შეიძლება მეცნიერი კატა თანასწორობა იყოს ჭეშმარიტი? მათემატიკური თავსატეხები. მათემატიკური თავსატეხები დამრიგებლის მუშაობისთვის

მეცნიერმა დაამტკიცა P და NP კლასების თანასწორობა, რომელთა ამოხსნისთვის კლეის მათემატიკურმა ინსტიტუტმა მიანიჭა პრიზი მილიონი აშშ დოლარი.

ანატოლი ვასილიევიჩ პანიუკოვმა დაახლოებით 30 წელი გაატარა ათასწლეულის ერთ-ერთი ურთულესი პრობლემის გადაწყვეტის ძიებაში. მათემატიკოსები მთელ მსოფლიოში მრავალი წლის განმავლობაში ცდილობდნენ დაამტკიცონ ან უარყონ P და NP კლასების თანასწორობის არსებობა, არსებობს დაახლოებით ასი გამოსავალი, მაგრამ არცერთი მათგანი არ არის აღიარებული. ამ პრობლემასთან დაკავშირებულ ამ თემაზე სუსუ-ს კათედრის გამგემ დაიცვა საკანდიდატო და სადოქტორო დისერტაციები, თუმცა, როგორც ეტყობა, სწორი პასუხი მხოლოდ ახლა იპოვა.

პრობლემა ტოლობის P = NP არის ეს: თუ დადებითი პასუხი კითხვაზე შეიძლება სწრაფად გადამოწმდეს (პოლინომიურ დროში), მაშინ მართალია თუ არა, რომ ამ კითხვაზე პასუხი შეიძლება სწრაფად მოიძებნოს (პოლინომიურ დროში და პოლინომიური მეხსიერების გამოყენებით. )? სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნამდვილად არ არის უფრო ადვილი პრობლემის გადაწყვეტის შემოწმება, ვიდრე მისი პოვნა?
მაგალითად, მართალია თუ არა, რომ რიცხვებს შორის (−2, −3, 15, 14, 7, −10, ...) არის ისეთი, რომ მათი ჯამი არის 0 (ქვესიმრავლეების ჯამების ამოცანა)? პასუხი არის დიახ, რადგან −2 −3 + 15 −10 = 0 ადვილად შეიძლება გადამოწმდეს რამდენიმე დამატებით (დადებითი პასუხის დასადასტურებლად საჭირო ინფორმაციას სერტიფიკატი ეწოდება). აქედან გამომდინარეობს, რომ ასეთივე ადვილია ამ ციფრების ამოღება? სერთიფიკატის შემოწმება ისეთივე მარტივია, როგორც მისი პოვნა? როგორც ჩანს, ციფრები უფრო რთულია, მაგრამ ეს არ არის დადასტურებული.
P და NP კლასებს შორის ურთიერთობა განიხილება გამოთვლითი სირთულის თეორიაში (გამოთვლითი თეორიის ფილიალი), რომელიც სწავლობს გარკვეული პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო რესურსებს. ყველაზე გავრცელებული რესურსებია დრო (რამდენი ნაბიჯის გადადგმა გჭირდებათ) და მეხსიერება (რამდენი მეხსიერება გჭირდებათ პრობლემის გადასაჭრელად).

„ჩემი მუშაობის შედეგები განვიხილეთ არაერთ რაიონთაშორის კონფერენციაზე და პროფესიონალებს შორის. შედეგები წარმოდგენილი იყო რუსეთის მეცნიერებათა აკადემიის ურალის ფილიალის მათემატიკისა და მექანიკის ინსტიტუტში და ჟურნალში "ავტომატიკა და მექანიკა", რომელიც გამოქვეყნდა რუსეთის მეცნიერებათა აკადემიის მიერ. . – რაც უფრო მეტ ხანს ვერ პოულობენ პროფესიონალები უარყოფას, მით უფრო სწორი იქნება შედეგი.

P და NP კლასების თანასწორობა მათემატიკურ სამყაროში მიჩნეულია ათასწლეულის ერთ-ერთ აქტუალურ პრობლემად. და საქმე იმაშია, რომ თუ თანასწორობა მართალია, მაშინ არსებული ოპტიმიზაციის პრობლემების უმეტესი ნაწილი შეიძლება გადაიჭრას მისაღებ დროში, მაგალითად, ბიზნესში ან წარმოებაში. დღესდღეობით, ასეთი პრობლემების ზუსტი გადაწყვეტა ეფუძნება უხეში ძალის გამოყენებას და შეიძლება ერთ წელზე მეტი დრო დასჭირდეს.

”მეცნიერთა უმეტესობა მიდრეკილია ჰიპოთეზისკენ, რომ კლასები P და NP არ ემთხვევა, მაგრამ თუ წარდგენილ მტკიცებულებებში არ არის შეცდომა, მაშინ ეს ასე არ არის”, - აღნიშნა ანატოლი პანიუკოვმა.

თუ ჩელიაბინსკის მეცნიერის მტკიცებულება სწორი აღმოჩნდება, ეს დიდ გავლენას მოახდენს მათემატიკის, ეკონომიკისა და ტექნიკური მეცნიერებების განვითარებაზე. ბიზნესში ოპტიმიზაციის პრობლემები უფრო ზუსტად მოგვარდება, შესაბამისად, მეტი მოგება და ნაკლები ხარჯი ექნება კომპანიას, რომელიც იყენებს სპეციალურ პროგრამულ უზრუნველყოფას ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად.

ჩელიაბინსკის მეცნიერის ნაშრომის აღიარების შემდეგი ნაბიჯი იქნება კლეის მათემატიკურ ინსტიტუტში დასტურის გამოქვეყნება, რომელმაც გამოაცხადა მილიონი დოლარის პრიზი ათასწლეულის თითოეული ამოცანის გადასაჭრელად.

ამჟამად შვიდი ათასწლეულის ამოცანებიდან მხოლოდ ერთი (პუანკარეს ვარაუდი) მოგვარებულია. ფილდსის მედალი მისი გადაწყვეტისთვის მიენიჭა გრიგორი პერელმანს, რომელმაც მასზე უარი თქვა.

ცნობისთვის: ანატოლი ვასილიევიჩ პანიუკოვი (დაბადებული 1951 წელს) ფიზიკა-მათემატიკის მეცნიერებათა დოქტორი, პროფესორი, გამოთვლითი მათემატიკისა და ინფორმატიკის ფაკულტეტის ეკონომიკური და მათემატიკური მეთოდებისა და სტატისტიკის კათედრის გამგე, მათემატიკური პროგრამირების ასოციაციის წევრი, სამეცნიერო მდივანი. რუსეთის ფედერაციის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტროს მათემატიკის სამეცნიერო-მეთოდური საბჭოს (ჩელიაბინსკის ფილიალი), ჩელიაბინსკის რეგიონის ფედერალური სახელმწიფო სტატისტიკის სამსახურის ტერიტორიული ორგანოს სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური საბჭოს წევრი, სადისერტაციო საბჭოების წევრი სამხრეთში. ურალის და პერმის სახელმწიფო უნივერსიტეტები. 200-ზე მეტი სამეცნიერო და საგანმანათლებლო პუბლიკაციისა და 20-ზე მეტი გამოგონების ავტორი. სამეცნიერო სემინარის ხელმძღვანელი "პრობატიული გამოთვლები ეკონომიკაში, ტექნოლოგიაში, საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში", რომლის მუშაობაც მხარდაჭერილი იყო რუსეთის საბაზისო კვლევების ფონდის, განათლების სამინისტროსა და საერთაშორისო მეცნიერებისა და ტექნოლოგიების ცენტრის გრანტებით. მან მოამზადა შვიდი კანდიდატი და ორი მეცნიერებათა დოქტორი. მას აქვს წოდებები "რუსეთის ფედერაციის უმაღლესი განათლების დამსახურებული მოღვაწე" (2007), "უმაღლესი პროფესიული განათლების დამსახურებული მოღვაწე" (2001), "სსრკ გამომგონებელი" (1979), დაჯილდოებულია სსრკ უმაღლესი სამინისტროს მედლით. განათლება (1979) და საპატიო სერთიფიკატი ჩელიაბინსკის ოლქის გუბერნატორისგან.

ათი დღის წინ ინდოელმა მათემატიკოსმა ვინაი დეოლალიკარმა გამოაქვეყნა სტატია ინტერნეტში, რომელშიც, მისი თქმით, მან დაამტკიცა მათემატიკაში ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი უტოლობა - სირთულის კლასების P და NP უტოლობა. ამ გზავნილმა დეოლალიკარის კოლეგებს შორის უპრეცედენტო რეზონანსი გამოიწვია - მეცნიერებმა მიატოვეს მთავარი სამუშაო და დაიწყეს სტატიის მასობრივად კითხვა და განხილვა. თითქმის მაშინვე, ექსპერტებმა აღმოაჩინეს ხარვეზები მტკიცებულებაში და ერთი კვირის შემდეგ მათემატიკური საზოგადოება მივიდა იმ დასკვნამდე, რომ დეოლალიკარმა ვერ გაართვა თავი დავალებას.

განაცხადი მილიონზე

P და NP კლასების უთანასწორობის პრობლემა ერთ-ერთი ყველაზე დამაინტრიგებელია მათემატიკაში, მიუხედავად იმისა, რომ სპეციალისტების უმეტესობა უკვე დარწმუნებულია, რომ ისინი არ არიან თანაბარი (ყველა მეცნიერი აღიარებს, რომ სანამ ნდობის საფუძველი არ დაფუძნდება მკაცრ მტკიცებულებაზე, ის დარჩება ინტუიციის სფეროში და არა მეცნიერებაში). ამ პრობლემის მნიშვნელობა, რომელიც კლეის მათემატიკის ინსტიტუტმა შეიტანა შვიდი ათასწლეულის გამოწვევების სიაში, უზარმაზარია და ვრცელდება არა მხოლოდ „სპეკულაციურ“ მათემატიკაზე, არამედ კომპიუტერულ მეცნიერებაზე და გამოთვლით თეორიაზე.

მოკლედ, სირთულის კლასების P და NP უთანასწორობის პრობლემა ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ”თუკი გარკვეულ კითხვაზე დადებითი პასუხის სწრაფი შემოწმება შესაძლებელია, მაშინ მართალია, რომ ამ კითხვაზე პასუხი შეიძლება სწრაფად მოიძებნოს”. პრობლემები, რომლებისთვისაც ეს პრობლემა აქტუალურია, მიეკუთვნება NP სირთულის კლასს (P სირთულის კლასის პრობლემებს შეიძლება ეწოდოს უფრო მარტივი - იმ გაგებით, რომ მათი გადაწყვეტა ნამდვილად შეიძლება მოიძებნოს გონივრულ დროში).

NP სირთულის კლასის პრობლემების ერთ-ერთი მაგალითია შიფრის გატეხვა. ამჟამად, ამ პრობლემის გადაჭრის ერთადერთი გზა არის ყველა შესაძლო კომბინაციის ცდა. ამ პროცესს შეიძლება წარმოუდგენლად დიდი დრო დასჭირდეს. მაგრამ როდესაც სწორი კოდი იქნება ნაპოვნი, თავდამსხმელი მყისიერად მიხვდება, რომ პრობლემა მოგვარებულია (ანუ, გამოსავალი შეიძლება გადამოწმებული იყოს გონივრულ დროში). იმ შემთხვევაში, თუ სირთულის კლასები P და NP ჯერ კიდევ არ არის თანაბარი (ანუ პრობლემები, რომელთა გადაწყვეტა ვერ მოიძებნება გონივრულ დროში, არ შეიძლება დაიყვანოს უფრო მარტივ პრობლემებზე, რომლებიც შეიძლება სწრაფად მოგვარდეს), მაშინ მსოფლიოში ყველა კრიმინალს ყოველთვის ექნება შიფრების გატეხვა უხეში ძალით. მაგრამ თუ მოულოდნელად აღმოჩნდება, რომ უთანასწორობა რეალურად თანასწორობაა (ანუ NP კლასის რთული ამოცანები შეიძლება შემცირდეს P კლასის უფრო მარტივ ამოცანებამდე), მაშინ გონიერი ქურდები თეორიულად შეძლებენ მოიფიქრონ უფრო მოსახერხებელი ალგორითმი, რომელიც მათ საშუალებას მისცემს. ნებისმიერი შიფრის გატეხვა უფრო სწრაფად.

დიდად გამარტივებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ P და NP სირთულის კლასების უთანასწორობის მკაცრი დადასტურება საბოლოოდ და შეუქცევად ართმევს კაცობრიობას კომპლექსური პრობლემების გადაჭრის იმედს (NP სირთულის კლასის პრობლემები) სხვაგვარად, თუ არა ყველაფრის სულელური ძიებით. გადაწყვეტის ვარიანტები.

როგორც ყოველთვის ხდება განსაკუთრებული მნიშვნელობის პრობლემებთან დაკავშირებით, რეგულარულად ხდება მცდელობები, რომ მკაცრად დაამტკიცონ, რომ P და NP კლასები თანაბარი ან არათანაბარია. როგორც წესი, ათასწლეულის გამოწვევის გადასაჭრელად განაცხადებს აკეთებენ ადამიანები, რომელთა რეპუტაცია სამეცნიერო სამყაროში, რბილად რომ ვთქვათ, საეჭვოა, ან თუნდაც მოყვარულები, რომლებსაც არ აქვთ სპეციალური განათლება, მაგრამ მოხიბლულნი არიან გამოწვევის მასშტაბით. არცერთი ჭეშმარიტად აღიარებული სპეციალისტი არ იღებს სერიოზულად ასეთ სამუშაოს, ისევე როგორც ფიზიკოსები არ იღებენ სერიოზულად პერიოდულ მცდელობებს დაამტკიცონ, რომ ფარდობითობის ზოგადი თეორია ან ნიუტონის კანონები ფუნდამენტურად არასწორია.

მაგრამ ამ შემთხვევაში, ნაშრომის ავტორი, უბრალოდ სახელწოდებით „P არ უდრის NP-ს“, იყო არა ფსევდომეცნიერი გიჟი, არამედ მომუშავე მეცნიერი და მუშაობდა ძალიან პატივცემულ ადგილას - Hewlett-Packard Research Laboratories პალოში. ალტო. უფრო მეტიც, ათასწლეულის პრობლემის ერთ-ერთმა ავტორმა P და NP უთანასწორობაზე, სტივენ კუკმა, დადებითი მიმოხილვა მისცა თავის სტატიას. სამოტივაციო წერილში, რომელიც კუკმა გაუგზავნა კოლეგებს ნაშრომთან ერთად (კუკი იყო ერთ-ერთი წამყვანი მათემატიკოსიდან, რომელსაც ინდოელმა თავისი ნამუშევარი გაუგზავნა განსახილველად), მან დაწერა, რომ დეოლალიკარის ნამუშევარი იყო „შედარებით სერიოზული მცდელობა კლასების უთანასწორობის დასამტკიცებლად. P და NP."

არ არის ცნობილი, ითამაშა თუ არა რაიმე როლი ან თავად პრობლემის მნიშვნელობა ნათელმხილველის რეკომენდაციამ სირთულის თეორიის სფეროში (ეს არის მათემატიკის ეს სფერო, რომელიც ეხება P და NP უთანასწორობას), ან თავად პრობლემის მნიშვნელობას, მაგრამ ბევრი მათემატიკოსი სხვადასხვა ქვეყნებმა გადაუხვიეს თავიანთ მთავარ საქმეს და დაიწყეს დეოლალიკარის გამოთვლების გაგება. დისკუსიაში აქტიური მონაწილეობა მიიღეს ადამიანებმაც, რომლებმაც იციან P და NP კლასების უთანასწორობის შესახებ, მაგრამ უშუალოდ არ არიან ჩართულნი ამ თემაში. მაგალითად, მათ დაბომბეს კომპიუტერის მეცნიერი სკოტ აარონსონი მასაჩუსეტსის ტექნოლოგიური ინსტიტუტიდან (MIT) დასტურის შესახებ კითხვებით.

აარონსონი შვებულებაში იმყოფებოდა იმ დროს, როდესაც დეოლალიკარის სტატია გამოჩნდა და მაშინვე ვერ გაიგო მტკიცებულება. თუმცა, მისი მნიშვნელობის ხაზგასასმელად მან თქვა, რომ ინდოელს 200 000 დოლარს მისცემს, თუ მათემატიკური საზოგადოება და კლეის ინსტიტუტი მას სწორად თვლიან. ამ ექსტრავაგანტული საქციელის გამო, ბევრმა კოლეგამ დაგმო აარონსონი და თქვა, რომ ჭეშმარიტი მეცნიერი უნდა დაეყრდნოს მხოლოდ ფაქტებს და არ შოკში ჩააგდოს საზოგადოება ლამაზი ჟესტებით.

შოლკები

Deolalikar-ის სტატიის „შეწოვის“ პირველ დღეებში ექსპერტებმა მასში რამდენიმე სერიოზული ნაკლი აღმოაჩინეს. ერთ-ერთი პირველი, ვინც საჯაროდ განაცხადა ეს იყო, უცნაურად საკმარისი (ან, პირიქით, სულაც არ არის უცნაური), ეს იყო აარონსონი. მისი ბლოგის მკითხველების კრიტიკის საპასუხოდ ნაჩქარევი დასკვნების გამოქვეყნების გამო, აარონსონმა გააზიარა რამდენიმე ტექნიკა, რომელიც გამოიყენა ინდიელის მუშაობის სწრაფად შესაფასებლად.

აარონსონს, უპირველეს ყოვლისა, არ მოეწონა ის ფაქტი, რომ დეოლალიკარმა არ წარმოადგინა თავისი ნაშრომი მათემატიკოსთა კლასიკური ლემა-თეორემა-მტკიცებულების სტრუქტურაში. მეცნიერი განმარტავს, რომ ეს ჩხუბი გამოწვეულია არა მისი თანდაყოლილი კონსერვატიზმით, არამედ იმით, რომ მუშაობის ამ სტრუქტურით უფრო ადვილია "რწყილების" დაჭერა. მეორეც, აარონსონმა აღნიშნა, რომ ნაშრომის რეზიუმე, რომელიც უნდა აეხსნას, რა არის მტკიცების არსი და როგორ მოახერხა ავტორმა იმ სირთულეების გადალახვა, რაც აქამდე ხელს უშლიდა პრობლემის გადაჭრას, დაწერილია უკიდურესად ბუნდოვნად. დაბოლოს, მთავარი პუნქტი, რამაც აარონსონი დააბნია, იყო დეოლალიკარის მტკიცებულებაში არარსებობა იმის ახსნა, თუ როგორ შეიძლებოდა მისი გამოყენება სირთულის თეორიასთან დაკავშირებული ზოგიერთი მნიშვნელოვანი კონკრეტული პრობლემის გადაჭრაში.

რამდენიმე დღის შემდეგ, ნილ იმერმანმა მასაჩუსეტსის უნივერსიტეტიდან თქვა, რომ მან აღმოაჩინა "ძალიან სერიოზული ხარვეზი" ინდიელის მუშაობაში. იმერმანის აზრები გამოქვეყნდა საქართველოს უნივერსიტეტის კომპიუტერული მეცნიერის რიჩარდ ლიპტონის ბლოგზე, სადაც მთავარი დისკუსია P და NP უთანასწორობის შესახებ გაიმართა. მეცნიერმა მიმართა იმ ფაქტს, რომ დეოლალიკარმა არასწორად განსაზღვრა პრობლემები, რომლებიც მიეკუთვნება სირთულის კლასს NP, მაგრამ არა P და, შესაბამისად, მისი ყველა სხვა არგუმენტიც არასწორია.

იმერმანის დასკვნებმა აიძულა ყველაზე ერთგული ექსპერტებიც კი შეეცვალათ ინდიელის ნამუშევრების შეფასება „შესაძლებელია, რომ კი“-დან „თითქმის აუცილებლად არა“. უფრო მეტიც, მათემატიკოსებს ეჭვიც კი ეპარებოდათ იმაში, რომ დეოლალიკარის ნაშრომს შეეძლო მიეღო მნიშვნელოვანი შეხედულებები, რაც შეიძლება სასარგებლო ყოფილიყო უთანასწორობის გაგების შემდგომ მცდელობებში. მათემატიკური საზოგადოების ვერდიქტი (ინგლისურად და მათემატიკური ტერმინების სიმრავლით) შეიძლება წაიკითხოთ.

თავად დეოლალიკარმა უპასუხა კოლეგების კრიტიკას, რომ შეეცდებოდა გაითვალისწინოს ყველა კომენტარი სტატიის საბოლოო ვერსიაში, რომელიც მომზადდება უახლოეს მომავალში (6 აგვისტოდან, როდესაც ინდოელმა გამოაქვეყნა პირველი ვერსია მისი ნამუშევარი, მან მასში ერთხელ უკვე შეიტანა ცვლილებები). თუ მათემატიკოსის დარწმუნება ჭეშმარიტი აღმოჩნდება და მტკიცების საბოლოო ვერსია მაინც იხილავს დღის სინათლეს, უნდა ვიფიქროთ, რომ ექსპერტები კიდევ ერთხელ შეისწავლიან დეოლალიკარის მიერ წარმოდგენილ არგუმენტებს. მაგრამ დღეს სამეცნიერო საზოგადოებამ უკვე გადაწყვიტა მისი შეფასება.

ახალი ეტაპი?

თუნდაც ათასწლეულის გამოწვევების მნიშვნელობას უგულებელვყოთ, ამ ამბავს კიდევ ერთი საინტერესო მხარე აქვს. დეოლალიკარის შემოქმედების განხილვის კოლოსალური ფარგლები თავისთავად აბსოლუტურად საოცარი მოვლენაა. ასობით მათემატიკოსმა და კომპიუტერულმა მეცნიერმა მიატოვეს ყველაფერი, რასაც აკეთებდნენ და კონცენტრირდნენ 100-ზე მეტი გვერდის შესწავლაზე ( ასე!) ინდური შრომა. თუ ვიმსჯელებთ იმ სიჩქარით, რომლითაც მეცნიერებმა აღმოაჩინეს შეცდომები, მათ უნდა დახარჯულიყვნენ თავიანთი თავისუფალი და შესაძლოა სამუშაო დროის მრავალი საათი გულმოდგინედ წაიკითხონ სტატია „P არ უდრის NP-ს“. ვიკიპედიის მსგავს ერთ-ერთ საიტზე სასწრაფოდ შეიქმნა გვერდი, სადაც ყველას შეეძლო თავისი აზრის გამოხატვა მოწოდებულ მტკიცებულებებზე.

მთელი ეს გამაოგნებელი აქტივობა გვაფიქრებინებს, რომ დეოლალიკარის შემოქმედებით ჩვენ მოწმენი ვართ სამეცნიერო ნაშრომების წერის ახალი ხერხის დაბადებიდან. საჯარო პუბლიკაციამდე წინასწარი ბეჭდვის ხელმისაწვდომობა ზუსტ და საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში დიდი ხანია პრაქტიკულია, მაგრამ ამ შემთხვევაში ახალი შედეგი - თუმცა უარყოფითი - იყო ათობით სპეციალისტის მიერ ჩატარებული აზრობრივი სესიის შედეგი. მსოფლიო.

რა თქმა უნდა, მეცნიერული მონაცემების მოპოვების ეს მეთოდი ჯერ კიდევ ბევრ კითხვას ბადებს (ყველაზე აშკარაა შედეგების ავტორიტეტისა და აღმოჩენების პრიორიტეტის საკითხი), მაგრამ, საბოლოოდ, ახალი წამოწყებების უმეტესობას თავდაპირველად შეექმნა ეჭვები და წინააღმდეგობა. ასეთი წამოწყებების გადარჩენა განისაზღვრება არა საზოგადოების დამოკიდებულებით, არამედ იმით, თუ რამდენად მოთხოვნადია ისინი. და თუ ტვინის შტორმი და შედეგების მიღება უფრო ეფექტურია, ვიდრე სამეცნიერო მუშაობის ტრადიციული მეთოდები, მაშინ შეიძლება მომავალში ასეთი პრაქტიკა საყოველთაოდ მიღებული გახდეს.

მე-6 კლასის კლუბი

ხელმძღვანელი ევგენი ალექსანდროვიჩ ასტაშოვი
2012/2013 სასწავლო წელი

გაკვეთილი 1. ერთმანეთის გაცნობის პრობლემები

მასწავლებლებმა შეაგროვეს წერილობითი სამუშაოები და ითვლიან მათ შემოწმებამდე. ირინა სერგეევნამ ისინი ასი ნამუშევრის დასტაში დააწყო. დანიილ ალექსეევიჩს შეუძლია დათვალოს ხუთი ნამუშევარი ორ წამში. რა უმოკლეს დროში შეუძლია მას 75 ქაღალდის დათვლა შესამოწმებლად? ა) შესთავაზეთ სამი წონის ნაკრები, რომელთაგან თითოეული იწონის გრამების მთელ რიცხვს, რათა მათი დახმარებით ჭიქის სასწორზე გაყოფის გარეშე აწონოთ ნებისმიერი მთელი წონა 1-დან 7 გრამამდე. ბ) იქნება თუ არა საკმარისი ამ მიზნისთვის ორი წონის კომპლექტი (აუცილებლად არა მთელი მასებით)?

გამოსავალი.მხოლოდ მათემატიკით დაინტერესებულები ოთხჯერ უფრო მეტად დაინტერესდებიან ორივე საგნით; მხოლოდ ბიოლოგიით დაინტერესებულები სამჯერ უფრო მეტად დაინტერესდებიან ორივე საგნით. ეს ნიშნავს, რომ ორიდან ერთი საგნით მაინც დაინტერესებულთა რაოდენობა უნდა გაიყოს 8-ზე (ყველა მათგანი ერთად 8-ჯერ მეტია, ვიდრე ორივე საგნით დაინტერესებული). 8 და 16 საკმარისი არ არის, რადგან 16 + 2 = 18< 20 (не забудем посчитать Олега и Пашу); 32, 40 и т.д. — много; 24 подходит. Итак, в классе 24 человека, которые интересуются математикой или биологией (а может быть, и тем, и другим), а ещё есть Олег и Паша. Таким обраом, всего в классе 24 + 2 = 26 человек.

გველის 9 დარტყმით ყველა თავისა და კუდის მოჭრის მეთოდი მოცემულია პასუხში. ახლა ჩვენ დავამტკიცებთ, რომ ეს არ შეიძლება გაკეთდეს ნაკლები დარტყმით.

ივან ცარევიჩს შეუძლია გამოიყენოს სამი სახის შეტევა:
ა) ორი კუდი მოწყვიტე, ერთი თავი გაიზრდება;
ბ) მოჭრილი ორი თავი;
გ) ერთი კუდი მოწყვიტე, ორი კუდი გაიზრდება (ფაქტობრივად, მხოლოდ ერთი კუდი დაუმატე).
ერთი თავის ამოჭრა აზრი არ აქვს, ამიტომ ასეთ დარტყმებს არ გამოვიყენებთ.

1. A ტიპის დარტყმების რაოდენობა უნდა იყოს კენტი. ფაქტობრივად, მხოლოდ ასეთი დარტყმებით იცვლება გოლების რაოდენობის პარიტეტი. და გოლების რაოდენობის პარიტეტი უნდა შეიცვალოს: თავიდან 3 იყო, ბოლოს კი 0. თუ ასეთი დარტყმების ლუწი რაოდენობა გაკეთდება, გოლების რაოდენობა დარჩება კენტი (და შესაბამისად არ იქნება. იყოს ნულის ტოლი).
2. ვინაიდან მხოლოდ A ტიპის დარტყმას შეუძლია კუდების რაოდენობის შემცირება, ერთი ასეთი დარტყმა არ იქნება საკმარისი. აქედან გამომდინარე, უნდა იყოს მინიმუმ ორი ასეთი დარტყმა და წინა პუნქტის გათვალისწინებით, მინიმუმ სამი.
3. A ტიპის სამი დარტყმის შემდეგ სამი ახალი თავი გაიზრდება და სულ 6 თავის მოჭრაა საჭირო. ამას დასჭირდება მინიმუმ 3 ტიპის B დარტყმა.
4. A ტიპის დარტყმით ორი კუდის 3-ჯერ მოსაჭრელად, თქვენ უნდა გქონდეთ 6 კუდი. ამისათვის თქვენ უნდა "გაიზარდოთ" სამი დამატებითი კუდი C ტიპის 3 დარტყმით.
ასე რომ, თქვენ უნდა გააკეთოთ მინიმუმ სამი დარტყმა თითოეული მითითებული ტიპისგან; ჯამში - მინიმუმ 9 დარტყმა.

ჩვენს სკოლებში ყველა მოსწავლე სწავლობს მათემატიკას. მათ უმეტესობას ეს თემა უჭირს, რაც მართალია. მასწავლებლები და მშობლები ბევრს აკეთებენ იმისთვის, რომ მოსწავლეებმა სწავლის სირთულეების დაძლევისას არ დანებდნენ და არ იყვნენ პასიურები კლასში... მაგრამ ამ პროცესში წარმოქმნილი პრობლემები არ შემცირდეს. ამიტომ აუცილებელია მათემატიკისადმი ინტერესის განვითარება, მოსწავლის უმცირესი მიდრეკილებების გამოყენებითაც კი. ამ მიზნით შევარჩიეთ კონკურსები, რომლებიც უფრო მეტად შეიძლება გამოვიყენოთ მათემატიკაში კლასგარეშე სამუშაოებში (მათემატიკის კვირები, KVN, საღამოები და ა.შ.), მაგრამ შემოქმედებითად მომუშავე მასწავლებლები ზოგიერთ მათგანს ადგილს პოულობენ კლასში. .

< Рисунок 1> .

I. AUNCION

ა) ანდაზებისა და გამონათქვამების აუქციონი რიცხვებით.

წილისყრით დგინდება პირველი გუნდი, რომელიც დაასახელებს ანდაზას მას შემდეგ, რაც ლიდერი ურტყამს ჩაქუჩს, მეორე გუნდის წევრი ასახელებს ანდაზას და ა.შ. იმარჯვებს ვინც ბოლოს დაასახელებს ანდაზას.

გაითვალისწინეთ, რომ შეგიძლიათ შემოიფარგლოთ კონკრეტული ნომრით. დაასახელეთ ანდაზები და გამონათქვამები, სადაც სიტყვა შვიდი ჩნდება. მაგალითად: „შვიდჯერ გაზომე, ერთხელ გაჭრა“, „შვიდი არ დაელოდო ერთს“, „შვიდი ძიძას ჰყავს შვილი თვალის გარეშე“, „ერთი ფრალით, შვიდი კოვზით“, „შვიდი უბედურება - ერთი პასუხი. ”, ”შვიდი საკეტის მიღმა” , ”კვირაში შვიდი პარასკევი” და ა.შ.

ბ) ფილმების აუქციონი სათაურში ნომრით.

გ) სიმღერების აუქციონი, რომლებსაც აქვთ ნომერი.

საკმარისია ამ ნომრით სტრიქონის დასახელება ან მისი სიმღერა.

დ) აუქციონის შარადები.

Charade განსაკუთრებული გამოცანაა. მასში სიტყვა უნდა გამოიცნო, მაგრამ ნაწილებად. შეგიძლიათ მონაცვლეობით შეცვალოთ შარადები, რომლებსაც აქვთ მათემატიკური ელემენტი და მათ, რომლებსაც არ აქვთ.

პირველი არის მრგვალი ობიექტი,
მეორე არის ის, რაც არ არსებობს ამ სამყაროში,
მაგრამ რა აშინებს ხალხს?
მესამე - გაერთიანება. (პასუხი: შარადი).

ცხოველის სახელზე
დააყენეთ ერთ-ერთი ზომა.
თქვენ მიიღებთ სრულ
მდინარე ყოფილ სსრკ-ში. (პასუხი: ვოლგა).

ნოტებს შორის იპოვით პირველ მარცვალს,
და ხარი ატარებს მეორეს.
ასე რომ, მოძებნეთ იგი გზაზე,
გსურთ იპოვოთ მთელი რამ? (პასუხი: გზა).

თქვენ მოულოდნელად ჩასვით შენიშვნა ღონისძიების უკან

და თქვენ ნახავთ ყველაფერს თქვენს მეგობრებს შორის. (პასუხი: გალია).

ე) აუქციონი მოცემულ თემაზე. ნებისმიერ თემაზე დავალებები, რომლებიც წინასწარ ეცნობება სტუდენტებს, გადის აუქციონზე. მოდით, მაგალითად, თემა იყოს "მოქმედებები ალგებრული წილადებით".

შეჯიბრში 4-5 გუნდი მონაწილეობს. ლოტი No1 დაპროექტებულია ეკრანზე - ხუთი დავალება წილადების შემცირებისთვის. პირველი გუნდი ირჩევს დავალებას და ანიჭებს ფასს 1-დან 5 ქულამდე. თუ ამ გუნდის ფასი უფრო მაღალია, ვიდრე სხვები აძლევენ, ის იღებს ამ დავალებას და ასრულებს მას, დარჩენილი დავალებები სხვა გუნდებმა უნდა იყიდონ. თუ დავალება მოგვარებულია სწორად, გუნდს ენიჭება ქულები - ამ ამოცანის ფასი არასწორია, მაშინ ეს ქულები (ან მათი ნაწილი) ამოღებულია. ყურადღება მიაქციეთ ამ კონკურსის ერთ-ერთ უპირატესობას: მაგალითის არჩევისას მოსწავლეები ადარებენ ხუთივე მაგალითს და გონებრივად „გაავლებენ“ თავში მათი ამოხსნის პროცესს.

II. სიტყვების ჯაჭვი

წამყვანი ამბობს ერთ სიტყვას. პირველი კაპიტანი (თუ ეს მოხდება KVN-ში) იმეორებს ამ სიტყვას და ამატებს საკუთარს. მეორე კაპიტანი იმეორებს პირველ ორ სიტყვას და ამატებს საკუთარს და ა.შ. ერთ-ერთი მსაჯი უყურებს თამაშს და თანმიმდევრობით წერს სიტყვებს. იმარჯვებს ის, ვისაც შეუძლია დაასახელოს ყველაზე მეტი სიტყვა სრული წინადადების შესაქმნელად.

ა). სამკუთხედები ტოლგვერდაა, თუ ყველა კუთხე ტოლია ან ყველა გვერდი ტოლია.

ბ). თუმცა, არის ტოლფერდა, რაც ნიშნავს, რომ ფუძის კუთხეები მაშინ ორმოცდახუთი გრადუსია.

III. თითოეულ ხელს აქვს თავისი საქმე

მოთამაშეებს ეძლევათ ფურცელი და ფანქარი თითოეულ ხელში. დავალება: მარცხენა ხელით დახაზეთ 3 სამკუთხედი და მარჯვენა ხელით 3 წრე; ან მარცხენა წერს ლუწ რიცხვებს (0, 2, 4, 6, 8), მარჯვენა წერს კენტ რიცხვებს (1, 3, 5, 7, 9).

IV. ნაბიჯი - იფიქრე

ამ კონკურსის მონაწილეები წამყვანის გვერდით დგანან. ყველა დგამს პირველ ნაბიჯებს, რა დროსაც ლიდერი ასახელებს რიცხვს, მაგალითად 7-ს. შემდეგი ნაბიჯების დროს ბიჭებმა უნდა დაასახელონ რიცხვები, რომლებიც მრავლდება 7-ზე: 14, 21, 28 და ა.შ. თითოეული ნაბიჯისთვის - ნომერი. ლიდერი ინარჩუნებს მათ ტემპს, არ აძლევს მათ შენელების საშუალებას. როდესაც ვინმე შეცდომას უშვებს, ის რჩება ადგილზე სხვის მოძრაობის დასრულებამდე. სხვა თემები: გამრავლების ცხრილის მიმოხილვა; რიცხვების ამაღლება ძალაუფლებამდე; კვადრატული ფესვის მოპოვება; რიცხვის ნაწილის პოვნა.

V. შენ – ჩემთვის, მე – შენთვის

< Рисунок 2>

კონკურსის არსი სახელიდან ირკვევა. აქ მოცემულია პრობლემების მაგალითი, რომლებიც კაპიტანებმა გაცვალეს KVN-ში.

1. მგელმა ამოხსნა მაგალითი: 4872? 895 = 4360340 და დაიწყო შემოწმება გაყოფით. კურდღელმა შეხედა ამ თანასწორობას და თქვა: „ნუ ასრულებ დამატებით საქმეს! და აშკარაა, რომ შეცდი. ” მგელს გაუკვირდა: "როგორ ხედავ ამას?" რა უპასუხა კურდღელმა?

(პასუხი: ერთ-ერთი ფაქტორი სამის ნამრავლია, მაგრამ პროდუქტი არა).

2. სექტემბერში პეტია და სტიოპა წავიდნენ მუსიკის გაკვეთილებზე: პეტია - 4-ზე გაყოფილ რიცხვებში და სტიოპა - 5-ზე გაყოფილ რიცხვებში. ორივე წავიდა სპორტულ განყოფილებაში 7-ზე გაყოფით. დანარჩენ დღეებს თევზაობა ატარებდა. . რამდენი დღე გაატარეს ბიჭებმა თევზაობაში?

(პასუხი: 15).

3. "რომელი საათია?" - ეკითხება მგელი კურდღელს. ”მოცემული დრო არის 5-ის ნამრავლი, ხოლო დღის დრო საათებში არის მოცემულის ჯერადი”, - უპასუხა კურდღელმა. "ეს არ შეიძლება მოხდეს!" - აღშფოთდა მგელი. Და რას ფიქრობ შენ?

(პასუხი: 15).

4. ვოვა ამტკიცებდა, რომ წელს იქნება თვე ხუთი კვირა და ხუთი ოთხშაბათი. მართალია ის?

გამოსავალი. განვიხილოთ ყველაზე ხელსაყრელი შემთხვევა, როდესაც თვეში 31 დღეა.

31 = 4 * 7 + 3 და მათ შორის სამიკვირის ზედიზედ დღეები არ შეიძლება იყოს კვირა და ოთხშაბათი, მაგრამ მხოლოდ ერთი ამ დღეებიდან, მაშინ ამ თვეში შეიძლება იყოს 5 კვირა და 4 ოთხშაბათი, ან 4 კვირა და 5 ოთხშაბათი. ამიტომ ვოვა ცდება.

5. სამი ყუთი შეიცავს მარცვლეულს, ვერმიშელს და შაქარს. ერთ მათგანზე წერია „მარცვლები“, მეორეზე – „ვერმიშელი“, მესამეზე – „მარცვალი ან შაქარი“. რომელი უჯრა შეიცავს რას, თუ თითოეული ყუთის შიგთავსი არ ემთხვევა ეტიკეტს?

(პასუხი. უჯრაში წარწერით „მარცვლეული ან შაქარი“ არის ვერმიშელი, წარწერით „ვერმიშელი“ - მარცვლეული, წარწერით „მარცვლები“ ​​- შაქარი).

6. სურათზე ნაჩვენებია სახლები, რომლებშიც ცხოვრობენ იგორი, პავლიკი, ანდრეი და გლები. იგორის სახლი და პავლიკის სახლი ერთი ფერისაა, პავლიკის სახლი და ანდრეის სახლი ერთი სიმაღლისაა. ვინ რომელ სახლშია< Рисунок 3>

VI. რბოლა ლიდერისთვის

< Рисунок 4>

იმისათვის, რომ ბიჭებმა დატოვონ ღონისძიება დამარცხებით არ განაწყენდნენ, შეგიძლიათ ჩაატაროთ ეს შეჯიბრი და სცადოთ გათამაშება. არსებული სიტუაციიდან გამომდინარე, ამ დროისთვის, ქვემოთ შემოთავაზებულ ამოცანებზე პასუხის გაცემა შესაძლებელია გუნდის წევრებმა ან მათმა გულშემატკივრებმა.

რა აკრობატის ფიგურაა!
თუ ის დაგიდგება თავზე,
ზუსტად სამით ნაკლები იქნება. (პასუხი: ნომერი 9).

10-ზე ნაკლები რიცხვი ვარ.
შენთვის ადვილია ჩემი პოვნა
მაგრამ თუ თქვენ ბრძანებთ ასო "მე"
დადექი გვერდით, - მე ყველაფერი ვარ!
მამა და ბაბუა, შენ და დედა. (პასუხი: ოჯახი).

მე არითმეტიკული ნიშანი ვარ
პრობლემურ წიგნში თქვენ მიპოვით ბევრ სტრიქონში,
მხოლოდ "o" ჩასვით, იცოდეთ როგორ,
და მე ვარ გეოგრაფიული წერტილი. (პასუხი: პლუს-პოლუსი.)

ზერომ ზურგი აქცია ძმას,
ნელა ავიდა.
ძმები გახდნენ ახალი ნომერი,
ჩვენ ვერ ვპოულობთ მის დასასრულს.
შეგიძლიათ შემობრუნდეთ
თავი ქვევით დადეთ.
რიცხვი ისევ იგივე იქნება
აბა, დაფიქრდი?
ასე თქვი! (პასუხი: ნომერი 8).

მან ათეულები ასეულებად აქცია,
ან შეიძლება გადაიქცეს მილიონებად.
ის თანაბარია რიცხვებს შორის,
მაგრამ მისი გაყოფა შეუძლებელია. (პასუხი: ნომერი 0).

გაითვალისწინეთ, რომ დავალებები მოცემულია არა პრობლემების სახით, როგორც კონკურსში „შენ ჩემთვის ხარ, მე კი შენთვის“, არამედ პოეზიაში მიზეზის გამო. ამ შეჯიბრებამდე ბიჭებმა უკვე ბევრი იშრომეს. ჩვენ უნდა ვეცადოთ შევცვალოთ ვნებების სიმძაფრე, დავიპყროთ უმრავლესობის ყურადღება, რომელიც შესაძლოა უკვე გაფანტული იყოს. და ლექსი, რომელიც ჩანს, მაგალითად, პორტატულ დაფაზე, წინასწარ მომზადებული, ამაში დაგეხმარებათ. თუ იქ დასმულ კითხვაზე არის სწორი პასუხი (ამოცანა 5), წამყვანები წარმოადგენენ ამ პასუხს ფერადი ნახატით, დაახლოებით ასეთი:

< Рисунок 5>

კიდევ ერთი შესაძლო მიდგომაა გუნდური შემსრულებლების გამოყენება. მოდელზე დაყრდნობით, ისინი სწრაფად გააკეთებენ ნახატებს დაფაზე. თქვენ შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ ისინი სხვადასხვა წყაროდან. მაგალითად, იხილეთ მითითებების სია.

VII. ბნელი ცხენი

< Рисунок 6>

ამ კონკურსისთვის შევარჩიეთ დავალებები, რომლებშიც საჭირო იყო გაერკვია შესაძლებელი იყო თუ არა დასმულ კითხვაზე პასუხი.

1. გაამრავლეთ 9>5 უტოლობის ორივე მხარე 4-ზე. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უტოლობა 9a 4 >5a 4 არის ჭეშმარიტი?

(პასუხი: არა. a=0-სთვის ვიღებთ 9a 4 =5a 4-ს, ვინაიდან 0=0).

2. შეიძლება თუ არა თანასწორობა იყოს ჭეშმარიტი?

(პასუხი: კი, შეუძლია. მაგალითად, როცა x=y=1).

3. შესაძლებელია თუ არა სამკუთხედის გაჭრა სამი ოთხკუთხედის გასაკეთებლად? (პასუხი: დიახ).

Მაგალითად:

< Рисунок 7>

4. 2 სწორი ხაზის გაყვანის შემდეგ შესაძლებელია თუ არა სამკუთხედის დაყოფა ა) ორ სამკუთხედად და ერთ ოთხკუთხედად, ბ) ორ სამკუთხედად, ორ ოთხკუთხედად და ერთ ხუთკუთხედად.

ა)< рисунок 8>

ბ)< рисунок 9>

VIII. პორტრეტების კონკურსი

გუნდს ნაჩვენებია მათემატიკოსის პორტრეტი. თქვენ უნდა თქვათ მისი გვარი. თქვენ შეგიძლიათ გაართულოთ კონკურსი თქვენი საქმიანობის სფეროს დასახელების თხოვნით.

IX. ერუდირებული კონკურსი

ა) ერთი გუნდის ერუდიტი მონაწილე ასახელებს მათემატიკოსის გვარს, ხოლო მეორე ასახელებს მათემატიკოსს, რომლის გვარი იწყება პირველი მეცნიერის ბოლო ასოთი და ა.შ.

ან მეორე გუნდის ერუდიტი ასახელებს მათემატიკოსის გვარს, დაწყებული პირველი მეცნიერის გვარის რომელიმე ასოთი და ა.შ.

ბ) ერუდიტულ კონკურსში მონაწილეობს თითო ორი მოსწავლე: A და B.

კითხვები ერუდიტის წოდებისთვის ბრძოლაში თითოეულ მონაწილეს სვამს.

A. 5 2 =?; 7 2 =?, და რა არის კუთხე კვადრატში? (პასუხი: 25; 49; 90 0).

ბ ბაღის საწოლში შვიდი ბეღურა იჯდა. მათთან კატა მიიწია და ერთ-ერთს აიტაცა. რამდენი ბეღურა დარჩა ბაღში? (პასუხი: ერთი).

ა. რას ნიშნავდა სიტყვა „მათემატიკა“ თავდაპირველად? (პასუხი: ცოდნა, მეცნიერება).

ბ. რა სიტყვიდან მოდის სახელი ნული? (პასუხი: ლათინური სიტყვიდან "nulla" - ცარიელი).

ა. გამოთვალეთ:(-2)? (-1)…3=? (პასუხი: 0.)

B. გამოთვალეთ: (-3)+(-2)+…+3+4=? (პასუხი: 4.)

ა; ბ. სათითაოდ დაასახელეთ სიგრძის უძველესი რუსული ზომები. (პასუხი: გააზრება, დიაპაზონი, მეოთხედი...)

X. ისტორიის კონკურსი

თქვენ უნდა მოგიყვეთ საინტერესო ამბავი ცნობილი მათემატიკოსის ცხოვრებიდან, ან ხაზგასმით აღვნიშნოთ ფაქტის არსი, რომელიც ნათლად არის წარმოდგენილი სკეტის სახით. მაგალითი: მოხუცი კაცი მოხრილი იყო ნახატზე, მის უკან კი მეომარი ხანჯლით იყო.

ლეგენდა. მხოლოდ ღალატის გამო აიღეს სირაკუზა რომაელებმა. „იმ დროს არქიმედესმა გულდასმით შეისწავლა ზოგიერთი ნახატი და ვერ შეამჩნია არც რომაელთა შემოსევა და არც ქალაქის აღება. როდესაც მოულოდნელად მის წინ მეომარი დადგა და გამოაცხადა, რომ მარცელიუსი მას ურეკავდა, არქიმედესმა უარი თქვა მის გაყოლაზე, სანამ არ დაასრულებდა დავალებას და არ იპოვნიდა მტკიცებულებას. მეომარი გაბრაზდა, ამოიღო ხმალი და მოკლა არქიმედეს“.

არქიმედე დაიბადა 287 წელს ძვ.წ. ქალაქ სირაკუზაში, კუნძულ სიცილიაზე, დღევანდელი იტალიის ნაწილი. არქიმედესმა მათემატიკით, ასტრონომიითა და მექანიკით დაინტერესება ადრეულ ასაკში დაიწყო. არქიმედეს იდეები თავის დროზე თითქმის 2 ათასწლეულით უსწრებდა. არქიმედე გარდაიცვალა სირაკუზის აღებისას ძვ.წ. 212 წელს.

XI. KNOW-ALL კონკურსი

კონკურსის მონაწილეები პასუხობენ შემდეგ კითხვებს:

ა) მათემატიკოსების შესახებ;

ბ) ტერმინების შესახებ;

გ) ფორმულების შესახებ;

დ) კროსვორდების და თავსატეხების ამოხსნა.

რებუსის მაგალითი:

< Рисунок 10>

(პასუხი: წილადი).

სტუდენტების მოსამზადებლად და მეცნიერთა, ისტორიკოსებისა და მცოდნეებისთვის კონკურსების ჩასატარებლად სასარგებლოა ბავშვებისთვის ენციკლოპედიის მიღება. ის უპასუხებს თქვენს ყველა კითხვას. ორასამდე მათემატიკოსს ნახავთ განყოფილებაში „სახელების ინდექსი“, სადაც არის ბმულები ამ წიგნის გვერდებზე: რა მნიშვნელოვანი საქმეები გააკეთეს მათ.

ლიტერატურა

1. ალექსანდროვა ე.ბ. კარლიკანიასა და ალ-ჯებრას გარშემო მოგზაურობა / E.B. ალესანდროვა, ვ.ა. ლევშინი. – მ.: საბავშვო ლიტერატურა, 1967. – 256გვ.
2. გრიცაენკო, ნ.პ. აბა, გადაწყვიტე!: წიგნი. სტუდენტებისთვის / ნ.პ. გრიცაენკო. – M: განათლება, 1998. – 192გვ.
3. ლანინა ი.ია. არა მხოლოდ გაკვეთილი: ინტერესის განვითარება ფიზიკის მიმართ. - მ.: განათლება, 1991.-223გვ.
4. მირაკოვა ტ.ნ. განმავითარებელი ამოცანები მათემატიკის გაკვეთილებზე V-VIII კლასებში: სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის.
5. პეტროვსკაია ნ.ა. მხიარულთა და საზრიანთა საღამო მეოთხე კლასში / „მათემატიკა სკოლაში“ - 1988 წ. - No 3. - გვ. 56.
6. Samoilik G. საგანმანათლებლო თამაშები.-2002.-No24.
7. ენციკლოპედია ბავშვებისთვის. T.11. მათემატიკა / ჩ. რედ. მ.დ. აქსენოვა. – M.: Avanta +, 2002. – 688გვ.

ამ გვერდზე ვდებ თავსატეხებს, რომლებიც განკუთვნილია ოლიმპიადის გაკვეთილებისთვის 5-6 კლასებში. თუ თქვენმა მათემატიკის დამრიგებელმა მოგცათ ორიგინალური თავსატეხი და არ იცით როგორ ამოხსნათ ის, გამომიგზავნეთ ელექტრონული ფოსტით ან დატოვეთ შესაბამისი ჩანაწერი გამოხმაურების ველში. ეს შეიძლება გამოადგეს მათემატიკის სხვა დამრიგებლებს, ასევე კლუბებისა და არჩევითი საგნების მასწავლებლებს. მე ვათვალიერებ ოლიმპიადის პრობლემებს სხვადასხვა საიტებზე, ვახარისხებ მათ კლასებად და სირთულის დონეებად საიტზე განთავსებისთვის. ეს გვერდი შეიცავს გასართობი თავსატეხების კოლექციას, რომლებიც შეგროვდა სწავლების წლების განმავლობაში. გვერდი თანდათან ივსება. დავალებების ფორმულირება სტანდარტულია. ერთი და იგივე ასოები წარმოადგენს ერთსა და იმავე რიცხვებს, ხოლო სხვადასხვა ასოები სხვადასხვა რიცხვებს. თქვენ უნდა აღადგინოთ ჩანაწერები ამ ბრძანების შესაბამისად. მე-4 კლასში კურჩატოვის სკოლაში მომზადებისას თავსატეხებს ვიყენებ, ასევე მათემატიკისადმი სიყვარულის გასაღვიძებლად.

მათემატიკური თავსატეხები დამრიგებლის მუშაობისთვის

1)რიცხვების გამრავლების თავსატეხი A, B და C ასოების განმეორებითგამრავლების მაგალითში იდენტური ასოები უნდა შეიცვალოს იდენტური რიცხვებით.

2) რებუს მათემატიკაშეცვალეთ იგივე ასოები სიტყვაში „მათემატიკა“ იგივე რიცხვებით ისე, რომ მიღებული ხუთივე მოქმედებას ჰქონდეს თანაბარი პასუხი.

3) რებუს ჩაი-აი. მიუთითეთ რებუსის რაიმე გამოსავალი (ტრადიციის მიხედვით, იდენტური ასოები მალავს იდენტურ რიცხვებს, ხოლო სხვადასხვაები - სხვადასხვას).

4) მათემატიკური თავსატეხი "მეცნიერი კატა". შეიძლება თუ არა მითითებული ტოლობა გახდეს ჭეშმარიტი, თუ მისი ასოების ნაცვლად დავსვამთ რიცხვებს 0-დან 9-მდე? განსხვავებული განსხვავებული, იგივე ერთი და იგივე.

მათემატიკის დამრიგებლის შენიშვნა: ასო O არ უნდა შეესაბამებოდეს O რიცხვს.

5) მე-4 კლასის მათემატიკაში ბოლო ინტერნეტ ოლიმპიადაზე ჩემს მოსწავლეს საინტერესო რებუსი შესთავაზეს.