Twierdzenie równoległe linie odcinają równe segmenty. Twierdzenie Talesa. Linia środkowa trójkąta

Temat lekcji

Cele Lekcji

Zapoznaj się z nowymi definicjami i przypomnij sobie niektóre już przestudiowane.
Sformułuj i udowodnij własności kwadratu, udowodnij jego własności.
Naucz się stosować właściwości kształtów w rozwiązywaniu problemów.
Rozwijanie - rozwijanie uwagi uczniów, wytrwałości, wytrwałości, logicznego myślenia, mowy matematycznej.
Edukacyjny - poprzez lekcję pielęgnować uważny stosunek do siebie nawzajem, zaszczepiać umiejętność słuchania towarzyszy, wzajemną pomoc, niezależność.

Cele Lekcji

Sprawdź zdolność uczniów do rozwiązywania problemów.

Plan lekcji

Odniesienie do historii.
Tales jako matematyk i jego dzieła.
Dobrze pamiętać.

Odniesienie do historii

Twierdzenie Talesa jest nadal stosowane w żegludze morskiej jako reguła kolizji poruszających się statków stała prędkość, jest nieuniknione, jeżeli zachowany jest kurs statków względem siebie.

Poza literaturą rosyjskojęzyczną twierdzenie Talesa jest czasami nazywane innym twierdzeniem planimetrii, a mianowicie stwierdzeniem, że kąt wpisany oparty na średnicy koła jest prosty. Odkrycie tego twierdzenia jest rzeczywiście przypisywane Talesowi, o czym świadczy Proklos.

Thales zrozumiał podstawy geometrii w Egipcie.

Odkrycia i zasługi jego autora

Czy wiesz, że Tales z Miletu był jednym z siedmiu najsłynniejszych mędrców ówczesnej Grecji. Założył szkołę jońską. Ideą promowaną przez Talesa w tej szkole była jedność wszystkich rzeczy. Mędrzec wierzył, że istnieje jedno źródło, z którego wszystko pochodzi.

Wielką zasługą Talesa z Miletu jest stworzenie naukowej geometrii. Ta wielka nauka była w stanie stworzyć geometrię dedukcyjną z egipskiej sztuki mierzenia, której podstawą jest wspólny grunt.

Oprócz rozległej wiedzy z geometrii Tales był również dobrze zorientowany w astronomii. Em jako pierwszy przewidział całkowite zaćmienie Słońca. Ale to się nie stało w nowoczesny świat i jeszcze w 585 roku, jeszcze przed naszą erą.

Tales z Miletu był człowiekiem, który zdał sobie sprawę, że północ można dokładnie określić na podstawie konstelacji Ursa Minor. Ale to też nie był on. najnowsze odkrycie, ponieważ potrafił dokładnie określić długość roku, podzielić go na trzysta sześćdziesiąt pięć dni, a także ustalić czas równonocy.

Thales był w rzeczywistości wszechstronnie opracowany i mądry człowiek. Oprócz tego, że zasłynął jako znakomity matematyk, fizyk i astronom, jako prawdziwy meteorolog potrafił dość dokładnie przewidzieć zbiory oliwek.

Ale najbardziej niezwykłą rzeczą jest to, że Tales nigdy nie ograniczał swojej wiedzy tylko do dziedziny naukowej i teoretycznej, ale zawsze starał się skonsolidować dowody swoich teorii w praktyce. A najciekawsze jest to, że wielki mędrzec nie skupiał się na żadnej jednej dziedzinie swojej wiedzy, jego zainteresowania szły w różnych kierunkach.

Imię Talesa już wtedy stało się popularnym imieniem mędrca. Jego znaczenie i znaczenie dla Grecji było tak wielkie, jak imię Łomonosowa dla Rosji. Oczywiście jego mądrość można interpretować na różne sposoby. Ale z całą pewnością możemy powiedzieć, że charakteryzowała go zarówno pomysłowość, jak i pomysłowość praktyczna, a do pewnego stopnia dystans.

Tales z Miletu był znakomitym matematykiem, filozofem, astronomem, uwielbiał podróżować, był kupcem i przedsiębiorcą, zajmował się handlem, a także był dobrym inżynierem, dyplomatą, jasnowidzem i aktywnie uczestniczył w życiu politycznym.

Udało mu się nawet określić wysokość piramidy za pomocą laski i cienia. I tak było. Pewnego pięknego słonecznego dnia Tales położył swoją laskę na granicy, gdzie kończył się cień piramidy. Potem odczekał, aż długość cienia jego laski zrówna się z jego wzrostem, i zmierzył długość cienia piramidy. Wydawałoby się więc, że Tales po prostu określił wysokość piramidy i udowodnił, że długość jednego cienia jest związana z długością drugiego cienia, tak jak wysokość piramidy jest związana z wysokością laski. Uderzyło to samego faraona Amasisa.

Dzięki Talesowi cała znana wówczas wiedza została przeniesiona na pole zainteresowań naukowych. Był w stanie doprowadzić wyniki do poziomu odpowiedniego do spożycia naukowego, podkreślając pewien zestaw pojęć. I być może z pomocą Talesa rozpoczął się późniejszy rozwój starożytnej filozofii.

Twierdzenie Talesa gra jeden ważne role w matematyce. Znana była nie tylko w Starożytny Egipt i Babilonie, ale także w innych krajach i była podstawą rozwoju matematyki. Tak i w Życie codzienne, podczas budowy budynków, budowli, dróg itp. nie można obejść się bez twierdzenia Talesa.

Twierdzenie Talesa w kulturze

Twierdzenie Talesa zasłynęło nie tylko w matematyce, ale zostało również wprowadzone do kultury. Pewnego razu argentyńska grupa muzyczna Les Luthiers (hiszpański) zaprezentowała publiczności piosenkę, którą zadedykowała znanemu twierdzeniu. Członkowie Les Luthiers przedstawili dowód twierdzenia o wprost dla segmentów proporcjonalnych w swoim klipie wideo specjalnie do tej piosenki.

pytania

Jakie proste nazywamy równoległymi?
Gdzie w praktyce stosuje się twierdzenie Talesa?
O czym jest twierdzenie Talesa?

Lista wykorzystanych źródeł

Encyklopedia dla dzieci. T.11. Matematyka / redaktor naczelny MD Aksenova.-m .: Avanta +, 2001.
„Jednolity egzamin państwowy 2006. Matematyka. Materiały edukacyjne i szkoleniowe do przygotowania uczniów / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
LS Atanasyan, VF Butuzov, SB Kadomtsev, EG Poznyak, II Yudina „Geometria, 7 - 9: podręcznik dla instytucji edukacyjnych”

Przedmioty > Matematyka > Matematyka Klasa 8

W twierdzeniu nie ma ograniczeń co do wzajemnego ułożenia siecznych (dotyczy to zarówno prostych przecinających się, jak i równoległych). Nie ma również znaczenia, gdzie odcinki linii znajdują się na siecznych.

Dowód w przypadku linii równoległych

Narysujmy linię BC. Kąty ABC i BCD są równe krzyżykom wewnętrznym leżącym pod prostymi równoległymi AB i CD oraz siecznym BC, a kąty ACB i CBD są równe krzyżykom wewnętrznym leżącym pod prostymi równoległymi AC i BD i siecznymi BC. Wtedy, zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów, trójkąty ABC i DCB są przystające. Oznacza to, że AC = BD i AB = CD. ■

Istnieje również twierdzenie o segmencie proporcjonalnym:

Linie równoległe przecinają proporcjonalne segmenty w siecznych:

\frac(A_1A_2)(B_1B_2)=\frac(A_2A_3)(B_2B_3)=\frac(A_1A_3)(B_1B_3).

Twierdzenie Talesa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia o segmentach proporcjonalnych, ponieważ równe segmenty można uznać za segmenty proporcjonalne o współczynniku proporcjonalności równym 1.

Twierdzenie odwrotne

Jeśli w twierdzeniu Talesa równe odcinki zaczynają się od wierzchołka (sformułowanie to jest często stosowane w literaturze szkolnej), to twierdzenie odwrotne również okaże się prawdziwe. Dla przecinających się siecznych formułuje się to w następujący sposób:

Tak więc (patrz ryc.) z faktu, że $\frac(CB_1)(CA_1)=\frac(B_1B_2)(A_1A_2)=\ldots = (\rm idem)$ wynika, że bezpośredni $A_1B_1||A_2B_2||\kropki$ .

Jeśli sieczne są równoległe, konieczne jest wymaganie równości odcinków na obu siecznych między sobą, w przeciwnym razie to stwierdzenie stanie się niepoprawne (kontrprzykładem jest trapez przecięty przez linię przechodzącą przez punkty środkowe podstaw).

Wariacje i uogólnienia

Poniższe stwierdzenie jest podwójne w stosunku do lematu Sollertinsky'ego:

Twierdzenie Talesa jest nadal stosowane w żegludze morskiej jako reguła mówiąca, że zderzenie statków poruszających się ze stałą prędkością jest nieuniknione, jeśli statki poruszają się w kierunku siebie.
Poza literaturą rosyjskojęzyczną twierdzenie Talesa jest czasami nazywane innym twierdzeniem planimetrii, a mianowicie stwierdzeniem, że kąt wpisany oparty na średnicy koła jest prosty. Odkrycie tego twierdzenia jest rzeczywiście przypisywane Talesowi, o czym świadczy Proklos.

Napisz recenzję artykułu „Twierdzenie Talesa”

Literatura

Atanasyan L. S. i inni. Geometria 7-9. - Ed. 3. - M.: Oświecenie, 1992.

Notatki

Zobacz też

Twierdzenie Talesa o kącie opartym na średnicy koła

Fragment charakteryzujący twierdzenie Talesa

„Nic nie myślę, po prostu tego nie rozumiem ...
- Poczekaj, Sonya, wszystko zrozumiesz. Zobacz, jakim jest człowiekiem. Nie myśl źle o mnie ani o nim.
„Nie myślę źle o nikim: wszystkich kocham i wszystkich mi żal. Ale co mam zrobić?
Sonia nie zrezygnowała z łagodnego tonu, jakim zwróciła się do niej Natasza. Im łagodniejszy i bardziej badawczy był wyraz twarzy Nataszy, tym bardziej poważna i surowa była twarz Soni.
„Natasza”, powiedziała, „poprosiłaś mnie, żebym z tobą nie rozmawiała, nie zrobiłam tego, teraz sama zaczęłaś. Natasza, nie wierzę mu. Dlaczego ten sekret?
- Ponownie ponownie! przerwała Natasza.
- Natasza, boję się o ciebie.
- Czego się bać?
„Boję się, że się zrujnujesz” - powiedziała zdecydowanie Sonia, sama przerażona tym, co powiedziała.
Twarz Nataszy ponownie wyrażała gniew.
„I zniszczę, zniszczę, zniszczę siebie tak szybko, jak to możliwe. Nie twój interes. Nie dla ciebie, ale dla mnie to będzie złe. Zostaw, zostaw mnie. Nienawidzę cię.
- Natasza! Sonia zawołała przerażona.
- Nienawidzę tego, nienawidzę tego! A ty jesteś moim wrogiem na zawsze!
Natasza wybiegła z pokoju.
Natasza nie rozmawiała już z Sonią i unikała jej. Z tym samym wyrazem wzburzonego zaskoczenia i przestępczości chodziła po pokojach, zajmując się najpierw tym, potem innym zajęciem i natychmiast je porzucając.
Bez względu na to, jak trudne było to dla Soni, nie spuszczała wzroku z przyjaciółki.
W przeddzień powrotu hrabiego Sonia zauważyła, że Natasza cały ranek siedziała przy oknie salonu, jakby na coś czekała, i że dała jakiś znak przechodzącemu żołnierzowi: którego Sonia pomyliła z Anatolem.
Sonia zaczęła jeszcze uważniej obserwować przyjaciółkę i zauważyła, że Natasza przez cały czas kolacji i wieczoru była w dziwnym i nienaturalnym stanie (odpowiadała niewłaściwie na zadawane jej pytania, zaczynała i nie kończyła zdań, śmiała się ze wszystkiego).
Po herbacie Sonia zobaczyła nieśmiałą pokojówkę czekającą na nią przed drzwiami Nataszy. Przepuściła go i podsłuchując pod drzwiami dowiedziała się, że list został ponownie przekazany. I nagle dla Soni stało się jasne, że Natasza ma jakiś straszny plan na ten wieczór. Sonia zapukała do drzwi. Natasza jej nie wpuściła.
„Ona ucieknie z nim! Sonia pomyślała. Jest zdolna do wszystkiego. Dziś w jej twarzy było coś szczególnie patetycznego i stanowczego. Zalała się łzami, żegnając się z wujem, wspominała Sonia. Tak, zgadza się, biegnie z nim - ale co mam zrobić? pomyślała Sonia, przypominając sobie teraz te znaki, które wyraźnie dowodziły, dlaczego Natasza miała jakieś straszne zamiary. „Nie ma liczenia. Co mam zrobić, napisać do Kuragina, żądając od niego wyjaśnień? Ale kto każe mu odpowiedzieć? Napisz do Pierre'a, jak poprosił książę Andriej w razie wypadku? ... Ale może tak naprawdę już odmówiła Bolkonsky'emu (wczoraj wysłała list do księżnej Maryi). Nie ma wujków!” Sonyi wydawało się okropne powiedzieć o tym Maryi Dmitriewnej, która tak bardzo wierzyła w Nataszę. Ale tak czy inaczej, pomyślała Sonia, stojąc w ciemnym korytarzu: teraz albo nigdy nadszedł czas, aby udowodnić, że pamiętam dobre uczynki ich rodziny i kocham Nicolasa. Nie, nie będę spał przez co najmniej trzy noce, ale nie opuszczę tego korytarza i nie wpuszczę jej siłą, i nie pozwolę, by wstyd spadł na ich rodzinę ”- pomyślała.

Anatol ostatnie czasy przeniósł się do Dołochowa. Plan porwania Rostowej był już przemyślany i przygotowany przez Dołochowa od kilku dni, aw dniu, w którym Sonya, usłyszawszy Nataszę przy drzwiach, postanowiła ją chronić, plan ten miał zostać wykonany. Natasza obiecała wyjść do Kuragina na tylną werandę o dziesiątej wieczorem. Kuragin miał umieścić ją w przygotowanej trojce i zabrać ją 60 mil z Moskwy do wsi Kamenka, gdzie przygotowano przyciętego księdza, który miał ich poślubić. W Kamence była już gotowa zastawka, która miała ich zawieźć na szosę Warszawską i tam mieli pojechać za granicę na poczcie.
Anatole miał paszport i podróżny, i dziesięć tysięcy pieniędzy wziętych od siostry, a dziesięć tysięcy pożyczonych przez Dołochowa.
Dwóch świadków – Chwostikow, były urzędnik, którego Dołochow i Makarin wykorzystywali do zabawy, emerytowany husarz, dobroduszny i słaba osoba, który bezgranicznie kochał Kuragina - usiadł w pierwszym pokoju na herbatę.
W dużym gabinecie Dołochowa, udekorowanym od ściany do sufitu perskimi dywanami, niedźwiedzimi skórami i bronią, Dołochow siedział w podróżnym beszmecie i butach przed otwartym biurkiem, na którym leżały banknoty i zwitki pieniędzy. Anatole w rozpiętym mundurze przeszedł z pokoju, w którym siedzieli świadkowie, przez gabinet do pokoju na zapleczu, gdzie jego francuski lokaj i inni pakowali ostatnie rzeczy. Dołochow przeliczył pieniądze i zapisał je.
„Cóż”, powiedział, „Khvostikov powinien dostać dwa tysiące.
- Cóż, pozwól mi - powiedział Anatole.
- Makarka (tak nazywali Makarina), ta bezinteresownie dla ciebie przez ogień i do wody. Cóż, wyniki się skończyły - powiedział Dołochow, pokazując mu notatkę. - Więc?
„Tak, oczywiście, tak właśnie jest” - powiedział Anatole, najwyraźniej nie słuchając Dołochowa iz uśmiechem, który nie opuszczał jego twarzy, patrząc przed siebie.

sformułowanie;
Dowód;

Twierdzenie o odcinkach proporcjonalnych;
twierdzenie Cevy;

sformułowanie;
Dowód;

Twierdzenie Menelaosa;

sformułowanie;
Dowód;

Zadania i ich rozwiązania;
Wniosek;
Spis wykorzystanych źródeł i literatury.

Wstęp.

Wszystkie drobiazgi są potrzebne

Być znaczącym...

I. Severyanin
Niniejsze streszczenie jest poświęcone zastosowaniu metody linii równoległych do dowodu twierdzeń i rozwiązywania problemów. Dlaczego używamy tej metody? W tym rok akademicki Na szkolnej olimpiadzie z matematyki zaproponowano zadanie geometryczne, które wydawało nam się bardzo trudne. To zadanie dało impuls do rozpoczęcia prac nad badaniem i rozwojem metody linii równoległych w rozwiązywaniu problemów dotyczących znajdowania stosunku długości odcinków.

Sama idea metody opiera się na wykorzystaniu uogólnionego twierdzenia Talesa. Twierdzenie Talesa jest badane w ósmej klasie, jego uogólnienie i temat „Podobieństwa figur” w dziewiątej klasie i tylko w dziesiątej klasie, w planie wprowadzającym, badane są dwa ważne twierdzenia Ceva i Menelausa za pomocą w których można stosunkowo łatwo rozwiązać szereg problemów w celu znalezienia stosunku długości odcinków. Dlatego na poziomie edukacji podstawowej możemy zdecydować się całkiem wąskie kółko zadania do tego materiału do nauki. Chociaż na świadectwie końcowym z kursu szkoły podstawowej i na USE z matematyki zadania z tego tematu (Twierdzenie Talesa. Podobieństwo trójkątów, współczynnik podobieństwa. Znaki podobieństwa trójkątów) oferowane są w drugiej części egzaminu papieru i charakteryzują się wysokim stopniem złożoności.

W trakcie pracy nad abstraktem możliwe stało się pogłębienie naszej wiedzy na ten temat. Dowód twierdzenia o odcinkach proporcjonalnych w trójkącie (twierdzenie to nie jest objęte programem szkolnym) opiera się na metodzie prostych równoległych. Z kolei to twierdzenie pozwoliło nam zaproponować inny sposób udowodnienia twierdzeń Ceva i Menelaosa. Dzięki temu mogliśmy nauczyć się rozwiązywać szerszy zakres problemów związanych z porównywaniem długości odcinków. To jest sens naszej pracy.

Uogólnione twierdzenie Talesa.

Sformułowanie:

Proste równoległe przecinające dwie dane proste przecinają na tych prostych odcinki proporcjonalne.
Dany:

Prosty a przeciąć równoległymi liniami ( ALE 1 W 1 , ALE 2 W 2 , ALE 3 W 3 ,…, ALE n B n) na segmenty ALE 1 ALE 2 , ALE 2 ALE 3 , …, A n -1 A n, a linia prosta b- na segmenty W 1 W 2 , W 2 W 3 , …, W n -1 W n .

Udowodnić:

Dowód:

Udowodnijmy to np

Rozważ dwa przypadki:

1 przypadek (ryc. b)

Bezpośredni a oraz b są równoległe. Następnie czworokąty

ALE 1 ALE 2 W 2 W 1 oraz ALE 2 ALE 3 W 3 W 2 - równoległoboki. Dlatego

ALE 1 ALE 2 =W 1 W 2 oraz ALE 2 ALE 3 =W 2 W 3 , skąd to wynika

2 przypadek (rys. c)

Proste a i b nie są równoległe. Przez kropkę ALE 1 narysujmy linię prostą Z, równolegle do linii b. Ona przekroczy granice ALE 2 W 2 oraz ALE 3 W 3 w niektórych punktach Z 2 oraz Z 3 . trójkąty ALE 1 ALE 2 Z 2 oraz ALE 1 ALE 3 Z 3 są podobne pod dwoma kątami (ang ALE 1 – ogólne, kąty ALE 1 ALE 2 Z 2 oraz ALE 1 ALE 3 Z 3 równe jako odpowiadające pod prostymi równoległymi ALE 2 W 2 oraz ALE 3 W 3 sieczna ALE 2 ALE 3 ), dlatego

Lub zgodnie z właściwością proporcji

Z drugiej strony, co zostało udowodnione w pierwszym przypadku, mamy ALE 1 Z 2 =W 1 W 2 , Z 2 Z 3 =W 2 W 3 . Wymiana proporcjonalna (1) ALE 1 Z 2 na W 1 W 2 oraz Z 2 Z 3 na W 2 W 3 , dochodzimy do równości

co było do okazania
Twierdzenie o proporcjonalnych odcinkach w trójkącie.

Na bokach AC oraz Słońce trójkąt ABC zaznaczone są punkty Do oraz M więc AC:CS=m: n, BM: MC= p: q. Segmenty JESTEM oraz WK przecinać się w punkcie O(Rys. 124b).

Udowodnić:

Dowód:
Przez kropkę M narysujmy linię prostą lekarz medycyny(ryc. 124a), równolegle WK. Przechodzi na drugą stronę AC w punkcie D i zgodnie z uogólnieniem twierdzenia Talesa

Wynajmować AK=mx. Następnie, zgodnie ze stanem problemu KS=nx i od tego czasu KD: DC= p: q, to ponownie korzystamy z uogólnienia twierdzenia Talesa:

Podobnie udowodniono, że .

Twierdzenie Cevy.
Twierdzenie to zostało nazwane na cześć włoskiego matematyka Giovanniego Ceva, który udowodnił je w 1678 roku.

Sformułowanie:

Jeżeli na bokach AB, BC i CA trójkąta ABC pobierzemy odpowiednio punkty C 1 , ALE 1 oraz b 1 , następnie segmenty AA 1 , BB 1 i SS 1 przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy

Dany:

Trójkąt ABC i po jego bokach AB, Słońce oraz AC zaznaczone są punkty Z 1 ,ALE 1 oraz W 1 .

Udowodnić:

2. cięcia A 1 , nocleg ze śniadaniem 1 oraz SS 1 przecinają się w jednym punkcie.

Dowód:
1. Niech segmenty AA 1 , nocleg ze śniadaniem 1 oraz SS 1 przecinają się w jednym punkcie O. Udowodnijmy, że zachodzi równość (3). Zgodnie z twierdzeniem o proporcjonalnych odcinkach w trójkącie 1 mamy:

Lewe części tych równości są takie same, więc prawe części również są równe. Zrównując je, otrzymujemy

Dzieląc obie części na prawa strona, dochodzimy do równości (3).

2. Udowodnijmy twierdzenie odwrotne. Niech punkty Z 1 ,ALE 1 oraz W 1 brane po bokach AB, Słońce oraz SA więc zachodzi równość (3). Udowodnijmy, że odcinki AA 1 , nocleg ze śniadaniem 1 oraz SS 1 przecinają się w jednym punkcie. Oznacz literą O punkt przecięcia odcinków A 1 oraz nocleg ze śniadaniem 1 i narysuj linię prostą WIĘC. Przechodzi na drugą stronę AB w pewnym momencie, który oznaczamy Z 2 . Od segmentów AA 1 , nocleg ze śniadaniem 1 oraz SS 1 przecinają się w jednym punkcie, to przez to, co zostało udowodnione w pierwszym akapicie

Zatem zachodzą równości (3) i (4).

Porównując je, dochodzimy do równości = , z której wynika, że punkty C 1 oraz C 2 dzielić stronę AB C 1 oraz C 2 pokrywają się, stąd segmenty AA 1 , nocleg ze śniadaniem 1 oraz SS 1 przecinać się w punkcie O.

co było do okazania
Twierdzenie Menelaosa.

Sformułowanie:

Jeżeli na bokach AB i BC oraz na przedłużeniu boku AC (lub na przedłużeniu boków AB, BC i AC) pobierzemy odpowiednio punkty C 1 , ALE 1 , W 1 , to punkty te leżą na tej samej prostej wtedy i tylko wtedy, gdy

Dany:

Trójkąt ABC i po jego bokach AB, Słońce oraz AC zaznaczone są punkty Z 1 ,ALE 1 oraz W 1 .

Udowodnić:

2. punkty ALE 1 ,Z 1 oraz W 1 leżeć na tej samej linii
Dowód:
1. Niech punkty ALE 1 ,Z 1 oraz W 1 leżeć na tej samej linii. Udowodnijmy, że zachodzi równość (5). spędźmy OGŁOSZENIE,BYĆ oraz CF równolegle do linii prostej W 1 ALE 1 (kropka D leży na linii prostej Słońce). Zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa mamy:

Mnożąc lewą i prawą część tych równości, otrzymujemy

tych. zachodzi równość (5).
2. Udowodnijmy twierdzenie odwrotne. Niech punkt W 1 podjęte na stronie kontynuacji AC i punkty Z 1 oraz ALE 1 - na bokach AB oraz Słońce, iw taki sposób, że zachodzi równość (5). Udowodnijmy, że punkty ALE 1 ,Z 1 oraz W 1 leżeć na tej samej linii. Niech prosta A 1 C 1 przecina kontynuację boku AC w punkcie B 2, a następnie, zgodnie z tym, co zostało udowodnione w pierwszym akapicie

Porównując (5) i (6) dochodzimy do równości = , z której wynika, że punkty W 1 oraz W 2 dzielić stronę AC pod tym samym względem. Dlatego punkty W 1 oraz W 2 pokrywają się i stąd punkty ALE 1 ,Z 1 oraz W 1 leżeć na tej samej linii. Twierdzenia odwrotnego dowodzi się podobnie w przypadku, gdy wszystkie trzy punkty ALE 1 ,Z 1 oraz W 1 leżeć na przedłużeniu odpowiednich boków.

co było do okazania

Rozwiązywanie problemów.

Proponuje się rozważenie szeregu problemów dotyczących proporcjonalnego podziału segmentów w trójkącie. Jak wspomniano powyżej, istnieje kilka metod określania lokalizacji punktów potrzebnych w zadaniu. W naszej pracy zdecydowaliśmy się na metodę linii równoległych. Podstawą teoretyczną tej metody jest uogólnione twierdzenie Talesa, które pozwala na wykorzystanie linii równoległych do przenoszenia słynne związki proporcje z jednej strony kąta na drugą stronę, więc wystarczy narysować te równoległe linie w wygodny sposób, aby rozwiązać problem.
Rozważ konkretne zadania:
Zadanie nr 1 W trójkącie ABC na boku BC wzięto punkt M tak, że VM:MC=3:2. Punkt P dzieli odcinek AM w stosunku 2:1. Prosta BP przecina bok AC w punkcie B 1 . Pod jakim względem punkt B 1 dzieli bok AC?

Rozwiązanie: Należy znaleźć stosunek AB 1: B 1 C, AC to żądany odcinek, na którym leży punkt B 1.

Metoda równoległa jest następująca:

wytnij żądany segment równoległymi liniami. Jeden BB 1 już tam jest, a drugi MN zostanie poprowadzony przez punkt M, równolegle do BB 1.
Przenieś znany stosunek z jednej strony kąta na drugą, tj. rozważ kąty boku, które przecinają te proste.

Boki kąta C przecinają proste BB 1 i MN i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa wnioskujemy W 1 N=3r, NC=2p. Boki kąta MAC przecinają linie PB 1 i MN i dzielą jego boki w stosunku 2: 1, dlatego AB 1: B 1 N \u003d 2: 1, a zatem AB 1 \u003d 2n, W 1 N= n. Dlatego W 1 N=3r, oraz W 1 N= n, następnie 3p=n.

Przejdźmy do interesującego nas stosunku AB 1: B 1 C \u003d AB 1: (B 1 N + NC) \u003d 2n: (3p + 2p) \u003d (2 * 3p): (5p) \u003d 6: 5.

Odpowiedź: AB 1:B 1 C = 6:5.

Komentarz: Ten problem można rozwiązać za pomocą twierdzenia Menelaosa. Stosując go do trójkąta AMC. Wtedy prosta BB 1 przecina dwa boki trójkąta w punktach B 1 i P, a kontynuacja trzeciego w punkcie B. Zachodzi więc równość: , W konsekwencji
Zadanie nr 2 W trójkącie ABC AN jest medianą. Po stronie prądu przemiennego punkt M przyjmuje się tak, że AM: MC \u003d 1: 3. Odcinki AN i BM przecinają się w punkcie O, a promień CO przecina AB w punkcie K. W jakim stosunku punkt K dzieli odcinek AB.

Rozwiązanie: Musimy znaleźć stosunek AK do KV.

1) Narysuj linię NN 1 równoległą do prostej SK i prostą NN 2 równoległą do prostej VM.

2) Boki kąta ABC przecinają proste SC i NN 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa wnioskujemy, że BN 1:N 1 K=1:1 czyli BN 1 = N 1 k= y.

3) Boki kąta BCM przecinają proste BM i NN 2 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku, że CN 2:N 2 M=1:1 lub CN 2 = N 2 M=3:2= 1.5.

4) Boki kąta NAC przecinają proste BM i NN 2 iz uogólnionego twierdzenia Talesa wnioskujemy AO: ON=1:1,5 lub AO=m ON=1,5m.

5) Boki kąta BAN przecinają linie proste SK i NN 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku AK: KN 1 \u003d 1: 1,5 lub AK \u003d n KN 1 =1,5 n.

6) KN 1 \u003d y \u003d 1,5n.

Odpowiedź: AK:KV=1:3.

Komentarz: Problem ten można rozwiązać za pomocą twierdzenia Cevy, stosując je do trójkąta ABC. Warunkowo punkty N, M, K leżą na bokach trójkąta ABC, a odcinki AN, CK i VM przecinają się w jednym punkcie, co oznacza, że równość jest prawdziwa: , podstawiamy znane relacje, mamy , AK:KV=1:3.

Zadanie nr 3 Na boku BC trójkąta ABC przyjmuje się punkt D taki, że BD: DC \u003d 2: 5, a na boku AC punkt E jest taki, że . W jakim stosunku odcinki BE i AD są podzielone przez punkt K ich przecięcia?
Rozwiązanie: Trzeba znaleźć 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) Narysuj linię DD 1 równoległą do linii BE.

2) Boki kąta ALL przecinają proste BE i DD 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku, że CD 1:D 1 E=5:2 lub CD 1 = 5z, D 1 E=2z.

3) Zgodnie z warunkiem AE:EC=1:2, tj. AE \u003d x, EC \u003d 2x, ale EC \u003d CD 1 + D 1 E, a następnie 2r=5z+2 z=7 z, z=

4) Boki kąta DCA przecinają proste BE i DD 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku

5) Aby wyznaczyć stosunek VK:KE, rysujemy linię prostą EE 1 i argumentując w podobny sposób, otrzymujemy

Odpowiedź: AK:KD=7:4; VK:KE=6:5.
Komentarz: Problem ten można rozwiązać za pomocą twierdzenia Menelaosa. Zastosowanie go do trójkąta WAGA. Wtedy prosta DA przecina dwa boki trójkąta w punktach D i K oraz kontynuację trzeciego w punkcie A. Zachodzi więc równość:

, zatem VK:KE=6:5. Argumentując podobnie w odniesieniu do trójkąta ADC, otrzymujemy

, AK:KD=7:4.
Zadanie nr 4 W ∆ ABC dwusieczna AD dzieli bok BC w stosunku 2: 1. W jakim stosunku środkowa CE dzieli tę dwusieczną?

Rozwiązanie: Niech punkt O przecięcie dwusiecznej AD i środkowej CE. Musimy znaleźć stosunek AO:OD.

1) Narysuj linię DD 1 równoległą do linii CE.

2) Boki kąta ABC przecinają proste CE i DD 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa wnioskujemy, że BD 1:D 1 E=2:1 lub BD 1 = 2p, D 1 E=p.

3) Zgodnie z warunkiem AE:EB=1:1, tj. AE=y, EB=y, ale EB= BD 1 + D 1 E, więc y=2p+ p=3 p, p =
4) Boki kąta BAD przecinają linie OE i DD 1 i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku .

Odpowiedź: AO:OD=3:1.

Zadanie nr 5 Na bokach AB i AC ∆ABC dane są odpowiednio punkty M i N w taki sposób, że spełnione są następujące równości AM:MB=CN: NA=1:2. W jakim stosunku punkt S przecięcia odcinków BN i CM dzieli każdy z tych odcinków.

Zadanie nr 6 Punkt K leży na środkowej AM trójkąta ABC i AK:KM=1:3. Znajdź stosunek, w jakim prosta przechodząca przez punkt K, równoległa do boku AC, dzieli bok BC.

Rozwiązanie: Niech M będzie 1 punktem przecięcie prostej przechodzącej przez punkt K, równoległej do boku AC i boku BC. Konieczne jest znalezienie stosunku BM 1:M 1 C.

1) Boki kąta AMC przecinają linie proste KM 1 i AC i zgodnie z uogólnionym twierdzeniem Talesa dochodzimy do wniosku, że MM 1: M 1 C=3:1 lub MM 1 \u003d 3z, M 1 C \u003d z

2) Według warunku VM:MS=1:1, tj. VM=y, MC=y, ale MC=MM 1 + M 1 C, więc y=3z+ z=4 z,

3) .

Odpowiedź: VM 1:M 1 C = 7:1.

Zadanie nr 7 Dany jest trójkąt ABC. Na przedłużeniu boku AC wyznacza się punkt CN, i CN=AC; punkt K jest środkiem boku AB. Pod jakim względem linia KNdzieli bok BC.

Komentarz: Problem ten można rozwiązać za pomocą twierdzenia Menelaosa. Stosując go do trójkąta ABC. Wtedy prosta KN przecina dwa boki trójkąta w punktach K i K 1, a kontynuacja trzeciego w punkcie N. Zachodzi więc równość: , zatem VK 1:K 1 C=2:1.

Zadanie nr 8

Witryny:

http://www.problemy.ru

http://interneturok.ru/

Jednolity egzamin państwowy 2011 Zadanie matematyczne C4 R.K. Gordin M.: MTSNMO, 2011, - 148 s

Wniosek:

Rozwiązanie problemów i twierdzeń dotyczących znajdowania stosunku długości odcinków opiera się na uogólnionym twierdzeniu Talesa. Sformułowaliśmy metodę, która pozwala, bez stosowania twierdzenia Talesa, użyć linii równoległych, przenieść znane proporcje z jednej strony kąta na drugą, a tym samym znaleźć położenie potrzebnych nam punktów i porównać długości. Praca nad abstrakcją pomogła nam nauczyć się rozwiązywania problemów geometrycznych wysoki poziom trudności. Zdaliśmy sobie sprawę z prawdziwości słów słynnego rosyjskiego poety Igora Seweryanina: „Wszystko, co nieistotne, musi być znaczące…” i jesteśmy pewni, że na Jednolitym Egzaminie Państwowym będziemy w stanie znaleźć rozwiązanie proponowanych zadań za pomocą metoda linii równoległych.

1 Twierdzenie o proporcjonalnych odcinkach w trójkącie jest twierdzeniem opisanym powyżej.

Jeśli boki kąta przecinają proste równoległe linie, które dzielą jeden z boków na kilka odcinków, to drugi bok, proste, również zostanie podzielony na odcinki równoważne drugiemu bokowi.

Twierdzenie Talesa dowodzi, że: C 1 , C 2 , C 3 - są to miejsca, w których proste równoległe przecinają się po dowolnej stronie kąta. C 2 jest pośrodku względem C 1 i C 3.. Punkty D 1 , D 2 , D 3 to miejsca przecięcia prostych, które odpowiadają prostym z przeciwną stroną kąta. Udowadniamy, że kiedy C 1 C 2 \u003d C 2 C z, to D 1 D 2 \u003d D 2 D 3 .
Rysujemy odcinek prosty KR w miejscu D 2, równolegle do odcinka C 1 C 3. We właściwościach równoległoboku C 1 C 2 \u003d KD 2, C 2 C 3 \u003d D 2 P. Jeśli C 1 C 2 \u003d C 2 C 3, to KD 2 \u003d D 2 P.

Otrzymane trójkątne figury D 2 D 1 K i D 2 D 3 P są równe. I D 2 K=D 2 P na podstawie dowodu. Kąty z wierzchołkiem D 2 są równe pionom, a kąty D 2 KD 1 i D 2 PD 3 są równe wewnętrznym krzyżykom leżącym z równoległymi C 1 D 1 i C 3 D 3 i rozdzielającymi KP.
Ponieważ D 1 D 2 = D 2 D 3 twierdzenie jest udowodnione przez równość boków trójkąta

Notatka: Jeśli weźmiemy nie boki kąta, ale dwa odcinki proste, dowód będzie taki sam.
Dowolne odcinki linii prostych równoległe do siebie, które przecinają dwie rozważane linie i dzielą jedną z nich na identyczne odcinki, robią to samo z drugą.

Spójrzmy na kilka przykładów

Pierwszy przykład

Warunkiem zadania jest podzielenie linii CD na P identyczne segmenty.
Z punktu C rysujemy półprostą c, która nie leży na prostej CD. Zaznaczmy na nim części tego samego rozmiaru. SS 1, C 1 C 2, C 2 C 3 ..... C p-1 C p. Łączymy C p z D. Rysujemy linie proste z punktów C 1, C 2, ...., C p -1, która będzie równoległa do C p D. Proste przecinają CD w miejscach D 1 D 2 D p-1 i dzielą prostą CD na n identycznych odcinków.

Drugi przykład

Punkt CK jest zaznaczony na boku AB trójkąta ABC. Odcinek SK przecina środkową AM trójkąta w punkcie P, podczas gdy AK = AP. Należy znaleźć stosunek VC do RM.
Rysujemy linię prostą przechodzącą przez punkt M, równoległą do SC, która przecina AB w punkcie D

Za pomocą Twierdzenie TalesaВD=КD
Z twierdzenia o proporcjonalnych odcinkach otrzymujemy to
PM \u003d KD \u003d VK / 2, zatem VK: PM \u003d 2: 1
Odpowiedź: WK: RM = 2:1

Trzeci przykład

W trójkącie ABC bok BC = 8 cm Prosta DE przecina boki AB i BC równolegle do AC. I odcina po stronie BC odcinek EU = 4cm. Udowodnij, że AD = DB.

Skoro BC = 8 cm, a UE = 4 cm, to zatem
BE = BC-EU, zatem BE = 8-4 = 4 (cm)
Za pomocą Twierdzenie Talesa, ponieważ AC jest równoległy do DE i EC \u003d BE, a zatem AD \u003d DB. co było do okazania

W magazyn dla kobiet- w Internecie znajdziesz wiele interesująca informacja dla siebie. Jest też dział poświęcony wierszom Siergieja Jesienina. Wejdź nie pożałujesz!

O równoległych i siecznych.

Poza literaturą rosyjskojęzyczną twierdzenie Talesa jest czasami nazywane innym twierdzeniem planimetrii, a mianowicie stwierdzeniem, że kąt wpisany oparty na średnicy koła jest prosty. Odkrycie tego twierdzenia jest rzeczywiście przypisywane Talesowi, o czym świadczy Proklos.

Sformułowanie

Jeśli na jednej z dwóch prostych odłożymy kolejno kilka równych odcinków i poprowadzimy przez ich końce równoległe linie przecinające drugą prostą, to odetną równe odcinki na drugiej prostej.

Bardziej ogólne sformułowanie, tzw twierdzenie o segmencie proporcjonalnym

Linie równoległe przecinają proporcjonalne segmenty w siecznych:

ZA 1 ZA 2 b 1 b 2 = ZA 2 ZA 3 b 2 b 3 = ZA 1 ZA 3 b 1 b 3 . (\ Displaystyle (\ frac (A_ (1) A_ (2)) (B_ (1) B_ (2))) = (\ frac (A_ (2) A_ (3)) (B_ (2) B_ (3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Uwagi

W twierdzeniu nie ma ograniczeń co do wzajemnego ułożenia siecznych (dotyczy to zarówno prostych przecinających się, jak i równoległych). Nie ma również znaczenia, gdzie odcinki linii znajdują się na siecznych.

Twierdzenie Talesa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia o segmentach proporcjonalnych, ponieważ równe segmenty można uznać za segmenty proporcjonalne o współczynniku proporcjonalności równym 1.

Dowód w przypadku siecznych

Rozważ wariant z niepołączonymi parami segmentów: niech kąt będzie przecięty liniami prostymi A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | re re 1 (\ Displaystyle AA_ (1) || BB_ (1) || CC_ (1) || DD_ (1)) i w którym ZA b = do re (\ displaystyle AB = CD).

Dowód w przypadku linii równoległych

Narysujmy linię prostą pne. rogi ABC oraz BCD są równe jak wewnętrzne krzyżyki leżące na równoległych liniach AB oraz płyta CD i siecznej pne i kąty ACB oraz CBD są równe jak wewnętrzne krzyżyki leżące na równoległych liniach AC oraz BD i siecznej pne. Następnie, zgodnie z drugim kryterium równości trójkątów, trójkąty ABC oraz DCB są równe. Stąd wynika, że AC = BD oraz AB = płyta CD. ■

Wariacje i uogólnienia

Twierdzenie odwrotne

W odwrotnym twierdzeniu Talesa ważne jest, aby równe segmenty zaczynały się od wierzchołka

Tak więc (patrz ryc.) z faktu, że do b 1 do ZA 1 = b 1 b 2 ZA 1 ZA 2 = … (\ Displaystyle (\ Frac (CB_ (1)) (CA_ (1))) = (\ Frac (B_ (1) B_ (2)) (A_ (1)A_(2)))=\ldkropki ), wynika z tego A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\ Displaystyle A_ (1) B_ (1) || A_ (2) B_ (2) || \ ldots ).

To twierdzenie jest używane w nawigacji: zderzenie statków poruszających się ze stałą prędkością jest nieuniknione, jeśli zachowany jest kierunek od jednego statku do drugiego.

Lemat Sollertinsky'ego

Poniższe stwierdzenie jest podwójne w stosunku do lematu Sollertinsky'ego:

Wynajmować fa (\ Displaystyle f)- zgodność rzutowa między punktami prostej l (\ displaystyle l) i bezpośredni m (\ Displaystyle m). Wtedy zbiór linii będzie zbiorem stycznych do jakiegoś (być może zdegenerowanego) przekroju stożkowego.

W przypadku twierdzenia Talesa stożek będzie punktem w nieskończoności odpowiadającym kierunkowi prostych równoległych.

To stwierdzenie z kolei jest granicznym przypadkiem następującego stwierdzenia:

Wynajmować fa (\ Displaystyle f) jest rzutową transformacją stożka. Następnie koperta zestawu linii X fa (X) (\ Displaystyle Xf (X)) będzie stożek (prawdopodobnie zdegenerowany).