Szkic wykresu funkcji. Szkic wykresu funkcji (na przykładzie funkcji ułamkowo-kwadratowej). Ochrona danych osobowych

1. Metodologia konstruowania szkiców wykresów funkcyjnych

2. Rozwiązanie przykładu nr 1

3. Rozwiązanie przykładu nr 2

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Ochrona danych osobowych

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy


Rysowanie wykresów funkcji. . . . . . . . . . . .
1. Zaplanuj badanie funkcji podczas konstruowania wykresu. .
2. Podstawowe pojęcia i etapy badań funkcji. . . .
1. Dziedzina funkcji D f i zbiór
wartości funkcji E f . Specjalne właściwości
Funkcje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Badanie asymptot. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Asymptoty pionowe. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Asymptoty ukośne (poziome). . . . . . .
2.3. Metody badania asymptot niepionowych. .
2.4. Względne położenie wykresu funkcji
i jego asymptoty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Naszkicowanie wykresu funkcji. . . . . . . . . .
4. Przekroje funkcji rosnącej i malejącej
Minimalna i maksymalna liczba punktów. . . . . . . . . . . . . . .
5. Funkcja wypukła w górę i w dół
Punkty przegięcia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Różniczkowanie funkcji, analityczne
którego wyrażenie zawiera moduł. . . . . . . . . . . . .
4. Podstawowe wymagania dotyczące wyników badań
i spiskowanie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Przykłady badań funkcji i konstrukcji
wykresy funkcji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykład 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykład 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykład 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykład 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykład 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykład 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rysowanie krzywych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Plan badań i konstrukcji krzywych. . . . . . . . . .

2. Podstawowe pojęcia i etapy badania krzywych. . . . .
	Badanie funkcji x x t i y y t. . . . . . .
	Wykorzystanie wyników badań x x t . .
2.1. Pionowe asymptoty krzywej. . . . . . . . . . .
2.2. Pochyłe (poziome) asymptoty krzywej. .
	Analiza wyników i konstrukcja szkicu
grafika funkcyjna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Przekroje krzywej rosnącej i malejącej
Punkty minimalne i maksymalne funkcji
x x y i y y x , punkty wierzchołkowe krzywej. . . . . . .
	Funkcja wypukła w górę i w dół. Punkty przegięcia. .
3. Konstrukcja parametrycznie określonych krzywych. . . . . .
Przykład 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykład 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przykład 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemy do samodzielnego rozwiązania. . . . . .
Odpowiedzi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funkcje graficzne

1. Zaplanuj badanie funkcji podczas konstruowania wykresu

1. Znajdź dziedzinę definicji funkcji. Często przydatne jest rozważenie wielu wartości funkcji. Poznaj specjalne właściwości funkcji: parzyste, nieparzyste; okresowość, właściwości symetrii.

2. Zbadaj asymptoty wykresu funkcji: pionowa, ukośna. Analizować względne położenie wykresu funkcji i jej nachylonych (poziomych) asymptot.

3. Narysuj szkic wykresu.

4. Znajdź obszary monotoniczności funkcji: rosnące i malejące. Znajdź ekstrema funkcji: minimum i maksimum.

Znajdź pochodne jednostronne w punktach nieciągłości pochodnej funkcji oraz w punktach granicznych dziedziny definicji funkcji (jeśli istnieją pochodne jednostronne).

5. Znajdź przedziały wypukłości funkcji i punkty przegięcia.

2. Podstawowe pojęcia i etapy badań funkcji

1. Dziedzina funkcji Df i wiele znaczeń

funkcji E f . Właściwości funkcji specjalnych

Wskaż dziedzinę definicji funkcji, zaznacz ją na osi odciętych punktami granicznymi i punktami przebitymi oraz wskaż odcięte tych punktów. Znalezienie dziedziny definicji funkcji nie jest konieczne.

Nie jest konieczne znajdowanie wielu wartości funkcji. Łatwo zbadane właściwości zbioru wartości: nieujemność, ograniczenie od dołu lub od góry itp. służą do konstruowania szkicu wykresu, kontrolowania wyników badania i poprawności wykresu.

x lubię

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi rzędnych Oy. Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku. Funkcje parzyste i nieparzyste bada się w dodatniej połowie zakresu definicji.

Funkcja okresowa jest badana w jednym okresie i

Wykres jest pokazany na 2-3 okresach.
2. Badanie asymptot
2.1. Asymptoty pionowe
Definicja 1.				x x0		zwany		pionowy
asymptota wykresu funkcji				tak,			jeśli ukończono
jeden z warunków:			lim f x 1				Lim fx.
			x x0 0				x x0 0
2.2. Asymptoty ukośne (poziome).

noah) asymptota wykresu funkcji					y f x w x,
lim f x kx b 0 .
					o x
	Definicja asymptoty
klim		b lim f x kx . Obliczanie odpowiedniego


granic, otrzymujemy równanie asymptoty y kx b .
Podobne stwierdzenie jest prawdziwe w przypadku, gdy

Jeśli k 0, wówczas asymptotę nazywa się ukośną.
k 0 , następnie asymptota			y b nazywa się poziomym.
Pojęcia nachylonego i poziomego wprowadza się w podobny sposób.
asymptoty wykresu funkcji y f x						o x.

2.3. Metody badania asymptot niepionowych Badanie asymptot dla x i dla

reguła jest przeprowadzana osobno.

1 Będziemy używać tego symbolu również do oznaczenia spełnienia jednego przypadku

W niektórych szczególnych przypadkach możliwe jest wspólne badanie asymptot w x i w x, na przykład dla

1) funkcje wymierne;

2) funkcje parzyste i nieparzyste, których wykresy można badać na części dziedziny definicji.

Metoda wyboru części głównej. Aby znaleźć asymptotę, wybierz główną część funkcji w punkcie x. Podobnie dla x.

Główna część funkcji ułamkowo wymiernej Wygodnie jest znaleźć, podkreślając całą część ułamka:

Przykład 1. Znajdź asymptoty ukośne wykresu funkcji

f x 2 x 3 x 2 . x 1

fx2x5					o 1 o godz	x, potem prosto

May y 2 x 5 jest pożądaną asymptotą. ◄

Główna część funkcji niewymiernej przy rozwiązywaniu praktycznych przykładów wygodnie jest znaleźć metody przedstawiania funkcji za pomocą wzoru Taylora na x.

Przykład 2. Znajdź asymptotę ukośną wykresu funkcji

x4 3x1

o x.

x 4 o1

dla x, a następnie linia prosta		y x 4 jest pożądaną asymptotą.

		irracjonalny
		fx3		wygodne do znalezienia
	ax2 bx c i		topór3 bx2 cx d

zastosuj metodę izolowania odpowiednio pełnego kwadratu lub pełnego sześcianu wyrażenia radykalnego.

Przykład 3. Znajdź asymptoty skośne wykresu funkcji f x x 2 6 x 14 dla x i x.

W wyrażeniu radykalnym wybieramy pełny kwadrat

x 3 2

5. Ponieważ wykres funkcji

fx jest symetryczny

względem linii prostej x 3 i

następnie f x ~

o x.

x 3 2 5

Więc to jest proste

y x 3 wynosi

asymptota w x i linia prosta y 3 x

Asymptota w

X. ◄

Aby znaleźć asymptoty, możesz skorzystać z metody izolowania części głównej.

Przykład 4. Znajdź asymptoty wykresu funkcji f x 4 x 2 x 2 .

fx2

Taka jest funkcja

ma asymptotę

tak 2x

i asymptota

tak 2x

o godzinie x .◄

Dla funkcji transcendentalnych obie metody są dopuszczalne

podążanie za asymptotami przy rozwiązywaniu praktycznych przykładów.

Uwaga 1. Podczas badania asymptot irracjonalne, transcendentalne funkcje, I funkcje, których wyrażenie analityczne zawiera moduł, Wskazane jest rozważenie dwóch przypadków: x i x. Wspólne badanie asymptot w x i w x może prowadzić do błędów w badaniu. Szukając granic lub części głównej x, należy zmienić zmienną x t.

2.4. Względne położenie wykresu funkcji i jej asymptot

a) Jeżeli funkcja y f x ma asymptotę w x,

jest różniczkowalna i ściśle wypukła w dół na promieniu x x 0, a następnie na wykresie

fic funkcji leży powyżej asymptoty (ryc. 1.1).

b) Jeżeli funkcja y f x ma asymptotę w x,

jest różniczkowalna i ściśle wypukła w górę na promieniu x x 0

wykres funkcji leży poniżej asymptoty (ryc. 1.2).

c) Mogą istnieć inne przypadki zachowania wykresu funkcji zmierzającej do asymptoty. Możliwe jest na przykład, że wykres funkcji przecina asymptotę nieskończoną liczbę razy (ryc. 1.3 i 1.4).

Podobne stwierdzenie jest prawdziwe dla x.

Przed zbadaniem właściwości wypukłości wykresu funkcji można określić względne położenie wykresu funkcji i jego asymptot za pomocą znaku o 1 w metodzie izolowania części głównej.

Przykład 5. Określ względną pozycję wykresu

funkcja f x 2 x 2 3 x 2 i jej asymptoty. x 1

0 w x, wówczas wykres funkcji leży poniżej asymptotyki

ty 2x5. ◄

Przykład 6. Określ względną pozycję wykresu

funkcje fx

x4 3x1

i jego asymptoty dla x.

x 2 1

Od równości

x wynika z tego, że wykres funkcji leży poniżej asymptoty y x 4 . ◄

Przykład 7. Określ względne położenie wykresu funkcji f x x 2 6 x 14 i jej asymptot.

Ponieważ f x x 3 (patrz przykład 3), to

x 3 2 5 x 3

wykres funkcji leży powyżej asymptoty y x 3 w x i w x. ◄

Przykład 8. Określ względną pozycję wykresu

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 i jego asymptoty.

jako x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6 , a następnie użyj

a x 2 3 14 x 6 ,

b x 2 3 , otrzymujemy f x x 2

14x6

3 x 2 3 14 x 6 2

x 2 3

x 2 3 14 x 6

x 2 2

różnica jest dodatnia przy x

i ujemne w x

Dlatego w punkcie x wykres funkcji leży poniżej asymptoty y x 2, a w punkcie x powyżej asymptoty y x 2.◄

Metoda obliczania granic badania asymptot nie pozwala na oszacowanie względnego położenia wykresu funkcji i jej asymptot.

3. Naszkicowanie wykresu funkcji Aby skonstruować szkic wykresu, pionowego i

asymptoty skośne, punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami. Biorąc pod uwagę względne położenie wykresu funkcji i asymptot, konstruuje się szkic wykresu. Jeśli wykres funkcji leży powyżej (poniżej) asymptoty w punkcie x, to zakładając to

istnieje punkt x 0 taki, że wśród punktów x x 0 nie ma punktów przegięcia,

stwierdzamy, że funkcja jest wypukła w dół (w górę), to znaczy do asymptoty. Podobnie można przewidzieć kierunek wypukłości asymptoty dla asymptoty pionowej i dla asymptoty w punkcie x. Jednak jak pokazuje powyższy przykład

funkcja y x sin 2 x , takie założenia nie mogą być x

4. Obszary funkcji rosnącej i malejącej. Minimalna i maksymalna liczba punktów

Definicja 3.	Nazywa się funkcję fx	wzrastający
(malejąco) w przedziale a, b, jeśli w ogóle		x1 , x2 a, b ,
takie, że x 1 x 2	istnieje nierówność	f x1 f x2
(f x1 i x2 ).

Funkcja f x różniczkowalna na przedziale a, b

topi się (maleje) w przedziale a, b, wtedy i tylko wtedy, gdy

funkcja f x .

Warunek konieczny ekstremum. Jeśli

Punkt ex-

tremum funkcji f x , to albo w tym punkcie

f x 0 0 lub

pochodna nie istnieje.

Warunki wystarczające na ekstremum.

fx mechanizm różnicowy

1. Niech istnieje 0 takie, że funkcja

jest promieniowalny w przebitym sąsiedztwie punktu x 0

i ciągłe

w punkcie x0. Następnie,

a) jeśli jego pochodna zmienia znak minus na plus, gdy ponownie

postępuj zgodnie z punktem		x 0,

			x x 0 , x 0 , wtedy x 0 jest punktem maksymalnym
	x 0 dla dowolnego
funkcje f x ;
	b) jeżeli jego pochodna zmienia znak plus na minus przy ponownym
postępuj zgodnie z punktem		x 0,
			te. f x 0 dla dowolnego x x 0 , x 0 ,
			x x 0 , x 0 , wtedy x 0 jest punktem minimalnym
	x 0 dla dowolnego

funkcje f x .

Przykłady modeli obejmują y x (ryc. 2.1) i

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

W tej lekcji przyjrzymy się technice konstruowania szkicu wykresu funkcji i podamy przykłady wyjaśniające.

Temat: Powtórzenie

Lekcja: Szkicowanie wykresu funkcji (na przykładzie funkcji ułamkowo-kwadratowej)

Naszym celem jest naszkicowanie wykresu ułamkowej funkcji kwadratowej. Weźmy na przykład funkcję, którą już znamy:

Podana jest funkcja ułamkowa, której licznik i mianownik zawierają funkcje kwadratowe.

Technika szkicowania jest następująca:

1. Wybierz przedziały o stałym znaku i określ znak funkcji na każdym z nich (rysunek 1)

Zbadaliśmy szczegółowo i odkryliśmy, że funkcja ciągła w ODZ może zmienić znak tylko wtedy, gdy argument przechodzi przez pierwiastki i punkty przerwania ODZ.

Podana funkcja y jest ciągła w swojej ODZ, wskażmy ODZ:

Znajdźmy korzenie:

Podkreślmy przedziały stałości znaku. Znaleźliśmy pierwiastki funkcji i punkty załamania dziedziny definicji - pierwiastki mianownika. Należy zauważyć, że w każdym przedziale funkcja zachowuje swój znak.

Ryż. 1. Przedziały znaku stałego funkcji

Aby wyznaczyć znak funkcji w każdym przedziale, można wziąć dowolny punkt należący do tego przedziału, podstawić go do funkcji i określić jego znak. Na przykład:

Na przedziale funkcja ma znak plus

Na przedziale funkcja ma znak minus.

Na tym polega zaleta metody przedziałowej: wyznaczamy znak w jednym punkcie próbnym i wnioskujemy, że funkcja będzie miała ten sam znak w całym wybranym przedziale.

Można jednak ustawić znaki automatycznie, bez obliczania wartości funkcji, w tym celu należy określić znak w skrajnym odstępie, a następnie zamieniać znaki.

1. Zbudujmy wykres w pobliżu każdego pierwiastka. Przypomnijmy, że pierwiastki tej funkcji i:

Ryż. 2. Wykres w sąsiedztwie korzeni

Ponieważ w pewnym momencie znak funkcji zmienia się z plusa na minus, krzywa najpierw znajduje się nad osią, następnie przechodzi przez zero i następnie znajduje się pod osią x. W pewnym momencie jest odwrotnie.

2. Skonstruujmy wykres w pobliżu każdej nieciągłości ODZ. Przypomnijmy, że pierwiastki mianownika tej funkcji i :

Ryż. 3. Wykres funkcji w sąsiedztwie punktów nieciągłości ODZ

Kiedy lub mianownik ułamka jest praktycznie równy zero, oznacza to, że gdy wartość argumentu dąży do tych liczb, wartość ułamka dąży do nieskończoności. W tym przypadku, gdy argument zbliża się do trójki po lewej stronie, funkcja jest dodatnia i dąży do plus nieskończoności, po prawej funkcja jest ujemna i wykracza poza minus nieskończoność. Przeciwnie, wokół czterech po lewej stronie funkcja zmierza do minus nieskończoności, a po prawej stronie wychodzi plus nieskończoność.

Na podstawie skonstruowanego szkicu możemy odgadnąć charakter zachowania funkcji w niektórych przedziałach.

Ryż. 4. Szkic wykresu funkcji

Rozważmy następujące ważne zadanie - skonstruowanie szkicu wykresu funkcji w sąsiedztwie punktów w nieskończoności, czyli wtedy, gdy argument zmierza do plus lub minus nieskończoności. W takim przypadku składniki stałe można pominąć. Mamy:

Czasami można znaleźć takie nagranie tego faktu:

Ryż. 5. Szkic wykresu funkcji w sąsiedztwie punktów w nieskończoności

Otrzymaliśmy przybliżone zachowanie funkcji w całym jej obszarze definicji, następnie należy udoskonalić konstrukcję za pomocą pochodnej.

Przykład 1 - naszkicuj wykres funkcji:

Mamy trzy punkty, przez które funkcja może zmienić znak po przejściu argumentu.

Wyznaczamy znaki funkcji na każdym przedziale. Mamy plus w skrajnym prawym przedziale, następnie znaki zmieniają się, ponieważ wszystkie pierwiastki mają pierwszy stopień.

Konstruujemy szkic wykresu w sąsiedztwie pierwiastków i punktów przerwania ODZ. Mamy: skoro w pewnym momencie znak funkcji zmienia się z plusa na minus, to krzywa najpierw znajduje się nad osią, potem przechodzi przez zero i dalej znajduje się pod osią x. Kiedy lub mianownik ułamka jest praktycznie równy zero, oznacza to, że gdy wartość argumentu dąży do tych liczb, wartość ułamka dąży do nieskończoności. W tym przypadku, gdy argument zbliża się do minus dwa po lewej stronie, funkcja jest ujemna i dąży do minus nieskończoności, po prawej stronie funkcja jest dodatnia i wychodzi plus nieskończoność. Około dwóch jest tak samo.

Znajdźmy pochodną funkcji:

Oczywiście pochodna jest zawsze mniejsza od zera, dlatego funkcja maleje we wszystkich sekcjach. Zatem w przekroju od minus nieskończoności do minus dwa funkcja maleje od zera do minus nieskończoności; w odcinku od minus dwa do zera funkcja maleje od plus nieskończoności do zera; w odcinku od zera do dwóch funkcja maleje od zera do minus nieskończoności; w odcinku od dwóch do plus nieskończoności funkcja maleje od plus nieskończoności do zera.

Zilustrujmy:

Ryż. 6. Szkic wykresu funkcji np. 1

w x, następnie gra-

tak 2 x 5 . Ponieważ

Funkcje fic kłamią

powyżej asymptoty

Przykład 2 – naszkicuj wykres funkcji:

Budujemy szkic wykresu funkcji bez użycia pochodnej.

Najpierw przeanalizujmy daną funkcję:

Mamy pojedynczy punkt, przez który funkcja może zmienić znak po przejściu argumentu.

Należy pamiętać, że podana funkcja jest nieparzysta.

Wyznaczamy znaki funkcji na każdym przedziale. Mamy plus w skrajnym prawym przedziale, wtedy znak się zmienia, ponieważ pierwiastek ma pierwszy stopień.

Konstruujemy szkic wykresu w pobliżu pierwiastka. Mamy: ponieważ w pewnym momencie znak funkcji zmienia się z minus na plus, krzywa najpierw znajduje się pod osią, potem przechodzi przez zero i dalej znajduje się nad osią x.

Teraz budujemy szkic wykresu funkcji w sąsiedztwie punktów w nieskończoności, czyli gdy argument zmierza do plus lub minus nieskończoności. W takim przypadku składniki stałe można pominąć. Mamy:

Po wykonaniu powyższych kroków wyobrażamy sobie już wykres funkcji, ale musimy go doprecyzować za pomocą pochodnej.

„Zagadnienia pochodne” - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. Jak wyobrażasz sobie prędkość chwilową? Problem z prędkością chwilową. y. Jak wyobrażasz sobie prędkość chwilową? ?X=x-x0. To, co zostało powiedziane, jest zapisane w formularzu. Najpierw zdefiniowaliśmy „terytorium” naszych badań. Al go r i t m. Prędkość v stopniowo wzrasta.

„Badanie funkcji pochodnej” - Działo strzela pod kątem do horyzontu. Opcja 1 A B D Opcja 2 G B B. Miejska placówka oświatowa Liceum Meshkovskaya Nauczyciel matematyki Kovaleva T.V. Funkcja jest zdefiniowana na odcinku [-4;4] . Jak powiązane są pochodna i funkcja? Odpowiedzi: ZASTOSOWANIE POCHODNEJ DO BADANIA FUNKCJI: funkcje rosnące i malejące. ZADANIE Pamiętacie historię o baronie Munchausenie?

„Pochodna funkcji zespolonej” - Funkcja złożona. Zasada znajdowania pochodnej funkcji zespolonej. Pochodna funkcji prostej. Pochodna funkcji zespolonej. Funkcja złożona: Przykłady:

„Zastosowanie pochodnej do badania funkcji” - 6. -1. 8. Zidentyfikować punkty krytyczne funkcji korzystając z wykresu pochodnej funkcji. 1. =. 1 lipca 1646 - 14 listopada 1716, rozgrzewka. Znak funkcji rosnących i malejących. Określ znak pochodnej funkcji na przedziałach.

„Lekcja o pochodnej funkcji zespolonej” - Pochodna funkcji zespolonej. Oblicz prędkość punktu: a) w chwili t; b) w chwili t=2 s. Znajdź pochodne funkcji: , Jeśli. Brooke Taylor. Znajdź różnicę funkcji: Przy jakich wartościach x zachodzi równość. Punkt porusza się prostoliniowo zgodnie z prawem s(t) = s(t) = (s to droga w metrach, t to czas w sekundach).

„Definicja pochodnej” - 1. Dowód: f(x+ ?x). Niech u(x), v(x) i w(x) będą funkcjami różniczkowalnymi w pewnym przedziale (a; b), C jest stałą. f(x). Równanie prostej ze współczynnikiem kątowym: Korzystając ze wzoru dwumianu Newtona mamy: Twierdzenie. Wtedy: Pochodna funkcji zespolonej.

W sumie odbyło się 31 prezentacji

W tej lekcji przyjrzymy się technice konstruowania szkicu wykresu funkcji i podamy przykłady wyjaśniające.

Temat: Powtórzenie

Lekcja: Szkicowanie wykresu funkcji (na przykładzie funkcji ułamkowo-kwadratowej)

Naszym celem jest naszkicowanie wykresu ułamkowej funkcji kwadratowej. Weźmy na przykład funkcję, którą już znamy:

Podana jest funkcja ułamkowa, której licznik i mianownik zawierają funkcje kwadratowe.

Technika szkicowania jest następująca:

1. Wybierz przedziały o stałym znaku i określ znak funkcji na każdym z nich (rysunek 1)

Zbadaliśmy szczegółowo i odkryliśmy, że funkcja ciągła w ODZ może zmienić znak tylko wtedy, gdy argument przechodzi przez pierwiastki i punkty przerwania ODZ.

Podana funkcja y jest ciągła w swojej ODZ, wskażmy ODZ:

Znajdźmy korzenie:

Ryż. 1. Przedziały znaku stałego funkcji

Aby wyznaczyć znak funkcji w każdym przedziale, można wziąć dowolny punkt należący do tego przedziału, podstawić go do funkcji i określić jego znak. Na przykład:

Na przedziale funkcja ma znak plus

Na przedziale funkcja ma znak minus.

Na tym polega zaleta metody przedziałowej: wyznaczamy znak w jednym punkcie próbnym i wnioskujemy, że funkcja będzie miała ten sam znak w całym wybranym przedziale.

Można jednak ustawić znaki automatycznie, bez obliczania wartości funkcji, w tym celu należy określić znak w skrajnym odstępie, a następnie zamieniać znaki.

1. Zbudujmy wykres w pobliżu każdego pierwiastka. Przypomnijmy, że pierwiastki tej funkcji i:

Ryż. 2. Wykres w sąsiedztwie korzeni

2. Skonstruujmy wykres w pobliżu każdej nieciągłości ODZ. Przypomnijmy, że pierwiastki mianownika tej funkcji i :

Ryż. 3. Wykres funkcji w sąsiedztwie punktów nieciągłości ODZ

Na podstawie skonstruowanego szkicu możemy odgadnąć charakter zachowania funkcji w niektórych przedziałach.

Ryż. 4. Szkic wykresu funkcji

Rozważmy następujące ważne zadanie - skonstruowanie szkicu wykresu funkcji w sąsiedztwie punktów w nieskończoności, tj. gdy argument zmierza do plus lub minus nieskończoności. W takim przypadku składniki stałe można pominąć. Mamy:

Czasami można znaleźć takie nagranie tego faktu:

Ryż. 5. Szkic wykresu funkcji w sąsiedztwie punktów w nieskończoności

Otrzymaliśmy przybliżone zachowanie funkcji w całym jej obszarze definicji, następnie należy udoskonalić konstrukcję za pomocą pochodnej.

Przykład 1 - naszkicuj wykres funkcji:

Mamy trzy punkty, przez które funkcja może zmienić znak po przejściu argumentu.

Wyznaczamy znaki funkcji na każdym przedziale. Mamy plus w skrajnym prawym przedziale, następnie znaki zmieniają się, ponieważ wszystkie pierwiastki mają pierwszy stopień.

Znajdźmy pochodną funkcji:

Zilustrujmy:

Ryż. 6. Szkic wykresu funkcji np. 1

Przykład 2 – naszkicuj wykres funkcji:

Budujemy szkic wykresu funkcji bez użycia pochodnej.

Najpierw przeanalizujmy daną funkcję:

Mamy pojedynczy punkt, przez który funkcja może zmienić znak po przejściu argumentu.

Należy pamiętać, że podana funkcja jest nieparzysta.

Wyznaczamy znaki funkcji na każdym przedziale. Mamy plus w skrajnym prawym przedziale, wtedy znak się zmienia, ponieważ pierwiastek ma pierwszy stopień.

Konstruujemy teraz szkic wykresu funkcji w sąsiedztwie punktów w nieskończoności, tj. gdy argument zmierza do plus lub minus nieskończoności. W takim przypadku składniki stałe można pominąć. Mamy:

Po wykonaniu powyższych kroków wyobrażamy sobie już wykres funkcji, ale musimy go doprecyzować za pomocą pochodnej.

Znajdźmy pochodną funkcji:

Wybieramy przedziały znaku stałego pochodnej: przy . OZ tutaj. Mamy zatem trzy przedziały stałego znaku pochodnej i trzy odcinki monotoniczności pierwotnej funkcji. Wyznaczmy znaki pochodnej na każdym przedziale. Gdy pochodna jest dodatnia, funkcja rośnie; gdy pochodna jest ujemna, funkcja jest malejąca. W tym przypadku - punkt minimalny, ponieważ pochodna zmienia znak z minus na plus; wręcz przeciwnie, punkt maksymalny.