ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്കെച്ച്. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്കെച്ച് (ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ-ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച്). വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

1. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളുടെ സ്കെച്ചുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രം

2. ഉദാഹരണം നമ്പർ 1 ൻ്റെ പരിഹാരം

3. ഉദാഹരണം നമ്പർ 2-ൻ്റെ പരിഹാരം

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു


പ്ലോട്ടിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ. . . . . . . . . . . .
1. ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള പ്ലാൻ. .
2. പ്രവർത്തന ഗവേഷണത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും ഘട്ടങ്ങളും. . . .
1. D f ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നും സെറ്റും
E f ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ. പ്രത്യേക പ്രോപ്പർട്ടികൾ
പ്രവർത്തനങ്ങൾ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ പഠനം. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ. . . . . . . . . . . . . . .
2.2 ചരിഞ്ഞ (തിരശ്ചീനമായ) അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ. . . . . . .
2.3 ലംബമല്ലാത്ത അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ. .
2.4 ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം
അതിൻ്റെ ലക്ഷണങ്ങളും. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുന്നു. . . . . . . . . .
4. ഫംഗ്ഷനുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്ന വിഭാഗങ്ങൾ
കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകൾ. . . . . . . . . . . . . . .
5. കോൺവെക്സ് ഫംഗ്ഷൻ മുകളിലേക്കും താഴേക്കും
ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ, അനലിറ്റിക്കൽ
ആരുടെ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. . . . . . . . . . . . .
4. ഗവേഷണ ഫലങ്ങൾക്കുള്ള അടിസ്ഥാന ആവശ്യകതകൾ
ഗൂഢാലോചനയും. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. പ്രവർത്തന ഗവേഷണത്തിൻ്റെയും നിർമ്മാണത്തിൻ്റെയും ഉദാഹരണങ്ങൾ
ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ഉദാഹരണം 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ഉദാഹരണം 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ഉദാഹരണം 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ഉദാഹരണം 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ഉദാഹരണം 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ഉദാഹരണം 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
വക്രങ്ങൾ വരയ്ക്കുന്നു. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. വളവുകളുടെ ഗവേഷണത്തിനും നിർമ്മാണത്തിനുമുള്ള പദ്ധതി. . . . . . . . . .

2. കർവ് ഗവേഷണത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും ഘട്ടങ്ങളും. . . . .
	x x t, y y t എന്നീ പ്രവർത്തനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം. . . . . . .
	ഗവേഷണ ഫലങ്ങളുടെ ഉപയോഗം x x t. .
2.1 വക്രതയുടെ ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ. . . . . . . . . . .
2.2 ഒരു വളവിൻ്റെ ചരിഞ്ഞ (തിരശ്ചീനമായ) ലക്ഷണങ്ങൾ. .
	ഫലങ്ങളുടെ വിശകലനവും ഒരു സ്കെച്ചിൻ്റെ നിർമ്മാണവും
ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിക്സ്. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. വക്രം കൂടുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്ന വിഭാഗങ്ങൾ
പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകൾ
x x y, y y x, കർവിൻ്റെ കസ്‌പ് പോയിൻ്റുകൾ. . . . . . .
	കോൺവെക്സ് ഫംഗ്ഷൻ മുകളിലേക്കും താഴേക്കും. ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ. .
3. പാരാമെട്രിക്കലി നിർദ്ദിഷ്ട വളവുകളുടെ നിർമ്മാണം. . . . . .
ഉദാഹരണം 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ഉദാഹരണം 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ഉദാഹരണം 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ. . . . . .
ഉത്തരങ്ങൾ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ഗ്രാഫിംഗ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ

1. ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള പ്ലാൻ

1. ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തുക. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒന്നിലധികം മൂല്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പ്രത്യേക സവിശേഷതകൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക: ഇരട്ട, ഒറ്റത്തവണ; ആനുകാലികത, സമമിതി ഗുണങ്ങൾ.

2. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക: ലംബവും ചരിഞ്ഞതും. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനവും അതിൻ്റെ ചെരിഞ്ഞ (തിരശ്ചീന) അസിംപ്റ്റോട്ടുകളും വിശകലനം ചെയ്യുക.

3. ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്കെച്ച് വരയ്ക്കുക.

4. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏകതാനതയുടെ മേഖലകൾ കണ്ടെത്തുക: വർദ്ധിക്കുന്നതും കുറയുന്നതും. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക: മിനിമം, മാക്സിമം.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ വിരാമ പോയിൻ്റുകളിലും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ അതിർത്തി പോയിൻ്റുകളിലും (ഏകവശമുള്ള ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) ഏകപക്ഷീയമായ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക.

5. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ കോൺവെക്‌സിറ്റി ഇടവേളകളും ഇൻഫ്‌ളക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളും കണ്ടെത്തുക.

2. പ്രവർത്തന ഗവേഷണത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും ഘട്ടങ്ങളും

1. ഫംഗ്ഷൻ ഡൊമെയ്ൻഡി എഫ് ഒപ്പം പല അർത്ഥങ്ങൾ

ഫംഗ്ഷൻ E f. പ്രത്യേക പ്രവർത്തന സവിശേഷതകൾ

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ സൂചിപ്പിക്കുക, അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തിൽ അതിർത്തി പോയിൻ്റുകളും പഞ്ചർ ചെയ്‌ത പോയിൻ്റുകളും ഉപയോഗിച്ച് അടയാളപ്പെടുത്തുക, ഈ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സകൾ സൂചിപ്പിക്കുക. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ കണ്ടെത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

ഒന്നിലധികം ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഒരു കൂട്ടം മൂല്യങ്ങളുടെ എളുപ്പത്തിൽ പഠിച്ച ഗുണങ്ങൾ: നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റി, താഴെയോ മുകളിലോ ഉള്ള അതിരുകൾ മുതലായവ, ഒരു ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു രേഖാചിത്രം നിർമ്മിക്കുന്നതിനും പഠന ഫലങ്ങളും ഗ്രാഫിൻ്റെ കൃത്യതയും നിയന്ത്രിക്കുന്നതിനും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

x പോലെ

ഒരു ഇരട്ട ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിന് സമമിതിയാണ്. വിചിത്രമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവത്തെ സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയാണ്. നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് പകുതിയിൽ ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരിശോധിക്കുന്നു.

ഒരു ആനുകാലിക പ്രവർത്തനം ഒരു കാലഘട്ടത്തിൽ പഠിക്കുന്നു, കൂടാതെ

ചാർട്ട് 2-3 കാലഘട്ടങ്ങളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.
2. അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ പഠനം
2.1 ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ
നിർവ്വചനം 1.				x x0		വിളിച്ചു		ലംബമായ
ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ലക്ഷണം				y f x,			പൂർത്തിയാക്കിയാൽ
വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന്:			ലിം എഫ് x 1				ലിം എഫ് എക്സ്.
			x x0 0				x x0 0
2.2 ചരിഞ്ഞ (തിരശ്ചീനമായ) അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ

noah) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ട്					y f x-ൽ x,
lim f x kx b 0
					x-ൽ
	അസിംപ്റ്റോട്ടിൻ്റെ നിർവചനം
ക്ലിം		b lim f x kx അനുബന്ധ കണക്കുകൂട്ടൽ


പരിധികൾ, നമുക്ക് y kx b എന്ന അസിംപ്റ്റോട്ട് സമവാക്യം ലഭിക്കും.
എപ്പോൾ കേസിൽ സമാനമായ പ്രസ്താവന ശരിയാണ്

k 0 ആണെങ്കിൽ, അസിംപ്റ്റോട്ടിനെ ചരിഞ്ഞത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
k 0 , തുടർന്ന് ലക്ഷണം			y bയെ തിരശ്ചീനമായി വിളിക്കുന്നു.
ചെരിഞ്ഞതും തിരശ്ചീനവുമായ ആശയങ്ങൾ സമാനമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
y f x ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ						x-ൽ.

2.3 ലംബമല്ലാത്ത അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ x നും വേണ്ടിയുള്ള അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ പഠനം

ഭരണം പ്രത്യേകം നടപ്പിലാക്കുന്നു.

1 ഒരു കേസിൻ്റെ പൂർത്തീകരണം അർത്ഥമാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കും

ചില പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളിൽ, x ലും x ലും അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ സംയുക്തമായി പഠിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്,

1) യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ;

2) നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ ഭാഗമായി പഠനം നടത്താൻ കഴിയുന്ന ഗ്രാഫുകൾക്ക് ഇരട്ട, ഒറ്റ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ.

പ്രധാന ഭാഗം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള രീതി.അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്താൻ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പ്രധാന ഭാഗം x-ൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക. അതുപോലെ x നും.

അംശപരമായ യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഭാഗംഭിന്നസംഖ്യയുടെ മുഴുവൻ ഭാഗവും ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തുകൊണ്ട് കണ്ടെത്തുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

ഉദാഹരണം 1. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക

f x 2 x 3 x 2 . x 1

f x 2 x 5					o 1 at	x, പിന്നെ നേരെ

മെയ് 2 x 5 ആണ് ആവശ്യമുള്ള ലക്ഷണം. ◄

യുക്തിരഹിതമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രധാന ഭാഗംപ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, x-നുള്ള ടെയ്‌ലർ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഉദാഹരണം 2. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ട് കണ്ടെത്തുക

x4 3 x 1

x-ൽ.

x 4 o1

x ന്, പിന്നെ നേർരേഖ		y x 4 ആണ് ആവശ്യമുള്ള ലക്ഷണം.

		യുക്തിരഹിതമായ
		f x 3		കണ്ടെത്താൻ സൗകര്യപ്രദമാണ്
	ax2 bx c കൂടാതെ		ax3 bx2 cx d

യഥാക്രമം ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം അല്ലെങ്കിൽ സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്യൂബ് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കുക.

ഉദാഹരണം 3. x, x എന്നിവയ്‌ക്കായി f x x 2 6 x 14 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക.

റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു

x 3 2

5 . ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് മുതൽ

f x സമമിതിയാണ്

നേർരേഖ x 3 ഉം ആപേക്ഷികവും

പിന്നെ f x ~

x-ൽ.

x 3 2 5

അതിനാൽ ഇത് നേരെയാണ്

y x 3 ആണ്

x-ൽ ലക്ഷണം, നേർരേഖ y 3 x

അസിംപ്റ്റോട്ട് ചെയ്തത്

x. ◄

അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, പ്രധാന ഭാഗം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്ന രീതി നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം.

ഉദാഹരണം 4. f x 4 x 2 x 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ കണ്ടെത്തുക.

f x 2

അതാണ് ചടങ്ങ്

ഒരു ലക്ഷണമുണ്ട്

y 2 x

കൂടാതെ ലക്ഷണം

y 2 x

x .◄-ൽ

അതീന്ദ്രിയ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്രണ്ട് രീതികളും സ്വീകാര്യമാണ്

പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ പിന്തുടരുന്നു.

പരാമർശം 1. അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ യുക്തിരഹിതമായ, അതിരുകടന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ, ഒപ്പം ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങുന്ന അനലിറ്റിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുള്ള ഫംഗ്ഷനുകൾ,രണ്ട് കേസുകൾ പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്: x, x. x-ലെയും x-ലെയും അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സംയുക്ത പഠനം പഠനത്തിൽ പിശകുകളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. x ൻ്റെ പരിധികൾ അല്ലെങ്കിൽ പ്രധാന ഭാഗം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, വേരിയബിൾ x t മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

2.4 ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനവും അതിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളും

a) y f x എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് x-ൽ ഒരു ലക്ഷണമുണ്ടെങ്കിൽ,

റേ x x 0, പിന്നെ ഗ്രാഫ് എന്നിവയിൽ വ്യത്യസ്‌തവും കർശനമായി കുത്തനെയുള്ളതുമാണ്

ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫിക് അസിംപ്റ്റോട്ടിന് മുകളിലാണ് (ചിത്രം 1.1).

b) y f x എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് x-ൽ ഒരു ലക്ഷണമുണ്ടെങ്കിൽ,

x x 0 കിരണത്തിൽ വ്യതിരിക്തവും കർശനമായി മുകളിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതുമാണ്

ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അസിംപ്റ്റോട്ടിന് താഴെയാണ് (ചിത്രം 1.2).

c) ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ മറ്റ് കേസുകൾ ഉണ്ടാകാം, കാരണം അത് ഒരു അസിംപ്റ്റോട്ടിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അസിംപ്റ്റോട്ടിനെ അനന്തമായ തവണ വിഭജിക്കുന്നത് സാധ്യമാണ് (ചിത്രം 1.3, 1.4).

x-ന് സമാനമായ ഒരു പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ കോൺവെക്‌സിറ്റിയുടെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനങ്ങളും അതിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളും പ്രധാന ഭാഗം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്ന രീതിയിലുള്ള o 1 എന്ന ചിഹ്നത്താൽ നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

ഉദാഹരണം 5. ഗ്രാഫിൻ്റെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുക

ഫംഗ്ഷൻ f x 2 x 2 3 x 2 അതിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ. x 1

0-ൽ x, തുടർന്ന് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അസിംപ്റ്റോട്ടിക്കിന് താഴെയാണ്

നിങ്ങൾ y 2 x 5 . ◄

ഉദാഹരണം 6. ഗ്രാഫിൻ്റെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുക

പ്രവർത്തനങ്ങൾ f x

x4 3 x 1

x-നുള്ള അതിൻ്റെ ലക്ഷണങ്ങളും.

x 2 1

സമത്വത്തിൽ നിന്ന്

x, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് y x 4 എന്ന അസിംപ്റ്റോട്ടിന് താഴെയാണ്. ◄

ഉദാഹരണം 7. f x x 2 6 x 14 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനവും അതിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളും നിർണ്ണയിക്കുക.

f x x 3 മുതൽ (ഉദാഹരണം 3 കാണുക), തുടർന്ന്

x 3 2 5 x 3

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് x ലും x ലും y x 3 എന്ന അസിംപ്റ്റോട്ടിന് മുകളിലാണ്. ◄

ഉദാഹരണം 8. ഗ്രാഫിൻ്റെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുക

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 ഉം അതിൻ്റെ ലക്ഷണങ്ങളും.

x 3 6 x 2 ആയി

2 x 14 x 2 3 14 x 6, തുടർന്ന് ഉപയോഗിക്കുന്നത്

a x 2 3 14 x 6 ,

b x 2 3, നമുക്ക് f x 2 ലഭിക്കും

14x6

3 x 2 3 14x 6 2

x 2 3

x 2 3 14x 6

x 2 2

വ്യത്യാസം x-ൽ പോസിറ്റീവ് ആണ്

x-ൽ നെഗറ്റീവ്

അതിനാൽ, x-ൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അസിംപ്റ്റോട്ടിന് y x 2-ന് താഴെയും, x-ൽ, y x 2-ന് മുകളിലുമാണ്.◄

അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള പരിധികൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെയും അതിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെയും ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നില്ല.

3. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുന്നുഒരു ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ലംബവും

ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ, അക്ഷങ്ങളുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ. ഫംഗ്ഷൻ്റെയും അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെയും ഗ്രാഫിൻ്റെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം കണക്കിലെടുത്ത്, ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നു. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് x-ലെ അസിംപ്റ്റോട്ടിന് മുകളിൽ (താഴെ) ആണെങ്കിൽ, അത് അനുമാനിക്കുക

ഒരു പോയിൻ്റ് x 0 നിലവിലുണ്ട്, അതായത് x x 0 പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിൽ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ ഇല്ല,

ഫംഗ്‌ഷൻ കുത്തനെ താഴേക്ക് (മുകളിലേക്ക്), അതായത് ഒരു അസിംപ്റ്റോട്ടിലേക്ക് കുത്തനെയുള്ളതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. അതുപോലെ, ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾക്കും x ലെ അസിംപ്റ്റോട്ടിനും അസിംപ്റ്റോട്ടിലേക്കുള്ള കൺവെക്സിറ്റിയുടെ ദിശ പ്രവചിക്കാൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണം കാണിക്കുന്നത് പോലെ

ഫംഗ്ഷൻ y x sin 2 x, അത്തരം അനുമാനങ്ങൾ x ആയിരിക്കണമെന്നില്ല

4. ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വർധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്ന മേഖലകൾ. കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകൾ

നിർവ്വചനം 3.	f x എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുന്നു	വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന
(കുറയുന്നു) ഇടവേളയിൽ a, b, എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ		x1, x2 a, b,
അതായത് x 1 x 2	അസമത്വമുണ്ട്	f x1 f x2
(f x1 f x2 ).

ഫംഗ്ഷൻ f x ഇടവേളയിൽ വ്യത്യാസപ്പെടുത്താവുന്നതാണ് a, b

a, b, if and only if എന്നീ ഇടവേളകളിൽ ഉരുകുന്നു (കുറയുന്നു).

ഫംഗ്ഷൻ എഫ് എക്സ്.

ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ. എങ്കിൽ

പോയിൻ്റ് എക്സ്-

f x ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ tremum, പിന്നെ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒന്നുകിൽ

f x 0 0 , അല്ലെങ്കിൽ

ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല.

ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥകൾ.

f x ഡിഫറൻഷ്യൽ

1. ഫംഗ്‌ഷൻ 0 നിലവിലിരിക്കട്ടെ

x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൻറെ അയൽപക്കത്തിൽ പഞ്ചറായ സ്ഥലത്ത് വികിരണം ചെയ്യാവുന്നതാണ്

തുടർച്ചയായതും

പോയിൻ്റ് x 0 ൽ. പിന്നെ,

a) അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സൈൻ മൈനസ് മുതൽ പ്ലസ് വരെ മാറുകയാണെങ്കിൽ

പോയിൻ്റിലൂടെ പുരോഗമിക്കുക		x 0,

			x x 0 , x 0 , പിന്നെ x 0 ആണ് പരമാവധി പോയിൻ്റ്
	ഏതിനും x 0
പ്രവർത്തനങ്ങൾ f x;
	b) വീണ്ടും വരുമ്പോൾ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സൈൻ പ്ലസ് മൈനസിലേക്ക് മാറുകയാണെങ്കിൽ
പോയിൻ്റിലൂടെ പുരോഗമിക്കുക		x 0,
			ആ. ഏത് x x 0 , x 0 നും f x 0 ,
			x x 0 , x 0 , പിന്നെ x 0 ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്
	ഏതിനും x 0

പ്രവർത്തനങ്ങൾ f x

മാതൃകാ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ y x (ചിത്രം 2.1) എന്നിവ ഉൾപ്പെടുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ഫോൺ നമ്പർ, ഇമെയിൽ വിലാസം മുതലായവ ഉൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ, അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകൾ, മറ്റ് ഇവൻ്റുകൾ, വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ എന്നിവയുമായി നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമങ്ങൾ, നിയമ നടപടികളിൽ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷൻ്റെ പ്രദേശത്തെ സർക്കാർ അധികാരികളുടെ പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ. സുരക്ഷയ്‌ക്കോ നിയമ നിർവ്വഹണത്തിനോ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്കോ അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെയുള്ള മുൻകരുതലുകൾ ഞങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഈ പാഠത്തിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതികത ഞങ്ങൾ നോക്കുകയും വിശദീകരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യും.

വിഷയം: ആവർത്തനം

പാഠം: ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് സ്‌കെച്ചിംഗ് (ഫ്രാക്ഷണൽ-ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച്)

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് സ്‌കെച്ച് ചെയ്യുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഇതിനകം പരിചിതമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കാം:

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

സ്കെച്ചിംഗ് ടെക്നിക് ഇപ്രകാരമാണ്:

1. സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഓരോന്നിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക (ചിത്രം 1)

ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിശോധിച്ചു, ODZ-ൻ്റെ വേരുകളിലൂടെയും ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റുകളിലൂടെയും ആർഗ്യുമെൻ്റ് കടന്നുപോകുമ്പോൾ മാത്രമേ ODZ-ൽ തുടർച്ചയായുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷന് ചിഹ്നം മാറ്റാൻ കഴിയൂ എന്ന് കണ്ടെത്തി.

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ y അതിൻ്റെ ODZ-ൽ തുടർച്ചയായതാണ്; നമുക്ക് ODZ സൂചിപ്പിക്കാം:

നമുക്ക് വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:

ചിഹ്നത്തിൻ്റെ സ്ഥിരതയുടെ ഇടവേളകൾ നമുക്ക് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാം. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വേരുകളും നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൻ്റെ ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റുകളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി - ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ വേരുകൾ. ഓരോ ഇടവേളയിലും ഫംഗ്ഷൻ അതിൻ്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

അരി. 1. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ

ഓരോ ഇടവേളയിലും ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇടവേളയിൽ പെടുന്ന ഏത് പോയിൻ്റും എടുക്കാം, അത് ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് മാറ്റി അതിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നമുണ്ട്

ഇടവേളയിൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ട്.

ഇതാണ് ഇടവേള രീതിയുടെ പ്രയോജനം: ഒരൊറ്റ ട്രയൽ പോയിൻ്റിൽ ഞങ്ങൾ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുകയും തിരഞ്ഞെടുത്ത മുഴുവൻ ഇടവേളയിലും ഫംഗ്ഷന് ഒരേ ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കാതെ നിങ്ങൾക്ക് സ്വയമേവ അടയാളങ്ങൾ സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അങ്ങേയറ്റത്തെ ഇടവേളയിൽ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക, തുടർന്ന് ചിഹ്നങ്ങൾ ഒന്നിടവിട്ട് മാറ്റുക.

1. ഓരോ റൂട്ടിൻ്റെയും പരിസരത്ത് നമുക്ക് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം. ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ വേരുകൾ ഓർക്കുക:

അരി. 2. വേരുകൾക്ക് സമീപമുള്ള ഗ്രാഫ്

ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അടയാളം പ്ലസിൽ നിന്ന് മൈനസിലേക്ക് മാറുന്നതിനാൽ, വക്രം ആദ്യം അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ്, തുടർന്ന് പൂജ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും തുടർന്ന് x അക്ഷത്തിന് കീഴിലായി സ്ഥിതിചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു. പോയിൻ്റ് നേരെ വിപരീതമാണ്.

2. ഓരോ ODZ വിച്ഛേദിക്കുന്നതിനും സമീപം നമുക്ക് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം. ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ വേരുകൾ ഓർക്കുക:

അരി. 3. ODZ ൻ്റെ വിച്ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾക്ക് സമീപമുള്ള പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ്

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ പ്രായോഗികമായി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം ഈ സംഖ്യകളിലേക്ക് ചായുമ്പോൾ, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം അനന്തതയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു എന്നാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇടതുവശത്തുള്ള ട്രിപ്പിളിനെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവ് ആണ്, കൂടാതെ അനന്തതയിലേക്കുള്ള പ്രവണതയും, വലതുവശത്ത് ഫംഗ്ഷൻ നെഗറ്റീവ് ആകുകയും മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിക്ക് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകുകയും ചെയ്യുന്നു. നാലിന് ചുറ്റും, നേരെമറിച്ച്, ഇടതുവശത്ത് ഫംഗ്ഷൻ മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിലേക്കും വലതുവശത്ത് അത് അനന്തതയിലേക്കും പോകുന്നു.

നിർമ്മിച്ച സ്കെച്ച് അനുസരിച്ച്, ചില ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം നമുക്ക് ഊഹിക്കാം.

അരി. 4. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്കെച്ച്

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രധാന ജോലി പരിഗണിക്കാം - അനന്തതയിലെ പോയിൻ്റുകൾക്ക് സമീപമുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു രേഖാചിത്രം നിർമ്മിക്കുക, അതായത്, ആർഗ്യുമെൻ്റ് പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ് അനന്തതയിലേക്ക് പോകുമ്പോൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്ഥിരമായ നിബന്ധനകൾ അവഗണിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ചിലപ്പോൾ ഈ വസ്തുതയുടെ ഈ റെക്കോർഡിംഗ് നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും:

അരി. 5. അനന്തതയിലെ പോയിൻ്റുകൾക്ക് സമീപമുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ രേഖാചിത്രം

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും ഞങ്ങൾ ഒരു ഏകദേശ സ്വഭാവം നേടിയിട്ടുണ്ട്; തുടർന്ന് ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിർമ്മാണം പരിഷ്കരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 1 - ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുക:

ആർഗ്യുമെൻ്റ് കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷന് അടയാളം മാറ്റാൻ കഴിയുന്ന മൂന്ന് പോയിൻ്റുകൾ നമുക്കുണ്ട്.

ഓരോ ഇടവേളയിലും ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. എല്ലാ വേരുകൾക്കും ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രി ഉള്ളതിനാൽ, വലത് ഇടവേളയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്ലസ് ഉണ്ട്, തുടർന്ന് അടയാളങ്ങൾ മാറിമാറി വരുന്നു.

ODZ ൻ്റെ വേരുകളുടെയും ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റുകളുടെയും സമീപത്തായി ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഉണ്ട്: ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അടയാളം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറുന്നതിനാൽ, വക്രം ആദ്യം അക്ഷത്തിന് മുകളിലാണ്, തുടർന്ന് പൂജ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും തുടർന്ന് x അക്ഷത്തിന് കീഴിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ പ്രായോഗികമായി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം ഈ സംഖ്യകളിലേക്ക് ചായുമ്പോൾ, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം അനന്തതയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു എന്നാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഇടതുവശത്ത് മൈനസ് രണ്ടിനെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷൻ നെഗറ്റീവ് ആണ്, കൂടാതെ മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, വലതുവശത്ത് ഫംഗ്ഷൻ പോസിറ്റീവും ഇലകൾ പ്ലസ് അനന്തവുമാണ്. ഏകദേശം രണ്ടെണ്ണം ഒന്നുതന്നെ.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

വ്യക്തമായും, ഡെറിവേറ്റീവ് എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ്, അതിനാൽ, എല്ലാ വിഭാഗങ്ങളിലും പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു. അതിനാൽ, മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റി മുതൽ മൈനസ് രണ്ട് വരെയുള്ള വിഭാഗത്തിൽ, ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് മൈനസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിലേക്ക് കുറയുന്നു; മൈനസ് രണ്ട് മുതൽ പൂജ്യം വരെയുള്ള വിഭാഗത്തിൽ, ഫംഗ്ഷൻ പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിൽ നിന്ന് പൂജ്യത്തിലേക്ക് കുറയുന്നു; പൂജ്യം മുതൽ രണ്ട് വരെയുള്ള വിഭാഗത്തിൽ, ഫംഗ്ഷൻ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് മൈനസ് അനന്തതയിലേക്ക് കുറയുന്നു; രണ്ട് മുതൽ പ്ലസ് അനന്തത വരെയുള്ള വിഭാഗത്തിൽ, ഫംഗ്ഷൻ പ്ലസ് ഇൻഫിനിറ്റിയിൽ നിന്ന് പൂജ്യത്തിലേക്ക് കുറയുന്നു.

നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം:

അരി. 6. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്കെച്ച് ഉദാഹരണം 1

x-ൽ, പിന്നെ ഗ്രാ-

y 2 x 5 . കാരണം

ഫിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കിടക്കുന്നു

അസിംപ്റ്റോട്ടിന് മുകളിൽ

ഉദാഹരണം 2 - ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുക:

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിക്കാതെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്കെച്ച് ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു.

ആദ്യം, നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കാം:

ആർഗ്യുമെൻ്റ് കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷന് ചിഹ്നം മാറ്റാൻ കഴിയുന്ന ഒരൊറ്റ പോയിൻ്റ് നമുക്കുണ്ട്.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ വിചിത്രമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഓരോ ഇടവേളയിലും ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. വലത് ഇടവേളയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്ലസ് ഉണ്ട്, തുടർന്ന് അടയാളം മാറുന്നു, കാരണം റൂട്ടിന് ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രി ഉണ്ട്.

റൂട്ടിൻ്റെ പരിസരത്ത് ഞങ്ങൾ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നു. നമുക്കുള്ളത്: ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അടയാളം മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് മാറുന്നതിനാൽ, വക്രം ആദ്യം അക്ഷത്തിന് കീഴിലാണ്, തുടർന്ന് പൂജ്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും തുടർന്ന് x-അക്ഷത്തിന് മുകളിലായി സ്ഥിതിചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു രേഖാചിത്രം അനന്തതയിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ സമീപത്തായി നിർമ്മിക്കുന്നു, അതായത്, ആർഗ്യുമെൻ്റ് അനന്തത പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ് ആകുമ്പോൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്ഥിരമായ നിബന്ധനകൾ അവഗണിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

മുകളിലുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കിയ ശേഷം, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സങ്കൽപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അത് വ്യക്തമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

“ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രശ്നങ്ങൾ” - ?f(x) = f(x) - f(x0). x0 x0+?x. തൽക്ഷണ വേഗത നിങ്ങൾ എങ്ങനെ സങ്കൽപ്പിക്കുന്നു? തൽക്ഷണ വേഗത പ്രശ്നം. വൈ. തൽക്ഷണ വേഗത നിങ്ങൾ എങ്ങനെ സങ്കൽപ്പിക്കുന്നു? ?X=x-x0. പറഞ്ഞത് ഫോമിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്. ആദ്യം, ഞങ്ങളുടെ ഗവേഷണത്തിൻ്റെ "പ്രദേശം" ഞങ്ങൾ നിർവചിച്ചു. A l g o r i t m. വേഗത V ക്രമേണ വർദ്ധിക്കുന്നു.

"ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം" - പീരങ്കി ചക്രവാളത്തിലേക്ക് ഒരു കോണിൽ വെടിവയ്ക്കുന്നു. ഓപ്ഷൻ 1 എ ബി ഡി ഓപ്ഷൻ 2 ജി ബി ബി മുനിസിപ്പൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം മെഷ്കോവ്സ്കയ സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകൻ കോവലേവ ടി.വി. ഫംഗ്ഷൻ സെഗ്മെൻ്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു [-4;4] . ഡെറിവേറ്റീവും പ്രവർത്തനവും എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? ഉത്തരങ്ങൾ: പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തിന് ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രയോഗിക്കുന്നു: ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. ടാസ്‌ക് ബാരൺ മഞ്ചൗസനെക്കുറിച്ചുള്ള കഥ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?

"സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്" - കോംപ്ലക്സ് ഫംഗ്ഷൻ. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നിയമം. ഒരു ലളിതമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം: ഉദാഹരണങ്ങൾ:

"ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പഠനത്തിലേക്കുള്ള ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പ്രയോഗം" - 6. -1. 8. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ തിരിച്ചറിയുക. 1. =. ജൂലൈ 1, 1646 - നവംബർ 14, 1716, വാം-അപ്പ്. പ്രവർത്തനം കൂടുന്നതിൻ്റെയും കുറയുന്നതിൻ്റെയും അടയാളം. ഇടവേളകളിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക.

"സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠം" - ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. പോയിൻ്റിൻ്റെ വേഗത കണക്കാക്കുക: a) സമയം t; b) ഇപ്പോൾ t=2 സെ. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക:, എങ്കിൽ. ബ്രൂക്ക് ടെയ്‌ലർ. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ കണ്ടെത്തുക: x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങളിലാണ് തുല്യത നിലനിർത്തുന്നത്. s(t) = s(t) = (s എന്നത് മീറ്ററിലെ പാതയാണ്, t എന്നത് സെക്കൻഡിലെ സമയമാണ്) നിയമം അനുസരിച്ച് പോയിൻ്റ് നേർരേഖയായി നീങ്ങുന്നു.

“ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം” - 1. തെളിവ്: f(x+ ?x). u(x), v(x), w(x) എന്നിവ ചില ഇടവേളകളിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്ഷനുകളായിരിക്കട്ടെ (a; b), C എന്നത് ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. f(x). ഒരു കോണീയ ഗുണകം ഉള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം: ന്യൂട്ടൻ്റെ ബൈനോമിയൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക്: സിദ്ധാന്തം. അപ്പോൾ: സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.

ആകെ 31 അവതരണങ്ങളുണ്ട്

വിഷയം: ആവർത്തനം

സ്കെച്ചിംഗ് ടെക്നിക് ഇപ്രകാരമാണ്:

നമുക്ക് വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:

അരി. 1. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ

ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നമുണ്ട്

ഇടവേളയിൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ട്.

അരി. 2. വേരുകൾക്ക് സമീപമുള്ള ഗ്രാഫ്

അരി. 4. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്കെച്ച്

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രധാന ചുമതല പരിഗണിക്കാം - അനന്തതയിലെ പോയിൻ്റുകൾക്ക് സമീപം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുക, അതായത്. ആർഗ്യുമെൻ്റ് പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ് അനന്തതയിലേക്കാകുമ്പോൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്ഥിരമായ നിബന്ധനകൾ അവഗണിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ചിലപ്പോൾ ഈ വസ്തുതയുടെ ഈ റെക്കോർഡിംഗ് നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും:

ഉദാഹരണം 1 - ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുക:

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം:

അരി. 6. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്കെച്ച് ഉദാഹരണം 1

ഉദാഹരണം 2 - ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുക:

ആദ്യം, നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനം പരിശോധിക്കാം:

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ വിചിത്രമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ അനന്തതയിലെ പോയിൻ്റുകൾക്ക് സമീപം ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ ഒരു സ്കെച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നു, അതായത്. ആർഗ്യുമെൻ്റ് പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ് അനന്തതയിലേക്കാകുമ്പോൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്ഥിരമായ നിബന്ധനകൾ അവഗണിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു: at . ODZ ഇവിടെ. അങ്ങനെ, നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ മൂന്ന് ഇടവേളകളും യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏകതാനതയുടെ മൂന്ന് വിഭാഗങ്ങളും ഉണ്ട്. ഓരോ ഇടവേളയിലും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം. എപ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്, പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു; ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്, കാരണം ഡെറിവേറ്റീവ് മാറ്റങ്ങളുടെ ചിഹ്നം മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക്; നേരെമറിച്ച്, പരമാവധി പോയിൻ്റ്.