Логарифм ба илтгэгчийн шинж чанарууд. Натурал логарифм ба тоо e
Муу биш, тийм ээ? Математикчид танд урт, төөрөгдүүлсэн тодорхойлолт өгөх үгсийг хайж байх хооронд энэ энгийн бөгөөд ойлгомжтой тайлбарыг нарийвчлан авч үзье.
e тоо нь өсөлт гэсэн үг
e тоо нь тасралтгүй өсөлтийг илэрхийлдэг. Өмнөх жишээн дээр харсанчлан, e x нь хүү ба цаг хугацааг холбох боломжийг бидэнд олгодог: 100% өсөлттэй 3 жил нь "нийлмэл хүү" гэж үзвэл 300% -ийн өсөлттэй 1 жилтэй ижил байна.
Та ямар ч хувь, цаг хугацааны утгыг орлуулж болно (4 жилийн хугацаанд 50%), гэхдээ тохиромжтой байхын тулд хувь хэмжээг 100% гэж тохируулах нь дээр (2 жилийн хугацаанд 100% болно). 100% руу шилжсэнээр бид зөвхөн цаг хугацааны бүрэлдэхүүн хэсэгт анхаарлаа төвлөрүүлж чадна:
e x = e хувь * цаг = e 1.0 * цаг = e цаг
Мэдээж e x гэсэн үг:
- х нэгж хугацааны дараа миний оруулсан хувь нэмэр хэр их өсөх вэ (100% тасралтгүй өсөлт гэж үзвэл).
- жишээлбэл, 3 цагийн интервалын дараа би e 3 = 20.08 дахин их "юм" авах болно.
e x нь бид x хугацааны дараа ямар түвшинд өсөхийг харуулдаг масштабын хүчин зүйл юм.
Натурал логарифм гэдэг нь цаг хугацаа гэсэн үг
Натурал логарифм нь e-ийн урвуу утгатай бөгөөд эсрэгээр нь илэрхийлдэг гоёмсог нэр томъёо юм. Хачирхалтай байдлын талаар ярих; Латинаар үүнийг logarithmus naturali гэж нэрлэдэг тул ln гэсэн товчлол юм.
Мөн энэ урвуу эсвэл эсрэгээр нь юу гэсэн үг вэ?
- e x нь цагийг орлуулах, өсөлтийг авах боломжийг бидэнд олгодог.
- ln(x) нь өсөлт эсвэл орлогыг авч, түүнийг бий болгоход шаардагдах хугацааг олж мэдэх боломжийг олгодог.
Жишээлбэл:
- e 3 нь 20.08-тай тэнцүү. Гурван хугацааны дараа бид эхлүүлснээсээ 20.08 дахин их байх болно.
- ln(08/20) нь ойролцоогоор 3 байх болно. Хэрэв та 20.08 дахин өсөлтийг сонирхож байгаа бол танд 3 хугацаа хэрэгтэй болно (дахин 100% тасралтгүй өсөлт гэж үзвэл).
Уншиж байна уу? Байгалийн логарифм нь хүссэн түвшинд хүрэхэд шаардагдах хугацааг харуулдаг.
Энэ нь стандарт бус логарифмын тооллого
Та логарифмуудыг үзсэн үү - тэд хачин амьтад юм. Тэд хэрхэн үржүүлгийг нэмэлт болгон хувиргаж чадсан бэ? Хасах үйлдэлд хуваах талаар юу хэлэх вэ? Ингээд харцгаая.
ln(1) нь хэдтэй тэнцүү вэ? Зөн совингийн хувьд асуулт бол: өөрт байгаа зүйлээсээ 1 дахин ихийг авахын тулд би хэр удаан хүлээх ёстой вэ?
Тэг. Тэг. Огт үгүй. Танд аль хэдийн нэг удаа байгаа. 1-р түвшнээс 1-р түвшинд шилжихэд удаан хугацаа шаардагдахгүй.
- log(1) = 0
За, бутархай утгыг яах вэ? Бидэнд бэлэн байгаа хэмжээнээс 1/2 нь үлдэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ? 100% тасралтгүй өсөлттэй үед ln(2) нь хоёр дахин нэмэгдэх хугацаа гэсэн үг гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв бид цаг хугацааг буцацгаая(өөрөөр хэлбэл, сөрөг цаг хүлээх), тэгвэл бид байгаа зүйлийн тэн хагасыг авах болно.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0.693
Логик, тийм үү? Хэрэв бид 0.693 секунд руу буцах юм бол бид бэлэн мөнгөний хагасыг олох болно. Ерөнхийдөө та бутархайг эргүүлж сөрөг утгыг авч болно: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Энэ нь хэрэв бид 1.09 удаа цаг хугацааг ухравал одоогийн тооны гуравны нэгийг л олох болно гэсэн үг юм.
За, сөрөг тооны логарифмыг яах вэ? Бактерийн колони 1-ээс -3 хүртэл "ургах" хүртэл хэр хугацаа шаардагдах вэ?
Энэ боломжгүй! Та нянгийн сөрөг тоог авч чадахгүй байна, тийм үү? Та хамгийн их (э...хамгийн бага) тэгийг авч болно, гэхдээ эдгээр бяцхан амьтдаас сөрөг тоо авах боломжгүй. Сөрөг бактерийн тоо нь зүгээр л утгагүй юм.
- ln(сөрөг тоо) = тодорхойгүй
"Тодорхойгүй" гэдэг нь сөрөг утгыг авахын тулд хүлээх цаг хугацаа байхгүй гэсэн үг юм.
Логарифмын үржүүлэх нь зүгээр л инээдтэй юм
Дөрөв дахин өсөхөд хэр хугацаа шаардагдах вэ? Мэдээжийн хэрэг, та зүгээр л ln (4) авч болно. Гэхдээ энэ нь хэтэрхий энгийн, бид өөр замаар явах болно.
Дөрөв дахин өсөлтийг хоёр дахин ихэсгэх (ln(2) нэгж хугацаа шаардагдана), дараа нь дахин хоёр дахин нэмэгдэх (өөр ln(2) нэгж хугацаа шаардлагатай) гэж та бодож болно.
- 4 дахин өсөх хугацаа = ln(4) = Хоёр дахин өсөх хугацаа = ln(2) + ln(2)
Сонирхолтой. Аливаа өсөлтийн хурд, жишээ нь 20, 10 дахин өссөний дараа шууд хоёр дахин өссөн гэж үзэж болно. Эсвэл 4 дахин, дараа нь 5 дахин өснө. Эсвэл гурав дахин нэмэгдээд дараа нь 6.666 дахин нэмэгдэнэ. Загварыг харж байна уу?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
A үрийн B логарифм нь log(A) + log(B) юм. Энэ харилцааг өсөлтийн үүднээс авч үзвэл шууд утга учиртай болно.
Хэрэв та 30 дахин өсөлтийг сонирхож байгаа бол нэг суултаар ln(30) хүлээх эсвэл гурав дахин нэмэгдэхийг ln(3), дараа нь өөр ln(10)-ыг 10 дахин хүлээх боломжтой. Эцсийн үр дүн нь адилхан, тиймээс мэдээжийн хэрэг цаг нь тогтмол хэвээр байх ёстой (мөн энэ нь хэвээр байна).
Харин хуваах тухай? Тодруулбал, ln(5/3) гэдэг нь: 5 дахин өсөхөд хэр хугацаа шаардагдах бөгөөд үүний 1/3-ийг авах вэ?
Гайхалтай, 5 дахин өсөх нь ln(5). 1/3 дахин өсөхөд -ln(3) нэгж хугацаа шаардагдана. Тэгэхээр,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Энэ нь: 5 дахин өсөхийг зөвшөөрч, дараа нь "цаг хугацааны хувьд буцаж" энэ дүнгийн гуравны нэг нь үлддэг тул та 5/3 өсөлтийг авна гэсэн үг юм. Ерөнхийдөө энэ нь харагдаж байна
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Логарифмын хачирхалтай арифметик танд утга учиртай болж байна гэж найдаж байна: өсөлтийн хурдыг үржүүлэх нь өсөлтийн цагийн нэгжийг нэмж, хуваах нь цагийн нэгжийг хасах болно. Дүрмүүдийг цээжлэх шаардлагагүй, ойлгохыг хичээ.
Дурын өсөлтөд байгалийн логарифмыг ашиглах
Мэдээжийн хэрэг" гэж та "Өсөлт 100% байвал энэ бүхэн сайн, гэхдээ миний авах 5% яах вэ?"
Асуудалгүй. Бидний ln() ашиглан тооцдог "цаг" нь үнэндээ хүүгийн түвшин ба цаг хугацааны хослол бөгөөд e x тэгшитгэлийн ижил X юм. Бид зүгээр л хялбар болгох үүднээс хувь хэмжээг 100% болгохоор шийдсэн, гэхдээ бид ямар ч тоог чөлөөтэй ашиглах боломжтой.
Бид 30 дахин өсөхийг хүсч байна гэж бодъё: ln(30)-ыг аваад 3.4-ийг авна. Энэ нь:
- e x = өндөр
- e 3.4 = 30
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл нь "3.4 жилийн 100% өгөөж нь 30 дахин өсөх болно" гэсэн үг юм. Бид энэ тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно.
- e x = e хурд*цаг
- e 100% * 3.4 жил = 30
Бооцооны * цаг 3.4 хэвээр байвал бид "бооцоо" ба "цаг" гэсэн утгыг өөрчлөх боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв бид 30 дахин өсөлтийг сонирхож байгаа бол 5 хувийн хүүтэй хэр удаан хүлээх вэ?
- ln(30) = 3.4
- хувь хэмжээ * цаг = 3.4
- 0.05 * цаг = 3.4
- цаг = 3.4 / 0.05 = 68 жил
Би ингэж тайлбарлаж байна: "ln(30) = 3.4, тиймээс 100% өсөлтөд 3.4 жил шаардлагатай. Хэрэв би өсөлтийн хурдыг хоёр дахин нэмэгдүүлбэл шаардагдах хугацаа хоёр дахин багасна."
- 3.4 жилийн хугацаанд 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 1.7 жилийн дотор 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
- 6.8 жилийн 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
- 68 наснаас дээш 5% = .05 * 68 = 3.4.
Гайхалтай, тийм үү? Натурал логарифмыг ямар ч хүү, цаг хугацаагаар ашиглаж болно, учир нь тэдний бүтээгдэхүүн тогтмол хэвээр байна. Та хувьсагчийн утгыг хүссэн хэмжээгээрээ зөөж болно.
Гайхалтай жишээ: Далан хоёрын дүрэм
Далан хоёрын дүрэм бол таны мөнгө хоёр дахин нэмэгдэхэд хэр хугацаа шаардагдахыг тооцоолох боломжийг олгодог математик арга юм. Одоо бид үүнийг дүгнэлт хийх болно (тийм ээ!), Түүнээс гадна бид түүний мөн чанарыг ойлгохыг хичээх болно.
Жил бүр 100 хувийн хүүтэй мөнгөө хоёр дахин нэмэгдүүлэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ?
Өө. Тасралтгүй өсөлтийн тохиолдолд бид байгалийн логарифмыг ашигласан, одоо та жилийн нийлбэрийн талаар ярьж байна уу? Ийм тохиолдолд энэ томьёо тохиромжгүй болох юм биш үү? Тийм ээ, тэгэх болно, гэхдээ 5%, 6% эсвэл бүр 15% гэх мэт бодит хүүгийн хувьд жилийн нийлбэр ба тасралтгүй өсөлтийн хоорондох ялгаа бага байх болно. Тэгэхээр ойролцоогоор тооцоолол үр дүнтэй байгаа тул бид бүрэн тасралтгүй аккруэль байгаа мэт дүр эсгэх болно.
Одоо асуулт энгийн байна: Та 100% өсөлттэйгээр хэр хурдан хоёр дахин нэмэгдэх вэ? ln(2) = 0.693. 100% тасралтгүй өсөхөд бидний дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлэхийн тулд 0.693 нэгж цаг (бидний тохиолдолд жил) шаардлагатай.
Тэгэхээр зээлийн хүү 100% биш 5%, 10% гээд хэлчихвэл яах вэ?
Амархан! Бооцоо * цаг = 0.693 тул бид дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ.
- хувь хэмжээ * цаг = 0.693
- цаг = 0.693 / бооцоо
Хэрэв өсөлт 10% бол хоёр дахин өсөхөд 0.693 / 0.10 = 6.93 жил шаардлагатай болно.
Тооцооллыг хялбарчлахын тулд хоёр талыг 100-аар үржүүлье, дараа нь "0.10" биш "10" гэж хэлж болно.
- хоёр дахин хугацаа = 69.3 / бооцоо, хаана бооцоо хувиар илэрхийлсэн.
Одоо 5%, 69.3 / 5 = 13.86 жилээр хоёр дахин өсөх цаг болжээ. Гэсэн хэдий ч 69.3 бол хамгийн тохиромжтой ногдол ашиг биш юм. 2, 3, 4, 6, 8 болон бусад тоонд хуваахад тохиромжтой 72 гэсэн ойролцоо тоог сонгоцгооё.
- давхар = 72 / бооцоо тавих цаг
Энэ нь далан хоёрын дүрэм юм. Бүх зүйл бүрхэгдсэн.
Хэрэв та гурав дахин үржих цагийг олох шаардлагатай бол ln(3) ~ 109.8-г ашиглаж болно.
- цаг гурав дахин = 110 / бооцоо
Энэ нь бас нэг ашигтай дүрэм юм. "72-ын дүрэм" нь зээлийн хүүгийн өсөлт, хүн амын өсөлт, нянгийн өсгөвөр болон экспоненциалаар өсч буй бүх зүйлд хамаарна.
Дараа нь юу юм?
Байгалийн логарифм нь танд ойлгомжтой болсон гэж найдаж байна - энэ нь ямар ч тоо экспоненциал өсөхөд шаардагдах хугацааг харуулдаг. Би үүнийг байгалийн гэж нэрлэдэг, учир нь e нь өсөлтийн бүх нийтийн хэмжүүр тул ln нь хэр удаан ургахыг тодорхойлох бүх нийтийн арга гэж үзэж болно.
Та ln(x)-г харах бүрдээ "Х удаа өсөхөд шаардагдах хугацааг" санаарай. Удахгүй гарах нийтлэлдээ би математикийн шинэхэн үнэр агаарыг дүүргэхийн тулд e болон ln-ийг хослуулан тайлбарлах болно.
Нэмэлт: e-ийн натурал логарифм
Шуурхай асуулт: ln(e) гэж юу вэ?
- математикийн робот хэлэх болно: Тэд бие биенийхээ урвуу гэж тодорхойлогддог тул ln(e) = 1 байх нь ойлгомжтой.
- ойлгох хүн: ln(e) нь "e" дахин өсөхөд шаардагдах тоо (ойролцоогоор 2.718). Гэсэн хэдий ч e тоо нь өөрөө 1 дахин өсөлтийн хэмжүүр тул ln(e) = 1 байна.
Тодорхой бод.
2013 оны есдүгээр сарын 9"Натурал логарифм. Натурал логарифмын суурь. Натурал тооны логарифм" сэдвээр хичээл, илтгэл.
Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.
11-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрт заах хэрэгсэл, симуляторууд
9-11-р ангийн "Тригонометр" интерактив гарын авлага
10-11-р ангийн "Логарифм" интерактив гарын авлага
Байгалийн логарифм гэж юу вэ
Залуус аа, сүүлийн хичээлээр бид шинэ, тусгай дугаарыг сурсан - e Өнөөдөр бид энэ дугаартай ажиллах болно.Бид логарифмыг судалж үзсэн бөгөөд логарифмын суурь нь 0-ээс их тоо байж болохыг бид мэднэ. Өнөөдөр бид мөн суурь нь e тоо болох логарифмийг авч үзэх болно. Ийм логарифмийг ихэвчлэн натурал логарифм гэж нэрлэдэг. Энэ нь өөрийн гэсэн тэмдэглэгээтэй: $\ln(n)$ нь натурал логарифм юм. Энэ оруулга нь $\log_e(n)=\ln(n)$ гэсэн оруулгатай тэнцүү байна.
Экспоненциал ба логарифм функцүүд нь урвуу утгатай бол натурал логарифм нь функцийн урвуу утгатай байна: $y=e^x$.
Урвуу функцууд нь $y=x$ шулуун шугамын хувьд тэгш хэмтэй байна.
Экспоненциал функцийг $y=x$ шулуунтай харьцуулан натурал логарифмыг зуръя.
(0;1) цэг дээрх $y=e^x$ функцийн графиктай шүргэгчийн хазайлтын өнцөг 45° байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Дараа нь (1;0) цэг дээрх натурал логарифмын графиктай шүргэгчийн налуугийн өнцөг мөн 45°-тэй тэнцүү байна. Эдгээр шүргэгч хоёулаа $y=x$ шулуунтай параллель байна. Шүргэгчийн диаграммыг үзүүлье: 
$y=\ln(x)$ функцийн шинж чанарууд
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Тэгш, сондгой ч биш.
3. Тодорхойлолтын бүхэл бүтэн хүрээнд нэмэгддэг.
4. Дээрээс нь хязгаарлагдахгүй, доороос нь хязгаарлагдахгүй.
5. Хамгийн их утга гэж байхгүй, хамгийн бага утга гэж байхгүй.
6. Тасралтгүй.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Дээшээ гүдгэр.
9. Хаана ч ялгарах боломжтой.
Дээд математикийн хичээлээр энэ нь батлагдсан урвуу функцийн дериватив нь тухайн функцийн деривативын урвуу юм.
Нотлох баримтыг илүү гүнзгийрүүлэх нь утгагүй, зүгээр л томьёог бичье: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Жишээ.
Функцийн деривативын утгыг тооцоол: $x=4$ цэг дээр $y=\ln(2x-7)$.
Шийдэл.
Ерөнхийдөө бидний функцийг $y=f(kx+m)$ функцээр илэрхийлдэг.
$y"=(\ln((2x-7))"=\frac(2)((2x-7))$.
Шаардлагатай цэг дээрх деривативын утгыг тооцоолъё: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Хариулт: 2.
Жишээ.
$y=ln(x)$ функцийн графикт $х=е$ цэг дээр шүргэгч зур.
Шийдэл.
$x=a$ цэг дээрх функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэлийг бид сайн санаж байна.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Бид шаардлагатай утгыг дараалан тооцоолно.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ цэг дээрх шүргэгч тэгшитгэл нь $y=\frac(x)(e)$ функц юм.
Натурал логарифм ба шүргэгч шулууныг зуръя. 
Жишээ.
Функцийг монотон ба экстремумыг шалгана уу: $y=x^6-6*ln(x)$.
Шийдэл.
$D(y)=(0;+∞)$ функцийн тодорхойлолтын муж.
Өгөгдсөн функцийн деривативыг олъё:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Дериватив нь тодорхойлолтын домэйноос бүх x-д байдаг, тэгвэл ямар ч чухал цэг байхгүй. Тогтмол цэгүүдийг олцгооё:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
$x=-1$ цэг нь тодорхойлолтын домэйнд хамаарахгүй. Тэгвэл бидэнд $x=1$ нэг хөдөлгөөнгүй цэг байна. Өсөх ба буурах интервалыг олъё: 
$x=1$ цэг нь хамгийн бага цэг, тэгвэл $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Хариулт: (0;1] сегмент дээр функц буурч, $ туяа дээр функц нэмэгдэнэ)