Homogeneous na sistema ng mga differential equation. Paglutas ng mga sistema ng mga differential equation sa isang matrix na paraan

Sa maraming mga problema ng matematika, pisika at teknolohiya, kinakailangan upang matukoy ang ilang mga pag-andar nang sabay-sabay, na magkakaugnay ng ilang mga equation ng kaugalian. Ang hanay ng mga naturang equation ay tinatawag na sistema ng mga differential equation. Sa partikular, ang mga ganitong sistema ay humahantong sa mga problema kung saan pinag-aaralan ang paggalaw ng mga katawan sa espasyo sa ilalim ng pagkilos ng mga ibinigay na pwersa.

Hayaan, halimbawa, ang isang materyal na punto ng masa ay lumipat sa isang tiyak na kurba (L) sa espasyo sa ilalim ng pagkilos ng isang puwersa F. Kinakailangan upang matukoy ang batas ng paggalaw ng punto, ibig sabihin, ang pag-asa ng mga coordinate ng punto sa oras.

Ipagpalagay natin na

ang radius vector ng gumagalaw na punto. Kung ang mga variable na coordinate ng punto ay tinutukoy ng , kung gayon

Ang bilis at acceleration ng isang gumagalaw na punto ay kinakalkula ng mga formula:

(tingnan ang Ch. VI, § 5, n. 4).

Force F, sa ilalim ng pagkilos kung saan gumagalaw ang isang punto, sa pangkalahatan, ay isang function ng oras, mga coordinate ng punto at mga projection ng bilis sa mga coordinate axes:

Batay sa ikalawang batas ni Newton, ang equation ng paggalaw ng isang punto ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Ang pag-project ng mga vector sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito sa coordinate axis, nakakuha tayo ng tatlong differential equation ng paggalaw:

Ang mga differential equation na ito ay isang sistema ng tatlong second-order differential equation na may kinalaman sa tatlong gustong function:

Sa hinaharap, paghigpitan natin ang ating sarili sa pag-aaral lamang ng isang sistema ng mga first-order na equation ng isang espesyal na anyo na may paggalang sa mga nais na function. Ang sistemang ito ay may anyo

Ang sistema ng mga equation (95) ay tinatawag na isang sistema sa normal na anyo, o isang normal na sistema.

Sa isang normal na sistema, ang kanang bahagi ng mga equation ay hindi naglalaman ng mga derivatives ng mga gustong function.

Ang solusyon ng system (95) ay ang set ng mga function na nagbibigay-kasiyahan sa bawat isa sa mga equation ng system na ito.

Ang mga sistema ng mga equation ng pangalawa, pangatlo at mas mataas na mga order ay maaaring bawasan sa isang normal na sistema sa pamamagitan ng pagpapakilala ng mga bagong gustong function. Kaya, halimbawa, ang sistema (94) ay maaaring mabago sa normal na anyo sa sumusunod na paraan. Ipinakilala namin ang mga bagong function sa pamamagitan ng pagtatakda . Pagkatapos ang sistema ng Equation (94) ay isusulat tulad ng sumusunod:

Normal ang system (96).

Isaalang-alang, halimbawa, ang isang normal na sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi kilalang function:

Para sa isang normal na sistema ng mga differential equation, ang Cauchy theorem para sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng isang solusyon ay nabuo bilang mga sumusunod.

Teorama. Hayaang ang kanang bahagi ng mga equation ng system (97), ibig sabihin, ang mga function ay tuloy-tuloy sa lahat ng mga variable sa ilang domain G at mayroong tuluy-tuloy na partial derivatives sa loob nito. Pagkatapos, anuman ang mga value na kabilang sa domain G, doon ay isang natatanging solusyon ng system na nakakatugon sa mga unang kundisyon:

Upang pagsamahin ang sistema (97), maaaring ilapat ng isa ang pamamaraan kung saan ang ibinigay na sistema na naglalaman ng tatlong equation na may paggalang sa tatlong nais na mga function ay nabawasan sa isang ikatlong-order na equation na may paggalang sa isang hindi kilalang function. Ipakita natin ang isang halimbawa ng aplikasyon ng pamamaraang ito.

Para sa pagiging simple, nililimitahan natin ang ating sarili sa isang sistema ng dalawang equation. Hayaan ang sistema ng mga equation

Upang makahanap ng solusyon sa system, nagpapatuloy kami bilang mga sumusunod. Ang pag-iiba ng una sa mga equation ng system na may paggalang sa nakita natin

Ang pagpapalit sa pagkakapantay-pantay na ito ng expression mula sa pangalawang equation ng system, nakuha namin

Panghuli, pinapalitan ang function na y sa pamamagitan ng pagpapahayag nito mula sa unang equation ng system

nakakakuha kami ng isang linear homogenous na equation ng pangalawang order na may paggalang sa isang hindi kilalang function:

Ang pagsasama ng equation na ito, makikita natin ang pangkalahatang solusyon nito

Pag-iiba ng pagkakapantay-pantay na nakikita natin

Ang pagpapalit ng mga expression para sa x at sa pagkakapantay-pantay at pagdadala ng mga katulad na termino, nakukuha natin

ang solusyon sa sistemang ito.

Kaya, sa pamamagitan ng pagsasama ng isang normal na sistema ng dalawang differential equation, nakuha natin ang solusyon nito depende sa dalawang arbitrary constants.Maaaring ipakita na sa pangkalahatang kaso para sa isang normal na sistema na binubuo ng mga equation, ang pangkalahatang solusyon nito ay depende sa mga arbitrary constants.

Ang praktikal na halaga ng mga differential equation ay dahil sa ang katunayan na, gamit ang mga ito, maaari kang magtatag ng koneksyon sa pagitan ng pangunahing pisikal o batas ng kemikal at kadalasan ay isang buong grupo ng mga variable na may malaking kahalagahan sa pag-aaral ng mga teknikal na isyu.

Ang paggamit ng kahit na ang pinakasimpleng pisikal na batas sa isang proseso na nagaganap sa ilalim ng variable na mga kondisyon ay maaaring humantong sa isang napaka-komplikadong relasyon sa pagitan ng mga variable.

Kapag nilutas ang mga problemang pisikal at kemikal na humahantong sa mga equation ng kaugalian, mahalagang hanapin ang pangkalahatang integral ng equation, pati na rin upang matukoy ang mga halaga ng mga constant na kasama sa integral na ito, upang ang solusyon ay tumutugma sa ibinigay na problema .

Ang pag-aaral ng mga proseso kung saan ang lahat ng kinakailangang dami ay mga function ng isang independiyenteng variable lamang ay humahantong sa mga ordinaryong differential equation.

Ang mga proseso ng steady-state ay maaaring humantong sa mga partial differential equation.

Sa karamihan ng mga kaso, ang solusyon ng mga differential equation ay hindi humahantong sa paghahanap ng mga integral; upang malutas ang mga naturang equation, kailangang gumamit ng tinatayang pamamaraan.

Ang mga sistema ng differential equation ay ginagamit sa paglutas ng problema ng kinetics.

Ang pinakakaraniwan at unibersal na paraan ng numero para sa paglutas ng mga ordinaryong equation ng kaugalian ay ang paraan ng mga may hangganang pagkakaiba.

Ang mga problema ay ibinibigay sa mga ordinaryong differential equation kung saan kinakailangan upang mahanap ang kaugnayan sa pagitan ng umaasa at independiyenteng mga variable sa ilalim ng mga kondisyon kapag ang huli ay patuloy na nagbabago. Ang solusyon ng problema ay humahantong sa tinatawag na mga equation sa may hangganang pagkakaiba.

Ang rehiyon ng tuluy-tuloy na pagkakaiba-iba ng x ay pinapalitan ng isang hanay ng mga puntos na tinatawag na mga node. Binubuo ng mga node na ito ang grid ng pagkakaiba. Ang ninanais na function ng isang tuluy-tuloy na argumento ay tinatayang pinapalitan ng function ng argumento sa isang ibinigay na grid. Ang function na ito ay tinatawag na grid function. Ang pagpapalit ng differential equation ng difference equation ay tinatawag nitong grid approximation. Ang hanay ng mga difference equation na humigit-kumulang sa orihinal na differential equation at karagdagang paunang kondisyon ay tinatawag na difference scheme. Ang isang scheme ng pagkakaiba ay sinasabing matatag kung ang isang maliit na pagbabago sa data ng input ay tumutugma sa isang maliit na pagbabago sa solusyon. Ang isang scheme ng pagkakaiba ay tinatawag na tama kung ang solusyon nito ay umiiral at natatangi para sa anumang data ng pag-input, at gayundin kung ang scheme na ito ay matatag.

Kapag nilulutas ang problemang Cauchy, kinakailangan na makahanap ng isang function na y=y(x) na nakakatugon sa equation:

at ang paunang kundisyon: y \u003d y 0 para sa x \u003d x 0.

Ipakilala natin ang pagkakasunod-sunod ng mga puntos x 0 , x 1 , … x n at mga hakbang h i =x i +1 –x i (i = 0, 1, …). Sa bawat punto x i, ang mga numero y i ay ipinakilala, tinatantya ang eksaktong solusyon y. Matapos palitan ang derivative sa orihinal na equation ng ratio ng mga finite differences, ang paglipat mula sa differential problem sa difference problem ay isinasagawa:

y i+1 = F(x i , h i , y i+1 , y i , … y i-k+1),

kung saan i = 0, 1, 2 ...

Sa kasong ito, nakuha ang k - ang paraan ng hakbang ng mga may hangganan na pagkakaiba. Sa mga one-step na pamamaraan, para kalkulahin ang y i +1, isa lang ang dating nahanap na value sa nakaraang hakbang na y i ang ginagamit, sa mga multi-step na pamamaraan, marami.

Ang pinakasimpleng one-step na numerical method para sa paglutas ng Cauchy problem ay ang Euler method.

y i+1 = y i + h f(x i , y i).

Ang scheme na ito ay isang scheme ng pagkakaiba ng unang pagkakasunud-sunod ng katumpakan.

Kung sa equation na y " \u003d f (x, y) kanang bahagi mapalitan ng arithmetic mean sa pagitan ng f(x i ,y i) at f(x i+1 ,y i+1), i.e. , pagkatapos ay makuha namin ang implicit na pagkakaiba ng pamamaraan ng Euler method:

,

pagkakaroon ng pangalawang pagkakasunud-sunod ng katumpakan.

Sa pamamagitan ng pagpapalit ng y i+1 sa equation na ito ng y i + h f(x i , y i ), ang scheme ay pumasa sa Euler method na may recalculation, na mayroon ding pangalawang order:

Kabilang sa mga scheme ng pagkakaiba ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ng katumpakan, ang pamamaraan ng paraan ng Runge-Kutta ng ika-apat na pagkakasunud-sunod ay laganap:

y i +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), i = 0, 1, …

hanggang 1 = f(x i , y i)

hanggang 2 = f(x i + , y i + )

hanggang 3 = f(x i + , y i + )

k 4 = f(x i + h, y i + k 3).

Upang mapabuti ang katumpakan ng numerical na solusyon nang walang makabuluhang pagtaas sa oras ng computer, ginagamit ang paraan ng Runge. Ang kakanyahan nito ay upang magsagawa ng paulit-ulit na mga kalkulasyon ayon sa isang scheme ng pagkakaiba na may iba't ibang mga hakbang.

Ang pinong solusyon ay itinayo gamit ang isang serye ng mga kalkulasyon. Kung ang dalawang serye ng mga kalkulasyon ay isinasagawa ayon sa scheme ng pagkakasunud-sunod sa ayon sa pagkakabanggit sa mga hakbang h at h/2 at ang mga halaga ng grid function na y h at y h /2 ay nakuha, pagkatapos ay ang pinong halaga ng grid function sa mga grid node na may hakbang h ay kinakalkula ng formula:

.

Tinatayang mga kalkulasyon

Sa pisikal at kemikal na mga kalkulasyon, bihirang kinakailangan na gumamit ng mga pamamaraan at formula na nagbibigay ng eksaktong mga solusyon. Sa karamihan ng mga kaso, ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na humahantong sa mga tumpak na resulta ay alinman sa napakakomplikado o wala. Karaniwan, ginagamit ang mga paraan ng tinatayang paglutas ng problema.

Kapag nilulutas ang mga problemang pisikal at kemikal na may kaugnayan sa mga kinetika ng kemikal, sa pagpoproseso ng data na pang-eksperimento, madalas na kinakailangan upang malutas ang iba't ibang mga equation. Ang eksaktong solusyon ng ilang mga equation ay nagpapakita ng malaking paghihirap sa ilang mga kaso. Sa mga kasong ito, maaaring gamitin ng isa ang mga pamamaraan ng tinatayang mga solusyon, pagkuha ng mga resulta na may katumpakan na nakakatugon sa gawain. Mayroong ilang mga paraan: ang tangent method (Newton's method), ang linear interpolation method, ang repetition (iteration) na paraan, atbp.

Hayaang magkaroon ng equation f(x)=0, kung saan ang f(x) ay isang tuluy-tuloy na function. Ipagpalagay natin na posibleng pumili ng mga halaga ng a at b na ang f(a) at f(b) ay may iba't ibang palatandaan, halimbawa f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

Graphical na paghahanap ng mga ugat ng equation. Upang malutas ang isang equation ng mas mataas na antas, ito ay maginhawa upang gamitin ang graphical na paraan. Hayaang ibigay ang equation:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

kung saan ang a, b, … , p, q ay binibigyan ng mga numero.

Geometrically, ang equation

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

ay isang tiyak na kurba. Mahahanap ng isa ang anumang bilang ng mga puntos nito sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga y-values ​​​​na tumutugma sa mga di-makatwirang x-values. Ang bawat punto ng intersection ng curve na may OX axis ay nagbibigay ng halaga ng isa sa mga ugat ng equation na ito. Samakatuwid, ang paghahanap ng mga ugat ng equation ay nabawasan sa pagtukoy ng mga punto ng intersection ng kaukulang kurba sa OX axis.

Paraan ng pag-ulit. Ang pamamaraang ito ay binubuo sa katotohanan na ang equation na malulutas f (x) \u003d 0 ay na-convert sa isang bagong equation x \u003d j (x) at, na binigyan ng unang approximation x 1, mas tumpak na mga approximation x 2 \u003d j ( x 1), x 3 ay sunud-sunod na natagpuan =j(x 2) atbp. Ang solusyon ay maaaring makuha sa anumang antas ng katumpakan, sa kondisyon na sa pagitan ng unang pagtatantya at ang ugat ng equation | j "(x) |<1.

Upang malutas ang isang nonlinear equation, ang mga sumusunod na pamamaraan ay ginagamit:

a) pamamaraan ng kalahating paghahati:

Ang agwat ng paghihiwalay ng isang tunay na ugat ay maaaring palaging bawasan sa pamamagitan ng paghahati nito, halimbawa, sa kalahati, pagtukoy sa mga hangganan ng kung aling bahagi ng orihinal na pagitan ang function na f(x) ay nagbabago ng sign. Pagkatapos ang nagresultang agwat ay muling nahahati sa dalawang bahagi, at iba pa. Isinasagawa ang prosesong ito hanggang sa huminto sa pagbabago ang mga decimal na lugar na nakaimbak sa tugon.

Pinipili namin ang agwat kung saan natapos ang solusyon. Kalkulahin ang f(a) at f(b) kung f(a) > 0 at f(b)< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 at f(c) > 0, pagkatapos ay a = c at b = b. Kung hindi, kung f(a)< 0 и f(c) >0 o f(a) > 0 at f(c)< 0, то a = a и b = c.

B) padaplis na paraan (Newton method):

Hayaang ang tunay na ugat ng equation na f(x) = 0 ay ihiwalay sa segment . Gawin natin ang isang segment na tulad ng isang numerong x 0 kung saan ang f (x 0) ay may parehong tanda ng f ’ (x 0). Gumuhit tayo ng tangent sa kurba y = f(x) sa puntong M 0 . Para sa tinatayang halaga ng ugat, kinukuha namin ang abscissa ng punto ng intersection ng tangent na ito sa axis Ox. Ang tinatayang halaga ng ugat ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Ang paglalapat ng diskarteng ito sa pangalawang pagkakataon sa puntong M 1, nakukuha namin

atbp. Ang sequence x 0 , x 1 , x 2 , ... na nakuha sa ganitong paraan ay may gustong ugat bilang limitasyon nito. Sa pangkalahatan, maaari itong isulat tulad nito:

.

Upang malutas ang mga linear system ng algebraic equation, ginagamit ang Gauss-Seidel iterative method. Ang mga problema ng teknolohiyang kemikal tulad ng pagkalkula ng mga balanse ng materyal at init ay nabawasan sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation.

Ang kakanyahan ng pamamaraan ay nakasalalay sa katotohanan na sa pamamagitan ng mga simpleng pagbabago, ang mga hindi alam na x 1, x 2, ..., x n ay ipinahayag, ayon sa pagkakabanggit, mula sa mga equation 1,2, ..., n. Ang mga paunang pagtatantya ng mga hindi alam na x 1 =x 1 (0), x 2 =x 2 (0), ..., x n =x n (0) ay nakatakda, ang mga halagang ito ay pinapalitan sa kanang bahagi ng expression na x 1 at x 1 (1) ay kinakalkula. Pagkatapos ay makikita ang x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0) sa kanang bahagi ng expression na x 2 at x 2 (1), atbp. Pagkatapos kalkulahin ang x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1) ang pangalawang pag-ulit ay isinasagawa. Ang proseso ng umuulit ay nagpapatuloy hanggang sa ang mga halaga x 1 (k), x 2 (k), ... ay maging malapit sa isang naibigay na error sa mga halaga x 1 (k-1), x 2 (k-2) , ... .

Ang mga problema ng teknolohiyang kemikal tulad ng pagkalkula ng ekwilibriyong kemikal, atbp., ay binabawasan sa paglutas ng mga sistema ng mga nonlinear na equation. Ginagamit din ang mga iterative na pamamaraan upang malutas ang mga sistema ng mga nonlinear equation. Ang pagkalkula ng kumplikadong ekwilibriyo ay binabawasan sa paglutas ng mga sistema ng nonlinear algebraic equation.

Ang algorithm para sa paglutas ng isang system sa pamamagitan ng simpleng pag-ulit ay kahawig ng Gauss-Seidel method na ginamit upang malutas ang mga linear system.

Ang pamamaraan ni Newton ay may mas mabilis na convergence kaysa sa simpleng paraan ng pag-ulit. Ito ay batay sa paggamit ng pagpapalawak ng mga function F 1 (x 1 , x 2 , ... x n) sa isang Taylor series. Sa kasong ito, ang mga terminong naglalaman ng mga pangalawang derivative ay itatapon.

Hayaang ang tinatayang mga halaga ng system na hindi alam na nakuha sa nakaraang pag-ulit ay isang 1 , a 2 , …a n . Ang gawain ay upang makahanap ng mga pagtaas sa mga halagang ito Δx 1, Δx 2, ... Δx n, dahil sa kung saan ang mga bagong halaga ng hindi alam ay makukuha:

x 1 \u003d isang 1 + Δx 1

x 2 \u003d isang 2 + Δx 2

x n \u003d a n + Δx n.

Palawakin natin ang kaliwang bahagi ng mga equation sa isang serye ng Taylor, na limitado sa mga linear na termino:

Dahil ang mga kaliwang bahagi ng mga equation ay dapat na katumbas ng zero, itinutumbas din namin ang mga tamang bahagi sa zero. Kumuha tayo ng isang sistema ng mga linear algebraic equation na may kinalaman sa mga increment Δx.

Ang mga halaga ng F 1 , F 2 , … F n at ang kanilang mga partial derivatives ay kinakalkula sa x 1 = a 1 , x 2 = a 2 , … x n = a n .

Isinulat namin ang sistemang ito sa anyo ng isang matrix:

Ang determinant ng isang matrix G ng form na ito ay tinatawag na Jacobian. Ang determinant ng naturang matrix ay tinatawag na Jacobian. Para sa pagkakaroon ng isang natatanging solusyon sa system, dapat itong naiiba sa zero sa bawat pag-ulit.

Kaya, ang solusyon ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng Newton method ay binubuo sa pagtukoy ng Jacobi matrix (partial derivatives) sa bawat pag-ulit at pagtukoy ng mga increment Δx 1, Δx 2, ... Δx n sa mga halaga ng mga hindi alam sa bawat pag-ulit sa pamamagitan ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation.

Upang maalis ang pangangailangang hanapin ang Jacobi matrix sa bawat pag-ulit, iminungkahi ang isang pinahusay na pamamaraan ni Newton. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa pagwawasto ng Jacobi matrix gamit ang mga halaga F 1 , F 2 , … , F n nakuha sa nakaraang mga pag-ulit.

Matrix notation para sa isang sistema ng ordinaryong differential equation (SODE) na may pare-parehong coefficient

Linear homogeneous SODE na may constant coefficients $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =a_(11) \cdot y_(1) +a_(12) \cdot y_ (2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \cdot y_(2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\right.$,

kung saan $y_(1) \left(x\right),\; y_(2) \left(x\right),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- gustong mga function ng independent variable $x$, coefficients $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ -- kinakatawan namin ang ibinigay na tunay na mga numero sa matrix notation:

1. matrix ng mga gustong function $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) \left(x\right)) \\ (y_(2) \left(x\right)) \\ (\ ldots ) \\ (y_(n) \kaliwa(x\kanan)) \end(array)\kanan)$;
2. derivative decision matrix $\frac(dY)(dx) =\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dx ) ) \\ (\ldots ) \\ (\frac(dy_(n) )(dx) ) \end(array)\kanan)$;
3. SODE coefficient matrix $A=\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) ) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ (a_(21) ) & (a_(22) ) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (a_(n1) ) & ( a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) ) \end(array)\kanan)$.

Ngayon, batay sa panuntunan ng matrix multiplication, ang SODE na ito ay maaaring isulat bilang isang matrix equation na $\frac(dY)(dx) =A\cdot Y$.

Pangkalahatang Paraan para sa Paglutas ng mga SODE na may Constant Coefficient

Hayaang magkaroon ng matrix ng ilang numero $\alpha =\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ ( \alpha _ (n) ) \end(array)\right)$.

Ang SODE solution ay matatagpuan sa sumusunod na anyo: $y_(1) =\alpha _(1) \cdot e^(k\cdot x) $, $y_(2) =\alpha _(2) \cdot e^( k\ cdot x) $, \dots , $y_(n) =\alpha _(n) \cdot e^(k\cdot x) $. Sa matrix form: $Y=\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array )\kanan)=e^(k\cdot x) \cdot \left(\begin(array)(c) (\alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\kanan)$.

Mula dito nakukuha natin ang:

Ngayon ang matrix equation ng SODE na ito ay maaaring bigyan ng form:

Ang resultang equation ay maaaring ilarawan bilang mga sumusunod:

Ang huling pagkakapantay-pantay ay nagpapakita na ang vector na $\alpha $ ay binago sa tulong ng matrix na $A$ sa vector na $k\cdot \alpha $ na kahanay nito. Nangangahulugan ito na ang vector na $\alpha $ ay isang eigenvector ng matrix na $A$ na naaayon sa eigenvalue na $k$.

Maaaring matukoy ang bilang na $k$ mula sa equation na $\left|\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \\ ( a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ ( a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\kanan|=0$.

Ang equation na ito ay tinatawag na katangian.

Hayaan ang lahat ng mga ugat na $k_(1) ,k_(2) ,\ldots ,k_(n) $ ng katangian na equation ay naiiba. Para sa bawat $k_(i)$ value mula sa $\left(\begin(array)(cccc) (a_(11) -k) & (a_(12) ) & (\ldots ) & (a_(1n) ) \ \ (a_(21) ) & (a_(22) -k) & (\ldots ) & (a_(2n) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \ \ (a_(n1) ) & (a_(n2) ) & (\ldots ) & (a_(nn) -k) \end(array)\kanan)\cdot \left(\begin(array)(c) ( \alpha _(1) ) \\ (\alpha _(2) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n) ) \end(array)\right)=0$ isang matrix ng mga halaga maaaring tukuyin $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(i\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(i\right) )) ) \\ (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\kaliwa(i\kanan)) ) \end(array)\kanan)$.

Ang isa sa mga halaga sa matrix na ito ay pinili nang arbitraryo.

Sa wakas, ang solusyon ng sistemang ito sa anyo ng matrix ay nakasulat tulad ng sumusunod:

$\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \\ (\ldots ) \\ (y_(n) ) \end(array)\right)=\ kaliwa(\begin(array)(cccc) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) & (\ ldots ) & (\alpha _(2)^(\left(n\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^ (\kaliwa(2\kanan)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\kaliwa(n\kanan)) ) \\ (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) & (\ldots ) \\ (\alpha _(n)^(\left(1\right)) ) & (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) & (\ldots ) & (\alpha _(2)^(\kaliwa(n\kanan)) ) \end(array)\kanan)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(k_ (1) \cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(k_(2) \cdot x) ) \\ (\ldots ) \\ (C_(n) \cdot e^(k_(n ) \cdot x) ) \end(array)\right)$,

kung saan ang $C_(i) $ ay mga arbitrary constants.

Isang gawain

Lutasin ang system $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =5\cdot y_(1) +4y_(2) ) \\ (\frac(dy_( 2) )(dx) =4\cdot y_(1) +5\cdot y_(2) ) \end(array)\kanan.$.

Isulat ang system matrix: $A=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)$.

Sa matrix form, ang SODE na ito ay nakasulat bilang mga sumusunod: $\left(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dt) ) \\ (\frac(dy_(2) )(dt) ) \end (array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (5) & (4) \\ (4) & (5) \end(array)\right)\cdot \left( \begin( array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)$.

Nakukuha namin ang katangian na equation:

$\left|\begin(array)(cc) (5-k) & (4) \\ (4) & (5-k) \end(array)\right|=0$ i.e. $k^( 2) -10\cdot k+9=0$.

Ang mga ugat ng katangiang equation: $k_(1) =1$, $k_(2) =9$.

Bumubuo kami ng system para sa pagkalkula ng $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 1\ right))) \end(array)\right)$ para sa $k_(1) =1$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(1) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(1) ) \end(array)\right)\cdot \ kaliwa(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(1\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(1\right)) ) \end (array)\kanan)=0,\]

ibig sabihin, $\left(5-1\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(1\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(1\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\kaliwa(1\kanan)) +\kaliwa(5-1\kanan)\cdot \alpha _(2)^(\kaliwa(1\kanan) ) =0$.

Ang paglalagay ng $\alpha _(1)^(\left(1\right)) =1$, makakakuha tayo ng $\alpha _(2)^(\left(1\right)) =-1$.

Bumubuo kami ng system para sa pagkalkula ng $\left(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left( 2\ kanan))) \end(array)\right)$ para sa $k_(2) =9$:

\[\left(\begin(array)(cc) (5-k_(2) ) & (4) \\ (4) & (5-k_(2) ) \end(array)\right)\cdot \ kaliwa(\begin(array)(c) (\alpha _(1)^(\left(2\right)) ) \\ (\alpha _(2)^(\left(2\right)) ) \end (array)\kanan)=0, \]

ibig sabihin, $\left(5-9\right)\cdot \alpha _(1)^(\left(2\right)) +4\cdot \alpha _(2)^(\left(2\right)) = 0$, $4\cdot \alpha _(1)^(\kaliwa(2\kanan)) +\kaliwa(5-9\kanan)\cdot \alpha _(2)^(\kaliwa(2\kanan) ) =0$.

Ang paglalagay ng $\alpha _(1)^(\left(2\right)) =1$, makakakuha tayo ng $\alpha _(2)^(\left(2\right)) =1$.

Nakukuha namin ang SODE solution sa matrix form:

\[\left(\begin(array)(c) (y_(1) ) \\ (y_(2) ) \end(array)\right)=\left(\begin(array)(cc) (1) at (1) \\ (-1) at (1) \end(array)\kanan)\cdot \left(\begin(array)(c) (C_(1) \cdot e^(1\cdot x) ) \\ (C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end(array)\kanan).\]

Sa karaniwang anyo, ang SODE solution ay: $\left\(\begin(array)(c) (y_(1) =C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^ (9\cdot x) ) \\ (y_(2) =-C_(1) \cdot e^(1\cdot x) +C_(2) \cdot e^(9\cdot x) ) \end (array )\kanan.$.

Napagpasyahan naming italaga ang seksyong ito sa paglutas ng mga sistema ng mga differential equation ng pinakasimpleng anyo d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 , kung saan a 1 , b 1 , c Ang 1 , a 2 , b 2 , c 2 ay ilang mga tunay na numero. Ang pinaka-epektibo para sa paglutas ng mga naturang sistema ng mga equation ay ang paraan ng pagsasama. Isaalang-alang din natin ang isang halimbawang solusyon sa paksa.

Ang solusyon sa sistema ng mga differential equation ay magiging isang pares ng mga function x (t) at y (t) , na magagawang gawing pagkakakilanlan ang parehong equation ng system.

Isaalang-alang ang paraan ng pagsasama-sama ng sistema ng mga differential equation d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 . Ipinapahayag namin ang x mula sa 2nd equation ng system upang ibukod ang hindi kilalang function x (t) mula sa 1st equation:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

Ibahin natin ang 2nd equation na may kinalaman sa t at lutasin ang equation nito para sa d x d t:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

Ngayon ay palitan natin ang resulta ng mga nakaraang kalkulasyon sa 1st equation ng system:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 ⇔ d 2 y d t 2 - (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

Kaya, inalis namin ang hindi kilalang function na x (t) at nakakuha ng isang linear inhomogeneous DE ng ika-2 order na may pare-parehong coefficient. Hanapin natin ang solusyon ng equation na ito na y (t) at i-substitute ito sa 2nd equation ng system. Hanapin natin x(t). Ipinapalagay namin na nakumpleto nito ang solusyon ng sistema ng mga equation.

Halimbawa 1

Hanapin ang solusyon sa sistema ng mga differential equation d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

Solusyon

Magsimula tayo sa unang equation ng system. Lutasin natin ito nang may paggalang sa x:

x = d y d t - 2 y + 3

Ngayon gawin natin ang pagkita ng kaibhan ng 2nd equation ng system, pagkatapos ay lutasin natin ito na may paggalang sa d x d t:

Maaari nating palitan ang resultang nakuha sa panahon ng mga kalkulasyon sa 1st equation ng DE system:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Bilang resulta ng mga pagbabagong-anyo, nakakuha kami ng linear inhomogeneous differential equation ng 2nd order na may pare-parehong coefficients d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 . Kung nahanap natin ang pangkalahatang solusyon nito, makukuha natin ang function y(t).

Mahahanap natin ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang LODE y 0 sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga ugat ng katangiang equation k 2 - 3 k + 2 = 0:

D \u003d 3 2 - 4 2 \u003d 1 k 1 \u003d 3 - 1 2 \u003d 1 k 2 \u003d 3 + 1 2 \u003d 2

Ang mga ugat na aming natanggap ay wasto at naiiba. Kaugnay nito, ang pangkalahatang solusyon sa LODE ay magkakaroon ng anyo y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t .

Ngayon hanapin natin ang isang partikular na solusyon ng linear inhomogeneous DE y ~ :

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

Ang kanang bahagi ng equation ay isang polynomial ng degree zero. Nangangahulugan ito na hahanapin natin ang isang partikular na solusyon sa anyong y ~ = A , kung saan ang A ay isang hindi tiyak na koepisyent.

Matutukoy natin ang hindi tiyak na koepisyent mula sa pagkakapantay-pantay d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

Kaya, y ~ = 1 at y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . Nakakita kami ng isang hindi kilalang function.

Ngayon ay pinapalitan namin ang nahanap na function sa 2nd equation ng DE system at lutasin ang bagong equation na may kinalaman sa x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t - 1 x = - C 1 e t + 1

Kaya kinakalkula namin ang pangalawang hindi kilalang function x (t) = - C 1 · e t + 1 .

Sagot: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Maraming mga sistema ng differential equation, parehong homogenous at inhomogeneous, ay maaaring bawasan sa isang equation na may kinalaman sa isang hindi kilalang function. Ipakita natin ang pamamaraan na may mga halimbawa.

Halimbawa 3.1. Lutasin ang sistema

Solusyon. 1) Pagkakaiba-iba sa paggalang sa t unang equation at gamit ang pangalawa at pangatlong equation upang palitan at , nahanap namin

Ang resultang equation ay differentiable na may kinalaman sa muli

1) Gumagawa kami ng isang sistema

Mula sa unang dalawang equation ng system, ipinapahayag namin ang mga variable at sa pamamagitan ng
:

Palitan natin ang mga nahanap na expression para sa at sa ikatlong equation ng system

Kaya, upang mahanap ang function
nakakuha ng third-order differential equation na may pare-parehong coefficient

.

2) Isinasama namin ang huling equation sa pamamagitan ng karaniwang pamamaraan: binubuo namin ang katangiang equation
, hanapin ang mga ugat nito
at bumuo ng isang pangkalahatang solusyon sa anyo ng isang linear na kumbinasyon ng mga exponents, na isinasaalang-alang ang multiplicity ng isa sa mga ugat:.

3) Susunod upang mahanap ang dalawang natitirang mga tampok
at
, pinag-iiba namin ang dalawang beses na nakuhang function

Gamit ang mga koneksyon (3.1) sa pagitan ng mga function ng system, binabawi namin ang mga natitirang hindi alam

.

Sagot. ,
,.

Maaaring lumabas na ang lahat ng kilalang function maliban sa isa ay hindi kasama sa third-order system kahit na pagkatapos ng isang pagkakaiba. Sa kasong ito, ang pagkakasunud-sunod ng differential equation para sa paghahanap nito ay mas mababa sa bilang ng mga hindi kilalang function sa orihinal na sistema.

Halimbawa 3.2. Isama ang sistema

(3.2)

Solusyon. 1) Pagkakaiba-iba sa paggalang sa unang equation, nakita namin

Hindi kasama ang mga variable at mula sa mga equation

magkakaroon tayo ng second-order equation na may kinalaman sa

(3.3)

2) Mula sa unang equation ng system (3.2) mayroon tayo

(3.4)

Ipapalit sa ikatlong equation ng system (3.2) ang mga nahanap na expression (3.3) at (3.4) para sa at , nakakakuha tayo ng first-order differential equation para matukoy ang function

Ang pagsasama ng hindi magkakatulad na equation na ito sa pare-pareho ang first-order coefficients, nakita namin
Gamit ang (3.4), hanapin natin ang function

Sagot.
,,
.

Gawain 3.1. Lutasin ang mga homogenous na sistema sa pamamagitan ng pagbabawas sa isang differential equation.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Paglutas ng mga sistema ng linear homogeneous differential equation na may pare-parehong coefficient sa pamamagitan ng paghahanap ng pangunahing sistema ng mga solusyon

Ang pangkalahatang solusyon ng isang sistema ng linear homogeneous differential equation ay matatagpuan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga pangunahing solusyon ng system. Sa kaso ng mga system na may pare-parehong coefficient, maaaring gamitin ang mga linear algebra na pamamaraan upang makahanap ng mga pangunahing solusyon.

Halimbawa 3.3. Lutasin ang sistema

(3.5)

Solusyon. 1) Isulat muli ang system sa anyong matrix

. (3.6)

2) Maghahanap kami ng isang pangunahing solusyon ng system sa anyo ng isang vector
. Pagpapalit ng mga function
sa (3.6) at pagbabawas ng , nakukuha namin

, (3.7)

iyon ang numero dapat ay isang eigenvalue ng matrix
, at ang vector kaukulang eigenvector.

3) Mula sa kurso ng linear algebra, alam na ang sistema (3.7) ay may di-trivial na solusyon kung ang determinant nito ay katumbas ng zero

,

yan ay . Mula dito makikita natin ang mga eigenvalues
.

4) Hanapin ang kaukulang eigenvectors. Pinapalitan sa (3.7) ang unang halaga
, nakakakuha kami ng isang sistema para sa paghahanap ng unang eigenvector

Mula dito nakuha namin ang koneksyon sa pagitan ng mga hindi alam
. Ito ay sapat na para sa amin na pumili ng isang di-maliit na solusyon. Ipagpalagay
, pagkatapos
, iyon ay, ang vector ay eigenvalue para sa eigenvalue
, at ang function na vector
pangunahing solusyon ng ibinigay na sistema ng mga differential equation (3.5). Katulad nito, kapag pinapalitan ang pangalawang ugat
sa (3.7) mayroon tayong matrix equation para sa pangalawang eigenvector
. Saan natin nakukuha ang koneksyon sa pagitan ng mga bahagi nito
. Kaya, mayroon tayong pangalawang pangunahing solusyon

.

5) Ang pangkalahatang solusyon ng system (3.5) ay itinayo bilang isang linear na kumbinasyon ng dalawang nakuhang pangunahing solusyon

o sa coordinate form

.

Sagot.

.

Gawain 3.2. Lutasin ang mga sistema sa pamamagitan ng paghahanap ng pangunahing sistema ng mga solusyon.