ലോഗരിതം, എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എന്നിവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതവും സംഖ്യയും ഇ. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളിലൂടെയുള്ള ആവിഷ്കാരങ്ങൾ

ഒട്ടും മോശമല്ല, അല്ലേ? ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ നിങ്ങൾക്ക് ദീർഘവും ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്നതുമായ ഒരു നിർവചനം നൽകാൻ വാക്കുകൾക്കായി തിരയുമ്പോൾ, ലളിതവും വ്യക്തവുമായ ഈ നിർവചനം നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം.

ഇ എന്ന സംഖ്യയുടെ അർത്ഥം വളർച്ച എന്നാണ്

ഇ എന്ന സംഖ്യയുടെ അർത്ഥം തുടർച്ചയായ വളർച്ച എന്നാണ്. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ നമ്മൾ കണ്ടതുപോലെ, പലിശയും സമയവും ബന്ധിപ്പിക്കാൻ e x നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു: 100% വളർച്ചയിൽ 3 വർഷം എന്നത് "കോമ്പൗണ്ട് പലിശ" അനുമാനിച്ച് 1 വർഷം 300% എന്നതിന് തുല്യമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് ഏത് ശതമാനവും സമയ മൂല്യങ്ങളും (4 വർഷത്തേക്ക് 50%) പകരം വയ്ക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ സൗകര്യാർത്ഥം ശതമാനം 100% ആയി സജ്ജീകരിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് (ഇത് 2 വർഷത്തേക്ക് 100% ആയി മാറുന്നു). 100% ലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് സമയ ഘടകത്തിൽ മാത്രം ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാൻ കഴിയും:

ഇ x = ഇ ശതമാനം * സമയം = ഇ 1.0 * സമയം = ഇ സമയം

വ്യക്തമായും e x അർത്ഥമാക്കുന്നത്:

• x യൂണിറ്റ് സമയത്തിന് ശേഷം എൻ്റെ സംഭാവന എത്രത്തോളം വളരും (100% തുടർച്ചയായ വളർച്ച എന്ന് കരുതുക).
• ഉദാഹരണത്തിന്, 3 സമയ ഇടവേളകൾക്ക് ശേഷം എനിക്ക് e 3 = 20.08 മടങ്ങ് കൂടുതൽ "കാര്യങ്ങൾ" ലഭിക്കും.

e x ഒരു സ്കെയിലിംഗ് ഘടകമാണ്, അത് x സമയത്തിനുള്ളിൽ നമ്മൾ ഏത് തലത്തിലേക്ക് വളരുമെന്ന് കാണിക്കുന്നു.

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം എന്നാൽ സമയം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം e യുടെ വിപരീതമാണ്, വിപരീത പദത്തിൻ്റെ ഫാൻസി പദമാണ്. വിചിത്രങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു; ലാറ്റിനിൽ ഇതിനെ ലോഗരിതംസ് നാച്ചുറലി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനാൽ ln എന്ന ചുരുക്കെഴുത്ത്.

ഈ വിപരീതമോ വിപരീതമോ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

• e x സമയം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനും വളർച്ച നേടാനും നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു.
• വളർച്ചയോ വരുമാനമോ എടുക്കാനും അത് സൃഷ്ടിക്കാൻ എടുക്കുന്ന സമയം കണ്ടെത്താനും ln(x) നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്:

• e 3 20.08 ന് തുല്യമാണ്. മൂന്ന് കാലയളവുകൾക്ക് ശേഷം, ഞങ്ങൾ ആരംഭിച്ചതിനേക്കാൾ 20.08 മടങ്ങ് കൂടുതൽ ലഭിക്കും.
• ln(08/20) ഏകദേശം 3 ആയിരിക്കും. 20.08 മടങ്ങ് വളർച്ചയിൽ നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് 3 സമയ കാലയളവുകൾ ആവശ്യമാണ് (വീണ്ടും, 100% തുടർച്ചയായ വളർച്ച അനുമാനിക്കുക).

ഇപ്പോഴും വായിക്കുന്നുണ്ടോ? സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആവശ്യമുള്ള തലത്തിലെത്താൻ ആവശ്യമായ സമയം കാണിക്കുന്നു.

ഈ നിലവാരമില്ലാത്ത ലോഗരിഥമിക് കൗണ്ട്

നിങ്ങൾ ലോഗരിതങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോയിട്ടുണ്ടോ - അവ വിചിത്ര ജീവികളാണ്. ഗുണനം സങ്കലനമാക്കി മാറ്റാൻ അവർക്ക് എങ്ങനെ കഴിഞ്ഞു? കുറയ്ക്കലായി വിഭജിച്ചാലോ? നമുക്ക് ഒന്ന് നോക്കാം.

ln(1) എന്തിന് തുല്യമാണ്? അവബോധപൂർവ്വം, ചോദ്യം ഇതാണ്: എനിക്കുള്ളതിനേക്കാൾ 1 മടങ്ങ് കൂടുതൽ ലഭിക്കാൻ ഞാൻ എത്ര സമയം കാത്തിരിക്കണം?

പൂജ്യം. പൂജ്യം. ഒരിക്കലുമില്ല. നിങ്ങൾക്കത് ഇതിനകം ഒരിക്കൽ ഉണ്ട്. ലെവൽ 1 ൽ നിന്ന് ലെവൽ 1 ലേക്ക് പോകാൻ അധിക സമയം എടുക്കുന്നില്ല.

• ln(1) = 0

ശരി, ഫ്രാക്ഷണൽ മൂല്യത്തിൻ്റെ കാര്യമോ? ലഭ്യമായ അളവിൻ്റെ 1/2 ശേഷിക്കാൻ നമുക്ക് എത്ര സമയമെടുക്കും? 100% തുടർച്ചയായ വളർച്ചയോടെ, ln(2) അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഇരട്ടിയാക്കാൻ എടുക്കുന്ന സമയമാണ്. ഞങ്ങൾ എങ്കിൽ നമുക്ക് സമയം തിരിച്ചുപോകാം(അതായത്, ഒരു നെഗറ്റീവ് സമയം കാത്തിരിക്കുക), അപ്പോൾ നമുക്ക് ഉള്ളതിൻ്റെ പകുതി ലഭിക്കും.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

ലോജിക്കൽ, അല്ലേ? നമ്മൾ 0.693 സെക്കൻഡിലേക്ക് (സമയം പിന്നോട്ട്) പോയാൽ, ലഭ്യമായ തുകയുടെ പകുതി കണ്ടെത്തും. പൊതുവേ, നിങ്ങൾക്ക് ഭിന്നസംഖ്യ തിരിച്ച് ഒരു നെഗറ്റീവ് മൂല്യം എടുക്കാം: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. അതായത്, നമ്മൾ 1.09 മടങ്ങ് മടങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, നിലവിലുള്ള സംഖ്യയുടെ മൂന്നിലൊന്ന് മാത്രമേ നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകൂ.

ശരി, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം സംബന്ധിച്ചെന്ത്? 1 മുതൽ -3 വരെയുള്ള ബാക്ടീരിയകളുടെ ഒരു കോളനി "വളരാൻ" എത്ര സമയമെടുക്കും?

ഇത് അസാദ്ധ്യമാണ്! നിങ്ങൾക്ക് നെഗറ്റീവ് ബാക്ടീരിയകളുടെ എണ്ണം ലഭിക്കില്ല, അല്ലേ? നിങ്ങൾക്ക് പരമാവധി (ഏർ...കുറഞ്ഞത്) പൂജ്യം ലഭിക്കും, എന്നാൽ ഈ ചെറിയ മൃഗങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിക്കാൻ വഴിയില്ല. നെഗറ്റീവ് ബാക്ടീരിയകളുടെ എണ്ണം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

• ln(നെഗറ്റീവ് നമ്പർ) = നിർവചിക്കാത്തത്

"നിർവചിക്കാത്തത്" എന്നതിനർത്ഥം നെഗറ്റീവ് മൂല്യം ലഭിക്കാൻ കാത്തിരിക്കേണ്ട സമയം ഇല്ല എന്നാണ്.

ലോഗരിഥമിക് ഗുണനം വെറും തമാശയാണ്

നാലിരട്ടിയായി വളരാൻ എത്ര സമയമെടുക്കും? തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് ln (4) എടുക്കാം. എന്നാൽ ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്, ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു വഴിക്ക് പോകും.

നിങ്ങൾക്ക് നാലിരട്ടി വളർച്ചയെ ഇരട്ടിപ്പിക്കൽ (ln(2) യൂണിറ്റ് സമയം ആവശ്യമാണ്) തുടർന്ന് വീണ്ടും ഇരട്ടിപ്പിക്കൽ (മറ്റൊരു ln(2) യൂണിറ്റ് സമയം ആവശ്യമാണ്):

• 4 തവണ വളരാനുള്ള സമയം = ln(4) = ഇരട്ടിയാക്കാനുള്ള സമയം, തുടർന്ന് വീണ്ടും ഇരട്ടി = ln(2) + ln(2)

രസകരമായ. ഏതൊരു വളർച്ചാ നിരക്കും, അതായത് 20, 10 മടങ്ങ് വർദ്ധനവിന് ശേഷം ഇരട്ടിയായി കണക്കാക്കാം. അല്ലെങ്കിൽ 4 മടങ്ങ് വളർച്ച, തുടർന്ന് 5 മടങ്ങ്. അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നിരട്ടിയായി 6.666 മടങ്ങ് വർദ്ധിക്കുന്നു. പാറ്റേൺ കണ്ടോ?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

A തവണ B യുടെ ലോഗരിതം log(A) + log(B) ആണ്. വളർച്ചയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നോക്കുമ്പോൾ ഈ ബന്ധം ഉടനടി അർത്ഥവത്താണ്.

നിങ്ങൾക്ക് 30x വളർച്ചയിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സിറ്റിങ്ങിൽ ln(30) കാത്തിരിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ ln(3) ട്രിപ്പിൾ ചെയ്യാനായി കാത്തിരിക്കാം, പിന്നെ മറ്റൊരു ln(10) 10x. അന്തിമഫലം ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതിനാൽ തീർച്ചയായും സമയം സ്ഥിരമായി നിലകൊള്ളണം (അത് സംഭവിക്കുന്നു).

വിഭജനത്തെക്കുറിച്ച്? പ്രത്യേകമായി, ln(5/3) അർത്ഥമാക്കുന്നത്: 5 മടങ്ങ് വളരാനും അതിൻ്റെ 1/3 നേടാനും എത്ര സമയമെടുക്കും?

മികച്ചത്, 5 മടങ്ങ് വളർച്ച ln (5) ആണ്. 1/3 മടങ്ങ് വർദ്ധനവിന് -ln(3) യൂണിറ്റ് സമയമെടുക്കും. അതിനാൽ,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

ഇതിനർത്ഥം: ഇത് 5 മടങ്ങ് വളരട്ടെ, തുടർന്ന് ആ തുകയുടെ മൂന്നിലൊന്ന് മാത്രം ശേഷിക്കുന്ന ഘട്ടത്തിലേക്ക് "തിരിച്ചു പോകുക", അങ്ങനെ നിങ്ങൾക്ക് 5/3 വളർച്ച ലഭിക്കും. പൊതുവേ അത് മാറുന്നു

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

ലോഗരിതങ്ങളുടെ വിചിത്രമായ ഗണിതശാസ്ത്രം നിങ്ങൾക്ക് അർത്ഥമാക്കാൻ തുടങ്ങുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു: വളർച്ചാ നിരക്ക് ഗുണിക്കുന്നത് വളർച്ചാ സമയ യൂണിറ്റുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു, വിഭജനം സമയ യൂണിറ്റുകൾ കുറയ്ക്കുന്നു. നിയമങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, അവ മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

അനിയന്ത്രിതമായ വളർച്ചയ്ക്ക് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നു

ശരി, തീർച്ചയായും," നിങ്ങൾ പറയുന്നു, "വളർച്ച 100% ആണെങ്കിൽ ഇതെല്ലാം നല്ലതാണ്, എന്നാൽ എനിക്ക് ലഭിക്കുന്ന 5% സംബന്ധിച്ചെന്ത്?"

ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല. ln() ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ കണക്കാക്കുന്ന "സമയം" യഥാർത്ഥത്തിൽ പലിശ നിരക്കിൻ്റെയും സമയത്തിൻ്റെയും സംയോജനമാണ്, e x സമവാക്യത്തിൽ നിന്നുള്ള അതേ X. ലാളിത്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ ശതമാനം 100% ആയി സജ്ജീകരിക്കാൻ തീരുമാനിച്ചു, എന്നാൽ ഏത് നമ്പറുകളും ഉപയോഗിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ട്.

നമുക്ക് 30x വളർച്ച കൈവരിക്കണമെന്ന് പറയാം: ln(30) എടുത്ത് 3.4 നേടുക ഇതിനർത്ഥം:

• e x = ഉയരം
• ഇ 3.4 = 30

വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത് "3.4 വർഷത്തിനുള്ളിൽ 100% വരുമാനം 30x വളർച്ച നൽകുന്നു." നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

• e x = e നിരക്ക്* സമയം
• ഇ 100% * 3.4 വർഷം = 30

പന്തയം * സമയം 3.4 ആയി തുടരുന്നിടത്തോളം നമുക്ക് “വാതുവയ്പ്പ്”, “സമയം” എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റാനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, 30x വളർച്ചയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, 5% പലിശ നിരക്കിൽ എത്രനാൾ കാത്തിരിക്കേണ്ടിവരും?

• ln(30) = 3.4
• നിരക്ക് * സമയം = 3.4
• 0.05 * സമയം = 3.4
• സമയം = 3.4 / 0.05 = 68 വർഷം

ഞാൻ ഇങ്ങനെ ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നു: "ln(30) = 3.4, അതിനാൽ 100% വളർച്ചയിൽ 3.4 വർഷമെടുക്കും. ഞാൻ വളർച്ചാ നിരക്ക് ഇരട്ടിയാക്കിയാൽ, ആവശ്യമായ സമയം പകുതിയായി കുറയും."

• 3.4 വർഷത്തേക്ക് 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 1.7 വർഷത്തിനുള്ളിൽ 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 6.8 വർഷത്തേക്ക് 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 68 വർഷത്തിൽ 5% = .05 * 68 = 3.4.

കൊള്ളാം, അല്ലേ? സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഏത് പലിശ നിരക്കിലും സമയത്തിലും ഉപയോഗിക്കാം, കാരണം അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്ഥിരമായി തുടരുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടമുള്ളത്ര വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ നീക്കാൻ കഴിയും.

രസകരമായ ഉദാഹരണം: എഴുപത്തിരണ്ടിൻ്റെ ഭരണം

നിങ്ങളുടെ പണം ഇരട്ടിയാക്കാൻ എത്ര സമയമെടുക്കുമെന്ന് കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര സാങ്കേതികതയാണ് എഴുപത്തിരണ്ടിൻ്റെ റൂൾ. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കും (അതെ!), മാത്രമല്ല, അതിൻ്റെ സാരാംശം മനസിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

പ്രതിവർഷം 100% പലിശയിൽ നിങ്ങളുടെ പണം ഇരട്ടിയാക്കാൻ എത്ര സമയമെടുക്കും?

ശ്ശോ. തുടർച്ചയായ വളർച്ചയുടെ കാര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ചു, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ വാർഷിക സംയുക്തത്തെക്കുറിച്ചാണോ സംസാരിക്കുന്നത്? അത്തരമൊരു കേസിന് ഈ ഫോർമുല അനുയോജ്യമല്ലേ? അതെ, അത് ചെയ്യും, എന്നാൽ 5%, 6% അല്ലെങ്കിൽ 15% പോലുള്ള യഥാർത്ഥ പലിശ നിരക്കുകൾക്ക്, വാർഷിക കോമ്പൗണ്ടിംഗും തുടർച്ചയായ വളർച്ചയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ചെറുതായിരിക്കും. അതിനാൽ റഫ് എസ്റ്റിമേറ്റ് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ ചോദ്യം ലളിതമാണ്: 100% വളർച്ചയോടെ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര വേഗത്തിൽ ഇരട്ടിയാക്കാനാകും? ln(2) = 0.693. 100% തുടർച്ചയായ വർദ്ധനവോടെ ഞങ്ങളുടെ തുക ഇരട്ടിയാക്കാൻ 0.693 യൂണിറ്റ് സമയമെടുക്കും (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ വർഷങ്ങൾ).

അപ്പോൾ, പലിശ നിരക്ക് 100% അല്ല, 5% അല്ലെങ്കിൽ 10% എന്ന് പറഞ്ഞാലോ?

എളുപ്പത്തിൽ! ബെറ്റ് * സമയം = 0.693 ആയതിനാൽ, ഞങ്ങൾ തുക ഇരട്ടിയാക്കും:

• നിരക്ക് * സമയം = 0.693
• സമയം = 0.693 / പന്തയം

വളർച്ച 10% ആണെങ്കിൽ, അത് ഇരട്ടിയാക്കാൻ 0.693 / 0.10 = 6.93 വർഷം എടുക്കും.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാൻ, നമുക്ക് രണ്ട് വശങ്ങളും 100 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, തുടർന്ന് നമുക്ക് "0.10" എന്നതിന് പകരം "10" എന്ന് പറയാം:

• സമയം ഇരട്ടിയാക്കാനുള്ള സമയം = 69.3 / പന്തയം, അവിടെ പന്തയം ഒരു ശതമാനമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ 5% എന്ന നിരക്കിൽ ഇരട്ടിയാക്കാനുള്ള സമയമായി, 69.3 / 5 = 13.86 വർഷം. എന്നിരുന്നാലും, 69.3 ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമായ ലാഭവിഹിതമല്ല. 2, 3, 4, 6, 8 എന്നിവയും മറ്റ് സംഖ്യകളും കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു ക്ലോസ് നമ്പർ, 72 തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

• ഇരട്ടിയാക്കാനുള്ള സമയം = 72 / പന്തയം

എഴുപത്തിരണ്ടിലെ ഭരണമാണ്. എല്ലാം മൂടിയിരിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് ട്രിപ്പിൾ ചെയ്യാനുള്ള സമയം കണ്ടെത്തണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ln(3) ~ 109.8 ഉപയോഗിച്ച് നേടാം

• ട്രിപ്പിൾ സമയം = 110 / പന്തയം

ഉപയോഗപ്രദമായ മറ്റൊരു നിയമം ഏതാണ്. "റൂൾ ഓഫ് 72" പലിശ നിരക്കിലെ വളർച്ച, ജനസംഖ്യാ വളർച്ച, ബാക്ടീരിയൽ സംസ്കാരങ്ങൾ, കൂടാതെ ക്രമാതീതമായി വളരുന്ന എന്തിനും ബാധകമാണ്.

അടുത്തത് എന്താണ്?

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അർത്ഥമാക്കുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു - ഏത് സംഖ്യയും ഗണ്യമായി വളരാൻ എടുക്കുന്ന സമയം ഇത് കാണിക്കുന്നു. വളർച്ചയുടെ ഒരു സാർവത്രിക അളവുകോൽ ആയതിനാൽ ഇതിനെ സ്വാഭാവികം എന്ന് വിളിക്കുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു, അതിനാൽ വളരാൻ എത്ര സമയമെടുക്കുമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാർവത്രിക മാർഗമായി ln കണക്കാക്കാം.

നിങ്ങൾ ln(x) കാണുമ്പോഴെല്ലാം, "എക്സ് മടങ്ങ് വളരാൻ എടുക്കുന്ന സമയം" ഓർക്കുക. വരാനിരിക്കുന്ന ഒരു ലേഖനത്തിൽ ഞാൻ e, ln എന്നിവ സംയോജിപ്പിച്ച് വിവരിക്കും, അങ്ങനെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പുത്തൻ ഗന്ധം അന്തരീക്ഷത്തിൽ നിറയും.

അനുബന്ധം: ഇയുടെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

ദ്രുത ക്വിസ്: എന്താണ് ln(e)?

• ഒരു ഗണിത റോബോട്ട് പറയും: അവ പരസ്പരം വിപരീതമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, ln(e) = 1 എന്ന് വ്യക്തമാണ്.
• മനസ്സിലാക്കുന്ന വ്യക്തി: ln(e) എന്നത് "ഇ" തവണ വളരാൻ എടുക്കുന്ന സംഖ്യയാണ് (ഏകദേശം 2.718). എന്നിരുന്നാലും, e എന്ന സംഖ്യ തന്നെ 1 ഘടകത്തിൻ്റെ വളർച്ചയുടെ അളവുകോലാണ്, അതിനാൽ ln(e) = 1.

വ്യക്തമായി ചിന്തിക്കുക.

സെപ്റ്റംബർ 9, 2013

വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠവും അവതരണവും: "പ്രകൃതി ലോഗരിതം. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം"

അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ
പ്രിയ ഉപയോക്താക്കളേ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും അവലോകനങ്ങളും ആശംസകളും നൽകാൻ മറക്കരുത്! എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ഒരു ആൻ്റി വൈറസ് പ്രോഗ്രാം പരിശോധിച്ചു.

11-ാം ഗ്രേഡിനുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ ഓൺലൈൻ സ്റ്റോറിലെ ടീച്ചിംഗ് എയ്ഡുകളും സിമുലേറ്ററുകളും
9-11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ഇൻ്ററാക്ടീവ് മാനുവൽ "ത്രികോണമിതി"
10-11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള ഇൻ്ററാക്ടീവ് മാനുവൽ "ലോഗരിതംസ്"

എന്താണ് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം

സുഹൃത്തുക്കളേ, അവസാന പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ പ്രത്യേക നമ്പർ പഠിച്ചു - ഇ. ഇന്ന് ഞങ്ങൾ ഈ നമ്പറിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നത് തുടരും.
ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം പഠിച്ചു, ഒരു ലോഗരിതത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം 0-നേക്കാൾ വലുതായ നിരവധി സംഖ്യകളാകാമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. ഇന്ന് നമ്മൾ ഒരു ലോഗരിതം നോക്കാം, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം e സംഖ്യയാണ്. അത്തരം ലോഗരിതത്തെ സാധാരണയായി സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇതിന് അതിൻ്റേതായ നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ട്: $\ln(n)$ എന്നത് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ആണ്. ഈ എൻട്രി എൻട്രിക്ക് തുല്യമാണ്: $\log_e(n)=\ln(n)$.
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വിപരീതങ്ങളാണ്, പിന്നെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിപരീതമാണ്: $y=e^x$.
$y=x$ എന്ന നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിപരീത പ്രവർത്തനങ്ങൾ സമമിതിയാണ്.
$y=x$ എന്ന നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്‌ത് നമുക്ക് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം.

പോയിൻ്റിൽ (0;1) $y=e^x$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ 45° ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അപ്പോൾ (1;0) പോയിൻ്റിലെ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണും 45° ആയിരിക്കും. ഈ രണ്ട് സ്പർശനങ്ങളും $y=x$ എന്ന വരിക്ക് സമാന്തരമായിരിക്കും. നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റുകൾ ഡയഗ്രം ചെയ്യാം:

$y=\ln(x)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. ഇരട്ടയോ വിചിത്രമോ അല്ല.
3. നിർവചനത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലുടനീളം വർദ്ധിക്കുന്നു.
4. മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, താഴെ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല.
5. ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യമില്ല, കുറഞ്ഞ മൂല്യമില്ല.
6. തുടർച്ചയായി.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. മുകളിലേക്ക് കോൺവെക്സ്.
9. എല്ലായിടത്തും വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് ഒരു വിപരീത ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ വിപരീതമാണ്.
തെളിവിലേക്ക് പോകുന്നതിൽ കാര്യമില്ല, നമുക്ക് ഫോർമുല എഴുതാം: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

ഉദാഹരണം.
ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക: $x=4$ എന്ന പോയിൻ്റിൽ $y=\ln(2x-7)$.
പരിഹാരം.
പൊതുവേ, ഞങ്ങളുടെ ഫംഗ്‌ഷനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് $y=f(kx+m)$ ആണ്; അത്തരം ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
ആവശ്യമായ പോയിൻ്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
ഉത്തരം: 2.

ഉദാഹരണം.
$х=е$ എന്ന പോയിൻ്റിൽ $y=ln(x)$ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കുക.
പരിഹാരം.
$x=a$ എന്ന ബിന്ദുവിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നന്നായി ഓർക്കുന്നു.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
ആവശ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി കണക്കാക്കുന്നു.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
$x=e$ എന്ന ബിന്ദുവിലെ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം $y=\frac(x)(e)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷനാണ്.
നമുക്ക് സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം, ടാൻജെൻ്റ് ലൈൻ എന്നിവ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം.

ഉദാഹരണം.
മോണോടോണിസിറ്റിക്കും എക്സ്ട്രീമയ്ക്കുമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കുക: $y=x^6-6*ln(x)$.
പരിഹാരം.
$D(y)=(0;+∞)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ.
നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ നിന്ന് എല്ലാ x-നും ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട്, തുടർന്ന് നിർണ്ണായക പോയിൻ്റുകളൊന്നുമില്ല. നമുക്ക് സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താം:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
പോയിൻ്റ് $х=-1$ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു സ്റ്റേഷണറി പോയിൻ്റ് $x=1$ ഉണ്ട്. കൂടുന്നതിൻ്റെയും കുറയുന്നതിൻ്റെയും ഇടവേളകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം:

പോയിൻ്റ് $x=1$ ആണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ്, തുടർന്ന് $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
ഉത്തരം: സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുന്നു (0;1], $ റേയിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു)