Jak znaleźć bezpośrednią lub odwrotną proporcjonalność. Bezpośrednia proporcjonalność
Przykład
1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.Czynnik proporcjonalności
Nazywa się stałą zależnością wielkości proporcjonalnych współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę drugiej.
Bezpośrednia proporcjonalność
Bezpośrednia proporcjonalność- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, zmienne te ulegają zmianie proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmieni się dwukrotnie w dowolnym kierunku, wówczas funkcja również zmieni się dwukrotnie w tym samym kierunku.
Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako wzór:
F(X) = AX,A = CoNST
Odwrotna proporcjonalność
Odwrotna proporcjonalność- jest to zależność funkcjonalna, w której wzrost wartości niezależnej (argumentu) powoduje proporcjonalne zmniejszenie wartości zależnej (funkcji).
Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako wzór:
Właściwości funkcji:
Źródła
Fundacja Wikimedia. 2010.
O zaletach nauki z wykorzystaniem lekcji wideo można mówić bez końca. Po pierwsze, przedstawiają swoje myśli w sposób jasny i zrozumiały, spójny i ustrukturyzowany. Po drugie, zajmują one określony czas i nie są często przeciągające się i nużące. Po trzecie, są one dla uczniów bardziej ekscytujące niż zwykłe lekcje, do których są przyzwyczajeni. Można je oglądać w spokojnym otoczeniu.
W wielu zadaniach z matematyki uczniowie klasy 6 będą mieli do czynienia z zależnościami bezpośrednimi i odwrotnymi proporcjonalnymi. Zanim zaczniesz studiować ten temat, warto przypomnieć sobie, jakie są proporcje i jakie mają podstawowe właściwości.
Poprzednia lekcja wideo poświęcona jest tematowi „Proporcje”. To jest logiczna kontynuacja. Warto zaznaczyć, że temat jest dość ważny i często spotykany. Warto raz na zawsze dobrze zrozumieć.
Aby pokazać wagę tematu, lekcja wideo rozpoczyna się od zadania. Stan pojawia się na ekranie i jest ogłaszany przez spikera. Zapis danych podawany jest w formie pewnego rodzaju diagramu, tak aby uczeń oglądający nagranie wideo mógł jak najlepiej zrozumieć. Byłoby lepiej, gdyby na początku trzymał się tej formy nagrywania.
Nieznane, jak to zwykle bywa, oznacza się łacińską literą x. Aby go znaleźć, musisz najpierw pomnożyć wartości na krzyż. W ten sposób uzyskana zostanie równość obu stosunków. Sugeruje to, że ma to związek z proporcjami i warto pamiętać o ich głównej właściwości. Należy pamiętać, że wszystkie wartości są podawane w tej samej jednostce miary. W przeciwnym razie konieczne było zredukowanie ich do jednego wymiaru.
Po obejrzeniu sposobu rozwiązania na filmie nie powinieneś mieć żadnych trudności z takimi problemami. Spiker komentuje każdy ruch, wyjaśnia wszystkie czynności i przypomina wykorzystany przestudiowany materiał.
Natychmiast po obejrzeniu pierwszej części lekcji wideo „Zależności bezpośrednie i odwrotne proporcjonalne” możesz poprosić ucznia o rozwiązanie tego samego problemu bez pomocy wskazówek. Następnie możesz zaproponować alternatywne zadanie.
W zależności od możliwości umysłowych ucznia, trudność kolejnych zadań można stopniowo zwiększać.
Po rozważeniu pierwszego problemu podana jest definicja wielkości wprost proporcjonalnych. Definicję odczytuje spiker. Główna koncepcja została zaznaczona na czerwono.
Następnie ukazano kolejny problem, na podstawie którego wyjaśniono zależność odwrotną proporcjonalności. Najlepiej będzie, jeśli uczeń zanotuje te pojęcia w zeszycie. Jeśli to konieczne, wcześniej testy, uczeń może łatwo znaleźć wszystkie zasady i definicje i przeczytać je ponownie.
Po obejrzeniu tego filmu uczeń szóstej klasy będzie wiedział, jak stosować proporcje w określonych zadaniach. Jest to dość ważny temat, którego w żadnym wypadku nie można pominąć. Jeśli uczeń nie jest w stanie dostrzec materiału prezentowanego przez nauczyciela na lekcji wśród innych uczniów, wówczas takie środki edukacyjne będą wielkim wybawieniem!
Ukończył: Chepkasov Rodion
Uczeń klasy 6
MBOU „Szkoła Średnia nr 53”
Barnauł
Kierownik: Bulykina O.G.
nauczyciel matematyki
MBOU „Szkoła Średnia nr 53”
Barnauł
Wstęp. 1
Zależności i proporcje. 3
Zależności bezpośrednie i odwrotne proporcjonalne. 4
Zastosowanie metody bezpośredniej i odwrotnie proporcjonalnej 6
zależności przy rozwiązywaniu różnych problemów.
Wniosek. jedenaście
Literatura. 12
Wstęp.
Słowo proporcja pochodzi od łacińskiego słowa proporcja, które ogólnie oznacza proporcjonalność, wyrównanie części (pewny stosunek części do siebie). W czasach starożytnych pitagorejczycy wysoko cenili naukę o proporcjach. Z proporcjami kojarzyli myśli o porządku i pięknie w przyrodzie, o akordach spółgłoskowych w muzyce i harmonii we wszechświecie. Niektóre typy proporcji nazywali muzycznymi lub harmonicznymi.
Już w starożytności człowiek odkrył, że wszystkie zjawiska w przyrodzie są ze sobą powiązane, że wszystko podlega ciągłemu ruchowi, zmianom, a wyrażone w liczbach ujawnia niesamowite wzory.
Pitagorejczycy i ich zwolennicy szukali wszystkiego na świecie wyrażenie numeryczne. Oni odkryli; że u podstaw muzyki leżą matematyczne proporcje (stosunek długości struny do wysokości dźwięku, związek między interwałami, stosunek dźwięków w akordach dających dźwięk harmoniczny). Pitagorejczycy próbowali matematycznie uzasadnić ideę jedności świata i argumentowali, że podstawą wszechświata są symetryczne kształty geometryczne. Pitagorejczycy poszukiwali matematycznych podstaw piękna.
Za pitagorejczykami średniowieczny uczony Augustyn nazwał piękno „równością liczbową”. Filozof scholastyczny Bonawentura napisał: „Nie ma piękna i przyjemności bez proporcjonalności, a proporcjonalność istnieje przede wszystkim w liczbach. Konieczne jest, aby wszystko było policzalne”. O zastosowaniu proporcji w sztuce Leonardo da Vinci pisał w swoim traktacie o malarstwie: „Malarz ucieleśnia w formie proporcji te same wzory ukryte w naturze, które uczony zna w formie prawa liczbowego”.
Proporcje stosowano do rozwiązywania różnych problemów zarówno w starożytności, jak i w średniowieczu. Niektóre rodzaje problemów można teraz łatwo i szybko rozwiązać za pomocą proporcji. Proporcje i proporcjonalność były i są stosowane nie tylko w matematyce, ale także w architekturze i sztuce. Proporcja w architekturze i sztuce oznacza zachowanie pewnych relacji pomiędzy wielkościami różne części budynek, figura, rzeźba lub inne dzieło sztuki. Proporcjonalność w takich przypadkach jest warunkiem prawidłowej i pięknej konstrukcji i przedstawienia
W mojej pracy starałem się rozważyć zastosowanie zależności bezpośrednich i odwrotnych proporcjonalności różne obszary otaczające życie, prześledź powiązanie z przedmiotami akademickimi poprzez zadania.
Zależności i proporcje.
Nazywa się ilorazem dwóch liczb postawa te liczby.
Pokazuje postawę, ile razy pierwsza liczba jest większa od drugiej lub jaką część drugiej stanowi pierwsza liczba.
Zadanie.
Do sklepu przywieziono 2,4 tony gruszek i 3,6 tony jabłek. Jaką część przyniesionych owoców stanowią gruszki?
Rozwiązanie . Zobaczmy, ile przyniosły owoców: 2,4+3,6=6(t). Aby dowiedzieć się, jaką częścią przyniesionych owoców są gruszki, wykonujemy stosunek 2,4:6=. Odpowiedź można również zapisać w formularzu dziesiętny lub jako procent: = 0,4 = 40%.
Wzajemnie odwrotne zwany liczby, którego iloczyny są równe 1. Dlatego związek nazywa się odwrotnością związku.
Rozważmy dwa równe stosunki: 4,5:3 i 6:4. Postawmy między nimi znak równości i uzyskajmy proporcję: 4,5:3=6:4.
Proporcja jest równością dwóch relacji: a : b =c :d lub = 
, gdzie a i d są ekstremalni członkowie proporcje, cib – przeciętnych członków(wszystkie wyrazy proporcji są różne od zera).
Podstawowa własność proporcji:
we właściwej proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.
Stosując przemienność mnożenia, stwierdzamy, że we właściwej proporcji możliwa jest zamiana wyrazów skrajnych lub środkowych. Wynikowe proporcje również będą prawidłowe.
Korzystając z podstawowej właściwości proporcji, możesz znaleźć jej nieznany termin, jeśli znane są wszystkie inne terminy.
Aby znaleźć nieznany skrajny wyraz proporcji, należy pomnożyć średnie wyrazy i podzielić przez znany ekstremalny wyraz. x: b = do: re, x = 
Aby znaleźć nieznane przeciętny członek proporcje, należy pomnożyć skrajne wyrazy i podzielić przez znany średni wyraz. a: b =x: re, x = 
.
Zależności bezpośrednie i odwrotne proporcjonalne.
Wartości dwóch różnych wielkości mogą być od siebie wzajemnie zależne. Zatem pole kwadratu zależy od długości jego boku i odwrotnie - długość boku kwadratu zależy od jego powierzchni.
Mówi się, że dwie wielkości są proporcjonalne, jeśli wraz ze wzrostem
(zmniejsza) jeden z nich kilka razy, drugi zwiększa (zmniejsza) tę samą liczbę razy.
Jeśli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, wówczas stosunki odpowiednich wartości tych wielkości są równe.
Przykład bezpośrednia zależność proporcjonalna .
Na stacji benzynowej 2 litry benzyny ważą 1,6 kg. Ile będą ważyć? 5 litrów benzyny?
Rozwiązanie:
Masa nafty jest proporcjonalna do jej objętości.
2l - 1,6 kg
5l - x kg
2:5=1,6:x,
x=5*1,6 x=4
Odpowiedź: 4 kg.
Tutaj stosunek masy do objętości pozostaje niezmieniony.
Dwie wielkości nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi, jeśli jedna z nich kilkakrotnie wzrasta (zmniejsza się), a druga zmniejsza się (zwiększa) o tę samą wielkość.
Jeśli ilości są odwrotnie proporcjonalne, wówczas stosunek wartości jednej wielkości jest równy odwrotnemu stosunkowi odpowiednich wartości innej wielkości.
P przykładzależność odwrotnie proporcjonalna.
Dwa prostokąty mają takie same pola. Długość pierwszego prostokąta wynosi 3,6 m, a szerokość 2,4 m. Długość drugiego prostokąta wynosi 4,8 m. Oblicz szerokość drugiego prostokąta.
Rozwiązanie:
1 prostokąt 3,6 m 2,4 m
2 prostokąty 4,8 m x m
3,6 m x m
4,8 m 2,4 m
x = 3,6*2,4 = 1,8 m
Odpowiedź: 1,8 m.
Jak widzimy, zadania dla ilości proporcjonalne można rozwiązać za pomocą proporcji.
Nie każde dwie wielkości są wprost proporcjonalne lub odwrotnie proporcjonalne. Na przykład wzrost dziecka wzrasta wraz ze wzrostem jego wieku, ale wartości te nie są proporcjonalne, ponieważ gdy wiek się podwoi, wzrost dziecka nie podwoi się.
Praktyczne użycie zależność bezpośrednia i odwrotna proporcjonalna.
Zadanie nr 1
Biblioteka szkolna posiada 210 podręczników do matematyki, co stanowi 15% całego księgozbioru. Ile książek znajduje się w księgozbiorze biblioteki?
Rozwiązanie:
Razem podręczniki -? - 100%
Matematycy - 210 -15%
15% 210 akademickich
X = 100* 210 = 1400 podręczników
100% x konto. 15
Odpowiedź: 1400 podręczników.
Problem nr 2
Rowerzysta w ciągu 3 godzin pokonuje 75 km. W jakim czasie rowerzysta przejedzie 125 km z tą samą prędkością?
Rozwiązanie:
3 godz. – 75 km
H. – 125 km
Czas i odległość są zatem wielkościami wprost proporcjonalnymi
3: x = 75: 125,
x= 
,
x=5.
Odpowiedź: za 5 godzin.
Zadanie nr 3
8 identycznych rur napełnia basen w 25 minut. Ile minut zajmie napełnienie basenu 10 takimi rurami?
Rozwiązanie:
8 rur – 25 minut
10 rur -? minuty
Liczba rur jest odwrotnie proporcjonalna do czasu, tzw
8:10 = x:25,
x = 
x = 20
Odpowiedź: za 20 minut.
Problem nr 4
Zespół 8 pracowników wykonuje zadanie w 15 dni. Ilu pracowników jest w stanie wykonać zadanie w ciągu 10 dni, pracując przy tej samej wydajności?
Rozwiązanie:
8 dni roboczych – 15 dni
Pracownicy - 10 dni
Liczba pracowników jest odwrotnie proporcjonalna do liczby dni, tzw
x: 8 = 15: 10,
x= 
,
x=12.
Odpowiedź: 12 pracowników.
Problem nr 5
Z 5,6 kg pomidorów otrzymuje się 2 litry sosu. Ile litrów sosu można uzyskać z 54 kg pomidorów?
Rozwiązanie:
5,6 kg – 2 l
54 kg - ? l
Liczba kilogramów pomidorów jest zatem wprost proporcjonalna do ilości otrzymanego sosu
5,6:54 = 2:x,
x = 
,
x = 19.
Odpowiedź: 19 l.
Problem nr 6
Do ogrzania budynku szkolnego magazynowano węgiel przez 180 dni według zużycia
0,6 tony węgla dziennie. Na ile dni wystarczy ta podaż, jeśli dziennie zużywa się 0,5 tony?
Rozwiązanie:
Liczba dni
Wskaźnik zużycia
Liczba dni jest zatem odwrotnie proporcjonalna do tempa zużycia węgla
180: x = 0,5: 0,6,
x = 180*0,6:0,5,
x = 216.
Odpowiedź: 216 dni.
Problem nr 7
W rudzie żelaza na każde 7 części żelaza przypada 3 części zanieczyszczeń. Ile ton zanieczyszczeń znajduje się w rudzie zawierającej 73,5 tony żelaza?
Rozwiązanie:
Liczba części
Waga
Żelazo
73,5
Zanieczyszczenia
Liczba części jest zatem wprost proporcjonalna do masy
7: 73,5 = 3: x.
x = 73,5 * 3:7,
x = 31,5.
Odpowiedź: 31,5 t
Problem nr 8
Samochód przejechał 500 km, spalając 35 litrów benzyny. Ile litrów benzyny potrzeba na przejechanie 420 km?
Rozwiązanie:
Odległość, km
Benzyna, l
Odległość jest wprost proporcjonalna do zużycia benzyny, tzw
500:35 = 420:x,
x = 35*420:500,
x = 29,4.
Odpowiedź: 29,4 l
Problem nr 9
W ciągu 2 godzin złowiliśmy 12 karaśów. Ile karaśów złowi się w ciągu 3 godzin?
Rozwiązanie:
Liczba karaśów nie zależy od czasu. Wielkości te nie są ani bezpośrednio proporcjonalne, ani odwrotnie proporcjonalne.
Odpowiedź: Nie ma odpowiedzi.
Problem nr 10
Przedsiębiorstwo górnicze musi kupić 5 nowych maszyn za określoną kwotę po 12 tysięcy rubli za sztukę. Ile takich maszyn może kupić przedsiębiorstwo, jeśli cena za jedną maszynę wyniesie 15 tysięcy rubli?
Rozwiązanie:
Liczba samochodów, szt.
Cena, tysiąc rubli
Liczba samochodów jest odwrotnie proporcjonalna do kosztów, tzw
5:x = 15:12,
x=5*12:15,
x=4.
Odpowiedź: 4 samochody.
Zadanie nr 11
W mieście N na placu P znajduje się sklep, którego właściciel jest tak rygorystyczny, że za spóźnienie potrąca z wynagrodzenia 70 rubli za 1 spóźnienie dziennie. W jednym dziale pracują dwie dziewczyny, Julia i Natasza. Ich płaca zależy od ilości dni roboczych. Julia otrzymała 4100 rubli w 20 dni, a Natasza powinna otrzymać więcej w 21 dni, ale spóźniała się przez 3 dni z rzędu. Ile rubli otrzyma Natasza?
Rozwiązanie:
Dni pracy
Wynagrodzenie, pocierać.
Julia
4100
Natasza
Dlatego wynagrodzenie jest wprost proporcjonalne do liczby dni pracy
20:21 = 4100:x,
x=4305.
4305 rub. Natasza powinna to otrzymać.
4305 – 3*70 = 4095 (pocierać)
Odpowiedź: Natasza otrzyma 4095 rubli.
Zadanie nr 12
Odległość między dwoma miastami na mapie wynosi 6 cm. Znajdź odległość między tymi miastami na ziemi, jeśli skala mapy wynosi 1:250000.
Rozwiązanie:
Oznaczmy odległość między miastami w terenie przez x (w centymetrach) i znajdźmy stosunek długości odcinka na mapie do odległości w terenie, która będzie równa skali mapy: 6: x = 1 : 250000,
x = 6*250000,
x = 1500000.
1500000 cm = 15 km
Odpowiedź: 15 km.
Zadanie nr 13
4000 g roztworu zawiera 80 g soli. Jakie jest stężenie soli w to rozwiązanie?
Rozwiązanie:
Waga, gr
Stężenie,%
Rozwiązanie
4000
Sól
4000: 80 = 100: x,
x = 
,
x = 2.
Odpowiedź: Stężenie soli wynosi 2%.
Zadanie nr 14
Bank udziela kredytu na 10% w skali roku. Otrzymałeś pożyczkę w wysokości 50 000 rubli. Ile powinieneś zwrócić do banku w ciągu roku?
Rozwiązanie:
50 000 rubli.
100%
x pocierać.
50000:x = 100:10,
x= 50000*10:100,
x=5000.
5000 rubli. wynosi 10%.
50 000 + 5000=55 000 (rub.)
Odpowiedź: za rok bank odzyska 55 000 rubli.
Wniosek.
Jak widać z podanych przykładów, zależności bezpośrednie i odwrotnie proporcjonalne mają zastosowanie w różnych obszarach życia:
Ekonomia,
Handel,
W produkcji i przemyśle,
Gotowanie,
Budownictwo i architektura.
Sporty,
Hodowla zwierząt,
Topografie,
Fizycy,
Chemia itp.
W języku rosyjskim są także przysłowia i powiedzenia, które ustanawiają bezpośrednie i odwrotna relacja:
Jak powróci, tak zareaguje.
Im wyższy kikut, tym wyższy cień.
Im więcej ludzi, tym mniej tlenu.
I gotowe, ale głupie.
Matematyka jest jedną z nauki starożytne powstał na bazie potrzeb i pragnień ludzkości. Przejrzałem historię formacji od tego czasu Starożytna Grecja, nadal pozostaje aktualne i konieczne Życie codzienne jakakolwiek osoba. Pojęcie bezpośredniej i odwrotnej proporcjonalności znane jest od czasów starożytnych, ponieważ to właśnie prawa proporcji motywowały architektów podczas jakiejkolwiek budowy lub tworzenia jakiejkolwiek rzeźby.
Wiedza o proporcjach jest szeroko stosowana we wszystkich sferach życia i działalności człowieka - nie można się bez niej obejść przy malowaniu (pejzaże, martwe natury, portrety itp.), jest także powszechna wśród architektów i inżynierów - w ogóle trudno wyobraź sobie stworzenie czegokolwiek bez wykorzystania wiedzy o proporcjach i ich relacjach.
Literatura.
Matematyka-6, N.Ya. Vilenkin i in.
Algebra -7, G.V. Dorofeev i inni.
Matematyka-9, GIA-9, pod red. F.F. Łysenko, S.Yu. Kułabuchowa
Matematyka-6, materiały dydaktyczne, P.V. Czulkow, A.B. Edinov
Problemy z matematyką dla klas 4-5, I.V. Baranova i in., M. „Prosveshchenie” 1988
Zbiór problemów i przykładów w klasach matematycznych 5-6, N.A. Tereszyn,
T.N. Tereshina, M. „Akwarium” 1997
I. Wielkości wprost proporcjonalne.
Niech wartość y zależy od rozmiaru X. Jeśli przy zwiększaniu X kilka razy większy Na wzrasta o tę samą kwotę, to takie wartości X I Na nazywane są wprost proporcjonalnymi.
Przykłady.
1 . Ilość zakupionego towaru i cena zakupu (przy stałej cenie za jednostkę towaru – 1 sztuka lub 1 kg itp.) Ile razy więcej towarów kupiono, tym więcej razy więcej zapłacono.
2 . Przebyta odległość i czas na niej spędzony (z stała prędkość).Ile razy dłuższa jest ścieżka, ile razy więcej czasu zajmie jej pokonanie.
3 . Objętość ciała i jego masa. ( Jeśli jeden arbuz jest 2 razy większy od drugiego, wówczas jego masa będzie 2 razy większa)
II. Własność bezpośredniej proporcjonalności wielkości.
Jeżeli dwie wielkości są wprost proporcjonalne, wówczas stosunek dwóch dowolnie przyjętych wartości pierwszej wielkości jest równy stosunkowi dwóch odpowiednich wartości drugiej wielkości.
Zadanie 1. Na dżem malinowy wzięliśmy 12 kg maliny i 8 kg Sahara. Ile cukru będziesz potrzebować, jeśli go weźmiesz? 9 kg maliny?
Rozwiązanie.
Rozumujemy w ten sposób: niech to będzie konieczne x kg cukier za 9 kg maliny Masa malin i masa cukru to wielkości wprost proporcjonalne: ile razy mniej jest malin, tyle samo razy mniej cukru potrzeba. Dlatego stosunek zebranych malin (wagowo) ( 12:9 ) będzie równy stosunkowi przyjętego cukru ( 8:x). Otrzymujemy proporcję:
12: 9=8: X;
x=9 · 8: 12;
x=6. Odpowiedź: NA 9 kg maliny trzeba wziąć 6 kg Sahara.
Rozwiązanie problemu Można to zrobić w ten sposób:
Udać 9 kg maliny trzeba wziąć x kg Sahara.
(Strzałki na rysunku są skierowane w jednym kierunku, w górę lub w dół nie ma znaczenia. Znaczenie: ile razy liczba 12 więcej numeru 9 , tyle samo razy 8 więcej numeru X, czyli istnieje bezpośrednia zależność).
Odpowiedź: NA 9 kg Muszę zjeść trochę malin 6 kg Sahara.
Zadanie 2. Samochód dla 3 godziny przebył dystans 264 km. Ile czasu zajmie mu podróż? 440 km, jeśli jedzie z tą samą prędkością?
Rozwiązanie.
Pozwól na x godzin samochód pokona tę odległość 440 km.
Odpowiedź: samochód przejedzie 440 km w 5 godzin.
Zadanie 3. Woda przepływa z rury do basenu. Za 2 godziny ona wypełnia 1/5 basen W której części basenu znajduje się woda Godzina piąta?
Rozwiązanie.
Odpowiadamy na pytanie zadania: za Godzina piąta zostanie wypełniony 1/x część basenu. (Cały basen traktowany jest jako jedna całość).