VK: PM \u003d 2: 1
Jawapan: VK: RM = 2:1

Contoh ketiga

Dalam segi tiga ABC, sisi BC = 8 cm Garis DE memotong sisi AB dan BC selari dengan AC. Dan memotong di sebelah BC segmen EU = 4 cm. Buktikan bahawa AD = DB.

Oleh kerana BC = 8 cm dan EU = 4 cm, maka
BE = BC-EU, oleh itu BE = 8-4 = 4(cm)
Oleh Teorem Thales, kerana AC adalah selari dengan DE dan EC \u003d BE, oleh itu, AD \u003d DB. Q.E.D.

AT majalah wanita- dalam talian, anda akan dapati banyak maklumat menarik untuk diri saya sendiri. Terdapat juga bahagian yang dikhaskan untuk puisi yang ditulis oleh Sergei Yesenin. Masuk anda tidak akan menyesal!

Mengenai selari dan sekan.

Di luar kesusasteraan bahasa Rusia, teorem Thales kadangkala dipanggil satu lagi teorem planimetri, iaitu, pernyataan bahawa sudut tertulis berdasarkan diameter bulatan adalah tepat. Penemuan teorem ini sememangnya dikaitkan dengan Thales, seperti yang dibuktikan oleh Proclus.

Perkataan

Jika pada salah satu daripada dua garis lurus beberapa segmen yang sama diketepikan secara berurutan dan garis selari dilukis melalui hujungnya, bersilang dengan garis lurus kedua, maka ia akan memotong segmen yang sama pada garis lurus kedua.

Rumusan yang lebih umum, juga dipanggil teorem segmen berkadar

Garis selari memotong segmen berkadar pada secan:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Kenyataan

Tiada sekatan pada susunan secan bersama dalam teorem (ia adalah benar untuk garis bersilang dan untuk garis selari). Ia juga tidak kira di mana segmen garisan berada pada sekan.

Teorem Thales ialah kes khas teorem segmen berkadar, kerana segmen yang sama boleh dianggap sebagai segmen berkadar dengan pekali kekadaran sama dengan 1.

Bukti dalam kes secant

Pertimbangkan varian dengan pasangan segmen yang tidak bersambung: biarkan sudut bersilang dengan garis lurus A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) dan di mana A B = C D (\displaystyle AB=CD).

Bukti dalam kes garis selari

Mari kita lukis garis lurus BC. sudut ABC dan BCD adalah sama seperti salib dalaman yang terletak pada garis selari AB dan CD dan sekan BC, dan sudut ACB dan CBD adalah sama seperti salib dalaman yang terletak pada garis selari AC dan BD dan sekan BC. Kemudian, mengikut kriteria kedua untuk kesamaan segi tiga, segi tiga ABC dan DCB adalah sama. Oleh itu ia mengikutinya AC = BD dan AB = CD. ■

Variasi dan Generalisasi

Teorem songsang

Dalam teorem Thales songsang, adalah penting bahawa segmen yang sama bermula dari bucu

Oleh itu (lihat Rajah) daripada fakta bahawa C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\gaya paparan (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), berikutan itu A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\gaya paparan A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Teorem ini digunakan dalam navigasi: perlanggaran kapal yang bergerak pada kelajuan tetap tidak dapat dielakkan jika arah dari satu kapal ke kapal lain dikekalkan.

Lemma Sollertinsky

Pernyataan berikut adalah dua daripada lemma Sollertinsky:

biarlah f (\gaya paparan f)- korespondensi projektif antara titik garis l (\gaya paparan l) dan langsung m (\gaya paparan m). Kemudian set garisan akan menjadi set tangen kepada beberapa bahagian kon (mungkin merosot).

Dalam kes teorem Thales, kon akan menjadi titik pada infiniti sepadan dengan arah garis selari.

Pernyataan ini, seterusnya, adalah kes mengehadkan pernyataan berikut:

biarlah f (\gaya paparan f) ialah transformasi projektif bagi kon. Kemudian sampul surat set baris X f (X) (\gaya paparan Xf(X)) akan ada kon (mungkin merosot).