Wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne. Zależności bezpośrednie i odwrotne proporcjonalne

Przykład

1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.

Współczynnik proporcjonalności

Nazywa się stały stosunek wielkości proporcjonalnych współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę innej wielkości.

Bezpośrednia proporcjonalność

Bezpośrednia proporcjonalność- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, te zmienne się zmieniają proporcjonalnie, w równych częściach, to znaczy, jeśli argument zmienił się dwukrotnie w dowolnym kierunku, to funkcja również zmieni się dwukrotnie w tym samym kierunku.

Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako wzór:

F(X) = AX,A = CoNST

Odwrotna proporcjonalność

Odwrotna proporcja- jest to zależność funkcyjna, w której wzrost wartości (argumentu) niezależnej powoduje proporcjonalne zmniejszenie wartości (funkcji) zależnej.

Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako wzór:

Właściwości funkcji:

Źródła

Fundacja Wikimedia. 2010 .

Drugie prawo Newtona
Bariera Coulomba

Zobacz, czym jest „Bezpośrednia proporcjonalność” w innych słownikach:

bezpośrednia proporcjonalność- - [AS Goldberg. Angielsko-rosyjski słownik energetyczny. 2006] Tematy energia ogólnie EN stosunek bezpośredni … Podręcznik tłumacza technicznego

bezpośrednia proporcjonalność- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. bezpośrednia proporcjonalność vok. direkte Proportionalitat, f rus. bezpośrednia proporcjonalność, f pranc. rationalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCJONALNOŚĆ- (z łac. proporcjonalna proporcjonalna, proporcjonalna). Proporcjonalność. Słownik obcojęzyczne słowa zawarte w języku rosyjskim. Chudinov A.N., 1910. PROPORCJONALNOŚĆ otlat. proporcjonalny, proporcjonalny. Proporcjonalność. Wyjaśnienie 25000… … Słownik obcych słów języka rosyjskiego

PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ, proporcjonalność, pl. nie, kobieto (książka). 1. rozproszenie uwagi rzeczownik do proporcjonalnego. Proporcjonalność części. Proporcjonalność ciała. 2. Taki związek między ilościami, gdy są one proporcjonalne (patrz proporcjonalne ... Słownik Uszakow

Proporcjonalność- Dwie wzajemnie zależne wielkości nazywane są proporcjonalnymi, jeśli stosunek ich wartości pozostaje niezmieniony. Spis treści 1 Przykład 2 Współczynnik proporcjonalności ... Wikipedia

PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ i żony. 1. patrz proporcjonalny. 2. W matematyce: taki związek między wielkościami, kiedy wzrost jednej z nich pociąga za sobą zmianę drugiej o tę samą wartość. Bezpośredni p. (przy cięciu ze wzrostem o jedną wartość ... ... Słownik wyjaśniający Ożegowa

proporcjonalność- I; I. 1. do proporcjonalnego (1 cyfra); proporcjonalność. P. części. P. budowa ciała. P. reprezentacja w parlamencie. 2. Matematyka. Zależność między proporcjonalnie zmieniającymi się wielkościami. Współczynnik proporcjonalności. Bezpośredni p. (W którym z ... ... słownik encyklopedyczny

Podstawowe cele:

wprowadzić pojęcie bezpośredniej i odwrotnej proporcjonalnej zależności wielkości;
uczyć rozwiązywania problemów z wykorzystaniem tych zależności;
promować rozwój umiejętności rozwiązywania problemów;
utrwalić umiejętność rozwiązywania równań za pomocą proporcji;
powtórz kroki ze zwykłymi i dziesiętne;
rozwijać logiczne myślenie uczniów.

PODCZAS ZAJĘĆ

I. Samostanowienie do działania(czas organizacji)

- Chłopaki! Dzisiaj na lekcji zapoznamy się z problemami rozwiązywanymi za pomocą proporcji.

II. Aktualizowanie wiedzy i usuwanie trudności w działaniach

2.1. praca ustna (3 minuty)

- Znajdź znaczenie wyrażeń i znajdź słowo zaszyfrowane w odpowiedziach.

14 - s; 0,1 - i; 7 - l; 0,2 - a; 17 - w; 25 - do

- Padło słowo - siła. Dobrze zrobiony!
- Motto naszej dzisiejszej lekcji: Potęga tkwi w wiedzy! Szukam - więc się uczę!
- Zrób proporcję otrzymanych liczb. (14:7=0,2:0,1 itd.)

2.2. Rozważ związek między znanymi wielkościami (7 minut)

- droga przebyta przez samochód ze stałą prędkością i czas jego ruchu: S = v t ( wraz ze wzrostem prędkości (czasu) ścieżka wzrasta);
- prędkość samochodu i czas spędzony na drodze: v=S:t(wraz ze wzrostem czasu przebycia ścieżki prędkość maleje);
– koszt towaru zakupionego po jednej cenie i jego ilość: C \u003d a n (wraz ze wzrostem (spadkiem) ceny koszt zakupu wzrasta (spada);
- cena produktu i jego ilość: a \u003d C: n (wraz ze wzrostem ilości cena spada)
- obszar prostokąta i jego długość (szerokość): S = a b (wraz ze wzrostem długości (szerokości) obszar wzrasta;
- długość prostokąta i szerokość: a = S: b (wraz ze wzrostem długości szerokość maleje;
- liczba pracowników wykonujących jakąś pracę przy tej samej wydajności pracy oraz czas potrzebny na jej wykonanie: t \u003d A: n (wraz ze wzrostem liczby pracowników czas spędzony na wykonywaniu pracy maleje) itp. .

Otrzymaliśmy zależności, w których przy kilkukrotnym wzroście jednej wartości druga od razu zwiększa się o tę samą wielkość (przykłady pokazane strzałkami) oraz zależności, w których przy kilkukrotnym wzroście jednej wartości druga wartość maleje o tyle samo razy.
Takie relacje nazywane są proporcjami prostymi i odwrotnymi.
Zależność wprost proporcjonalna- zależność, w której przy kilkukrotnym wzroście (spadku) jednej wartości druga wartość wzrasta (spada) o tę samą wartość.
Odwrotna zależność proporcjonalna- zależność, w której przy kilkukrotnym wzroście (spadku) jednej wartości druga wartość maleje (rośnie) o tę samą wartość.

III. Zestawienie zadania uczenia się

Jaki mamy problem? (Naucz się rozróżniać relacje bezpośrednie i odwrotne)
- Ten - cel nasza lekcja. Teraz sformułuj temat lekcja. (Proporcjonalność bezpośrednia i odwrotna).
- Dobrze zrobiony! Napisz temat lekcji w zeszytach. (Nauczyciel zapisuje temat na tablicy.)

IV. „Odkrycie” nowej wiedzy(10 minut)

Przeanalizujmy problemy numer 199.

1. Drukarka drukuje 27 stron w 4,5 minuty. Ile czasu zajmie wydrukowanie 300 stron?

27 stron - 4,5 min.
300 s. - x?

2. W pudełku jest 48 paczek herbaty po 250 g każda. Ile opakowań po 150 g wyjdzie z tej herbaty?

48 opakowań - 250 g.
X? - 150 gr.

3. Samochód przejechał 310 km, wydając 25 litrów benzyny. Jak daleko może przejechać samochód na pełnym baku 40 litrów?

310 km - 25 l
X? – 40 litrów

4. Jedno z kół zębatych sprzęgła ma 32 zęby, a drugie 40. Ile obrotów wykona drugie koło zębate, podczas gdy pierwsze wykona 215 obrotów?

32 zęby - 315 obr./min
40 zębów - x?

Aby sporządzić proporcję, potrzebny jest jeden kierunek strzałek, w tym celu w odwrotnej proporcji jeden stosunek zastępuje się odwrotnością.

Na tablicy uczniowie znajdują wartości wielkości, w terenie uczniowie rozwiązują jeden wybrany przez siebie problem.

– Sformułować regułę rozwiązywania problemów z proporcjonalnością bezpośrednią i odwrotną.

Na planszy pojawia się tabela:

V. Konsolidacja pierwotna w mowie zewnętrznej(10 minut)

Zadania na arkuszach:

Z 21 kg nasion bawełny uzyskano 5,1 kg oleju. Ile oleju otrzymamy z 7 kg nasion bawełny?
W celu budowy stadionu 5 buldożerów oczyściło teren w 210 minut. Ile czasu zajęłoby oczyszczenie tego terenu 7 buldożerom?

VI. Niezależna praca z autotestem zgodnie z normą(5 minut)

Dwóch uczniów wykonuje samodzielnie zadania nr 225 na ukrytych tablicach, a reszta w zeszytach. Następnie sprawdzają działanie według algorytmu i porównują z rozwiązaniem na tablicy. Błędy są korygowane, wyjaśniane są ich przyczyny. Jeśli zadanie zostało wykonane, dobrze, to obok uczniów umieść dla siebie znak „+”.
Studenci, którzy popełniają błędy w samodzielnej pracy, mogą skorzystać z pomocy konsultantów.

VII. Włączanie do systemu wiedzy i powtarzanie№ 271, № 270.

Sześć osób pracuje przy tablicy. Po 3–4 minutach uczniowie, którzy pracowali przy tablicy, prezentują swoje rozwiązania, a pozostali sprawdzają zadania i biorą udział w dyskusji.

VIII. Odbicie aktywności (wynik lekcji)

- Czego nowego nauczyłeś się na lekcji?
- Co powtórzyłeś?
Jaki jest algorytm rozwiązywania problemów z proporcjami?
Czy osiągnęliśmy nasz cel?
- Jak oceniasz swoją pracę?

Typy zależności

Rozważ ładowanie baterii. Jako pierwszą wartość przyjmijmy czas ładowania. Druga wartość to czas, przez jaki będzie działać po naładowaniu. Im dłużej bateria jest ładowana, tym dłużej będzie działać. Proces będzie kontynuowany do momentu pełnego naładowania baterii.

Zależność żywotności baterii od czasu jej ładowania

Uwaga 1

Ta zależność nazywa się prosty:

Wraz ze wzrostem jednej wartości rośnie również druga. Gdy jedna wartość maleje, druga wartość również maleje.

Rozważmy inny przykład.

Jak więcej książek przeczytane przez ucznia, tym mniej błędów popełni w dyktandzie. Lub im wyżej wspinasz się po górach, tym niższe będzie ciśnienie atmosferyczne.

Uwaga 2

Ta zależność nazywa się odwracać:

Gdy jedna wartość rośnie, druga maleje. Gdy jedna wartość maleje, druga wartość rośnie.

Zatem w przypadku bezpośrednia zależność obie wielkości zmieniają się w ten sam sposób (zarówno rosną, jak i maleją), aw przypadku odwrotna relacja - przeciwny (jeden rośnie, a drugi maleje lub odwrotnie).

Wyznaczanie zależności między wielkościami

Przykład 1

Czas potrzebny na wizytę u znajomego to 20 $ za minuty. Przy wzroście prędkości (pierwszej wartości) o 2$ dowiemy się, jak zmieni się czas (druga wartość), który spędzimy na drodze do przyjaciela.

Oczywiście czas zmniejszy się o 2 dolary razy.

Uwaga 3

Ta zależność nazywa się proporcjonalny:

Ile razy zmieni się jedna wartość, ile razy zmieni się druga.

Przykład 2

Za bochenek chleba za 2 dolary w sklepie trzeba zapłacić 80 rubli. Jeśli musisz kupić bochenki chleba za 4 $ (ilość chleba wzrasta 2 $ razy), o ile więcej będziesz musiał zapłacić?

Oczywiście koszt również wzrośnie o 2 dolary razy. Mamy przykład zależności proporcjonalnej.

W obu przykładach uwzględniono zależności proporcjonalne. Ale w przykładzie z bochenkami chleba wartości zmieniają się w jednym kierunku, dlatego zależność jest prosty. A w przykładzie z wycieczką do znajomego zależność między prędkością a czasem jest taka odwracać. Tak więc istnieje wprost proporcjonalna zależność I odwrotnie proporcjonalna zależność.

Bezpośrednia proporcjonalność

Rozważ proporcjonalne ilości 2 $: liczbę bochenków chleba i ich koszt. Niech bochenki chleba za 2 dolary kosztują 80 rubli. Wraz ze wzrostem liczby rzutów o 4 $ (8 $ rzutów), ich całkowity koszt wyniesie 320 dolarów rubli.

Stosunek liczby rzutów: $\frac(8)(2)=4$.

Współczynnik kosztu rzutu: $\frac(320)(80)=4$.

Jak widać, te proporcje są sobie równe:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definicja 1

Nazywa się równość dwóch relacji proporcja.

Przy wprost proporcjonalnym stosunku stosunek uzyskuje się, gdy zmiana pierwszej i drugiej wartości jest taka sama:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definicja 2

Te dwie wielkości są nazywane wprost proporcjonalna jeżeli przy zmianie (zwiększeniu lub zmniejszeniu) jednego z nich druga wartość zmieni się (odpowiednio zwiększy się lub zmniejszy) o tę samą wartość.

Przykład 3

Samochód przejechał 180$ km w 2$ godziny. Znajdź czas potrzebny mu na pokonanie 2$ razy tej samej odległości z tą samą prędkością.

Rozwiązanie.

Czas jest wprost proporcjonalny do odległości:

$t=\frac(S)(v)$.

Ile razy zwiększy się odległość stała prędkość, czas zwiększy się o tę samą wartość:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Samochód przejechał 180$ km - w czasie 2$ za godzinę

Samochód przejeżdża $180 \cdot 2=360$ km - w czasie $x$ godzin

Im większy dystans przejedzie samochód, tym więcej czasu mu to zajmie. Dlatego związek między ilościami jest wprost proporcjonalny.

Zróbmy proporcję:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Odpowiedź: Samochód będzie potrzebował 4 $ godzin.

Odwrotna proporcjonalność

Definicja 3

Rozwiązanie.

Czas jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości:

$t=\frac(S)(v)$.

Ile razy prędkość wzrasta, po tej samej ścieżce, czas zmniejsza się o tę samą wartość:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Zapiszmy stan problemu w formie tabeli:

Samochód przejechał 60$ km - w czasie 6$ godzin

Samochód przejeżdża 120$ km - w czasie $x$ godzin

Im szybszy samochód, tym mniej czasu zajmie. Dlatego zależność między wielkościami jest odwrotnie proporcjonalna.

Zróbmy proporcję.

Ponieważ proporcjonalność jest odwrotna, zamieniamy drugi stosunek proporcjonalnie:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Odpowiedź: Samochód będzie potrzebował 3 $ godzin.

Dzisiaj przyjrzymy się, jakie wielkości nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi, jak wygląda wykres odwrotnej proporcjonalności i jak to wszystko może ci się przydać nie tylko na lekcjach matematyki, ale także poza murami szkoły.

Takie różne proporcje

Proporcjonalność wymień dwie wielkości, które są od siebie zależne.

Zależność może być bezpośrednia i odwrotna. Dlatego związek między wielkościami opisuje bezpośrednią i odwrotną proporcjonalność.

Bezpośrednia proporcjonalność- jest to taki związek między dwiema wielkościami, w którym wzrost lub spadek jednej z nich prowadzi do wzrostu lub zmniejszenia drugiej. Te. ich postawa się nie zmienia.

Na przykład, im więcej wysiłku włożysz w przygotowanie się do egzaminów, tym wyższe będą Twoje oceny. Albo im więcej rzeczy zabierasz ze sobą na wędrówkę, tym trudniej jest nieść plecak. Te. ilość wysiłku włożonego w przygotowanie do egzaminów jest wprost proporcjonalna do uzyskanych ocen. A ilość rzeczy spakowanych w plecaku jest wprost proporcjonalna do jego wagi.

Odwrotna proporcjonalność- jest to zależność funkcjonalna, w której kilkukrotne zmniejszenie lub zwiększenie wartości niezależnej (nazywamy to argumentem) powoduje proporcjonalne (tj. o tę samą wielkość) zwiększenie lub zmniejszenie wartości zależnej (nazywa się to funkcjonować).

Zilustrować prosty przykład. Chcesz kupić jabłka na rynku. Jabłka na ladzie i ilość pieniędzy w portfelu są odwrotnie proporcjonalne. Te. im więcej kupisz jabłek, tym mniej pieniędzy ci zostanie.

Funkcja i jej wykres

Funkcję odwrotnej proporcjonalności można opisać jako y = k/x. W którym X≠ 0 i k≠ 0.

Ta funkcja ma następujące właściwości:

Jego dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
Zakres to wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem y= 0. E(y): (-∞; 0) u (0; +∞) .
Nie ma wartości maksymalnych ani minimalnych.
Jest nieparzysta, a jej wykres jest symetryczny względem pochodzenia.
Nieokresowe.
Jego wykres nie przecina osi współrzędnych.
Nie ma zer.
Jeśli k> 0 (czyli argument rośnie), funkcja maleje proporcjonalnie w każdym ze swoich przedziałów. Jeśli k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
W miarę wzrostu argumentu ( k> 0) wartości ujemne funkcje mieszczą się w przedziale (-∞; 0), a dodatnie - (0; +∞). Kiedy argument jest malejący ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Wykres funkcji odwrotnej proporcjonalności nazywa się hiperbolą. Przedstawiony w następujący sposób:

Odwrotne problemy proporcjonalne

Aby to wyjaśnić, spójrzmy na kilka zadań. Nie są zbyt skomplikowane, a ich rozwiązanie pomoże Ci zwizualizować, czym jest odwrotność proporcji i jak ta wiedza może przydać się w Twoim codziennym życiu.

Zadanie numer 1. Samochód porusza się z prędkością 60 km/h. Dotarcie do celu zajęło mu 6 godzin. Ile czasu zajmie mu pokonanie tej samej odległości, jeśli porusza się z dwukrotnie większą prędkością?

Możemy zacząć od zapisania wzoru opisującego zależność czasu, odległości i prędkości: t = S/V. Zgadzam się, to bardzo przypomina nam funkcję odwrotnej proporcjonalności. Oznacza to, że czas, jaki samochód spędza na drodze, i prędkość, z jaką się porusza, są odwrotnie proporcjonalne.

Aby to zweryfikować, znajdźmy V 2, który z założenia jest 2 razy wyższy: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Następnie obliczamy odległość za pomocą wzoru S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie jest trudno znaleźć czas t 2 wymagany od nas w zależności od stanu problemu: t 2 = 360/120 = 3 godziny.

Jak widać, czas podróży i prędkość są rzeczywiście odwrotnie proporcjonalne: przy prędkości 2 razy większej niż oryginalna samochód spędzi 2 razy mniej czasu na drodze.

Rozwiązanie tego problemu można również zapisać jako proporcję. Dlaczego tworzymy taki schemat:

↓ 60 km/h – 6 godz

↓120 km/h – x godz

Strzałki wskazują odwrotną zależność. Sugerują to również przy sporządzaniu proporcji prawa strona rekordy muszą być odwrócone: 60/120 = x/6. Skąd mamy x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 godziny.

Zadanie numer 2. W warsztacie zatrudnionych jest 6 pracowników, którzy zadaną ilość pracy wykonują w ciągu 4 godzin. Jeśli liczba pracowników zmniejszy się o połowę, ile czasu zajmie pozostałym pracownikom wykonanie takiej samej ilości pracy?

Warunki problemu piszemy w formie diagramu wizualnego:

↓ 6 pracowników - 4 godz

↓ 3 robotników - x godz

Zapiszmy to jako proporcję: 6/3 = x/4. I otrzymujemy x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 h. Jeśli pracowników jest 2 razy mniej, reszta poświęci 2 razy więcej czasu na wykonanie całej pracy.

Zadanie numer 3. Do basenu prowadzą dwie rury. Przez jedną rurę woda wpływa z prędkością 2 l / si napełnia basen w 45 minut. Inną rurą basen zostanie napełniony w 75 minut. Jak szybko woda wpływa do basenu przez tę rurę?

Na początek sprowadzimy wszystkie wielkości podane nam zgodnie ze stanem problemu do tych samych jednostek miary. Aby to zrobić, wyrażamy szybkość napełniania basenu w litrach na minutę: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Ponieważ wynika to z warunku, że basen napełnia się wolniej drugą rurą, oznacza to, że prędkość dopływu wody jest mniejsza. Na twarzy odwrotnej proporcji. Wyraźmy nieznaną nam prędkość w postaci x i sporządźmy następujący schemat:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

A potem zrobimy proporcję: 120 / x \u003d 75/45, skąd x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

W zadaniu szybkość napełniania basenu wyrażona jest w litrach na sekundę, sprowadźmy naszą odpowiedź do tej samej postaci: 72/60 = 1,2 l/s.

Zadanie numer 4. Wizytówki drukowane są w małej prywatnej drukarni. Pracownik drukarni pracuje z prędkością 42 wizytówek na godzinę i pracuje na pełny etat - 8 godzin. Gdyby pracował szybciej i drukował 48 wizytówek na godzinę, o ile szybciej mógłby wrócić do domu?

Idziemy w sprawdzony sposób i opracowujemy schemat zgodnie ze stanem problemu, oznaczając pożądaną wartość jako x:

↓ 42 wizytówki/h – 8 godz

↓ 48 wizytówek/h – xh

Przed nami zależność odwrotnie proporcjonalna: ile razy więcej wizytówek wydrukuje pracownik drukarni w ciągu godziny, tyle samo czasu zajmie mu wykonanie tej samej pracy. Wiedząc o tym, możemy ułożyć proporcję:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 godzin.

Tym samym, po wykonaniu pracy w 7 godzin, pracownik drukarni mógł wrócić do domu godzinę wcześniej.

Wniosek

Wydaje nam się, że są to zadania odwrotna proporcjonalność naprawdę nieskomplikowany. Mamy nadzieję, że teraz też tak je postrzegacie. A co najważniejsze, znajomość odwrotnie proporcjonalnej zależności ilości może naprawdę przydać Ci się nie raz.

Nie tylko na lekcjach matematyki i egzaminach. Ale nawet wtedy, gdy wybierasz się na wycieczkę, zakupy, postanawiasz dorobić w wakacje itp.

Powiedz nam w komentarzach, jakie przykłady odwrotnej i bezpośredniej proporcjonalności zauważasz wokół siebie. Niech to będzie gra. Zobaczysz, jakie to ekscytujące. Nie zapomnij udostępnić tego artykułu w sieciach społecznościowych aby twoi przyjaciele i koledzy z klasy również mogli grać.

blog.site, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.