સાઈન કોસાઈન ટેન્જેન્ટ કોટેન્જેન્ટ થિયરી. ત્રિકોણમિતિ

સાઇનસકાટકોણ ત્રિકોણનો તીવ્ર કોણ α એ ગુણોત્તર છે વિરુદ્ધકર્ણ માટે મૂત્રનલિકા.
તે નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: sin α.

કોસાઇનકાટકોણ ત્રિકોણનો તીવ્ર કોણ α એ કર્ણની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે.
તે નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: cos α.

સ્પર્શકતીવ્ર કોણ α એ બાજુના પગના વિરુદ્ધ પગનો ગુણોત્તર છે.
તે નીચે પ્રમાણે સૂચવવામાં આવે છે: tg α.

કોટેન્જેન્ટએક્યુટ એંગલ α એ બાજુના પગનો સામેના પગનો ગુણોત્તર છે.
તે નીચે પ્રમાણે નિયુક્ત થયેલ છે: ctg α.

કોણની સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માત્ર કોણની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે.

નિયમો:

કાટકોણ ત્રિકોણમાં મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ ઓળખો:

(α - પગની વિરુદ્ધ તીવ્ર કોણ b અને પગની બાજુમાં a . બાજુ સાથે - કર્ણ. β - બીજો તીવ્ર કોણ).

b sinα = - c	sin 2 α + cos 2 α = 1
a cosα = - c	1 1 + ટીજી 2 α = -- cos 2 α
b tgα = - a	1 1 + ctg 2 α = -- sin2α
a ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 α sin 2 α
sinα tgα = -- cosα

જેમ જેમ તીવ્ર કોણ વધે છેsinα અનેtg α વધારો, અનેcos α ઘટે છે.

કોઈપણ તીવ્ર કોણ α માટે:

sin (90° - α) = cos α

cos (90° - α) = sin α

સમજૂતીત્મક ઉદાહરણ:

કાટકોણ ત્રિકોણ ABC માં ચાલો
AB = 6,
BC = 3,
કોણ A = 30º.

કોણ A ની સાઈન અને કોણ B ની કોસાઈન શોધો.

ઉકેલ.

1) પ્રથમ, આપણે કોણ B નું મૂલ્ય શોધીએ છીએ. અહીં બધું સરળ છે: કારણ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર ખૂણાઓનો સરવાળો 90º છે, પછી કોણ B \u003d 60º છે:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60º.

2) sin A ની ગણતરી કરો. આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન એ કર્ણના વિરુદ્ધ પગના ગુણોત્તર સમાન છે. કોણ A માટે, વિરોધી પગ બાજુ BC છે. તેથી:

પૂર્વે 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) હવે આપણે cos B ની ગણતરી કરીએ છીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાઈન એ કર્ણાની બાજુના પગના ગુણોત્તર સમાન છે. કોણ B માટે, અડીને પગ એ જ બાજુ BC છે. આનો અર્થ એ છે કે આપણે ફરીથી BC ને AB માં વિભાજીત કરવાની જરૂર છે - એટલે કે, કોણ A ની સાઈનની ગણતરી કરતી વખતે સમાન ક્રિયાઓ કરો:

પૂર્વે 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

પરિણામ છે:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

આના પરથી તે અનુસરે છે કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં એક તીવ્ર કોણની સાઈન બીજા તીવ્ર ખૂણાના કોસાઈન જેટલી હોય છે - અને તેનાથી ઊલટું. અમારા બે સૂત્રોનો અર્થ આ બરાબર છે:
sin (90° - α) = cos α
cos (90° - α) = sin α

ચાલો તેને ફરીથી તપાસીએ:

1) α = 60º દો. સાઈન ફોર્મ્યુલામાં α ની કિંમતને બદલીને, આપણને મળે છે:
sin (90º - 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) α = 30º દો. કોસાઇન ફોર્મ્યુલામાં α ની કિંમતને બદલીને, અમને મળે છે:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(ત્રિકોણમિતિ પર વધુ માટે, બીજગણિત વિભાગ જુઓ)

ગણિતની શાખાઓમાંની એક કે જેની સાથે શાળાના બાળકો સૌથી મોટી મુશ્કેલીઓનો સામનો કરે છે તે છે ત્રિકોણમિતિ. કોઈ આશ્ચર્ય નથી: જ્ઞાનના આ ક્ષેત્રને મુક્તપણે નિપુણ બનાવવા માટે, તમારે અવકાશી વિચારસરણીની જરૂર છે, સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સાઈન, કોસાઈન્સ, સ્પર્શક, કોટેન્જેન્ટ્સ શોધવાની ક્ષમતા, અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા અને ગણતરીમાં નંબર pi નો ઉપયોગ કરવા સક્ષમ બનવાની જરૂર છે. આ ઉપરાંત, પ્રમેય સાબિત કરતી વખતે તમારે ત્રિકોણમિતિ લાગુ કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે, અને આ માટે કાં તો વિકસિત ગાણિતિક મેમરી અથવા જટિલ તાર્કિક સાંકળોને અનુમાનિત કરવાની ક્ષમતાની જરૂર છે.

ત્રિકોણમિતિની ઉત્પત્તિ

આ વિજ્ઞાન સાથે પરિચિતતા કોણની સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શકની વ્યાખ્યાથી શરૂ થવી જોઈએ, પરંતુ પ્રથમ તમારે ત્રિકોણમિતિ સામાન્ય રીતે શું કરે છે તે શોધવાની જરૂર છે.

ઐતિહાસિક રીતે, ગાણિતિક વિજ્ઞાનના આ વિભાગમાં જમણો ત્રિકોણ અભ્યાસનો મુખ્ય ઉદ્દેશ્ય છે. 90 ડિગ્રીના ખૂણાની હાજરી તેને હાથ ધરવાનું શક્ય બનાવે છે વિવિધ કામગીરી, બે બાજુઓ અને એક ખૂણા દ્વારા અથવા બે ખૂણાઓ અને એક બાજુ દ્વારા વિચારણા હેઠળના આકૃતિના તમામ પરિમાણોના મૂલ્યો નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે. ભૂતકાળમાં, લોકોએ આ પેટર્નની નોંધ લીધી અને ઇમારતો, નેવિગેશન, ખગોળશાસ્ત્ર અને કલાના નિર્માણમાં તેનો સક્રિયપણે ઉપયોગ કરવાનું શરૂ કર્યું.

પ્રથમ તબક્કો

શરૂઆતમાં, લોકો ફક્ત કાટકોણ ત્રિકોણના ઉદાહરણ પર ખૂણા અને બાજુઓના સંબંધ વિશે વાત કરતા હતા. પછી વિશિષ્ટ સૂત્રો મળી આવ્યા જેણે ઉપયોગની સીમાઓને વિસ્તૃત કરવાનું શક્ય બનાવ્યું રોજિંદુ જીવનગણિતની આ શાખા.

આજે શાળામાં ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ કાટકોણ ત્રિકોણથી શરૂ થાય છે, જે પછી મેળવેલ જ્ઞાનનો વિદ્યાર્થીઓ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં અને અમૂર્ત સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં ઉપયોગ કરે છે. ત્રિકોણમિતિ સમીકરણો, જેની સાથે હાઇ સ્કૂલમાં કામ શરૂ થાય છે.

ગોળાકાર ત્રિકોણમિતિ

પાછળથી, જ્યારે વિજ્ઞાન વિકાસના આગલા સ્તરે પહોંચ્યું, ત્યારે ગોળાકાર ભૂમિતિમાં સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ સાથેના સૂત્રોનો ઉપયોગ થવા લાગ્યો, જ્યાં અન્ય નિયમો લાગુ પડે છે અને ત્રિકોણમાં ખૂણાઓનો સરવાળો હંમેશા 180 અંશ કરતાં વધુ હોય છે. આ વિભાગનો અભ્યાસ શાળામાં થતો નથી, પરંતુ તેના અસ્તિત્વ વિશે જાણવું જરૂરી છે, ઓછામાં ઓછું કારણ પૃથ્વીની સપાટી, અને અન્ય કોઈપણ ગ્રહની સપાટી બહિર્મુખ છે, જેનો અર્થ છે કે સપાટીની કોઈપણ નિશાની ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં "ચાપ-આકારની" હશે.

ગ્લોબ અને થ્રેડ લો. થ્રેડને ગ્લોબ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ સાથે જોડો જેથી કરીને તે તંગ બને. ધ્યાન આપો - તેણે ચાપનો આકાર મેળવ્યો છે. તે આવા સ્વરૂપો સાથે છે કે ગોળાકાર ભૂમિતિ, જેનો ઉપયોગ ભૂ-વિજ્ઞાન, ખગોળશાસ્ત્ર અને અન્ય સૈદ્ધાંતિક અને લાગુ ક્ષેત્રોમાં થાય છે.

જમણો ત્રિકોણ

ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરવાની રીતો વિશે થોડું શીખ્યા પછી, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ શું છે, તેમની મદદથી કઈ ગણતરીઓ કરી શકાય છે અને કયા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવો તે સમજવા માટે ચાલો મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ પર પાછા જઈએ.

પ્રથમ પગલું એ કાટકોણ ત્રિકોણ સંબંધિત ખ્યાલોને સમજવાનું છે. પ્રથમ, કર્ણ એ 90 ડિગ્રીના ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ છે. તેણી સૌથી લાંબી છે. અમને યાદ છે કે, પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, તેનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય અન્ય બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળાના મૂળ જેટલું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો બે બાજુઓ અનુક્રમે 3 અને 4 સેન્ટિમીટર હોય, તો કર્ણની લંબાઈ 5 સેન્ટિમીટર હશે. માર્ગ દ્વારા, પ્રાચીન ઇજિપ્તવાસીઓ આ વિશે લગભગ સાડા ચાર હજાર વર્ષ પહેલાં જાણતા હતા.

બે બાકીની બાજુઓ જે કાટખૂણો બનાવે છે તેને પગ કહેવામાં આવે છે. વધુમાં, આપણે યાદ રાખવું જોઈએ કે લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં ત્રિકોણમાં ખૂણાઓનો સરવાળો 180 ડિગ્રી છે.

વ્યાખ્યા

છેલ્લે, ભૌમિતિક આધારની નક્કર સમજણ સાથે, આપણે કોણની સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શકની વ્યાખ્યા તરફ વળી શકીએ છીએ.

કોણની સાઈન એ વિરુદ્ધ પગ (એટલે ​​​​કે, ઇચ્છિત ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ) અને કર્ણાકારનો ગુણોત્તર છે. કોણનો કોસાઇન એ કર્ણાકારની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે.

યાદ રાખો કે સાઈન કે કોસાઈન એક કરતા વધારે હોઈ શકે નહિ! શા માટે? કારણ કે કર્ણો મૂળભૂત રીતે સૌથી લાંબો હોય છે. પગ ગમે તેટલો લાંબો હોય, તે કર્ણો કરતાં ટૂંકા હશે, જેનો અર્થ છે કે તેમનો ગુણોત્તર હંમેશા એક કરતા ઓછો હશે. આમ, જો તમને સમસ્યાના જવાબમાં 1 કરતાં વધુ મૂલ્ય સાથે સાઈન અથવા કોસાઈન મળે, તો ગણતરીઓ અથવા તર્કમાં ભૂલ જુઓ. આ જવાબ સ્પષ્ટ રીતે ખોટો છે.

અંતે, ખૂણાની સ્પર્શક એ બાજુની બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. સમાન પરિણામ કોસાઇન દ્વારા સાઇનનું વિભાજન આપશે. જુઓ: સૂત્ર અનુસાર, આપણે બાજુની લંબાઈને કર્ણ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ, તે પછી આપણે બીજી બાજુની લંબાઈથી ભાગીએ છીએ અને કર્ણોથી ગુણાકાર કરીએ છીએ. આમ, આપણને સ્પર્શકની વ્યાખ્યામાં સમાન ગુણોત્તર મળે છે.

કોટેન્જેન્ટ, અનુક્રમે, ખૂણાને અડીને બાજુની વિરુદ્ધ બાજુનો ગુણોત્તર છે. એકમને સ્પર્શક દ્વારા વિભાજીત કરીને આપણને સમાન પરિણામ મળે છે.

તેથી, અમે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે તેની વ્યાખ્યાઓ પર વિચાર કર્યો છે અને અમે સૂત્રો સાથે વ્યવહાર કરી શકીએ છીએ.

સૌથી સરળ સૂત્રો

ત્રિકોણમિતિમાં, કોઈ સૂત્રો વિના કરી શકતું નથી - તેમના વિના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ કેવી રીતે શોધી શકાય? અને સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ બરાબર જરૂરી છે.

ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ શરૂ કરતી વખતે તમારે જે પ્રથમ સૂત્ર જાણવાની જરૂર છે તે કહે છે કે કોણના સાઈન અને કોસાઈનના ચોરસનો સરવાળો એક સમાન છે. આ સૂત્ર પાયથાગોરિયન પ્રમેયનું સીધું પરિણામ છે, પરંતુ જો તમે બાજુની નહીં પણ કોણની કિંમત જાણવા માંગતા હોવ તો તે સમય બચાવે છે.

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ બીજા સૂત્રને યાદ રાખી શકતા નથી, જે શાળાની સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કરતી વખતે પણ ખૂબ જ લોકપ્રિય છે: એકનો સરવાળો અને કોણની સ્પર્શકનો ચોરસ કોણના કોસાઇનના વર્ગ દ્વારા ભાગ્યા સમાન છે. નજીકથી જુઓ: છેવટે, આ પ્રથમ સૂત્રની જેમ જ નિવેદન છે, માત્ર ઓળખની બંને બાજુઓ કોસાઇનના ચોરસ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવી હતી. તે તારણ આપે છે કે એક સરળ ગાણિતિક ક્રિયા ત્રિકોણમિતિ સૂત્રને સંપૂર્ણપણે અજાણી બનાવે છે. યાદ રાખો: સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ શું છે, રૂપાંતરણ નિયમો અને કેટલાક મૂળભૂત સૂત્રો જાણીને, તમે કોઈપણ સમયે કાગળની શીટ પર જરૂરી વધુ જટિલ સૂત્રો સ્વતંત્ર રીતે મેળવી શકો છો.

ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલા અને દલીલોનો ઉમેરો

બે વધુ સૂત્રો કે જે તમારે શીખવાની જરૂર છે તે કોણના સરવાળા અને તફાવત માટે સાઈન અને કોસાઈનના મૂલ્યો સાથે સંબંધિત છે. તેઓ નીચેની આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યા છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે પ્રથમ કિસ્સામાં, સાઈન અને કોસાઈન બંને વખત ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને બીજા કિસ્સામાં, સાઈન અને કોસાઈનનું જોડીવાઇઝ ઉત્પાદન ઉમેરવામાં આવે છે.

ડબલ એંગલ દલીલો સાથે સંકળાયેલા સૂત્રો પણ છે. તેઓ સંપૂર્ણપણે અગાઉના રાશિઓમાંથી ઉતરી આવ્યા છે - એક પ્રેક્ટિસ તરીકે, બીટાના કોણ સમાન આલ્ફાના કોણને લઈને, તેમને જાતે મેળવવાનો પ્રયાસ કરો.

છેલ્લે, નોંધ કરો કે ડબલ એંગલ ફોર્મ્યુલાને સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ આલ્ફાની ડિગ્રી ઘટાડવા માટે કન્વર્ટ કરી શકાય છે.

પ્રમેય

મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિમાં બે મુખ્ય પ્રમેય સાઈન પ્રમેય અને કોસાઈન પ્રમેય છે. આ પ્રમેયની મદદથી, તમે સરળતાથી સમજી શકો છો કે સાઈન, કોસાઈન અને સ્પર્શક કેવી રીતે શોધવી, અને તેથી આકૃતિનો વિસ્તાર, અને દરેક બાજુનું કદ વગેરે.

સાઈન પ્રમેય જણાવે છે કે ત્રિકોણની દરેક બાજુઓની લંબાઈને વિરુદ્ધ ખૂણાના મૂલ્યથી વિભાજિત કરવાના પરિણામે, આપણને સમાન સંખ્યા મળે છે. તદુપરાંત, આ સંખ્યા પરિક્રમિત વર્તુળની બે ત્રિજ્યા સમાન હશે, એટલે કે આપેલ ત્રિકોણના તમામ બિંદુઓ ધરાવતું વર્તુળ.

કોસાઇન પ્રમેય પાયથાગોરિયન પ્રમેયને સામાન્ય બનાવે છે, તેને કોઈપણ ત્રિકોણ પર પ્રક્ષેપિત કરે છે. તે તારણ આપે છે કે બે બાજુઓના ચોરસના સરવાળામાંથી, તેમની બાજુના ખૂણાના ડબલ કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરીને તેમના ઉત્પાદનને બાદ કરો - પરિણામી મૂલ્ય ત્રીજી બાજુના વર્ગની બરાબર હશે. આમ, પાયથાગોરિયન પ્રમેય કોસાઇન પ્રમેયનો વિશેષ કેસ હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

બેદરકારીને કારણે ભૂલો

સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ શું છે તે જાણતા હોવા છતાં, ગેરહાજર-માનસિકતા અથવા સરળ ગણતરીમાં ભૂલને કારણે ભૂલ કરવી સરળ છે. આવી ભૂલોને ટાળવા માટે, ચાલો તેમાંથી સૌથી વધુ લોકપ્રિય સાથે પરિચિત થઈએ.

પ્રથમ, અંતિમ પરિણામ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી તમારે સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું જોઈએ નહીં - તમે જવાબ ફોર્મમાં છોડી શકો છો. સામાન્ય અપૂર્ણાંકસિવાય કે શરત અન્યથા જણાવે. આવા પરિવર્તનને ભૂલ કહી શકાય નહીં, પરંતુ તે યાદ રાખવું જોઈએ કે સમસ્યાના દરેક તબક્કે નવા મૂળ દેખાઈ શકે છે, જે, લેખકના વિચાર મુજબ, ઘટાડવું જોઈએ. આ કિસ્સામાં, તમે બિનજરૂરી ગાણિતિક કામગીરીમાં સમય બગાડશો. આ ખાસ કરીને મૂલ્યો માટે સાચું છે જેમ કે ત્રણ અથવા બેના મૂળ, કારણ કે તે દરેક પગલા પર કાર્યોમાં થાય છે. આ જ "નીચ" નંબરોને ગોળાકાર કરવા માટે લાગુ પડે છે.

આગળ, નોંધ કરો કે કોસાઇન પ્રમેય કોઈપણ ત્રિકોણને લાગુ પડે છે, પરંતુ પાયથાગોરિયન પ્રમેયને લાગુ પડતું નથી! જો તમે ભૂલથી તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઇન દ્વારા ગુણાકાર કરેલ બાજુઓના ગુણાંકમાંથી બમણું બાદબાકી કરવાનું ભૂલી જાઓ છો, તો તમે માત્ર એક સંપૂર્ણપણે ખોટું પરિણામ નહીં મેળવશો, પણ વિષયની સંપૂર્ણ ગેરસમજ પણ દર્શાવશો. આ બેદરકારીની ભૂલ કરતાં વધુ ખરાબ છે.

ત્રીજે સ્થાને, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ, કોટેન્જેન્ટ માટે 30 અને 60 ડિગ્રીના ખૂણા માટેના મૂલ્યોને ગૂંચવશો નહીં. આ મૂલ્યો યાદ રાખો, કારણ કે 30 ડિગ્રીની સાઈન 60 ના કોસાઈન સમાન છે, અને ઊલટું. તેમને મિશ્રિત કરવું સરળ છે, જેના પરિણામે તમે અનિવાર્યપણે ભૂલભરેલું પરિણામ મેળવશો.

અરજી

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ શરૂ કરવાની ઉતાવળમાં નથી, કારણ કે તેઓ તેનો લાગુ અર્થ સમજી શકતા નથી. એન્જિનિયર અથવા ખગોળશાસ્ત્રી માટે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ શું છે? આ એવા ખ્યાલો છે જેના કારણે તમે દૂરના તારાઓ સુધીના અંતરની ગણતરી કરી શકો છો, ઉલ્કાના પતનની આગાહી કરી શકો છો, અન્ય ગ્રહ પર સંશોધન તપાસ મોકલી શકો છો. તેમના વિના, બિલ્ડિંગ બનાવવી, કાર ડિઝાઇન કરવી, સપાટી પરના ભાર અથવા ઑબ્જેક્ટના માર્ગની ગણતરી કરવી અશક્ય છે. અને આ ફક્ત સૌથી સ્પષ્ટ ઉદાહરણો છે! છેવટે, એક અથવા બીજા સ્વરૂપમાં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ સંગીતથી દવા સુધી દરેક જગ્યાએ થાય છે.

છેલ્લે

તો તમે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ છો. તમે તેનો ઉપયોગ ગણતરીમાં કરી શકો છો અને શાળાની સમસ્યાઓ સફળતાપૂર્વક હલ કરી શકો છો.

ત્રિકોણમિતિનો સંપૂર્ણ સાર એ હકીકત પર ઉકળે છે કે અજાણ્યા પરિમાણોની ગણતરી ત્રિકોણના જાણીતા પરિમાણોમાંથી થવી જોઈએ. કુલ છ પરિમાણો છે: ત્રણ બાજુઓની લંબાઈ અને ત્રણ ખૂણાઓની તીવ્રતા. કાર્યોમાં સમગ્ર તફાવત એ હકીકતમાં રહેલો છે કે વિવિધ ઇનપુટ ડેટા આપવામાં આવે છે.

પગની જાણીતી લંબાઈ અથવા કર્ણના આધારે સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક કેવી રીતે શોધવી, હવે તમે જાણો છો. કારણ કે આ શબ્દોનો અર્થ ગુણોત્તર કરતાં વધુ કંઈ નથી, અને ગુણોત્તર એ અપૂર્ણાંક છે, ત્રિકોણમિતિ સમસ્યાનો મુખ્ય ધ્યેય સામાન્ય સમીકરણ અથવા સમીકરણોની સિસ્ટમના મૂળ શોધવાનો છે. અને અહીં તમને સામાન્ય શાળાના ગણિત દ્વારા મદદ કરવામાં આવશે.

આપણે ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ કાટકોણથી શરૂ કરીએ છીએ. ચાલો વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે સાઈન અને કોસાઈન શું છે, તેમજ તીવ્ર કોણની સ્પર્શક અને કોટિંજન્ટ. આ ત્રિકોણમિતિની મૂળભૂત બાબતો છે.

તે યાદ કરો જમણો ખૂણો 90 ડિગ્રી જેટલો ખૂણો છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ખુલેલો ખૂણો અડધો.

તીક્ષ્ણ ખૂણો- 90 ડિગ્રી કરતા ઓછું.

અસ્પષ્ટ કોણ- 90 ડિગ્રીથી વધુ. આવા ખૂણાના સંબંધમાં, "બ્લન્ટ" એ અપમાન નથી, પરંતુ ગાણિતિક શબ્દ છે :-)

ચાલો કાટકોણ ત્રિકોણ દોરીએ. જમણો ખૂણો સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે ખૂણાની વિરુદ્ધ બાજુ સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, માત્ર નાની. તેથી, કોણ A ની સામે પડેલી બાજુ સૂચવવામાં આવે છે.

એક કોણ અનુરૂપ ગ્રીક અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

હાયપોટેન્યુઝજમણો ત્રિકોણ વિરુદ્ધ બાજુ છે જમણો ખૂણો.

પગ- તીક્ષ્ણ ખૂણાઓની વિરુદ્ધ બાજુઓ.

ખૂણાની વિરુદ્ધ પગ કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધ(કોણ સંબંધિત). બીજો પગ, જે ખૂણાની એક બાજુ પર રહેલો છે, તેને કહેવામાં આવે છે અડીને.

સાઇનસકાટકોણ ત્રિકોણમાં એક્યુટ એંગલ એ કર્ણની સામેના પગનો ગુણોત્તર છે:

કોસાઇનકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ - અડીને પગનો કર્ણાકારનો ગુણોત્તર:

સ્પર્શકજમણા ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ - બાજુના વિરુદ્ધ પગનો ગુણોત્તર:

બીજી (સમકક્ષ) વ્યાખ્યા: તીવ્ર કોણની સ્પર્શક એ કોણની સાઈન અને તેના કોસાઈનનો ગુણોત્તર છે:

કોટેન્જેન્ટકાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર ખૂણો - બાજુના પગનો વિરુદ્ધનો ગુણોત્તર (અથવા, સમાનરૂપે, કોસાઇન અને સાઇનનો ગુણોત્તર):

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ માટેના મૂળભૂત ગુણોત્તર પર ધ્યાન આપો, જે નીચે આપેલ છે. તેઓ અમને સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં ઉપયોગી થશે.

ચાલો તેમાંથી કેટલાકને સાબિત કરીએ.

ઠીક છે, અમે વ્યાખ્યાઓ અને લેખિત સૂત્રો આપ્યા છે. પરંતુ શા માટે આપણને સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની જરૂર છે?

તે આપણે જાણીએ છીએ કોઈપણ ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો છે.

વચ્ચેનો સંબંધ આપણે જાણીએ છીએ પક્ષોજમણો ત્રિકોણ. આ પાયથાગોરિયન પ્રમેય છે: .

તે તારણ આપે છે કે ત્રિકોણમાં બે ખૂણાઓ જાણીને, તમે ત્રીજો એક શોધી શકો છો. કાટકોણ ત્રિકોણમાં બે બાજુઓ જાણીને, તમે ત્રીજી બાજુ શોધી શકો છો. તેથી, ખૂણાઓ માટે - તેમનો ગુણોત્તર, બાજુઓ માટે - તેમના પોતાના. પરંતુ જો કાટકોણ ત્રિકોણમાં એક ખૂણો (જમણી બાજુ સિવાય) અને એક બાજુ જાણીતી હોય તો શું કરવું, પરંતુ તમારે બીજી બાજુઓ શોધવાની જરૂર છે?

વિસ્તાર અને તારાઓવાળા આકાશના નકશા બનાવતા, ભૂતકાળમાં લોકોએ આનો સામનો કર્યો હતો. છેવટે, ત્રિકોણની બધી બાજુઓને સીધું માપવાનું હંમેશા શક્ય નથી.

સાઈન, કોસાઈન અને ટેન્જેન્ટ - તેમને પણ કહેવામાં આવે છે ખૂણાના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો- વચ્ચેનો ગુણોત્તર આપો પક્ષોઅને ખૂણાત્રિકોણ કોણ જાણીને, તમે વિશિષ્ટ કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરીને તેના તમામ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો શોધી શકો છો. અને ત્રિકોણના ખૂણાઓ અને તેની એક બાજુના સાઇન્સ, કોસાઇન્સ અને સ્પર્શકોને જાણીને, તમે બાકીનાને શોધી શકો છો.

આપણે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ વેલ્યુનું કોષ્ટક પણ "સારા" ખૂણાઓ માટે દોરીશું.

કોષ્ટકમાં બે લાલ ડૅશ પર ધ્યાન આપો. ખૂણાઓના અનુરૂપ મૂલ્યો માટે, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ અસ્તિત્વમાં નથી.

ચાલો બેંક ઓફ FIPI કાર્યોમાંથી ત્રિકોણમિતિમાં ઘણી સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરીએ.

1. ત્રિકોણમાં, કોણ છે , . શોધો .

સમસ્યા ચાર સેકન્ડમાં ઉકેલાઈ જાય છે.

કારણ કે , .

2. ત્રિકોણમાં, કોણ છે , , . શોધો .

ચાલો પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા શોધીએ.

પ્રશ્ન ઉકેલાઈ ગયો.

ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં ખૂણાઓ અને અથવા ખૂણાઓ સાથે ત્રિકોણ હોય છે અને . તેમના માટે મૂળભૂત ગુણોત્તર હૃદયથી યાદ રાખો!

ખૂણાવાળા ત્રિકોણ માટે અને કોણની સામેનો પગ બરાબર છે કર્ણનો અડધો ભાગ.

ખૂણાઓ સાથેનો ત્રિકોણ અને સમદ્વિબાજુ છે. તેમાં, કર્ણ પગ કરતા ગણો મોટો છે.

અમે કાટખૂણે ત્રિકોણ ઉકેલવા માટેની સમસ્યાઓનો વિચાર કર્યો - એટલે કે અજાણી બાજુઓ અથવા ખૂણાઓ શોધવા માટે. પરંતુ તે બધુ જ નથી! ગણિતમાં પરીક્ષાના ચલોમાં, એવા ઘણા કાર્યો છે જ્યાં ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અથવા કોટેન્જેન્ટ દેખાય છે. આગળના લેખમાં આ વિશે વધુ.

આ લેખમાં, અમે બતાવીશું કે કેવી રીતે ત્રિકોણમિતિમાં કોણ અને સંખ્યાના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટિંજન્ટની વ્યાખ્યાઓ. અહીં આપણે નોટેશન વિશે વાત કરીશું, રેકોર્ડના ઉદાહરણો આપીશું, ગ્રાફિક ચિત્રો આપીશું. નિષ્કર્ષમાં, આપણે ત્રિકોણમિતિ અને ભૂમિતિમાં સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ વચ્ચે સમાંતર દોરીએ છીએ.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા

ચાલો અનુસરીએ કે સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટનો ખ્યાલ કેવી રીતે રચાય છે શાળા અભ્યાસક્રમગણિત. ભૂમિતિના પાઠોમાં, કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે. અને પાછળથી ત્રિકોણમિતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, જે પરિભ્રમણના કોણ અને સંખ્યાના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટનો સંદર્ભ આપે છે. અમે આ બધી વ્યાખ્યાઓ આપીએ છીએ, ઉદાહરણો આપીએ છીએ અને જરૂરી ટિપ્પણીઓ આપીએ છીએ.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણ

ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમ પરથી, કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ જાણીતી છે. તેઓ કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓના ગુણોત્તર તરીકે આપવામાં આવે છે. અમે તેમની રચનાઓ રજૂ કરીએ છીએ.

વ્યાખ્યા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સાઈનએ કર્ણના વિરોધી પગનો ગુણોત્તર છે.

વ્યાખ્યા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણનો કોસાઇનકર્ણની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે.

વ્યાખ્યા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સ્પર્શકબાજુના પગ સાથે વિરુદ્ધ પગનો ગુણોત્તર છે.

વ્યાખ્યા.

કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણનો કોટિંજન્ટબાજુના પગ અને સામેના પગનો ગુણોત્તર છે.

સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટનું નોટેશન પણ ત્યાં રજૂ કરવામાં આવ્યું છે - અનુક્રમે sin, cos, tg અને ctg.

ઉદાહરણ તરીકે, જો ABC એ કાટકોણ C ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે, તો તીવ્ર કોણ A ની સાઈન એ કર્પોટેન્યુસ AB અને sin∠A=BC/AB સામેના પગ BC ના ગુણોત્તર જેટલી છે.

આ વ્યાખ્યાઓ તમને કાટકોણ ત્રિકોણની બાજુઓની જાણીતી લંબાઈમાંથી તેમજ સાઈન, કોસાઈનના જાણીતા મૂલ્યોમાંથી તીવ્ર કોણના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટના મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે. સ્પર્શક, કોટિંજન્ટ અને એક બાજુની લંબાઈ, બીજી બાજુઓની લંબાઈ શોધો. ઉદાહરણ તરીકે, જો આપણે જાણતા હોઈએ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં લેગ AC 3 છે અને કર્ણ AB 7 છે, તો આપણે વ્યાખ્યા દ્વારા તીવ્ર કોણ A ના કોસાઇનની ગણતરી કરી શકીએ: cos∠A=AC/AB=3/7 .

પરિભ્રમણ કોણ

ત્રિકોણમિતિમાં, તેઓ કોણને વધુ વ્યાપક રીતે જોવાનું શરૂ કરે છે - તેઓ પરિભ્રમણના કોણની વિભાવના રજૂ કરે છે. પરિભ્રમણનો કોણ, તીવ્ર કોણથી વિપરીત, 0 થી 90 ડિગ્રી સુધીના ફ્રેમ્સ દ્વારા મર્યાદિત નથી, ડિગ્રીમાં પરિભ્રમણનો કોણ (અને રેડિયનમાં) −∞ થી +∞ સુધીની કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે.

આ પ્રકાશમાં, સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ હવે તીવ્ર કોણ નથી, પરંતુ મનસ્વી તીવ્રતાનો કોણ છે - પરિભ્રમણનો કોણ. તેઓ બિંદુ A 1 ના x અને y કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેમાં કહેવાતા પ્રારંભિક બિંદુ A(1, 0) પસાર થાય છે પછી તે બિંદુ O ની આસપાસ α કોણમાંથી ફરે છે - એક લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમની શરૂઆત અને એકમ વર્તુળનું કેન્દ્ર.

વ્યાખ્યા.

પરિભ્રમણ કોણની સાઈનα એ બિંદુ A 1 નો ઓર્ડિનેટ છે, એટલે કે, sinα=y.

વ્યાખ્યા.

પરિભ્રમણના કોણનો કોસાઇનα એ બિંદુ A 1 નો એબ્સીસા કહેવાય છે, એટલે કે, cosα=x.

વ્યાખ્યા.

પરિભ્રમણ કોણની સ્પર્શકα એ બિંદુ A 1 ના ઓર્ડિનેટ અને તેના એબ્સિસાનો ગુણોત્તર છે, એટલે કે, tgα=y/x.

વ્યાખ્યા.

પરિભ્રમણના કોણનો કોટિજન્ટα એ બિંદુ A 1 ના એબ્સીસા અને તેના ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે, એટલે કે, ctgα=x/y.

સાઈન અને કોસાઈન કોઈપણ કોણ α માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, કારણ કે આપણે હંમેશા બિંદુના એબ્સીસા અને ઓર્ડિનેટને નિર્ધારિત કરી શકીએ છીએ, જે કોણ α દ્વારા પ્રારંભિક બિંદુને ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે. અને સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ કોઈપણ ખૂણા માટે વ્યાખ્યાયિત નથી. સ્પર્શક એવા ખૂણો α માટે વ્યાખ્યાયિત નથી કે જેના પર પ્રારંભિક બિંદુ શૂન્ય એબ્સીસા (0, 1) અથવા (0, −1) સાથેના બિંદુ પર જાય છે, અને આ 90°+180° k , k∈Z ખૂણા પર થાય છે. (π /2+π k rad). ખરેખર, પરિભ્રમણના આવા ખૂણા પર, tgα=y/x અભિવ્યક્તિનો કોઈ અર્થ નથી, કારણ કે તે શૂન્ય વડે ભાગાકાર ધરાવે છે. કોટેન્જેન્ટની વાત કરીએ તો, તે એવા ખૂણા α માટે વ્યાખ્યાયિત નથી કે જેના પર પ્રારંભિક બિંદુ શૂન્ય ઓર્ડિનેટ (1, 0) અથવા (−1, 0) સાથેના બિંદુ પર જાય છે, અને આ 180° k ખૂણા માટેનો કેસ છે. k ∈Z (π k rad).

તેથી, સાઈન અને કોસાઈન કોઈપણ પરિભ્રમણ ખૂણાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સ્પર્શક 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) સિવાયના તમામ ખૂણાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, અને કોટેન્જેન્ટ 180 સિવાયના તમામ ખૂણાઓ માટે હોય છે. °·k , k∈Z (π·k rad).

અમને પહેલાથી જ જાણીતા સંકેતો sin, cos, tg અને ctg ની વ્યાખ્યાઓમાં દેખાય છે, તેનો ઉપયોગ પરિભ્રમણના ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટને દર્શાવવા માટે પણ થાય છે (કેટલીકવાર તમે સંકેત ટૅન શોધી શકો છો અને સ્પર્શકને અનુરૂપ કોટેશન શોધી શકો છો અને કોટેન્જન્ટ). તેથી 30 ડિગ્રીના પરિભ્રમણ ખૂણાની સાઈનને sin30° તરીકે લખી શકાય છે, રેકોર્ડ tg(−24°17′) અને ctgα પરિભ્રમણ કોણ −24 ડિગ્રી 17 મિનિટની સ્પર્શક અને પરિભ્રમણ કોણ α ની સ્પર્શકને અનુરૂપ છે. . યાદ કરો કે જ્યારે કોણનું રેડિયન માપ લખવામાં આવે છે, ત્યારે નોટેશન "રેડ" ઘણીવાર અવગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ પી રેડ્સના પરિભ્રમણ કોણના કોસાઇનને સામાન્ય રીતે cos3 π તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.

આ ફકરાના નિષ્કર્ષમાં, એ નોંધવું યોગ્ય છે કે પરિભ્રમણના ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વિશે વાત કરતી વખતે, શબ્દસમૂહ "પરિભ્રમણ કોણ" અથવા "પરિભ્રમણ" શબ્દને ઘણીવાર અવગણવામાં આવે છે. એટલે કે, "આલ્ફાના પરિભ્રમણના કોણની સાઈન" વાક્યને બદલે સામાન્ય રીતે "આલ્ફાના કોણની સાઈન" વાક્યનો ઉપયોગ થાય છે, અથવા તો તેનાથી પણ ટૂંકો - "આલ્ફાની સાઈન" વપરાય છે. તે જ કોસાઇન, અને સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટને લાગુ પડે છે.

ચાલો એ પણ કહીએ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ 0 થી 90 સુધીના પરિભ્રમણ કોણની સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ માટે આપવામાં આવેલી વ્યાખ્યાઓ સાથે સુસંગત છે. ડિગ્રી અમે આને સમર્થન આપીશું.

સંખ્યાઓ

વ્યાખ્યા.

સંખ્યાની સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ t એ અનુક્રમે t રેડિયનમાં પરિભ્રમણના ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની સમાન સંખ્યા છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 8 π ની કોસાઇન, વ્યાખ્યા પ્રમાણે, 8 π rad ના ખૂણાના કોસાઇન જેટલી સંખ્યા છે. અને 8 π રેડમાં કોણનો કોસાઇન એક સમાન છે, તેથી, સંખ્યા 8 π ની કોસાઇન 1 બરાબર છે.

સંખ્યાના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યા માટે બીજો અભિગમ છે. તે એ હકીકતમાં સમાવે છે કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા t ને લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીના મૂળ પર કેન્દ્રિત એકમ વર્તુળનો એક બિંદુ સોંપવામાં આવે છે, અને આ બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ નક્કી કરવામાં આવે છે. ચાલો આના પર વધુ વિગતવાર ધ્યાન આપીએ.

ચાલો બતાવીએ કે વર્તુળની વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને બિંદુઓ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર કેવી રીતે સ્થાપિત થાય છે:

• નંબર 0 એ પ્રારંભિક બિંદુ A(1, 0) સોંપેલ છે;
• સકારાત્મક સંખ્યા t એ એકમ વર્તુળ પરના બિંદુ સાથે સંકળાયેલ છે, જે જો આપણે વર્તુળની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં શરૂઆતના બિંદુથી આગળ વધીએ તો આપણે મેળવીશું અને ચાલો રસ્તે જઈએલંબાઈ t;
• નકારાત્મક સંખ્યા t એ એકમ વર્તુળ પરના બિંદુને અનુરૂપ છે, જ્યાં આપણે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં શરૂઆતના બિંદુથી વર્તુળની ફરતે આગળ વધીશું અને લંબાઈના પાથ પર જઈશું તો આપણે પહોંચીશું |t| .

હવે ચાલો t સંખ્યાની સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ તરફ આગળ વધીએ. ચાલો ધારીએ કે સંખ્યા t વર્તુળ A 1 (x, y) ના બિંદુને અનુલક્ષે છે (ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યા &pi/2; બિંદુ A 1 (0, 1) ને અનુલક્ષે છે).

વ્યાખ્યા.

સંખ્યાની સાઈન t એ સંખ્યા t ને અનુરૂપ એકમ વર્તુળ બિંદુનું ઓર્ડિનેટ છે, એટલે કે, sint=y.

વ્યાખ્યા.

સંખ્યાનો કોસાઇન t એ સંખ્યા t ને અનુરૂપ એકમ વર્તુળના બિંદુના એબ્સીસા કહેવાય છે, એટલે કે કિંમત=x.

વ્યાખ્યા.

સંખ્યાની સ્પર્શક t એ સંખ્યા t, એટલે કે tgt=y/x ને અનુરૂપ એકમ વર્તુળના બિંદુના એબ્સીસા સાથેના ઓર્ડિનેટનો ગુણોત્તર છે. અન્ય સમકક્ષ ફોર્મ્યુલેશનમાં, સંખ્યા t ની સ્પર્શક એ આ સંખ્યાની સાઈન અને કોસાઈનનો ગુણોત્તર છે, એટલે કે tgt=sint/cost.

વ્યાખ્યા.

સંખ્યાનો કોટિંજન્ટ t એ સંખ્યા t, એટલે કે, ctgt=x/y ને અનુરૂપ એકમ વર્તુળના બિંદુના ઓર્ડિનેટ સાથે એબ્સીસાનો ગુણોત્તર છે. અન્ય ફોર્મ્યુલેશન નીચે મુજબ છે: સંખ્યા t ની સ્પર્શક એ સંખ્યા t ના કોસાઇન અને સંખ્યા t ની સાઇનનો ગુણોત્તર છે : ctgt=cost/sint.

અહીં આપણે નોંધીએ છીએ કે આપેલ વ્યાખ્યાઓ આ પેટાવિભાગની શરૂઆતમાં આપેલી વ્યાખ્યા સાથે સંમત છે. ખરેખર, સંખ્યા t ને અનુરૂપ એકમ વર્તુળનો બિંદુ t રેડિયનના ખૂણા દ્વારા પ્રારંભિક બિંદુને ફેરવીને મેળવેલા બિંદુ સાથે મેળ ખાય છે.

આ મુદ્દાની સ્પષ્ટતા કરવી પણ યોગ્ય છે. ચાલો કહીએ કે અમારી પાસે sin3 એન્ટ્રી છે. 3 નંબરની સાઈન કે 3 રેડિયનના પરિભ્રમણ કોણની સાઈન પ્રશ્નમાં છે તે કેવી રીતે સમજવું? આ સામાન્ય રીતે સંદર્ભથી સ્પષ્ટ છે, અન્યથા તે કદાચ વાંધો નથી.

કોણીય અને સંખ્યાત્મક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો

પાછલા ફકરામાં આપેલી વ્યાખ્યાઓ અનુસાર, દરેક પરિભ્રમણ કોણ α sinα ની સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત કિંમત તેમજ cosα ની કિંમતને અનુરૂપ છે. વધુમાં, 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) સિવાયના તમામ પરિભ્રમણ ખૂણા tgα , અને 180° k , k∈Z (π k rad) કરતાં અન્ય મૂલ્યોને અનુરૂપ છે. ctgα ના મૂલ્યો છે. તેથી sinα, cosα, tgα અને ctgα એ કોણ α ના કાર્યો છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આ કોણીય દલીલના કાર્યો છે.

એ જ રીતે, આપણે સંખ્યાત્મક દલીલના કાર્યો સાઈન, કોસાઈન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટ વિશે વાત કરી શકીએ છીએ. ખરેખર, દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા t સિન્ટના સારી રીતે વ્યાખ્યાયિત મૂલ્ય તેમજ કિંમતને અનુલક્ષે છે. વધુમાં, π/2+π·k , k∈Z સિવાયની તમામ સંખ્યાઓ tgt મૂલ્યોને અનુરૂપ છે, અને સંખ્યાઓ π·k , k∈Z મૂલ્યો ctgt ને અનુરૂપ છે.

વિધેયો સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટ કહેવાય છે મૂળભૂત ત્રિકોણમિતિ કાર્યો.

તે સામાન્ય રીતે સંદર્ભથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આપણે કોણીય દલીલ અથવા સંખ્યાત્મક દલીલના ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. નહિંતર, આપણે સ્વતંત્ર ચલને કોણના માપદંડ (કોણ દલીલ) અને સંખ્યાત્મક દલીલ બંને તરીકે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ.

જો કે, શાળા મુખ્યત્વે સંખ્યાત્મક કાર્યોનો અભ્યાસ કરે છે, એટલે કે, ફંક્શન જેની દલીલો, તેમજ અનુરૂપ કાર્ય મૂલ્યો, સંખ્યાઓ છે. તેથી, જો આપણે કાર્યો વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ, તો ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને સંખ્યાત્મક દલીલોના કાર્યો તરીકે ધ્યાનમાં લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

ભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિમાંથી વ્યાખ્યાઓનું જોડાણ

જો આપણે પરિભ્રમણના કોણ α ને 0 થી 90 ડિગ્રી સુધી ધ્યાનમાં લઈએ, તો પરિભ્રમણના ખૂણાના સાઈન, કોસાઈન, ટેન્જેન્ટ અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાના ત્રિકોણમિતિના સંદર્ભમાં ડેટા સાઈન, કોસાઈનની વ્યાખ્યાઓ સાથે સંપૂર્ણપણે સુસંગત છે. , કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર ખૂણાના સ્પર્શક અને સહસ્પર્શક, જે ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં આપવામાં આવ્યા છે. ચાલો આને સાબિત કરીએ.

લંબચોરસમાં દોરો કાર્ટેશિયન સિસ્ટમઓક્સિ કોઓર્ડિનેટ્સ એકમ વર્તુળ. પ્રારંભિક બિંદુ A(1, 0) ની નોંધ કરો. ચાલો તેને 0 થી 90 ડિગ્રી સુધીના કોણ α દ્વારા ફેરવીએ, આપણને બિંદુ A 1 (x, y) મળે છે. ચાલો બિંદુ A 1 થી Ox અક્ષ પર કાટખૂણે A 1 H છોડીએ.

તે જોવાનું સરળ છે કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં કોણ A 1 OH એ પરિભ્રમણના કોણ α બરાબર છે, આ ખૂણાને અડીને આવેલા પગ OH ની લંબાઈ A 1 બિંદુના એબ્સિસા સમાન છે, એટલે કે |OH |=x, કોણની વિરુદ્ધ લેગ A 1 H ની લંબાઈ એ બિંદુ A 1 ના ઓર્ડિનેટ જેટલી છે, એટલે કે |A 1 H|=y , અને કર્ણો OA 1 ની લંબાઈ એક સમાન છે. , કારણ કે તે એકમ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. પછી, ભૂમિતિની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, કાટકોણ ત્રિકોણ A 1 OH માં તીવ્ર કોણ α ની સાઈન એ કર્ણના વિરોધી પગના ગુણોત્તર સમાન છે, એટલે કે, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . અને ત્રિકોણમિતિની વ્યાખ્યા પ્રમાણે, પરિભ્રમણ કોણ α ની સાઈન એ બિંદુ A 1 ના ઓર્ડિનેટ બરાબર છે, એટલે કે, sinα=y. આ બતાવે છે કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં તીવ્ર કોણની સાઈનની વ્યાખ્યા α માટે 0 થી 90 ડિગ્રી સુધીના પરિભ્રમણના કોણની સાઈનની વ્યાખ્યાની સમકક્ષ છે.

એ જ રીતે, તે બતાવી શકાય છે કે તીવ્ર કોણ α ની કોસાઇન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ પરિભ્રમણ કોણ α ના કોસાઇન, સ્પર્શક અને કોટેન્જેન્ટની વ્યાખ્યાઓ સાથે સુસંગત છે.

ગ્રંથસૂચિ.

1. ભૂમિતિ. 7-9 ગ્રેડ: અભ્યાસ. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / [એલ. એસ. અટાનાસ્યાન, વી. એફ. બુટુઝોવ, એસ. બી. કડોમત્સેવ અને અન્ય]. - 20મી આવૃત્તિ. એમ.: શિક્ષણ, 2010. - 384 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. પોગોરેલોવ એ.વી.ભૂમિતિ: પ્રોક. 7-9 કોષો માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / એ. વી. પોગોરેલોવ. - 2જી આવૃત્તિ - એમ.: એનલાઈટનમેન્ટ, 2001. - 224 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 5-09-010803-X.
3. બીજગણિત અને પ્રાથમિક કાર્યો: ટ્યુટોરીયલમાધ્યમિક શાળાના 9મા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓ માટે / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; ડોક્ટર ઓફ ફિઝિકલ એન્ડ મેથેમેટિકલ સાયન્સ ઓ.એન. ગોલોવિન દ્વારા સંપાદિત - 4 થી આવૃત્તિ. મોસ્કો: શિક્ષણ, 1969.
4. બીજગણિત:પ્રોક. 9 કોષો માટે. સરેરાશ શાળા / યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; એડ. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. બીજગણિતઅને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 કોષો માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn અને અન્ય; એડ. એ. એન. કોલમોગોરોવા.- 14મી આવૃત્તિ.- એમ.: એનલાઈટનમેન્ટ, 2004.- 384 પૃષ્ઠ: ઇલ.- ISBN 5-09-013651-3.
6. મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત. ગ્રેડ 10. 2 p. Ch. 1 પર: માટે એક ટ્યુટોરીયલ શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ(પ્રોફાઇલ સ્તર) / એ. જી. મોર્ડકોવિચ, પી. વી. સેમેનોવ. - 4 થી આવૃત્તિ., ઉમેરો. - એમ.: નેમોસીન, 2007. - 424 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. બીજગણિતઅને ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત. ધોરણ 10: પાઠયપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ: મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. સ્તરો /[યુ. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; સંપાદન એ.બી. ઝિઝચેન્કો. - 3જી આવૃત્તિ. - I.: એજ્યુકેશન, 2010. - 368 p.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. બશ્માકોવ એમ.આઈ.બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત: પ્રોક. 10-11 કોષો માટે. સરેરાશ શાળા - 3જી આવૃત્તિ. - એમ.: એનલાઈટનમેન્ટ, 1993. - 351 પૃષ્ઠ: બીમાર. - ISBN 5-09-004617-4.
9. ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓ માટે અરજદારો માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.

શરૂઆતમાં, સાઈન અને કોસાઈન કાટકોણ ત્રિકોણમાં જથ્થાની ગણતરી કરવાની જરૂરિયાતને કારણે ઉદભવ્યા. તે નોંધવામાં આવ્યું હતું કે જો કાટકોણ ત્રિકોણમાં ખૂણાઓના ડિગ્રી માપનું મૂલ્ય બદલાયું નથી, તો પછી આ બાજુઓ લંબાઈમાં ગમે તેટલી બદલાય તો પણ પાસા ગુણોત્તર હંમેશા સમાન રહે છે.

આ રીતે સાઈન અને કોસાઈનની વિભાવનાઓ રજૂ કરવામાં આવી હતી. કાટકોણ ત્રિકોણમાં એક્યુટ એંગલની સાઈન એ કર્ણની સામેના પગનો ગુણોત્તર છે, અને કોસાઈન એ કર્ણોની બાજુના પગનો ગુણોત્તર છે.

કોસાઇન્સ અને સાઇન્સના પ્રમેય

પરંતુ કોસાઇન્સ અને સાઇનનો ઉપયોગ માત્ર કાટખૂણે જ નહીં. સ્થૂળ અથવા તીવ્ર કોણનું મૂલ્ય શોધવા માટે, કોઈપણ ત્રિકોણની બાજુ, તે કોસાઈન અને સાઈન પ્રમેય લાગુ કરવા માટે પૂરતું છે.

કોસાઇન પ્રમેય એકદમ સરળ છે: "ત્રિકોણની બાજુનો ચોરસ સરવાળો બરાબર છેબીજી બે બાજુઓના વર્ગો તેમની વચ્ચેના ખૂણાના કોસાઈન દ્વારા આ બાજુઓના ગુણાંકના બમણા ઓછા કરો.

સાઈન પ્રમેયના બે અર્થઘટન છે: નાના અને વિસ્તૃત. નાના મુજબ: "ત્રિકોણમાં, ખૂણાઓ વિરુદ્ધ બાજુઓના પ્રમાણસર હોય છે." આ પ્રમેય ત્રિકોણના પરિઘના ગુણધર્મને કારણે ઘણીવાર વિસ્તૃત થાય છે: "ત્રિકોણમાં, ખૂણાઓ વિરુદ્ધ બાજુઓના પ્રમાણસર હોય છે, અને તેમનો ગુણોત્તર પરિઘ વર્તુળના વ્યાસ જેટલો હોય છે."

વ્યુત્પન્ન

ડેરિવેટિવ એ ગાણિતિક સાધન છે જે દર્શાવે છે કે ફંક્શન તેની દલીલમાં ફેરફારના સંદર્ભમાં કેટલી ઝડપથી બદલાય છે. ડેરિવેટિવ્સનો ઉપયોગ ભૂમિતિમાં અને સંખ્યાબંધ તકનીકી શાખાઓમાં થાય છે.

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, તમારે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ડેરિવેટિવ્ઝના ટેબ્યુલર મૂલ્યો જાણવાની જરૂર છે: સાઈન અને કોસાઈન. સાઈનનું વ્યુત્પન્ન એ કોસાઈન છે, અને કોસાઈનનું વ્યુત્પન્ન એ સાઈન છે, પરંતુ ઓછા ચિહ્ન સાથે.

ગણિતમાં એપ્લિકેશન

ખાસ કરીને ઘણીવાર, સાઈન અને કોસાઈન્સનો ઉપયોગ કાટખૂણો અને તેમને સંબંધિત સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે થાય છે.

સાઈન અને કોસાઈનની સગવડ પણ ટેકનોલોજીમાં પ્રતિબિંબિત થાય છે. કોસાઈન અને સાઈન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ખૂણા અને બાજુઓનું મૂલ્યાંકન કરવું સરળ હતું, જટિલ આકારો અને વસ્તુઓને "સરળ" ત્રિકોણમાં તોડીને. એન્જીનિયરો અને, ઘણીવાર પાસા રેશિયો અને ડિગ્રી માપની ગણતરીઓ સાથે કામ કરતા, કોસાઈન અને બિન-કોષ્ટકોણના સાઈન્સની ગણતરી કરવામાં ઘણો સમય અને પ્રયત્ન ખર્ચતા હતા.

પછી બ્રાડિસ કોષ્ટકો બચાવમાં આવ્યા, જેમાં હજારો મૂલ્યો સાઈન, કોસાઈન્સ, ટેન્જેન્ટ અને વિવિધ ખૂણાના કોટેન્જેન્ટ્સ છે. સોવિયેત સમયમાં, કેટલાક શિક્ષકોએ તેમના વોર્ડને બ્રેડીસ કોષ્ટકોના પૃષ્ઠોને યાદ રાખવા દબાણ કર્યું.

રેડિયન - આર્કનું કોણીય મૂલ્ય, ત્રિજ્યા અથવા 57.295779513 ° ડિગ્રી જેટલી લંબાઈ સાથે.

ડિગ્રી (ભૂમિતિમાં) - વર્તુળનો 1/360મો અથવા કાટકોણનો 1/90મો.

π = 3.141592653589793238462… (pi ની અંદાજિત કિંમત).

ખૂણાઓ માટે કોસાઇન ટેબલ: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

કોણ x (ડિગ્રીમાં)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
કોણ x (રેડિયનમાં)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1