Wzory na redukcję mnożenia. Kwadratowanie wielomianów

Skrócone formuły mnożenia (FMF) służą do potęgowania i mnożenia liczb i wyrażeń. Często te formuły pozwalają na bardziej zwięzłe i szybkie wykonywanie obliczeń.

W tym artykule wymienimy podstawowe wzory na skrócone mnożenie, zgrupujemy je w tabeli, rozważymy przykłady użycia tych wzorów, a także zastanowimy się nad zasadami dowodu wzorów na skrócone mnożenie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Po raz pierwszy temat FSU jest rozpatrywany w ramach kursu Algebra dla klasy 7. Poniżej znajduje się 7 podstawowych formuł.

Skrócone wzory na mnożenie

wzór na kwadrat sumy: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
wzór na różnicę kwadratową: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
wzór na kostkę sumy: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
wzór na kostkę różnicy: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
wzór na różnicę kwadratową: a 2 - b 2 = a - b a + b
wzór na sumę kostek: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
wzór na różnicę sześcianów: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Litery a, b, c w tych wyrażeniach mogą być dowolnymi liczbami, zmiennymi lub wyrażeniami. Dla łatwości użycia lepiej nauczyć się na pamięć siedmiu podstawowych formuł. Zestawmy je w tabeli i przedstawmy poniżej, otaczając je ramką.

Pierwsze cztery formuły pozwalają obliczyć odpowiednio kwadrat lub sześcian sumy lub różnicy dwóch wyrażeń.

Piąta formuła oblicza różnicę między kwadratami wyrażeń, mnożąc ich sumę i różnicę.

Odpowiednio szósta i siódma formuła mnożą sumę i różnicę wyrażeń przez niepełny kwadrat różnicy i niepełny kwadrat sumy.

Skrócona formuła mnożenia jest czasami nazywana także skróconą tożsamością mnożenia. Nie jest to zaskakujące, ponieważ każda równość jest tożsamością.

Podczas rozwiązywania praktycznych przykładów często stosuje się skrócone wzory na mnożenie z zamienioną lewą i prawą stroną. Jest to szczególnie wygodne podczas rozkładu wielomianu na czynniki.

Dodatkowe skrócone wzory na mnożenie

Nie ograniczajmy się do kursu algebry z 7. klasy i dodawajmy do naszej tabeli FSU jeszcze kilka formuł.

Najpierw spójrzmy na wzór dwumianu Newtona.

za + b n = do n 0 · za n + do n 1 · za n - 1 · b + do n 2 · za n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Tutaj C n k są współczynnikami dwumianu, które pojawiają się w linii nr n w trójkącie Pascala. Współczynniki dwumianowe oblicza się ze wzoru:

do n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Jak widać, FSU dla kwadratu i sześcianu różnicy oraz sumy wynosi szczególny przypadek Wzory dwumianowe Newtona odpowiednio dla n=2 i n=3.

Ale co, jeśli w sumie są więcej niż dwa wyrazy, które należy podnieść do potęgi? Przyda się wzór na kwadrat sumy trzech, czterech lub więcej wyrazów.

za 1 + za 2 + . . + za n 2 = za 1 2 + za 2 2 + . . + za n 2 + 2 za 1 za 2 + 2 za 1 za 3 + . . + 2 za 1 za n + 2 za 2 za 3 + 2 za 2 za 4 + . . + 2 za 2 za n + 2 za n - 1 za n

Innym wzorem, który może być przydatny, jest wzór na różnicę między n-tymi potęgami dwóch wyrazów.

za n - b n = za - b za n - 1 + za n - 2 b + za n - 3 b 2 + . . + za 2 b n - 2 + b n - 1

Wzór ten zwykle dzieli się na dwa wzory - odpowiednio na potęgi parzyste i nieparzyste.

Dla wskaźników nawet 2m:

za 2 m - b 2 m = za 2 - b 2 za 2 m - 2 + za 2 m - 4 b 2 + za 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Dla wykładników nieparzystych 2m+1:

za 2 m + 1 - b 2 m + 1 = za 2 - b 2 za 2 m + za 2 m - 1 b + za 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Różnica kwadratów i różnica sześcianów, jak się domyślasz, są specjalnymi przypadkami tego wzoru odpowiednio dla n = 2 i n = 3. W przypadku różnicy kostek b zastępuje się także - b.

Jak czytać skrócone wzory na mnożenie?

Podamy odpowiednie sformułowania dla każdego wzoru, ale najpierw zrozumiemy zasadę czytania wzorów. Najwygodniej jest to zrobić na przykładzie. Weźmy pierwszy wzór na kwadrat sumy dwóch liczb.

za + b 2 = za 2 + 2 za b + b 2 .

Mówią: kwadrat sumy dwóch wyrażeń a i b równa sumie kwadrat pierwszego wyrażenia, dwukrotność iloczynu wyrażeń i kwadratu drugiego wyrażenia.

Wszystkie pozostałe formuły czyta się podobnie. Dla kwadratu różnicy a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 piszemy:

kwadrat różnicy między dwoma wyrażeniami a i b jest równy sumie kwadratów tych wyrażeń minus dwukrotność iloczynu pierwszego i drugiego wyrażenia.

Przeczytajmy wzór a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Sześcian sumy dwóch wyrażeń a i b jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń, potrójnemu iloczynowi kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie i potrójnemu iloczynowi kwadratu drugiego wyrażenia przez pierwsze wyrażenie.

Przejdźmy do przeczytania wzoru na różnicę kostek a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Sześcian różnicy między dwoma wyrażeniami a i b jest równy sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugiego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu drugiego wyrażenia i pierwszego wyrażenia , minus sześcian drugiego wyrażenia.

Piąty wzór a 2 - b 2 = a - b a + b (różnica kwadratów) brzmi następująco: różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy i sumie dwóch wyrażeń.

Dla wygody wyrażenia takie jak a 2 + a b + b 2 i a 2 - a b + b 2 nazywane są odpowiednio niepełnym kwadratem sumy i niepełnym kwadratem różnicy.

Biorąc to pod uwagę, wzory na sumę i różnicę kostek można odczytać w następujący sposób:

Suma kostek dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń i częściowego kwadratu ich różnicy.

Różnica między sześcianami dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy między tymi wyrażeniami i częściowym kwadratem ich sumy.

Dowód FSU

Udowodnienie FSU jest dość proste. W oparciu o właściwości mnożenia będziemy mnożyć części wzorów w nawiasach.

Rozważmy na przykład wzór na kwadrat różnicy.

za - b 2 = za 2 - 2 za b + b 2 .

Aby podnieść wyrażenie do drugiej potęgi, należy je pomnożyć przez samo to wyrażenie.

a - b 2 = a - b a - b .

Rozwińmy nawiasy:

za - b za - b = za 2 - za b - b za + b 2 = za 2 - 2 za b + b 2 .

Formuła jest sprawdzona. Pozostałe FSU są udowodnione podobnie.

Przykłady zastosowań FSU

Celem stosowania skróconych wzorów na mnożenie jest szybkie i zwięzłe mnożenie oraz podnoszenie wyrażeń do potęg. Nie jest to jednak cały zakres stosowania FSU. Są szeroko stosowane w redukowaniu wyrażeń, redukowaniu ułamków i rozkładaniu na czynniki wielomianów. Podajmy przykłady.

Przykład 1. FSU

Uprośćmy wyrażenie 9 y - (1 + 3 y) 2.

Zastosujmy wzór na sumę kwadratów i otrzymamy:

9 lat - (1 + 3 lata) 2 = 9 lat - (1 + 6 lat + 9 lat 2) = 9 lat - 1 - 6 lat - 9 lat 2 = 3 lat - 1 - 9 lat 2

Przykład 2. FSU

Skróćmy ułamek 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Zauważamy, że wyrażeniem w liczniku jest różnica kostek, a w mianowniku różnica kwadratów.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Zmniejszamy i otrzymujemy:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU pomagają również obliczyć wartości wyrażeń. Najważniejsze jest, aby móc zauważyć, gdzie zastosować formułę. Pokażmy to na przykładzie.

Podnieśmy liczbę 79 do kwadratu. Zamiast uciążliwych obliczeń napiszmy:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Wydawałoby się, że złożone obliczenia można przeprowadzić szybko, używając skróconych wzorów na mnożenie i tabliczki mnożenia.

Inny ważny punkt- określenie kwadratu dwumianu. Wyrażenie 4 x 2 + 4 x - 3 można przekształcić na 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Takie przekształcenia są szeroko stosowane w integracji.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.

Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.

Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów postaci standardowej:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.

Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian \(12a^2b - 7b\) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6\) ma drugi stopień.

Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.

Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:

Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.

Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas określenia zawarte w nawiasie zapisuje się znakami przeciwnymi.

Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu

Korzystając z rozdzielności mnożenia, możesz przekształcić (uprościć) iloczyn jednomianu i wielomianu w wielomian. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.

Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.

Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.

Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.

Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów

Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.

Zwykle stosowana jest następująca reguła.

Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.

Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów

Z niektórymi wyrażeniami w przekształceniach algebraicznych musisz mieć do czynienia częściej niż z innymi. Być może najczęstszymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnica i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, np. \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib . Jednak kwadrat sumy a i b nie występuje zbyt często; z reguły zamiast liter a i b zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.

Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej; w rzeczywistości napotkałeś już to zadanie przy mnożeniu wielomianów:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kwadrat sumy jest równy sumie kwadratów i iloczynu podwójnego.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.

Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniej jest zobaczyć odpowiednie wyrażenia i zrozumieć, w jaki sposób zastępowane są w nich zmienne a i b. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.

Skrócone wzory lub reguły mnożenia są używane w arytmetyce, a dokładniej w algebrze, w celu przyspieszenia procesu obliczania dużych wyrażeń algebraicznych. Same wzory wywodzą się z istniejących w algebrze reguł mnożenia kilku wielomianów.

Zastosowanie tych wzorów zapewnia dość szybkie rozwiązanie różnych problemy matematyczne, a także pomaga uprościć wyrażenia. Zasady przekształcenia algebraiczne pozwalają na wykonanie pewnych manipulacji wyrażeniami, po czym można uzyskać po lewej stronie równości wyrażenie po prawej stronie lub przekształcić prawa strona równość (aby uzyskać wyrażenie po lewej stronie po znaku równości).

Wygodnie jest znać wzory używane do skróconego mnożenia z pamięci, ponieważ często są one używane do rozwiązywania problemów i równań. Poniżej znajdują się główne formuły zawarte na tej liście i ich nazwy.

Kwadrat sumy

Aby obliczyć kwadrat sumy, musisz znaleźć sumę składającą się z kwadratu pierwszego wyrazu, dwukrotności iloczynu pierwszego wyrazu i drugiego oraz kwadratu drugiego. Jako wyraz ta reguła zapisuje się następująco: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Kwadratowa różnica

Aby obliczyć kwadrat różnicy, należy obliczyć sumę składającą się z kwadratu pierwszej liczby, dwukrotności iloczynu pierwszej liczby i drugiej (wziętej z przeciwnym znakiem) oraz kwadratu drugiej liczby. W formie wyrażenia zasada ta wygląda następująco: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Różnica kwadratów

Wzór na różnicę dwóch liczb do kwadratu jest równy iloczynowi sumy tych liczb i ich różnicy. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Sześcian sumy

Aby obliczyć sześcian sumy dwóch wyrazów, należy obliczyć sumę składającą się z sześcianu pierwszego wyrazu, potrójnego iloczynu kwadratu pierwszego wyrazu i drugiego, potrójnego iloczynu pierwszego wyrazu i drugiego wyrazu kwadrat i sześcian drugiego wyrazu. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Suma kostek

Zgodnie ze wzorem jest on równy iloczynowi sumy tych wyrazów i ich niepełnego kwadratu różnicy. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury utworzonej przez dodanie dwóch kostek. Znane są jedynie rozmiary ich boków.

Jeśli wartości boczne są małe, obliczenia są proste.

Jeśli długości boków wyrażone są uciążliwymi liczbami, wówczas w tym przypadku łatwiej jest zastosować wzór „Suma kostek”, co znacznie uprości obliczenia.

Kostka różnicowa

Wyrażenie różnicy sześciennej brzmi następująco: jako suma trzeciej potęgi pierwszego członu, potrójny iloczyn ujemny kwadratu pierwszego wyrazu przez drugi, potrójny iloczyn pierwszego wyrazu przez kwadrat drugiego wyrazu i sześcian ujemny drugiego członu. Jak wyrażenie matematyczne sześcian różnicy wygląda następująco: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Różnica kostek

Wzór na różnicę kostek różni się od sumy kostek tylko jednym znakiem. Zatem różnica sześcianów jest wzorem, równy produktowi różnica między tymi liczbami jako ich częściowa suma kwadratowa. W formie wyrażenia matematycznego różnica kostek wygląda następująco: a 3 - c 3 = (a - c)(a 2 + ac + c 2).

Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury, która pozostanie po odjęciu liczby wolumetrycznej od objętości niebieskiej kostki żółty kolor, który jest również sześcianem. Znany jest tylko rozmiar boku małego i dużego sześcianu.

Jeśli wartości boczne są małe, obliczenia są dość proste. A jeśli długości boków wyrażone są w liczbach znaczących, warto zastosować wzór zatytułowany „Różnica kostek” (lub „Kostka różnicy”), co znacznie uprości obliczenia.

Służą do upraszczania obliczeń, a także rozkładu wielomianów na czynniki i szybkiego mnożenia wielomianów. Większość skróconych wzorów na mnożenie można uzyskać z dwumianu Newtona - wkrótce to zobaczysz.

Wzory na kwadraty częściej używane w obliczeniach. Rozpoczynają naukę w ramach szkolnego programu nauczania począwszy od siódmej klasy i do końca nauki uczniowie muszą znać na pamięć wzory na kwadraty i sześciany.

Wzory na kostki niezbyt skomplikowane i trzeba je znać, redukując wielomiany do postaci standardowej, aby uprościć podnoszenie sumy lub różnicy zmiennej i liczby do sześcianu.

Wzory zaznaczone na czerwono uzyskano z poprzednich, grupując podobne terminy.

Wzory na czwarty i piąty stopień V kurs szkolny Niewielu osobom uzna to za przydatne, ale w nauce wyższej matematyki, gdzie trzeba obliczać współczynniki potęg, pojawiają się problemy.

Wzory na stopień n są zapisywane poprzez współczynniki dwumianowe przy użyciu następujących silni

Przykłady stosowania skróconych wzorów na mnożenie

Przykład 1. Oblicz 51^2.

Rozwiązanie. Jeśli masz kalkulator, znajdziesz go bez problemu.

Żartowałem - z kalkulatorem każdy jest mądry, bez niego... (nie rozmawiajmy o smutnych rzeczach).

Bez kalkulatora i znając powyższe zasady, obliczamy kwadrat liczby korzystając z reguły

Przykład 2. Znajdź 99^2.

Rozwiązanie. Zastosujmy drugą formułę

Przykład 3: Podnieś wyrażenie do kwadratu
(x+y-3).

Rozwiązanie. W myślach uważamy, że suma pierwszych dwóch wyrazów jest jednym wyrazem i korzystając z drugiego wzoru na skrócone mnożenie, mamy

Przykład 4. Znajdź różnicę kwadratów
11^2-9^2.

Rozwiązanie. Ponieważ liczby są małe, możesz po prostu zastąpić wartości kwadratów

Ale nasz cel jest zupełnie inny - nauczyć się używać skróconych wzorów mnożenia w celu uproszczenia obliczeń. W tym przykładzie zastosujemy trzecią formułę

Przykład 5. Znajdź różnicę kwadratów
17^2-3^2 .

Rozwiązanie. W tym przykładzie będziesz już chciał przestudiować zasady ograniczania obliczeń do jednej linii

Jak widać, nie zrobiliśmy nic zaskakującego.

Przykład 6: Uprość wyrażenie
(x-y)^2-(x+y)^2.

Rozwiązanie. Możesz rozłożyć kwadraty i później pogrupować podobne terminy. Można jednak bezpośrednio zastosować różnicę kwadratów

Proste i bez długich rozwiązań.

Przykład 7. Kostka wielomianu
x^3-4.

Rozwiązanie . Zastosujmy skróconą formułę mnożenia 5

Przykład 8. Zapisz jako różnicę kwadratów lub ich sumę
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29

Rozwiązanie. a) Zmień układ terminów

b) Uprość w oparciu o poprzednie argumenty

Przykład 9. Rozwiń ułamek wymierny

Rozwiązanie. Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów

Utwórzmy układ równań w celu wyznaczenia stałych

Dodajmy drugie do potrojonego pierwszego równania. Podstawiamy znalezioną wartość do pierwszego równania

Rozkład w końcu przybierze formę

Rozszerzanie ułamka wymiernego jest często konieczne przed całkowaniem, aby zmniejszyć potęgę mianownika.

Przykład 10. Korzystając z dwumianu Newtona, napisz
wyrażenie (x-a)^7.

Rozwiązanie. Prawdopodobnie już wiesz, czym jest dwumian Newtona. Jeśli nie, poniżej znajdują się współczynniki dwumianu

Tworzy się je w następujący sposób: jednostki idą wzdłuż krawędzi, współczynniki między nimi w dolnej linii powstają poprzez zsumowanie sąsiednich górnych. Jeśli w pewnym stopniu szukamy różnicy, wówczas znaki w harmonogramie zmieniają się od plusa do minusa. Zatem dla siódmego rzędu otrzymujemy następujący układ

Przyjrzyj się także uważnie, jak zmieniają się wskaźniki - dla pierwszej zmiennej zmniejszają się odpowiednio o jeden w każdym kolejnym okresie, dla drugiej zwiększają się o jeden. W sumie wskaźniki muszą być zawsze równe stopniowi rozkładu (=7).

Myślę, że w oparciu o powyższy materiał będziesz w stanie rozwiązać problemy za pomocą dwumianu Newtona. Poznaj skrócone wzory na mnożenie i stosuj je wszędzie tam, gdzie mogą uprościć obliczenia i zaoszczędzić czas na wykonaniu zadania.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań, aby ulepszyć świadczone przez nas usługi i przedstawić Państwu rekomendacje dotyczące naszych usług.
Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.