Primeri logaritmov števil. Reševanje logaritemskih enačb
Zadnji videoposnetki v dolgi seriji lekcij o reševanju logaritemskih enačb. Tokrat se bomo ukvarjali predvsem z ODZ logaritma - prav zaradi nepravilnega upoštevanja (ali celo ignoriranja) domene definicije nastane največ napak pri reševanju tovrstnih problemov.
V tej kratki video lekciji si bomo ogledali uporabo formul za seštevanje in odštevanje logaritmov, ukvarjali pa se bomo tudi z ulomljenimi racionalnimi enačbami, s katerimi ima veliko učencev prav tako težave.
O čem bomo govorili? Glavna formula, ki bi jo rad razumel, izgleda takole:
log a (f g ) = log a f + log a g
To je standardni prehod od produkta do vsote logaritmov in nazaj. To formulo verjetno poznate že od samega začetka preučevanja logaritmov. Vendar obstaja ena težava.
Dokler so spremenljivke a, f in g navadna števila, ni težav. Ta formula deluje odlično.
Čim pa se namesto f in g pojavijo funkcije, se pojavi problem širjenja ali zoževanja domene definicije glede na to, v katero smer transformirati. Presodite sami: v levo zapisanem logaritmu je definicijska domena naslednja:
fg > 0
Toda v znesku, ki je napisan na desni, je domena definicije že nekoliko drugačna:
f > 0
g > 0
Ta sklop zahtev je strožji od prvotnega. V prvem primeru se bomo zadovoljili z možnostjo f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 se izvede).
Pri prehodu iz leve konstrukcije v desno pride torej do zožitve domene definicije. Če smo najprej imeli vsoto in jo prepišemo v obliki produkta, se področje definicije razširi.
Z drugimi besedami, v prvem primeru bi lahko izgubili korenine, v drugem pa bi lahko dobili dodatne. To je treba upoštevati pri reševanju pravih logaritemskih enačb.
Torej, prva naloga:
[Napis k sliki] Na levi strani vidimo vsoto logaritmov z isto osnovo. Zato lahko te logaritme seštejemo:
[Napis k sliki] Kot lahko vidite, smo na desni zamenjali ničlo s formulo:
a = log b b a
Preuredimo našo enačbo še malo:
log 4 (x − 5) 2 = log 4 1
Pred nami je kanonična oblika logaritmične enačbe;
(x − 5) 2 = 1
|x − 5| = 1
Prosimo, upoštevajte: od kod prihaja modul? Naj vas spomnim, da je koren natančnega kvadrata enak modulu:
[Napis k sliki] Nato rešimo klasično enačbo z modulom:
|f | = g (g > 0) ⇒f = ±g
x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6
Tukaj sta odgovora dveh kandidatov. Ali so rešitev prvotne logaritemske enačbe? Ni šans!
Nimamo pravice pustiti vsega kar tako in zapisati odgovor. Oglejte si korak, kjer vsoto logaritmov nadomestimo z enim logaritmom produkta argumentov. Težava je v tem, da imamo v izvirnih izrazih funkcije. Zato morate zahtevati:
x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.
Ko smo izdelek preoblikovali in dobili natančen kvadrat, so se zahteve spremenile:
(x − 5) 2 > 0
Kdaj je ta zahteva izpolnjena? Da, skoraj vedno! Razen primera, ko je x − 5 = 0. To je neenakost se bo zmanjšala na eno preluknjano točko:
x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5
Kot lahko vidite, se je obseg definicije razširil, o čemer smo govorili na samem začetku lekcije. Posledično se lahko pojavijo dodatne korenine.
Kako lahko preprečite pojav teh dodatnih korenin? Zelo preprosto: pogledamo naše dobljene korene in jih primerjamo z domeno definicije prvotne enačbe. Preštejmo:
x (x − 5) > 0
Reševali bomo z intervalno metodo:
x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5
Dobljene številke označimo na črti. Vse točke manjkajo, ker je neenakost stroga. Vzemite poljubno število, večje od 5, in nadomestite:
[Napis k sliki] Zanimajo nas intervali (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Če na odseku označimo svoje korenine, bomo videli, da nam x = 4 ne ustreza, ker je ta koren izven domene definicije izvorne logaritemske enačbe.
Vrnemo se k celoti, prečrtamo koren x = 4 in zapišemo odgovor: x = 6. To je končni odgovor na prvotno logaritemsko enačbo. To je to, problem rešen.
Pojdimo k drugi logaritemski enačbi:
[Napis k sliki] Rešimo to. Upoštevajte, da je prvi člen ulomek, drugi pa isti ulomek, vendar obrnjen. Naj vas izraz lgx ne prestraši - preprosto je decimalni logaritem, lahko zapišemo:
lgx = log 10 x
Ker imamo dva obrnjena ulomka, predlagam uvedbo nove spremenljivke:
[Napis k sliki] Zato lahko našo enačbo prepišemo na naslednji način:
t + 1/t = 2;
t + 1/t − 2 = 0;
(t 2 − 2t + 1)/t = 0;
(t − 1) 2 /t = 0.
Kot lahko vidite, je števec ulomka natančen kvadrat. Ulomek je enak nič, če je njegov števec enak nič in imenovalec različen od nič:
(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0
Rešimo prvo enačbo:
t − 1 = 0;
t = 1.
Ta vrednost izpolnjuje drugo zahtevo. Zato lahko rečemo, da smo našo enačbo v celoti rešili, vendar le glede na spremenljivko t. Zdaj pa se spomnimo, kaj je t:
[Napis k sliki]Dobili smo delež:
lgx = 2 lgx + 1
2 logx − logx = −1
logx = −1
To enačbo pripeljemo v njeno kanonično obliko:
logx = log 10 −1
x = 10 −1 = 0,1
Kot rezultat smo dobili en sam koren, ki je teoretično rešitev prvotne enačbe. Vendar pa še vedno igrajmo na varno in zapišimo domeno definicije izvirne enačbe:
[Napis k sliki] Zato naš koren izpolnjuje vse zahteve. Našli smo rešitev izvirne logaritemske enačbe. Odgovor: x = 0,1. Problem je rešen.
V današnji lekciji je le ena ključna točka: pri uporabi formule za premikanje od produkta do vsote in nazaj ne pozabite upoštevati, da se lahko obseg definicije zoži ali razširi, odvisno od smeri prehoda.
Kako razumeti, kaj se dogaja: krčenje ali širjenje? Zelo preprosto. Če so bile prej funkcije skupaj, zdaj pa so ločene, se je obseg definicije zožil (ker je zahtev več). Če sta funkciji najprej stali ločeno, zdaj pa sta združeni, se področje definiranja razširi (proizvodu je naloženih manj zahtev kot posameznim dejavnikom).
Ob upoštevanju te opombe bi rad opozoril, da druga logaritemska enačba sploh ne zahteva teh transformacij, to pomeni, da nikjer ne dodajamo ali množimo argumentov. Vendar bi vas rad tukaj opozoril na še eno čudovito tehniko, ki lahko bistveno poenostavi rešitev. Gre za zamenjavo spremenljivke.
Vendar ne pozabite, da nas nobena zamenjava ne osvobodi obsega definicije. Zato, ko smo našli vse korenine, nismo bili leni in smo se vrnili k prvotni enačbi, da bi našli njen ODZ.
Pogosto se pri zamenjavi spremenljivke pojavi zoprna napaka, ko učenci najdejo vrednost t in mislijo, da je rešitev popolna. Ni šans!
Ko najdete vrednost t, se morate vrniti k prvotni enačbi in videti, kaj točno smo mislili s to črko. Posledično moramo rešiti še eno enačbo, ki pa bo veliko enostavnejša od prvotne.
Ravno v tem je bistvo uvedbe nove spremenljivke. Prvotno enačbo razdelimo na dve vmesni enačbi, od katerih ima vsaka veliko enostavnejšo rešitev.
Kako rešiti "ugnezdene" logaritemske enačbe
Danes nadaljujemo s preučevanjem logaritemskih enačb in bomo analizirali konstrukcije, ko je en logaritem pod znakom drugega logaritma. Obe enačbi bomo rešili v kanonični obliki.
Danes nadaljujemo s preučevanjem logaritemskih enačb in bomo analizirali konstrukcije, ko je en logaritem pod znakom drugega. Obe enačbi bomo rešili v kanonični obliki. Naj vas spomnim, da če imamo najpreprostejšo logaritemsko enačbo oblike log a f (x) = b, potem za rešitev takšne enačbe izvedemo naslednje korake. Najprej moramo zamenjati število b:
b = log a a b
Opomba: a b je argument. Podobno je v izvirni enačbi argument funkcija f(x). Nato prepišemo enačbo in dobimo to konstrukcijo:
log a f (x) = log a a b
Nato lahko izvedemo tretji korak - znebimo se znaka za logaritem in preprosto zapišemo:
f (x) = a b
Kot rezultat dobimo novo enačbo. V tem primeru za funkcijo f (x) niso naložene nobene omejitve. Namesto nje lahko na primer nastopi tudi logaritemska funkcija. In potem bomo spet dobili logaritemsko enačbo, ki jo bomo spet zreducirali na najpreprostejšo obliko in rešili skozi kanonično obliko.
Vendar dovolj besedil. Rešimo pravi problem. Torej, naloga številka 1:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = 2
Kot lahko vidite, imamo preprosto logaritemsko enačbo. V vlogi f (x) je konstrukcija 1 + 3 log 2 x, v vlogi števila b pa število 2 (vlogo a ima tudi dva). Zapišimo to dvoje takole:
Pomembno je razumeti, da sta prvi dve dvojki prišli k nam iz osnove logaritma, tj. če bi bilo v prvotni enačbi 5, bi dobili, da je 2 = log 5 5 2. Na splošno je osnova odvisna izključno od logaritma, ki je bil prvotno podan v nalogi. In v našem primeru je to številka 2.
Torej, prepišimo našo logaritemsko enačbo ob upoštevanju dejstva, da sta dva na desni pravzaprav tudi logaritem. Dobimo:
log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4
Pojdimo na zadnji korak naše sheme - znebimo se kanonične oblike. Lahko bi rekli, da znake hloda preprosto prečrtamo. Vendar pa je z matematičnega vidika nemogoče "prečrtati dnevnik" - pravilneje bi bilo reči, da preprosto enačimo argumente:
1 + 3 log 2 x = 4
Od tu lahko zlahka najdemo 3 log 2 x:
3 log 2 x = 3
log 2 x = 1
Spet smo dobili najpreprostejšo logaritemsko enačbo, vrnimo jo v kanonično obliko. Za to moramo narediti naslednje spremembe:
1 = dnevnik 2 2 1 = dnevnik 2 2
Zakaj je na dnu dvojka? Ker je v naši kanonični enačbi na levi logaritem natančno na osnovi 2. Težavo prepišemo ob upoštevanju tega dejstva:
log 2 x = log 2 2
Spet se znebimo predznaka za logaritem, torej argumente enostavno izenačimo. Imamo pravico do tega, ker so osnove enake in ni bilo več izvedenih dodatnih dejanj niti na desni niti na levi:
To je vse! Problem je rešen. Našli smo rešitev logaritemske enačbe.
Opomba! Čeprav se spremenljivka x pojavi v argumentu (tj. obstajajo zahteve za domeno definicije), ne bomo postavili nobenih dodatnih zahtev.
Kot sem rekel zgoraj, je to preverjanje odveč, če se spremenljivka pojavi v samo enem argumentu samo enega logaritma. V našem primeru se x res pojavi samo v argumentu in le pod enim znakom dnevnika. Zato dodatna preverjanja niso potrebna.
Če pa tej metodi ne zaupate, lahko enostavno preverite, ali je x = 2 res koren. Dovolj je, da to številko nadomestite z izvirno enačbo.
Pojdimo k drugi enačbi, je malo bolj zanimiva:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1
Če izraz znotraj velikega logaritma označimo s funkcijo f (x), dobimo najenostavnejšo logaritemsko enačbo, s katero smo začeli današnjo video lekcijo. Zato lahko uporabimo kanonično obliko, za katero bomo enoto morali predstaviti v obliki log 2 2 1 = log 2 2.
Prepišimo našo veliko enačbo:
log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2
Pobegnimo od znaka logaritma in enačimo argumente. Do tega imamo pravico, saj sta tako na levi kot na desni osnovi enaki. Poleg tega upoštevajte, da je dnevnik 2 4 = 2:
log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2
log 1/2 (2x − 1) = 0
Pred nami je spet najenostavnejša logaritemska enačba oblike log a f (x) = b. Preidimo na kanonično obliko, to pomeni, da ničlo predstavimo v obliki log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.
Prepišemo našo enačbo in se znebimo znaka dnevnika, tako da izenačimo argumente:
log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1
2x − 1 = 1
Tudi tokrat smo takoj prejeli odgovor. Dodatna preverjanja niso potrebna, ker v izvirni enačbi le en logaritem vsebuje funkcijo kot argument.
Zato dodatna preverjanja niso potrebna. Lahko rečemo, da je x = 1 edini koren te enačbe.
Če pa bi bila v drugem logaritmu kakšna funkcija x namesto štiri (ali 2x ni v argumentu, ampak v bazi) - potem bi bilo treba preveriti domeno definicije. V nasprotnem primeru obstaja velika verjetnost, da boste naleteli na dodatne korenine.
Od kod te dodatne korenine? To točko je treba razumeti zelo jasno. Poglejte originalne enačbe: povsod je funkcija x pod znakom logaritma. Posledično, ker smo zapisali log 2 x, smo samodejno postavili zahtevo x > 0. V nasprotnem primeru ta vnos preprosto nima smisla.
Ko pa rešimo logaritemsko enačbo, se znebimo vseh predznakov logaritma in dobimo preproste konstrukcije. Tukaj ni nastavljenih nobenih omejitev, ker je linearna funkcija definirana za katero koli vrednost x.
Prav ta problem, ko je končna funkcija definirana povsod in vedno, izvirna pa ni definirana povsod in ne vedno, je razlog, da pri reševanju logaritemskih enačb zelo pogosto nastanejo dodatni koreni.
Toda še enkrat ponavljam: to se zgodi samo v situaciji, ko je funkcija bodisi v več logaritmih bodisi v osnovi enega od njih. Pri problemih, ki jih obravnavamo danes, načeloma ni težav s širitvijo obsega definicije.
Primeri različnih podlag
Ta lekcija je namenjena več kompleksne strukture. Logaritmov v današnjih enačbah ne bo več treba takoj rešiti; najprej bo treba narediti nekaj transformacij.
Začnemo reševati logaritemske enačbe s popolnoma različnimi bazami, ki ena drugi nista natančni potenci. Naj vas takšne težave ne prestrašijo - rešiti jih ni težje kot najpreprostejše modele, o katerih smo razpravljali zgoraj.
Toda preden preidem neposredno na težave, naj vas spomnim na formulo za reševanje najpreprostejših logaritemskih enačb z uporabo kanonične oblike. Razmislite o takšni težavi:
log a f (x) = b
Pomembno je, da je funkcija f (x) le funkcija, vlogi števil a in b pa naj bosta števili (brez spremenljivk x). Seveda bomo dobesedno čez minuto pogledali takšne primere, ko sta namesto spremenljivk a in b funkciji, vendar zdaj ne gre za to.
Kot se spomnimo, je treba število b nadomestiti z logaritmom na isto osnovo a, ki je na levi. To se naredi zelo preprosto:
b = log a a b
Seveda besedi "poljubno število b" in "poljubno število a" pomenita vrednosti, ki ustrezajo obsegu definicije. Zlasti v tej enačbi govorimo le o osnovi a > 0 in a ≠ 1.
Vendar pa je ta zahteva samodejno izpolnjena, ker prvotni problem že vsebuje logaritem z osnovo a - zagotovo bo večji od 0 in ne enak 1. Zato nadaljujemo z reševanjem logaritemske enačbe:
log a f (x) = log a a b
Tak zapis imenujemo kanonična oblika. Njegova priročnost je v tem, da se lahko znaka dnevnika takoj znebimo tako, da izenačimo argumente:
f (x) = a b
To tehniko bomo zdaj uporabili za reševanje logaritemskih enačb s spremenljivo osnovo. Torej, gremo!
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125
Kaj je naslednje? Nekdo bo zdaj rekel, da morate izračunati pravi logaritem ali jih reducirati na isto osnovo ali kaj drugega. In res, zdaj moramo obe bazi spraviti v isto obliko - bodisi 2 bodisi 0,5. Toda enkrat za vselej se naučimo naslednjega pravila:
Če logaritemska enačba vsebuje decimalke, ne pozabite pretvoriti teh ulomkov iz decimalnega zapisa v navadnega. Ta preobrazba lahko močno poenostavi rešitev.
Takšen prehod je treba izvesti takoj, še preden izvedemo kakršna koli dejanja ali transformacije. Poglejmo si:
log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1 /2 1/8
Kaj nam tak zapis daje? 1/2 in 1/8 lahko predstavimo kot potence z negativnim eksponentom:
[Napis k sliki] Pred nami je kanonična oblika. Argumente izenačimo in dobimo klasiko kvadratna enačba:
x 2 + 4x + 11 = 8
x 2 + 4x + 3 = 0
Pred seboj imamo naslednjo kvadratno enačbo, ki jo zlahka rešimo z uporabo Vietovih formul. V srednji šoli bi morali videti podobne prikaze dobesedno ustno:
(x + 3) (x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
To je vse! Prvotna logaritemska enačba je bila rešena. Imamo dve korenini.
Naj vas spomnim, da v tem primeru ni treba določiti domene definicije, saj je funkcija s spremenljivko x prisotna le v enem argumentu. Zato se obseg definicije izvede samodejno.
Torej, prva enačba je rešena. Preidimo na drugo:
log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9
log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1
Upoštevajte, da lahko argument prvega logaritma zapišemo tudi kot potenco z negativnim eksponentom: 1/2 = 2 −1. Nato lahko izvzamete potence na obeh straneh enačbe in vse delite z −1:
[Napis k sliki] In zdaj smo zaključili zelo pomemben korak pri reševanju logaritemske enačbe. Mogoče kdo česa ni opazil, naj pojasnim.
Poglejte našo enačbo: tako na levi kot na desni je znak logaritma, toda na levi je logaritem na osnovi 2, na desni pa je logaritem na osnovi 3. Tri ni cela potenca dva in, nasprotno, ne morete zapisati, da je 2 3 v celem številu stopinj.
Posledično so to logaritmi z različnimi osnovami, ki jih ni mogoče reducirati drug na drugega s preprostim seštevanjem potenc. Edini način za rešitev takšnih problemov je, da se znebite enega od teh logaritmov. V tem primeru, ker še vedno obravnavamo dokaj preproste probleme, smo logaritem na desni preprosto izračunali in dobili smo najpreprostejšo enačbo - točno tisto, o kateri smo govorili na samem začetku današnje lekcije.
Predstavimo število 2, ki je na desni, kot log 2 2 2 = log 2 4. In potem se znebimo predznaka za logaritem, po katerem nam preprosto ostane kvadratna enačba:
log 2 (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4
5x 2 + 9x + 2 = 4
5x 2 + 9x − 2 = 0
Pred seboj imamo navadno kvadratno enačbo, ki pa ni reducirana, ker je koeficient pri x 2 različen od enote. Zato ga bomo rešili z diskriminanto:
D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121
x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5
x 2 = (−9 − 11)/10 = −2
To je vse! Našli smo oba korena, kar pomeni, da smo dobili rešitev prvotne logaritemske enačbe. Dejansko je v izvirnem problemu funkcija s spremenljivko x prisotna samo v enem argumentu. Posledično niso potrebna nobena dodatna preverjanja domene definicije - oba korena, ki smo ju našli, zagotovo izpolnjujeta vse možne omejitve.
To bi lahko bil konec današnje video lekcije, a za zaključek bi rad še enkrat povedal: pri reševanju logaritemskih enačb ne pozabite pretvoriti vseh decimalnih ulomkov v navadne ulomke. V večini primerov to zelo poenostavi njihovo rešitev.
Redko, zelo redko naletite na težave, pri katerih odstranitev decimalnih ulomkov samo zaplete izračune. Vendar je v takšnih enačbah praviloma že na začetku jasno, da se decimalnih ulomkov ni treba znebiti.
V večini drugih primerov (še posebej, če šele začenjate vaditi reševanje logaritemskih enačb), se lahko znebite decimalnih mest in jih pretvorite v navadne. Ker praksa kaže, da boste na ta način bistveno poenostavili kasnejšo rešitev in izračune.
Tankosti in triki rešitve
Danes prehajamo na več kompleksne naloge in rešili bomo logaritemsko enačbo, katere osnova ni število, temveč funkcija.
In tudi če je ta funkcija linearna, bo treba narediti majhne spremembe v shemi rešitve, katere pomen se zmanjša na dodatne zahteve, naložene domeni definicije logaritma.
Kompleksne naloge
Ta lekcija bo precej dolga. V njem bomo analizirali dve precej resni logaritemski enačbi, pri reševanju katerih se mnogi učenci zmotijo. Med prakso inštruktorja matematike sem nenehno naletel na dve vrsti napak:
- Pojav dodatnih korenov zaradi širjenja domene definicije logaritmov. Da bi se izognili takšnim žaljivim napakam, samo natančno spremljajte vsako preobrazbo;
- Izguba korenin zaradi dejstva, da je študent pozabil upoštevati nekatere "subtilne" primere - to so situacije, na katere se bomo danes osredotočili.
To je zadnja lekcija o logaritemskih enačbah. Dolgo bo, analizirali bomo kompleksne logaritemske enačbe. Udobno se namestite, skuhajte si čaj in začnimo.
Prva enačba izgleda precej standardna:
log x + 1 (x − 0,5) = log x − 0,5 (x + 1)
Naj takoj opozorimo, da sta oba logaritma obrnjena kopija drug drugega. Spomnimo se čudovite formule:
log a b = 1/log b a
Vendar ima ta formula številne omejitve, ki nastanejo, če namesto števil a in b obstajata funkciji spremenljivke x:
b > 0
1 ≠ a > 0
Te zahteve veljajo za osnovo logaritma. Po drugi strani pa moramo imeti v ulomku 1 ≠ a > 0, ker ni le spremenljivka a v argumentu logaritma (torej a > 0), ampak je sam logaritem v imenovalcu ulomka. . Toda log b 1 = 0 in imenovalec mora biti različen od nič, torej a ≠ 1.
Torej ostajajo omejitve spremenljivke a. Toda kaj se zgodi s spremenljivko b? Po eni strani osnova implicira b > 0, po drugi strani pa spremenljivka b ≠ 1, ker mora biti osnova logaritma drugačna od 1. V celoti iz desne strani formule sledi, da je 1 ≠ b > 0.
Toda tukaj je težava: druga zahteva (b ≠ 1) manjka v prvi neenakosti, ki obravnava levi logaritem. Z drugimi besedami, pri izvajanju te transformacije moramo preverite ločeno, da je argument b drugačen od ena!
Torej preverimo. Uporabimo našo formulo:
[Napis k sliki] 1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0
Tako smo dobili, da že iz prvotne logaritemske enačbe sledi, da morata biti tako a kot b večja od 0 in ne enaka 1. To pomeni, da lahko enostavno obrnemo logaritemsko enačbo:
Predlagam uvedbo nove spremenljivke:
log x + 1 (x − 0,5) = t
V tem primeru bo naša konstrukcija prepisana na naslednji način:
(t 2 − 1)/t = 0
Upoštevajte, da imamo v števcu razliko kvadratov. Razliko kvadratov razkrijemo s skrajšano formulo množenja:
(t − 1)(t + 1)/t = 0
Ulomek je enak nič, če je njegov števec enak nič in imenovalec različen od nič. Toda števec vsebuje produkt, zato vsak faktor enačimo z nič:
t 1 = 1;
t 2 = −1;
t ≠ 0.
Kot lahko vidimo, nam ustrezata obe vrednosti spremenljivke t. Vendar se rešitev tu ne konča, saj moramo najti ne t, ampak vrednost x. Vrnemo se k logaritmu in dobimo:
log x + 1 (x − 0,5) = 1;
log x + 1 (x − 0,5) = −1.
Postavimo vsako od teh enačb v kanonično obliko:
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1
log x + 1 (x − 0,5) = log x + 1 (x + 1) −1
Znebimo se predznaka za logaritem v prvem primeru in izenačimo argumente:
x − 0,5 = x + 1;
x − x = 1 + 0,5;
Takšna enačba je brez korenin, zato tudi prva logaritemska enačba nima korenin. Toda z drugo enačbo je vse veliko bolj zanimivo:
(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)
Če rešimo delež, dobimo:
(x − 0,5)(x + 1) = 1
Naj vas spomnim, da je pri reševanju logaritemskih enačb veliko bolj priročno uporabiti vse decimalne ulomke kot navadne, zato prepišimo našo enačbo na naslednji način:
(x − 1/2)(x + 1) = 1;
x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;
x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.
Pred nami je spodnja kvadratna enačba, ki jo je mogoče enostavno rešiti z uporabo Vietovih formul:
(x + 3/2) (x − 1) = 0;
x 1 = −1,5;
x 2 = 1.
Dobili smo dva korena - sta kandidata za rešitev prvotne logaritemske enačbe. Da bi razumeli, kakšne korenine bodo dejansko všle v odgovor, se vrnimo k prvotnemu problemu. Zdaj bomo preverili vsako od naših korenin, da vidimo, ali se ujemajo z domeno definicije:
1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.
Te zahteve so enake dvojni neenakosti:
1 ≠ x > 0,5
Od tu takoj vidimo, da nam koren x = −1,5 ne ustreza, nam pa x = 1 kar ustreza. Zato je x = 1 končna rešitev logaritemske enačbe.
Gremo k drugi nalogi:
hlod x 25 + hlod 125 x 5 = hlod 25 x 625
Na prvi pogled se morda zdi, da imajo vsi logaritmi različne baze in različne argumente. Kaj storiti s takšnimi strukturami? Najprej upoštevajte, da so števila 25, 5 in 625 potence števila 5:
25 = 5 2 ; 625 = 5 4
Zdaj pa izkoristimo čudovito lastnost logaritma. Bistvo je, da lahko iz argumenta izvlečete moči v obliki faktorjev:
log a b n = n ∙ log a b
Za to transformacijo veljajo tudi omejitve v primeru, ko je b nadomeščen s funkcijo. Toda za nas je b le številka in nobenih dodatnih omejitev ne nastane. Prepišimo našo enačbo:
2 ∙ log x 5 + log 125 x 5 = 4 ∙ log 25 x 5
Dobili smo enačbo s tremi členi, ki vsebujejo predznak logaritma. Poleg tega so argumenti vseh treh logaritmov enaki.
Čas je, da obrnemo logaritme, da jih spravimo na isto osnovo - 5. Ker je spremenljivka b konstanta, ne pride do sprememb v domeni definicije. Samo prepišemo:
[Napis k sliki] Po pričakovanjih so se v imenovalcu pojavili enaki logaritmi. Predlagam zamenjavo spremenljivke:
log 5 x = t
V tem primeru bo naša enačba prepisana na naslednji način:
Izpišimo števec in odprimo oklepaje:
2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12
Vrnimo se k našemu ulomku. Števec mora biti nič:
[Napis k sliki] In imenovalec je drugačen od nič:
t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2
Zadnje zahteve so izpolnjene samodejno, saj so vse »vezane« na cela števila in vsi odgovori so iracionalni.
Torej, ulomljena racionalna enačba rešili, najdemo vrednosti spremenljivke t. Vrnimo se k reševanju logaritemske enačbe in se spomnimo, kaj je t:
[Napis k sliki] To enačbo reduciramo v kanonično obliko in dobimo število z iracionalno stopnjo. Naj vas to ne zmede – tudi takšne argumente je mogoče enačiti:
[Napis k sliki] Imamo dve korenini. Natančneje, dva odgovora kandidata - preverimo ju glede skladnosti z domeno definicije. Ker je osnova logaritma spremenljivka x, zahtevamo naslednje:
1 ≠ x > 0;
Z enakim uspehom trdimo, da je x ≠ 1/125, sicer se bo osnova drugega logaritma spremenila v enoto. Končno, x ≠ 1/25 za tretji logaritem.
Skupno smo prejeli štiri omejitve:
1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25
Zdaj se postavlja vprašanje: ali naše korenine izpolnjujejo te zahteve? Seveda zadovoljijo! Ker bo 5 na katero koli potenco večji od nič in je zahteva x > 0 samodejno izpolnjena.
Po drugi strani pa je 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, kar pomeni, da te omejitve za naše korene (ki imajo, naj vas spomnim, v eksponentu iracionalno število) sta prav tako zadovoljna in oba odgovora sta rešitev problema.
Torej imamo končni odgovor. Ključne točke V tej težavi sta dve:
- Bodite previdni pri obračanju logaritma, ko sta argument in osnova zamenjana. Takšne transformacije nalagajo nepotrebne omejitve obsega definicije.
- Ne bojte se preoblikovati logaritmov: ni jih mogoče le obrniti, ampak tudi razširiti s formulo vsote in na splošno spremeniti z uporabo poljubnih formul, ki ste jih preučevali pri reševanju logaritemskih izrazov. Vendar si vedno zapomnite: nekatere transformacije razširijo obseg definicije, nekatere pa jih zožijo.
Eden od elementov algebre primitivne ravni je logaritem. Ime izhaja iz grškega jezika iz besede "število" ali "moč" in pomeni potenco, na katero je treba povzdigniti število v osnovi, da dobimo končno število.
Vrste logaritmov
- log a b – logaritem števila b na osnovo a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – decimalni logaritem (logaritem na osnovi 10, a = 10);
- ln b – naravni logaritem (logaritem na osnovi e, a = e).
Kako rešiti logaritme?
Logaritem b na osnovo a je eksponent, ki zahteva dvig b na osnovo a. Dobljeni rezultat se izgovori takole: "logaritem od b na osnovo a." Rešitev logaritemskih problemov je, da morate določiti dano potenco v številu z navedene številke. Obstaja nekaj osnovnih pravil za določanje ali reševanje logaritma, pa tudi za pretvorbo samega zapisa. Z njimi se rešujejo logaritemske enačbe, najdejo odvodi, rešujejo integrali in izvajajo številne druge operacije. V bistvu je rešitev samega logaritma njegov poenostavljen zapis. Spodaj so osnovne formule in lastnosti:
Za kateri koli a ; a > 0; a ≠ 1 in za vsak x ; y > 0.
- a log a b = b – osnovna logaritemska istovetnost
- log a 1 = 0
- loga a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x za k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – formula za premik na novo bazo
- log a x = 1/log x a
Kako rešiti logaritme - navodila po korakih za reševanje
- Najprej zapišite zahtevano enačbo.
Upoštevajte: če je osnovni logaritem 10, se vnos skrajša, rezultat pa je decimalni logaritem. Če je vredno naravno število e, potem ga zapišemo, skrajšamo na naravni logaritem. To pomeni, da je rezultat vseh logaritmov potenca, na katero povišamo osnovno število, da dobimo število b.
Neposredno je rešitev v izračunu te stopnje. Preden rešimo izraz z logaritmom, ga moramo poenostaviti po pravilu, to je z uporabo formul. Glavne identitete najdete tako, da se v članku vrnete malo nazaj.
Seštevanje odštevanje logaritmov z dvema različnima številoma, a z iz istih razlogov, nadomestite z enim logaritmom z zmnožkom ali deljenjem števil b oziroma c. V tem primeru lahko uporabite formulo za premik na drugo bazo (glej zgoraj).
Če uporabljate izraze za poenostavitev logaritma, je treba upoštevati nekatere omejitve. In to je: osnova logaritma a je le pozitivno število, ni pa enaka ena. Število b mora biti tako kot a večje od nič.
Obstajajo primeri, ko s poenostavitvijo izraza ne boste mogli numerično izračunati logaritma. Zgodi se, da tak izraz nima smisla, saj so številne potence iracionalna števila. Pod tem pogojem pustite potenco števila kot logaritem.
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.
Danes bomo govorili o logaritemske formule in dali bomo okvirno primeri rešitev.
Sami nakazujejo vzorce rešitev glede na osnovne lastnosti logaritmov. Preden uporabimo logaritemske formule za reševanje, naj vas spomnimo na vse lastnosti:
Zdaj bomo na podlagi teh formul (lastnosti) pokazali primeri reševanja logaritmov.
Primeri reševanja logaritmov na podlagi formul.
Logaritem pozitivno število b na osnovo a (označeno z log a b) je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo b, pri čemer je b > 0, a > 0 in 1.
Po definiciji je log a b = x, kar je enakovredno a x = b, torej log a a x = x.
Logaritmi, primeri:
log 2 8 = 3, ker 2 3 = 8
dnevnik 7 49 = 2, ker 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, ker 5 -1 = 1/5
Decimalni logaritem- to je navaden logaritem, katerega osnova je 10. Označena je kot lg.
log 10 100 = 2, ker 10 2 = 100
Naravni logaritem- tudi navaden logaritem, logaritem, vendar z osnovo e (e = 2,71828... - iracionalno število). Označeno kot ln.
Formule oziroma lastnosti logaritmov si je priporočljivo zapomniti, saj jih bomo kasneje potrebovali pri reševanju logaritmov, logaritemskih enačb in neenačb. Ponovno preučimo vsako formulo s primeri.
- Osnovna logaritemska identiteta
hlod a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritem produkta enaka vsoti logaritmi
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritem količnika je enak razliki logaritmov
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Lastnosti potence logaritemskega števila in osnove logaritma
Eksponent logaritemskega števila log a b m = mlog a b
Eksponent osnove logaritma log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
če je m = n, dobimo log a n b n = log a b
dnevnik 4 9 = dnevnik 2 2 3 2 = dnevnik 2 3
- Prehod na novo podlago
log a b = log c b/log c a,če je c = b, dobimo log b b = 1
potem je log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kot lahko vidite, formule za logaritme niso tako zapletene, kot se zdijo. Zdaj, ko smo si ogledali primere reševanja logaritmov, lahko preidemo na logaritemske enačbe. Primere reševanja logaritemskih enačb si bomo podrobneje ogledali v članku: "". Ne spreglejte!
Če imate še vedno vprašanja o rešitvi, jih napišite v komentarje k članku.
Opomba: odločili smo se za drug razred izobraževanja in študij v tujini kot možnost.
Izhaja iz njegove definicije. In tako logaritem števila b temelji na A je definiran kot eksponent, na katerega je treba dvigniti število a da dobim številko b(logaritem obstaja samo za pozitivna števila).
Iz te formulacije sledi, da je izračun x=log a b, je enako reševanju enačbe a x =b. na primer dnevnik 2 8 = 3 Ker 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogoča utemeljitev, da če b=a c, nato logaritem števila b temelji na a enako z. Jasno je tudi, da je tema logaritmov tesno povezana s temo potenc števila.
Z logaritmi, kot z drugimi številkami, lahko storite operacije seštevanja, odštevanja in preobraziti na vse možne načine. Ker pa logaritmi niso povsem navadna števila, veljajo tu svoja posebna pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.
Seštevanje in odštevanje logaritmov.
Vzemimo dva logaritma z enakimi osnovami: log a x in prijavite se. Potem je mogoče izvajati operacije seštevanja in odštevanja:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
dnevnik a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.
Od izrek o logaritemskem kvocientu Dobimo lahko še eno lastnost logaritma. Splošno znano je, da log a 1 = 0, torej
dnevnik a 1 /b=log a 1 - dnevnik a b= -log a b.
To pomeni, da obstaja enakost:
log a 1 / b = - log a b.
Logaritma dveh vzajemnih števil iz istega razloga se bodo med seboj razlikovali samo po predznaku. torej:
Dnevnik 3 9= - dnevnik 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.