Skica grafa funkcije. Skica grafa funkcije (na primeru ulomljeno-kvadratne funkcije). Varstvo osebnih podatkov

1. Metodologija izdelave skic funkcijskih grafov

2. Rešitev primera št. 1

3. Rešitev primera št. 2

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Razkritje informacij tretjim osebam

Varstvo osebnih podatkov

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja


Risanje funkcijskih grafov. . . . . . . . . . . .
1. Načrt za preučevanje funkcije pri izdelavi grafa. .
2. Osnovni pojmi in stopnje raziskovanja funkcij. . . .
1. Domena funkcije D f in množica
vrednosti funkcije E f. Posebne lastnosti
funkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Študij asimptot. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Vertikalne asimptote. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Poševne (vodoravne) asimptote. . . . . . .
2.3. Metode za preučevanje nevertikalnih asimptot. .
2.4. Relativni položaj grafa funkcije
in njegove asimptote. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Skiciranje grafa funkcije. . . . . . . . . .
4. Odseki naraščajoče in padajoče funkcije
Najmanjše in največje število točk. . . . . . . . . . . . . . .
5. Konveksna funkcija gor in dol
Prevojne točke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Diferenciacija funkcije, analitična
katerega izraz vsebuje modul. . . . . . . . . . . . .
4. Osnovne zahteve za rezultate raziskav
in načrtovanje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Primeri raziskovanja in konstrukcije funkcij
funkcijski grafi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primer 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primer 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primer 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primer 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primer 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primer 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Risanje krivulj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Načrt za raziskovanje in izdelavo krivulj. . . . . . . . . .

2. Osnovni koncepti in stopnje raziskovanja krivulje. . . . .
	Preučevanje funkcij x x t in y y t. . . . . . .
	Uporaba rezultatov raziskav x x t . .
2.1. Vertikalne asimptote krivulje. . . . . . . . . . .
2.2. Nagnjene (vodoravne) asimptote krivulje. .
	Analiza rezultatov in izdelava skice
funkcijska grafika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Odseki naraščajoče in padajoče krivulje
Minimalne in maksimalne točke funkcij
x x y in y y x , vrhnji točki krivulje. . . . . . .
	Konveksna funkcija gor in dol. Prevojne točke. .
3. Konstrukcija parametrično določenih krivulj. . . . . .
Primer 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primer 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Primer 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemi za samostojno rešitev. . . . . .
odgovori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Grafične funkcije

1. Načrt za preučevanje funkcije pri izdelavi grafa

1. Poiščite domeno definicije funkcije. Pogosto je koristno upoštevati več vrednosti funkcije. Raziščite posebne lastnosti funkcije: sodo, liho; periodičnost, lastnosti simetrije.

2. Raziščite asimptote grafa funkcije: navpične, poševne. Analizirajte relativni položaj grafa funkcije in njenih nagnjenih (vodoravnih) asimptot.

3. Nariši skico grafa.

4. Poiščite področja monotonosti funkcije: naraščajoče in padajoče. Poiščite ekstreme funkcije: minimume in maksimume.

Poiščite enostranske odvode na diskontinuitetnih točkah odvoda funkcije in na mejnih točkah področja definicije funkcije (če enostranski odvodi obstajajo).

5. Poiščite intervale konveksnosti funkcije in prevojne točke.

2. Osnovni pojmi in stopnje raziskovanja funkcij

1. Funkcijska domena Df in veliko pomenov

funkcije E f . Lastnosti posebnih funkcij

Označite področje definiranja funkcije, označite ga na abscisni osi z mejnimi točkami in preluknjami ter označite abscise teh točk. Iskanje domene definicije funkcije ni potrebno.

Ni potrebno najti več funkcijskih vrednosti. Lastnosti niza vrednosti, ki jih je enostavno preučevati: nenegativnost, omejenost od spodaj ali zgoraj itd., se uporabljajo za izdelavo skice grafa, nadzor rezultatov študije in pravilnosti grafa.

x všeč

Graf sode funkcije je simetričen glede na ordinatno os Oy. Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor. Sode in lihe funkcije preučujemo na pozitivni polovici definicijskega področja.

Periodično funkcijo preučujemo na eni periodi in

Graf je prikazan na 2-3 obdobjih.
2. Študij asimptot
2.1. Vertikalne asimptote
Definicija 1.				x x0		klical		navpično
asimptota grafa funkcije				y f x,			če je izpolnjen
eden od pogojev:			meja f x 1				lim f x .
			x x0 0				x x0 0
2.2. Poševne (vodoravne) asimptote

noah) asimptota grafa funkcije					y f x pri x,
lim f x kx b 0 .
					pri x
	definicija asimptote
klim		b lim f x kx. Izračun ustreznega


meje, dobimo asimptotno enačbo y kx b .
Podobna trditev velja v primeru, ko

Če je k 0, se asimptota imenuje poševna.
k 0 , potem asimptota			y b imenujemo vodoravno.
Koncepti nagnjenega in vodoravnega se uvedejo podobno.
asimptote grafa funkcije y f x						pri x.

2.3. Metode za preučevanje nevertikalnih asimptot Preučevanje asimptot za x in za

pravilo se izvaja ločeno.

1 Simbol bomo uporabili tudi za izpolnitev enega primera

V nekaterih posebnih primerih je mogoče skupaj proučevati asimptote pri x in pri x, na primer za

1) racionalne funkcije;

2) sode in lihe funkcije, za grafe katerih lahko študijo izvedemo na delu definicijskega področja.

Metoda izbire glavnega dela.Če želite najti asimptoto, izberite glavni del funkcije pri x. Enako za x.

Glavni del delno racionalne funkcije To je priročno najti tako, da označite celoten del ulomka:

Primer 1. Poiščite poševne asimptote grafa funkcije

f x 2 x 3 x 2. x 1

f x 2 x 5					o 1 at	x, nato naravnost

May y 2 x 5 je želena asimptota. ◄

Glavni del iracionalne funkcije pri reševanju praktičnih primerov je priročno najti uporabo metod za predstavitev funkcije s Taylorjevo formulo za x.

Primer 2. Poiščite poševno asimptoto grafa funkcije

x4 3 x 1

pri x.

x 4 o1

za x, potem ravna črta		y x 4 je želena asimptota.

		neracionalno
		f x 3		priročno najti
	ax2 bx c in		ax3 bx2 cx d

uporabite metodo izolacije celotnega kvadrata ali celotne kocke radikalnega izraza.

Primer 3. Poiščite poševne asimptote grafa funkcije f x x 2 6 x 14 za x in x.

V radikalnem izrazu izberemo celoten kvadrat

x 3 2

5. Ker je graf funkcije

f x je simetrična

glede na premico x 3 in

nato f x ~

pri x.

x 3 2 5

Torej je naravnost

y x 3 je

asimptota pri x in premica y 3 x

Asimptota pri

x. ◄

Če želite najti asimptote, lahko uporabite metodo izolacije glavnega dela.

Primer 4. Poiščite asimptote grafa funkcije f x 4 x 2 x 2 .

f x 2

To je funkcija

ima asimptoto

y 2 x

in asimptoto

y 2 x

pri x .◄

Za transcendentalne funkcije obe metodi sta sprejemljivi

sledenje asimptotam pri reševanju praktičnih primerov.

Opomba 1. Pri proučevanju asimptot iracionalne, transcendentalne funkcije, in funkcije, katerih analitični izraz vsebuje modul, Priporočljivo je upoštevati dva primera: x in x. Skupna študija asimptot pri x in pri x lahko povzroči napake v študiji. Pri iskanju limitov ali glavnega dela x je potrebno spremeniti spremenljivko x t.

2.4. Relativni položaj grafa funkcije in njenih asimptot

a) Če ima funkcija y f x asimptoto pri x,

je diferencibilen in striktno konveksen navzdol na žarku x x 0, nato pa graf

fiks funkcije leži nad asimptoto (slika 1.1).

b) Če ima funkcija y f x asimptoto pri x,

je diferencibilen in strogo konveksen navzgor na žarku x x 0, potem

graf funkcije leži pod asimptoto (slika 1.2).

c) Obstajajo lahko tudi drugi primeri obnašanja grafa funkcije, ko teži k asimptoti. Na primer, možno je, da graf funkcije neskončno velikokrat seka asimptoto (sliki 1.3 in 1.4).

Podobna izjava velja za x.

Pred preučevanjem lastnosti konveksnosti funkcijskega grafa lahko relativne položaje funkcijskega grafa in njegovih asimptot določimo z znakom o 1 v metodi izolacije glavnega dela.

Primer 5. Določite relativni položaj grafa

funkcija f x 2 x 2 3 x 2 in njene asimptote. x 1

0 pri x, potem graf funkcije leži pod asimptotiko

ti y 2 x 5 . ◄

Primer 6. Določite relativni položaj grafa

funkcije f x

x4 3 x 1

in njene asimptote za x.

x 2 1

Iz enakosti

x sledi, da graf funkcije leži pod asimptoto y x 4 . ◄

Primer 7. Določite relativni položaj grafa funkcije f x x 2 6 x 14 in njenih asimptot.

Ker je f x x 3 (glej primer 3), potem

x 3 2 5 x 3

graf funkcije leži nad asimptoto y x 3 pri x in pri x. ◄

Primer 8. Določite relativni položaj grafa

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 in njene asimptote.

kot x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6 , nato z uporabo

a x 2 3 14 x 6,

b x 2 3, dobimo f x x 2

14x6

3 x 2 3 14 x 6 2

x 2 3

x 2 3 14 x 6

x 2 2

razlika je pozitivna pri x

in negativno pri x

Zato pri x leži graf funkcije pod asimptoto y x 2, pri x pa nad asimptoto y x 2.◄

Metoda za izračun omejitev za preučevanje asimptot ne omogoča ocene relativnega položaja grafa funkcije in njenih asimptot.

3. Skiciranje grafa funkcije Za izdelavo skice grafa, navpičnega in

poševne asimptote, točke presečišča grafa funkcije z osmi. Ob upoštevanju relativne lege grafa funkcije in asimptot je sestavljena skica grafa. Če graf funkcije leži nad (pod) asimptoto pri x, potem ob predpostavki, da

obstaja točka x 0 taka, da med točkami x x 0 ni prevojnih točk,

ugotovimo, da je funkcija konveksna navzdol (navzgor), torej na asimptoto. Podobno je mogoče predvideti smer konveksnosti na asimptoto za navpične asimptote in za asimptoto pri x. Vendar, kot kaže zgornji primer

funkcija y x sin 2 x, takšne predpostavke morda niso x

4. Področja naraščajoče in padajoče funkcije. Najmanjše in največje število točk

Definicija 3.	Pokličemo funkcijo f x	povečevanje
(padajoče) na intervalu a, b, če obstaja		x1 , x2 a , b ,
tako da je x 1 x 2	obstaja neenakost	f x1 f x2
(f x1 f x2).

Funkcija f x diferencibilna na intervalu a, b

topi (zmanjšuje) na intervalu a, b, če in samo če

funkcija f x .

Nujen pogoj za ekstrem. če

Točka ex-

tremuma funkcije f x , potem na tej točki bodisi

f x 0 0 oz

derivat ne obstaja.

Zadostni pogoji za ekstrem.

f x razlika

1. Naj obstaja 0, tako da funkcija

je sevalna v preluknjani -soseščini točke x 0

in neprekinjeno

v točki x 0 . potem,

a) če njegov derivat spremeni predznak minus v plus pri ponovnem

napredovanje skozi točko		x 0,

			x x 0 , x 0 , potem je x 0 največja točka
	x 0 za katero koli
funkcije f x ;
	b) če njegov derivat spremeni predznak plus v minus pri ponovnem
napredovanje skozi točko		x 0,
			tiste. f x 0 za katerikoli x x 0, x 0,
			x x 0 , x 0 , potem je x 0 najmanjša točka
	x 0 za katero koli

funkcije f x .

Primeri modelov vključujejo y x (slika 2.1) in

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

V tej lekciji si bomo ogledali tehniko izdelave skice grafa funkcije in podali razlagalne primere.

Tema: Ponavljanje

Lekcija: Skiciranje grafa funkcije (na primeru ulomljeno-kvadratne funkcije)

Naš cilj je skicirati graf ulomljene kvadratne funkcije. Za primer vzemimo funkcijo, ki jo že poznamo:

Podana je ulomka, katere števec in imenovalec vsebujeta kvadratne funkcije.

Tehnika skiciranja je naslednja:

1. Izberite intervale konstantnega predznaka in na vsakem določite predznak funkcije (slika 1)

Podrobno smo pregledali in ugotovili, da lahko funkcija, ki je zvezna v ODZ, spremeni predznak le, ko gre argument skozi korenine in prelomne točke ODZ.

Dana funkcija y je zvezna v svoji ODZ, označimo ODZ:

Poiščimo korenine:

Izpostavimo intervale konstantnosti predznaka. Našli smo korene funkcije in lomne točke definicijskega področja - korene imenovalca. Pomembno je omeniti, da znotraj vsakega intervala funkcija ohrani svoj predznak.

riž. 1. Intervali konstantnega predznaka funkcije

Če želite določiti predznak funkcije na vsakem intervalu, lahko vzamete katero koli točko, ki pripada intervalu, jo nadomestite v funkciji in določite njen predznak. Na primer:

Na intervalu ima funkcija znak plus

Na intervalu ima funkcija predznak minus.

To je prednost intervalne metode: določimo predznak na posamezni poskusni točki in ugotovimo, da bo imela funkcija enak predznak v celotnem izbranem intervalu.

Vendar pa lahko predznake nastavite samodejno, brez izračuna vrednosti funkcij, za to določite predznak v skrajnem intervalu in nato predznake zamenjajte.

1. Zgradimo graf v okolici vsakega korena. Spomnimo se, da so korenine te funkcije in :

riž. 2. Graf v okolici korenin

Ker se v točki predznak funkcije spremeni iz plusa v minus, je krivulja najprej nad osjo, nato gre skozi ničlo in se nato nahaja pod osjo x. Na točki je ravno nasprotno.

2. Izdelajmo graf v okolici vsake diskontinuitete ODZ. Spomnimo se, da so koreni imenovalca te funkcije in :

riž. 3. Graf funkcije v okolici diskontinuitetnih točk ODZ

Ko je imenovalec ulomka praktično enak nič, to pomeni, da ko se vrednost argumenta nagiba k tem številom, se vrednost ulomka nagiba v neskončnost. V tem primeru, ko se argument približa trojki na levi, je funkcija pozitivna in teži k plus neskončnosti, na desni pa je funkcija negativna in gre čez minus neskončnost. Okoli štiri, nasprotno, na levi se funkcija nagiba k minus neskončnosti, na desni pa zapusti plus neskončnost.

Glede na izdelano skico lahko ugibamo naravo obnašanja funkcije v nekaterih intervalih.

riž. 4. Skica grafa funkcije

Razmislimo o naslednji pomembni nalogi - zgraditi skico grafa funkcije v bližini točk v neskončnosti, to je, ko argument teži k plus ali minus neskončnosti. V tem primeru lahko zanemarimo stalne izraze. Imamo:

Včasih lahko najdete ta posnetek tega dejstva:

riž. 5. Skica grafa funkcije v okolici neskončno oddaljenih točk

Dobili smo približno obnašanje funkcije v njeni celotni definicijski domeni; nato moramo izboljšati konstrukcijo z uporabo izpeljanke.

Primer 1 - skicirajte graf funkcije:

Imamo tri točke, skozi katere lahko funkcija spremeni predznak, ko gre argument.

Na vsakem intervalu določimo predznake funkcije. Na skrajnem desnem intervalu imamo plus, potem se znaka izmenjujeta, saj imajo vsi koreni prvo stopnjo.

Izdelamo skico grafa v bližini korenin in prelomnih točk ODZ. Imamo: ker se v točki predznak funkcije spremeni iz plusa v minus, je krivulja najprej nad osjo, nato gre skozi ničlo in se nato nahaja pod osjo x. Ko je imenovalec ulomka praktično enak nič, to pomeni, da ko se vrednost argumenta nagiba k tem številom, se vrednost ulomka nagiba v neskončnost. V tem primeru, ko se argument približa minus dve na levi, je funkcija negativna in teži k minus neskončnosti, na desni pa je funkcija pozitivna in zapusti plus neskončnost. Približno dve sta enaki.

Poiščimo odvod funkcije:

Očitno je odvod vedno manjši od nič, zato funkcija pada v vseh odsekih. Torej, v odseku od minus neskončnosti do minus dva, funkcija pada od nič do minus neskončnosti; v odseku od minus dva do nič funkcija pada od plus neskončnosti do nič; v odseku od nič do dve funkcija pada od nič do minus neskončnosti; v odseku od dve do plus neskončnosti funkcija pada od plus neskončnosti do nič.

Naj ponazorimo:

riž. 6. Skica grafa funkcije za primer 1

pri x, nato gra-

y 2 x 5. Ker

fiktivne funkcije laži

nad asimptoto

Primer 2 - skicirajte graf funkcije:

Izdelamo skico grafa funkcije brez uporabe odvoda.

Najprej preučimo dano funkcijo:

Imamo eno samo točko, skozi katero lahko funkcija spremeni predznak, ko gre argument.

Upoštevajte, da je dana funkcija nenavadna.

Na vsakem intervalu določimo predznake funkcije. Na skrajnem desnem intervalu imamo plus, nato se predznak spremeni, saj ima koren prvo stopnjo.

Izdelamo skico grafa v okolici korena. Imamo: ker se v točki predznak funkcije spremeni iz minusa v plus, je krivulja najprej pod osjo, nato gre skozi nič in se nato nahaja nad osjo x.

Zdaj zgradimo skico grafa funkcije v bližini točk v neskončnosti, to je takrat, ko argument teži k plus ali minus neskončnosti. V tem primeru lahko zanemarimo stalne izraze. Imamo:

Po izvedbi zgornjih korakov si že predstavljamo graf funkcije, vendar ga moramo razjasniti z izpeljavo.

“Težave z izpeljavo” - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. Kako si predstavljate trenutno hitrost? Problem trenutne hitrosti. l. Kako si predstavljate trenutno hitrost? ?X=x-x0. Povedano je zapisano v obrazcu. Najprej smo določili »teritorij« naše raziskave. A l g o r i t m. Hitrost v postopoma narašča.

"Študij odvodne funkcije" - Top strelja pod kotom na obzorje. Možnost 1 A B D Možnost 2 G B B. Občinska izobraževalna ustanova Srednja šola Meshkovskaya Učiteljica matematike Kovaleva T.V. Funkcija je definirana na segmentu [-4;4] . Kako sta povezana odvod in funkcija? Odgovori: UPORABA ODVODA ZA PREUČEVANJE FUNKCIJE: naraščajoče in padajoče funkcije. NALOGA Se spomnite zgodbe o baronu Munchausenu?

"Derivat kompleksne funkcije" - Kompleksna funkcija. Pravilo za iskanje odvoda kompleksne funkcije. Izpeljava enostavne funkcije. Odvod kompleksne funkcije. Kompleksna funkcija: Primeri:

"Uporaba odvoda za preučevanje funkcij" - 6. -1. 8. Določite kritične točke funkcije z uporabo grafa odvoda funkcije. 1. =. 1. julij 1646 - 14. november 1716, Ogrevanje. Znak naraščajočih in padajočih funkcij. Določite predznak odvoda funkcije na intervalih.

"Lekcija o odvodu kompleksne funkcije" - Odvod kompleksne funkcije. Izračunajte hitrost točke: a) v času t; b) v trenutku t=2 s. Poiščite odvode funkcij: , Če. Brooke Taylor. Poiščite diferencial funkcije: Pri katerih vrednostih x velja enakost. Točka se giblje premočrtno po zakonu s(t) = s(t) = (s je pot v metrih, t je čas v sekundah).

“Definicija odvoda” - 1. Dokaz: f(x+ ?x). Naj so u(x), v(x) in w(x) diferenciabilne funkcije v nekem intervalu (a; b), C je konstanta. f(x). Enačba premice s kotnim koeficientom: Z uporabo Newtonove binomske formule imamo: Izrek. Potem: Odvod kompleksne funkcije.

Skupaj je 31 predstavitev

V tej lekciji si bomo ogledali tehniko izdelave skice grafa funkcije in podali razlagalne primere.

Tema: Ponavljanje

Lekcija: Skiciranje grafa funkcije (na primeru ulomljeno-kvadratne funkcije)

Naš cilj je skicirati graf ulomljene kvadratne funkcije. Za primer vzemimo funkcijo, ki jo že poznamo:

Podana je ulomka, katere števec in imenovalec vsebujeta kvadratne funkcije.

Tehnika skiciranja je naslednja:

1. Izberite intervale konstantnega predznaka in na vsakem določite predznak funkcije (slika 1)

Podrobno smo pregledali in ugotovili, da lahko funkcija, ki je zvezna v ODZ, spremeni predznak le, ko gre argument skozi korenine in prelomne točke ODZ.

Dana funkcija y je zvezna v svoji ODZ, označimo ODZ:

Poiščimo korenine:

riž. 1. Intervali konstantnega predznaka funkcije

Če želite določiti predznak funkcije na vsakem intervalu, lahko vzamete katero koli točko, ki pripada intervalu, jo nadomestite v funkciji in določite njen predznak. Na primer:

Na intervalu ima funkcija znak plus

Na intervalu ima funkcija predznak minus.

To je prednost intervalne metode: določimo predznak na posamezni poskusni točki in ugotovimo, da bo imela funkcija enak predznak v celotnem izbranem intervalu.

Vendar pa lahko predznake nastavite samodejno, brez izračuna vrednosti funkcij, za to določite predznak v skrajnem intervalu in nato predznake zamenjajte.

1. Zgradimo graf v okolici vsakega korena. Spomnimo se, da so korenine te funkcije in :

riž. 2. Graf v okolici korenin

Ker se v točki predznak funkcije spremeni iz plusa v minus, je krivulja najprej nad osjo, nato gre skozi ničlo in se nato nahaja pod osjo x. Na točki je ravno nasprotno.

2. Izdelajmo graf v okolici vsake diskontinuitete ODZ. Spomnimo se, da so koreni imenovalca te funkcije in :

riž. 3. Graf funkcije v okolici diskontinuitetnih točk ODZ

Glede na izdelano skico lahko ugibamo naravo obnašanja funkcije v nekaterih intervalih.

riž. 4. Skica grafa funkcije

Oglejmo si naslednjo pomembno nalogo - zgraditi skico grafa funkcije v bližini neskončnih točk, tj. ko se argument nagiba k plus ali minus neskončnosti. V tem primeru lahko zanemarimo stalne izraze. Imamo:

Včasih lahko najdete ta posnetek tega dejstva:

riž. 5. Skica grafa funkcije v okolici neskončno oddaljenih točk

Dobili smo približno obnašanje funkcije v njeni celotni definicijski domeni; nato moramo izboljšati konstrukcijo z uporabo izpeljanke.

Primer 1 - skicirajte graf funkcije:

Imamo tri točke, skozi katere lahko funkcija spremeni predznak, ko gre argument.

Na vsakem intervalu določimo predznake funkcije. Na skrajnem desnem intervalu imamo plus, potem se znaka izmenjujeta, saj imajo vsi koreni prvo stopnjo.

Poiščimo odvod funkcije:

Naj ponazorimo:

riž. 6. Skica grafa funkcije za primer 1

Primer 2 - skicirajte graf funkcije:

Izdelamo skico grafa funkcije brez uporabe odvoda.

Najprej preučimo dano funkcijo:

Imamo eno samo točko, skozi katero lahko funkcija spremeni predznak, ko gre argument.

Upoštevajte, da je dana funkcija nenavadna.

Na vsakem intervalu določimo predznake funkcije. Na skrajnem desnem intervalu imamo plus, nato se predznak spremeni, saj ima koren prvo stopnjo.

Izdelamo skico grafa v okolici korena. Imamo: ker se v točki predznak funkcije spremeni iz minusa v plus, je krivulja najprej pod osjo, nato gre skozi nič in se nato nahaja nad osjo x.

Zdaj sestavimo skico grafa funkcije v okolici neskončno oddaljenih točk, tj. ko se argument nagiba k plus ali minus neskončnosti. V tem primeru lahko zanemarimo stalne izraze. Imamo:

Po izvedbi zgornjih korakov si že predstavljamo graf funkcije, vendar ga moramo razjasniti z izpeljavo.

Poiščimo odvod funkcije:

Izberemo intervale konstantnega predznaka odvoda: pri . ODZ tukaj. Tako imamo tri intervale konstantnega predznaka odvoda in tri odseke monotonosti izvorne funkcije. Določimo predznake odvoda na vsakem intervalu. Kdaj odvod je pozitiven, funkcija narašča; ko je odvod negativen, je funkcija padajoča. V tem primeru - najmanjša točka, ker izpeljanka spremeni predznak iz minusa v plus; nasprotno, največja točka.