Rešite formulo kvadratne enačbe. Tradicionalni način reševanja in nepopolnih kvadratnih enačb. Primeri kvadratnih enačb

Kvadratne enačbe se preučujejo v 8. razredu, zato tukaj ni nič zapletenega. Bistvena je sposobnost njihovega reševanja.

Kvadratna enačba je enačba oblike ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a , b in c poljubna števila, a ≠ 0.

Preden preučimo posebne metode reševanja, omenimo, da lahko vse kvadratne enačbe razdelimo v tri razrede:

Nimajo korenin;
Imajo natanko eno korenino;
Imajo dve različni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi in linearnimi enačbami, kjer koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotoviti, koliko korenin ima enačba? Za to obstaja čudovita stvar - diskriminator.

Diskriminator

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0. Potem je diskriminanta preprosto število D = b 2 − 4ac.

To formulo je treba poznati na pamet. Od kod prihaja, zdaj ni pomembno. Še ena stvar je pomembna: s predznakom diskriminante lahko določite, koliko korenin ima kvadratna enačba. namreč:

Če D< 0, корней нет;
Če je D = 0, obstaja natanko en koren;
Če je D > 0, bosta korena dva.

Upoštevajte: diskriminator označuje število korenin in ne sploh njihovih znakov, kot iz neznanega razloga mnogi mislijo. Oglejte si primere in vse vam bo jasno:

Naloga. Koliko korenin ima kvadratna enačba:

x 2 - 8x + 12 = 0;

5x2 + 3x + 7 = 0;

x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišemo koeficiente prve enačbe in poiščemo diskriminanco:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminanta je torej pozitivna, zato ima enačba dva različna korena. Drugo enačbo analiziramo na enak način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanta je negativna, korenin ni. Zadnja enačba ostaja:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je enak nič - koren bo ena.

Upoštevajte, da so bili za vsako enačbo izpisani koeficienti. Da, dolgo je, da, dolgočasno je - vendar ne boste mešali možnosti in ne delali neumnih napak. Izberite sami: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če si »napolnite roko«, vam čez nekaj časa ne bo več treba pisati vseh koeficientov. Takšne operacije boste izvajali v svoji glavi. Večina ljudi začne to početi nekje po 50-70 rešenih enačbah - na splošno ne tako veliko.

Korenine kvadratne enačbe

Zdaj pa preidimo na rešitev. Če je diskriminant D > 0, je mogoče korene najti po formulah:

Osnovna formula korenin kvadratna enačba

Ko je D = 0, lahko uporabite katero koli od teh formul - dobite isto število, ki bo odgovor. Končno, če D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 = 0;

15 - 2x - x2 = 0;

x2 + 12x + 36 = 0.

Prva enačba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ enačba ima dva korena. Poiščimo jih:

Druga enačba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ima enačba spet dva korena. Poiščimo jih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \levo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Na koncu še tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ enačba ima en koren. Uporabi se lahko katera koli formula. Na primer, prvi:

Kot lahko vidite iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formule in znate računati, ne bo težav. Najpogosteje pride do napak, ko se v formulo nadomestijo negativni koeficienti. Tukaj vam bo spet pomagala zgoraj opisana tehnika: preglejte formulo dobesedno, pobarvajte vsak korak - in se kmalu znebite napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

Zgodi se, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tiste, ki je navedena v definiciji. Na primer:

x2 + 9x = 0;
x2 − 16 = 0.

Zlahka je videti, da v teh enačbah manjka eden od členov. Takšne kvadratne enačbe je še lažje rešiti kot standardne: zanje ni treba niti izračunati diskriminante. Predstavimo torej nov koncept:

Enačbo ax 2 + bx + c = 0 imenujemo nepopolna kvadratna enačba, če je b = 0 ali c = 0, tj. koeficient spremenljivke x ali prostega elementa je enak nič.

Seveda je možen zelo težek primer, ko sta oba koeficienta enaka nič: b \u003d c \u003d 0. V tem primeru ima enačba obliko ax 2 \u003d 0. Očitno ima taka enačba en sam koren: x \u003d 0.

Razmislimo o drugih primerih. Naj bo b \u003d 0, potem dobimo nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 + c \u003d 0. Nekoliko jo preoblikujemo:

Ker aritmetični kvadratni koren obstaja le iz ne negativno število, je zadnja enakost smiselna le pri (−c /a ) ≥ 0. Sklep:

Če nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 + c = 0 izpolnjuje neenakost (−c / a ) ≥ 0, bosta korena dva. Formula je navedena zgoraj;
Če (−c / a)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminanta ni bila potrebna - v nepopolnih kvadratnih enačbah sploh ni zapletenih izračunov. Pravzaprav si niti ni treba zapomniti neenakosti (−c / a ) ≥ 0. Dovolj je izraziti vrednost x 2 in videti, kaj je na drugi strani enačaja. Če obstaja pozitivno število, bosta korena dva. Če je negativen, korenin sploh ne bo.

Opravimo zdaj enačbe oblike ax 2 + bx = 0, v katerih je prosti element enak nič. Tukaj je vse preprosto: vedno bosta dve korenini. Dovolj je faktorizirati polinom:

Izvzem skupnega faktorja iz oklepaja

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Od tod izvirajo korenine. Na koncu bomo analizirali več teh enačb:

Naloga. Rešite kvadratne enačbe:

x2 − 7x = 0;

5x2 + 30 = 0;

4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Ni korenin, saj kvadrat ne more biti enak negativnemu številu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Naloge za kvadratno enačbo se preučujejo tako v šolskem kurikulumu kot na univerzah. Razumemo jih kot enačbe oblike a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kjer x- spremenljivka, a,b,c – konstante; a<>0 . Težava je najti korenine enačbe.

Geometrični pomen kvadratne enačbe

Graf funkcije, ki je predstavljena s kvadratno enačbo, je parabola. Rešitve (korenine) kvadratne enačbe so točke presečišča parabole z osjo x. Iz tega sledi, da so možni trije primeri:
1) parabola nima presečišča z osjo x. To pomeni, da je v zgornji ravnini z vejami navzgor ali v spodnji z vejami navzdol. V takih primerih kvadratna enačba nima pravih korenin (ima dva kompleksna korena).

2) parabola ima eno presečišče z osjo Ox. Takšno točko imenujemo vrh parabole, kvadratna enačba pa v njej dobi svoj minimum oz. največja vrednost. V tem primeru ima kvadratna enačba en pravi koren (ali dva enaka korena).

3) Zadnji primer je v praksi bolj zanimiv - obstajata dve presečni točki parabole z abscisno osjo. To pomeni, da obstajata dva resnična korena enačbe.

Na podlagi analize koeficientov pri potencah spremenljivk je mogoče izpeljati zanimive zaključke o postavitvi parabole.

1) Če je koeficient a večji od nič, je parabola usmerjena navzgor, če je negativen, so veje parabole usmerjene navzdol.

2) Če je koeficient b večji od nič, leži oglišče parabole v levi polravnini, če je negativen pomen- nato v desno.

Izpeljava formule za reševanje kvadratne enačbe

Prenesimo konstanto iz kvadratne enačbe

za znak enačaja dobimo izraz

Pomnožite obe strani s 4a

Če želite dobiti polni kvadrat na levi, dodajte b ^ 2 v oba dela in izvedite transformacijo

Od tu najdemo

Formula diskriminante in koreni kvadratne enačbe

Diskriminanta je vrednost radikalnega izraza. Če je pozitivna, ima enačba dva realna korena, izračunana po formuli Ko je diskriminanta nič, ima kvadratna enačba eno rešitev (dva sovpadajoča korena), ki ju je enostavno dobiti iz zgornje formule za D = 0. Ko je diskriminanta negativna, enačba nima pravih korenin. Vendar pa je za preučevanje rešitev kvadratne enačbe v kompleksni ravnini njihova vrednost izračunana po formuli

Vietov izrek

Razmislimo o dveh korenih kvadratne enačbe in na njuni osnovi sestavimo kvadratno enačbo. Iz zapisa zlahka sledi sam Vietov izrek: če imamo kvadratno enačbo oblike potem je vsota njenih korenin enaka koeficientu p, vzetem z nasprotnim predznakom, produkt korenin enačbe pa je enak prostemu členu q. Zgornja formula bo videti takole. Če je konstanta a v klasični enačbi različna od nič, potem morate celotno enačbo deliti z njo in nato uporabiti izrek Vieta.

Razpored kvadratne enačbe na faktorje

Naj bo postavljena naloga: razstaviti kvadratno enačbo na faktorje. Za izvedbo jo najprej rešimo enačbo (poiščemo korenine). Nato nadomestimo najdene korene v formulo za razširitev kvadratne enačbe Ta problem bo rešen.

Naloge za kvadratno enačbo

Naloga 1. Poiščite korenine kvadratne enačbe

x^2-26x+120=0 .

Rešitev: Zapišite koeficiente in jih nadomestite v diskriminantni formuli

korenina dano vrednost enako 14, ga je enostavno najti s kalkulatorjem ali si ga zapomniti s pogosto uporabo, vendar vam bom zaradi udobja na koncu članka dal seznam kvadratov števil, ki jih pogosto najdemo v takšnih nalogah .
Najdeno vrednost nadomestimo s korensko formulo

in dobimo

Naloga 2. reši enačbo

2x2+x-3=0.

Rešitev: Imamo popolno kvadratno enačbo, izpiši koeficiente in poišči diskriminanco

S pomočjo znanih formul poiščemo korenine kvadratne enačbe

Naloga 3. reši enačbo

9x2 -12x+4=0.

Rešitev: Imamo popolno kvadratno enačbo. Določite diskriminanco

Dobili smo primer, ko korenine sovpadajo. Vrednosti korenov najdemo po formuli

Naloga 4. reši enačbo

x^2+x-6=0 .

Rešitev: V primerih, ko so koeficienti za x majhni, je priporočljivo uporabiti izrek Vieta. Po njegovem pogoju dobimo dve enačbi

Iz drugega pogoja dobimo, da mora biti produkt enak -6. To pomeni, da je eden od korenov negativen. Imamo naslednji možni par rešitev (-3;2), (3;-2) . Ob upoštevanju prvega pogoja zavrnemo drugi par rešitev.
Koreni enačbe so

Naloga 5. Poiščite dolžine stranic pravokotnika, če je njegov obseg 18 cm in ploščina 77 cm 2.

Rešitev: polovica obsega pravokotnika je enaka vsoti sosednjih stranic. Označimo x - velika stran, potem je 18-x njegova manjša stranica. Površina pravokotnika je enaka produktu teh dolžin:
x(18x)=77;
oz
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Poiščimo diskriminanco enačbe

Izračunamo korenine enačbe

Če x=11, potem 18x=7 , velja tudi obratno (če je x=7, potem je 21-x=9).

Problem 6. Faktoriziraj kvadratno 10x 2 -11x+3=0 enačbo.

Rešitev: Izračunajte korenine enačbe, za to poiščemo diskriminanto

Najdeno vrednost nadomestimo s formulo korenin in izračunamo

Uporabimo formulo za razširitev kvadratne enačbe po korenih

Če razširimo oklepaje, dobimo identiteto.

Kvadratna enačba s parametrom

Primer 1. Za kakšne vrednosti parametra a , ali ima enačba (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 en koren?

Rešitev: Z neposredno zamenjavo vrednosti a=3 vidimo, da nima rešitve. Nadalje bomo uporabili dejstvo, da ima enačba z ničelnim diskriminantom en koren množice 2. Izpišimo diskriminanco

poenostavite in enačite na nič

Dobili smo kvadratno enačbo glede na parameter a, katere rešitev je enostavno dobiti z izrekom Vieta. Vsota korenin je 7, njihov produkt pa 12. S preprostim naštevanjem ugotovimo, da bodo korenine enačbe števila 3,4. Ker smo že na začetku izračunov zavrnili rešitev a=3, bo edina pravilna - a=4. Tako ima enačba za a = 4 en koren.

Primer 2. Za kakšne vrednosti parametra a , enačba a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ima več kot en koren?

Rešitev: Najprej razmislite o singularnih točkah, to bosta vrednosti a=0 in a=-3. Ko je a=0, bo enačba poenostavljena na obliko 6x-9=0; x=3/2 in bo en koren. Za a= -3 dobimo identiteto 0=0 .
Izračunajte diskriminanco

in poiščite vrednosti a, za katere je pozitiven

Iz prvega pogoja dobimo a>3. Za drugo najdemo diskriminanco in korenine enačbe

Določimo intervale, kjer funkcija zavzema pozitivne vrednosti. Z zamenjavo točke a=0 dobimo 3>0 . Torej je zunaj intervala (-3; 1/3) funkcija negativna. Ne pozabite na piko a=0 kar je treba izključiti, saj ima izvirna enačba en koren.
Kot rezultat dobimo dva intervala, ki izpolnjujeta pogoj problema

V praksi bo podobnih nalog veliko, poskusite se z nalogami spoprijeti sami in ne pozabite upoštevati pogojev, ki se med seboj izključujejo. Dobro preučite formule za reševanje kvadratnih enačb, pogosto so potrebne pri izračunih v različnih problemih in znanostih.

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0.
Za kvadratni trinom ax 2 + bx + c uporabimo iste transformacije, kot smo jih izvedli v § 13, ko smo dokazali izrek, da je graf funkcije y \u003d ax 2 + bx + c parabola.
Imamo

Običajno je izraz b 2 - 4ac označen s črko D in se imenuje diskriminanta kvadratne enačbe ax 2 + bx + c \u003d 0 (ali diskriminanta kvadratnega trinoma ax + bx + c).

V to smer

Zato lahko kvadratno enačbo ax 2 + their + c \u003d O prepišemo kot

Vsako kvadratno enačbo je mogoče preoblikovati v obliko (1), kar je priročno, kot bomo zdaj videli, za določitev števila korenin kvadratne enačbe in iskanje teh korenin.

Dokaz. Če D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а потому уравнение (1) не имеет корней.

Primer 1 Rešite enačbo 2x 2 + 4x + 7 = 0.
rešitev. Tukaj je a = 2, b = 4, c = 7,
D \u003d b 2 -4ac \u003d 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Ker je D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Dokaz. Če je D = 0, ima enačba (1) obliko

je edini koren enačbe.

Opomba 1. Ali se spomnite, da je x \u003d - abscisa vrha parabole, ki služi kot graf funkcije y \u003d ax 2 + ux + c? zakaj je to
vrednost se je izkazala za edino korenino kvadratne enačbe ax 2 + x + c - 0? "Skrinjica" se preprosto odpre: če je D 0, potem, kot smo ugotovili prej,

Graf iste funkcije je parabola z vrhom v točki (glej npr. sliko 98). Zato sta abscisa oglišča parabole in edini koren kvadratne enačbe za D = 0 enako število.

Primer 2 Rešite enačbo 4x 2 - 20x + 25 = 0.
rešitev. Tukaj a \u003d 4, b = -20, c \u003d 25, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-20) 2 - 4. štiri . 25 = 400 - 400 = 0.

Ker je D = 0, ima po izreku 2 ta kvadratna enačba en koren. Ta koren najdemo s formulo

Odgovor: 2,5.

Opomba 2. Upoštevajte, da je 4x2 - 20x +25 popoln kvadrat: 4x2 - 20x + 25 = (2x - 5)2.
Če bi to takoj opazili, bi enačbo rešili takole: (2x - 5) 2 \u003d 0, kar pomeni 2x - 5 \u003d 0, iz česar dobimo x \u003d 2,5. Na splošno, če je D = 0, potem

ax 2 + bx + c = - to smo opazili prej v opombi 1.
Če je D > 0, ima kvadratna enačba ax 2 + bx + c \u003d 0 dva korena, ki ju najdemo po formulah

Dokaz. Kvadratno enačbo ax 2 + b x + c = 0 prepišemo v obliki (1)

Postavimo
Po predpostavki je D > 0, kar pomeni, da je desna stran enačbe pozitivno število. Nato iz enačbe (2) dobimo to

Torej ima podana kvadratna enačba dva korena:

Opomba 3. V matematiki se redkokdaj zgodi, da vpeljan izraz nima, figurativno rečeno, vsakdanjega ozadja. Vzemimo novo
koncept je diskriminativen. Zapomni si besedo "diskriminacija". Kaj to pomeni? Pomeni ponižanje enih in povzdigovanje drugih, tj. drugačna stališča
nie do raznih pudya. Obe besedi (tako diskriminator kot diskriminacija) izhajata iz latinskega discriminans - "razločevanje". Diskriminant razlikuje kvadratne enačbe po številu korenin.

Primer 3 Rešite enačbo 3x 2 + 8x - 11 = 0.
rešitev. Tukaj je a = 3, b = 8, c = - 11,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Ker je D > 0, ima ta kvadratna enačba po izreku 3 dva korena. Te korene najdemo s formulami (3)

Pravzaprav smo razvili naslednje pravilo:

Pravilo reševanja enačb
ax 2 + bx + c = 0

To pravilo je univerzalno, velja za popolne in nepopolne kvadratne enačbe. Vendar se nepopolne kvadratne enačbe običajno ne rešujejo po tem pravilu; bolj priročno jih je reševati, kot smo to storili v prejšnjem odstavku.

Primer 4 Reši enačbe:

a) x 2 + Zx - 5 \u003d 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3,5 = 0.

Rešitev a) Tukaj je a = 1, b = 3, c = -5,
D \u003d b 2 - 4ac \u003d Z 2 - 4. ena. (- 5) = 9 + 20 = 29.

Ker je D > 0, ima ta kvadratna enačba dva korena. Te korene najdemo s formulami (3)

B) Kot kažejo izkušnje, je primerneje obravnavati kvadratne enačbe, v katerih je vodilni koeficient pozitiven. Zato najprej pomnožimo obe strani enačbe z -1, dobimo

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Tukaj a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Ker je D = 0, ima ta kvadratna enačba en koren. Ta koren najdemo s formulo x \u003d -. pomeni,

To enačbo bi lahko rešili drugače: saj
9x 2 - 6x + 1 \u003d (Zx - IJ, potem dobimo enačbo (3x - I) 2 \u003d 0, iz katere najdemo Zx - 1 \u003d 0, tj. x \u003d.

c) Tukaj a \u003d 2, b = - 1, c \u003d 3,5, D \u003d b 2 - 4ac \u003d 1 - 4. 2. 3,5= 1 - 28 = - 27. Ker je D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Matematiki so praktični, gospodarni ljudje. Zakaj, pravijo, uporabite tako dolgo pravilo za reševanje kvadratne enačbe, je bolje takoj napisati splošno formulo:

Če se izkaže, da je diskriminant D \u003d b 2 - 4ac negativno število, potem zapisana formula ni smiselna (pod znakom kvadratni koren je negativno število), zato ni korenin. Če se izkaže, da je diskriminanta enaka nič, potem dobimo

To je en koren (pravijo tudi, da ima kvadratna enačba v tem primeru dva enaka korena:

Nazadnje, če se izkaže, da je b 2 - 4ac > 0, dobimo dva korena x 1 in x 2, ki ju izračunamo po enakih formulah (3), kot je navedeno zgoraj.

Samo število je v tem primeru pozitivno (kot vsak kvadratni koren pozitivnega števila), dvojni znak pred njim pa pomeni, da se v enem primeru (pri iskanju x 1) to pozitivno število doda številu - b in v drugem primeru (pri iskanju x 2) je pozitivno število, ki ga
branje iz številke - b.

Imate svobodo izbire. Če želite, podrobno rešite kvadratno enačbo z uporabo zgoraj oblikovanega pravila; če želite, takoj zapišite formulo (4) in jo uporabite za potrebne sklepe.

Primer 5. Reši enačbe:

Rešitev, a) Seveda lahko uporabimo formuli (4) ali (3), če upoštevamo, da v tem primeru Toda zakaj bi izvajali operacije z ulomki, ko je lažje in, kar je najpomembneje, bolj prijetno imeti opravka s celimi števili? Znebimo se imenovalcev. Če želite to narediti, morate oba dela enačbe pomnožiti z 12, to je z najmanjšim skupnim imenovalcem ulomkov, ki služijo kot koeficienti enačbe. Dobiti

od koder je 8x 2 + 10x - 7 = 0.

In zdaj uporabimo formulo (4)

B) Ponovno imamo enačbo z delnimi koeficienti: a \u003d 3, b \u003d - 0,2, c \u003d 2,77. Pomnožimo obe strani enačbe s 100, potem dobimo enačbo s celimi koeficienti:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Nato uporabimo formulo (4):

Preprosto ugibanje pokaže, da je diskriminanta (radikalni izraz) negativno število. Torej enačba nima korenin.

Primer 6 reši enačbo
rešitev. Tukaj je v nasprotju s prejšnjim primerom bolje delovati po pravilu in ne po reducirani formuli (4).

Imamo a \u003d 5, b \u003d -, c = 1, D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-) 2 - 4. 5. 1 = 60 - 20 = 40. Ker je D > 0, ima kvadratna enačba dva korena, ki ju bomo iskali s formulami (3)

Primer 7 reši enačbo
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 + p-2) = 0

rešitev. Ta kvadratna enačba se od vseh do sedaj obravnavanih kvadratnih enačb razlikuje po tem, da koeficienti niso posebne številke, temveč dobesedni izrazi. Take enačbe imenujemo enačbe s črkovnimi koeficienti ali enačbe s parametri. V tem primeru je parameter (črka) p vključen v drugi koeficient in prosti člen enačbe.
Poiščimo diskriminanco:

Primer 8. Rešite enačbo px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
rešitev. Tudi to je enačba s parametrom p, vendar je za razliko od prejšnjega primera ni mogoče takoj rešiti s formulama (4) ali (3). Dejstvo je, da so te formule uporabne za kvadratne enačbe, vendar tega še ne moremo trditi za dano enačbo. Kaj pa, če je p = 0? Potem
enačba bo imela obliko 0 . x 2 + (1-0)x- 1 \u003d 0, tj. x - 1 \u003d 0, iz katerega dobimo x \u003d 1. Zdaj, če to zagotovo veste, potem lahko uporabite formule korenin kvadratne enačbe:

Nepopolna kvadratna enačba se od klasičnih (popolnih) enačb razlikuje po tem, da so njeni faktorji ali prosti člen enaki nič. Graf takih funkcij je parabola. Glede na splošni videz jih delimo v 3 skupine. Načela reševanja za vse vrste enačb so enaka.

Nič ni težko določiti vrste nepopolnega polinoma. Najbolje je upoštevati glavne razlike v ilustrativnih primerih:

Če je b = 0, potem je enačba ax 2 + c = 0.
Če je c = 0, potem je treba rešiti izraz ax 2 + bx = 0.
Če je b = 0 in c = 0, postane polinom enakost tipa ax 2 = 0.

Slednji primer je bolj teoretična možnost in se pri preizkusih znanja nikoli ne pojavi, saj je edini pravilna vrednost spremenljivka x v izrazu je nič. V prihodnosti bodo obravnavane metode in primeri reševanja nepopolnih kvadratnih enačb 1) in 2) vrste.

Splošni algoritem za iskanje spremenljivk in primerov z rešitvijo

Ne glede na vrsto enačbe je algoritem rešitve zmanjšan na naslednje korake:

Pripeljite izraz v obliko, primerno za iskanje korenin.
Naredite izračune.
Zapiši odgovor.

Nepopolne enačbe je najlažje rešiti s faktorjenjem leva stran in pustite ničlo na desni. Tako se formula za nepopolno kvadratno enačbo za iskanje korenin zmanjša na izračun vrednosti x za vsakega od faktorjev.

Reševanja se lahko naučite le v praksi, zato si oglejmo poseben primer iskanja korenin nepopolne enačbe:

Kot lahko vidite, je v tem primeru b = 0. Levo stran faktoriziramo in dobimo izraz:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Očitno je produkt enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Podobne zahteve izpolnjujejo vrednosti spremenljivke x1 = 0,5 in (ali) x2 = -0,5.

Da bi se enostavno in hitro spopadli z nalogo faktoriziranja kvadratnega trinoma na faktorje, si zapomnite naslednjo formulo:

Če v izrazu ni prostega člena, je naloga močno poenostavljena. Dovolj bo le najti in izločiti skupni imenovalec. Zaradi jasnosti si oglejte primer, kako rešiti nepopolne kvadratne enačbe oblike ax2 + bx = 0.

Vzemimo spremenljivko x iz oklepajev in dobimo naslednji izraz:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Na podlagi logike sklepamo, da je x1 = 0 in x2 = -3.

Tradicionalni način reševanja in nepopolnih kvadratnih enačb

Kaj se bo zgodilo, če uporabimo diskriminantno formulo in poskušamo najti korenine polinoma s koeficienti enakimi nič? Vzemimo primer iz zbirke tipičnih nalog za enotni državni izpit iz matematike leta 2017, rešili ga bomo s standardnimi formulami in metodo faktorizacije.

7x 2 - 3x = 0.

Izračunajte vrednost diskriminante: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Izkazalo se je, da ima polinom dva korena:

Zdaj rešite enačbo s faktorjenjem in primerjajte rezultate.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Kot lahko vidite, obe metodi dajeta enak rezultat, vendar se je izkazalo, da je drugi način reševanja enačbe veliko lažji in hitrejši.

Vietov izrek

Toda kaj storiti s priljubljenim Vietaovim izrekom? Ali je mogoče to metodo uporabiti z nepopolnim trinomom? Poskusimo razumeti vidike kastinga nepopolne enačbe v klasično obliko ax2 + bx + c = 0.

Pravzaprav je v tem primeru mogoče uporabiti Vietov izrek. Izraz je treba le spraviti v splošno obliko in manjkajoče izraze nadomestiti z ničlo.

Na primer, pri b = 0 in a = 1, da bi odpravili možnost zmede, je treba nalogo zapisati v obliki: ax2 + 0 + c = 0. Nato razmerje vsote in produkta korenov in faktorje polinoma lahko izrazimo na naslednji način:

Teoretični izračuni pomagajo spoznati bistvo vprašanja in vedno zahtevajo razvoj spretnosti pri reševanju specifičnih problemov. Ponovno se obrnemo na priročnik tipičnih nalog za izpit in poiščemo primeren primer:

Izraz zapišemo v obliki, primerni za uporabo izreka Vieta:

x2 + 0 - 16 = 0.

Naslednji korak je ustvariti sistem pogojev:

Očitno bodo korenine kvadratnega polinoma x 1 \u003d 4 in x 2 \u003d -4.

Zdaj pa vadimo enačbo na splošno obliko. Vzemimo naslednji primer: 1/4 × x 2 – 1 = 0

Če želite za izraz uporabiti izrek Vieta, se morate znebiti ulomka. Pomnožimo levo in desno stran s 4 in poglejmo rezultat: x2– 4 = 0. Nastala enačba je pripravljena za rešitev z Vietovim izrekom, vendar je veliko lažje in hitreje dobiti odgovor preprosto s prenosom c = 4 do desna stran enačbe: x2 = 4.

Če povzamemo, je treba reči, da najboljši način rešitev nepopolnih enačb je faktorizacija, je najenostavnejša in hitra metoda. Če naletite na težave pri iskanju korenin, se lahko obrnete tradicionalna metoda iskanje korenin skozi diskriminanto.

Še naprej preučujemo temo rešitev enačb". Z linearnimi enačbami smo se že seznanili, sedaj pa se bomo še seznanili z njimi kvadratne enačbe.

Najprej bomo analizirali, kaj je kvadratna enačba, kako je zapisana splošni pogled, in podajte sorodne definicije. Nato bomo s pomočjo primerov podrobno analizirali, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe. Nato preidimo na reševanje popolnih enačb, dobimo formulo za korenine, se seznanimo z diskriminanco kvadratne enačbe in razmislimo o rešitvah tipičnih primerov. Nazadnje sledimo povezavam med koreni in koeficienti.

Navigacija po straneh.

Kaj je kvadratna enačba? Njihove vrste

Najprej morate jasno razumeti, kaj je kvadratna enačba. Zato je logično, da začnemo govoriti o kvadratnih enačbah z definicijo kvadratne enačbe in z njo povezanih definicij. Po tem lahko razmislite o glavnih vrstah kvadratnih enačb: zmanjšanih in nereduciranih ter popolnih in nepopolnih enačb.

Definicija in primeri kvadratnih enačb

Opredelitev.

Kvadratna enačba je enačba oblike a x 2 +b x+c=0, kjer je x spremenljivka, a , b in c so nekatera števila, a je različen od nič.

Takoj povejmo, da se kvadratne enačbe pogosto imenujejo enačbe druge stopnje. To je zato, ker je kvadratna enačba algebrska enačba druge stopnje.

Zvočna definicija nam omogoča podati primere kvadratnih enačb. Torej 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. so kvadratne enačbe.

Opredelitev.

Številke a , b in c se imenujejo koeficienti kvadratne enačbe a x 2 + b x + c \u003d 0, koeficient a pa se imenuje prvi ali višji ali koeficient pri x 2, b je drugi koeficient ali koeficient pri x in c je prosti član.

Na primer, vzemimo kvadratno enačbo v obliki 5 x 2 −2 x−3=0, tukaj je vodilni koeficient 5, drugi koeficient je −2, prosti člen pa je −3. Upoštevajte, da ko sta koeficienta b in/ali c negativna, kot v pravkar navedenem primeru, se uporabi kratka oblika kvadratne enačbe oblike 5 x 2 −2 x−3=0, ne 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Omeniti velja, da ko sta koeficienta a in/ali b enaka 1 ali −1, potem običajno nista eksplicitno prisotna v zapisu kvadratne enačbe, kar je posledica posebnosti zapisa takega . Na primer, v kvadratni enačbi y 2 −y+3=0 je vodilni koeficient ena, koeficient pri y pa je −1.

Reducirane in nereducirane kvadratne enačbe

Glede na vrednost vodilnega koeficienta ločimo reducirane in nereducirane kvadratne enačbe. Navedimo ustrezne definicije.

Opredelitev.

Imenuje se kvadratna enačba, v kateri je vodilni koeficient 1 reducirana kvadratna enačba. V nasprotnem primeru je kvadratna enačba nereducirano.

Po tej definiciji so kvadratne enačbe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 itd. - zmanjšano, v vsakem od njih je prvi koeficient enak eni. In 5 x 2 −x−1=0 itd. - nereducirane kvadratne enačbe, katerih vodilni koeficienti so različni od 1 .

Iz katere koli nereducirane kvadratne enačbe, tako da oba njena dela delite z vodilnim koeficientom, lahko preidete na reducirano enačbo. To dejanje je ekvivalentna transformacija, kar pomeni, da ima tako dobljena reducirana kvadratna enačba enake korene kot izvirna nereducirana kvadratna enačba ali pa nima nobenih korenin.

Vzemimo primer, kako se izvede prehod iz nereducirane kvadratne enačbe v reducirano.

Primer.

Iz enačbe 3 x 2 +12 x−7=0 pojdite na ustrezno zmanjšano kvadratno enačbo.

rešitev.

Dovolj je, da izvedemo delitev obeh delov prvotne enačbe z vodilnim koeficientom 3, ki je različen od nič, da lahko izvedemo to dejanje. Imamo (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, kar je enako kot (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 in tako naprej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , od koder . Tako smo dobili pomanjšano kvadratno enačbo, ki je enakovredna prvotni.

odgovor:

Popolne in nepopolne kvadratne enačbe

V definiciji kvadratne enačbe je pogoj a≠0. Ta pogoj je nujen, da je enačba a x 2 +b x+c=0 točno kvadratna, saj z a=0 dejansko postane linearna enačba oblike b x+c=0 .

Koeficienta b in c sta lahko enaka nič, ločeno in skupaj. V teh primerih se kvadratna enačba imenuje nepopolna.

Opredelitev.

Kvadratna enačba a x 2 +b x+c=0 se imenuje nepopolna, če je vsaj eden od koeficientov b , c enak nič.

Po svoje

Opredelitev.

Popolna kvadratna enačba je enačba, v kateri so vsi koeficienti različni od nič.

Ta imena niso dana po naključju. To bo razvidno iz naslednje razprave.

Če je koeficient b enak nič, ima kvadratna enačba obliko a x 2 +0 x+c=0 in je enakovredna enačbi a x 2 +c=0 . Če je c=0, kar pomeni, da ima kvadratna enačba obliko a x 2 +b x+0=0, potem jo lahko prepišemo kot a x 2 +b x=0. In z b=0 in c=0 dobimo kvadratno enačbo a·x 2 =0. Dobljene enačbe se od polne kvadratne enačbe razlikujejo po tem, da njihove leve strani ne vsebujejo niti člena s spremenljivko x, niti prostega člena ali obojega. Od tod tudi njihovo ime - nepopolne kvadratne enačbe.

Torej sta enačbi x 2 +x+1=0 in −2 x 2 −5 x+0,2=0 primera popolnih kvadratnih enačb in x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 so nepopolne kvadratne enačbe.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Iz podatkov prejšnjega odstavka izhaja, da je tri vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

a x 2 =0 , temu ustrezata koeficienta b=0 in c=0;
a x 2 +c=0, ko je b=0;
in a x 2 +b x=0, ko je c=0.

Analizirajmo po vrstnem redu, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe vsake od teh vrst.

a x 2 \u003d 0

Začnimo z reševanjem nepopolnih kvadratnih enačb, v katerih sta koeficienta b in c enaka nič, torej z enačbami oblike a x 2 =0. Enačba a·x 2 =0 je enakovredna enačbi x 2 =0, ki jo dobimo iz izvirnika tako, da oba njena dela delimo z ničelnim številom a. Očitno je koren enačbe x 2 \u003d 0 enak nič, saj je 0 2 \u003d 0. Ta enačba nima drugih korenov, kar je pojasnjeno, da za vsako neničelno število p velja neenakost p 2 >0, kar pomeni, da za p≠0 enakost p 2 =0 nikoli ni dosežena.

Torej ima nepopolna kvadratna enačba a x 2 \u003d 0 en sam koren x \u003d 0.

Kot primer podajamo rešitev nepopolne kvadratne enačbe −4·x 2 =0. Enakovredna je enačbi x 2 \u003d 0, njen edini koren je x \u003d 0, zato ima izvirna enačba en sam koren nič.

Kratka rešitev v tem primeru je lahko naslednja:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Poglejmo zdaj, kako se rešujejo nepopolne kvadratne enačbe, v katerih je koeficient b enak nič in c≠0, torej enačbe oblike a x 2 +c=0. Vemo, da prenos člena z ene strani enačbe na drugo z nasprotnim predznakom, kot tudi deljenje obeh strani enačbe s številom, ki ni nič, dajo ekvivalentno enačbo. Zato je mogoče izvesti naslednje ekvivalentne transformacije nepopolne kvadratne enačbe a x 2 +c=0:

premakni c na desno stran, kar da enačbo a x 2 =−c,
in oba njegova dela delimo z a , dobimo .

Nastala enačba nam omogoča, da sklepamo o njenih koreninah. Odvisno od vrednosti a in c je lahko vrednost izraza negativna (na primer, če a=1 in c=2, potem ) ali pozitivna (na primer, če a=−2 in c=6 , tedaj ), ni enako nič , ker po pogoju c≠0 . Ločeno bomo analizirali primere in .

Če , potem enačba nima korenin. Ta trditev izhaja iz dejstva, da je kvadrat poljubnega števila nenegativno število. Iz tega sledi, da ko , potem za nobeno število p enakost ne more veljati.

Če je , potem je situacija s koreninami enačbe drugačna. V tem primeru, če se spomnimo približno, potem postane koren enačbe takoj očiten, to je število, saj. Zlahka je uganiti, da je število dejansko tudi koren enačbe . Ta enačba nima drugih korenin, kar je mogoče pokazati na primer s protislovjem. Naredimo to.

Pravkar zveneče korenine enačbe označimo kot x 1 in −x 1 . Recimo, da ima enačba še en koren x 2 , ki je drugačen od navedenih korenov x 1 in −x 1 . Znano je, da zamenjava v enačbo namesto x njenih korenin spremeni enačbo v pravo numerično enakost. Za x 1 in −x 1 velja , za x 2 pa . Lastnosti številskih enakosti nam omogočajo, da izvajamo odštevanje pravih številskih enakosti po členih, tako da z odštevanjem ustreznih delov enačb dobimo x 1 2 − x 2 2 =0. Lastnosti operacij s števili nam omogočajo, da nastalo enakost prepišemo kot (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Vemo, da je produkt dveh števil enak nič, če in samo če je vsaj eno od njiju enako nič. Iz dobljene enakosti torej sledi, da je x 1 −x 2 =0 in/ali x 1 +x 2 =0 , kar je enako, x 2 =x 1 in/ali x 2 = −x 1 . Tako smo prišli do protislovja, saj smo na začetku rekli, da je koren enačbe x 2 drugačen od x 1 in −x 1 . To dokazuje, da enačba nima drugih korenin kot in .

Povzemimo informacije v tem odstavku. Nepopolna kvadratna enačba a x 2 +c=0 je enakovredna enačbi , ki

nima korenin, če,
ima dva korena in če .

Razmislite o primerih reševanja nepopolnih kvadratnih enačb oblike a·x 2 +c=0 .

Začnimo s kvadratno enačbo 9 x 2 +7=0 . Po prenosu prostega člena na desno stran enačbe bo ta prevzel obliko 9·x 2 =−7. Če obe strani dobljene enačbe delimo z 9, dobimo . Ker dobimo negativno število na desni strani, ta enačba nima korenin, torej izvirna nepopolna kvadratna enačba 9 x 2 +7=0 nima korenin.

Rešimo še eno nepopolno kvadratno enačbo −x 2 +9=0. Devet prenesemo na desno stran: -x 2 \u003d -9. Zdaj oba dela delimo z −1, dobimo x 2 =9. Desna stran vsebuje pozitivno število, iz česar sklepamo, da oz. Potem ko zapišemo končni odgovor: nepopolna kvadratna enačba −x 2 +9=0 ima dva korena x=3 ali x=−3.

a x 2 +b x=0

Ukvarjamo se še z rešitvijo zadnje vrste nepopolnih kvadratnih enačb za c=0. Nepopolne kvadratne enačbe oblike a x 2 +b x=0 vam omogočajo reševanje metoda faktorizacije. Očitno lahko, ki se nahaja na levi strani enačbe, za kar je dovolj, da skupni faktor x vzamemo iz oklepaja. To nam omogoča prehod iz prvotne nepopolne kvadratne enačbe v ekvivalentno enačbo oblike x·(a·x+b)=0 . In ta enačba je enakovredna naboru dveh enačb x=0 in a x+b=0, od katerih je zadnja linearna in ima koren x=−b/a.

Torej ima nepopolna kvadratna enačba a x 2 +b x=0 dva korena x=0 in x=−b/a.

Za utrjevanje gradiva bomo analizirali rešitev določenega primera.

Primer.

Reši enačbo.

rešitev.

Vzamemo x iz oklepajev, to je enačba. Enakovredno je dvema enačbama x=0 in . Rešujemo prejeto linearna enačba: , in deljenje mešano število na navadni ulomek, najdemo . Zato sta korena prvotne enačbe x=0 in .

Po pridobitvi potrebne prakse lahko rešitve takih enačb na kratko zapišemo:

odgovor:

x=0 , .

Diskriminanta, formula korenov kvadratne enačbe

Za reševanje kvadratnih enačb obstaja korenska formula. Zapišimo formula korenin kvadratne enačbe: , kje D=b 2 −4 a c- tako imenovani diskriminanta kvadratne enačbe. Zapis v bistvu pomeni, da.

Koristno je vedeti, kako je bila pridobljena korenska formula in kako se uporablja pri iskanju korenin kvadratnih enačb. Ukvarjajmo se s tem.

Izpeljava formule korenov kvadratne enačbe

Rešiti moramo kvadratno enačbo a·x 2 +b·x+c=0 . Izvedimo nekaj enakovrednih transformacij:

Oba dela te enačbe lahko delimo z ničelnim številom a, kot rezultat dobimo pomanjšano kvadratno enačbo.
zdaj izberite polni kvadrat na levi strani: . Po tem bo enačba dobila obliko.
Na tej stopnji je mogoče izvesti prenos zadnjih dveh členov na desno stran z nasprotnim predznakom, imamo .
In transformirajmo tudi izraz na desni strani: .

Kot rezultat pridemo do enačbe , ki je enakovredna izvirni kvadratni enačbi a·x 2 +b·x+c=0 .

Enačbe podobne oblike smo že reševali v prejšnjih odstavkih, ko smo analizirali . To nam omogoča, da potegnemo naslednje zaključke glede korenin enačbe:

če , potem enačba nima pravih rešitev;
če , potem ima enačba obliko , torej , iz katere je viden njen edini koren;
če , potem ali , kar je enako ali , kar pomeni, da ima enačba dva korena.

Tako je prisotnost ali odsotnost korenin enačbe in s tem izvirne kvadratne enačbe odvisna od predznaka izraza na desni strani. Predznak tega izraza pa je določen s predznakom števca, saj je imenovalec 4 a 2 vedno pozitiven, to je predznak izraza b 2 −4 a c . Ta izraz b 2 −4 a c se imenuje diskriminanta kvadratne enačbe in označena s črko D. Od tu je bistvo diskriminanta jasno - po njegovi vrednosti in znaku se sklepa, ali ima kvadratna enačba prave korenine, in če je tako, kakšno je njihovo število - ena ali dve.

Vrnemo se k enačbi , jo prepišemo z zapisom diskriminante: . In sklepamo:

če D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
če je D=0, ima ta enačba en sam koren;
končno, če je D>0, potem ima enačba dva korena ali , ki ju lahko prepišemo v obliki ali , in po razširitvi in zmanjšanju ulomkov na skupni imenovalec dobimo .

Tako smo izpeljali formule za korenine kvadratne enačbe, izgledajo kot , kjer je diskriminanta D izračunana po formuli D=b 2 −4 a c .

Z njihovo pomočjo lahko s pozitivno diskriminanto izračunate oba realna korena kvadratne enačbe. Ko je diskriminanta enaka nič, dajeta obe formuli enako vrednost korena, ki ustreza edini rešitvi kvadratne enačbe. In pri negativnem diskriminantu se pri poskusu uporabe formule za korenine kvadratne enačbe soočimo z izluščitvijo kvadratnega korena iz negativnega števila, kar nas popelje izven okvira šolskega kurikuluma. Z negativno diskriminanto kvadratna enačba nima pravih korenin, ima pa par kompleksen konjugat korenine, ki jih lahko najdemo z istimi korenskimi formulami, ki smo jih dobili.

Algoritem za reševanje kvadratnih enačb z uporabo korenskih formul

V praksi lahko pri reševanju kvadratne enačbe takoj uporabite korensko formulo, s katero izračunate njihove vrednosti. Toda tu gre bolj za iskanje kompleksnih korenin.

Vendar pa v šolski tečaj pri algebri običajno ne gre za kompleksne, temveč za prave korenine kvadratne enačbe. V tem primeru je priporočljivo najprej poiskati diskriminanco, preden uporabimo formule za korenine kvadratne enačbe, se prepričati, da je nenegativna (sicer lahko sklepamo, da enačba nima pravih korenin), nato pa izračunajte vrednosti korenin.

Zgornje sklepanje nam omogoča pisanje algoritem za reševanje kvadratne enačbe. Za rešitev kvadratne enačbe a x 2 + b x + c \u003d 0 potrebujete:

s pomočjo diskriminantne formule D=b 2 −4 a c izračunaj njegovo vrednost;
sklepati, da kvadratna enačba nima realnih korenin, če je diskriminanta negativna;
izračunajte edini koren enačbe s formulo če je D=0 ;
poiščite dva realna korena kvadratne enačbe z uporabo korenske formule, če je diskriminanta pozitivna.

Tukaj samo opazimo, da če je diskriminant enak nič, lahko uporabimo tudi formulo, ki bo dala enako vrednost kot .

Lahko preidete na primere uporabe algoritma za reševanje kvadratnih enačb.

Primeri reševanja kvadratnih enačb

Razmislite o rešitvah treh kvadratnih enačb s pozitivno, negativno in ničelno diskriminanto. Ko bomo obravnavali njihovo rešitev, bo po analogiji mogoče rešiti katero koli drugo kvadratno enačbo. Začnimo.

Primer.

Poiščite korene enačbe x 2 +2 x−6=0 .

rešitev.

V tem primeru imamo naslednje koeficiente kvadratne enačbe: a=1 , b=2 in c=−6 . V skladu z algoritmom morate najprej izračunati diskriminanco, za to nadomestimo navedene a, b in c v diskriminantno formulo, imamo D=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Ker je 28>0, kar pomeni, da je diskriminanta večja od nič, ima kvadratna enačba dva realna korena. Poiščimo jih s formulo korenin , dobimo , tukaj lahko poenostavimo izraze, dobljene z faktoriziranje predznaka korena sledi zmanjšanje frakcij:

odgovor:

Pojdimo k naslednjemu značilnemu primeru.

Primer.

Rešite kvadratno enačbo −4 x 2 +28 x−49=0 .

rešitev.

Začnemo z iskanjem diskriminatorja: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Zato ima ta kvadratna enačba en sam koren, ki ga najdemo kot , to je

odgovor:

x=3,5.

Preostane še obravnava rešitve kvadratnih enačb z negativno diskriminanto.

Primer.

Rešite enačbo 5 y 2 +6 y+2=0 .

rešitev.

Tu so koeficienti kvadratne enačbe: a=5 , b=6 in c=2 . Če nadomestimo te vrednosti v diskriminantno formulo, imamo D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Diskriminanta je negativna, zato ta kvadratna enačba nima pravih korenin.

Če morate določiti kompleksne korenine, potem uporabimo dobro znano formulo za korenine kvadratne enačbe in izvedemo operacije s kompleksnimi števili:

odgovor:

pravih korenin ni, kompleksne korenine so: .

Še enkrat ugotavljamo, da če je diskriminanta kvadratne enačbe negativna, potem šola običajno takoj zapiše odgovor, v katerem navede, da ni pravih korenin, in ne najdejo kompleksnih korenin.

Korenska formula za sode druge koeficiente

Formula za korenine kvadratne enačbe, kjer D=b 2 −4 a c vam omogoča, da dobite bolj kompaktno formulo, ki vam omogoča reševanje kvadratnih enačb s sodim koeficientom pri x (ali preprosto s koeficientom, ki izgleda kot 2 n , na primer, ali 14 ln5=2 7 ln5 ). Odpeljimo jo ven.

Recimo, da moramo rešiti kvadratno enačbo oblike a x 2 +2 n x + c=0 . Poiščimo njene korenine s pomočjo nam znane formule. Da bi to naredili, izračunamo diskriminanco D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), nato pa uporabimo korensko formulo:

Označite izraz n 2 −a c kot D 1 (včasih je označen z D "). Potem ima formula za korenine obravnavane kvadratne enačbe z drugim koeficientom 2 n obliko , kjer je D 1 =n 2 −a c .

Lahko vidimo, da je D=4·D 1 ali D 1 =D/4. Z drugimi besedami, D 1 je četrti del diskriminante. Jasno je, da je predznak D 1 enak predznaku D . To pomeni, da je znak D 1 tudi indikator prisotnosti ali odsotnosti korenin kvadratne enačbe.

Če želite torej rešiti kvadratno enačbo z drugim koeficientom 2 n, potrebujete

Izračunajte D 1 =n 2 −a·c ;
Če D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Če je D 1 =0, izračunajte edini koren enačbe z uporabo formule;
Če je D 1 >0, poiščite dva prava korena s pomočjo formule.

Razmislite o rešitvi primera z uporabo korenske formule, pridobljene v tem odstavku.

Primer.

Rešite kvadratno enačbo 5 x 2 −6 x−32=0 .

rešitev.

Drugi koeficient te enačbe lahko predstavimo kot 2·(−3) . To pomeni, da lahko prepišete prvotno kvadratno enačbo v obliki 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tukaj a=5, n=−3 in c=−32, in izračunate četrti del diskriminator: D 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Ker je njena vrednost pozitivna, ima enačba dva realna korena. Najdemo jih z ustrezno korensko formulo:

Upoštevajte, da je bilo mogoče uporabiti običajno formulo za korenine kvadratne enačbe, vendar bi bilo v tem primeru treba opraviti več računskega dela.

odgovor:

Poenostavitev oblike kvadratnih enačb

Včasih, preden se lotimo izračuna korenin kvadratne enačbe z uporabo formul, ne škodi postaviti vprašanje: "Ali je mogoče poenostaviti obliko te enačbe"? Strinjam se, da bo v računskem smislu lažje rešiti kvadratno enačbo 11 x 2 −4 x −6=0 kot 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Običajno se oblika kvadratne enačbe poenostavi tako, da se obe njeni strani pomnožita ali delita z nekim številom. Na primer, v prejšnjem odstavku nam je uspelo doseči poenostavitev enačbe 1100 x 2 −400 x −600=0 tako, da smo obe strani delili s 100 .

Podobno transformacijo izvedemo s kvadratnimi enačbami, katerih koeficienti niso . Običajno je, da obe strani enačbe delimo z absolutne vrednosti njegove koeficiente. Za primer vzemimo kvadratno enačbo 12 x 2 −42 x+48=0. absolutne vrednosti njegovih koeficientov: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Če oba dela prvotne kvadratne enačbe delimo s 6, dobimo ekvivalentno kvadratno enačbo 2 x 2 −7 x+8=0.

In množenje obeh delov kvadratne enačbe se običajno izvede, da se znebimo delnih koeficientov. V tem primeru se množenje izvede na imenovalcih njegovih koeficientov. Če na primer oba dela kvadratne enačbe pomnožimo z LCM(6, 3, 1)=6 , bo imela enostavnejšo obliko x 2 +4 x−18=0 .

V zaključku tega odstavka ugotavljamo, da se skoraj vedno znebite minusa pri vodilnem koeficientu kvadratne enačbe s spremembo predznakov vseh členov, kar ustreza množenju (ali deljenju) obeh delov z −1. Na primer, običajno gredo iz kvadratne enačbe −2·x 2 −3·x+7=0 k rešitvi 2·x 2 +3·x−7=0 .

Povezava med koreni in koeficienti kvadratne enačbe

Formula za korene kvadratne enačbe izraža korene enačbe v smislu njenih koeficientov. Na podlagi formule korenov lahko dobite druga razmerja med koreni in koeficienti.

Najbolj znane in uporabne formule iz izreka Vieta oblike in . Zlasti za dano kvadratno enačbo je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je prosti člen. Na primer, glede na obliko kvadratne enačbe 3 x 2 −7 x+22=0 lahko takoj rečemo, da je vsota njenih korenin 7/3, produkt korenin pa 22/3.

Z uporabo že napisanih formul lahko dobite številne druge povezave med koreni in koeficienti kvadratne enačbe. Na primer, vsoto kvadratov korenin kvadratne enačbe lahko izrazite z njenimi koeficienti: .

Bibliografija.

Algebra: učbenik za 8 celic. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. Ob 14. uri 1. del Učbenik za dijake izobraževalne ustanove/ A. G. Mordkovič. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.