Paghahanap ng common multiple ng dalawang numero. Mga paraan upang mahanap ang least common multiple, nok is, at lahat ng paliwanag
Pangalawang numero: b=
Digit separator Walang space separator "´
Resulta:
pinakamalaki karaniwang divisor GCD( a,b)=6
Hindi bababa sa karaniwang multiple ng LCM( a,b)=468
Pinakamahusay natural na numero, kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang nalalabi, ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor(gcd) ng mga numerong ito. Tinutukoy ang gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) o hcf(a,b).
Hindi bababa sa karaniwang maramihang(LCM) ng dalawang integer na a at b ay ang pinakamaliit na natural na bilang na nahahati sa a at b na walang natitira. Tinutukoy na LCM(a,b), o lcm(a,b).
Ang mga integer a at b ay tinatawag coprime kung wala silang karaniwang divisors maliban sa +1 at −1.
Pinakamahusay na Common Divisor
Hayaang magbigay ng dalawang positibong numero a 1 at a 2 1). Kinakailangang maghanap ng karaniwang divisor ng mga numerong ito, i.e. maghanap ng ganyang numero λ , na naghahati sa mga numero a 1 at a 2 sa parehong oras. Ilarawan natin ang algorithm.
1) Sa artikulong ito, ang salitang numero ay nangangahulugang isang integer.
Hayaan a 1 ≥ a 2 at hayaan
saan m 1 , a 3 ay ilang integer, a 3 <a 2 (natitira mula sa dibisyon a 1 sa a 2 ay dapat na mas mababa a 2).
Magpanggap na tayo λ naghahati a 1 at a 2, pagkatapos λ naghahati m 1 a 2 at λ naghahati a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Assertion 2 ng artikulong "Divisibility of numbers. Sign of divisibility"). Ito ay sumusunod na ang bawat karaniwang divisor a 1 at a 2 ay isang karaniwang divisor a 2 at a 3 . Totoo rin ang kabaligtaran kung λ karaniwang divisor a 2 at a 3, pagkatapos m 1 a 2 at a 1 =m 1 a 2 +a 3 ay nahahati din sa λ . Kaya ang karaniwang divisor a 2 at a 3 ay isa ring karaniwang divisor a 1 at a 2. kasi a 3 <a 2 ≤a 1 , pagkatapos ay maaari naming sabihin na ang solusyon sa problema ng paghahanap ng isang karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 nabawasan sa isang mas simpleng problema ng paghahanap ng isang karaniwang divisor ng mga numero a 2 at a 3 .
Kung ang a 3 ≠0, pagkatapos ay maaari nating hatiin a 2 sa a 3 . Pagkatapos
,
saan m 1 at a 4 ay ilang integer, ( a 4 na natitira sa dibisyon a 2 sa a 3 (a 4 <a 3)). Sa pamamagitan ng katulad na pangangatwiran, dumating kami sa konklusyon na ang mga karaniwang divisors ng mga numero a 3 at a Ang 4 ay kapareho ng mga karaniwang divisors ng mga numero a 2 at a 3 , at gayundin sa mga karaniwang divisors a 1 at a 2. kasi a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... mga numero na patuloy na bumababa, at dahil may hangganan ang bilang ng mga integer sa pagitan a 2 at 0, pagkatapos ay sa ilang hakbang n, natitira sa dibisyon a n sa a n+1 ay magiging katumbas ng zero ( a n+2=0).
.
Bawat karaniwang divisor λ numero a 1 at a Ang 2 ay isa ring divisor ng mga numero a 2 at a 3 , a 3 at a 4 , .... a n at a n+1 . Totoo rin ang kabaligtaran, karaniwang mga divisors ng mga numero a n at a Ang n+1 ay mga divisors din ng mga numero a n−1 at a n , .... , a 2 at a 3 , a 1 at a 2. Ngunit ang karaniwang divisor a n at a n+1 ay isang numero a n+1 , dahil a n at a ang n+1 ay nahahati ng a n+1 (tandaan iyon a n+2=0). Dahil dito a Ang n+1 ay isa ring divisor ng mga numero a 1 at a 2 .
Tandaan na ang numero a Ang n+1 ay ang pinakamalaking divisor ng numero a n at a n+1 , dahil ang pinakamalaking divisor a n+1 ay mismo a n+1 . Kung ang a Ang n + 1 ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga integer, kung gayon ang mga numerong ito ay karaniwang mga divisors ng mga numero. a 1 at a 2. Numero a n+1 ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor numero a 1 at a 2 .
Numero a 1 at a Ang 2 ay maaaring parehong positibo at negatibong mga numero. Kung ang isa sa mga numero ay katumbas ng zero, kung gayon ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng ganap na halaga ng isa pang numero. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga zero na numero ay hindi tinukoy.
Ang algorithm sa itaas ay tinatawag Ang algorithm ni Euclid upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang integer.
Isang halimbawa ng paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero
Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero 630 at 434.
- Hakbang 1. Hatiin ang numerong 630 sa 434. Ang natitira ay 196.
- Hakbang 2. Hatiin ang numerong 434 sa 196. Ang natitira ay 42.
- Hakbang 3. Hatiin ang numerong 196 sa 42. Ang natitira ay 28.
- Hakbang 4. Hatiin ang numero 42 sa 28. Ang natitira ay 14.
- Hakbang 5. Hatiin ang numerong 28 sa 14. Ang natitira ay 0.
Sa hakbang 5, ang natitira sa dibisyon ay 0. Samakatuwid, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 630 at 434 ay 14. Tandaan na ang mga numero 2 at 7 ay mga divisors din ng mga numerong 630 at 434.
Mga numero ng koprime
Kahulugan 1. Hayaan ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 ay katumbas ng isa. Pagkatapos ay tinawag ang mga numerong ito mga numero ng coprime na walang karaniwang divisor.
Teorama 1. Kung ang a 1 at a 2 medyo prime number, at λ ilang numero, pagkatapos ay anumang karaniwang divisor ng mga numero λa 1 at a Ang 2 ay isa ring karaniwang divisor ng mga numero λ at a 2 .
Patunay. Isaalang-alang ang algorithm ni Euclid para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 (tingnan sa itaas).
.
Ito ay sumusunod mula sa mga kondisyon ng theorem na ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2 , at samakatuwid a n at a ang n+1 ay 1. I.e. a n+1=1.
I-multiply natin ang lahat ng pagkakapantay-pantay na ito λ , pagkatapos
.
Hayaan ang karaniwang divisor a 1 λ at a 2 ay δ . Pagkatapos δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa a 1 λ , m 1 a 2 λ at sa a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Tingnan ang "Divisibility of numbers", Statement 2). Dagdag pa δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa a 2 λ at m 2 a 3 λ , at samakatuwid ay pumapasok bilang isang kadahilanan sa a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .
Sa pamamagitan ng pangangatwiran sa ganitong paraan, kami ay kumbinsido na δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa a n−1 λ at m n−1 a n λ , at samakatuwid ay sa a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . kasi a n+1 =1, pagkatapos δ pumapasok bilang isang kadahilanan sa λ . Kaya ang numero δ ay isang karaniwang divisor ng mga numero λ at a 2 .
Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso ng Theorem 1.
Bunga 1. Hayaan a at c ang mga prime number ay medyo b. Tapos yung product nila ac ay isang prime number na may kinalaman sa b.
Talaga. Mula sa Theorem 1 ac at b ay may parehong mga karaniwang divisors bilang c at b. Ngunit ang mga numero c at b coprime, ibig sabihin. magkaroon ng iisang common divisor 1. Pagkatapos ac at b mayroon ding iisang karaniwang divisor 1. Samakatuwid ac at b kapwa simple.
Bunga 2. Hayaan a at b coprime ang mga numero at hayaan b naghahati ak. Pagkatapos b naghahati at k.
Talaga. Mula sa kondisyon ng paninindigan ak at b magkaroon ng isang karaniwang divisor b. Sa bisa ng Theorem 1, b dapat ay isang karaniwang divisor b at k. Dahil dito b naghahati k.
Corollary 1 ay maaaring pangkalahatan.
Bunga 3. 1. Hayaan ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m ay pangunahing kamag-anak sa bilang b. Pagkatapos a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , ang produkto ng mga numerong ito ay prime kaugnay ng numero b.
2. Hayaan tayong magkaroon ng dalawang hanay ng mga numero
na ang bawat numero sa unang hilera ay prime sa bawat numero sa ikalawang hanay. Pagkatapos ang produkto
Kinakailangang hanapin ang mga naturang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito.
Kung ang numero ay mahahati ng a 1 , tapos parang sa 1, kung saan s ilang numero. Kung ang q ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero a 1 at a 2, pagkatapos
saan s 1 ay ilang integer. Pagkatapos
ay hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero a 1 at a 2 .
a 1 at a 2 coprime, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero a 1 at a 2:
Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito.
Ito ay sumusunod mula sa itaas na ang anumang maramihang ng mga numero a 1 , a 2 , a Ang 3 ay dapat na maramihang mga numero ε at a 3 at kabaliktaran. Hayaan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ε at a 3 ay ε isa. Dagdag pa, isang maramihang mga numero a 1 , a 2 , a 3 , a Ang 4 ay dapat na maramihang mga numero ε 1 at a apat. Hayaan ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ε 1 at a 4 ay ε 2. Kaya, nalaman namin na ang lahat ng multiple ng mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay nag-tutugma sa mga multiple ng ilang partikular na numero ε n , na tinatawag na least common multiple ng mga binigay na numero.
Sa partikular na kaso kapag ang mga numero a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coprime, pagkatapos ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 , a 2 tulad ng ipinapakita sa itaas ay may anyo (3). Dagdag pa, mula noong a 3 prime tungkol sa mga numero a 1 , a 2, pagkatapos a Ang 3 ay isang pangunahing kamag-anak na numero a isa · a 2 (Corollary 1). Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero a 1 ,a 2 ,a Ang 3 ay isang numero a isa · a 2 · a 3 . Ang pagtatalo sa katulad na paraan, dumating tayo sa mga sumusunod na pahayag.
Pahayag 1. Hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay katumbas ng kanilang produkto a isa · a 2 · a 3 ··· a m .
Pahayag 2. Anumang numero na nahahati sa bawat isa sa mga numero ng coprime a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ay nahahati din sa kanilang produkto a isa · a 2 · a 3 ··· a m .
Kahulugan. Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ang mga numerong ito.
Hanapin natin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 24 at 35.
Ang mga divisors ng 24 ay ang mga numerong 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, at ang mga divisors ng 35 ay ang mga numerong 1, 5, 7, 35.
Nakikita natin na ang mga numero 24 at 35 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag coprime.
Kahulugan. Ang mga natural na numero ay tinatawag coprime kung ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor (gcd) ay 1.
Greatest Common Divisor (GCD) ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang lahat ng mga divisors ng mga ibinigay na numero.
Ang pag-factor ng mga numero 48 at 36, nakukuha natin:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Mula sa mga salik na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, tinatanggal namin ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng pangalawang numero (ibig sabihin, dalawang deuces).
Ang mga salik na 2 * 2 * 3 ay nananatili. Ang kanilang produkto ay 12. Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 48 at 36. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay matatagpuan din.
Hanapin pinakamalaking karaniwang divisor
2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numerong ito, i-cross out ang mga hindi kasama sa pagpapalawak ng iba pang mga numero;
3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.
Kung ang lahat ng ibinigay na numero ay nahahati sa isa sa kanila, ang numerong ito ay pinakamalaking karaniwang divisor binigay na mga numero.
Halimbawa, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 15, 45, 75, at 180 ay 15, dahil hinahati nito ang lahat ng iba pang numero: 45, 75, at 180.
Least common multiple (LCM)
Kahulugan. Least common multiple (LCM) Ang mga natural na numerong a at b ay ang pinakamaliit na natural na numero na isang multiple ng parehong a at b. Ang least common multiple (LCM) ng mga numerong 75 at 60 ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang gawin ito, nabubulok namin ang 75 at 60 sa mga simpleng kadahilanan: 75 \u003d 3 * 5 * 5, at 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Isinulat namin ang mga kadahilanan na kasama sa pagpapalawak ng una sa mga numerong ito, at idagdag sa kanila ang nawawalang mga kadahilanan 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero (iyon ay, pinagsama namin ang mga kadahilanan).
Nakukuha namin ang limang salik 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ang produkto nito ay 300. Ang numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong 75 at 60.
Hanapin din ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero.
Upang hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ilang natural na numero, kailangan mo:
1) mabulok ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;
2) isulat ang mga salik na kasama sa pagpapalawak ng isa sa mga numero;
3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;
4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.
Tandaan na kung ang isa sa mga numerong ito ay nahahati sa lahat ng iba pang mga numero, ang numerong ito ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng mga numerong ito.
Halimbawa, ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 12, 15, 20, at 60 ay magiging 60, dahil nahahati ito sa lahat ng ibinigay na numero.
Pinag-aralan ni Pythagoras (VI siglo BC) at ng kanyang mga estudyante ang isyu ng divisibility of numbers. Isang numero na katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga divisors nito (nang walang numero mismo), tinawag nila ang perpektong numero. Halimbawa, ang mga numero 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ay perpekto. Ang susunod na perpektong numero ay 496, 8128, 33,550,336. Alam lamang ng mga Pythagorean ang unang tatlong perpektong numero. Ang ikaapat - 8128 - ay nakilala noong ika-1 siglo. n. e. Ang ikalima - 33 550 336 - ay natagpuan noong ika-15 siglo. Sa pamamagitan ng 1983, 27 perpektong numero ay kilala na. Ngunit hanggang ngayon, hindi alam ng mga siyentipiko kung mayroong kakaibang perpektong numero, kung mayroong pinakamalaking perpektong numero.
Ang interes ng mga sinaunang mathematician sa mga prime number ay dahil sa ang katunayan na ang anumang numero ay alinman sa prime o maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng mga prime number, iyon ay, ang mga prime number ay tulad ng mga brick kung saan ang natitirang mga natural na numero ay binuo.
Marahil ay napansin mo na ang mga pangunahing numero sa serye ng mga natural na numero ay nangyayari nang hindi pantay - sa ilang bahagi ng serye ay mas marami sa kanila, sa iba - mas kaunti. Ngunit habang patuloy tayong gumagalaw sa serye ng numero, mas bihira ang mga prime number. Ang tanong ay lumitaw: mayroon ba ang huling (pinakamalaking) prime number? Ang sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid (ika-3 siglo BC), sa kanyang aklat na "Mga Simula", na sa loob ng dalawang libong taon ay ang pangunahing aklat-aralin ng matematika, pinatunayan na mayroong walang hanggan na maraming prime number, iyon ay, sa likod ng bawat prime number ay mayroong pantay. mas malaking prime number.
Upang makahanap ng mga prime number, isa pang Greek mathematician noong panahong iyon, si Eratosthenes, ang gumawa ng ganitong paraan. Isinulat niya ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang sa ilang numero, at pagkatapos ay i-cross out ang unit, na hindi prime o composite na numero, pagkatapos ay i-cross out sa isa ang lahat ng numero pagkatapos ng 2 (mga numero na multiple ng 2, ibig sabihin, 4, 6, 8, atbp.). Ang unang natitirang numero pagkatapos ng 2 ay 3. Pagkatapos, pagkatapos ng dalawa, ang lahat ng mga numero pagkatapos ng 3 ay na-cross out (mga numero na multiple ng 3, i.e. 6, 9, 12, atbp.). sa huli, ang mga prime number lang ang nananatiling uncross out.
Common multiples
Sa madaling salita, ang anumang integer na nahahati sa bawat isa sa mga ibinigay na numero ay karaniwang maramihan ibinigay na mga integer.
Mahahanap mo ang karaniwang multiple ng dalawa o higit pang integer.
Halimbawa 1
Kalkulahin ang karaniwang multiple ng dalawang numero: $2$ at $5$.
Solusyon.
Sa pamamagitan ng kahulugan, ang karaniwang multiple ng $2$ at $5$ ay $10$, dahil ito ay isang multiple ng $2$ at $5$:
Ang mga karaniwang multiple ng mga numerong $2$ at $5$ ay magiging mga numerong $–10, 20, –20, 30, –30$, atbp., dahil lahat sila ay nahahati sa $2$ at $5$.
Puna 1
Ang zero ay isang karaniwang multiple ng anumang bilang ng mga non-zero integer.
Ayon sa mga katangian ng divisibility, kung ang isang tiyak na numero ay isang karaniwang multiple ng ilang mga numero, kung gayon ang bilang na nasa tapat ng sign ay magiging isang karaniwang multiple ng mga ibinigay na numero. Ito ay makikita mula sa isinasaalang-alang na halimbawa.
Para sa mga ibinigay na integer, palagi mong mahahanap ang kanilang karaniwang maramihang.
Halimbawa 2
Kalkulahin ang karaniwang multiple ng $111$ at $55$.
Solusyon.
I-multiply ang mga ibinigay na numero: $111\div 55=6105$. Madaling suriin na ang numerong $6105$ ay nahahati sa numerong $111$ at ang numerong $55$:
$6105\div 111=55$;
$6105\div 55=111$.
Kaya, ang $6105$ ay isang karaniwang multiple ng $111$ at $55$.
Sagot: ang karaniwang multiple ng $111$ at $55$ ay $6105$.
Ngunit, tulad ng nakita na natin mula sa nakaraang halimbawa, ang karaniwang maramihang ito ay hindi isa. Ang iba pang mga karaniwang multiple ay magiging $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050$, at iba pa. Kaya, nakarating kami sa sumusunod na konklusyon:
Puna 2
Ang anumang hanay ng mga integer ay may walang katapusang bilang ng mga karaniwang multiple.
Sa pagsasagawa, limitado ang mga ito sa paghahanap ng mga karaniwang multiple ng mga positive integer (natural) na numero lamang, dahil ang mga set ng multiple ng isang naibigay na numero at ang kabaligtaran nito ay nag-tutugma.
Paghahanap ng Least Common Multiple
Kadalasan, sa lahat ng multiple ng isang naibigay na numero, ang least common multiple (LCM) ay ginagamit.
Kahulugan 2
Ang hindi bababa sa positibong common multiple ng mga ibinigay na integer ay hindi bababa sa karaniwang maramihang ang mga numerong ito.
Halimbawa 3
Kalkulahin ang LCM ng mga numerong $4$ at $7$.
Solusyon.
kasi ang mga numerong ito ay walang karaniwang divisors, pagkatapos ay $LCM(4,7)=28$.
Sagot: $LCM(4,7)=28$.
Paghahanap ng NOC sa pamamagitan ng NOD
kasi mayroong isang koneksyon sa pagitan ng LCM at GCD, sa tulong nito posible upang makalkula LCM ng dalawang positive integer:
Puna 3
Halimbawa 4
Kalkulahin ang LCM ng mga numerong $232$ at $84$.
Solusyon.
Gamitin natin ang formula para sa paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng GCD:
$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(gcd (a,b))$
Hanapin natin ang gcd ng mga numerong $232$ at $84$ gamit ang Euclidean algorithm:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
Yung. $gcd (232, 84)=4$.
Hanapin natin ang $LCM (232, 84)$:
$LCC(232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$
Sagot: $NOK(232.84)=4872$.
Halimbawa 5
Kalkulahin ang $LCM (23, 46)$.
Solusyon.
kasi Ang $46$ ay pantay na nahahati ng $23$, pagkatapos ay $gcd(23, 46)=23$. Hanapin natin ang NOC:
$LCC(23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$
Sagot: $NOK(23.46)=46$.
Kaya, ang isa ay maaaring bumalangkas tuntunin:
Puna 4
Ang materyal na ipinakita sa ibaba ay isang lohikal na pagpapatuloy ng teorya mula sa artikulo sa ilalim ng heading na LCM - least common multiple, kahulugan, mga halimbawa, relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Dito natin pag-uusapan paghahanap ng least common multiple (LCM), at bigyang-pansin ang paglutas ng mga halimbawa. Ipakita muna natin kung paano kinakalkula ang LCM ng dalawang numero sa mga tuntunin ng GCD ng mga numerong ito. Susunod, isaalang-alang ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga numero sa prime factor. Pagkatapos nito, tututukan namin ang paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero, at bibigyan din ng pansin ang pagkalkula ng LCM ng mga negatibong numero.
Pag-navigate sa pahina.
Pagkalkula ng least common multiple (LCM) sa pamamagitan ng gcd
Ang isang paraan upang mahanap ang least common multiple ay batay sa relasyon sa pagitan ng LCM at GCD. Ang umiiral na ugnayan sa pagitan ng LCM at GCD ay nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng dalawang positive integer sa pamamagitan ng kilalang pinakamalaking karaniwang divisor. Ang kaukulang formula ay may anyo LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paghahanap ng LCM ayon sa formula sa itaas.
Halimbawa.
Hanapin ang least common multiple ng dalawang numero 126 at 70 .
Solusyon.
Sa halimbawang ito a=126 , b=70 . Gamitin natin ang kaugnayan sa pagitan ng LCM at GCD na ipinahayag ng formula LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Iyon ay, una kailangan nating hanapin ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 70 at 126, pagkatapos nito ay maaari nating kalkulahin ang LCM ng mga numerong ito ayon sa nakasulat na formula.
Hanapin ang gcd(126, 70) gamit ang algorithm ni Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , kaya gcd(126, 70)=14 .
Ngayon nakita namin ang kinakailangang hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(126, 70)=126 70: GCM(126, 70)= 126 70:14=630 .
Sagot:
LCM(126, 70)=630 .
Halimbawa.
Ano ang LCM(68, 34) ?
Solusyon.
kasi Ang 68 ay pantay na nahahati ng 34 , pagkatapos ay gcd(68, 34)=34 . Ngayon kinakalkula namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68 .
Sagot:
LCM(68, 34)=68 .
Tandaan na ang nakaraang halimbawa ay umaangkop sa sumusunod na panuntunan para sa paghahanap ng LCM para sa mga positibong integer na a at b : kung ang numero a ay nahahati sa b , kung gayon ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay a .
Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors
Ang isa pang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa mga numero ng factoring sa prime factor. Kung gagawin namin ang isang produkto ng lahat ng prime factor ng mga numerong ito, pagkatapos nito ay ibubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng karaniwang prime factor na naroroon sa mga pagpapalawak ng mga numerong ito, ang resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa common multiple ng mga numerong ito.
Ang inihayag na panuntunan para sa paghahanap ng LCM ay sumusunod sa pagkakapantay-pantay LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Sa katunayan, ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga numerong a at b. Sa turn, ang gcd(a, b) ay katumbas ng produkto ng lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa pagpapalawak ng mga numerong a at b (na inilalarawan sa seksyon sa paghahanap ng gcd gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor. ).
Kumuha tayo ng isang halimbawa. Ipaalam sa amin na 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Buuin ang produkto ng lahat ng salik ng mga pagpapalawak na ito: 2 3 3 5 5 5 7 . Ngayon ay ibinubukod namin mula sa produktong ito ang lahat ng mga kadahilanan na naroroon kapwa sa pagpapalawak ng numero 75 at sa pagpapalawak ng bilang 210 (ang mga naturang kadahilanan ay 3 at 5), pagkatapos ay kukuha ang produkto sa anyo 2 3 5 5 7 . Ang halaga ng produktong ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 75 at 210, iyon ay, LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.
Halimbawa.
Pagkatapos i-factor ang mga numerong 441 at 700 sa prime factor, hanapin ang least common multiple ng mga numerong ito.
Solusyon.
I-decompose natin ang mga numerong 441 at 700 sa prime factors:
Nakukuha natin ang 441=3 3 7 7 at 700=2 2 5 5 7 .
Ngayon, gumawa tayo ng produkto ng lahat ng mga salik na kasangkot sa pagpapalawak ng mga bilang na ito: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Ibukod natin sa produktong ito ang lahat ng mga salik na sabay-sabay na naroroon sa parehong mga pagpapalawak (mayroong isa lamang salik na ito - ito ang numero 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Sa ganitong paraan, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.
Sagot:
LCM(441, 700)= 44 100 .
Ang panuntunan para sa paghahanap ng LCM gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor ay maaaring mabuo nang medyo naiiba. Kung idaragdag natin ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng bilang b sa mga salik mula sa pagpapalawak ng bilang a, kung gayon ang halaga ng resultang produkto ay magiging katumbas ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong a at b.
Halimbawa, kunin natin ang lahat ng parehong numero 75 at 210, ang kanilang mga pagpapalawak sa prime factor ay ang mga sumusunod: 75=3 5 5 at 210=2 3 5 7 . Sa mga salik 3, 5 at 5 mula sa agnas ng numerong 75, idinaragdag namin ang nawawalang mga salik 2 at 7 mula sa agnas ng numerong 210, nakukuha namin ang produkto 2 3 5 5 7 , ang halaga nito ay LCM(75). , 210).
Halimbawa.
Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.
Solusyon.
Una nating makuha ang agnas ng mga numerong 84 at 648 sa pangunahing mga kadahilanan. Sila ay parang 84=2 2 3 7 at 648=2 2 2 3 3 3 3 . Sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 mula sa agnas ng numerong 84 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 , 3 , 3 at 3 mula sa agnas ng numerong 648 , nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 , na katumbas ng 4 536 . Kaya, ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga numero 84 at 648 ay 4,536.
Sagot:
LCM(84, 648)=4 536 .
Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero
Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero ay makikita sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng LCM ng dalawang numero. Alalahanin ang kaukulang theorem, na nagbibigay ng paraan upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero.
Teorama.
Hayaang ibigay ang mga positibong integer a 1 , a 2 , …, a k, ang hindi bababa sa karaniwang multiple m k ng mga numerong ito ay makikita sa sequential kalkulasyon m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Isaalang-alang ang aplikasyon ng theorem na ito sa halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero.
Halimbawa.
Hanapin ang LCM ng apat na numero 140 , 9 , 54 at 250 .
Solusyon.
Sa halimbawang ito a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .
Una naming mahanap m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Upang gawin ito, gamit ang Euclidean algorithm, tinutukoy namin ang gcd(140, 9) , mayroon kaming 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , samakatuwid, gcd( 140, 9)=1 , kung saan LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Ibig sabihin, m 2 =1 260 .
Ngayon nahanap namin m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Kalkulahin natin ito sa pamamagitan ng gcd(1 260, 54) , na tinutukoy din ng Euclid algorithm: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Pagkatapos gcd(1 260, 54)=18 , kung saan LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Iyon ay, m 3 \u003d 3 780.
Kaliwa para hanapin m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Upang gawin ito, makikita natin ang GCD(3 780, 250) gamit ang Euclid algorithm: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Samakatuwid, gcd(3 780, 250)=10 , kung saan gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Iyon ay, m 4 \u003d 94 500.
Kaya ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng orihinal na apat na numero ay 94,500.
Sagot:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Sa maraming mga kaso, ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng tatlo o higit pang mga numero ay madaling makita gamit ang mga prime factorization ng mga ibinigay na numero. Sa kasong ito, dapat sundin ang sumusunod na patakaran. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero ay katumbas ng produkto, na binubuo ng mga sumusunod: ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero ay idinaragdag sa lahat ng mga salik mula sa pagpapalawak ng unang numero, ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng ang ikatlong numero ay idinagdag sa nakuha na mga kadahilanan, at iba pa.
Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang gamit ang decomposition ng mga numero sa prime factor.
Halimbawa.
Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang numero 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Solusyon.
Una, nakukuha natin ang mga pagpapalawak ng mga numerong ito sa prime factor: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 prime factor) at 143=11 13 .
Upang mahanap ang LCM ng mga numerong ito, sa mga salik ng unang numero 84 (sila ay 2 , 2 , 3 at 7 ) kailangan mong idagdag ang nawawalang mga salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero 6 . Ang pagpapalawak ng numero 6 ay hindi naglalaman ng mga nawawalang mga kadahilanan, dahil ang parehong 2 at 3 ay naroroon na sa pagpapalawak ng unang numero 84 . Dagdag pa sa mga salik 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 2 at 2 mula sa pagpapalawak ng ikatlong numero 48 , nakakakuha kami ng isang hanay ng mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 . Hindi na kailangang magdagdag ng mga salik sa set na ito sa susunod na hakbang, dahil ang 7 ay nakapaloob na dito. Sa wakas, sa mga salik 2 , 2 , 2 , 2 , 3 at 7 idinaragdag namin ang nawawalang salik 11 at 13 mula sa pagpapalawak ng bilang na 143 . Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 2 3 7 11 13 , na katumbas ng 48 048 .
Pinakamahusay na Common Divisor
Kahulugan 2
Kung ang isang natural na numero a ay nahahati sa natural na bilang na $b$, kung gayon ang $b$ ay tinatawag na divisor ng $a$, at ang bilang na $a$ ay tinatawag na multiple ng $b$.
Hayaang maging natural na mga numero ang $a$ at $b$. Ang numerong $c$ ay tinatawag na karaniwang divisor para sa parehong $a$ at $b$.
Ang hanay ng mga karaniwang divisors ng mga numerong $a$ at $b$ ay may hangganan, dahil wala sa mga divisors na ito ang maaaring mas malaki sa $a$. Nangangahulugan ito na sa mga divisors na ito ay mayroong pinakamalaki, na tinatawag na pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong $a$ at $b$, at ang notasyon ay ginagamit upang tukuyin ito:
$gcd \ (a;b) \ o \ D \ (a;b)$
Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero:
- Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
Halimbawa 1
Hanapin ang gcd ng mga numerong $121$ at $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Piliin ang mga numerong kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
$gcd=2\cdot 11=22$
Halimbawa 2
Hanapin ang GCD ng mga monomial na $63$ at $81$.
Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito:
I-decompose natin ang mga numero sa prime factors
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Pinipili namin ang mga numero na kasama sa pagpapalawak ng mga numerong ito
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Hanapin natin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na pinakamalaking karaniwang divisor.
$gcd=3\cdot 3=9$
Mahahanap mo ang GCD ng dalawang numero sa ibang paraan, gamit ang hanay ng mga divisors ng mga numero.
Halimbawa 3
Hanapin ang gcd ng mga numerong $48$ at $60$.
Solusyon:
Hanapin ang hanay ng mga divisors na $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Ngayon hanapin natin ang hanay ng mga divisors na $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$
Hanapin natin ang intersection ng mga set na ito: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - tutukuyin ng set na ito ang set ng mga common divisors ng mga numero $48$ at $60 $. Ang pinakamalaking elemento sa set na ito ay ang bilang na $12$. Kaya ang pinakamalaking karaniwang divisor ng $48$ at $60$ ay $12$.
Kahulugan ng NOC
Kahulugan 3
karaniwang maramihan ng mga natural na numero Ang $a$ at $b$ ay isang natural na numero na isang multiple ng parehong $a$ at $b$.
Ang mga karaniwang multiple ng mga numero ay mga numero na nahahati sa orihinal na walang nalalabi. Halimbawa, para sa mga numerong $25$ at $50$, ang mga karaniwang multiple ay ang mga numerong $50,100,150,200$, atbp.
Ang least common multiple ay tatawagin na least common multiple at tinutukoy ng LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$
Upang mahanap ang LCM ng dalawang numero, kailangan mo:
- I-decompose ang mga numero sa prime factor
- Isulat ang mga salik na bahagi ng unang numero at idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at huwag pumunta sa una
Halimbawa 4
Hanapin ang LCM ng mga numerong $99$ at $77$.
Mahahanap namin ayon sa ipinakita na algorithm. Para dito
I-decompose ang mga numero sa prime factor
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Isulat ang mga salik na kasama sa una
idagdag sa kanila ang mga salik na bahagi ng pangalawa at hindi napupunta sa una
Hanapin ang produkto ng mga numerong makikita sa hakbang 2. Ang resultang numero ay ang nais na hindi bababa sa karaniwang maramihang
$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Ang pag-compile ng mga listahan ng mga divisors ng mga numero ay kadalasang napakatagal. Mayroong isang paraan upang mahanap ang GCD na tinatawag na Euclid's algorithm.
Mga pahayag kung saan nakabatay ang algorithm ni Euclid:
Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero, at $a\vdots b$, kung gayon ang $D(a;b)=b$
Kung ang $a$ at $b$ ay mga natural na numero tulad ng $b
Gamit ang $D(a;b)= D(a-b;b)$, maaari naming sunud-sunod na bawasan ang mga numerong isinasaalang-alang hanggang sa maabot namin ang isang pares ng mga numero na ang isa sa mga ito ay nahahati sa isa. Kung gayon ang mas maliit sa mga numerong ito ay ang gustong pinakamalaking karaniwang divisor para sa mga numerong $a$ at $b$.
Mga katangian ng GCD at LCM
- Anumang common multiple ng $a$ at $b$ ay nahahati sa K$(a;b)$
- Kung $a\vdots b$ , kung gayon K$(a;b)=a$
Kung K$(a;b)=k$ at $m$-natural na numero, kung gayon ang K$(am;bm)=km$
Kung ang $d$ ay karaniwang divisor para sa $a$ at $b$, kung gayon ang K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Kung ang $a\vdots c$ at $b\vdots c$ , ang $\frac(ab)(c)$ ay isang common multiple ng $a$ at $b$
Para sa anumang natural na bilang na $a$ at $b$ ang pagkakapantay-pantay
$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$
Anumang karaniwang divisor ng $a$ at $b$ ay isang divisor ng $D(a;b)$