Seštevanje več ulomkov. Seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci (osnovna pravila, najenostavnejši primeri)

V tej lekciji bomo obravnavali seštevanje in odštevanje algebraičnih ulomkov z različne imenovalce. Navadne ulomke z različnimi imenovalci že znamo seštevati in odštevati. Da bi to naredili, je treba ulomke zreducirati na skupni imenovalec. Izkazalo se je, da algebraični ulomki sledijo istim pravilom. Hkrati pa že znamo algebraične ulomke zreducirati na skupni imenovalec. Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci je ena najpomembnejših in najtežjih tem v 8. razredu. Poleg tega bo to temo mogoče najti v številnih temah tečaja algebre, ki ga boste preučevali v prihodnosti. V okviru lekcije bomo preučili pravila za dodajanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci ter analizirali številne tipične primere.

Razmislite o najpreprostejšem primeru za navadne ulomke.

Primer 1 Dodajte ulomke: .

rešitev:

Zapomnite si pravilo seštevanja ulomkov. Za začetek je treba ulomke zreducirati na skupni imenovalec. Skupni imenovalec navadnih ulomkov je najmanjši skupni večkratnik(LCM) prvotnih imenovalcev.

Opredelitev

Vsaj naravno število, ki je hkrati deljiva s številkama in .

Da bi našli LCM, je treba imenovalce razstaviti na prafaktorje in nato izbrati vse prafaktorje, ki so vključeni v razširitev obeh imenovalcev.

; . Potem mora LCM števil vključevati dve 2 in dve 3: .

Ko najdemo skupni imenovalec, je treba za vsakega od ulomkov poiskati dodaten faktor (pravzaprav skupni imenovalec delimo z imenovalcem ustreznega ulomka).

Nato se vsak ulomek pomnoži z dobljenim dodatnim faktorjem. Frakcije se pridobivajo iz enaki imenovalci, seštevanje in odštevanje, ki smo se jih naučili v prejšnjih lekcijah.

Dobimo: .

odgovor:.

Razmislite zdaj o seštevanju algebraičnih ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej razmislite o ulomkih, katerih imenovalec so števila.

Primer 2 Dodajte ulomke: .

rešitev:

Algoritem rešitve je popolnoma podoben prejšnjemu primeru. Za te ulomke je enostavno najti skupni imenovalec: in dodatne faktorje za vsakega od njih.

odgovor:.

Torej oblikujmo algoritem za seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci:

1. Poišči najmanjši skupni imenovalec ulomkov.

2. Poiščite dodatne faktorje za vsakega od ulomkov (tako, da skupni imenovalec delite z imenovalcem tega ulomka).

3. Števce pomnožite z ustreznimi dodatnimi faktorji.

4. Seštevaj ali odštevaj ulomke po pravilih za seštevanje in odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.

Razmislite zdaj o primeru z ulomki, v imenovalcu katerih so dobesedni izrazi.

Primer 3 Dodajte ulomke: .

rešitev:

Ker sta dobesedna izraza v obeh imenovalcih enaka, bi morali najti skupni imenovalec za števila. Končni skupni imenovalec bo videti takole: . Rešitev tega primera je torej:

odgovor:.

Primer 4 Odštej ulomke: .

rešitev:

Če pri izbiri skupnega imenovalca ne morete »goljufati« (ne znate ga faktorizirati ali uporabiti skrajšanih formul za množenje), potem morate za skupni imenovalec vzeti produkt imenovalcev obeh ulomkov.

odgovor:.

Na splošno je pri reševanju takih primerov najtežje najti skupni imenovalec.

Poglejmo bolj zapleten primer.

Primer 5 Poenostavite:.

rešitev:

Pri iskanju skupnega imenovalca morate najprej poskusiti faktorizirati imenovalce prvotnih ulomkov (za poenostavitev skupnega imenovalca).

V tem konkretnem primeru:

Potem je enostavno določiti skupni imenovalec: .

Določimo dodatne faktorje in rešimo ta primer:

odgovor:.

Zdaj bomo popravili pravila za seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.

Primer 6 Poenostavite:.

rešitev:

odgovor:.

Primer 7 Poenostavite:.

rešitev:

odgovor:.

Razmislite zdaj o primeru, v katerem nista dodana dva, ampak trije ulomki (navsezadnje pravila za seštevanje in odštevanje za več ulomkov ostajajo enaka).

Primer 8 Poenostavite:.

Poiščite števec in imenovalec. Ulomek je sestavljen iz dveh števil: število nad črto imenujemo števec, število pod črto pa imenujemo imenovalec. Imenovalec označuje skupno število delov, na katere je celota razdeljena, števec pa upoštevano število teh delov.

Na primer, v ulomku ½ je števec 1, imenovalec pa 2.

Določite imenovalec.Če imata dva ali več ulomkov skupni imenovalec, imajo ti ulomki pod črto enako številko, to pomeni, da je v tem primeru neka celota razdeljena na enako število delov. Seštevanje ulomkov s skupnim imenovalcem je zelo enostavno, saj bo imenovalec celotnega ulomka enak imenovalcu ulomkov, ki se seštevajo. Na primer:

Ulomka 3/5 in 2/5 imata skupni imenovalec 5.
Ulomki 3/8, 5/8, 17/8 imajo skupni imenovalec 8.

Določite števce.Če želite sešteti ulomke s skupnim imenovalcem, seštejte njihove števce in rezultat zapišite nad imenovalec seštetih ulomkov.

Ulomka 3/5 in 2/5 imata števca 3 in 2.
Ulomki 3/8, 5/8, 17/8 imajo števce 3, 5, 17.

Seštejte števce. Pri nalogi 3/5 + 2/5 seštejte števce 3 + 2 = 5. Pri nalogi 3/8 + 5/8 + 17/8 seštejte števce 3 + 5 + 17 = 25.

Zapišite skupno. Ne pozabite, da pri seštevanju ulomkov s skupnim imenovalcem ta ostane nespremenjen - seštevajo se samo števci.

3/5 + 2/5 = 5/5
3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Po potrebi pretvorite ulomek. Včasih lahko ulomek zapišemo kot celo število in ne kot navaden ali decimalni ulomek. Na primer, ulomek 5/5 se zlahka pretvori v 1, saj je vsak ulomek, katerega števec je enak imenovalcu, 1. Predstavljajte si pito, razrezano na tri dele. Če boste pojedli vse tri dele, boste pojedli celo (eno) pito.

Vsak navadni ulomek je mogoče pretvoriti v decimalko; Če želite to narediti, delite števec z imenovalcem. Na primer, ulomek 5/8 lahko zapišemo takole: 5 ÷ 8 = 0,625.

Poenostavite ulomek, če je mogoče. Poenostavljeni ulomek je ulomek, katerega števec in imenovalec nimata skupnega delitelja.

Na primer, upoštevajte ulomek 3/6. Tukaj imata tako števec kot imenovalec skupni delilnik, enako 3, to pomeni, da sta števec in imenovalec popolnoma deljiva s 3. Zato lahko ulomek 3/6 zapišemo takole: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Po potrebi pretvorite nepravilni ulomek v mešana frakcija(mešano število). Pri nepravilnem ulomku je števec večji od imenovalca, na primer 25/8 (pri pravilnem ulomku je števec manjši od imenovalca). Nepravi ulomek lahko pretvorimo v mešani ulomek, ki je sestavljen iz celega dela (to je celo število) in ulomka (to je pravi ulomek). Če želite pretvoriti nepravilen ulomek, kot je 25/8, v mešano število, sledite tem korakom:

Deli števec nepravilnega ulomka z imenovalcem; zapišite nepopolni količnik (celoten odgovor). V našem primeru: 25 ÷ 8 = 3 plus nekaj ostanka. V tem primeru je celoten odgovor celo število mešanega števila.
Najdi ostalo. V našem primeru: 8 x 3 = 24; odštejte rezultat od prvotnega števca: 25 - 24 \u003d 1, to je ostanek 1. V tem primeru je ostanek števec delnega dela mešanega števila.
Zapišite mešani ulomek. Imenovalec se ne spremeni (to pomeni, da je enak imenovalcu nepravilnega ulomka), torej 25/8 = 3 1/8.

Nekateri izmed najtežje razumljivih za študenta so različne akcije s preprostimi ulomki. To je posledica dejstva, da je otrokom še vedno težko abstraktno razmišljati in ulomki za njih pravzaprav izgledajo tako. Zato se učitelji pri predstavitvi gradiva pogosto zatekajo k analogijam in razložijo odštevanje in dodajanje ulomkov dobesedno na prste. Čeprav niti ena lekcija šolske matematike ne more brez pravil in definicij.

Osnovni pojmi

Preden se lotite katerega koli, je priporočljivo spoznati nekaj osnovnih definicij in pravil. Na začetku je pomembno razumeti, kaj je ulomek. Z njim je mišljeno število, ki predstavlja enega ali več ulomkov enote. Na primer, če štruco razrežete na 8 delov in jih 3 rezine položite na krožnik, bo 3/8 ulomek. Poleg tega bo v tem pisanju preprost ulomek, kjer je število nad črto števec, pod njim pa imenovalec. Če pa je zapisano kot 0,375, bo že decimalno.

Poleg tega so preprosti ulomki razdeljeni na redne, nepravilne in mešane. V prvi so vsi tisti, katerih števec je manjši od imenovalca. Če pa je nasprotno imenovalec manjši od števca, bo to že nepravilen ulomek. Če je pred pravilnim celo število, govorimo o mešanih številih. Tako je ulomek 1/2 pravilen, 7/2 pa ne. In če ga napišete v tej obliki: 3 1/2, potem bo postalo mešano.

Da bi lažje razumeli, kaj je seštevanje ulomkov, in ga lažje izvajali, je pomembno, da se v nadaljevanju spomnimo tudi njegovega bistva. Če števec in imenovalec pomnožimo z istim številom, se ulomek ne spremeni. Ta lastnost vam omogoča izvajanje najpreprostejših dejanj z navadnimi in drugimi ulomki. Pravzaprav to pomeni, da sta 1/15 in 3/45 dejansko enako število.

Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Izvajanje tega dejanja običajno ne povzroča večjih težav. Seštevanje ulomkov je v tem primeru zelo podobno podobnemu dejanju s celimi števili. Imenovalec ostane nespremenjen, števce pa preprosto seštejemo. Na primer, če morate dodati ulomke 2/7 in 3/7, bo rešitev šolskega problema v zvezku takšna:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Poleg tega je to dodajanje ulomkov mogoče razložiti v smislu preprost primer. Vzemite navadno jabolko in ga razrežite na primer na 8 delov. Ločeno položite najprej 3 dele, nato pa jim dodajte še 2. In kot rezultat, bo v skodelici ležalo 5/8 celega jabolka. Sam aritmetični problem je zapisan, kot je prikazano spodaj:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Toda pogosto so težje naloge, kjer morate sešteti, na primer 5/9 in 3/5. Tu se pojavijo prve težave pri dejanjih z ulomki. Navsezadnje bo seštevanje takšnih številk zahtevalo dodatno znanje. Zdaj se boste morali v celoti spomniti njihove glavne lastnosti. Če želite ulomke iz primera sešteti, jih je treba najprej zreducirati na en skupni imenovalec. Če želite to narediti, morate samo pomnožiti 9 in 5 med seboj, pomnožiti števec "5" s 5 in "3" z 9. Tako so takšni ulomki že dodani: 25/45 in 27/45. Zdaj ostane le še, da seštejemo števce in dobimo odgovor 52/45. Na listu papirja bi bil primer videti takole:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 17/45.

Toda seštevanje ulomkov s takšnimi imenovalci ne zahteva vedno preprostega množenja števil pod črto. Najprej poiščite najmanjši skupni imenovalec. Na primer kot pri ulomkih 2/3 in 5/6. Za njih bo to številka 6. A odgovor ni vedno očiten. V tem primeru velja spomniti na pravilo iskanja najmanjšega skupnega večkratnika (skrajšano LCM) dveh števil.

Razumemo ga kot najmanjši skupni faktor dveh celih števil. Če ga želite najti, vsakega razstavite na prafaktorje. Sedaj pa izpiši tiste izmed njih, ki se v vsaki številki pojavijo vsaj enkrat. Pomnožite jih skupaj in dobite enak imenovalec. Pravzaprav je vse videti nekoliko bolj preprosto.

Na primer, sešteti morate ulomka 4/15 in 1/6. Torej, 15 dobimo z množenjem preprostih števil 3 in 5, šest pa dva in tri. To pomeni, da bo LCM za njih 5 x 3 x 2 \u003d 30. Zdaj, ko 30 delimo z imenovalcem prvega ulomka, dobimo faktor za njegov števec - 2. In za drugi ulomek bo to število 5. Tako ostane še dodati navadne ulomke 8/30 in 5/30 in dobiti odgovor na 13/30. Vse je izjemno preprosto. V svoj zvezek zapišite to nalogo takole:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM (15, 6) = 30.

Seštevanje mešanih števil

Zdaj, ko poznate vse osnovne trike pri seštevanju preprostih ulomkov, se lahko preizkusite v bolj zapletenih primerih. In to bodo mešane številke, s katerimi pomenijo ulomek te vrste: 2 2/3. Tukaj je celo število zapisano pred pravim ulomkom. In mnogi se zmedejo pri izvajanju dejanj s takšnimi številkami. Pravzaprav tukaj veljajo ista pravila.

Če želite sešteti mešana števila, seštejte cele dele ločeno in pravilni ulomki. In potem sta ta 2 rezultata že sešteta. V praksi je vse veliko preprostejše, le malo morate vaditi. Na primer, v nalogi morate sešteti naslednja mešana števila: 1 1/3 in 4 2/5. Če želite to narediti, najprej seštejte 1 in 4, da dobite 5. Nato dodajte 1/3 in 2/5 s tehniko najmanjšega skupnega imenovalca. Odločitev bo 15.11. In končni odgovor je 5 11/15. V šolskem zvezku bo to videti precej krajše:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Seštevanje decimalk

Poleg navadnih ulomkov obstajajo tudi decimalke. Mimogrede, v življenju so veliko pogostejši. Na primer, cena v trgovini pogosto izgleda takole: 20,3 rublja. To je isti ulomek. Te je seveda veliko lažje zložiti kot navadne. Načeloma morate samo dodati 2 navadni številki, kar je najpomembneje, v pravo mesto postavi vejico. Tu se pojavijo težave.

Na primer, morate dodati takšna 2,5 in 0,56. Če želite to narediti pravilno, morate prvi na koncu dodati ničlo in vse bo v redu.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Pomembno je vedeti, da je vsak decimalni ulomek mogoče pretvoriti v preprost ulomek, vendar vsakega preprostega ulomka ni mogoče zapisati kot decimalno. Torej, iz našega primera je 2,5 = 2 1/2 in 0,56 = 14/25. Toda ulomek, kot je 1/6, bo le približno enak 0,16667. Enaka situacija bo z drugimi podobnimi številkami - 2/7, 1/9 in tako naprej.

Zaključek

Mnogi šolarji, ki ne razumejo praktične strani dejanj z ulomki, to temo obravnavajo brezskrbno. Vendar pa vam bo več kot to osnovno znanje omogočilo klikati kot nori zapleteni primeri z logaritmi in iskanjem odvodov. In zato je vredno enkrat dobro razumeti dejanja z ulomki, da si kasneje ne boste ugriznili komolcev zaradi sitnosti. Navsezadnje je malo verjetno, da se bo učitelj v srednji šoli vrnil k tej že obravnavani temi. Takšne vaje bi moral znati izvajati vsak srednješolec.

Otrok težko razume ulomke. Večina ljudi ima težave z. Pri preučevanju teme "seštevanje ulomkov s celimi števili" otrok pade v stupor in mu je težko rešiti nalogo. V mnogih primerih je treba izvesti vrsto izračunov, preden se lahko izvede dejanje. Na primer pretvorite ulomke ali pretvorite nepravilni ulomek v pravilnega.

Otroku jasno razložite. Vzemite tri jabolka, od katerih bosta dve celi, tretje pa razrezano na 4 dele. Od narezanega jabolka ločimo eno rezino, preostale tri pa položimo poleg dveh celih sadežev. Na eno stran dobimo ¼ jabolka, na drugo pa 2¾. Če jih združimo, dobimo tri cela jabolka. Poskusimo 2 ¾ jabolka zmanjšati za ¼, torej odstranimo še eno rezino, dobimo 2 2/4 jabolka.

Oglejmo si podrobneje dejanja z ulomki, ki vključujejo cela števila:

Najprej se spomnimo pravila izračuna za ulomki izrazi s skupnim imenovalcem:

Na prvi pogled je vse enostavno in preprosto. Vendar to velja le za izraze, ki ne zahtevajo pretvorbe.

Kako najti vrednost izraza, kjer so imenovalci različni

Pri nekaterih nalogah je treba poiskati vrednost izraza, pri katerem so imenovalci različni. Razmislite o konkretnem primeru:
3 2/7+6 1/3

Poiščite vrednost tega izraza, za to najdemo skupni imenovalec za dva ulomka.

Za številki 7 in 3 je to 21. Cele dele pustimo enake, ulomke pa zmanjšamo na 21, za to prvi ulomek pomnožimo s 3, drugega s 7, dobimo:
6/21+7/21, ne pozabite, da celi deli niso predmet pretvorbe. Kot rezultat dobimo dva ulomka z enim imenovalcem in izračunamo njuno vsoto:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Kaj pa, če je rezultat seštevanja nepravilen ulomek, ki že ima celo število:
2 1/3+3 2/3
V tem primeru seštejemo cele dele in ulomke, dobimo:
5 3/3, kot veste, je 3/3 ena, torej 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Z iskanjem vsote je vse jasno, analizirajmo odštevanje:

Iz povedanega sledi pravilo delovanja naprej mešana števila ki zveni takole:

Če je treba od ulomka odšteti celo število, drugega števila ni treba predstaviti kot ulomek, dovolj je, da delujemo samo s celimi deli.

Poskusimo sami izračunati vrednost izrazov:

Oglejmo si podrobneje primer pod črko "m":

4 5/11-2 8/11 je števec prvega ulomka manjši od drugega. Da bi to naredili, vzamemo eno celo število iz prvega ulomka, dobimo,
3 5/11+11/11=3 celo 16/11, odštej drugi od prvega ulomka:
3 16/11-2 8/11=1 celota 8/11

Bodite previdni pri izpolnjevanju naloge, ne pozabite pretvoriti nepravilnih ulomkov v mešane in poudariti cel del. Če želite to narediti, je treba vrednost števca deliti z vrednostjo imenovalca, nato pa tisto, kar se je zgodilo, prevzame mesto celega dela, ostanek pa bo števec, na primer:

19/4=4 ¾, preverite: 4*4+3=19, v imenovalcu 4 ostane nespremenjen.

Povzemite:

Preden nadaljujete z nalogo, povezano z ulomki, je treba analizirati, za kakšen izraz gre, katere transformacije je treba izvesti na ulomku, da bo rešitev pravilna. Iščite bolj racionalne rešitve. Ne pojdite na težji način. Načrtujte vsa dejanja, odločite se najprej v osnutku, nato prenesite v šolski zvezek.

Da bi se izognili zmedi pri reševanju ulomkov, je treba upoštevati pravilo zaporedja. Vse se odločite previdno, brez hitenja.