Pravilo za množenje poljubnega števila z nič. Šolski tečaj matematike: zakaj v šoli ne morete deliti z ničlo

Evgeny Shiryaev, predavatelj in vodja Laboratorija za matematiko Politehničnega muzeja, je za AiF.ru povedal o deljenju z ničlo:

1. Pristojnost zadeve

Strinjam se, prepoved daje pravilu posebno provokativnost. Kako je nemogoče? Kdo je prepovedal? Kaj pa naše državljanske pravice?

Niti ustava Ruske federacije, niti kazenski zakonik, niti listina vaše šole ne nasprotujejo intelektualnemu dejanju, ki nas zanima. To pomeni, da prepoved nima pravne veljave in nič ne preprečuje, da bi tukaj, na straneh AiF.ru, poskušali nekaj deliti z nič. Na primer tisoč.

2. Razdeli, kot je naučeno

Ne pozabite, ko ste se prvič naučili deliti, so prve primere reševali s preverjanjem z množenjem: rezultat, pomnožen z deliteljem, se je moral ujemati z deljivim. Ni se ujemalo - ni odločilo.

Primer 1 1000: 0 =...

Za trenutek pozabimo na prepovedano pravilo in večkrat poskusimo uganiti odgovor.

Nepravilen bo odrezal ček. Ponovite možnosti: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Za vsako od njih bo test dal enak rezultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Ničla z množenjem spremeni vse vase in nikoli v tisoč. Sklep je enostavno oblikovati: nobena številka ne bo prestala preizkusa. To pomeni, da nobeno število ne more biti rezultat deljenja neničelnega števila z ničlo. Takšna delitev ni prepovedana, ampak preprosto nima rezultata.

3. Niansa

Skoraj zamudil eno priložnost, da bi ovrgel prepoved. Da, zavedamo se, da število, ki ni nič, ne bo deljivo z 0. Morda pa lahko sama 0?

Primer 2 0: 0 = ...

Vaši predlogi za zasebno? 100? Prosim: količnik 100, pomnožen z deliteljem 0, je enak deljeniku 0.

Več možnosti! ena? Tudi primerno. In -23, in 17, in vse-vse-vse. V tem primeru bo rezultat preverjanja pozitiven za poljubno število. In če sem iskren, rešitve v tem primeru ne bi smeli imenovati številka, ampak niz številk. Vsi. In ne bo trajalo dolgo, da se strinjamo, da Alice ni Alice, ampak Mary Ann, obe pa sta zajčji sen.

4. Kaj pa višja matematika?

Problem je rešen, nianse so upoštevane, pike so postavljene, vse je jasno - nobeno število ne more biti odgovor za primer z deljenjem z nič. Reševanje takšnih težav je brezupno in nemogoče. Torej ... zanimivo! Dvojna dva.

Primer 3 Ugotovite, kako 1000 delite z 0.

Ampak nikakor. Toda 1000 je mogoče enostavno deliti z drugimi številkami. No, naredimo vsaj tisto, kar deluje, tudi če zamenjamo nalogo. In tam, vidite, nas bo zaneslo in odgovor se bo pojavil sam. Za trenutek pozabite na nič in delite s sto:

Sto je daleč od ničle. Naredimo korak k temu z zmanjšanjem delitelja:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Očitna dinamika: bližje ko je delitelj ničli, večji je količnik. Trend je mogoče opazovati naprej, preiti na ulomke in še naprej zmanjševati števec:

Upoštevati je treba še, da se lahko ničli približamo, kolikor hočemo, tako da je količnik poljubno velik.

V tem procesu ni ničle in ni zadnjega količnika. Gibanje proti njim smo označili tako, da smo številko zamenjali z zaporedjem, ki se približuje številu, ki nas zanima:

To pomeni podobno zamenjavo za dividendo:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Puščice so dvostranske z razlogom: nekatera zaporedja se lahko zbližajo s številkami. Nato lahko zaporedje povežemo z njegovo številsko mejo.

Poglejmo zaporedje količnikov:

Raste v nedogled, ne stremi k nobenemu številu in ga preseže. Matematiki številkam dodajajo simbole ∞, da lahko poleg takega zaporedja postavite dvostransko puščico:

Primerjava števila zaporedij z mejo nam omogoča, da predlagamo rešitev za tretji primer:

Če zaporedje, ki konvergira k 1000 elementov, delimo z zaporedjem pozitivnih števil, ki konvergira k 0, dobimo zaporedje, ki konvergira k ∞.

5. In tukaj je odtenek z dvema ničlama

Kakšen bo rezultat deljenja dveh zaporedij pozitivnih števil, ki konvergirata k nič? Če sta enaka, potem je enaka enota. Če zaporedje-dividenda konvergira k ničli hitreje, potem v določenem zaporedju z ničelno mejo. In ko se elementi delitelja zmanjšajo veliko hitreje kot dividenda, bo zaporedje količnika močno naraslo:

Negotova situacija. In temu se reče: negotovost oblike 0/0 . Ko matematiki vidijo zaporedja, ki spadajo pod takšno negotovost, ne hitijo deliti dveh enakih števil eno z drugim, ampak ugotovijo, katero od zaporedij teče hitreje na nič in kako. In vsak primer bo imel svoj specifičen odgovor!

6. V življenju

Ohmov zakon povezuje tok, napetost in upor v vezju. Pogosto je zapisano v tej obliki:

Zanemarjamo natančno fizično razumevanje in formalno poglejmo desna stran kot količnik dveh števil. Predstavljajte si, da rešujemo šolski problem o elektriki. Pogoj je podana napetost v voltih in upor v ohmih. Vprašanje je očitno, odločitev v eni akciji.

Zdaj pa poglejmo definicijo superprevodnosti: to je lastnost nekaterih kovin, da imajo ničelni električni upor.

No, rešimo problem za superprevodno vezje? Samo povej tako R= 0 ne bo šlo, fizika bruha zanimiva naloga, za katerim očitno stoji znanstveno odkritje. In ljudje, ki so v tej situaciji uspeli deliti z nič, so prejeli Nobelovo nagrado. Koristno je, da lahko zaobidemo vse prepovedi!

"Ne moreš deliti z nič!" - večina učencev si to pravilo zapomni na pamet, brez vprašanj. Vsi otroci vedo, kaj je "ne" in kaj se bo zgodilo, če nanj vprašate: "zakaj? Vendar je pravzaprav zelo zanimivo in pomembno vedeti, zakaj je to nemogoče."

Dejstvo je, da so štiri aritmetične operacije - seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje - pravzaprav neenake. Matematiki priznavajo le dva od njih kot polnopravna - seštevanje in množenje. Te operacije in njihove lastnosti so vključene v samo definicijo pojma števila. Vsa druga dejanja so tako ali drugače zgrajena iz teh dveh.

Upoštevali bomo na primer odštevanje. Kaj pomeni 5-3? Študent bo na to odgovoril preprosto: vzeti morate pet predmetov, odnesti (odstraniti) tri od njih in videti, koliko jih ostane. Matematiki pa na ta problem gledajo povsem drugače. Ni odštevanja, samo seštevanje. Zato pisanje 5 - 3 pomeni število, ki bo, če ga dodamo številu 3, dalo število 5. To pomeni, da je 5 - 3 le skrajšan zapis enačbe: x 3 \u003d 5. V njem ni odštevanja ta enačba. Obstaja le naloga - najti primerno številko.

Enako je z množenjem in deljenjem. Zapis 8: 4 lahko razumemo kot rezultat razdelitve osmih predmetov na štiri enake kupe. Toda v resnici je to le skrajšana oblika enačbe 4 * x = 8.

Tu postane jasno, zakaj je nemogoče (ali bolje rečeno nemogoče) deliti z nič. Zapis 5: 0 je okrajšava za 0 * x = 5. To pomeni, da je ta naloga najti število, ki bo, če ga pomnožimo z 0, dalo 5. Vemo pa, da se pri množenju z 0 vedno izkaže, da je 0 .to je neločljiva lastnost ničle, strogo gledano , del njene definicije.

Preprosto ni takega števila, ki bi, če ga pomnožimo z 0, dalo kaj drugega kot nič. To pomeni, da naš problem nima rešitve. (Da, zgodi se, vsaka težava nima rešitve.) Torej pisanje 5:0 ne ustreza nobeni določeni številki in preprosto ne pomeni ničesar in zato nima smisla. Nesmiselnost tega vnosa je na kratko izražena z besedami, da ne morete deliti z ničlo.

Najbolj pozorni bralci se bodo na tem mestu zagotovo vprašali: ali je mogoče nič deliti z nič? Dejansko je enačba 0 * x = 0 uspešno rešena. Na primer, lahko vzamete x = 0 in potem dobimo 0 * 0 = 0. Torej, 0: 0=0? Ampak ne hitimo. Poskusimo vzeti x = 1. dobimo 0 * 1 = 0. kajne? Torej 0:0 = 1? Lahko pa na ta način vzamete poljubno število in dobite 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 itd.

A če je katera koli številka primerna, potem nimamo razloga, da bi se odločili za eno izmed njih. To pomeni, da ne moremo reči, kateri številki ustreza vnos 0: 0. In če je tako, potem smo prisiljeni priznati, da tudi ta vnos nima smisla. Izkazalo se je, da tudi ničle ni mogoče deliti z ničlo. (Pri matematični analizi obstajajo primeri, ko lahko zaradi dodatnih pogojev problema damo prednost enemu od opcije rešitev enačbe 0 * x = 0; v takšnih primerih matematiki govorijo o "razkrivanju negotovosti", v aritmetiki pa se takšni primeri ne pojavljajo. Tukaj je značilnost operacije delitve. Natančneje, operacija množenja in z njo povezano število imata nič.

No, tisti najbolj natančni, ki so prebrali do te točke, se lahko vprašajo: zakaj je tako, da ne moreš deliti z ničlo, lahko pa odšteješ nič? V nekem smislu se tukaj začne prava matematika. Nanj lahko odgovorimo le s seznanitvijo s formalnimi matematičnimi definicijami številskih množic in operacij na njih. Ni tako težko, vendar se iz nekega razloga ne preučuje v šoli. A na predavanjih matematike na fakulteti vas bodo v prvi vrsti naučili prav tega.

Zakaj ne moreš deliti z ničlo? "Ne moreš deliti z ničlo!" - večina šolarjev si to pravilo zapomni na pamet, ne da bi postavljali vprašanja. Vsi otroci vedo, kaj je "ne" in kaj se bo zgodilo, če nanj vprašate: "Zakaj?" Toda v resnici je zelo zanimivo in pomembno vedeti, zakaj je to nemogoče. Dejstvo je, da so štiri aritmetične operacije - seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje - pravzaprav neenake. Matematiki priznavajo le dva od njih kot polnopravna - seštevanje in množenje. Te operacije in njihove lastnosti so vključene v samo definicijo pojma števila. Vsa druga dejanja so tako ali drugače zgrajena iz teh dveh. Razmislite na primer o odštevanju. Kaj pomeni 5-3? Študent bo na to odgovoril preprosto: vzeti morate pet predmetov, odnesti (odstraniti) tri od njih in videti, koliko jih ostane. Matematiki pa na ta problem gledajo povsem drugače. Ni odštevanja, samo seštevanje. Zato pisanje 5 - 3 pomeni število, ki bo, če ga prištejemo številu 3, dalo število 5. To pomeni, da je 5 - 3 le skrajšan zapis enačbe: x + 3 = 5. V njem ni odštevanja. ta enačba. Obstaja le naloga - najti primerno številko.Enako je z množenjem in deljenjem. Zapis 8: 4 lahko razumemo kot rezultat razdelitve osmih predmetov na štiri enake kupe. Toda v resnici je to le skrajšana oblika enačbe 4 x = 8.Tu postane jasno, zakaj je nemogoče (ali bolje rečeno nemogoče) deliti z nič. Zapis 5: 0 je okrajšava za 0 x = 5. To pomeni, da je ta naloga najti število, ki bo pomnoženo z 0 dalo 5. Vemo pa, da ko ga pomnožimo z 0, vedno dobimo 0. To je inherentna lastnost ničle, strogo gledano, del njene definicije.Preprosto ni takega števila, ki bi, če ga pomnožimo z 0, dalo kaj drugega kot nič. To pomeni, da naš problem nima rešitve. (Da, to se zgodi, vsak problem nima rešitve.) Torej pisanje 5:0 ne ustreza nobeni določeni številki in preprosto ne pomeni ničesar in zato ni smiselno. Nesmiselnost tega vnosa je na kratko izražena z besedami, da ne morete deliti z ničlo.Najbolj pozorni bralci se bodo na tem mestu zagotovo vprašali: ali je mogoče nič deliti z nič? Dejansko je enačba 0 · x = 0 uspešno rešena. Na primer, lahko vzamemo x = 0 in potem dobimo 0 · 0 = 0. Torej, 0: 0=0? Ampak ne hitimo. Poskusimo vzeti x = 1. Dobimo 0 1 = 0. Kajne? Torej 0:0 = 1? Lahko pa na ta način vzamete poljubno število in dobite 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 itd.A če je katera koli številka primerna, potem nimamo razloga, da bi se odločili za eno izmed njih. To pomeni, da ne moremo reči, kateri številki ustreza vnos 0: 0. In če je tako, potem smo prisiljeni priznati, da tudi ta vnos nima smisla. Izkazalo se je, da tudi ničle ni mogoče deliti z ničlo. (V računstvu obstajajo primeri, ko je zaradi dodatnih pogojev problema ena od možnih rešitev enačbe 0 x = 0 lahko prednostna; v takih primerih matematiki govorijo o "razkritju negotovosti", vendar taki primeri ne pojavijo v aritmetiki.) To je značilnost operacije delitve. Natančneje, operacija množenja in z njo povezano število imata nič. No, tisti najbolj natančni, ki so prebrali do te točke, se lahko vprašajo: zakaj je tako, da ne moreš deliti z ničlo, lahko pa odšteješ nič? V nekem smislu se tukaj začne prava matematika. Nanj lahko odgovorimo le s seznanitvijo s formalnimi matematičnimi definicijami številskih množic in operacij na njih. Ni tako težko, vendar se iz nekega razloga ne preučuje v šoli. Ampak na predavanjih o matematiki na fakulteti te bodo najprej naučili tega.

Deljenje z ničlo v matematiki deljenje, pri katerem je delitelj enak nič. Tako delitev lahko formalno zapišemo kot ⁄ 0, kjer je dividenda.

V navadni aritmetiki (z realnimi števili) ta izraz nima smisla, ker:

pri ≠ 0 ni števila, ki bi, če ga pomnožimo z 0, dalo, zato nobenega števila ne moremo vzeti kot količnik ⁄ 0;
pri = 0 je tudi deljenje z ničlo nedefinirano, saj vsako število, pomnoženo z 0, da 0 in ga lahko vzamemo kot količnik 0 ⁄ 0.

Zgodovinsko gledano je ena prvih omemb matematične nezmožnosti dodelitve vrednosti ⁄ 0 v kritiki Georgea Berkeleyja infinitezimalnega računa.

Logične napake

Ker pri množenju poljubnega števila z ničlo vedno dobimo kot rezultat ničlo, pri deljenju obeh delov izraza × 0 = × 0, kar velja ne glede na vrednost in z 0 dobimo nepravilno v primeru poljubnega dano spremenljiv izraz= . Ker je nič lahko podana implicitno, vendar v obliki precej zapletene matematični izraz, na primer v obliki razlike dveh vrednosti, zmanjšanih druga na drugo za algebraične transformacije, je takšna delitev lahko dokaj neočitna napaka. Neopazna uvedba takšne delitve v dokazni proces, da bi pokazali istovetnost očitno različnih količin in s tem dokazali katero koli absurdno trditev, je ena od vrst matematičnega sofizma.

V računalništvu

V programiranju lahko poskus deljenja z ničlo povzroči različne posledice, odvisno od programskega jezika, vrste podatkov in vrednosti dividende. Posledice deljenja z ničlo v celem številu in realne aritmetike so bistveno drugačne:

Poskus celo število deljenje z ničlo je vedno kritična napaka, ki onemogoča nadaljnje izvajanje programa. Privede bodisi do vrženja izjeme (ki jo lahko program obravnava sam, s čimer se izogne zaustavitvi v sili) bodisi do takojšnje zaustavitve programa s sporočilom o usodni napaki in po možnosti z vsebino sklada klicev. V nekaterih programskih jezikih, kot je Go, se celoštevilsko deljenje s konstanto nič šteje za napako v sintaksi in povzroči prekinitev prevajanja programa.
AT resnično aritmetične posledice so lahko različne v različnih jezikih:

vračanje izjeme ali zaustavitev programa, kot pri celoštevilskem deljenju;
pridobitev posebne neštevilske vrednosti kot rezultat operacije. V tem primeru se izračuni ne prekinejo, njihov rezultat pa lahko program sam ali uporabnik naknadno interpretira kot smiselno vrednost ali kot dokaz napačnih izračunov. Široko se uporablja načelo, po katerem je pri deljenju oblike ⁄ 0, kjer je ≠ 0 število s plavajočo vejico, rezultat enak pozitivni ali negativni (odvisno od predznaka dividende) neskončnosti - ali, in ko je = 0, rezultat je posebna vrednost NaN (skrajšano iz angleščine ni številka - "ni številka"). Ta pristop je sprejet v standardu IEEE 754, ki ga mnogi podpirajo sodobni jeziki programiranje.

Naključno deljenje z nič računalniški program včasih povzroči drage ali nevarne okvare programsko nadzorovane strojne opreme. Na primer, 21. septembra 1997 je deljenje z ničlo v računalniškem nadzornem sistemu križarke ameriške mornarice USS Yorktown (CG-48) izklopilo vso elektronsko opremo v sistemu, zaradi česar je ladijska elektrarna prenehala delovati.

Poglej tudi

Opombe

Funkcija = 1 ⁄ . Ko se nagiba k ničli z desne, se nagiba v neskončnost; ko se nagiba k ničli od leve, se nagiba k minus neskončnosti

Če katero koli številko delite z nič na običajnem kalkulatorju, vam bo dal črko E ali besedo Error, to je "napaka".

Računalniški kalkulator v podobnem primeru piše (v Windows XP): "Deljenje z ničlo je prepovedano."

Vse je v skladu s šolskim pravilom, da ne moreš deliti z nič.

Poglejmo zakaj.

Deljenje je matematična operacija, ki je inverzna množenju. Deljenje je definirano z množenjem.

Deli število a(dividend, na primer 8) s številko b(delitelj, na primer številka 2) - pomeni najti takšno število x(količnik), če ga pomnožimo z deliteljem b izkaže se deljivo a(4 2 = 8), tj. a deli z b pomeni rešiti enačbo x · b = a.

Enačba a: b = x je enakovredna enačbi x · b = a.

Deljenje zamenjamo z množenjem: namesto 8: 2 = x zapišemo x 2 = 8.

8: 2 = 4 je enakovredno 4 2 = 8

18: 3 = 6 je enakovredno 6 3 = 18

20: 2 = 10 je enakovredno 10 2 = 20

Rezultat deljenja lahko vedno preverimo z množenjem. Rezultat množenja delitelja s količnikom mora biti dividenda.

Podobno poskusimo deliti z nič.

Na primer, 6: 0 = ... Najti moramo število, ki bo, če ga pomnožimo z 0, dalo 6. Vemo pa, da ko ga pomnožimo z nič, vedno dobimo nič. Ni števila, ki bi pomnoženo z ničlo dalo kaj drugega kot nič.

Ko pravijo, da je nemogoče ali prepovedano deliti z ničlo, to pomeni, da ni števila, ki bi ustrezalo rezultatu takega deljenja (z ničlo je mogoče deliti, deliti pa ne :)).

Zakaj v šoli pravijo, da ne znaš deliti z nič?

Zato v definicija operacije deljenja a z b, takoj poudarimo, da je b ≠ 0.

Če se vam je vse zgoraj napisano zdelo preveč zapleteno, potem je povsem na dlani: deliti 8 z 2 pomeni ugotoviti, koliko dvojk morate vzeti, da dobite 8 (odgovor: 4). Če 18 delite s 3, ugotovite, koliko trojk morate vzeti, da dobite 18 (odgovor: 6).

Deliti 6 z nič pomeni ugotoviti, koliko ničel morate vzeti, da dobite 6. Ne glede na to, koliko ničel vzamete, še vedno dobite nič, nikoli pa ne dobite 6, to pomeni, da deljenje z ničlo ni definirano.

Zanimiv rezultat dobimo, če poskusimo številko deliti z nič na android kalkulatorju. Na zaslonu bo prikazan ∞ (neskončnost) (ali - ∞ pri deljenju negativno število). Ta rezultat je napačna, ker ne obstaja število ∞. Očitno so programerji zamenjali popolnoma različne operacije - deljenje števil in iskanje meje številčno zaporedje n / x, kjer je x → 0. Pri deljenju nič z nič bo zapisano NaN (Ni število - Ni število).

"Ne moreš deliti z nič!" - Večina učencev si to pravilo zapomni na pamet, ne da bi postavljali vprašanja. Vsi otroci vedo, kaj je "ne" in kaj se bo zgodilo, če nanj vprašate: "Zakaj?" Toda v resnici je zelo zanimivo in pomembno vedeti, zakaj je to nemogoče.

Razmislite na primer o odštevanju. Kaj pomeni 5 - 3 ? Študent bo na to odgovoril preprosto: vzeti morate pet predmetov, odnesti (odstraniti) tri od njih in videti, koliko jih ostane. Matematiki pa na ta problem gledajo povsem drugače. Ni odštevanja, samo seštevanje. Zato vstop 5 - 3 pomeni število, ki, ko ga dodamo številu 3 bo dal številko 5 . To je 5 - 3 je le okrajšava za enačbo: x + 3 = 5. V tej enačbi ni odštevanja.

Deljenje z ničlo

Obstaja le naloga - najti primerno številko.

Enako je z množenjem in deljenjem. Snemanje 8: 4 lahko razumemo kot rezultat razdelitve osmih predmetov na štiri enake kupe. Toda v resnici je to le skrajšana oblika enačbe 4 x = 8.

Tu postane jasno, zakaj je nemogoče (ali bolje rečeno nemogoče) deliti z nič. Snemanje 5: 0 je okrajšava za 0 x = 5. To pomeni, da je ta naloga najti število, ki je pomnoženo s 0 bo dal 5 . Vemo pa, da ko pomnožimo s 0 se vedno izkaže 0 . To je inherentna lastnost ničle, strogo gledano, del njene definicije.

Število, ki pomnoženo s 0 bo dal nekaj drugega kot nič, preprosto ne obstaja. To pomeni, da naš problem nima rešitve. (Da, zgodi se, vsak problem nima rešitve.) 5: 0 ne ustreza nobeni določeni številki in preprosto ne pomeni ničesar in zato nima smisla. Nesmiselnost tega vnosa je na kratko izražena z besedami, da ne morete deliti z ničlo.

Najbolj pozorni bralci se bodo na tem mestu zagotovo vprašali: ali je mogoče nič deliti z nič?

Dejansko, saj enačba 0 x = 0 uspešno rešeno. Na primer, lahko vzamete x=0, in potem dobimo 0 0 = 0. Izkazalo se je 0: 0=0 ? Ampak ne hitimo. Poskusimo vzeti x=1. Dobiti 0 1 = 0. Pravilno? pomeni, 0: 0 = 1 ? Lahko pa vzameš katero koli številko in dobiš 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 itd.

A če je katera koli številka primerna, potem nimamo razloga, da bi se odločili za eno izmed njih. To pomeni, da ne moremo ugotoviti, katera številka ustreza vnosu 0: 0 . In če je tako, potem smo prisiljeni priznati, da tudi ta zapis nima smisla. Izkazalo se je, da tudi ničle ni mogoče deliti z ničlo. (Pri matematični analizi obstajajo primeri, ko lahko zaradi dodatnih pogojev problema damo prednost eni od možnih možnosti za rešitev enačbe 0 x = 0; v takih primerih matematiki govorijo o "razkritju nedoločenosti", v aritmetiki pa takih primerov ni.)

To je značilnost operacije delitve. Natančneje, operacija množenja in z njo povezano število imata nič.

No, tisti najbolj natančni, ki so prebrali do te točke, se lahko vprašajo: zakaj je tako, da ne moreš deliti z ničlo, lahko pa odšteješ nič? V nekem smislu se tukaj začne prava matematika. Nanj lahko odgovorimo le s seznanitvijo s formalnimi matematičnimi definicijami številskih množic in operacij na njih. Ni tako težko, vendar se iz nekega razloga ne preučuje v šoli. Ampak na predavanjih o matematiki na fakulteti te bodo najprej naučili tega.

Funkcija deljenja ni definirana za obseg, kjer je delitelj nič. Lahko delite, vendar rezultat ni definiran

Ne moreš delati z ničlo. Matematika 2 razred gimnazije.

Če me spomin ne vara, potem lahko ničlo predstavimo kot neskončno majhno vrednost, torej bo neskončnost. In šolski "nula - nič" je le poenostavitev, toliko jih je pri šolski matematiki. Ampak brez njih nikakor, vse ob svojem času.

Prijavite se za pisanje odgovora

Deljenje z ničlo

Zasebno od deljenje z ničlo ni drugega števila kot nič.

Razlaga tukaj je naslednja: ker v tem primeru nobeno število ne more zadostiti definiciji količnika.

Zapišimo npr.

katerokoli številko vzamete za testiranje (recimo 2, 3, 7), ni dobra, ker:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Kaj se zgodi, če delite z 0?

itd., vendar morate dobiti izdelek 2,3,7.

Lahko rečemo, da problem deljenja z nič števila, ki ni nič, nima rešitve. Vendar pa lahko število, ki ni nič, delimo s številom, ki je poljubno blizu nič, in čim bližje je delitelj ničli, večji bo količnik. Če torej 7 delimo s

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

potem dobimo zasebnih 70, 700, 7000, 70.000 itd., ki se večajo v nedogled.

Zato se pogosto reče, da je količnik deljenja 7 z 0 "neskončno velik" ali "enak neskončnosti", in pišejo

\[7:0 = \infin\]

Pomen tega izraza je, da če se delitelj približa ničli in dividenda ostane enaka 7 (ali se približa 7), potem količnik narašča za nedoločen čas.

Zelo pogosto se mnogi sprašujejo, zakaj ni mogoče uporabiti deljenja z nič? V tem članku bomo zelo podrobno razložili, od kod prihaja to pravilo, pa tudi, katera dejanja je mogoče izvesti z ničlo.

V stiku z

Zero lahko imenujemo eden najbolj zanimive številke. Ta številka nima pomena, pomeni praznino v pravem pomenu besede. Če pa poleg katere koli števke postavite ničlo, bo vrednost te števke nekajkrat večja.

Številka je sama po sebi zelo skrivnostna. Uporabljeno je bilo tudi starodavni ljudje majevski. Pri Majih je ničla pomenila "začetek" in odštevanje koledarskih dni tudi začela iz nič.

Zelo zanimivo dejstvo je, da sta si predznak nič in predznak negotovosti podobna. S tem so Maji želeli pokazati, da je nič enak znak kot negotovost. V Evropi se je oznaka nič pojavila relativno nedavno.

Veliko ljudi pozna tudi prepoved, povezano z ničlo. Vsaka oseba bo to rekla ni mogoče deliti z nič. To govorijo učitelji v šoli, otroci pa jim običajno verjamejo na besedo. Običajno otrok to preprosto ne zanima ali pa vedo, kaj se bo zgodilo, če bodo, ko bodo slišali pomembno prepoved, takoj vprašali: "Zakaj ne moreš deliti z nič?". Toda, ko postanete starejši, se zanimanje prebudi in želite izvedeti več o razlogih za takšno prepoved. Vendar pa obstajajo razumni dokazi.

Dejanja z ničlo

Najprej morate ugotoviti, katera dejanja je mogoče izvesti z ničlo. obstaja več vrst dejavnosti:

Dodatek;
Množenje;
odštevanje;
Deljenje (ničla s številom);
Potencevanje.

Pomembno!Če kateremu koli številu med seštevanjem dodamo ničlo, bo to število ostalo enako in ne bo spremenilo svoje številske vrednosti. Enako se zgodi, če poljubnemu številu odštejete nič.

Pri množenju in deljenju je stvar nekoliko drugačna. Če pomnoži poljubno število z nič, potem bo tudi produkt postal nič.

Razmislite o primeru:

Zapišimo to kot dodatek:

Skupaj je dodanih pet ničel, tako se izkaže, da

Poskusimo pomnožiti ena z nič. Tudi rezultat bo nič.

Ničlo lahko delimo tudi s katerim koli drugim številom, ki ji ni enako. V tem primeru se bo izkazalo, da bo vrednost tudi enaka nič. Enako pravilo velja za negativna števila. Če ničlo delite z negativnim številom, dobite nič.

Lahko tudi dvignete poljubno število na nič moči. V tem primeru dobite 1. Pomembno si je zapomniti, da je izraz "ničla na ničelno moč" popolnoma brez pomena. Če poskusite nič povišati na katero koli potenco, dobite nič. primer:

Uporabimo pravilo množenja, dobimo 0.

Ali je mogoče deliti z nič

Tako smo prišli do glavnega vprašanja. Ali je mogoče deliti z nič na splošno? In zakaj je nemogoče deliti število z ničlo, glede na to, da vse druge operacije z ničlo v celoti obstajajo in veljajo? Če želite odgovoriti na to vprašanje, se morate obrniti na višjo matematiko.

Začnimo z definicijo pojma, kaj je nič? Šolski učitelji trdijo, da nič ni nič. Praznina. To pomeni, da ko rečete, da imate 0 pisal, to pomeni, da sploh nimate pisal.

V višji matematiki je koncept "ničle" širši. To sploh ne pomeni prazno. Tukaj ničlo imenujemo negotovost, ker če malo raziščeš, se izkaže, da lahko z delitvijo ničle z ničlo kot rezultat dobimo katerokoli drugo število, ki morda ni nujno ničlo.

Ali veste, da tiste preproste aritmetične operacije, ki ste se jih učili v šoli, med seboj niso tako enake? Najosnovnejši koraki so seštevanje in množenje.

Za matematike pojma "" in "odštevanje" ne obstajata. Denimo: če od pet odštejemo tri, ostaneta dva. Takole izgleda odštevanje. Vendar bi matematiki to zapisali takole:

Tako se izkaže, da je neznana razlika določeno število, ki ga je treba dodati 3, da dobimo 5. To pomeni, da vam ni treba ničesar odšteti, samo najti morate ustrezno število. To pravilo velja za dodajanje.

Stvari so nekoliko drugačne z pravila množenja in deljenja. Znano je, da množenje z nič vodi do ničelnega rezultata. Na primer, če je 3:0=x, potem če obrnete zapis, dobite 3*x=0. In število, ki je pomnoženo z 0, bo dalo nič v produktu. Izkazalo se je, da število, ki bi v zmnožku z ničlo dalo kakršno koli drugo vrednost razen nič, ne obstaja. To pomeni, da je deljenje z nič nesmiselno, to pomeni, da ustreza našemu pravilu.

Toda kaj se zgodi, če poskusite ničlo deliti samo s seboj? Vzemimo x kot neko nedoločeno število. Izkazalo se je, da je enačba 0 * x \u003d 0. Lahko se reši.

Če poskusimo namesto x vzeti ničlo, dobimo 0:0=0. Bi se zdelo logično? Če pa poskušamo namesto x vzeti katero koli drugo številko, na primer 1, potem dobimo 0:0=1. Enaka situacija bo, če vzamete katero koli drugo številko in vključite v enačbo.

V tem primeru se izkaže, da lahko kot faktor vzamemo katerokoli drugo število. Rezultat bo neskončno število različne številke. Včasih je kljub temu deljenje z 0 v višji matematiki smiselno, a takrat običajno obstaja določen pogoj, zaradi katerega še vedno lahko izberemo eno primerno število. To dejanje se imenuje "razkritje negotovosti". V običajni aritmetiki bo deljenje z ničlo spet izgubilo pomen, saj iz množice ne bomo mogli izbrati nobenega števila.

Pomembno! Ničle ni mogoče deliti z ničlo.

Nič in neskončnost

Neskončnost je zelo pogosta v višji matematiki. Ker za šolarje preprosto ni pomembno, da vedo, da še vedno obstajajo matematične operacije z neskončnostjo, učitelji otrokom ne morejo pravilno razložiti, zakaj je nemogoče deliti z nič.

Študenti se začnejo učiti osnovnih matematičnih skrivnosti šele v prvem letniku inštituta. Višja matematika ponuja velik nabor problemov, ki nimajo rešitve. Najbolj znani problemi so problemi z neskončnostjo. Rešiti jih je mogoče z matematična analiza.

Uporabite se lahko tudi v neskončnost elementarne matematične operacije: seštevanje, množenje s številom. Pogosto se uporabljata tudi odštevanje in deljenje, vendar se na koncu vseeno zmanjšata na dve preprosti operaciji.