Hatiin ang hindi wastong fraction sa natural na numero. Mga aksyon na may mga fraction
Upang malutas ang iba't ibang mga gawain mula sa kurso ng matematika, ang pisika ay kailangang hatiin ang mga praksyon. Ito ay napakadaling gawin kung alam mo ilang mga tuntunin gawin itong mathematical operation.
Bago magpatuloy upang bumalangkas ng panuntunan kung paano hatiin ang mga fraction, alalahanin natin ang ilang termino sa matematika:
- Ang tuktok ng isang fraction ay tinatawag na numerator at ang ibaba ay tinatawag na denominator.
- Kapag naghahati, ang mga numero ay tinatawag na ganito: dividend: divisor \u003d quotient
Paano hatiin ang mga fraction: simpleng fraction
Upang hatiin ang dalawang simpleng fraction, i-multiply ang dibidendo sa katumbas ng divisor. Ang fraction na ito ay tinatawag ding baligtad sa ibang paraan, dahil ito ay nakuha bilang resulta ng pagpapalit ng numerator at denominator. Halimbawa:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
Paano hatiin ang mga fraction: mixed fractions
Kung kailangan nating hatiin ang mga mixed fraction, kung gayon ang lahat ay medyo simple at malinaw din dito. Una, i-convert ang mixed fraction sa isang regular. hindi wastong fraction. Upang gawin ito, i-multiply namin ang denominator ng naturang fraction sa pamamagitan ng isang integer at idagdag ang numerator sa resultang produkto. Bilang resulta, nakakuha kami ng bagong numerator halo-halong bahagi, at ang denominator nito ay nananatiling hindi nagbabago. Ang karagdagang paghahati ng mga fraction ay isasagawa sa parehong paraan tulad ng paghahati ng mga simpleng fraction. Halimbawa:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
Paano hatiin ang isang fraction sa isang numero
Upang hatiin ang isang simpleng fraction sa isang numero, ang huli ay dapat na isulat bilang isang fraction (hindi wasto). Ito ay napakadaling gawin: ang numerong ito ay isinulat bilang kapalit ng numerator, at ang denominator ng naturang fraction ay katumbas ng isa. Ang karagdagang paghahati ay isinasagawa sa karaniwang paraan. Tingnan natin ito sa isang halimbawa:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
Paano hatiin ang mga decimal
Kadalasan, ang isang nasa hustong gulang ay nahihirapan, kung kinakailangan, nang walang tulong ng isang calculator, na hatiin ang isang integer o isang decimal na bahagi sa isang decimal na bahagi.
Kaya, upang hatiin ang mga decimal fraction, kailangan mo lamang i-cross out ang kuwit sa divisor at ihinto ang pagbibigay pansin dito. Sa divisible, ang kuwit ay dapat ilipat sa kanan nang eksakto kasing dami ng mga character na nasa fractional na bahagi ng divisor, pagdaragdag ng mga zero kung kinakailangan. At pagkatapos ay gumawa ng karaniwang dibisyon sa pamamagitan ng isang integer. Upang gawing mas malinaw ito, kunin natin ang sumusunod na halimbawa.
§ 87. Pagdaragdag ng mga fraction.
Ang pagdaragdag ng mga fraction ay may maraming pagkakatulad sa pagdaragdag ng mga buong numero. Ang pagdaragdag ng mga fraction ay isang aksyon na binubuo sa katotohanan na ang ilang ibinigay na mga numero (mga termino) ay pinagsama sa isang numero (kabuuan), na naglalaman ng lahat ng mga yunit at mga fraction ng mga yunit ng mga termino.
Isasaalang-alang namin ang tatlong mga kaso nang magkakasunod:
1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominador.
2. Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominador.
3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.
1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator.
Isaalang-alang ang isang halimbawa: 1 / 5 + 2 / 5 .
Kunin ang segment AB (Larawan 17), kunin ito bilang isang yunit at hatiin ito sa 5 pantay na bahagi, kung gayon ang bahagi ng AC ng segment na ito ay magiging katumbas ng 1/5 ng segment AB, at ang bahagi ng parehong segment na CD ay magiging katumbas ng 2/5 AB.
Makikita mula sa pagguhit na kung kukunin natin ang segment na AD, kung gayon ito ay magiging katumbas ng 3/5 AB; ngunit ang segment AD ay tiyak na kabuuan ng mga segment na AC at CD. Kaya, maaari tayong sumulat:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Isinasaalang-alang ang mga terminong ito at ang nagresultang halaga, nakikita natin na ang numerator ng kabuuan ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga numerator ng mga termino, at ang denominator ay nanatiling hindi nagbabago.
Mula dito nakukuha namin ang sumusunod na panuntunan: Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, dapat mong idagdag ang kanilang mga numerator at iwanan ang parehong denominator.
Isaalang-alang ang isang halimbawa:
2. Pagdaragdag ng mga praksiyon na may magkakaibang denominador.
Magdagdag tayo ng mga fraction: 3/4 + 3/8 Una kailangan nilang bawasan sa pinakamababang common denominator:
Ang intermediate link 6/8 + 3/8 ay hindi maaaring naisulat; isinulat namin ito dito para sa higit na kalinawan.
Kaya, upang magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamababang common denominator, idagdag ang kanilang mga numerator at lagdaan ang common denominator.
Isaalang-alang ang isang halimbawa (magsusulat kami ng mga karagdagang salik sa mga kaukulang fraction):
3. Pagdaragdag ng mga pinaghalong numero.
Idagdag natin ang mga numero: 2 3/8 + 3 5/6.
Dalhin muna natin ang mga fractional na bahagi ng ating mga numero sa isang common denominator at muling isulat ang mga ito:
Ngayon idagdag ang integer at fractional na mga bahagi sa pagkakasunud-sunod:
§ 88. Pagbabawas ng mga fraction.
Ang pagbabawas ng mga fraction ay tinukoy sa parehong paraan tulad ng pagbabawas ng mga buong numero. Ito ay isang aksyon kung saan, dahil sa kabuuan ng dalawang termino at isa sa mga ito, isa pang termino ay matatagpuan. Isaalang-alang natin ang tatlong kaso nang magkakasunod:
1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.
3. Pagbabawas ng magkahalong numero.
1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator.
Isaalang-alang ang isang halimbawa:
13 / 15 - 4 / 15
Kunin natin ang segment na AB (Larawan 18), kunin ito bilang isang yunit at hatiin ito sa 15 pantay na bahagi; pagkatapos ay ang AC na bahagi ng segment na ito ay magiging 1/15 ng AB, at ang AD na bahagi ng parehong segment ay tumutugma sa 13/15 AB. Itabi natin ang isa pang segment na ED, katumbas ng 4/15 AB.
Kailangan nating ibawas ang 4/15 sa 13/15. Sa drawing, nangangahulugan ito na ang segment na ED ay dapat ibawas sa segment AD. Bilang resulta, mananatili ang segment na AE, na 9/15 ng segment AB. Kaya maaari nating isulat:
Ang halimbawang ginawa namin ay nagpapakita na ang numerator ng pagkakaiba ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga numerator, at ang denominator ay nanatiling pareho.
Samakatuwid, upang ibawas ang mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at iwanan ang parehong denominator.
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador.
Halimbawa. 3/4 - 5/8
Una, bawasan natin ang mga fraction na ito sa pinakamaliit na common denominator:
Ang intermediate na link 6 / 8 - 5 / 8 ay nakasulat dito para sa kalinawan, ngunit maaari itong laktawan sa hinaharap.
Kaya, upang ibawas ang isang fraction mula sa isang fraction, kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa pinakamaliit na common denominator, pagkatapos ay ibawas ang numerator ng subtrahend mula sa numerator ng minuend at lagdaan ang common denominator sa ilalim ng kanilang pagkakaiba.
Isaalang-alang ang isang halimbawa:
3. Pagbabawas ng magkahalong numero.
Halimbawa. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Dalhin natin ang mga fractional na bahagi ng minuend at ang subtrahend sa pinakamababang common denominator:
Nagbawas kami ng isang buo sa isang buo at isang fraction sa isang fraction. Ngunit may mga kaso kapag ang fractional na bahagi ng subtrahend ay mas malaki kaysa sa fractional na bahagi ng minuend. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong kumuha ng isang yunit mula sa integer na bahagi ng binawasan, hatiin ito sa mga bahagi kung saan ipinahayag ang fractional na bahagi, at idagdag sa fractional na bahagi ng binawasan. At pagkatapos ay isasagawa ang pagbabawas sa parehong paraan tulad ng sa nakaraang halimbawa:
§ 89. Pagpaparami ng mga fraction.
Kapag pinag-aaralan ang multiplikasyon ng mga fraction, isasaalang-alang natin mga susunod na tanong:
1. Pagpaparami ng fraction sa isang integer.
2. Paghahanap ng isang fraction ng isang ibinigay na numero.
3. Pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction.
4. Pagpaparami ng fraction sa fraction.
5. Pagpaparami ng magkahalong numero.
6. Ang konsepto ng interes.
7. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero. Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.
1. Pagpaparami ng fraction sa isang integer.
Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay may parehong kahulugan sa pagpaparami ng isang integer sa isang integer. Ang pag-multiply ng fraction (multiplicand) ng integer (multiplier) ay nangangahulugan ng pagbubuo ng kabuuan ng magkaparehong termino, kung saan ang bawat termino ay katumbas ng multiplicand, at ang bilang ng mga termino ay katumbas ng multiplier.
Kaya, kung kailangan mong i-multiply ang 1/9 sa 7, maaari itong gawin tulad nito:
Madali naming nakuha ang resulta, dahil ang aksyon ay nabawasan sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Dahil dito,
Ang pagsasaalang-alang sa pagkilos na ito ay nagpapakita na ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay katumbas ng pagtaas ng fraction na ito nang maraming beses na may mga yunit sa integer. At dahil ang pagtaas sa fraction ay nakakamit alinman sa pamamagitan ng pagtaas ng numerator nito
o sa pamamagitan ng pagpapababa ng denominator nito 
, pagkatapos ay maaari nating i-multiply ang numerator sa pamamagitan ng integer, o hatiin ang denominator nito, kung posible ang gayong dibisyon.
Mula dito nakuha namin ang panuntunan:
Upang i-multiply ang isang fraction sa isang integer, kailangan mong i-multiply ang numerator sa pamamagitan ng integer na ito at iwanan ang denominator na pareho, o, kung maaari, hatiin ang denominator sa numerong ito, na iniiwan ang numerator na hindi nagbabago.
Kapag nagpaparami, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:
2. Paghahanap ng isang fraction ng isang ibinigay na numero. Maraming problema kung saan kailangan mong hanapin, o kalkulahin, ang isang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga gawaing ito at iba pa ay binibigyan nila ang bilang ng ilang mga bagay o yunit ng pagsukat at kailangan mong maghanap ng bahagi ng numerong ito, na ipinapahiwatig din dito ng isang tiyak na bahagi. Upang mapadali ang pag-unawa, magbibigay muna kami ng mga halimbawa ng gayong mga problema, at pagkatapos ay ipakilala ang paraan ng paglutas ng mga ito.
Gawain 1. Mayroon akong 60 rubles; 1 / 3 nitong perang ginastos ko sa pagbili ng mga libro. Magkano ang halaga ng mga libro?
Gawain 2. Dapat saklawin ng tren ang distansya sa pagitan ng mga lungsod A at B, katumbas ng 300 km. Nasaklaw na niya ang 2/3 ng distansyang iyon. Ilang kilometro ito?
Gawain 3. Mayroong 400 na bahay sa nayon, 3/4 ng mga ito ay ladrilyo, ang iba ay kahoy. Ilang brick house ang mayroon?
Narito ang ilan sa maraming problema na kailangan nating harapin upang makahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero. Ang mga ito ay karaniwang tinatawag na mga problema para sa paghahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero.
Solusyon sa problema 1. Mula sa 60 rubles. Gumastos ako ng 1 / 3 sa mga libro; Kaya, upang mahanap ang halaga ng mga libro, kailangan mong hatiin ang numero 60 sa 3:
Problema 2 solusyon. Ang kahulugan ng problema ay kailangan mong makahanap ng 2 / 3 ng 300 km. Kalkulahin ang unang 1/3 ng 300; ito ay nakakamit sa pamamagitan ng paghahati ng 300 km sa 3:
300: 3 = 100 (1/3 iyon ng 300).
Upang makahanap ng dalawang-katlo ng 300, kailangan mong i-double ang resultang quotient, iyon ay, i-multiply sa 2:
100 x 2 = 200 (iyon ay 2/3 ng 300).
Solusyon sa problema 3. Dito kailangan mong matukoy ang bilang ng mga brick house, na 3/4 ng 400. Hanapin muna natin ang 1/4 ng 400,
400: 4 = 100 (1/4 iyon ng 400).
Upang makalkula ang tatlong quarter ng 400, ang resultang quotient ay dapat na triple, iyon ay, i-multiply sa 3:
100 x 3 = 300 (3/4 iyon ng 400).
Batay sa solusyon ng mga problemang ito, maaari nating makuha ang sumusunod na panuntunan:
Upang mahanap ang halaga ng isang fraction ng isang naibigay na numero, kailangan mong hatiin ang numerong ito sa denominator ng fraction at i-multiply ang resultang quotient sa numerator nito.
3. Pagpaparami ng isang buong bilang sa isang fraction.
Mas maaga (§ 26) ito ay itinatag na ang pagpaparami ng mga integer ay dapat na maunawaan bilang ang pagdaragdag ng magkaparehong mga termino (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Sa talatang ito (talata 1) ay itinatag na ang pagpaparami ng isang fraction sa isang integer ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino na katumbas ng fraction na ito.
Sa parehong mga kaso, ang multiplikasyon ay binubuo sa paghahanap ng kabuuan ng magkaparehong termino.
Ngayon ay nagpapatuloy tayo sa pagpaparami ng isang buong numero sa isang fraction. Dito ay makikilala natin ang tulad, halimbawa, pagpaparami: 9 2/3. Ito ay lubos na halata na ang nakaraang kahulugan ng multiplikasyon ay hindi nalalapat sa kasong ito. Ito ay maliwanag mula sa katotohanan na hindi natin mapapalitan ang naturang multiplikasyon sa pamamagitan ng pagdaragdag ng pantay na mga numero.
Dahil dito, kakailanganin nating magbigay ng bagong kahulugan ng multiplikasyon, ibig sabihin, sa madaling salita, upang masagot ang tanong kung ano ang dapat na maunawaan sa pamamagitan ng multiplikasyon sa isang fraction, kung paano dapat maunawaan ang pagkilos na ito.
Ang kahulugan ng pagpaparami ng integer sa isang fraction ay malinaw mula sa sumusunod na kahulugan: upang i-multiply ang isang integer (multiplier) sa isang fraction (multiplier) ay nangangahulugan na mahanap ang fraction na ito ng multiplier.
Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 9 sa 2/3 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 2/3 ng siyam na yunit. Sa nakaraang talata, nalutas ang mga naturang problema; kaya madaling malaman na napupunta tayo sa 6.
Ngunit ngayon ay may isang kawili-wili at mahalagang tanong: bakit sa unang tingin iba't ibang aktibidad paano hanapin ang kabuuan pantay na mga numero at ang paghahanap ng fraction ng isang numero, sa arithmetic ay tinatawag na parehong salitang "multiplication"?
Nangyayari ito dahil ang nakaraang aksyon (pag-uulit ng numero na may mga termino ng ilang beses) at ang bagong aksyon (paghahanap ng fraction ng isang numero) ay nagbibigay ng sagot sa mga homogenous na tanong. Nangangahulugan ito na nagpapatuloy tayo dito mula sa mga pagsasaalang-alang na ang mga homogenous na tanong o gawain ay nalutas sa pamamagitan ng isa at parehong aksyon.
Upang maunawaan ito, isaalang-alang ang sumusunod na problema: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 4 m ng naturang tela?
Ang problemang ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng mga metro (4), i.e. 50 x 4 = 200 (rubles).
Kunin natin ang parehong problema, ngunit sa loob nito ang halaga ng tela ay ipapahayag bilang isang fractional na numero: "Ang 1 m ng tela ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Magkano ang halaga ng 3/4 m ng naturang tela?
Ang problemang ito ay kailangan ding lutasin sa pamamagitan ng pagpaparami ng bilang ng mga rubles (50) sa bilang ng mga metro (3/4).
Maaari mo ring baguhin ang mga numero sa loob nito nang maraming beses nang hindi binabago ang kahulugan ng problema, halimbawa, kumuha ng 9/10 m o 2 3/10 m, atbp.
Dahil ang mga problemang ito ay may parehong nilalaman at naiiba lamang sa mga numero, tinatawag namin ang mga aksyon na ginamit sa paglutas sa kanila ng parehong salita - multiplikasyon.
Paano na-multiply ang isang buong bilang sa isang fraction?
Kunin natin ang mga numerong nakatagpo sa huling problema:
Ayon sa kahulugan, dapat nating mahanap ang 3 / 4 ng 50. Una ay makikita natin ang 1 / 4 ng 50, at pagkatapos ay 3 / 4.
1/4 ng 50 ay 50/4;
3/4 ng 50 ay .
Dahil dito.
Isaalang-alang ang isa pang halimbawa: 12 5 / 8 = ?
1/8 ng 12 ay 12/8,
Ang 5/8 ng bilang na 12 ay .
Dahil dito,
Mula dito nakuha namin ang panuntunan:
Upang i-multiply ang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer sa numerator ng fraction at gawing numerator ang produktong ito, at lagdaan ang denominator ng ibinigay na fraction bilang denominator.
Sinusulat namin ang panuntunang ito gamit ang mga titik:
Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa pagpaparami ng numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38
Dapat tandaan na bago magsagawa ng multiplikasyon, dapat mong gawin (kung maaari) mga hiwa, Halimbawa:
4. Pagpaparami ng fraction sa fraction. Ang pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction ay may parehong kahulugan tulad ng pagpaparami ng isang integer sa isang fraction, iyon ay, kapag nagpaparami ng isang fraction sa isang fraction, kailangan mong hanapin ang fraction sa multiplier mula sa unang fraction (multiplier).
Ibig sabihin, ang pagpaparami ng 3/4 sa 1/2 (kalahati) ay nangangahulugan ng paghahanap ng kalahati ng 3/4.
Paano mo i-multiply ang isang fraction sa isang fraction?
Kunin natin ang isang halimbawa: 3/4 beses 5/7. Nangangahulugan ito na kailangan mong hanapin ang 5 / 7 mula sa 3 / 4 . Hanapin ang unang 1/7 ng 3/4 at pagkatapos ay 5/7
Ang 1/7 ng 3/4 ay ipapahayag nang ganito:
Ang 5 / 7 na mga numero 3 / 4 ay ihahayag tulad ng sumusunod:
Sa ganitong paraan,
Isa pang halimbawa: 5/8 beses 4/9.
1/9 ng 5/8 ay ,
4/9 bilang 5/8 ay .
Sa ganitong paraan, 
Mula sa mga halimbawang ito, mahihinuha ang sumusunod na tuntunin:
Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawang produkto ang denominator ng produkto.
Ito ang panuntunan sa pangkalahatang pananaw maaaring isulat ng ganito:
Kapag nagpaparami, kinakailangan na gumawa (kung maaari) mga pagbawas. Isaalang-alang ang mga halimbawa:
5. Pagpaparami ng magkahalong numero. Dahil ang mga pinaghalong numero ay madaling mapapalitan ng mga hindi wastong fraction, ang sitwasyong ito ay karaniwang ginagamit kapag nagpaparami ng mga pinaghalong numero. Nangangahulugan ito na sa mga kasong iyon kung saan ang multiplicand, o ang multiplier, o ang parehong mga salik ay ipinahayag bilang halo-halong mga numero, pagkatapos ay papalitan ang mga ito ng mga hindi wastong fraction. I-multiply, halimbawa, ang mga pinaghalong numero: 2 1/2 at 3 1/5. Ginagawa namin ang bawat isa sa kanila sa isang hindi tamang fraction at pagkatapos ay i-multiply namin ang mga resultang fraction ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction:
Panuntunan. Upang i-multiply ang mga pinaghalong numero, kailangan mo munang i-convert ang mga ito sa mga hindi tamang fraction at pagkatapos ay i-multiply ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction.
Tandaan. Kung ang isa sa mga kadahilanan ay isang integer, kung gayon ang pagpaparami ay maaaring isagawa batay sa batas ng pamamahagi tulad ng sumusunod:
6. Ang konsepto ng interes. Kapag nilulutas ang mga problema at kapag nagsasagawa ng iba't ibang praktikal na kalkulasyon, ginagamit namin ang lahat ng uri ng mga fraction. Ngunit dapat isaisip ng isang tao na maraming dami ang umamin hindi anuman, ngunit natural na mga subdibisyon para sa kanila. Halimbawa, maaari kang kumuha ng isang daan (1/100) ng isang ruble, ito ay magiging isang sentimos, dalawang daan ay 2 kopecks, tatlong daan ay 3 kopecks. Maaari kang kumuha ng 1/10 ng ruble, ito ay magiging "10 kopecks, o isang dime. Maaari kang kumuha ng isang-kapat ng ruble, i.e. 25 kopecks, kalahating ruble, i.e. 50 kopecks (limampung kopecks). Ngunit sila ay halos don. 't kumuha, halimbawa, 2/7 rubles dahil ang ruble ay hindi nahahati sa ikapitong bahagi.
Ang yunit ng pagsukat para sa timbang, ibig sabihin, ang kilo, ay nagbibigay-daan, una sa lahat, ng mga decimal subdivision, halimbawa, 1/10 kg, o 100 g. At ang mga fraction ng isang kilo bilang 1/6, 1/11, 1/ 13 ay hindi karaniwan.
Sa pangkalahatan, ang aming (metric) na mga sukat ay decimal at pinapayagan ang mga decimal subdivision.
Gayunpaman, dapat tandaan na ito ay lubhang kapaki-pakinabang at maginhawa sa isang malawak na iba't ibang mga kaso upang gamitin ang parehong (unipormeng) paraan ng subdividing dami. Ipinakita ng maraming taon ng karanasan na ang gayong mahusay na katwiran na dibisyon ay ang "hundredth" na dibisyon. Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa na nauugnay sa mga pinaka-magkakaibang lugar ng kasanayan ng tao.
1. Ang presyo ng mga aklat ay bumaba ng 12/100 ng nakaraang presyo.
Halimbawa. Ang nakaraang presyo ng libro ay 10 rubles. Bumaba siya ng 1 ruble. 20 kop.
2. Ang mga savings bank ay nagbabayad sa taon sa mga depositor ng 2/100 ng halaga na inilalagay sa mga ipon.
Halimbawa. Ang 500 rubles ay inilalagay sa cash desk, ang kita mula sa halagang ito para sa taon ay 10 rubles.
3. Ang bilang ng mga nagtapos ng isang paaralan ay 5/100 ng kabuuang bilang ng mga mag-aaral.
HALIMBAWA 1,200 na estudyante lamang ang nag-aral sa paaralan, 60 sa kanila ang nagtapos sa paaralan.
Ang ikadaan ng isang numero ay tinatawag na porsyento..
Ang salitang "porsyento" ay hiniram mula sa Latin at ang salitang "sentimo" nito ay nangangahulugang isang daan. Kasama ng pang-ukol (pro centum), ang salitang ito ay nangangahulugang "para sa isang daan." Ang kahulugan ng expression na ito ay sumusunod mula sa katotohanan na sa simula sa sinaunang Roma ang interes ay ang pera na binayaran ng may utang sa nagpapahiram "para sa bawat daan." Ang salitang "sentimo" ay naririnig sa mga pamilyar na salita: centner (isang daang kilo), sentimetro (sabi nila centimeter).
Halimbawa, sa halip na sabihin na ang halaman ay gumawa ng 1/100 ng lahat ng mga produkto na ginawa nito noong nakaraang buwan, sasabihin namin ito: ang halaman ay gumawa ng isang porsyento ng mga pagtanggi noong nakaraang buwan. Sa halip na sabihin: ang halaman ay gumawa ng 4/100 higit pang mga produkto kaysa sa itinatag na plano, sasabihin natin: ang planta ay lumampas sa plano ng 4 na porsyento.
Ang mga halimbawa sa itaas ay maaaring ipahayag nang iba:
1. Bumaba ng 12 porsiyento ang presyo ng mga libro sa nakaraang presyo.
2. Binabayaran ng mga savings bank ang mga nagdedeposito ng 2 porsiyento bawat taon ng halagang inilalagay sa mga ipon.
3. Ang bilang ng mga nagtapos ng isang paaralan ay 5 porsiyento ng bilang ng lahat ng mga mag-aaral sa paaralan.
Upang paikliin ang titik, kaugalian na isulat ang% sign sa halip na ang salitang "porsiyento".
Gayunpaman, dapat tandaan na ang % sign ay karaniwang hindi nakasulat sa mga kalkulasyon, maaari itong isulat sa pahayag ng problema at sa huling resulta. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon, kailangan mong magsulat ng isang fraction na may denominator na 100 sa halip na isang integer na may icon na ito.
Kailangan mong palitan ang isang integer ng tinukoy na icon na may isang fraction na may denominator na 100:
Sa kabaligtaran, kailangan mong masanay sa pagsulat ng isang integer na may nakasaad na icon sa halip na isang fraction na may denominator na 100:
7. Paghahanap ng mga porsyento ng isang naibigay na numero.
Gawain 1. Nakatanggap ang paaralan ng 200 cubic meters. m ng kahoy na panggatong, na may birch firewood accounting para sa 30%. Magkano ang kahoy na birch doon?
Ang kahulugan ng problemang ito ay ang birch na panggatong ay bahagi lamang ng kahoy na panggatong na inihatid sa paaralan, at ang bahaging ito ay ipinahayag bilang isang bahagi ng 30 / 100. Kaya, nahaharap tayo sa gawain ng paghahanap ng isang bahagi ng isang numero. Upang malutas ito, dapat nating i-multiply ang 200 sa 30 / 100 (ang mga gawain para sa paghahanap ng fraction ng isang numero ay malulutas sa pamamagitan ng pagpaparami ng numero sa isang fraction.).
Kaya 30% ng 200 ay katumbas ng 60.
Ang fraction na 30 / 100 na nakatagpo sa problemang ito ay maaaring bawasan ng 10. Posibleng maisagawa ang pagbawas na ito sa simula pa lamang; hindi magbabago ang solusyon sa problema.
Gawain 2. Mayroong 300 bata sa kampo iba't ibang edad. Ang mga batang may edad na 11 ay 21%, ang mga batang may edad na 12 ay 61% at sa wakas ay 13 taong gulang ay 18%. Ilang bata sa bawat edad ang nasa kampo?
Sa problemang ito, kailangan mong magsagawa ng tatlong mga kalkulasyon, iyon ay, sunud-sunod na hanapin ang bilang ng mga bata 11 taong gulang, pagkatapos ay 12 taong gulang, at sa wakas ay 13 taong gulang.
Kaya, dito ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang bahagi ng isang numero ng tatlong beses. Gawin natin:
1) Ilang bata ang 11 taong gulang?
2) Ilang bata ang 12 taong gulang?
3) Ilang bata ang 13 taong gulang?
Pagkatapos malutas ang problema, ito ay kapaki-pakinabang upang idagdag ang mga numero na natagpuan; ang kanilang kabuuan ay dapat na 300:
63 + 183 + 54 = 300
Dapat mo ring bigyang pansin ang katotohanan na ang kabuuan ng mga porsyento na ibinigay sa kondisyon ng problema ay 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ito ay nagpapahiwatig na kabuuang bilang ang mga bata na nasa kampo ay kinuha bilang 100%.
3 at cha 3. Nakatanggap ang manggagawa ng 1,200 rubles bawat buwan. Sa mga ito, gumastos siya ng 65% sa pagkain, 6% sa isang apartment at heating, 4% sa gas, kuryente at radyo, 10% sa mga pangangailangang pangkultura at 15% ang kanyang naipon. Gaano karaming pera ang ginugol sa mga pangangailangan na ipinahiwatig sa gawain?
Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong maghanap ng isang bahagi ng bilang na 1,200 5 beses. Gawin natin ito.
1) Magkano ang ginagastos sa pagkain? Sinasabi ng gawain na ang gastos na ito ay 65% ng lahat ng kita, ibig sabihin, 65/100 ng bilang na 1,200. Gawin natin ang pagkalkula:
2) Gaano karaming pera ang binayaran para sa isang apartment na may pagpainit? Ang pagtatalo tulad ng nauna, nakarating tayo sa sumusunod na kalkulasyon:
3) Magkano ang perang binayaran mo para sa gas, kuryente at radyo?
4) Magkano ang perang ginagastos sa mga pangangailangang pangkultura?
5) Magkano ang naipon ng manggagawa?
Para sa pag-verify, kapaki-pakinabang na idagdag ang mga numerong makikita sa 5 tanong na ito. Ang halaga ay dapat na 1,200 rubles. Ang lahat ng mga kita ay kinukuha bilang 100%, na madaling suriin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga porsyento na ibinigay sa pahayag ng problema.
Nalutas namin ang tatlong problema. Sa kabila ng katotohanan na ang mga gawaing ito ay tungkol sa iba't ibang bagay (paghahatid ng kahoy na panggatong para sa paaralan, ang bilang ng mga bata na may iba't ibang edad, ang mga gastos ng manggagawa), sila ay nalutas sa parehong paraan. Nangyari ito dahil sa lahat ng mga gawain ay kailangang maghanap ng ilang porsyento ng mga ibinigay na numero.
§ 90. Dibisyon ng mga fraction.
Kapag pinag-aaralan ang paghahati ng mga fraction, isasaalang-alang natin ang mga sumusunod na tanong:
1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.
2. Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang integer
3. Dibisyon ng isang integer sa pamamagitan ng isang fraction.
4. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.
5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.
6. Paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito.
7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.
Isaalang-alang natin ang mga ito nang sunud-sunod.
1. Hatiin ang isang integer sa isang integer.
Tulad ng ipinahiwatig sa seksyon ng mga integer, ang paghahati ay ang aksyon na binubuo sa katotohanan na, dahil sa produkto ng dalawang salik (ang dibidendo) at isa sa mga salik na ito (ang divisor), isa pang salik ang natagpuan.
Ang paghahati ng isang integer sa isang integer na aming isinasaalang-alang sa departamento ng mga integer. Nakilala namin doon ang dalawang kaso ng paghahati: paghahati nang walang nalalabi, o "buong" (150: 10 = 15), at paghahati na may natitira (100: 9 = 11 at 1 sa natitira). Kaya't maaari nating sabihin na sa larangan ng mga integer, ang eksaktong paghahati ay hindi laging posible, dahil ang dibidendo ay hindi palaging produkto ng divisor at ng integer. Pagkatapos ng pagpapakilala ng multiplikasyon sa pamamagitan ng isang fraction, maaari naming isaalang-alang ang anumang kaso ng paghahati ng mga integer hangga't maaari (tanging dibisyon sa pamamagitan ng zero ang hindi kasama).
Halimbawa, ang paghahati ng 7 sa 12 ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang numero na ang produkto ay magiging 7. Ang numerong ito ay ang fraction na 7/12 dahil 7/12 12 = 7. Isa pang halimbawa: 14: 25 = 14/25 dahil 14/25 25 = 14.
Kaya, upang hatiin ang isang integer sa isang integer, kailangan mong gumawa ng isang fraction, ang numerator nito ay katumbas ng dibidendo, at ang denominator ay ang divisor.
2. Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang integer.
Hatiin ang fraction na 6 / 7 sa 3. Ayon sa kahulugan ng paghahati na ibinigay sa itaas, mayroon tayo dito ang produkto (6 / 7) at isa sa mga kadahilanan (3); kinakailangan na makahanap ng pangalawang salik na, kapag pinarami ng 3, ay magbibigay sa ibinigay na produkto ng 6/7. Malinaw, ito ay dapat na tatlong beses na mas maliit kaysa sa produktong ito. Nangangahulugan ito na ang gawaing itinakda sa harap natin ay bawasan ang fraction ng 6/7 ng 3 beses.
Alam na natin na ang pagbabawas ng isang fraction ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpapababa ng numerator nito o sa pamamagitan ng pagtaas ng denominator nito. Samakatuwid, maaari kang sumulat:
Sa kasong ito, ang numerator 6 ay nahahati sa 3, kaya ang numerator ay dapat bawasan ng 3 beses.
Kumuha tayo ng isa pang halimbawa: 5 / 8 na hinati sa 2. Dito ang numerator 5 ay hindi nahahati sa 2, na nangangahulugan na ang denominator ay kailangang i-multiply sa numerong ito:
Batay dito, maaari nating sabihin ang panuntunan: Upang hatiin ang isang fraction sa isang integer, kailangan mong hatiin ang numerator ng fraction sa pamamagitan ng integer na iyon(kung maaari), iniiwan ang parehong denominator, o i-multiply ang denominator ng fraction sa numerong ito, na iniiwan ang parehong numerator.
3. Dibisyon ng isang integer sa pamamagitan ng isang fraction.
Hayaang kailanganin na hatiin ang 5 sa 1/2, ibig sabihin, humanap ng numero na, pagkatapos i-multiply sa 1/2, ay magbibigay sa produkto ng 5. Malinaw, ang bilang na ito ay dapat na mas malaki kaysa sa 5, dahil ang 1/2 ay isang wastong fraction, at kapag nagpaparami ng isang numero sa isang wastong fraction, ang produkto ay dapat na mas mababa sa multiplicand. Upang maging mas malinaw, isulat natin ang ating mga aksyon tulad ng sumusunod: 5: 1 / 2 = X , kaya x 1 / 2 \u003d 5.
Kailangan nating makahanap ng ganoong numero X , na, kapag pinarami ng 1/2, ay magbibigay ng 5. Dahil ang pagpaparami ng isang tiyak na numero sa 1/2 ay nangangahulugan ng paghahanap ng 1/2 ng numerong ito, kung gayon, 1/2 ng hindi kilalang numero X ay 5, at ang buong bilang X dalawang beses na mas marami, i.e. 5 2 \u003d 10.
Kaya 5: 1/2 = 5 2 = 10
Suriin natin: 
Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Hayaang kailanganin na hatiin ang 6 sa 2 / 3 . Subukan muna nating hanapin ang nais na resulta gamit ang pagguhit (Larawan 19).
Fig.19
Gumuhit ng segment AB, katumbas ng 6 ng ilang unit, at hatiin ang bawat unit sa 3 pantay na bahagi. Sa bawat yunit, ang tatlong-katlo (3 / 3) sa buong segment AB ay 6 na beses na mas malaki, ibig sabihin. e. 18/3. Kumonekta kami sa tulong ng mga maliliit na bracket 18 nakuha na mga segment ng 2; Magkakaroon lamang ng 9 na mga segment. Nangangahulugan ito na ang fraction 2/3 ay nakapaloob sa b units ng 9 na beses, o, sa madaling salita, ang fraction na 2/3 ay 9 na beses na mas mababa sa 6 integer units. Dahil dito,
Paano makukuha ang resultang ito nang walang pagguhit gamit lamang ang mga kalkulasyon? Magtatalo tayo bilang mga sumusunod: kinakailangang hatiin ang 6 sa 2 / 3, ibig sabihin, kinakailangang sagutin ang tanong, kung gaano karaming beses ang 2 / 3 ay nakapaloob sa 6. Alamin muna natin: kung gaano karaming beses ang 1 / 3 nakapaloob sa 6? Sa isang buong unit - 3 thirds, at sa 6 units - 6 beses na higit pa, i.e. 18 thirds; upang mahanap ang numerong ito, dapat nating i-multiply ang 6 sa 3. Samakatuwid, ang 1/3 ay nakapaloob sa b unit ng 18 beses, at ang 2/3 ay nasa b unit hindi 18 beses, ngunit kalahati ng maraming beses, i.e. 18: 2 = 9 Samakatuwid, kapag hinati namin ang 6 sa 2 / 3, nagawa na namin ang mga sumusunod na aksyon:
Mula dito nakuha namin ang panuntunan para sa paghahati ng isang integer sa isang fraction. Upang hatiin ang isang integer sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang integer na ito sa denominator ng ibinigay na fraction at, gawin itong numerator, hatiin ito sa numerator ng ibinigay na fraction.
Sinusulat namin ang panuntunan gamit ang mga titik:
Upang gawing ganap na malinaw ang panuntunang ito, dapat tandaan na ang isang fraction ay maaaring ituring bilang isang quotient. Samakatuwid, kapaki-pakinabang na ihambing ang nahanap na panuntunan sa panuntunan para sa paghahati ng isang numero sa isang quotient, na itinakda sa § 38. Tandaan na ang parehong formula ay nakuha doon.
Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:
4. Dibisyon ng isang fraction sa isang fraction.
Hayaang kailanganin na hatiin ang 3/4 sa 3/8. Ano ang magsasaad ng bilang na makukuha bilang resulta ng paghahati? Sasagutin nito ang tanong kung gaano karaming beses ang fraction 3/8 ay nakapaloob sa fraction 3/4. Upang maunawaan ang isyung ito, gumawa tayo ng pagguhit (Larawan 20).
Kunin ang segment AB, kunin ito bilang isang yunit, hatiin ito sa 4 na pantay na bahagi at markahan ang 3 tulad ng mga bahagi. Ang Segment AC ay magiging katumbas ng 3/4 ng segment AB. Hatiin natin ngayon ang bawat isa sa apat na unang segment sa kalahati, pagkatapos ay ang segment AB ay hahatiin sa 8 pantay na bahagi at ang bawat bahagi ay magiging katumbas ng 1/8 ng segment AB. Ikinonekta namin ang 3 tulad na mga segment na may mga arko, pagkatapos ang bawat isa sa mga segment na AD at DC ay magiging katumbas ng 3/8 ng segment AB. Ipinapakita ng drawing na ang segment na katumbas ng 3/8 ay nakapaloob sa segment na katumbas ng 3/4 na eksaktong 2 beses; Kaya ang resulta ng dibisyon ay maaaring isulat tulad nito:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa. Hayaang kailanganin na hatiin ang 15/16 sa 3/32:
Maaari tayong mangatuwiran nang ganito: kailangan nating maghanap ng numero na, pagkatapos na i-multiply sa 3/32, ay magbibigay ng produkto na katumbas ng 15/16. Isulat natin ang mga kalkulasyon tulad nito:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 hindi kilalang numero X gumawa ng 15/16
1/32 hindi kilalang numero X ay ,
32 / 32 na mga numero X magkasundo .
Dahil dito,
Kaya, upang hatiin ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang numerator ng unang fraction sa denominator ng pangalawa, at i-multiply ang denominator ng unang fraction sa numerator ng pangalawa at gawin ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa ang denominator.
Isulat natin ang panuntunan gamit ang mga titik:
Kapag naghahati, posible ang mga pagdadaglat, halimbawa:
5. Dibisyon ng mga pinaghalong numero.
Kapag hinahati ang halo-halong mga numero, dapat munang i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction, at pagkatapos ay ang mga resultang fraction ay dapat hatiin ayon sa mga patakaran para sa paghahati ng mga fractional na numero. Isaalang-alang ang isang halimbawa:
I-convert ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction:
Ngayon, hatiin natin:
Kaya, upang hatiin ang mga pinaghalong numero, kailangan mong i-convert ang mga ito sa hindi wastong mga fraction at pagkatapos ay hatiin ayon sa panuntunan para sa paghahati ng mga fraction.
6. Paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito.
Among iba't ibang gawain sa mga fraction, minsan may mga kung saan ang halaga ng ilang fraction ng isang hindi kilalang numero ay ibinibigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang numerong ito. Ang ganitong uri ng problema ay magiging kabaligtaran sa problema ng paghahanap ng isang bahagi ng isang naibigay na numero; mayroong isang numero na ibinigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang ilang bahagi ng numerong ito, dito isang bahagi ng isang numero ay ibinigay at ito ay kinakailangan upang mahanap ang numerong ito mismo. Magiging mas malinaw ang ideyang ito kung babaling tayo sa solusyon sa ganitong uri ng problema.
Gawain 1. Sa unang araw, pinakinang ng mga glazier ang 50 bintana, na 1/3 ng lahat ng bintana ng itinayong bahay. Ilang bintana ang nasa bahay na ito?
Solusyon. Sinasabi ng problema na ang 50 glazed windows ay bumubuo sa 1/3 ng lahat ng mga bintana ng bahay, na nangangahulugang mayroong 3 beses na higit pang mga bintana sa kabuuan, i.e.
Ang bahay ay may 150 na bintana.
Gawain 2. Nagbenta ang tindahan ng 1,500 kg ng harina, na 3/8 ng kabuuang stock ng harina sa tindahan. Ano ang unang supply ng harina sa tindahan?
Solusyon. Makikita sa kalagayan ng problema na ang nabentang 1,500 kg ng harina ay bumubuo ng 3/8 ng kabuuang stock; nangangahulugan ito na ang 1/8 ng stock na ito ay magiging 3 beses na mas mababa, ibig sabihin, upang makalkula ito, kailangan mong bawasan ang 1500 ng 3 beses:
1,500: 3 = 500 (1/8 iyon ng stock).
Malinaw, ang buong stock ay magiging 8 beses na mas malaki. Dahil dito,
500 8 \u003d 4,000 (kg).
Ang unang supply ng harina sa tindahan ay 4,000 kg.
Mula sa pagsasaalang-alang ng problemang ito, mahihinuha ang sumusunod na tuntunin.
Upang mahanap ang isang numero sa isang ibinigay na halaga ng fraction nito, sapat na upang hatiin ang halagang ito sa numerator ng fraction at i-multiply ang resulta sa denominator ng fraction.
Nalutas namin ang dalawang problema sa paghahanap ng isang numero na ibinigay sa fraction nito. Ang ganitong mga problema, dahil ito ay lalo na nakikita mula sa huli, ay nalutas sa pamamagitan ng dalawang aksyon: paghahati (kapag ang isang bahagi ay natagpuan) at pagpaparami (kapag ang buong bilang ay natagpuan).
Gayunpaman, pagkatapos nating pag-aralan ang paghahati ng mga fraction, ang mga problema sa itaas ay maaaring malutas sa isang aksyon, katulad: paghahati sa isang fraction.
Halimbawa, ang huling gawain ay maaaring malutas sa isang aksyon tulad nito:
Sa hinaharap, malulutas natin ang problema sa paghahanap ng isang numero sa pamamagitan ng bahagi nito sa isang aksyon - dibisyon.
7. Paghahanap ng numero sa pamamagitan ng porsyento nito.
Sa mga gawaing ito, kakailanganin mong maghanap ng numero, alam ang ilang porsyento ng numerong ito.
Gawain 1. Sa simula ng taong ito, nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa savings bank. kita mula sa halagang inilagay ko sa ipon noong isang taon. Gaano karaming pera ang inilagay ko sa savings bank? (Ang mga tanggapan ng pera ay nagbibigay sa mga nagdedeposito ng 2% ng kita bawat taon.)
Ang kahulugan ng problema ay ang isang tiyak na halaga ng pera ay inilagay ko sa isang savings bank at nakahiga doon sa loob ng isang taon. Pagkaraan ng isang taon, nakatanggap ako ng 60 rubles mula sa kanya. income, which is 2/100 of the money I put in. Magkano pera ang aking idineposito?
Samakatuwid, ang pag-alam sa bahagi ng perang ito, na ipinahayag sa dalawang paraan (sa rubles at sa mga praksyon), dapat nating hanapin ang kabuuan, na hindi pa alam, halaga. Ito ay isang ordinaryong problema ng paghahanap ng isang numero dahil sa fraction nito. Ang mga sumusunod na gawain ay nalutas sa pamamagitan ng paghahati:
Kaya, 3,000 rubles ang inilagay sa savings bank.
Gawain 2. Sa loob ng dalawang linggo, natupad ng mga mangingisda ang buwanang plano ng 64%, na nakapaghanda ng 512 toneladang isda. Ano ang kanilang plano?
Mula sa kondisyon ng problema, nabatid na natapos ng mga mangingisda ang bahagi ng plano. Ang bahaging ito ay katumbas ng 512 tonelada, na 64% ng plano. Ilang toneladang isda ang kailangang anihin ayon sa plano, hindi natin alam. Ang solusyon sa problema ay binubuo sa paghahanap ng numerong ito.
Ang ganitong mga gawain ay malulutas sa pamamagitan ng paghahati:
Kaya, ayon sa plano, kailangan mong maghanda ng 800 toneladang isda.
Gawain 3. Ang tren ay nagmula sa Riga patungong Moscow. Nang malagpasan niya ang ika-276 na kilometro, tinanong ng isa sa mga pasahero ang dumaan na konduktor kung gaano na katagal ang biyahe. Sumagot dito ang konduktor: "Nasaklaw na namin ang 30% ng buong paglalakbay." Ano ang distansya mula Riga hanggang Moscow?
Makikita mula sa kondisyon ng problema na ang 30% ng paglalakbay mula Riga hanggang Moscow ay 276 km. Kailangan nating hanapin ang buong distansya sa pagitan ng mga lungsod na ito, ibig sabihin, para sa bahaging ito, hanapin ang kabuuan:
§ 91. Mga katumbas na numero. Pagpapalit ng dibisyon ng multiplikasyon.
Kunin ang fraction 2/3 at muling ayusin ang numerator sa lugar ng denominator, makakakuha tayo ng 3/2. Nakakuha kami ng isang fraction, ang kapalit ng isang ito.
Upang makakuha ng isang fraction na katumbas ng isang naibigay na isa, kailangan mong ilagay ang numerator nito sa lugar ng denominator, at ang denominator sa lugar ng numerator. Sa ganitong paraan, makakakuha tayo ng fraction na katumbas ng anumang fraction. Halimbawa:
3 / 4 , reverse 4 / 3 ; 5 / 6 , baligtad 6 / 5
Dalawang fraction na may katangian na ang numerator ng una ay ang denominator ng pangalawa at ang denominator ng una ay ang numerator ng pangalawa ay tinatawag magkabaligtaran.
Ngayon isipin natin kung anong fraction ang magiging reciprocal ng 1/2. Malinaw, ito ay magiging 2 / 1, o 2 lang. Hinahanap ang kapalit nito, nakakuha kami ng isang integer. At ang kasong ito ay hindi nakahiwalay; sa kabaligtaran, para sa lahat ng mga praksiyon na may numerator na 1 (isa), ang mga kapalit ay magiging mga integer, halimbawa:
1 / 3, kabaligtaran 3; 1 / 5, baligtad 5
Dahil kapag ang paghahanap ng mga kapalit ay nakilala din namin ang mga integer, sa hinaharap ay hindi namin pag-uusapan ang tungkol sa mga katumbasan, ngunit tungkol sa mga katumbasan.
Alamin natin kung paano isulat ang kapalit ng isang buong numero. Para sa mga fraction, ito ay malulutas nang simple: kailangan mong ilagay ang denominator sa lugar ng numerator. Sa parehong paraan, maaari mong makuha ang reciprocal ng isang integer, dahil ang anumang integer ay maaaring magkaroon ng denominator ng 1. Samakatuwid, ang kapalit ng 7 ay magiging 1 / 7, dahil 7 \u003d 7 / 1; para sa numero 10 ang reverse ay 1/10 dahil 10 = 10/1
Ang ideyang ito ay maaaring ipahayag sa ibang paraan: ang reciprocal ng isang naibigay na numero ay nakuha sa pamamagitan ng paghahati ng isa sa ibinigay na numero. Ang pahayag na ito ay totoo hindi lamang para sa mga integer, kundi pati na rin para sa mga fraction. Sa katunayan, kung nais mong magsulat ng isang numero na katumbas ng bahaging 5/9, maaari nating kunin ang 1 at hatiin ito sa 5/9, i.e.
Ngayon ay ituro natin ang isa ari-arian magkatumbas na mga numero, na magiging kapaki-pakinabang sa atin: ang produkto ng magkabilang katumbas na mga numero ay katumbas ng isa. talaga:
Gamit ang property na ito, makakahanap tayo ng mga kapalit sa sumusunod na paraan. Hanapin natin ang kapalit ng 8.
Tukuyin natin ito ng titik X , pagkatapos 8 X = 1, samakatuwid X = 1 / 8 . Maghanap tayo ng isa pang numero, ang kabaligtaran ng 7/12, ipahiwatig ito sa pamamagitan ng isang titik X , pagkatapos ay 7/12 X = 1, samakatuwid X = 1:7 / 12 o X = 12 / 7 .
Ipinakilala namin dito ang konsepto ng reciprocal na mga numero upang bahagyang madagdagan ang impormasyon tungkol sa paghahati ng mga fraction.
Kapag hinati namin ang numero 6 sa 3 / 5, pagkatapos ay gagawin namin ang sumusunod:
Magbayad Espesyal na atensyon sa ekspresyon at ihambing ito sa ibinigay na: .
Kung kukunin natin ang expression nang hiwalay, nang walang koneksyon sa nauna, imposibleng malutas ang tanong kung saan ito nanggaling: mula sa paghahati ng 6 sa 3/5 o mula sa pagpaparami ng 6 sa 5/3. Sa parehong mga kaso ang resulta ay pareho. Kaya masasabi natin na ang paghahati ng isang numero sa isa pa ay maaaring palitan sa pamamagitan ng pagpaparami ng dibidendo sa kapalit ng divisor.
Ang mga halimbawang ibinigay namin sa ibaba ay ganap na nagpapatunay sa konklusyong ito.
Ang fraction ay isa o higit pang bahagi ng isang kabuuan, na karaniwang kinukuha bilang isang yunit (1). Tulad ng mga natural na numero, maaari mong isagawa ang lahat ng mga pangunahing operasyon ng aritmetika na may mga fraction (pagdaragdag, pagbabawas, paghahati, pagpaparami), para dito kailangan mong malaman ang mga tampok ng pagtatrabaho sa mga fraction at makilala sa pagitan ng kanilang mga uri. Mayroong ilang mga uri ng mga fraction: decimal at ordinaryo, o simple. Ang bawat uri ng mga fraction ay may sariling mga detalye, ngunit sa sandaling lubusan mong naisip kung paano haharapin ang mga ito nang isang beses, magagawa mong lutasin ang anumang mga halimbawa na may mga fraction, dahil malalaman mo ang mga pangunahing prinsipyo para sa pagsasagawa ng mga kalkulasyon ng aritmetika na may mga fraction. Tingnan natin ang mga halimbawa kung paano hatiin ang isang fraction sa isang integer gamit iba't ibang uri mga fraction.
Paano hatiin ang isang simpleng fraction sa natural na numero?Ang mga ordinaryong o simpleng fraction ay tinatawag na mga fraction na isinulat bilang isang ratio ng mga numero kung saan ang dibidendo (numerator) ay ipinahiwatig sa tuktok ng fraction, at ang divisor (denominator) ng fraction ay ipinahiwatig sa ibaba. Paano hatiin ang naturang fraction sa isang integer? Tingnan natin ang isang halimbawa! Sabihin nating kailangan nating hatiin ang 8/12 sa 2.
Upang gawin ito, dapat tayong magsagawa ng isang serye ng mga aksyon:
Kaya, kung nahaharap tayo sa gawain ng paghahati ng isang bahagi sa isang integer, ang scheme ng solusyon ay magiging ganito: 
Katulad nito, maaari mong hatiin ang anumang ordinaryong (simple) na bahagi sa isang integer.
Paano hatiin ang isang decimal sa isang integer?
Ang decimal fraction ay isang fraction na nakukuha sa pamamagitan ng paghahati ng unit sa sampu, isang libo, at iba pa. Ang mga operasyon ng aritmetika na may mga decimal fraction ay medyo simple.
Isaalang-alang ang isang halimbawa kung paano hatiin ang isang fraction sa isang integer. Sabihin nating kailangan nating hatiin ang decimal fraction na 0.925 sa natural na numero 5.
Sa kabuuan, tututuon tayo sa dalawang pangunahing punto na mahalaga kapag nagsasagawa ng operasyon ng paghahati ng mga decimal fraction sa pamamagitan ng isang integer: - maghiwalay decimal fraction ang paghahati sa isang haligi ay inilalapat sa isang natural na numero;
- ang isang kuwit ay inilalagay sa pribado kapag ang paghahati ng integer na bahagi ng dibidendo ay nakumpleto.
Ang mga ordinaryong fractional na numero ay unang nakakatugon sa mga mag-aaral sa ika-5 baitang at sinasamahan sila sa buong buhay nila, dahil sa pang-araw-araw na buhay madalas na kinakailangan na isaalang-alang o gamitin ang ilang bagay na hindi buo, ngunit sa magkahiwalay na mga piraso. Ang simula ng pag-aaral ng paksang ito - ibahagi. Ang mga pagbabahagi ay pantay na bahagi kung saan nahahati ang isang bagay. Pagkatapos ng lahat, hindi laging posible na ipahayag, halimbawa, ang haba o presyo ng isang produkto bilang isang integer; dapat isaalang-alang ng isa ang mga bahagi o bahagi ng anumang sukat. Nabuo mula sa pandiwa na "durog" - upang hatiin sa mga bahagi, at pagkakaroon ng mga ugat ng Arabe, noong siglo VIII ang salitang "fraction" mismo ay lumitaw sa Russian.
Ang mga fractional expression ay matagal nang itinuturing na pinakamahirap na seksyon ng matematika. Noong ika-17 siglo, nang lumitaw ang mga unang aklat-aralin sa matematika, tinawag silang "mga sirang numero", na napakahirap ipakita sa pang-unawa ng mga tao.
modernong hitsura Ang mga simpleng fractional residues, ang mga bahagi nito ay tiyak na pinaghihiwalay ng isang pahalang na linya, ay unang iniambag sa Fibonacci - Leonardo ng Pisa. Ang kanyang mga isinulat ay may petsang 1202. Ngunit ang layunin ng artikulong ito ay simple at malinaw na ipaliwanag sa mambabasa kung paano nangyayari ang pagpaparami ng mga pinaghalong fraction na may iba't ibang denominador.
Pagpaparami ng mga fraction na may iba't ibang denominator
Sa una, ito ay kinakailangan upang matukoy mga uri ng mga fraction:
- tama;
- mali;
- magkakahalo.
Susunod, kailangan mong tandaan kung paano pinarami ang mga fractional na numero na may parehong denominator. Ang mismong tuntunin ng prosesong ito ay madaling bumalangkas nang nakapag-iisa: ang resulta ng pagpaparami ng mga simpleng fraction na may parehong denominador ay isang fractional expression, ang numerator nito ay produkto ng mga numerator, at ang denominator ay produkto ng mga denominator ng mga fraction na ito. . Iyon ay, sa katunayan, ang bagong denominator ay ang parisukat ng isa sa mga umiiral na sa simula.
Kapag nagpaparami mga simpleng fraction na may iba't ibang denominador para sa dalawa o higit pang salik, hindi nagbabago ang panuntunan:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Ang pagkakaiba lang ay iyon nabuong numero sa ilalim ng fractional bar ay magiging produkto ng iba't ibang mga numero at, siyempre, ang parisukat ng isa pagpapahayag ng numero imposibleng pangalanan ito.
Ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa pagpaparami ng mga fraction na may iba't ibang denominator gamit ang mga halimbawa:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Gumagamit ang mga halimbawa ng mga paraan upang bawasan ang mga fractional expression. Maaari mong bawasan lamang ang mga numero ng numerator sa mga numero ng denominator; ang mga katabing kadahilanan sa itaas o ibaba ng fractional bar ay hindi maaaring bawasan.
Kasama ng mga simpleng fractional number, mayroong konsepto ng mixed fractions. Ang isang pinaghalong numero ay binubuo ng isang integer at isang fractional na bahagi, iyon ay, ito ay ang kabuuan ng mga numerong ito:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Paano gumagana ang multiplikasyon?
Maraming mga halimbawa ang ibinigay para sa pagsasaalang-alang.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Ang halimbawa ay gumagamit ng pagpaparami ng isang numero sa pamamagitan ng ordinaryong fractional na bahagi, maaari mong isulat ang panuntunan para sa pagkilos na ito sa pamamagitan ng formula:
a* b/c = a*b /c.
Sa katunayan, ang naturang produkto ay ang kabuuan ng magkaparehong fractional remainder, at ang bilang ng mga termino ay nagpapahiwatig ng natural na numerong ito. espesyal na kaso:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
May isa pang opsyon para sa paglutas ng multiplikasyon ng isang numero sa isang fractional na natitira. Kailangan mo lamang hatiin ang denominator sa numerong ito:
d* e/f = e/f: d.
Kapaki-pakinabang na gamitin ang pamamaraang ito kapag ang denominator ay nahahati sa isang natural na numero na walang natitira o, gaya ng sinasabi nila, ganap.
I-convert ang mga pinaghalong numero sa hindi wastong mga fraction at kunin ang produkto sa naunang inilarawan na paraan:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ang halimbawang ito ay nagsasangkot ng isang paraan upang kumatawan sa isang halo-halong fraction bilang isang hindi tamang fraction, maaari rin itong katawanin bilang pangkalahatang pormula:
a bc = a*b+ c / c, kung saan ang denominator ng bagong fraction ay nabuo sa pamamagitan ng pagpaparami ng integer na bahagi sa denominator at pagdaragdag nito sa numerator ng orihinal na fractional na natitira, at ang denominator ay nananatiling pareho.
Gumagana din ang prosesong ito reverse side. Upang piliin ang integer na bahagi at ang fractional na natitira, kailangan mong hatiin ang numerator ng isang hindi tamang fraction sa denominator nito na may "sulok".
Pagpaparami ng mga hindi wastong fraction gumawa tradisyonal na paraan. Kapag ang entry ay napupunta sa ilalim ng isang solong fractional line, kung kinakailangan, kailangan mong bawasan ang mga fraction upang mabawasan ang mga numero gamit ang paraang ito at mas madaling kalkulahin ang resulta.
Mayroong maraming mga katulong sa Internet upang malutas kahit kumplikadong mga problema. mga problema sa matematika sa iba't ibang programa. Ang isang sapat na bilang ng mga naturang serbisyo ay nag-aalok ng kanilang tulong sa pagbibilang ng pagpaparami ng mga fraction sa magkaibang numero sa denominators - ang tinatawag na online calculators para sa pagkalkula ng mga fraction. Nagagawa nilang hindi lamang dumami, kundi pati na rin upang maisagawa ang lahat ng iba pang mga simpleng operasyon ng aritmetika na may mga ordinaryong fraction at halo-halong mga numero. Hindi mahirap magtrabaho kasama nito, ang kaukulang mga patlang ay napunan sa pahina ng site, ang tanda ng aksyon sa matematika ay napili at ang pindutan ng "kalkulahin" ay pinindot. Awtomatikong binibilang ang programa.
Ang paksa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika na may mga fractional na numero ay may kaugnayan sa buong edukasyon ng mga middle at senior schoolchildren. Sa mataas na paaralan, hindi na nila isinasaalang-alang ang pinakasimpleng species, ngunit buo mga fractional na expression , ngunit ang kaalaman sa mga patakaran para sa pagbabagong-anyo at mga kalkulasyon, na nakuha nang mas maaga, ay inilapat sa orihinal nitong anyo. Ang mahusay na natutunan na pangunahing kaalaman ay nagbibigay buong pagtitiwala sa pinakamahusay na solusyon mapaghamong mga gawain.
Sa konklusyon, makatuwirang banggitin ang mga salita ni Leo Tolstoy, na sumulat: “Ang tao ay isang fraction. Wala sa kapangyarihan ng tao na dagdagan ang kanyang numerator - ang kanyang sariling mga merito, ngunit kahit sino ay maaaring bawasan ang kanyang denominator - ang kanyang opinyon sa kanyang sarili, at sa pamamagitan ng pagbaba na ito ay mas malapit sa kanyang pagiging perpekto.
Ay dibisyon. Sa artikulong ito ay pag-uusapan natin dibisyon ng mga ordinaryong fraction. Una, magbibigay kami ng panuntunan para sa paghahati ng mga ordinaryong fraction at titingnan ang mga halimbawa ng paghahati ng mga fraction. Susunod, kami ay tumutuon sa paghahati ng isang ordinaryong fraction sa isang natural na numero at isang numero sa isang fraction. Panghuli, isaalang-alang kung paano ang paghahati ng isang ordinaryong fraction ay isinasagawa ng halo-halong numero.
Pag-navigate sa pahina.
Dibisyon ng common fraction sa common fraction
Ito ay kilala na ang paghahati ay ang kabaligtaran ng pagpaparami (tingnan ang koneksyon sa pagitan ng paghahati at pagpaparami). Iyon ay, ang paghahati ay nagsasangkot ng paghahanap ng hindi kilalang kadahilanan kapag ang produkto at isa pang kadahilanan ay kilala. Ang parehong kahulugan ng paghahati ay napanatili kapag hinahati ang mga ordinaryong fraction.
Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paghahati ng mga ordinaryong fraction.
Tandaan na hindi natin dapat kalimutan ang tungkol sa pagbabawas ng mga fraction at tungkol sa pagpili ng integer na bahagi mula sa isang hindi tamang fraction.
Dibisyon ng isang karaniwang fraction sa pamamagitan ng isang natural na numero
Ibibigay namin agad panuntunan para sa paghahati ng isang fraction sa isang natural na numero: upang hatiin ang fraction a / b sa isang natural na numero n, kailangan mong iwanan ang numerator ng pareho, at i-multiply ang denominator sa n, iyon ay, .
Direktang sumusunod ang panuntunang ito sa paghahati mula sa panuntunan ng paghahati para sa mga ordinaryong fraction. Sa katunayan, ang representasyon ng isang natural na numero bilang isang fraction ay humahantong sa mga sumusunod na pagkakapantay-pantay 
.
Isaalang-alang ang isang halimbawa ng paghahati ng isang fraction sa isang numero.
Halimbawa.
Hatiin ang bahaging 16/45 sa natural na bilang na 12.
Solusyon.
Sa pamamagitan ng panuntunan ng paghahati ng isang fraction sa isang numero, mayroon tayo 
. Gawin natin ang pagbabawas: . Natapos na ang dibisyong ito.
Sagot:
.
Dibisyon ng isang natural na numero sa pamamagitan ng isang karaniwang fraction
Ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction ay magkatulad panuntunan para sa paghahati ng isang natural na numero sa isang karaniwang fraction: upang hatiin ang isang natural na numero n sa isang ordinaryong fraction a / b, kailangan mong i-multiply ang bilang n sa pamamagitan ng kapalit ng fraction a / b.
Ayon sa tininigan na tuntunin, , at ang panuntunan ng pagpaparami ng natural na numero sa isang ordinaryong fraction ay nagbibigay-daan sa iyong muling isulat ito sa anyo.
Isaalang-alang ang isang halimbawa.
Halimbawa.
Hatiin ang natural na bilang 25 sa fraction na 15/28.
Solusyon.
Lumipat tayo mula sa dibisyon hanggang sa multiplikasyon, mayroon tayo 
. Pagkatapos ng pagbabawas at pagpili ng bahagi ng integer, makuha namin ang .
Sagot:
.
Dibisyon ng isang karaniwang fraction sa pamamagitan ng isang halo-halong numero
Dibisyon ng isang karaniwang fraction sa pamamagitan ng isang halo-halong numero madaling nabawasan sa paghahati ng mga ordinaryong fraction. Upang gawin ito, ito ay sapat na