Potencialni izrazi (izrazi s potencami) in njihova transformacija. Objave z oznako "poenostavite algebrski izraz"

Z uporabo katerega koli jezika lahko iste informacije izrazite z različnimi besedami in besednimi zvezami. Matematični jezik ni izjema. Toda isti izraz je mogoče enakovredno zapisati na različne načine. In v nekaterih situacijah je eden od vnosov preprostejši. V tej lekciji bomo govorili o poenostavitvi izrazov.

Ljudje komunicirajo naprej različnih jezikih. Za nas je pomembna primerjava par "ruski jezik - matematični jezik". Iste informacije se lahko posredujejo v različnih jezikih. Toda poleg tega se lahko v enem jeziku izgovori na različne načine.

Na primer: "Petya je prijatelj z Vasyo", "Vasya je prijatelj s Petyo", "Petya in Vasya sta prijatelja". Rečeno drugače, a isto. Iz katere koli od teh fraz bi razumeli, o čem govorimo.

Poglejmo ta stavek: "Fant Petya in deček Vasya sta prijatelja." Razumemo, o čem govorimo. Vendar nam ni všeč zvok te fraze. Ali ne moremo poenostaviti, povedati iste stvari, vendar bolj preprosto? "Fant in fant" - enkrat lahko rečete: "Fanta Petya in Vasya sta prijatelja."

"Fantje" ... Ali iz njihovih imen ni jasno, da niso dekleta? Odstranimo "fante": "Petya in Vasya sta prijatelja." In besedo "prijatelji" lahko zamenjamo s "prijatelji": "Petya in Vasya sta prijatelja." Posledično je bila prva, dolga, grda fraza nadomeščena z enakovredno izjavo, ki jo je lažje izgovoriti in razumeti. Ta stavek smo poenostavili. Poenostaviti pomeni povedati preprosteje, vendar ne izgubiti ali popačiti pomena.

V matematičnem jeziku se zgodi približno isto. Isto lahko rečemo, zapišemo drugače. Kaj pomeni poenostaviti izraz? To pomeni, da za izvirni izraz obstaja veliko enakovrednih izrazov, torej tistih, ki pomenijo isto stvar. In iz vse te raznolikosti moramo izbrati najpreprostejšega, po našem mnenju, ali najprimernejšega za naše nadaljnje namene.

Na primer, razmislite o številskem izrazu. To bo enakovredno .

Enakovredno bo tudi prvima dvema: .

Izkazalo se je, da smo naše izraze poenostavili in našli najkrajši enakovreden izraz.

Za številske izraze morate vedno narediti vse in dobiti enakovreden izraz kot eno samo število.

Poglejmo primer dobesednega izraza . Očitno bo bolj preprosto.

Pri poenostavljanju dobesednih izrazov je potrebno izvesti vsa možna dejanja.

Ali je vedno treba izraz poenostaviti? Ne, včasih nam bo bolj ustrezal enakovreden, a daljši vnos.

Primer: od števila morate odšteti število.

Izračunati je mogoče, toda če bi prvo število predstavili z enakovrednim zapisom: , bi bili izračuni trenutni: .

To pomeni, da nam poenostavljeni izraz ni vedno koristen za nadaljnje izračune.

Kljub temu se zelo pogosto soočimo z nalogo, ki zveni le kot »poenostaviti izraz«.

Poenostavite izraz: .

rešitev

1) Izvedite dejanja v prvem in drugem oklepaju: .

2) Izračunajmo produkte: .

Očitno ima zadnji izraz enostavnejšo obliko kot začetni. Poenostavili smo ga.

Da bi poenostavili izraz, ga je treba nadomestiti z enakovrednim (equal).

Za določitev enakovrednega izraza potrebujete:

1) izvedite vsa možna dejanja,

2) uporabite lastnosti seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja za poenostavitev izračunov.

Lastnosti seštevanja in odštevanja:

1. Komutativna lastnost seštevanja: preurejanje členov ne spremeni vsote.

2. Kombinacijska lastnost seštevanja: če želite vsoti dveh števil dodati še tretje število, lahko prvemu številu prištejete vsoto drugega in tretjega števila.

3. Lastnost odštevanja vsote od števila: če želite od števila odšteti vsoto, lahko odštejete vsak člen posebej.

Lastnosti množenja in deljenja

1. Komutativna lastnost množenja: preurejanje faktorjev ne spremeni produkta.

2. Kombinacijska lastnost: če želite število pomnožiti z zmnožkom dveh števil, ga lahko najprej pomnožite s prvim faktorjem, nato pa dobljeni produkt pomnožite z drugim faktorjem.

3. Razdelitvena lastnost množenja: da bi število pomnožili z vsoto, ga morate pomnožiti z vsakim členom posebej.

Poglejmo, kako dejansko delamo miselne izračune.

Izračunajte:

rešitev

1) Predstavljajmo si, kako

2) Predstavljajmo si prvi faktor kot vsoto bitnih členov in izvedimo množenje:

3) lahko si predstavljate, kako in izvedete množenje:

4) Zamenjajte prvi faktor z enakovredno vsoto:

Distributivni zakon se lahko uporablja tudi v hrbtna stran: .

Sledite tem korakom:

1) 2)

rešitev

1) Za udobje lahko uporabite distribucijski zakon, uporabite ga le v nasprotni smeri - skupni faktor vzemite iz oklepaja.

2) Vzemimo skupni faktor iz oklepaja

Treba je kupiti linolej za kuhinjo in hodnik. Kuhinja - , hodnik - . Obstajajo tri vrste linolejev: za in rubljev za. Koliko bo vsak stal? tri vrste linolej? (slika 1)

riž. 1. Ilustracija za navedbo problema

rešitev

1. način. Ločeno lahko ugotovite, koliko denarja bo potrebno za nakup linoleja za kuhinjo, nato pa ga postavite na hodnik in seštejte dobljene izdelke.

Algebraični izraz, v katerem poleg operacij seštevanja, odštevanja in množenja uporablja tudi deljenje na črkovne izraze, imenujemo ulomljeni algebrski izraz. To so na primer izrazi

Imenujemo algebrski ulomek algebrski izraz, ki ima obliko kvocienta deljenja dveh celih algebrskih izrazov (na primer monomov ali polinomov). To so na primer izrazi

Tretji izmed izrazov).

Identične transformacije ulomljenih algebrskih izrazov so večinoma namenjene predstavitvi v obliki algebrskega ulomka. Za iskanje skupnega imenovalca se uporabi faktorizacija imenovalcev ulomkov - členov, da bi našli njihov najmanjši skupni večkratnik. Pri zmanjševanju algebrskih ulomkov je lahko kršena stroga identiteta izrazov: izključiti je treba vrednosti količin, pri katerih faktor, s katerim se zmanjša, postane nič.

Navedimo primere transformacije identitete ulomljeni algebrski izrazi.

Primer 1: Poenostavite izraz

Vse izraze je mogoče skrčiti na skupni imenovalec (priročno je zamenjati predznak v imenovalcu zadnjega izraza in znak pred njim):

Naš izraz je enak ena za vse vrednosti, razen za te; je nedefiniran in zmanjševanje ulomka je nezakonito).

Primer 2. Predstavi izraz kot algebraični ulomek

rešitev. Izraz lahko vzamemo kot skupni imenovalec. Zaporedoma najdemo:

vaje

1. Poiščite vrednosti algebrskih izrazov za navedene vrednosti parametrov:

2. Faktoriziraj.

Med različnimi izrazi, ki jih obravnavamo v algebri, zavzemajo pomembno mesto vsote monomov. Tu so primeri takih izrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Vsoto monomov imenujemo polinom. Členi v polinomu se imenujejo členi polinoma. Monome uvrščamo tudi med polinome, pri čemer velja, da je monom polinom, sestavljen iz enega člena.

Na primer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
je mogoče poenostaviti.

Predstavimo vse člene v obliki monomov standardne oblike:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Predstavimo podobne člene v dobljenem polinomu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom, katerega vsi členi so monomi standardne oblike in med njimi ni podobnih. Takšni polinomi se imenujejo polinomi standardne oblike.

zadaj stopnja polinoma standardne oblike prevzame najvišje pristojnosti svojih članov. Tako ima binom \(12a^2b - 7b\) tretjo stopnjo, trinom \(2b^2 -7b + 6\) pa drugo.

Običajno so členi polinomov standardne oblike, ki vsebujejo eno spremenljivko, razvrščeni v padajočem vrstnem redu eksponentov. Na primer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Vsoto več polinomov lahko pretvorimo (poenostavimo) v polinom standardne oblike.

Včasih je treba člene polinoma razdeliti v skupine in vsako skupino zapreti v oklepaje. Ker je oklepaj oklepajev inverzna transformacija odpirajočih oklepajev, ga je enostavno formulirati pravila za odpiranje oklepajev:

Če je pred oklepajem znak »+«, so izrazi v oklepaju zapisani z istimi znaki.

Če je pred oklepajem znak »-«, so izrazi v oklepaju zapisani z nasprotnimi predznaki.

Transformacija (poenostavitev) produkta monoma in polinoma

Z uporabo distribucijske lastnosti množenja lahko transformirate (poenostavite) produkt monoma in polinoma v polinom. Na primer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Produkt monoma in polinoma je identično enak vsoti zmnožkov tega monoma in vsakega od členov polinoma.

Ta rezultat je običajno oblikovan kot pravilo.

Če želite pomnožiti monom s polinomom, morate ta monom pomnožiti z vsakim členom polinoma.

To pravilo smo že večkrat uporabili za množenje z vsoto.

Produkt polinomov. Transformacija (poenostavitev) produkta dveh polinomov

Na splošno je zmnožek dveh polinomov identično enak vsoti zmnožka vsakega člena enega polinoma in vsakega člena drugega.

Običajno se uporablja naslednje pravilo.

Če želite pomnožiti polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega in sešteti nastale produkte.

Formule za skrajšano množenje. Vsota kvadratov, razlike in razlika kvadratov

Z nekaj izrazi v algebraične transformacije se morajo ukvarjati pogosteje kot drugi. Morda so najpogostejši izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) in \(a^2 - b^2 \), tj. kvadrat vsote, kvadrat razlika in razlika kvadratov. Opazili ste, da se zdi, da so imena teh izrazov nepopolna, na primer \((a + b)^2 \) seveda ni samo kvadrat vsote, ampak kvadrat vsote a in b . Kvadrat vsote a in b pa se praviloma ne pojavlja prav pogosto, namesto črk a in b vsebuje različne, včasih precej zapletene izraze.

Izraze \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) je mogoče enostavno pretvoriti (poenostaviti) v polinome standardne oblike, pravzaprav ste se že srečali s to nalogo pri množenju polinomov:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Koristno si je zapomniti dobljene identitete in jih uporabiti brez vmesnih izračunov. Pri tem pomagajo kratke besedne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat vsote enaka vsoti kvadratov in podvojite produkt.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je enak vsoti kvadratov brez podvojenega produkta.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadratov je enaka zmnožku razlike in vsote.

Te tri identitete omogočajo v preobrazbah zamenjavo svojih levih delov z desnimi in obratno - desne dele z levimi. Najtežje je videti ustrezne izraze in razumeti, kako sta spremenljivki a in b v njih zamenjani. Oglejmo si nekaj primerov uporabe formul za skrajšano množenje.

Poenostavitev algebrskih izrazov je eden izmed Ključne točke učenje algebre in izjemno uporabna veščina za vse matematike. Poenostavitev vam omogoča zmanjšanje zapletenega ali dolgega izraza na preprost izraz, s katerim je enostavno delati. Osnovne veščine poenostavljanja so dobre tudi za tiste, ki jih matematika ne navdušuje. Z opazovanjem več preprosta pravila, lahko poenostavite številne najpogostejše vrste algebrskih izrazov brez posebnega matematičnega znanja.

Koraki

Pomembne definicije

1. Podobni člani. To so člani s spremenljivko istega reda, člani z enakimi spremenljivkami ali prosti člani (členi, ki ne vsebujejo spremenljivke). Z drugimi besedami, podobni izrazi vključujejo isto spremenljivko v enaki meri, vključujejo več istih spremenljivk ali sploh ne vključujejo spremenljivke. Vrstni red izrazov v izrazu ni pomemben.

   • Na primer, 3x 2 in 4x 2 sta podobna izraza, ker vsebujeta spremenljivko drugega reda (na drugo potenco) "x". Vendar pa x in x2 nista podobna izraza, saj vsebujeta spremenljivko “x” različnih vrstnih redov (prvi in ​​drugi). Prav tako -3yx in 5xz nista podobna izraza, ker vsebujeta različne spremenljivke.

2. Faktorizacija. To je iskanje števil, katerih produkt vodi do izvirnega števila. Vsaka izvirna številka ima lahko več dejavnikov. Na primer, število 12 je mogoče razstaviti na naslednja vrstica faktorji: 1 × 12, 2 × 6 in 3 × 4, zato lahko rečemo, da so števila 1, 2, 3, 4, 6 in 12 faktorji števila 12. Faktorji so enaki deliteljem, tj. številke, s katerimi se prvotno število deli.

   • Če želite na primer faktorizirati število 20, ga zapišite takole: 4×5.
   • Upoštevajte, da se pri faktoringu upošteva spremenljivka. Na primer, 20x = 4(5x).
   • Praštevil ni mogoče faktorizirati, ker so deljiva samo s seboj in z 1.

3. Zapomnite si in upoštevajte vrstni red operacij, da se izognete napakam.

   • Oklepaji
   • stopnja
   • Množenje
   • Delitev
   • Dodatek
   • Odštevanje

   Prinašanje podobnih članov

   1. Zapišite izraz. Enostavne algebraične izraze (tiste, ki ne vsebujejo ulomkov, korenov itd.) lahko rešite (poenostavite) v samo nekaj korakih.

      • Na primer, poenostavite izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definirajte podobne pojme (izrazi s spremenljivko istega reda, izrazi z istimi spremenljivkami ali prosti izrazi).

      • Poiščite podobne izraze v tem izrazu. Izraza 2x in 4x vsebujeta spremenljivko istega reda (prvo). Tudi 1 in -3 sta prosta izraza (ne vsebujeta spremenljivke). Tako so v tem izrazu izrazi 2x in 4x so podobni, člani pa 1 in -3 so tudi podobni.

   3. Podajte podobne člane. To pomeni, da jih dodamo ali odštejemo in poenostavimo izraz.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepiši izraz ob upoštevanju danih izrazov. Dobili boste preprost izraz z manj izrazi. Nov izraz je enak prvotnemu.

      • V našem primeru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, kar pomeni, da je izvirni izraz poenostavljen in lažji za delo.

   5. Upoštevajte vrstni red operacij, ko prinašate podobne člane. V našem primeru je bilo enostavno zagotoviti podobne pogoje. Vendar pa v primeru zapletenih izrazov, v katerih so izrazi v oklepajih in so prisotni ulomki in koreni, ni tako enostavno prinesti takih izrazov. V teh primerih upoštevajte vrstni red operacij.

      • Na primer, razmislite o izrazu 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Pri tem bi bilo napačno 3x in 2x takoj definirati kot podobna izraza in ju predstaviti, saj je treba najprej odpreti oklepaje. Zato izvedite operacije po njihovem vrstnem redu.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. zdaj, ko izraz vsebuje samo operacije seštevanja in odštevanja, lahko prinesete podobne izraze.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Izvzem množitelja iz oklepaja

   1. Poiščite največji skupni delitelj (GCD) vseh koeficientov izraza. GCD je največje število, s katerim delimo vse koeficiente izraza.

      • Na primer, razmislite o enačbi 9x 2 + 27x - 3. V tem primeru je GCD = 3, ker je kateri koli koeficient tega izraza deljiv s 3.

   2. Vsak člen izraza razdelite z gcd. Dobljeni členi bodo vsebovali manjše koeficiente kot v izvirnem izrazu.

      • V našem primeru vsak člen v izrazu delite s 3.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Rezultat je bil izraz 3x 2 + 9x - 1. Ni enak izvirnemu izrazu.

   3. Izvirni izraz zapišite kot enako zmnožku GCD dobljenega izraza. To pomeni, da dobljeni izraz zaprete v oklepaje in vzemite gcd iz oklepajev.

      • V našem primeru: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Poenostavitev frakcijskih izrazov z dajanjem faktorja iz oklepaja. Zakaj bi množitelj preprosto dali iz oklepaja, kot je bilo storjeno prej? Nato se naučite poenostavljati zapletene izraze, kot so ulomki. V tem primeru se lahko z ulomkom znebite ulomka (iz imenovalca).

      • Na primer, upoštevajte frakcijski izraz(9x 2 + 27x - 3)/3. Za poenostavitev tega izraza uporabite faktoring.
        • Dajte faktor 3 iz oklepaja (kot ste storili prej): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Upoštevajte, da je zdaj 3 tako v števcu kot v imenovalcu. To lahko zmanjšamo, da dobimo izraz: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Ker je vsak ulomek, ki ima v imenovalcu številko 1, preprosto enak števcu, se prvotni izraz ulomka poenostavi na: 3x 2 + 9x - 1.

   Dodatne metode poenostavljanja

4. Poglejmo preprost primer: √(90). Število 90 je mogoče razložiti na naslednje faktorje: 9 in 10 ter izluščiti iz 9 Kvadratni koren(3) in odstranite 3 izpod korenine.
   • √(90)
   • √ (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Poenostavljanje izrazov s potencami. Nekateri izrazi vsebujejo operacije množenja ali deljenja členov s potencami. V primeru množenja členov z isto osnovo se njihove moči seštejejo; v primeru deljenja členov z isto osnovo se njihove stopnje odštejejo.

   • Na primer, razmislite o izrazu 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Pri množenju potence seštejte, pri deljenju pa odštejte.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Sledi razlaga pravil za množenje in deljenje členov s potencami.
     • Množenje členov s potencami je enakovredno množenju členov samih s seboj. Na primer, ker je x 3 = x × x × x in x 5 = x × x × x × x × x, potem je x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ali x 8.
     • Podobno je delitev členov s stopnjami enakovredna deljenju členov samih. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Ker se podobni členi, ki jih najdemo v števcu in imenovalcu, lahko zmanjšajo, produkt dveh "x" ali x 2 ostane v števcu.

• Vedno si zapomnite znake (plus ali minus) pred členi izraza, saj ima veliko ljudi težave pri izbiri pravilnega znaka.
• Po potrebi prosite za pomoč!
• Poenostavljanje algebrskih izrazov ni enostavno, a ko se tega naučite, je to veščina, ki jo lahko uporabljate do konca življenja.

Znano je, da v matematiki ne gre brez poenostavljanja izrazov. To je potrebno za pravilno in hitro reševanje najrazličnejših problemov, pa tudi različnih vrst enačb. Poenostavitev, o kateri govorimo tukaj, pomeni zmanjšanje števila dejanj, potrebnih za dosego cilja. Posledično so izračuni opazno poenostavljeni in znatno prihranjen čas. Toda kako poenostaviti izraz? Za to se uporabljajo uveljavljena matematična razmerja, pogosto imenovana formule ali zakoni, ki omogočajo, da so izrazi veliko krajši in s tem poenostavljajo izračune.

Nobena skrivnost ni, da danes na spletu ni težko poenostaviti izražanja. Tukaj so povezave do nekaterih najbolj priljubljenih:

Vendar to ni mogoče pri vsakem izrazu. Zato si poglejmo podrobneje bolj tradicionalne metode.

Odvzem skupnega delitelja

V primeru, ko en izraz vsebuje monome, ki imajo enake faktorje, lahko poiščete vsoto njihovih koeficientov in nato pomnožite s skupnim faktorjem zanje. Ta operacija se imenuje tudi "odstranitev" skupni delilnik". Z dosledno uporabo te metode lahko včasih bistveno poenostavite izraz. Algebra na splošno temelji na združevanju in preurejanju faktorjev in deliteljev.

Najenostavnejše formule za skrajšano množenje

Ena izmed posledic prej opisanega načina so formule za skrajšano množenje. Kako poenostaviti izraze z njihovo pomočjo, je veliko bolj jasno tistim, ki si teh formul sploh niso zapomnili na pamet, vendar vedo, kako so izpeljane, torej od kod prihajajo, in s tem njihovo matematično naravo. Prejšnja trditev načeloma ostaja veljavna v vsej sodobni matematiki, od prvega letnika do višjih tečajev strojnih in matematičnih fakultet. Razlika kvadratov, kvadrat razlike in vsote, vsota in razlika kubov - vse te formule se pogosto uporabljajo v osnovni in tudi višji matematiki v primerih, ko je treba poenostaviti izraz za rešitev problemov. Primere takšnih transformacij lahko zlahka najdemo v katerem koli šolskem učbeniku algebre ali, še lažje, na svetovnem spletu.

Stopinjske korenine

Osnovna matematika, če jo gledamo kot celoto, nima veliko načinov za poenostavitev izraza. Diplome in operacije z njimi so za večino študentov praviloma relativno enostavne. Toda mnogi sodobni šolarji in študenti imajo precejšnje težave, ko je treba poenostaviti izraz s koreninami. In to popolnoma neutemeljeno. Ker matematične narave korenine se ne razlikujejo od narave istih stopenj, s katerimi je praviloma veliko manj težav. Znano je, da kvadratni koren števila, spremenljivke ali izraza ni nič drugega kot isto število, spremenljivka ali izraz na polovično potenco, kockasti koren– isto do stopnje »ene tretjine« in tako naprej po korespondenci.

Poenostavljanje izrazov z ulomki

Oglejmo si tudi pogost primer, kako poenostaviti izraz z ulomki. V primerih, ko so izrazi naravne frakcije, morate ločiti skupni faktor od imenovalca in števca ter nato zmanjšati ulomek z njim. Kadar imajo monomi enake faktorje, dvignjene na potence, je treba pri njihovem seštevanju zagotoviti, da so potence enake.

Poenostavitev osnovnih trigonometričnih izrazov

Kar za nekatere izstopa, je pogovor o tem, kako poenostaviti trigonometrični izraz. Najširša veja trigonometrije je morda prva stopnja, na kateri se bodo učenci matematike srečali z nekoliko abstraktnimi koncepti, problemi in metodami za njihovo reševanje. Tukaj so ustrezne formule, od katerih je prva osnovna trigonometrična identiteta. Z zadostno matematično miselnostjo lahko sledite sistematičnemu izpeljavi iz te identitete vseh osnovnih trigonometričnih identitet in formul, vključno z diferenčnimi formulami in vsotami argumentov, dvojnimi, trojnimi argumenti, redukcijskimi formulami in številnimi drugimi. Seveda ne gre pozabiti na prve metode, kot je dodajanje skupnega faktorja, ki se v celoti uporabljajo skupaj z novimi metodami in formulami.

Če povzamemo, bomo bralcu posredovali nekaj splošnih nasvetov:

• Polinome je treba faktorizirati, to pomeni, da jih je treba predstaviti v obliki produkta določenega števila faktorjev - monomov in polinomov. Če takšna možnost obstaja, je treba skupni faktor vzeti iz oklepaja.
• Bolje je, da si zapomnite vse skrajšane formule množenja brez izjeme. Ni jih tako veliko, so pa osnova za poenostavitev matematičnih izrazov. Ne smemo pozabiti tudi na metodo izolacije popolnih kvadratov v trinomih, ki je inverzna akcija na eno od skrajšanih formul množenja.
• Vse ulomke, ki so prisotni v izrazu, je treba zmanjšati čim pogosteje. Vendar ne pozabite, da se zmanjšajo samo množitelji. Ko imenovalec in števec algebraičnih ulomkov pomnožimo z istim številom, ki je različno od nič, se pomeni ulomkov ne spremenijo.
• Na splošno je mogoče vse izraze preoblikovati z dejanji ali v verigi. Prva metoda je bolj zaželena, ker rezultate vmesnih dejanj je lažje preveriti.
• V matematičnih izrazih moramo pogosto izluščiti korenine. Ne smemo pozabiti, da je mogoče korenine sodih potenc izluščiti le iz nenegativnega števila ali izraza, korenine lihih potenc pa iz absolutno vseh izrazov ali števil.

Upamo, da vam bo naš članek v prihodnosti pomagal razumeti matematične formule in vas naučil, kako jih uporabiti v praksi.