"Funkcija naraščanja in padanja"

Cilji lekcije:

1. Naučite se najti intervale monotonije.

2. Razvoj miselnih sposobnosti, ki omogočajo analizo situacije in razvoj ustreznih metod delovanja (analiza, sinteza, primerjava).

3. Oblikovanje zanimanja za predmet.

Med poukom

Danes nadaljujemo s preučevanjem uporabe odvoda in obravnavamo vprašanje njegove uporabe pri študiju funkcij. Sprednje delo

In zdaj dajmo nekaj definicij lastnosti funkcije "Brainstorm".

1. Kaj imenujemo funkcija?

2. Kako se imenuje spremenljivka x?

3. Kako se imenuje spremenljivka Y?

4. Kakšen je obseg funkcije?

5. Kaj je nabor vrednosti funkcije?

6. Kaj je soda funkcija?

7. Katera funkcija se imenuje liho?

8. Kaj lahko rečemo o grafu sode funkcije?

9. Kaj lahko rečemo o grafu lihe funkcije?

10. Kaj je naraščajoča funkcija?

11. Kaj je padajoča funkcija?

12. Kaj je periodična funkcija?

Matematika proučuje matematične modele. Eden najpomembnejših matematičnih modelov je funkcija. obstajati različne poti opisi funkcij. Kateri je najbolj očiten?

– Grafika.

- Kako sestaviti graf?

- Po točkah.

Ta metoda je primerna, če vnaprej veste, kako izgleda graf. Na primer, kaj je graf kvadratna funkcija, linearna funkcija, obratno sorazmernost, funkcije y = sinx? (Prikažejo se ustrezne formule, učenci poimenujejo krivulje, ki so grafi.)

Kaj pa, če želite prikazati graf funkcije ali celo bolj zapletene? Najdete lahko več točk, toda kako se funkcija obnaša med temi točkami?

Na tablo postavite dve točki, učence prosite, naj pokažejo, kako bi lahko izgledal graf "med njimi":

Če želite izvedeti, kako se funkcija obnaša, pomaga njen derivat.

Odprite zvezke, zapišite številko, razredno delo.

Namen lekcije: naučite se, kako je graf funkcije povezan z grafom njenega odvoda, in se naučite reševati probleme dveh vrst:

1. Glede na graf odvoda poiščite intervale naraščanja in padanja same funkcije ter ekstremne točke funkcije;

2. Glede na shemo znakov odvoda na intervalih poiščite intervale naraščanja in upadanja same funkcije ter ekstremne točke funkcije.

Takšnih nalog ni v naših učbenikih, vendar jih najdemo v testih enotnega državnega izpita (del A in B).

Danes bomo v lekciji obravnavali majhen element dela druge stopnje preučevanja procesa, preučevanje ene od lastnosti funkcije - določanje intervalov monotonosti

Da bi rešili ta problem, se moramo spomniti nekaterih vprašanj, o katerih smo razpravljali prej.

Torej, zapišimo temo današnje lekcije: Znaki naraščajočih in padajočih funkcij.

Znaki povečanja in zmanjšanja funkcije:

Če je odvod te funkcije pozitiven za vse vrednosti x v intervalu (a; c), tj. f "(x)\u003e 0, potem funkcija narašča v tem intervalu.
Če je odvod te funkcije negativen za vse vrednosti x v intervalu (a; b), tj. f "(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

Vrstni red iskanja intervalov monotonosti:

Poiščite obseg funkcije.

1. Poiščite prvi odvod funkcije.

2. odločiti na plošči

Poiščite kritične točke, raziščite predznak prvega odvoda v intervalih, na katere najdene kritične točke delijo področje funkcije. Poiščite intervale monotonosti funkcij:

a) področje definicije,

b) poišči prvi odvod:,

c) poiščite kritične točke: ; , in

3. V dobljenih intervalih raziščemo predznak odvoda, rešitev predstavimo v obliki tabele.

kažejo na skrajne točke

Oglejmo si nekaj primerov preučevanja funkcije za naraščanje in padanje.

Zadosten pogoj za obstoj maksimuma je sprememba predznaka odvoda pri prehodu skozi kritično točko iz "+" v "-", za minimum pa iz "-" v "+". Če odvod ne spremeni predznaka pri prehodu skozi kritično točko, potem na tej točki ni ekstrema

1. Poiščite D(f).

2. Poiščite f "(x).

3. Poiščite stacionarne točke, tj. točke, kjer f"(x) = 0 ali f"(x) ne obstaja.
(Izvod je 0 na ničlah števca, izpeljanka ne obstaja na ničlah imenovalca)

4. Locirajte D(f) in te točke na koordinatni premici.

5. Določite predznake odvoda na vsakem izmed intervalov

6. Uporabite znake.

7. Zapiši odgovor.

Utrjevanje nove snovi.

Učenci delajo v parih in si rešitve zapisujejo v zvezke.

a) y \u003d x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y \u003d 3 x² - 5x + 4.

Za tablo delata dve osebi.

a) y \u003d 2 x³ - 3 x² - 36 x + 40

b) y \u003d x4-2 x³

3. Povzetek lekcije

Domača naloga: test (diferencirano)

Da bi ugotovili naravo funkcije in govorili o njenem obnašanju, je treba najti intervale naraščanja in zmanjševanja. Ta proces se imenuje raziskovanje in risanje funkcij. Ekstremna točka se uporablja pri iskanju največje in najmanjše vrednosti funkcije, saj povečata ali zmanjšata funkcijo iz intervala.

Ta članek razkriva definicije, oblikujemo zadosten znak naraščanja in padanja na intervalu ter pogoj za obstoj ekstrema. To velja za reševanje primerov in nalog. Razdelek o diferenciaciji funkcij je treba ponoviti, saj bo pri reševanju treba uporabiti iskanje odvoda.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Funkcija y = f (x) bo naraščala na intervalu x, ko bo za kateri koli x 1 ∈ X in x 2 ∈ X, x 2 > x 1, neenakost f (x 2) > f (x 1) izvedljiva. Z drugimi besedami, večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije.

Definicija 2

Šteje se, da funkcija y = f (x) pada na intervalu x, če za vsak x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1 velja enakost f (x 2) > f (x 1). izvedljivo. Z drugimi besedami, večja vrednost funkcije ustreza manjši vrednosti argumenta. Razmislite o spodnji sliki.

komentar: Ko je funkcija določena in zvezna na koncu naraščajočega in padajočega intervala, tj. (a; b), kjer je x = a, x = b, so točke vključene v naraščajoči in padajoči interval. To ni v nasprotju z definicijo, kar pomeni, da poteka na intervalu x.

Glavne lastnosti elementarnih funkcij tipa y = sin x so določnost in kontinuiteta za realne vrednosti argumentov. Od tod dobimo, da se povečanje sinusa pojavi na intervalu - π 2; π 2, potem ima povečanje na segmentu obliko - π 2; π 2 .

Definicija 3

Točka x 0 se imenuje največja točka za funkcijo y = f (x), ko za vse vrednosti x velja neenakost f (x 0) ≥ f (x). Največja funkcija je vrednost funkcije v točki in je označena z y m a x.

Točka x 0 se imenuje najmanjša točka za funkcijo y \u003d f (x), kadar za vse vrednosti x velja neenakost f (x 0) ≤ f (x). Najmanjša funkcija je vrednost funkcije v točki in ima zapis v obliki y m i n .

Upoštevane so okolice točke x 0 ekstremne točke, in vrednost funkcije, ki ustreza točkam ekstrema. Razmislite o spodnji sliki.

Ekstremuma funkcije z največjo in najmanjšo vrednostjo funkcije. Razmislite o spodnji sliki.

Prva slika pove, da je treba najti največjo vrednost funkcije iz segmenta [ a ; b] . Najdemo jo z uporabo največjih točk in je enaka največji vrednosti funkcije, druga številka pa je bolj podobna iskanju največje točke pri x = b.

Zadostni pogoji za naraščajoče in padajoče funkcije

Za iskanje maksimuma in minimuma funkcije je treba uporabiti znake ekstremuma v primeru, ko funkcija izpolnjuje te pogoje. Prva funkcija je najpogosteje uporabljena.

Prvi zadostni pogoj za ekstrem

Definicija 4

Naj bo podana funkcija y = f (x), ki je diferenciabilna v ε okolici točke x 0 in ima zveznost v dani točki x 0 . Zato to dobimo

• ko je f "(x) > 0 z x ∈ (x 0 - ε; x 0) in f" (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• ko f"(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 za x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , potem je x 0 najmanjša točka.

Z drugimi besedami, dobimo njihove pogoje za nastavitev znaka:

• ko je funkcija zvezna v točki x 0, ima odvod s spremenljivim predznakom, to je od + do -, kar pomeni, da se točka imenuje maksimum;
• ko je funkcija zvezna v točki x 0, ima odvod s spreminjajočim se predznakom od - do +, kar pomeni, da točko imenujemo minimum.

Če želite pravilno določiti največje in najmanjše točke funkcije, morate slediti algoritmu za njihovo iskanje:

• poiščite domeno definicije;
• poiščite odvod funkcije na tej ploščini;
• identificirati ničle in točke, kjer funkcija ne obstaja;
• določanje predznaka odvoda na intervalih;
• izberite točke, kjer funkcija spremeni predznak.

Razmislite o algoritmu na primeru reševanja več primerov iskanja ekstremov funkcije.

Primer 1

Poiščite visoke in nizke točke dano funkcijo y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

rešitev

Domena te funkcije so vsa realna števila razen x = 2. Najprej poiščemo odvod funkcije in dobimo:

y "= 2 x + 1 2 x - 2" = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2) ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2

Od tu vidimo, da so ničle funkcije x \u003d - 1, x \u003d 5, x \u003d 2, to pomeni, da mora biti vsak oklepaj enak nič. Označite na številski premici in dobite:

Zdaj določimo predznake odvoda iz vsakega intervala. Izbrati je treba točko, vključeno v interval, jo nadomestiti v izraz. Na primer, točke x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

To razumemo

y "(- 2) \u003d 2 (x + 1) (x - 5) (x - 2) 2 x \u003d - 2 \u003d 2 (- 2 + 1) (- 2 - 5) (- 2 - 2) ) 2 \u003d 2 7 16 \u003d 7 8 > 0, zato ima interval - ∞; - 1 pozitiven odvod. Podobno dobimo, da

y "(0) = 2 (0 + 1) 0 - 5 0 - 2 2 = 2 - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

Ker se je izkazalo, da je drugi interval manjši od nič, bo odvod na segmentu negativen. Tretji z minusom, četrti s plusom. Za določitev kontinuitete je potrebno paziti na znak derivata, če se spremeni, potem je to ekstremna točka.

Dobimo, da bo v točki x = - 1 funkcija zvezna, kar pomeni, da bo odvod spremenil predznak iz + v -. Glede na prvi znak imamo, da je x = - 1 največja točka, kar pomeni, da dobimo

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Točka x = 5 pomeni, da je funkcija zvezna, odvod pa bo spremenil predznak iz - v +. Zato je x=-1 najmanjša točka in njena ugotovitev ima obliko

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Grafična podoba

odgovor: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .

Vredno je biti pozoren na dejstvo, da uporaba prvega zadostnega znaka ekstrema ne zahteva, da je funkcija diferenciabilna od točke x 0 , kar poenostavi izračun.

Primer 2

Poiščite največjo in najmanjšo točko funkcije y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .

rešitev.

Domena funkcije so vsa realna števila. To lahko zapišemo kot sistem enačb v obliki:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8, x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Nato morate najti izpeljanko:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 ", x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Točka x = 0 nima odvoda, ker so vrednosti enostranskih meja različne. To dobimo:

lim y "x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Iz tega sledi, da je funkcija zvezna v točki x = 0, potem izračunamo

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 (0 - 0) 3 - 2 (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 ( 0 + 0) 2 + 22 3 (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Potrebno je izvesti izračune, da bi našli vrednost argumenta, ko izpeljanka postane nič:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Vse dobljene točke je treba označiti na črti, da določimo predznak posameznega intervala. Zato je treba za vsak interval izračunati odvod v poljubnih točkah. Na primer, lahko vzamemo točke z vrednostmi x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . To razumemo

y " (- 6) \u003d - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x \u003d - 6 \u003d - 1 2 - 6 2 - 4 (- 6) - 22 3 \u003d - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Slika na ravni črti ima obliko

Prišli smo torej do točke, da se je treba zateči k prvemu znaku ekstrema. To izračunamo in dobimo

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , potem imajo od tu največje točke vrednosti x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Pojdimo k izračunu minimumov:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Izračunajmo maksimume funkcije. To razumemo

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Grafična podoba

odgovor:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Če je podana funkcija f "(x 0) = 0, potem z njenim f "" (x 0) > 0 dobimo, da je x 0 najmanjša točka, če je f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Primer 3

Poiščite največje in najmanjše vrednosti funkcije y = 8 x x + 1 .

rešitev

Najprej poiščemo domeno definicije. To razumemo

D (y): x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Treba je razlikovati funkcijo, po kateri dobimo

y "= 8 x x + 1" = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

Ko je x = 1, postane odvod enak nič, kar pomeni, da je točka možni ekstrem. Za pojasnilo je treba najti drugi derivat in izračunati vrednost pri x \u003d 1. Dobimo:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x "(x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2" x + (x + 1) 2 x "(x + 1) 4 x == 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1)" x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 - 4 8 = - 1< 0

Zato z uporabo zadostnega pogoja 2 za ekstrem dobimo, da je x = 1 največja točka. V nasprotnem primeru je vnos y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .

Grafična podoba

odgovor: y m a x = y (1) = 4 ..

Definicija 5

Funkcija y = f (x) ima odvod do n-tega reda v ε okolici dane točke x 0 in odvod do n + 1. reda v točki x 0 . Potem je f "(x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Iz tega sledi, da če je n sodo število, se x 0 šteje za prevojno točko, ko je n liho število, potem je x 0 točka ekstrema in f (n + 1) (x 0) > 0, potem x 0 je najmanjša točka, f(n+1)(x0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Primer 4

Poiščite največjo in najmanjšo točko funkcije y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .

rešitev

Prvotna funkcija je celotna racionalna, zato sledi, da so domena definicije vsa realna števila. Funkcijo je treba razlikovati. To razumemo

y "= 1 16 x + 1 3" (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " == 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Ta odvod bo šel na nič pri x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. To pomeni, da so točke lahko točke možnega ekstrema. Treba je uporabiti tretji zadostni ekstremni pogoj. Iskanje drugega odvoda vam omogoča natančno določitev prisotnosti maksimuma in minimuma funkcije. Drugi odvod se izračuna na točkah njegovega možnega ekstrema. To razumemo

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

To pomeni, da je x 2 \u003d 5 7 največja točka. Z uporabo 3 zadostnega kriterija dobimo, da je za n = 1 in f (n + 1) 5 7< 0 .

Treba je določiti naravo točk x 1 = - 1, x 3 = 3. Če želite to narediti, morate najti tretji derivat, izračunati vrednosti na teh točkah. To razumemo

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " == 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Zato je x 1 = - 1 prevojna točka funkcije, saj je za n = 2 in f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Potrebno je raziskati točko x 3 = 3 . Da bi to naredili, najdemo 4. derivat in na tej točki izvedemo izračune:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " == 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Iz zgoraj navedenega sklepamo, da je x 3 \u003d 3 najmanjša točka funkcije.

Grafična podoba

odgovor: x 2 \u003d 5 7 je največja točka, x 3 \u003d 3 - najmanjša točka dane funkcije.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Na podlagi zadostnih znakov se najdejo intervali povečanja in zmanjšanja funkcije.

Tu so besedila znakov:

• če je odvod funkcije y = f(x) pozitivno za katero koli x iz intervala X, potem se funkcija poveča za X;
• če je odvod funkcije y = f(x) negativno za katero koli x iz intervala X, potem se funkcija zmanjša za X.

Tako je za določitev intervalov povečanja in zmanjšanja funkcije potrebno:

• poiščite obseg funkcije;

• poišči odvod funkcije;

• dobljenim intervalom dodajte mejne točke, na katerih je funkcija definirana in zvezna.

Razmislite o primeru, da pojasnite algoritem.

Primer.

Poiščite intervale naraščanja in padanja funkcije.

rešitev.

Prvi korak je iskanje obsega definicije funkcije. V našem primeru izraz v imenovalcu ne sme izginiti, zato .

Pojdimo k funkciji izpeljave:

Za določitev intervalov naraščanja in padanja funkcije z zadostnim kriterijem rešimo neenačbe in na domeni definicije. Uporabimo posplošitev intervalne metode. Edini pravi koren števca je x=2, in imenovalec izgine pri x=0. Te točke delijo definicijsko področje na intervale, v katerih odvod funkcije ohrani svoj predznak. Označimo te točke na številski premici. S plusi in minusi pogojno označujemo intervale, na katerih je odvod pozitiven ali negativen. Spodnje puščice shematično prikazujejo povečanje ali zmanjšanje funkcije na ustreznem intervalu.

V to smer, in .

Na točki x=2 funkcija je definirana in zvezna, zato jo je treba dodati tako naraščajočemu kot padajočemu intervalu. Na točki x=0 funkcija ni definirana, zato ta točka ni vključena v zahtevane intervale.

Predstavljamo graf funkcije, da z njim primerjamo dobljene rezultate.

odgovor: funkcija se poveča s , pada na intervalu (0; 2] .

- Ekstremne točke funkcije ene spremenljivke. Zadostni pogoji za ekstrem

Naj funkcija f(x), definirana in zvezna v intervalu, v njem ni monotona. Obstajajo takšni deli [ , ] intervala , v katerih največjo in najmanjšo vrednost doseže funkcija v notranji točki, tj. med i.

Rečeno je, da ima funkcija f(x) maksimum (ali minimum) v točki, če je to točko lahko obdano s tako sosesko (x 0 - ,x 0 +), ki je v intervalu, kjer je funkcija podana, da neenakost je izpolnjena za vse njene točke.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x0))

Z drugimi besedami, točka x 0 daje funkciji f (x) maksimum (minimum), če se vrednost f (x 0) izkaže za največjo (najmanjšo) od vrednosti, ki jih funkcija sprejme v nekaterih (pri najmanj majhna) soseska te točke. Upoštevajte, da sama definicija maksimuma (minimuma) predpostavlja, da je funkcija podana na obeh straneh točke x 0 .

Če obstaja taka soseska, znotraj katere (za x=x 0) velja stroga neenakost

f(x) f(x0)

takrat pravijo, da ima funkcija svoj maksimum (minimum) v točki x 0, sicer ima nepravilnega.

Če ima funkcija največje vrednosti v točkah x 0 in x 1, potem z uporabo drugega Weierstrassovega izreka za interval vidimo, da funkcija doseže svojo najmanjšo vrednost v tem intervalu na neki točki x 2 med x 0 in x 1 in ima najmanj tam. Podobno je med dvema padcema zagotovo visok. V najpreprostejšem (in v praksi najpomembnejšem) primeru, ko ima funkcija na splošno samo končno število maksimumov in minimumov, se ti preprosto izmenjujejo.

Upoštevajte, da za določitev maksimuma ali minimuma obstaja tudi izraz, ki ju združuje - ekstrem.

Koncepta maksimuma (max f(x)) in minimuma (min f(x)) sta lokalni lastnosti funkcije in se pojavita na določeni točki x 0 . Koncepti največje (sup f(x)) in najmanjše (inf f(x)) vrednosti se nanašajo na končni segment in so globalne lastnosti funkcije na segmentu.

Slika 1 prikazuje, da so v točkah x 1 in x 3 lokalni maksimumi, v točkah x 2 in x 4 pa lokalni minimumi. Najnižjo vrednost pa funkcija doseže v točki x=a, največjo pa v točki x=b.

Postavimo si problem iskanja vseh vrednosti argumenta, ki funkciji zagotavljajo ekstrem. Pri reševanju bo imela glavno vlogo izpeljanka.

Predpostavimo najprej, da za funkcijo f(x) v intervalu (a,b) obstaja končni odvod. Če ima funkcija v točki x 0 ekstrem, potem z uporabo Fermatovega izreka za interval (x 0 -, x 0 +), ki je bil obravnavan zgoraj, sklepamo, da je f (x) \u003d 0 to potrebno pogoj za ekstrem. Ekstremum je treba iskati samo v tistih točkah, kjer je odvod enak nič.

Ne smemo pa misliti, da vsaka točka, v kateri je odvod enak nič, daje funkciji ekstrem: pravkar navedeni nujni pogoj ne zadostuje.

Monotona

Zelo pomembna lastnina funkcija je njena monotonost. Če poznamo to lastnost različnih posebnih funkcij, lahko določimo obnašanje različnih fizičnih, ekonomskih, socialnih in mnogih drugih procesov.

Razlikujemo naslednje vrste monotonosti funkcij:

1) funkcijo poveča, če na nekem intervalu, če za kateri koli dve točki in ta interval tako, da . Tisti. večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije;

2) funkcijo zmanjša, če na nekem intervalu, če za kateri koli dve točki in ta interval tako, da . Tisti. večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije;

3) funkcijo nepadajoča, če na nekem intervalu, če za kateri koli dve točki in ta interval tako, da ;

4) funkcijo ne poveča, če na nekem intervalu, če za kateri koli dve točki in ta interval tako, da .

2. Za prva dva primera se uporablja tudi izraz "stroga monotonost".

3. Zadnja dva primera sta specifična in ju običajno določimo kot sestavo več funkcij.

4. Ločeno ugotavljamo, da je treba povečanje in zmanjšanje grafa funkcije upoštevati natančno od leve proti desni in nič drugega.

2. Sodo liho.

Funkcija se imenuje liho, če ob spremembi predznaka argumenta spremeni svojo vrednost v nasprotno. Formula za to izgleda takole . To pomeni, da bo funkcija po zamenjavi vrednosti minus x v funkciji namesto vseh xov spremenila svoj predznak. Graf takšne funkcije je simetričen glede na izvor.

Primeri lihih funkcij so itd.

Na primer, graf je dejansko simetričen glede izvora:

Funkcija se imenuje celoče sprememba predznaka argumenta ne spremeni njegove vrednosti. Formula za to izgleda takole. To pomeni, da se po zamenjavi vrednosti minus x v funkciji namesto vseh xov funkcija ne bo spremenila. Graf takšne funkcije je simetričen glede na os.

Primeri parnih funkcij so itd.

Na primer, pokažimo simetrijo grafa glede na os:

Če funkcija ne pripada nobeni od navedenih vrst, potem se imenuje niti soda niti liha oz funkcijo splošni pogled . Takšne funkcije nimajo simetrije.

Takšna funkcija je na primer nedavno obravnavana linearna funkcija z grafom:

3. Posebna lastnost funkcij je periodičnost.

Dejstvo je, da so periodične funkcije, ki so obravnavane v standardnem šolskem kurikulumu, samo trigonometrične funkcije. O njih smo že podrobno govorili pri preučevanju ustrezne teme.

Periodična funkcija je funkcija, ki ne spremeni svoje vrednosti, ko se argumentu doda določeno konstantno število, ki ni nič.

To najmanjše število se imenuje obdobje delovanja in so označeni s črko.

Formula za to izgleda takole: .

Oglejmo si to lastnost na primeru sinusnega grafa:

Spomnimo se, da je obdobje funkcij in , in obdobje in je .

Kot že vemo, lahko obstaja nestandardna perioda za trigonometrične funkcije s kompleksnim argumentom. To so funkcije obrazca:

Imata enako obdobje. In še o funkcijah:

Imata enako obdobje.

Kot lahko vidite, se za izračun novega obdobja standardno obdobje preprosto deli s faktorjem v argumentu. Ni odvisno od drugih modifikacij funkcije.

Omejitev.

funkcija y=f(x) imenujemo omejena od spodaj na množici X⊂D(f), če obstaja število a tako, da za vsak xϵX velja neenakost f(x)< a.

funkcija y=f(x) imenujemo omejena od zgoraj na množici X⊂D(f), če obstaja število a tako, da za vsak xϵX velja neenakost f(x)< a.

Če interval X ni naveden, se šteje, da je funkcija omejena na celotno domeno definicije. Funkcija, ki je omejena zgoraj in spodaj, se imenuje omejena.

Omejitev funkcije je enostavno razbrati z grafa. Možno je narisati neko premico y=a in če je funkcija višja od te premice, potem je omejena od spodaj.

Če spodaj, potem zgoraj. Spodaj je graf spodnje omejene funkcije. Graf omejene funkcije, fantje, poskusite ga narisati sami.

Tema: Lastnosti funkcij: intervali naraščanja in padanja; največje in najmanjše vrednosti; ekstremne točke (lokalni maksimum in minimum), konveksnost funkcije.

obdobja naraščanja in upadanja.

Na podlagi zadostnih pogojev (znakov) za naraščanje in padanje funkcije se najdejo intervali naraščanja in padanja funkcije.

Tu so formulacije znakov naraščajočih in padajočih funkcij na intervalu:

če je odvod funkcije y=f(x) pozitivno za katero koli x iz intervala X, potem se funkcija poveča za X;

če je odvod funkcije y=f(x) negativno za katero koli x iz intervala X, potem se funkcija zmanjša za X.

Tako je za določitev intervalov povečanja in zmanjšanja funkcije potrebno:

poiščite obseg funkcije;

poišči odvod funkcije;

rešujejo neenačbe in na področju definicije;

Naraščanje, padanje in ekstremi funkcije

Iskanje intervalov naraščanja, padanja in ekstremov funkcije je samostojna naloga in pomemben del drugih nalog, zlasti študija celotne funkcije. Začetne informacije o naraščanju, padanju in ekstremih funkcije so podane v teoretično poglavje o derivatu, ki ga zelo priporočam za predhodno študijo (ali ponovitev)- tudi zato, ker je naslednje gradivo zasnovano na zelo bistvo izpeljanke ki je harmonično nadaljevanje tega članka. Čeprav, če časa zmanjkuje, je možna tudi čisto formalna izdelava primerov današnje lekcije.

In danes je v zraku duh redkega soglasja in naravnost čutim, da vsi prisotni gori od želje naučite se raziskovati funkcijo z uporabo odvoda. Zato se razumna dobra večna terminologija takoj pojavi na zaslonih vaših monitorjev.

Kaj za? Eden najbolj praktičnih razlogov je: da bo jasno, kaj se na splošno zahteva od vas pri določeni nalogi!

Monotonost funkcije. Ekstremne točke in funkcijski ekstremi

Oglejmo si nekaj funkcij. Poenostavljeno predvidevamo, da neprekinjeno na celotni številski premici:

Za vsak slučaj se bomo takoj znebili morebitnih iluzij, še posebej za tiste bralce, ki so se pred kratkim seznanili z intervali predznak konstantnosti funkcije. Zdaj mi NE ZANIMA, kako se nahaja graf funkcije glede na os (zgoraj, spodaj, kjer prečka os). Za prepričljivost mentalno izbrišite osi in pustite en graf. Ker je interes v tem.

funkcija poveča na intervalu, če je za kateri koli dve točki tega intervala, ki sta povezani z razmerjem , neenakost resnična. to je večjo vrednost argument ustreza večji vrednosti funkcije, njen graf pa gre »od spodaj navzgor«. Demo funkcija raste skozi interval.

Prav tako funkcija zmanjša na intervalu, če za kateri koli dve točki danega intervala, tako da , Neenakost velja. To pomeni, da večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije, njen graf pa gre "od zgoraj navzdol". Naša funkcija se z intervali zmanjšuje .

Če funkcija narašča ali pada v intervalu, jo pokličemo strogo monotono v tem intervalu. Kaj je monotonost? Vzemite dobesedno – monotonost.

Možno je tudi definirati nepadajoča funkcijo (sproščeno stanje v prvi definiciji) in nenaraščajoča funkcija (zmehčano stanje v 2. definiciji). Funkcija, ki ne pada ali ne narašča na intervalu, se imenuje monotona funkcija na danem intervalu. (stroga monotonost - poseben primer"samo" monotonija).

Teorija upošteva tudi druge pristope k določanju povečanja / zmanjšanja funkcije, vključno s polintervali, segmenti, vendar, da vam ne zlijemo olja-olja-olja na glavo, se strinjamo, da operiramo z odprtimi intervali s kategoričnimi definicijami - to je bolj jasno in za rešitev številnih praktičnih problemov povsem dovolj.

V to smer, v mojih člankih se bo beseda "monotonost funkcije" skoraj vedno skrila intervalih stroga monotonija(strogo povečanje ali strogo zmanjšanje funkcije).

Point soseska. Besede, po katerih se učenci razbežijo, kamor se le da, in se prestrašeno skrijejo po kotih. …Čeprav po objavi Cauchyjeve meje verjetno se ne skrivajo več, ampak samo rahlo zadrhtijo =) Ne skrbite, zdaj ne bo dokazov o izrekih matematične analize - potreboval sem sosesko, da bi strožje oblikoval definicije ekstremne točke. Spomnimo se:

Soseska točka poimenujte interval, ki vsebuje dano točko, medtem ko se zaradi udobja pogosto predpostavlja, da je interval simetričen. Na primer, točka in njena standardna soseska:

V bistvu definicije:

Točka se imenuje stroga najvišja točka, če obstaja njena soseska, za vse vrednosti, pri katerih je, razen same točke, neenakost izpolnjena. V našem konkretnem primeru je to točka.

Točka se imenuje stroga minimalna točka, če obstaja njena soseska, za vse vrednosti, pri katerih je, razen same točke, neenakost izpolnjena. Na risbi - točka "a".

Opomba : zahteva, da je soseska simetrična, sploh ni potrebna. Poleg tega je pomembno samo dejstvo obstoja soseska (čeprav majhna, celo mikroskopska), ki izpolnjuje določene pogoje

Pike se imenujejo točke strogega ekstrema ali preprosto ekstremne točke funkcije. To pomeni, da je posplošen izraz za največje število točk in najmanjše število točk.

Kako razumeti besedo "ekstrem"? Da, tako neposredno kot monotonija. Skrajne točke tobogana.

Tako kot v primeru monotonosti so v teoriji še pogostejši nestrogi postulati (kamor seveda spadajo obravnavani strogi primeri!):

Točka se imenuje največja točka, če obstaja svojo okolico, tako da za vse
Točka se imenuje najmanjša točka, če obstaja svojo okolico, tako da za vse vrednosti te soseske, neenakost velja.

Upoštevajte, da se v skladu z zadnjima dvema definicijama vsaka točka konstantne funkcije (ali "ravno območje" neke funkcije) šteje za največjo in minimalno točko! Mimogrede, funkcija je hkrati nenaraščujoča in nepadajoča, torej monotona. Vendar te argumente prepuščamo teoretikom, saj v praksi skoraj vedno razmišljamo o tradicionalnih "hribih" in "kotanjah" (glej risbo) z edinstvenim "kraljem gora" ali "močvirsko princeso". Kot sorta se pojavlja točka, usmerjen navzgor ali navzdol, na primer minimum funkcije v točki .

Oh, in ko smo že pri licenčnini:
- pomen se imenuje maksimum funkcije;
- pomen se imenuje najmanj funkcije.

Pogosto ime - skrajnosti funkcije.

Prosim, bodite previdni z besedami!

ekstremne točke so vrednosti "x".
Ekstremi- vrednote "igre".

! Opomba : včasih se navedeni izrazi nanašajo na točke "x-y", ki ležijo neposredno na GRAFU funkcije.

Koliko ekstremov ima lahko funkcija?

Brez, 1, 2, 3, … itd. do neskončnosti. Na primer, sinus ima neskončno število minimumov in maksimumov.

POMEMBNO! Izraz "največja funkcija" ni enaka izraz " največja vrednost funkcije«. Preprosto je videti, da je vrednost največja samo v lokalni soseski, zgoraj levo pa so "bolj nenadoma tovariši". Prav tako "minimalna funkcija" ni isto kot "minimalna vrednost funkcije", na risbi pa vidimo, da je vrednost minimalna samo na določenem območju. V zvezi s tem se imenujejo tudi ekstremne točke lokalne ekstremne točke, in ekstremi lokalni ekstremi. Hodijo in se potepajo naokrog in globalno bratje. Vsaka parabola ima torej na vrhu svetovni minimum oz globalni maksimum. Nadalje ne bom razlikoval med vrstami ekstremov, razlaga pa je izražena bolj za splošne izobraževalne namene - dodatni pridevniki "lokalni" / "globalni" ne smejo biti presenečeni.

Povzemimo našo kratko digresijo v teorijo s kontrolnim posnetkom: kaj pomeni naloga "poišči intervale monotonosti in ekstremne točke funkcije"?

Formulacija zahteva iskanje:

- intervali povečanja / zmanjšanja funkcije (nezmanjšanje, nenaraščanje se pojavljajo veliko manj pogosto);

– največ točk in/ali najmanj točk (če obstajajo). No, bolje je, da sami najdejo minimume / maksimume iz napake ;-)

Kako vse to definirati? S pomočjo odpeljane funkcije!

Kako najti intervale povečanja, zmanjšanja,
ekstremne točke in ekstremi funkcije?

Mnoga pravila namreč že poznamo in jih razumemo pouk o pomenu izpeljanke.

Tangentni odvod nosi dobro novico, da se funkcija vseskozi povečuje domene.

S kotangensom in njegovim odvodom situacija je ravno obratna.

Arksinus raste na intervalu - odvod je tu pozitiven: .
Za je funkcija definirana, vendar ne diferenciacijska. Vendar pa v kritična točka obstajata desna odvodnica in desna tangenta, na drugi strani pa njuni levi dvojnici.

Mislim, da vam ne bo težko izvesti podobnega sklepanja za ark kosinus in njegov derivat.

Vsi ti primeri, od katerih jih je veliko tabularne izpeljanke, spomnim vas, sledite neposredno iz definicije derivata.

Zakaj raziskovati funkcijo z odvodom?

Za boljšo predstavo o tem, kako izgleda graf te funkcije: kam gre »od spodaj navzgor«, kam gre »od zgoraj navzdol«, kje doseže najnižje višine (če sploh). Niso vse funkcije tako preproste – v večini primerov na splošno nimamo niti najmanjšega pojma o grafu določene funkcije.

Čas je, da preidemo na bolj smiselne primere in razmislimo algoritem za iskanje intervalov monotonosti in ekstremov funkcije:

Primer 1

Poiščite naraščajoče/padajoče intervale in ekstreme funkcije

rešitev:

1) Prvi korak je najti obseg funkcije, in upoštevajte tudi prekinitvene točke (če obstajajo). V tem primeru je funkcija zvezna na celotni realni premici in to dejanje je nekoliko formalno. Toda v nekaterih primerih se tukaj razplamtijo resne strasti, zato obravnavajmo odstavek brez zanemarjanja.

2) Druga točka algoritma je posledica

nujen pogoj za ekstrem:

Če je v točki ekstrem, potem bodisi vrednost ne obstaja.

Vas zmede konec? Ekstremum funkcije "modulo x" .

pogoj je nujen, vendar ne dovolj, in obratno ne drži vedno. Torej iz enakosti še ne sledi, da funkcija doseže maksimum ali minimum v točki . Klasičen primer je bil že osvetljen zgoraj - to je kubična parabola in njena kritična točka.

Kakor koli že, nujen pogoj za ekstrem narekuje potrebo po iskanju sumljivih točk. Če želite to narediti, poiščite izpeljanko in rešite enačbo:

Na začetku prvega članka o funkcijskih grafih Povedal sem vam, kako hitro sestaviti parabolo na primeru : "... vzamemo prvi odvod in ga enačimo z nič: ... Torej, rešitev naše enačbe: - na tej točki se nahaja vrh parabole ...". Zdaj mislim, da vsi razumejo, zakaj je vrh parabole točno na tej točki =) Na splošno bi morali začeti s podobnim primerom, vendar je preveč preprost (tudi za čajnik). Poleg tega je analog na samem koncu lekcije o izvedenka funkcije. Torej dvignimo nivo:

Primer 2

Poiščite intervale monotonosti in ekstreme funkcije

To je primer "naredi sam". Popolna rešitev in približen končni vzorec problema na koncu lekcije.

Prišel je dolgo pričakovani trenutek srečanja z frakcijskimi racionalnimi funkcijami:

Primer 3

Raziščite funkcijo z uporabo prvega odvoda

Bodite pozorni na to, kako variantno je mogoče eno in isto nalogo preoblikovati.

rešitev:

1) Funkcija trpi neskončne prekinitve v točkah.

2) Zaznamo kritične točke. Poiščimo prvi odvod in ga enačimo z nič:

Rešimo enačbo. Ulomek je nič, če je njegov števec enak nič:

Tako dobimo tri kritične točke:

3) Odložite VSE zaznane točke na številski premici in intervalna metoda opredeli znake IZPELJAVE:

Opomnim vas, da morate vzeti neko točko intervala, izračunati vrednost derivata v njej in določi njegov predznak. Bolj donosno je niti ne šteti, ampak "oceniti" ustno. Vzemimo na primer točko, ki pripada intervalu, in izvedemo zamenjavo: .

Dva "plus" in en "minus" dajeta torej "minus", kar pomeni, da je izpeljanka negativna na celotnem intervalu.

Ukrep, kot razumete, je treba izvesti za vsakega od šestih intervalov. Mimogrede, upoštevajte, da sta faktor števca in imenovalec strogo pozitivna za katero koli točko katerega koli intervala, kar močno poenostavi nalogo.

Izpeljanka nam je torej povedala, da se SAMA FUNKCIJA poveča za in se zmanjša za. Primerno je pritrditi intervale iste vrste z ikono unije.

Takrat funkcija doseže svoj maksimum:
Na točki, ko funkcija doseže svoj minimum:

Pomislite, zakaj ne morete preračunati druge vrednosti ;-)

Pri prehodu skozi točko odvod ne spremeni predznaka, zato funkcija tam NI EKSTREMA - zmanjšala se je in ostala padajoča.

! Ponovimo pomembna točka : točke se ne štejejo za kritične - imajo funkcijo ni določeno. V skladu s tem tukaj ekstremov načeloma ne more biti(tudi če izpeljanka spremeni predznak).

Odgovori: funkcija se poveča za in se zmanjša na Na točki, ko je dosežen maksimum funkcije: , in na točki - najmanj: .

Poznavanje intervalov monotonosti in ekstremov, skupaj z uveljavljenimi asimptote daje zelo dobro predstavo o videz funkcijski graf. Povprečen človek lahko ustno ugotovi, da ima graf funkcije dve navpični asimptoti in eno poševno asimptoto. Tukaj je naš junak:

Poskusite znova povezati rezultate študije z grafom te funkcije.
Ekstremuma na kritični točki ni, je pa pregib krivulje(kar se praviloma zgodi v podobnih primerih).

Primer 4

Poiščite ekstreme funkcije

Primer 5

Poiščite intervale monotonosti, maksimume in minimume funkcije

... prav nekakšen X-in-a-cube Praznik se danes izkaže ....
Soooo, kdo tam v galeriji se je ponudil piti za to? =)

Vsaka naloga ima svoje vsebinske nianse in tehnične podrobnosti, ki so komentirane na koncu lekcije.