Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng LCM. Karaniwang divisor at maramihan

Online na calculator nagbibigay-daan sa iyong mabilis na mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor at hindi bababa sa karaniwang maramihang dalawa o anumang iba pang bilang ng mga numero.

Calculator para sa paghahanap ng GCD at NOC

Hanapin ang GCD at NOC

Natagpuan ang GCD at NOC: 5806

Paano gamitin ang calculator

Maglagay ng mga numero sa input field
Sa kaso ng pagpasok ng mga maling character, ang input field ay iha-highlight sa pula
pindutin ang button na "Hanapin ang GCD at NOC"

Paano magpasok ng mga numero

Ang mga numero ay ipinasok na pinaghihiwalay ng mga puwang, tuldok o kuwit
Ang haba ng mga inilagay na numero ay hindi limitado, kaya hanapin ang gcd at lcm mahabang numero hindi gagawa ng anumang gulo

Ano ang NOD at NOK?

Pinakamahusay na Common Divisor ng ilang mga numero ay ang pinakamalaking natural na integer kung saan ang lahat ng orihinal na mga numero ay nahahati nang walang natitira. Ang pinakadakilang karaniwang divisor ay dinaglat bilang GCD.
Hindi bababa sa karaniwang maramihang ang ilang mga numero ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa bawat isa sa mga orihinal na numero nang walang natitira. Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay dinaglat bilang NOC.

Paano suriin kung ang isang numero ay nahahati sa isa pang numero nang walang natitira?

Upang malaman kung ang isang numero ay nahahati sa isa pang walang natitira, maaari mong gamitin ang ilang mga katangian ng divisibility ng mga numero. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga ito, masusuri ng isa ang divisibility ng ilan sa kanila at ng kanilang mga kumbinasyon.

Ang ilang mga palatandaan ng divisibility ng mga numero

1. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 2
Upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa dalawa (kung ito ay kahit), sapat na upang tingnan ang huling digit ng numerong ito: kung ito ay katumbas ng 0, 2, 4, 6 o 8, kung gayon ang numero ay pantay, na nangangahulugang ito ay nahahati sa 2.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 2.
Solusyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa dalawa.

2. Tanda ng divisibility ng isang numero ng 3
Ang isang numero ay nahahati sa 3 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 3. Kaya, upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa 3, kailangan mong kalkulahin ang kabuuan ng mga digit at suriin kung ito ay mahahati ng 3. Kahit na ang kabuuan ng mga numero ay naging napakalaki, maaari mong ulitin ang parehong proseso muli.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 3.
Solusyon: binibilang namin ang kabuuan ng mga digit: 3+4+9+3+8 = 27. Ang 27 ay nahahati sa 3, na nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa tatlo.

3. Tanda ng divisibility ng isang numero ng 5
Ang isang numero ay nahahati sa 5 kapag ang huling digit nito ay zero o lima.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati ng 5.
Solusyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay HINDI nahahati sa lima.

4. Tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 9
Ang sign na ito ay halos kapareho ng sign ng divisibility ng tatlo: ang isang numero ay nahahati sa 9 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa 9.
Halimbawa: tukuyin kung ang numerong 34938 ay mahahati sa 9.
Solusyon: kinakalkula namin ang kabuuan ng mga digit: 3+4+9+3+8 = 27. Ang 27 ay nahahati sa 9, na nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa siyam.

Paano mahanap ang GCD at LCM ng dalawang numero

Paano mahanap ang GCD ng dalawang numero

Karamihan sa simpleng paraan Ang pagkalkula ng pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero ay upang mahanap ang lahat ng posibleng divisors ng mga numerong iyon at piliin ang pinakamalaki sa kanila.

Isaalang-alang ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng paghahanap ng GCD(28, 36):

Pinagsasama namin ang parehong mga numero: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
Nakahanap kami ng mga karaniwang salik, iyon ay, ang parehong mga numero ay may: 1, 2 at 2.
Kinakalkula namin ang produkto ng mga salik na ito: 1 2 2 \u003d 4 - ito ang pinakadakilang karaniwang divisor ng mga numero 28 at 36.

Paano mahanap ang LCM ng dalawang numero

Mayroong dalawang pinakakaraniwang paraan upang mahanap ang pinakamaliit na multiple ng dalawang numero. Ang unang paraan ay maaari mong isulat ang mga unang multiple ng dalawang numero, at pagkatapos ay pumili sa kanila ng isang numero na magiging karaniwan sa parehong mga numero at sa parehong oras ang pinakamaliit. At ang pangalawa ay upang mahanap ang GCD ng mga numerong ito. Isaalang-alang na lang natin.

Upang kalkulahin ang LCM, kailangan mong kalkulahin ang produkto ng mga orihinal na numero at pagkatapos ay hatiin ito sa dating nakitang GCD. Hanapin natin ang LCM para sa parehong mga numero 28 at 36:

Hanapin ang produkto ng mga numero 28 at 36: 28 36 = 1008
Ang gcd(28, 36) ay kilala na bilang 4
LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Paghahanap ng GCD at LCM para sa Maramihang Numero

Ang pinakamalaking karaniwang divisor ay matatagpuan para sa ilang mga numero, at hindi lamang para sa dalawa. Para dito, ang mga numerong mahahanap para sa pinakamalaking karaniwang divisor ay nabubulok sa prime factor, pagkatapos ay makikita ang produkto ng karaniwang prime factor ng mga numerong ito. Gayundin, upang mahanap ang GCD ng ilang numero, maaari mong gamitin ang sumusunod na kaugnayan: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Ang isang katulad na kaugnayan ay nalalapat din sa hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Halimbawa: hanapin ang GCD at LCM para sa mga numero 12, 32 at 36.

Una, i-factorize natin ang mga numero: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
Maghanap tayo ng mga karaniwang salik: 1, 2 at 2 .
Ang kanilang produkto ay magbibigay ng gcd: 1 2 2 = 4
Ngayon, hanapin natin ang LCM: para dito ay unang hanapin natin ang LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
Upang mahanap ang LCM ng lahat ng tatlong numero, kailangan mong hanapin ang GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , GCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Upang maunawaan kung paano kalkulahin ang LCM, dapat mo munang matukoy ang kahulugan ng terminong "maramihan".

Ang multiple ng A ay isang natural na numero na nahahati sa A nang walang natitira. Kaya, ang 15, 20, 25, at iba pa ay maaaring ituring na multiple ng 5.

Maaaring may limitadong bilang ng mga divisors ng isang partikular na numero, ngunit mayroong walang katapusang bilang ng mga multiple.

Ang karaniwang multiple ng mga natural na numero ay isang numero na nahahati ng mga ito nang walang natitira.

Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero

Ang least common multiple (LCM) ng mga numero (dalawa, tatlo o higit pa) ay ang pinakamaliit na natural na numero na pantay na nahahati sa lahat ng numerong ito.

Upang mahanap ang NOC, maaari kang gumamit ng ilang mga pamamaraan.

Para sa maliliit na numero, maginhawang isulat sa isang linya ang lahat ng multiple ng mga numerong ito hanggang sa matagpuan ang isang karaniwan sa kanila. Ang mga multiple ay tinutukoy sa talaan na may malaking titik K.

Halimbawa, ang mga multiple ng 4 ay maaaring isulat tulad nito:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Kaya, makikita mo na ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 4 at 6 ay ang numero 24. Ang entry na ito ay ginanap bilang sumusunod:

LCM(4, 6) = 24

Kung ang mga numero ay malaki, hanapin ang karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan upang makalkula ang LCM.

Upang makumpleto ang gawain, kinakailangan upang mabulok ang mga iminungkahing numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Una kailangan mong isulat ang pagpapalawak ng pinakamalaki sa mga numero sa isang linya, at sa ibaba nito - ang natitira.

Sa pagpapalawak ng bawat bilang, maaaring mayroong magkaibang dami mga multiplier.

Halimbawa, i-factor natin ang mga numerong 50 at 20 sa prime factor.

Sa pagpapalawak ng mas maliit na bilang, dapat isalungguhitan ang mga salik na nawawala sa pagpapalawak ng unang pinakamalaking bilang, at pagkatapos ay idagdag ang mga ito dito. Sa ipinakita na halimbawa, isang deuce ang nawawala.

Ngayon ay maaari nating kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 20 at 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Kaya, ang produkto ng pangunahing mga kadahilanan higit pa at ang mga salik ng pangalawang numero, na hindi kasama sa pagpapalawak ng mas malaki, ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple.

Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, lahat ng mga ito ay dapat na mabulok sa mga pangunahing kadahilanan, tulad ng sa nakaraang kaso.

Bilang halimbawa, mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Kaya, dalawang deuces lamang mula sa decomposition ng labing-anim ang hindi kasama sa factorization ng mas malaking bilang (isa ay nasa decomposition ng dalawampu't apat).

Kaya, kailangan nilang idagdag sa agnas ng isang mas malaking bilang.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

May mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kaya, kung ang isa sa mga numero ay maaaring hatiin nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang mas malaki sa mga numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.

Halimbawa, ang mga NOC ng labindalawa at dalawampu't apat ay magiging dalawampu't apat.

Kung kailangan mong hanapin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mutually mga pangunahing numero, na walang parehong divisors, kung gayon ang kanilang LCM ay magiging katumbas ng kanilang produkto.

Halimbawa, LCM(10, 11) = 110.

Pero marami mga integer ay pantay na nahahati sa iba pang mga natural na numero.

Halimbawa:

Ang bilang na 12 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12;

Ang bilang na 36 ay nahahati ng 1, ng 2, ng 3, ng 4, ng 6, ng 12, ng 18, ng 36.

Ang mga numero kung saan ang numero ay nahahati (para sa 12 ito ay 1, 2, 3, 4, 6 at 12) ay tinatawag mga divisors ng numero. Divisor ng isang natural na numero a ay ang natural na numero na naghahati sa ibinigay na numero a walang bakas. Ang isang natural na numero na may higit sa dalawang mga kadahilanan ay tinatawag pinagsama-sama .

Tandaan na ang mga numero 12 at 36 ay may mga karaniwang divisors. Ito ang mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Ang pinakamalaking divisor ng mga numerong ito ay 12. karaniwang divisor dalawang binigay na numero a at b ay ang bilang kung saan ang parehong ibinigay na mga numero ay nahahati nang walang natitira a at b.

karaniwang maramihan ilang mga numero ang tinatawag na bilang na nahahati sa bawat isa sa mga numerong ito. Halimbawa, ang mga numerong 9, 18 at 45 ay may common multiple na 180. Ngunit 90 at 360 din ang kanilang common multiple. Sa lahat ng jcommon multiples, palaging may pinakamaliit, sa kasong ito ito ay 90. Ang numerong ito ay tinatawag hindi bababa sacommon multiple (LCM).

Ang LCM ay palaging isang natural na numero, na dapat na mas malaki kaysa sa pinakamalaki sa mga numero kung saan ito tinukoy.

Least common multiple (LCM). Ari-arian.

Commutativity:

Pagkakaisa:

Sa partikular, kung at mga coprime na numero , kung gayon:

Hindi bababa sa karaniwang maramihang ng dalawang integer m at n ay isang divisor ng lahat ng iba pang common multiples m at n. Bukod dito, ang hanay ng mga karaniwang multiple m,n tumutugma sa hanay ng mga multiple para sa LCM( m,n).

Ang mga asymptotics para sa ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng ilang mga function ng number-theoretic.

Kaya, Pag-andar ng Chebyshev. Pati na rin ang:

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan at mga katangian ng Landau function g(n).

Ano ang sumusunod mula sa batas ng pamamahagi ng mga prime number.

Paghahanap ng least common multiple (LCM).

NOC( a, b) ay maaaring kalkulahin sa maraming paraan:

1. Kung kilala ang pinakamalaking karaniwang divisor, maaari mong gamitin ang kaugnayan nito sa LCM:

2. Hayaang malaman ang canonical decomposition ng parehong mga numero sa prime factor:

saan p 1 ,...,p k ay iba't ibang prime number, at d 1 ,...,dk at e 1 ,...,ek ay mga di-negatibong integer (maaari silang maging zero kung ang kaukulang prime ay wala sa pagpapalawak).

Pagkatapos LCM ( a,b) ay kinakalkula ng formula:

Sa madaling salita, ang pagpapalawak ng LCM ay naglalaman ng lahat ng pangunahing salik na kasama sa kahit isa sa mga pagpapalawak ng numero a, b, at ang pinakamalaki sa dalawang exponent ng salik na ito ay kinuha.

Halimbawa:

Ang pagkalkula ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang numero ay maaaring bawasan sa ilang sunud-sunod na kalkulasyon ng LCM ng dalawang numero:

Panuntunan. Upang mahanap ang LCM ng isang serye ng mga numero, kailangan mo:

- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;

- ilipat ang pinakamalaking pagpapalawak sa mga kadahilanan ng nais na produkto (ang produkto ng mga kadahilanan ng pinakamalaking bilang ng mga ibinigay), at pagkatapos ay magdagdag ng mga kadahilanan mula sa pagpapalawak ng iba pang mga numero na hindi nangyayari sa unang numero o nasa loob nito isang mas maliit na bilang ng mga beses;

- ang magreresultang produkto ng prime factor ay ang LCM ng mga ibinigay na numero.

Anumang dalawa o higit pang mga natural na numero ay may sariling LCM. Kung ang mga numero ay hindi multiple ng bawat isa o walang parehong mga salik sa pagpapalawak, ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito.

Ang mga pangunahing salik ng numerong 28 (2, 2, 7) ay dinagdagan ng salik na 3 (bilang 21), ang magiging resultang produkto (84) ay ang pinakamaliit na bilang, na nahahati sa 21 at 28 .

Ang mga pangunahing kadahilanan ng pinakamalaking bilang 30 ay dinagdagan ng isang kadahilanan na 5 ng bilang 25, ang nagresultang produkto 150 ay mas malaki kaysa sa pinakamalaking bilang 30 at nahahati sa lahat ng ibinigay na mga numero nang walang natitira. Ito ang pinakamaliit na posibleng produkto (150, 250, 300...) na ang lahat ng ibinigay na numero ay multiple.

Ang mga numerong 2,3,11,37 ay prime, kaya ang kanilang LCM ay katumbas ng produkto ng mga ibinigay na numero.

tuntunin. Upang kalkulahin ang LCM ng mga prime number, kailangan mong i-multiply ang lahat ng mga numerong ito nang sama-sama.

Iba pang Pagpipilian:

Upang mahanap ang least common multiple (LCM) ng ilang numero kailangan mo:

1) kinakatawan ang bawat numero bilang produkto ng mga pangunahing salik nito, halimbawa:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) isulat ang mga kapangyarihan ng lahat ng pangunahing mga kadahilanan:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) isulat ang lahat ng prime divisors (multipliers) ng bawat isa sa mga numerong ito;

4) piliin ang pinakamalaking antas ng bawat isa sa kanila, na makikita sa lahat ng pagpapalawak ng mga numerong ito;

5) paramihin ang mga kapangyarihang ito.

Halimbawa. Hanapin ang LCM ng mga numero: 168, 180 at 3024.

Solusyon. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Isinulat namin ang pinakamalaking kapangyarihan ng lahat ng pangunahing divisors at i-multiply ang mga ito:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Ipagpatuloy natin ang talakayan tungkol sa least common multiple na sinimulan natin sa LCM - Least Common Multiple, Definition, Examples section. Sa paksang ito, titingnan natin ang mga paraan upang mahanap ang LCM para sa tatlong numero o higit pa, susuriin natin ang tanong kung paano hanapin ang LCM ng isang negatibong numero.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pagkalkula ng least common multiple (LCM) sa pamamagitan ng gcd

Naitatag na namin ang ugnayan sa pagitan ng least common multiple at ng greatest common divisor. Ngayon, alamin natin kung paano tukuyin ang LCM sa pamamagitan ng GCD. Una, alamin natin kung paano ito gagawin para sa mga positibong numero.

Kahulugan 1

Mahahanap mo ang hindi bababa sa karaniwang multiple sa pamamagitan ng pinakamalaking karaniwang divisor gamit ang formula na LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Halimbawa 1

Kinakailangang hanapin ang LCM ng mga numerong 126 at 70.

Solusyon

Kunin natin ang a = 126 , b = 70 . Palitan ang mga value sa formula para sa pagkalkula ng least common multiple sa pamamagitan ng greatest common divisor LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Hinahanap ang GCD ng mga numerong 70 at 126. Para dito kailangan namin ang Euclid algorithm: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , kaya gcd (126 , 70) = 14 .

Kalkulahin natin ang LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Sagot: LCM (126, 70) = 630.

Halimbawa 2

Hanapin ang nok ng mga numerong 68 at 34.

Solusyon

Ang GCD sa kasong ito ay madaling mahanap, dahil ang 68 ay nahahati sa 34. Kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple gamit ang formula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Sagot: LCM(68, 34) = 68.

Sa halimbawang ito, ginamit namin ang panuntunan para sa paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng positive integers a at b: kung ang unang numero ay nahahati sa pangalawa, ang LCM ng mga numerong ito ay magiging katumbas ng unang numero.

Paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng Factoring Numbers into Prime Factors

Ngayon tingnan natin ang isang paraan upang mahanap ang LCM, na batay sa pagkabulok ng mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Kahulugan 2

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, kailangan nating magsagawa ng ilang simpleng hakbang:

binubuo natin ang produkto ng lahat ng pangunahing salik ng mga numero kung saan kailangan nating hanapin ang LCM;
ibinubukod namin ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan mula sa kanilang mga nakuhang produkto;
ang produktong nakuha pagkatapos alisin ang mga karaniwang prime factor ay magiging katumbas ng LCM ng mga ibinigay na numero.

Ang paraan ng paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ay batay sa pagkakapantay-pantay na LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Kung titingnan mo ang formula, magiging malinaw: ang produkto ng mga numerong a at b ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga kadahilanan na kasangkot sa pagpapalawak ng dalawang numerong ito. Sa kasong ito, ang GCD ng dalawang numero ay katumbas ng produkto lahat ng prime factor na sabay-sabay na naroroon sa mga factorization ng ibinigay na dalawang numero.

Halimbawa 3

Mayroon kaming dalawang numero 75 at 210 . Maaari naming i-factor ang mga ito tulad nito: 75 = 3 5 5 at 210 = 2 3 5 7. Kung gagawin mo ang produkto ng lahat ng mga salik ng dalawang orihinal na numero, makakakuha ka ng: 2 3 3 5 5 5 7.

Kung ibubukod namin ang mga salik na karaniwan sa parehong numero 3 at 5, makakakuha kami ng produkto ng sumusunod na anyo: 2 3 5 5 7 = 1050. Ang produktong ito ang ating magiging LCM para sa mga numerong 75 at 210.

Halimbawa 4

Hanapin ang LCM ng mga numero 441 at 700 , nabubulok ang parehong mga numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Solusyon

Hanapin natin ang lahat ng prime factor ng mga numerong ibinigay sa kondisyon:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Nakakuha tayo ng dalawang kadena ng mga numero: 441 = 3 3 7 7 at 700 = 2 2 5 5 7 .

Ang produkto ng lahat ng mga salik na lumahok sa pagpapalawak ng mga numerong ito ay magiging ganito: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Hanapin natin ang mga karaniwang salik. Ang numerong ito ay 7. Ibinubukod namin ito sa pangkalahatang produkto: 2 2 3 3 5 5 7 7. NOC pala (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Sagot: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Magbigay tayo ng isa pang pormulasyon ng pamamaraan para sa paghahanap ng LCM sa pamamagitan ng pag-decomposing ng mga numero sa prime factor.

Kahulugan 3

Dati, hindi namin isinama sa kabuuang bilang ng mga salik na karaniwan sa parehong numero. Ngayon ay gagawin natin ito nang iba:

I-decompose natin ang parehong mga numero sa prime factor:
idagdag sa produkto ng pangunahing mga kadahilanan ng unang numero ang nawawalang mga kadahilanan ng pangalawang numero;
makuha namin ang produkto, na magiging ninanais na LCM ng dalawang numero.

Halimbawa 5

Bumalik tayo sa mga numerong 75 at 210 , kung saan hinanap na natin ang LCM sa isa sa mga nakaraang halimbawa. Hatiin natin ang mga ito sa mga simpleng kadahilanan: 75 = 3 5 5 at 210 = 2 3 5 7. Sa produkto ng mga salik 3 , 5 at 5 bilang 75 idagdag ang nawawalang mga kadahilanan 2 at 7 mga numero 210 . Nakukuha namin: 2 3 5 5 7 . Ito ang LCM ng mga numerong 75 at 210.

Halimbawa 6

Kinakailangang kalkulahin ang LCM ng mga numero 84 at 648.

Solusyon

I-decompose natin ang mga numero mula sa kundisyon sa prime factor: 84 = 2 2 3 7 at 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Idagdag sa produkto ng mga salik 2 , 2 , 3 at 7 mga numero 84 nawawalang mga salik 2 , 3 , 3 at
3 mga numero 648 . Nakukuha namin ang produkto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 84 at 648.

Sagot: LCM (84, 648) = 4536.

Paghahanap ng LCM ng tatlo o higit pang mga numero

Hindi alintana kung gaano karaming numero ang ating kinakaharap, ang algorithm ng ating mga aksyon ay palaging magiging pareho: palagi nating mahahanap ang LCM ng dalawang numero. Mayroong teorama para sa kasong ito.

Teorama 1

Ipagpalagay na mayroon kaming mga integer a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k sa mga numerong ito ay matatagpuan sa sunud-sunod na pagkalkula m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Ngayon tingnan natin kung paano mailalapat ang teorama sa mga partikular na problema.

Halimbawa 7

Kailangan mong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng apat na numero 140 , 9 , 54 at 250 .

Solusyon

Ipakilala natin ang notasyon: isang 1 \u003d 140, isang 2 \u003d 9, isang 3 \u003d 54, isang 4 \u003d 250.

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagkalkula ng m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Gamitin natin ang Euclidean algorithm upang kalkulahin ang GCD ng mga numerong 140 at 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Nakukuha namin ang: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Samakatuwid, m 2 = 1 260 .

Ngayon kalkulahin natin ayon sa parehong algorithm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Sa kurso ng mga kalkulasyon, nakukuha namin ang m 3 = 3 780.

Nananatili para sa amin na kalkulahin ang m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Kumilos kami ayon sa parehong algorithm. Nakukuha namin ang m 4 \u003d 94 500.

Ang LCM ng apat na numero mula sa halimbawang kundisyon ay 94500 .

Sagot: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Tulad ng nakikita mo, ang mga kalkulasyon ay simple, ngunit medyo matrabaho. Upang makatipid ng oras, maaari kang pumunta sa ibang paraan.

Kahulugan 4

Inaalok namin sa iyo ang sumusunod na algorithm ng mga aksyon:

mabulok ang lahat ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;
sa produkto ng mga kadahilanan ng unang numero, idagdag ang nawawalang mga kadahilanan mula sa produkto ng pangalawang numero;
idagdag ang nawawalang mga salik ng ikatlong numero sa produktong nakuha sa nakaraang yugto, atbp.;
ang magreresultang produkto ay ang pinakamaliit na karaniwang multiple ng lahat ng numero mula sa kundisyon.

Halimbawa 8

Kinakailangang hanapin ang LCM ng limang numero 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Solusyon

I-decompose ang lahat ng limang numero sa prime factor: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Ang mga pangunahing numero, na siyang numero 7, ay hindi maisasaalang-alang sa mga pangunahing kadahilanan. Ang ganitong mga numero ay nag-tutugma sa kanilang pagkabulok sa mga pangunahing kadahilanan.

Ngayon kunin natin ang produkto ng prime factor 2, 2, 3 at 7 ng numero 84 at idagdag sa kanila ang nawawalang mga kadahilanan ng pangalawang numero. Na-decompose namin ang numero 6 sa 2 at 3. Ang mga salik na ito ay nasa produkto na ng unang numero. Samakatuwid, tinanggal namin ang mga ito.

Patuloy kaming nagdaragdag ng mga nawawalang multiplier. Bumaling tayo sa numerong 48, mula sa produkto ng mga pangunahing kadahilanan kung saan kinukuha natin ang 2 at 2. Pagkatapos ay nagdaragdag kami ng isang simpleng kadahilanan ng 7 mula sa ikaapat na numero at mga kadahilanan ng 11 at 13 ng ikalima. Nakukuha namin ang: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ito ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng limang orihinal na numero.

Sagot: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Paghahanap ng Pinakamaliit na Karaniwang Multiple ng mga Negatibong Numero

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga negatibong numero, ang mga numerong ito ay dapat munang mapalitan ng mga numero na may kabaligtaran na tanda, at pagkatapos ay ang mga kalkulasyon ay dapat isagawa ayon sa mga algorithm sa itaas.

Halimbawa 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) at LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Ang ganitong mga aksyon ay pinahihintulutan dahil sa ang katunayan na kung ito ay tinanggap na a at − a- magkasalungat na numero
pagkatapos ay ang hanay ng mga multiple a tumutugma sa hanay ng mga multiple ng isang numero − a.

Halimbawa 10

Kinakailangang kalkulahin ang LCM ng mga negatibong numero − 145 at − 45 .

Solusyon

Palitan natin ang mga numero − 145 at − 45 sa kanilang kabaligtaran na mga numero 145 at 45 . Ngayon, gamit ang algorithm, kinakalkula namin ang LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , na dati nang natukoy ang GCD gamit ang Euclid algorithm.

Nakukuha namin na ang LCM ng mga numero − 145 at − 45 katumbas 1 305 .

Sagot: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Isaalang-alang ang tatlong paraan upang mahanap ang least common multiple.

Paghahanap sa pamamagitan ng Factoring

Ang unang paraan ay upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-factor ng mga ibinigay na numero sa mga pangunahing kadahilanan.

Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang LCM ng mga numero: 99, 30 at 28. Upang gawin ito, i-decompose namin ang bawat isa sa mga numerong ito sa mga pangunahing kadahilanan:

Upang ang nais na numero ay mahahati sa 99, 30 at 28, kinakailangan at sapat na kasama nito ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan ng mga divisors na ito. Upang gawin ito, kailangan nating dalhin ang lahat ng pangunahing mga kadahilanan ng mga numerong ito sa pinakamataas na nagaganap na kapangyarihan at i-multiply ang mga ito nang sama-sama:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Kaya LCM (99, 30, 28) = 13,860. Walang ibang numerong mas mababa sa 13,860 ang pantay na mahahati ng 99, 30, o 28.

Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga ibinigay na numero, kailangan mong i-factor ang mga ito sa prime factor, pagkatapos ay kunin ang bawat prime factor na may pinakamalaking exponent kung saan ito nangyayari, at i-multiply ang mga salik na ito nang magkasama.

Dahil ang mga coprime na numero ay walang karaniwang prime factor, ang kanilang hindi bababa sa karaniwang multiple ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito. Halimbawa, tatlong numero: 20, 49 at 33 ay coprime. kaya lang

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Ang parehong ay dapat gawin kapag naghahanap ng hindi bababa sa karaniwang multiple ng iba't ibang mga prime. Halimbawa, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Paghahanap sa pamamagitan ng pagpili

Ang pangalawang paraan ay ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng pag-angkop.

Halimbawa 1. Kapag ang pinakamalaki sa mga ibinigay na numero ay pantay na nahahati ng iba pang ibinigay na mga numero, kung gayon ang LCM ng mga numerong ito ay katumbas ng mas malaki sa kanila. Halimbawa, binigyan ng apat na numero: 60, 30, 10 at 6. Ang bawat isa sa kanila ay nahahati sa 60, samakatuwid:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Sa ibang mga kaso, upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang, ang sumusunod na pamamaraan ay ginagamit:

Tukuyin ang pinakamalaking bilang mula sa mga ibinigay na numero.
Susunod, maghanap ng mga numero na multiple ang pinakamalaking bilang, pagpaparami nito sa mga natural na numero sa pataas na pagkakasunud-sunod at pagsuri kung ang natitirang ibinigay na mga numero ay nahahati sa resultang produkto.

Halimbawa 2. Ibinigay ang tatlong numero 24, 3 at 18. Tukuyin ang pinakamalaki sa kanila - ito ang bilang na 24. Susunod, hanapin ang mga multiple ng 24, tingnan kung ang bawat isa sa kanila ay nahahati ng 18 at ng 3:

Ang 24 1 = 24 ay nahahati sa 3 ngunit hindi nahahati ng 18.

24 2 = 48 - mahahati ng 3 ngunit hindi mahahati ng 18.

24 3 \u003d 72 - mahahati ng 3 at 18.

Kaya LCM(24, 3, 18) = 72.

Paghahanap sa pamamagitan ng Sequential Finding LCM

Ang ikatlong paraan ay ang paghahanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap sa LCM.

Ang LCM ng dalawang ibinigay na numero ay katumbas ng produkto ng mga numerong ito na hinati sa kanilang pinakamalaking karaniwang divisor.

Halimbawa 1. Hanapin ang LCM ng dalawang ibinigay na numero: 12 at 8. Tukuyin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor: GCD (12, 8) = 4. I-multiply ang mga numerong ito:

Hinahati namin ang produkto sa kanilang GCD:

Kaya LCM(12, 8) = 24.

Upang mahanap ang LCM ng tatlo o higit pang mga numero, ginagamit ang sumusunod na pamamaraan:

Una, ang LCM ng alinman sa dalawa sa mga ibinigay na numero ay matatagpuan.
Pagkatapos, ang LCM ng nakitang least common multiple at ang pangatlo binigay na numero.
Pagkatapos, ang LCM ng nagreresultang hindi bababa sa karaniwang maramihang at ang ikaapat na numero, at iba pa.
Kaya nagpapatuloy ang paghahanap sa LCM hangga't may mga numero.

Halimbawa 2. Hanapin natin ang LCM ng tatlong ibinigay na numero: 12, 8 at 9. Nahanap na natin ang LCM ng mga numero 12 at 8 sa nakaraang halimbawa (ito ang numero 24). Ito ay nananatili upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng 24 at ang ikatlong ibinigay na numero - 9. Tukuyin ang kanilang pinakamalaking karaniwang divisor: gcd (24, 9) = 3. I-multiply ang LCM sa numerong 9:

Hinahati namin ang produkto sa kanilang GCD:

Kaya LCM(12, 8, 9) = 72.