Prva stopnja

Kvadratne enačbe. Obsežen vodnik (2019)

V izrazu "kvadratna enačba" je ključna beseda "kvadratna". To pomeni, da mora enačba nujno vsebovati spremenljivko (ta isti x) na kvadrat in ne sme biti xov na tretjo (ali večjo) potenco.

Rešitev številnih enačb se zmanjša na reševanje kvadratnih enačb.

Naučimo se ugotoviti, da je to kvadratna enačba in ne kakšna druga enačba.

Primer 1.

Znebimo se imenovalca in vsak člen enačbe pomnožimo s

Prestavimo vse na leva stran in razporedi člene v padajočem vrstnem redu potenc x

Zdaj lahko z gotovostjo trdimo, da je ta enačba kvadratna!

Primer 2.

Pomnožimo levo in desna stran na:

Ta enačba, čeprav je bila prvotno v njej, ni kvadratna!

Primer 3.

Pomnožimo vse z:

Strašljivo? Četrta in druga stopnja ... Vendar, če naredimo zamenjavo, bomo videli, da imamo preprosto kvadratno enačbo:

Primer 4.

Zdi se, da je tam, vendar poglejmo podrobneje. Premaknimo vse na levo stran:

Glej, zmanjšano je - in zdaj je preprosta linearna enačba!

Zdaj poskusite sami ugotoviti, katere od naslednjih enačb so kvadratne in katere ne:

Primeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ni kvadraten;
4. ni kvadraten;
5. ni kvadraten;
6. kvadrat;
7. ni kvadraten;
8. kvadrat.

Matematiki vse pogojno delijo kvadratne enačbe po videzu:

• Popolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih koeficienti in, kot tudi prosti člen c, niso enaki nič (kot v primeru). Poleg tega med popolnimi kvadratnimi enačbami obstajajo dano- to so enačbe, v katerih je koeficient (enačba iz prvega primera ni samo popolna, ampak tudi zmanjšana!)

• Nepopolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

  Nepopolni so, ker jim manjka nekaj elementov. Toda enačba mora vedno vsebovati x na kvadrat!!! V nasprotnem primeru ne bo več kvadratna enačba, ampak neka druga enačba.

Zakaj so se domislili takšne delitve? Zdi se, da obstaja X na kvadrat, in v redu. To delitev določajo metode reševanja. Oglejmo si vsakega od njih podrobneje.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Najprej se osredotočimo na reševanje nepopolnih kvadratnih enačb – veliko enostavnejše so!

Obstajajo vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

1. , je v tej enačbi koeficient enak.
2. , v tej enačbi je prosti člen enak.
3. , sta v tej enačbi koeficient in prosti člen enaka.

1. i. Ker znamo pridobivati Kvadratni koren, potem izrazimo iz te enačbe

Izraz je lahko negativen ali pozitiven. Kvadrat števila ne more biti negativen, ker bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil rezultat vedno pozitivno število, torej: če, potem enačba nima rešitev.

In če, potem dobimo dve korenini. Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar je, da morate vedeti in se vedno spomniti, da ne more biti manj.

Poskusimo rešiti nekaj primerov.

Primer 5:

Reši enačbo

Zdaj ostane le še, da izvlečemo koren z leve in desne strani. Navsezadnje se spomnite, kako izločiti korenine?

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!!!

Primer 6:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 7:

Reši enačbo

Oh! Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin!

Za takšne enačbe, ki nimajo korenin, so si matematiki izmislili posebno ikono - (prazen niz). In odgovor se lahko zapiše takole:

odgovor:

Tako ima ta kvadratna enačba dva korena. Tukaj ni nobenih omejitev, saj nismo izvlekli korena.
Primer 8:

Reši enačbo

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja:

torej

Ta enačba ima dva korena.

odgovor:

Najenostavnejša vrsta nepopolnih kvadratnih enačb (čeprav so vse preproste, kajne?). Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Tu se bomo odpovedali primerom.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb

Spomnimo vas, da je popolna kvadratna enačba enačba v obliki enačbe, kjer je

Reševanje popolnih kvadratnih enačb je nekoliko težje (samo malo) od teh.

Ne pozabite, Vsako kvadratno enačbo je mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Druge metode vam bodo pomagale hitreje, če pa imate težave s kvadratnimi enačbami, najprej obvladajte rešitev z diskriminanto.

1. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo diskriminante.

Reševanje kvadratnih enačb s to metodo je zelo preprosto, glavna stvar je zapomniti si zaporedje dejanj in nekaj formul.

Če, potem ima enačba koren. Posebna pozornost narediti korak. Diskriminanta () nam pove število korenov enačbe.

• Če, potem bo formula v koraku zmanjšana na. Tako bo enačba imela samo koren.
• Če, potem v koraku ne bomo mogli izluščiti korena diskriminante. To pomeni, da enačba nima korenin.

Vrnimo se k našim enačbam in si oglejmo nekaj primerov.

Primer 9:

Reši enačbo

Korak 1 preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ima enačba dva korena.

3. korak

odgovor:

Primer 10:

Reši enačbo

Enačba je predstavljena v standardni obliki, torej Korak 1 preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ima enačba en koren.

odgovor:

Primer 11:

Reši enačbo

Enačba je predstavljena v standardni obliki, torej Korak 1 preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ne bomo mogli izluščiti korena diskriminante. Ni korenin enačbe.

Zdaj vemo, kako takšne odgovore pravilno zapisati.

odgovor: brez korenin

2. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka.

Če se spomnite, obstaja vrsta enačbe, ki se imenuje reducirana (ko je koeficient a enak):

Takšne enačbe je zelo enostavno rešiti z uporabo Vietovega izreka:

Vsota korenin dano kvadratna enačba enaka, produkt korenin pa enak.

Primer 12:

Reši enačbo

To enačbo je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka, ker .

Vsota korenov enačbe je enaka, tj. dobimo prvo enačbo:

In produkt je enak:

Sestavimo in rešimo sistem:

• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

odgovor: ; .

Primer 13:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 14:

Reši enačbo

Podana je enačba, ki pomeni:

odgovor:

KVADRATNE ENAČBE. POVPREČNA STOPNJA

Kaj je kvadratna enačba?

Z drugimi besedami, kvadratna enačba je enačba oblike, kjer je - neznanka, - nekaj števil in.

Število imenujemo najvišje oz prvi koeficient kvadratna enačba, - drugi koeficient, A - brezplačen član.

Zakaj? Ker če enačba takoj postane linearna, ker bo izginilo.

V tem primeru in je lahko enako nič. V tem stolu se enačba imenuje nepopolna. Če so vsi členi na svojem mestu, je enačba popolna.

Rešitve različnih vrst kvadratnih enačb

Metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb:

Najprej si poglejmo metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb - so preprostejše.

Ločimo naslednje vrste enačb:

I., v tej enačbi sta koeficient in prosti člen enaka.

II. , je v tej enačbi koeficient enak.

III. , v tej enačbi je prosti člen enak.

Zdaj pa si poglejmo rešitev za vsako od teh podvrst.

Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Število na kvadrat ne more biti negativno, ker ko pomnožite dve negativni ali dve pozitivni števili, bo rezultat vedno pozitivno število. Zato:

če, potem enačba nima rešitev;

če imamo dve korenini

Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da ne more biti manj.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!

Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin.

Da na kratko zapišemo, da problem nima rešitve, uporabimo ikono za prazen niz.

odgovor:

Torej ima ta enačba dva korena: in.

odgovor:

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja:

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. To pomeni, da ima enačba rešitev, ko:

Torej ima ta kvadratna enačba dva korena: in.

primer:

Reši enačbo.

rešitev:

Razložimo levo stran enačbe in poiščemo korenine:

odgovor:

Metode za reševanje popolnih kvadratnih enačb:

1. Diskriminator

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je enostavno, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul. Ne pozabite, da je vsako kvadratno enačbo mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Ste v formuli za korene opazili koren iz diskriminante? Toda diskriminant je lahko negativen. Kaj storiti? Posebno pozornost moramo posvetiti 2. koraku. Diskriminanta nam pove število korenov enačbe.

• Če ima enačba korenine:
• Če ima enačba enake korenine in dejansko en koren:

  Takšne korenine imenujemo dvojne korenine.

• Če, potem koren diskriminante ni ekstrahiran. To pomeni, da enačba nima korenin.

Zakaj je možno različno število korenin? Obrnemo se na geometrijski pomen kvadratne enačbe. Graf funkcije je parabola:

V posebnem primeru, ki je kvadratna enačba, . To pomeni, da so korenine kvadratne enačbe točke presečišča z abscisno osjo (osjo). Parabola morda sploh ne seka osi ali pa jo seka v eni (če vrh parabole leži na osi) ali dveh točkah.

Poleg tega je koeficient odgovoren za smer vej parabole. Če so veje parabole usmerjene navzgor, če pa navzdol.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To pomeni, da ni rešitev.

Odgovor: .

2. Vietov izrek

Zelo enostavno je uporabiti Vietin izrek: izbrati morate samo par števil, katerih produkt je enak prostemu členu enačbe, vsota pa je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom.

Pomembno si je zapomniti, da je Vietin izrek mogoče uporabiti samo v zmanjšane kvadratne enačbe ().

Oglejmo si nekaj primerov:

Primer #1:

Reši enačbo.

rešitev:

To enačbo je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka, ker . Drugi koeficienti: ; .

Vsota korenin enačbe je:

In produkt je enak:

Izberimo pare števil, katerih zmnožek je enak, in preverimo, ali je njuna vsota enaka:

• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

Tako sta in sta korena naše enačbe.

Odgovor: ; .

Primer #2:

rešitev:

Izberimo pare števil, ki dajejo zmnožek, nato pa preverimo, ali je njuna vsota enaka:

in: dajo skupaj.

in: dajo skupaj. Za pridobitev je dovolj, da preprosto spremenite znake domnevnih korenin: in navsezadnje izdelek.

odgovor:

Primer #3:

rešitev:

Prosti člen enačbe je negativen, zato je produkt korenin negativno število. To je mogoče le, če je eden od korenov negativen, drugi pa pozitiven. Zato je vsota korenin enaka razlike njihovih modulov.

Izberimo pare števil, ki dajejo produkt in katerih razlika je enaka:

in: njihova razlika je enaka - ne ustreza;

in: - ni primeren;

in: - ni primeren;

in: - primeren. Vse kar ostane je, da se spomnimo, da je eden od korenov negativen. Ker mora biti njuna vsota enaka, mora biti koren z manjšim modulom negativen: . Preverjamo:

odgovor:

Primer #4:

Reši enačbo.

rešitev:

Podana je enačba, ki pomeni:

Prosti člen je negativen, zato je produkt korenin negativen. In to je mogoče le, če je en koren enačbe negativen, drugi pa pozitiven.

Izberimo pare števil, katerih produkt je enak, in nato določimo, kateri koreni naj imajo negativni predznak:

Očitno so samo korenine in primerne za prvi pogoj:

odgovor:

Primer #5:

Reši enačbo.

rešitev:

Podana je enačba, ki pomeni:

Vsota korenov je negativna, kar pomeni, da je vsaj eden od korenov negativen. Ker pa je njihov produkt pozitiven, pomeni, da imata oba korena znak minus.

Izberimo pare števil, katerih produkt je enak:

Očitno so korenine številke in.

odgovor:

Strinjam se, da je zelo priročno priti do korenin ustno, namesto da bi šteli to grdo razlikovanje. Poskusite uporabiti Vietov izrek čim pogosteje.

Toda Vietov izrek je potreben, da bi olajšali in pospešili iskanje korenin. Da bi vam njegova uporaba koristila, morate dejanja avtomatizirati. In za to reši še pet primerov. Vendar ne goljufajte: ne morete uporabiti diskriminatorja! Samo Vietov izrek:

Rešitve nalog za samostojno delo:

Naloga 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Po Vietovem izreku:

Kot običajno, izbor začnemo s komadom:

Ni primeren, ker količina;

: znesek je ravno to, kar potrebujete.

Odgovor: ; .

Naloga 2.

In spet naš najljubši Vieta izrek: vsota mora biti enaka in produkt mora biti enak.

Ker pa mora biti ne, ampak, spremenimo znake korenov: in (skupaj).

Odgovor: ; .

Naloga 3.

Hmm ... Kje je to?

Vse izraze morate premakniti v en del:

Vsota korenin je enaka produktu.

V redu, nehaj! Enačba ni podana. Toda Vietov izrek je uporaben samo v danih enačbah. Torej, najprej morate dati enačbo. Če ne morete voditi, opustite to idejo in jo rešite na drug način (na primer z diskriminatorjem). Naj vas spomnim, da podati kvadratno enačbo pomeni, da je glavni koeficient enak:

Super. Potem je vsota korenin enaka in produktu.

Tu je izbira tako enostavna kot luščenje hrušk: navsezadnje je to praštevilo (oprostite za tavtologijo).

Odgovor: ; .

Naloga 4.

Brezplačni član je negativen. Kaj je na tem posebnega? In dejstvo je, da bodo korenine imele različne znake. In zdaj, med izbiro, ne preverjamo vsote korenin, temveč razliko v njihovih modulih: ta razlika je enaka, ampak produkt.

Torej, korenine so enake in, vendar je ena od njih minus. Vietov izrek nam pove, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, tj. To pomeni, da bo imel manjši koren minus: in, saj.

Odgovor: ; .

Naloga 5.

Kaj morate storiti najprej? Tako je, navedite enačbo:

Še enkrat: izberemo faktorje števila, njihova razlika pa mora biti enaka:

Korenini sta enaki in, vendar je ena od njiju minus. kateri? Njuna vsota mora biti enaka, kar pomeni, da bo minus imel večji koren.

Odgovor: ; .

Naj povzamem:

1. Vietov izrek se uporablja samo v podanih kvadratnih enačbah.
2. Z uporabo Vietaovega izreka lahko poiščete korenine z izbiro, ustno.
3. Če enačba ni podana ali ni najdenega ustreznega para faktorjev prostega člena, potem ni celih korenin in jo morate rešiti na drug način (na primer z diskriminanto).

3. Metoda izbire celotnega kvadrata

Če so vsi členi, ki vsebujejo neznano, predstavljeni v obliki členov iz skrajšanih formul množenja - kvadrat vsote ali razlike - potem lahko po zamenjavi spremenljivk enačbo predstavimo v obliki nepopolne kvadratne enačbe tipa.

Na primer:

Primer 1:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

Primer 2:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

Na splošno bo preoblikovanje videti takole:

To pomeni:.

Vas ne spominja na nič? To je diskriminatorna stvar! Točno tako smo dobili diskriminantno formulo.

KVADRATNE ENAČBE. NA KRATKO O GLAVNEM

Kvadratna enačba- to je enačba oblike, kjer - neznanka, - koeficienti kvadratne enačbe, - prosti člen.

Popolna kvadratna enačba- enačba, v kateri koeficienti niso enaki nič.

Zmanjšana kvadratna enačba- enačba, v kateri je koeficient, to je: .

Nepopolna kvadratna enačba- enačba, v kateri sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

• če je koeficient, enačba izgleda takole: ,
• če obstaja prosti člen, ima enačba obliko: ,
• če in je enačba videti takole: .

1. Algoritem za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

1.1. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Izrazimo neznanko: ,

2) Preverite znak izraza:

• če, potem enačba nima rešitev,
• če, potem ima enačba dva korena.

1.2. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: ,

2) Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Zato ima enačba dva korena:

1.3. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

Ta enačba ima vedno samo en koren: .

2. Algoritem za reševanje popolnih kvadratnih enačb oblike kjer

2.1. Rešitev z uporabo diskriminante

1) Pripravimo enačbo v standardno obliko: ,

2) Izračunajmo diskriminanco po formuli: , ki pove število korenov enačbe:

3) Poiščite korenine enačbe:

• če ima enačba korenine, ki jih najdemo po formuli:
• če ima enačba koren, ki ga najdemo po formuli:
• če, potem enačba nima korenin.

2.2. Rešitev z uporabo Vietovega izreka

Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe (enačba oblike kjer) je enaka, produkt korenin pa enak, tj. , A.

2.3. Rešitev z metodo izbire celotnega kvadrata

Znano je, da gre za posebno različico enakosti ax 2 + bx + c = o, kjer so a, b in c realni koeficienti za neznano x in kjer je a ≠ o, b in c pa bosta ničli - hkrati oz. ločeno. Na primer c = o, b ≠ o ali obratno. Skoraj smo se spomnili definicije kvadratne enačbe.

Trinom druge stopnje je nič. Njegov prvi koeficient a ≠ o, b in c lahko zavzameta poljubne vrednosti. Vrednost spremenljivke x bo takrat, ko jo zamenjava spremeni v pravilno numerično enakost. Osredotočimo se na realne korene, čeprav so enačbe lahko tudi rešitve. Običajno enačbo imenujemo popolna, v kateri nobeden od koeficientov ni enak o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Rešimo primer. 2x 2 -9x-5 = oh, najdemo
D = 81+40 = 121,
D je pozitiven, kar pomeni, da obstajajo koreni, x 1 = (9+√121):4 = 5, in drugi x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Preverjanje vam bo pomagalo zagotoviti, da so pravilni.

Tukaj je postopna rešitev kvadratne enačbe

Z diskriminanto lahko rešite katero koli enačbo, na levi strani katere je znan kvadratni trinom za a ≠ o. V našem primeru. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+c = o)

Poglejmo, kaj obstaja nepopolne enačbe druge stopnje

1. sekira 2 +in = o. Prosti člen, koeficient c pri x 0, je tukaj enak nič, v ≠ o.
   Kako rešiti nepopolno kvadratno enačbo te vrste? Vzemimo x iz oklepaja. Spomnimo se, kdaj je produkt dveh faktorjev enak nič.
   x(ax+b) = o, to je lahko, ko je x = o ali ko je ax+b = o.
   Po rešitvi 2. imamo x = -в/а.
   Posledično imamo korenine x 1 = 0, po izračunih x 2 = -b/a.
2. Zdaj je koeficient pri x enak o, c pa ni enak (≠) o.
   x 2 +c = o. Premaknimo c na desno stran enakosti, dobimo x 2 = -с. Ta enačba ima prave korene le, če je -c pozitivno število (c ‹ o),
   x 1 je potem enak √(-c), oziroma x 2 je -√(-c). V nasprotnem primeru enačba sploh nima korenin.
3. Zadnja možnost: b = c = o, to je ax 2 = o. Seveda ima tako preprosta enačba en koren, x = o.

Posebni primeri

Pogledali smo, kako rešiti nepopolno kvadratno enačbo, zdaj pa vzemimo poljubne vrste.

• V popolni kvadratni enačbi je drugi koeficient x sodo število.
  Naj bo k = o.5b. Imamo formule za izračun diskriminante in korenov.
  D/4 = k 2 - ac, koreni se izračunajo kot x 1,2 = (-k±√(D/4))/a za D › o.
  x = -k/a pri D = o.
  Za D ‹ o ni korenin.
• Obstajajo podane kvadratne enačbe, ko je koeficient x na kvadrat enak 1, se običajno zapišejo x 2 + рх + q = o. Zanje veljajo vse zgornje formule, vendar so izračuni nekoliko preprostejši.
  Primer, x 2 -4x-9 = 0. Izračunajte D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Poleg tega ga je enostavno uporabiti za dane. Pravi, da je vsota korenin enačbe enaka -p, drugi koeficient z minusom (kar pomeni nasprotni predznak), produkt teh istih korenin pa bo. biti enak q, prostemu členu. Poglejte, kako enostavno bi bilo verbalno določiti korenine te enačbe. Za nereducirane koeficiente (za vse koeficiente, ki niso enaki nič) je ta izrek uporaben na naslednji način: vsota x 1 + x 2 je enaka -b/a, produkt x 1 · x 2 je enak c/a.

Vsota prostega člena c in prvega koeficienta a je enaka koeficientu b. V tej situaciji ima enačba vsaj en koren (lahko dokazati), prvi je nujno enak -1, drugi pa -c/a, če obstaja. Kako rešiti nepopolno kvadratno enačbo, lahko preverite sami. Enostavno kot pita. Koeficienti so lahko med seboj v določenih razmerjih

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Vsota vseh koeficientov je enaka o.
  Koreni takšne enačbe so 1 in c/a. Primer, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Obstaja veliko drugih načinov za reševanje različnih enačb druge stopnje. Tukaj je na primer metoda za ekstrahiranje celotnega kvadrata iz danega polinoma. Obstaja več grafičnih metod. Ko se pogosto ukvarjate s takimi primeri, se jih boste naučili »klikati« kot semena, saj vam vse metode pridejo na misel samodejno.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Občinski proračun izobraževalna ustanova Srednja šola št. 11

Besedilo dela je objavljeno brez slik in formul.
Celotna različica delo je na voljo v zavihku "Delovne datoteke" v formatu PDF

Zgodovina kvadratnih enačb

Babilon

Potreba po reševanju enačb ne le prve stopnje, ampak tudi druge v starih časih je nastala zaradi potrebe po reševanju problemov, povezanih z iskanjem območij. zemljiške parcele, z razvojem same astronomije in matematike. Kvadratne enačbe je bilo mogoče rešiti okoli leta 2000 pr. e. Babilonci. Pravila za reševanje teh enačb, zapisana v babilonskih besedilih, v bistvu sovpadajo s sodobnimi, vendar v teh besedilih ni koncepta negativnega števila in splošne metode reševanje kvadratnih enačb.

Antična grčija

Reševanje kvadratnih enačb je potekalo tudi v Antična grčija znanstveniki, kot so Diofant, Evklid in Heron. Diofant Diofant iz Aleksandrije je starogrški matematik, ki je domnevno živel v 3. stoletju našega štetja. Glavno delo Diofanta je "Aritmetika" v 13 knjigah. Evklid. Evklid je starogrški matematik, avtor prve teoretične razprave o matematiki, ki je prišla do nas, Heron. Heron - grški matematik in inženir, prvi v Grčiji v 1. stoletju našega štetja. daje čisto algebrska metoda rešitve kvadratnih enačb

Indija

Probleme o kvadratnih enačbah najdemo že v astronomski razpravi "Aryabhattiam", ki jo je leta 499 sestavil indijski matematik in astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoletje), je orisal splošno pravilo rešitve kvadratnih enačb, reducirane na eno samo kanonično obliko: ax2 + bx = c, a> 0. (1) V enačbi (1) so lahko koeficienti negativni. Brahmaguptino pravilo je v bistvu enako našemu. Javna tekmovanja pri reševanju težkih problemov so bila v Indiji običajna. Ena od starih indijskih knjig pravi o tovrstnih tekmovanjih naslednje: »Kakor sonce s svojim sijajem zasenči zvezde, tako učen človek bo zasenčil njegovo slavo na javnih zborovanjih s predlaganjem in reševanjem algebrskih problemov.« Problemi so bili pogosto predstavljeni v poetični obliki.

To je eden od problemov slavnega indijskega matematika iz 12. stoletja. Bhaskars.

»Čreda živahnih opic

In dvanajst po trtah, ki so se do sitega najedli, so se zabavali

Začeli so skakati, viseti

Osmi del jih je na kvadrat

Koliko opic je bilo tam?

Zabaval sem se na jasi

Povej mi, v tem paketu?

Bhaskarina rešitev nakazuje, da je avtor vedel, da so koreni kvadratnih enačb dvovredni. Bhaskar enačbo, ki ustreza problemu, zapiše kot x2 - 64x = - 768 in, da bi levo stran te enačbe dopolnil na kvadrat, obema stranema doda 322, tako da dobi: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Kvadratne enačbe v Evropi 17. stoletja

Formule za reševanje kvadratnih enačb po vzoru Al-Khorezmija v Evropi so bile prvič navedene v knjigi Abacus, ki jo je leta 1202 napisal italijanski matematik Leonardo Fibonacci. To obsežno delo, ki odraža vpliv matematike, tako iz držav islama kot iz stare Grčije, odlikujeta popolnost in jasnost predstavitve. Avtor je samostojno razvil nekaj novih algebrski primeri reševanje problemov in je prvi v Evropi uvedel negativna števila. Njegova knjiga je prispevala k širjenju algebraičnega znanja ne samo v Italiji, ampak tudi v Nemčiji, Franciji in drugih evropskih državah. Številni problemi iz Abakove knjige so bili uporabljeni v skoraj vseh evropskih učbenikih 16. - 17. stoletja. in deloma XVIII. Izpeljava formule za reševanje kvadratne enačbe v splošni obliki je na voljo pri Vieti, vendar je Vieta priznala samo pozitivne korenine. Med prvimi v 16. stoletju so bili italijanski matematiki Tartaglia, Cardano, Bombelli. Poleg pozitivnih se upoštevajo tudi negativni koreni. Šele v 17. stol. Zahvaljujoč delu Girarda, Descartesa, Newtona in drugih znanstvenikov dobi metoda reševanja kvadratnih enačb sodobno obliko.

Definicija kvadratne enačbe

Enačba oblike ax 2 + bx + c = 0, kjer so a, b, c števila, se imenuje kvadratna.

Koeficienti kvadratne enačbe

Števila a, b, c so koeficienti kvadratne enačbe, a je prvi koeficient (pred x²), a je drugi koeficient (pred x);

Katera od teh enačb ni kvadratna??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8= 0.

Vrste kvadratnih enačb

Ime	Splošna oblika enačbe	Značilnost (kakšni so koeficienti)	Primeri enačb
	ax 2 + bx + c = 0	a, b, c - številke, ki niso 0	1/3x 2 + 5x - 1 = 0
Nepopolna
			x 2 - 1/5x = 0
dano	x 2 + bx + c = 0		x 2 - 3x + 5 = 0

Reducirana je kvadratna enačba, v kateri je vodilni koeficient enak ena. Tako enačbo lahko dobimo tako, da celoten izraz delimo z vodilnim koeficientom a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Kvadratna enačba se imenuje popolna, če so vsi njeni koeficienti različni od nič.

Kvadratna enačba se imenuje nepopolna, v kateri je vsaj eden od koeficientov, razen vodilnega (bodisi drugi koeficient ali prosti člen), enak nič.

Metode reševanja kvadratnih enačb

Metoda I Splošna formula za izračun korenin

Iskanje korenin kvadratne enačbe sekira 2 + b + c = 0 Na splošno bi morali uporabiti spodnji algoritem:

Izračunajte vrednost diskriminante kvadratne enačbe: to je izraz zanjo D= b 2 - 4ac

Izpeljava formule:

Opomba: Očitno je, da je formula za koren množice 2 poseben primer splošne formule, ki jo dobimo tako, da vanjo nadomestimo enakost D=0 in sklep o odsotnosti pravih korenin pri D0 ter (slog prikaza (sqrt ( -1))=i) = i.

Predstavljena metoda je univerzalna, vendar še zdaleč ni edina. Reševanja ene enačbe se lahko lotite na različne načine, pri čemer so preference običajno odvisne od reševalca. Poleg tega se v ta namen pogosto izkaže, da so nekatere metode veliko bolj elegantne, preproste in manj delovno intenzivne od standardne.

Metoda II. Koreni kvadratne enačbe s sodim koeficientom b III metoda. Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

IV metoda. Uporaba delnih razmerij koeficientov

Obstajajo posebni primeri kvadratnih enačb, v katerih so koeficienti medsebojno povezani, zaradi česar jih je veliko lažje rešiti.

Koreni kvadratne enačbe, v kateri je vsota vodilnega koeficienta in prostega člena enaka drugemu koeficientu

Če v kvadratni enačbi sekira 2 + bx + c = 0 vsota prvega koeficienta in prostega člena je enaka drugemu koeficientu: a+b=c, potem sta njeni koreni -1 in število, ki je nasprotno razmerju med prostim členom in vodilnim koeficientom ( -c/a).

Zato morate pred reševanjem katere koli kvadratne enačbe preveriti možnost uporabe tega izreka: primerjajte vsoto vodilnega koeficienta in prostega člena z drugim koeficientom.

Koreni kvadratne enačbe, katere vsota vseh koeficientov je nič

Če je v kvadratni enačbi vsota vseh njenih koeficientov enaka nič, potem so koreni takšne enačbe 1 in razmerje med prostim členom in vodilnim koeficientom ( c/a).

Zato, preden rešimo enačbo standardne metode, morate preveriti uporabnost tega izreka zanj: seštejte vse koeficiente te enačbe in preverite, ali ta vsota ni enaka nič.

V metoda. Faktoriranje kvadratnega trinoma na linearne faktorje

Če je trinom oblike (slog prikaza ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) lahko nekako predstavimo kot produkt linearnih faktorjev (slog prikaza (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), potem lahko najdemo korenine enačbe sekira 2 + bx + c = 0- navsezadnje bosta -m/k in n/l (slog prikaza (kx+m)(lx+n)=0dolga desna puščica kx+m=0skodelica lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n in po rešitvi navedenih linearnih enačb dobimo zgoraj navedeno. Upoštevajte, da se kvadratni trinom ne razgradi vedno na linearne faktorje z realnimi koeficienti: to je mogoče, če ima ustrezna enačba realne korene.

Poglejmo nekaj posebnih primerov

Uporaba formule za kvadrat vsote (razlike).

Če ima kvadratni trinom obliko (displaystyle (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , ga lahko z uporabo zgornje formule zanj faktoriziramo na linearne faktorje in , torej najdi korenine:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Izolacija polnega kvadrata vsote (razlike)

Zgornja formula se uporablja tudi z metodo, imenovano "izbira polnega kvadrata vsote (razlike)." V zvezi z zgornjo kvadratno enačbo s prej uvedenim zapisom to pomeni naslednje:

Opomba:Če opazite, ta formula sovpada s tisto, ki je predlagana v razdelku "Korenine reducirane kvadratne enačbe", ki jo je mogoče dobiti iz splošne formule (1) z zamenjavo enakosti a=1. To dejstvo ni le naključje: z uporabo opisane metode je, čeprav z dodatnim sklepanjem, mogoče izpeljati splošna formula, in tudi dokazati lastnosti diskriminanta.

Metoda VI. Uporaba direktnega in inverznega Vieta izreka

Vietin neposredni izrek (glej spodaj v razdelku z istim imenom) in njegov inverzni izrek vam omogočata ustno reševanje zgornjih kvadratnih enačb, ne da bi se zatekli k precej okornim izračunom z uporabo formule (1).

Po navedbah nasprotje izreka, vsak par števil (število) (slog prikaza x_(1),x_(2))x 1, x 2, ki je rešitev spodnjega sistema enačb, sta koren enačbe

V splošnem primeru, to je za nereducirano kvadratno enačbo ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Neposredni izrek vam bo pomagal ustno najti števila, ki ustrezajo tem enačbam. Z njegovo pomočjo lahko določite znake korenin, ne da bi poznali same korenine. Če želite to narediti, morate upoštevati pravilo:

1) če je prosti izraz negativen, imajo korenine različne znake, največja absolutna vrednost korenin pa ima znak, ki je nasproten znaku drugega koeficienta enačbe;

2) če je prosti člen pozitiven, imata oba korena enak predznak, in to je predznak, ki je nasproten predznaku drugega koeficienta.

Metoda VII. Način prenosa

Tako imenovana metoda "prenosa" vam omogoča, da rešitev nereduciranih in nereducibilnih enačb zmanjšate na obliko reduciranih enačb s celimi koeficienti, tako da jih delite z vodilnim koeficientom na rešitev reduciranih enačb s celimi koeficienti. Takole je:

Nato enačbo ustno rešijo na zgoraj opisani način, nato se vrnejo k prvotni spremenljivki in poiščejo korenine enačb (slog prikaza y_(1)=ax_(1)) l 1 =ax 1 in l 2 =ax 2 .(displaystyle y_(2)=ax_(2))

Geometrijski pomen

Graf kvadratne funkcije je parabola. Rešitve (korenine) kvadratne enačbe so abscise presečišč parabole z abscisno osjo. Če opisana parabola kvadratna funkcija, se ne seka z osjo x, enačba nima pravih korenin. Če parabola seka os x v eni točki (na oglišču parabole), ima enačba en pravi koren (pravimo, da ima enačba tudi dve sovpadajoči korenini). Če parabola seka os x v dveh točkah, ima enačba dva realna korena (glej sliko na desni).

Če koeficient (slog prikaza a) a pozitivno, so veje parabole usmerjene navzgor in obratno. Če koeficient (slog prikaza b) bpozitiven (če je pozitiven (slog prikaza a) a, če je negativno, obratno), potem leži oglišče parabole v levi polravnini in obratno.

Uporaba kvadratnih enačb v življenju

Kvadratna enačba se pogosto uporablja. Uporablja se v številnih izračunih, strukturah, športih in tudi okoli nas.

Razmislimo in navedimo nekaj primerov uporabe kvadratne enačbe.

Šport. Skoki v višino: med zaletom skakalca se uporabljajo izračuni, povezani s parabolo, da se doseže čim jasnejši udarec na zaletišče in visok let.

Tudi pri metanju so potrebni podobni izračuni. Domet letenja predmeta je odvisen od kvadratne enačbe.

Astronomija. Pot planetov je mogoče najti s kvadratno enačbo.

Let z letalom. Vzlet letala je glavna komponenta leta. Tu vzamemo izračun za nizek upor in pospešek vzleta.

Kvadratne enačbe se uporabljajo tudi v različnih ekonomskih disciplinah, v programih za obdelavo zvoka, videa, vektorske in rastrske grafike.

Zaključek

Kot rezultat opravljenega dela se je izkazalo, da so kvadratne enačbe pritegnile znanstvenike že v starih časih, z njimi so se srečali že pri reševanju nekaterih problemov in jih poskušali rešiti. Ob upoštevanju različne načine pri reševanju kvadratnih enačb sem prišel do zaključka, da niso vse enostavne. Po mojem mnenju najbolj najboljši način reševanje kvadratnih enačb je reševanje s formulami. Formule si je enostavno zapomniti, ta metoda je univerzalna. Potrdila se je hipoteza, da so enačbe zelo razširjene v življenju in matematiki. Po študiju teme sem se veliko naučil zanimiva dejstva o kvadratnih enačbah, njihovi uporabi, uporabi, vrstah, rešitvah. In z veseljem jih bom študiral naprej. Upam, da mi bo to pomagalo pri dobrih izpitih.

Seznam uporabljene literature

Gradivo spletnega mesta:

Wikipedia

Odprta lekcija.rf

Priročnik za osnovno matematiko Vygodsky M. Ya.

Samo. Po formulah in jasnih, preprostih pravilih. Na prvi stopnji

dano enačbo je potrebno spraviti v standardno obliko, tj. na obrazec:

Če vam je enačba že dana v tej obliki, vam ni treba opraviti prve stopnje. Najpomembneje je, da to storite pravilno

določi vse koeficiente, A, b in c.

Formula za iskanje korenin kvadratne enačbe.

Izraz pod znakom korena se imenuje diskriminator . Kot lahko vidite, da bi našli X, mi

uporabljamo samo a, b in c. Tisti. koeficienti iz kvadratna enačba. Samo previdno ga nastavite

vrednote a, b in c Računamo po tej formuli. Nadomestimo z njihov znaki!

Na primer, v enačbi:

A =1; b = 3; c = -4.

Vrednosti zamenjamo in zapišemo:

Primer je skoraj rešen:

To je odgovor.

Najpogostejše napake so zamenjave z vrednostmi znakov a, b in z. Oziroma z zamenjavo

negativne vrednosti v formulo za izračun korenov. Tu priskoči na pomoč podroben posnetek formule

s posebnimi številkami. Če imate težave z izračuni, naredite to!

Recimo, da moramo rešiti naslednji primer:

Tukaj a = -6; b = -5; c = -1

Vse opišemo podrobno, natančno, ne da bi ničesar zamudili z vsemi znaki in oklepaji:

Kvadratne enačbe so pogosto videti nekoliko drugače. Na primer takole:

Sedaj pa upoštevajte praktične tehnike, ki dramatično zmanjšajo število napak.

Prvi termin. Ne bodi len prej reševanje kvadratne enačbe spravite v standardno obliko.

Kaj to pomeni?

Recimo, da po vseh transformacijah dobite naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem korenske formule! Skoraj zagotovo se vam bodo pomešale možnosti a, b in c.

Pravilno sestavite primer. Najprej X na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti člen. Všečkaj to:

Znebite se minusa. kako Celotno enačbo moramo pomnožiti z -1. Dobimo:

Zdaj pa lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminanco in dokončate reševanje primera.

Odločite se sami. Zdaj bi morali imeti korenine 2 in -1.

Drugi sprejem. Preverite korenine! Avtor: Vietov izrek.

Za rešitev podanih kvadratnih enačb, tj. če koeficient

x 2 +bx+c=0,

Potemx 1 x 2 =c

x 1 + x 2 =−b

Za popolno kvadratno enačbo, v kateri a≠1:

x 2 +bx+c=0,

celotno enačbo delite z A:

→ →

Kje x 1 in x 2 - korenine enačbe.

Sprejem tretji. Če ima vaša enačba delne koeficiente, se jih znebite! Pomnožite

enačba s skupnim imenovalcem.

Zaključek. Praktični nasveti:

1. Kvadratno enačbo pred reševanjem spravimo v standardno obliko in jo sestavimo Prav.

2. Če je pred X na kvadrat negativen koeficient, ga izločimo tako, da vse pomnožimo

enačbe z -1.

3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim

dejavnik.

4. Če je x na kvadrat čist, je njegov koeficient enak ena, lahko rešitev enostavno preverimo z

", torej enačbe prve stopnje. V tej lekciji si bomo ogledali kar imenujemo kvadratna enačba in kako to rešiti.

Kaj je kvadratna enačba?

Pomembno!

Stopnja enačbe je določena z najvišjo stopnjo neznanke.

Če je največja moč, v kateri je neznanka, "2", potem imate kvadratno enačbo.

Primeri kvadratnih enačb

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Pomembno!

Splošna oblika kvadratne enačbe izgleda takole:

A x 2 + b x + c = 0

• "a", "b" in "c" so podane številke.
• "a" je prvi ali najvišji koeficient;
• "b" je drugi koeficient;

“c” je brezplačen član.

Če želite najti "a", "b" in "c", morate svojo enačbo primerjati s splošno obliko kvadratne enačbe "ax 2 + bx + c = 0".

kvote c = 17 c = 8

Vadimo se v določanju koeficientov "a", "b" in "c" v kvadratnih enačbah.	Enačba
5x 2 − 14x + 17 = 0 a = 5 b = −14
−7x 2 − 13x + 8 = 0 a = −7 b = −13

1

3

= 0

• −x 2 + x +
• a = −1
• b = 1

  1

  3

c =

• x 2 + 0,25 x = 0
• a = 1
• b = 0,25

c = 0

• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0
• b = 0

c = −8

Kako rešiti kvadratne enačbe Za razliko od linearne enačbe za reševanje kvadratnih enačb, special.

formula za iskanje korenin

Ne pozabite!

• Za rešitev kvadratne enačbe potrebujete: zmanjšajte kvadratno enačbo na Splošni videz
• "ax 2 + bx + c = 0". To pomeni, da mora na desni strani ostati samo "0";

Oglejmo si primer, kako uporabiti formulo za iskanje korenin kvadratne enačbe. Rešimo kvadratno enačbo.

X 2 − 3x − 4 = 0

Enačba “x 2 − 3x − 4 = 0” je bila že reducirana na splošno obliko “ax 2 + bx + c = 0” in ne zahteva dodatnih poenostavitev. Da bi jo rešili, se moramo le prijaviti formula za iskanje korenin kvadratne enačbe.

Določimo koeficiente "a", "b" in "c" za to enačbo.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uporablja se lahko za reševanje katere koli kvadratne enačbe.

V formuli “x 1;2 =” je radikalni izraz pogosto zamenjan
“b 2 − 4ac” za črko “D” in se imenuje diskriminanta. Koncept diskriminatorja je podrobneje obravnavan v lekciji "Kaj je diskriminant".

Poglejmo še en primer kvadratne enačbe.

x 2 + 9 + x = 7x

V tej obliki je precej težko določiti koeficiente "a", "b" in "c". Najprej zreducirajmo enačbo na splošno obliko “ax 2 + bx + c = 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Zdaj lahko uporabite formulo za korenine.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Odgovor: x = 3

Obstajajo časi, ko kvadratne enačbe nimajo korenin. Do te situacije pride, ko formula vsebuje negativno število pod korenom.