Jaka jest suma postępu arytmetycznego. Postęp arytmetyczny - ciąg liczb

Tak, tak: progresja arytmetyczna nie jest dla Ciebie zabawką :)

Cóż, przyjaciele, jeśli czytacie ten tekst, to wewnętrzne dowody na kapsle mówią mi, że nadal nie wiecie, co to jest postęp arytmetyczny, ale naprawdę (nie, w ten sposób: SOOOOO!) chcecie wiedzieć. Dlatego nie będę Was męczyć długimi prezentacjami i od razu zabiorę się do rzeczy.

Na początek kilka przykładów. Rozważ kilka zestawów liczb:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Co mają ze sobą wspólnego wszystkie te zestawy? Na pierwszy rzut oka nic. Ale tak naprawdę jest coś. Mianowicie: każdy kolejny element różni się od poprzedniego o ten sam numer.

Sędzia dla siebie. Pierwszy zestaw to tylko kolejne liczby, każda większa od poprzedniej. W drugim przypadku różnica między sąsiednimi liczbami jest już równa pięciu, ale ta różnica jest nadal stała. W trzecim przypadku są ogólnie korzenie. Jednak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, a $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, czyli w takim przypadku każdy następny element po prostu wzrasta o $\sqrt(2)$ (i nie bój się, że ta liczba jest nieracjonalna).

Tak więc: wszystkie takie sekwencje nazywane są po prostu postępami arytmetycznymi. Podajmy ścisłą definicję:

Definicja. Ciąg liczb, w którym każda następna różni się od poprzedniej dokładnie o taką samą wartość, nazywa się postępem arytmetycznym. Sama kwota, o którą liczby się różnią, nazywana jest różnicą progresji i jest najczęściej oznaczana literą $d$.

Notacja: $\left(((a)_(n)) \right)$ to sama progresja, $d$ to jej różnica.

I tylko kilka ważnych uwag. Po pierwsze, progresja jest brana pod uwagę tylko uporządkowany ciąg liczb: można je czytać ściśle w kolejności, w jakiej zostały napisane - i nic więcej. Nie możesz zmienić ani zamienić numerów.

Po drugie, sama sekwencja może być skończona lub nieskończona. Na przykład zbiór (1; 2; 3) jest oczywiście skończonym ciągiem arytmetycznym. Ale jeśli napiszesz coś takiego (1; 2; 3; 4; ...) - to już jest nieskończony postęp. Wielokropek po czwórce niejako wskazuje, że sporo liczb idzie dalej. Nieskończenie dużo np. :)

Chciałbym również zauważyć, że progresje rosną i maleją. Widzieliśmy już rosnące - ten sam zestaw (1; 2; 3; 4; ...). Oto przykłady malejących progresji:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobra, dobra: ostatni przykład może wydawać się zbyt skomplikowany. Ale myślę, że resztę rozumiesz. Dlatego wprowadzamy nowe definicje:

Definicja. Postęp arytmetyczny nazywa się:

wzrasta, jeśli każdy następny element jest większy od poprzedniego;

maleje, jeśli wręcz przeciwnie, każdy kolejny element jest mniejszy niż poprzedni.

Ponadto istnieją tak zwane sekwencje „stacjonarne” – składają się z tej samej powtarzającej się liczby. Na przykład (3; 3; 3; ...).

Pozostaje tylko jedno pytanie: jak odróżnić postęp rosnący od malejącego? Na szczęście wszystko tutaj zależy tylko od znaku liczby $d$, czyli różnice w progresji:

Jeśli $d \gt 0$, to progresja rośnie;
Jeśli $d \lt 0$, to progresja oczywiście maleje;
Wreszcie mamy przypadek $d=0$ — w tym przypadku cała progresja sprowadza się do stacjonarnego ciągu identycznych liczb: (1; 1; 1; 1; ...) itd.

Spróbujmy obliczyć różnicę $d$ dla trzech postępów malejących powyżej. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolne dwa sąsiednie elementy (na przykład pierwszy i drugi) i odjąć od liczby po prawej stronie, liczby po lewej. Będzie to wyglądać tak:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Jak widać, we wszystkich trzech przypadkach różnica rzeczywiście okazała się ujemna. A teraz, gdy mniej więcej ustaliliśmy definicje, nadszedł czas, aby dowiedzieć się, jak opisane są progresje i jakie mają właściwości.

Członkowie progresji i formuły rekurencyjnej

Ponieważ elementy naszych sekwencji nie mogą być zamieniane, można je ponumerować:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \prawo$\]

Poszczególne elementy tego zestawu nazywane są członkami progresji. Są one wskazywane w ten sposób za pomocą numeru: pierwszy członek, drugi członek i tak dalej.

Ponadto, jak już wiemy, sąsiadujące elementy progresji są powiązane wzorem:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Strzałka w prawo ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Krótko mówiąc, aby znaleźć $n-ty człon progresji, musisz znać $n-1-ty człon i różnicę $d$. Taka formuła nazywa się rekurencyjna, ponieważ za jej pomocą można znaleźć dowolną liczbę, znając tylko poprzednią (a właściwie wszystkie poprzednie). Jest to bardzo niewygodne, więc istnieje bardziej skomplikowany wzór, który redukuje wszelkie obliczenia do pierwszego terminu i różnicy:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Prawdopodobnie spotkałeś się już wcześniej z tą formułą. Lubią je podawać w różnego rodzaju leksykonach i reszebnikach. I w każdym sensownym podręczniku matematyki jest jednym z pierwszych.

Proponuję jednak trochę poćwiczyć.

Zadanie numer 1. Zapisz pierwsze trzy wyrazy ciągu arytmetycznego $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

Rozwiązanie. Znamy więc pierwszy wyraz $((a)_(1))=8$ i różnicę progresji $d=-5$. Użyjmy podanej formuły i zastąpmy $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Odpowiedź: (8; 3; -2)

To wszystko! Zauważ, że nasz postęp się zmniejsza.

Oczywiście $n=1$ nie mogło zostać zastąpione - znamy już pierwszy termin. Jednak podmieniając jednostkę upewniliśmy się, że nawet w pierwszym semestrze nasza formuła działa. W innych przypadkach wszystko sprowadzało się do banalnej arytmetyki.

Zadanie nr 2. Wypisz pierwsze trzy wyrazy progresji arytmetycznej, jeśli siódmy wyraz wynosi -40, a siedemnasty wyraz -50.

Rozwiązanie. Stan problemu piszemy w zwykły sposób:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(wyrównaj) \prawo.\]

\[\left\( \begin(wyrównaj) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(wyrównaj) \prawo.\]

Umieszczam znak systemu, ponieważ te wymagania muszą być spełnione jednocześnie. A teraz zauważamy, że jeśli odejmiemy pierwsze równanie od drugiego (mamy do tego prawo, ponieważ mamy system), otrzymamy to:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Tak po prostu znaleźliśmy różnicę w progresji! Pozostaje podstawić znalezioną liczbę w dowolnym równaniu układu. Na przykład w pierwszym:

\[\begin(macierz) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \koniec(matryca)\]

Teraz, znając pierwszy wyraz i różnicę, pozostaje znaleźć drugi i trzeci wyraz:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Gotowy! Problem rozwiązany.

Odpowiedź: (-34; -35; -36)

Zwróć uwagę na ciekawą właściwość progresji, którą odkryliśmy: jeśli weźmiemy $n$-ty i $m$-ty wyraz i odejmiemy je od siebie, to otrzymamy różnicę progresji pomnożoną przez liczbę $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Prosta, ale bardzo przydatna właściwość, którą zdecydowanie powinieneś znać - z jej pomocą możesz znacznie przyspieszyć rozwiązanie wielu problemów progresji. Oto doskonały przykład tego:

Zadanie nr 3. Piąty wyraz progresji arytmetycznej to 8,4, a dziesiąty to 14,4. Znajdź piętnasty semestr tego postępu.

Rozwiązanie. Ponieważ $((a)_(5)=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ i musimy znaleźć $((a)_(15))$, zwracamy uwagę:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Ale z warunku $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, czyli $5d=6$, skąd mamy:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20,4. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Odpowiedź: 20,4

To wszystko! Nie musieliśmy tworzyć żadnych układów równań i obliczać pierwszego członu i różnicy - wszystko zostało rozstrzygnięte w zaledwie kilku linijkach.

Rozważmy teraz inny rodzaj problemu - poszukiwanie negatywnych i pozytywnych członków progresji. Nie jest tajemnicą, że jeśli progresja wzrasta, podczas gdy jej pierwszy termin jest ujemny, to prędzej czy później pojawią się w nim dodatnie. I odwrotnie: warunki progresji malejącej prędzej czy później staną się ujemne.

Jednocześnie nie zawsze można znaleźć ten moment „na czole”, sekwencyjnie sortując elementy. Często zadania są zaprojektowane w taki sposób, że bez znajomości formuł obliczenia zajęłyby kilka arkuszy – po prostu zasypialiśmy, dopóki nie znaleźliśmy odpowiedzi. Dlatego postaramy się rozwiązać te problemy w szybszy sposób.

Zadanie nr 4. Ile wyrazów ujemnych w ciągu arytmetycznym -38,5; -35,8; …?

Rozwiązanie. Czyli $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, od czego od razu znajdujemy różnicę:

Zauważ, że różnica jest dodatnia, więc progresja rośnie. Pierwszy wyraz jest ujemny, więc rzeczywiście w pewnym momencie natkniemy się na liczby dodatnie. Pytanie tylko, kiedy to się stanie.

Spróbujmy dowiedzieć się: jak długo (tj. do jakiej liczby naturalnej $n$) zachowana jest ujemność wyrazów:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \prawo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Strzałka w prawo ((n)_(\max ))=15. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Ostatnia linia wymaga wyjaśnienia. Wiemy więc, że $n \lt 15\frac(7)(27)$. Z drugiej strony będą nam odpowiadać tylko wartości całkowite tej liczby (dodatkowo: $n\in \mathbb(N)$), więc największa dopuszczalna liczba to dokładnie $n=15$, a w żadnym wypadku 16.

Zadanie nr 5. W postępie arytmetycznym $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Znajdź numer pierwszego pozytywnego wyrazu tego progresji.

Byłby to dokładnie ten sam problem, co poprzedni, ale nie znamy $((a)_(1))$. Ale sąsiednie wyrazy są znane: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, więc możemy łatwo znaleźć różnicę progresji:

Dodatkowo spróbujmy wyrazić piąty wyraz w kategoriach pierwszego i różnicy za pomocą standardowego wzoru:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Teraz postępujemy analogicznie do poprzedniego problemu. Dowiadujemy się, w którym momencie naszego ciągu pojawią się liczby dodatnie:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Strzałka w prawo ((n)_(\min ))=56. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Minimalnym całkowitym rozwiązaniem tej nierówności jest liczba 56.

Zwróć uwagę, że w ostatnim zadaniu wszystko zostało zredukowane do ścisłej nierówności, więc opcja $n=55$ nam nie odpowiada.

Teraz, gdy nauczyliśmy się rozwiązywać proste problemy, przejdźmy do bardziej złożonych. Ale najpierw poznajmy kolejną bardzo przydatną właściwość progresji arytmetycznych, która zaoszczędzi nam wiele czasu i nierównych komórek w przyszłości :)

Średnia arytmetyczna i równe wcięcia

Rozważmy kilka kolejnych wyrazów rosnącego ciągu arytmetycznego $\left(((a)_(n)) \right)$. Spróbujmy zaznaczyć je na osi liczbowej:

Członkowie postępu arytmetycznego na osi liczbowej

Konkretnie zwróciłem uwagę na dowolne elementy $((a)_(n-3),...,((a)_(n+3))$, a nie na żadnych $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Ponieważ reguła, o której ci teraz powiem, działa tak samo dla dowolnych „segmentów”.

A zasada jest bardzo prosta. Zapamiętajmy formułę rekurencyjną i zapiszmy ją dla wszystkich zaznaczonych członków:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \koniec(wyrównaj)\]

Jednak te równości można przepisać inaczej:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \koniec(wyrównaj)\]

No i co z tego? Ale fakt, że wyrazy $((a)_(n-1)$ i $((a)_(n+1))$ leżą w tej samej odległości od $((a)_(n)) $ . A ta odległość jest równa $d$. To samo można powiedzieć o wyrażeniach $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - są one również usuwane z $((a)_(n) )$ o tę samą odległość równą 2d$. Możesz kontynuować w nieskończoność, ale obrazek dobrze ilustruje znaczenie

Członkowie progresji leżą w tej samej odległości od centrum

Co to dla nas oznacza? Oznacza to, że możesz znaleźć $((a)_(n))$, jeśli znane są sąsiednie liczby:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Wywnioskowaliśmy wspaniałe stwierdzenie: każdy element progresji arytmetycznej jest równy średniej arytmetycznej sąsiednich elementów! Co więcej, możemy odejść od naszych $((a)_(n))$ w lewo i w prawo nie o jeden krok, ale o $k$ kroków — a i tak formuła będzie prawdziwa:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tych. możemy łatwo znaleźć jakieś $((a)_(150))$, jeśli znamy $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, ponieważ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że ten fakt nie daje nam niczego pożytecznego. Jednak w praktyce wiele zadań jest specjalnie „wyostrzanych” do użycia średniej arytmetycznej. Spójrz:

Zadanie numer 6. Znajdź wszystkie wartości $x$ takie, że liczby $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ są kolejnymi członkami postęp arytmetyczny (w określonej kolejności).

Rozwiązanie. Ponieważ liczby te należą do progresji, spełniony jest dla nich warunek średniej arytmetycznej: element centralny $x+1$ można wyrazić jako elementy sąsiednie:

\[\begin(wyrównaj) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Rezultatem jest klasyczne równanie kwadratowe. Jego pierwiastki: $x=2$ i $x=-3$ są odpowiedziami.

Odpowiedź: -3; 2.

Zadanie numer 7. Znajdź wartości $$ takie, że liczby $-1;4-3;(()^(2))+1$ tworzą ciąg arytmetyczny (w tej kolejności).

Rozwiązanie. Ponownie wyrażamy środkowy wyraz w kategoriach średniej arytmetycznej sąsiednich wyrazów:

\[\begin(wyrównaj) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\prawo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Kolejne równanie kwadratowe. I znowu dwa pierwiastki: $x=6$ i $x=1$.

Odpowiedź 1; 6.

Jeśli w trakcie rozwiązywania problemu otrzymasz brutalne liczby lub nie jesteś całkowicie pewien poprawności znalezionych odpowiedzi, istnieje wspaniała sztuczka, która pozwala sprawdzić: czy rozwiązaliśmy problem poprawnie?

Powiedzmy, że w zadaniu 6 otrzymaliśmy odpowiedzi -3 i 2. Jak możemy sprawdzić, czy te odpowiedzi są poprawne? Po prostu podłączmy je do oryginalnego stanu i zobaczmy, co się stanie. Przypomnę, że mamy trzy liczby ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$), które powinny tworzyć ciąg arytmetyczny. Zastąp $x=-3 $:

\[\begin(wyrównaj) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \koniec(wyrównaj)\]

Mamy liczby -54; -2; 50, które różnią się o 52, to niewątpliwie postęp arytmetyczny. To samo dzieje się dla $x=2$:

\[\begin(wyrównaj) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \koniec(wyrównaj)\]

Znowu progresja, ale z różnicą 27. W ten sposób problem został rozwiązany poprawnie. Ci, którzy chcą, mogą sami sprawdzić drugie zadanie, ale od razu powiem: tam też wszystko jest w porządku.

Generalnie, rozwiązując ostatnie problemy, natknęliśmy się na jeszcze jeden ciekawy fakt, o którym również należy pamiętać:

Jeśli trzy liczby są takie, że druga jest średnią z pierwszej i ostatniej, to te liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

W przyszłości zrozumienie tego stwierdzenia pozwoli nam dosłownie „skonstruować” niezbędne progresje w oparciu o stan problemu. Zanim jednak zajmiemy się taką „konstrukcją”, należy zwrócić uwagę na jeszcze jeden fakt, który bezpośrednio wynika z tego, co już zostało rozważone.

Grupowanie i suma elementów

Wróćmy jeszcze raz do osi liczbowej. Odnotowujemy tam kilku członków progresji, między którymi być może. warte wielu innych członków:

6 elementów zaznaczonych na osi liczbowej

Spróbujmy wyrazić "lewy ogon" jako $((a)_(n))$ i $d$, a "prawy ogon" jako $((a)_(k))$ i $ d$. To jest bardzo proste:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Teraz zauważ, że następujące sumy są równe:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \koniec(wyrównaj)\]

Mówiąc najprościej, jeśli weźmiemy za początek dwa elementy progresji, które w sumie są równe jakiejś liczbie $S$, a następnie zaczniemy od tych elementów odchodzić w przeciwnych kierunkach (do siebie lub odwrotnie, aby się oddalić), następnie sumy elementów, na które się natkniemy, również będą równe$S$. Można to najlepiej przedstawić graficznie:

Te same wcięcia dają równe sumy

Zrozumienie tego faktu pozwoli nam rozwiązywać problemy o fundamentalnie wyższym poziomie złożoności niż te, które rozważaliśmy powyżej. Na przykład te:

Zadanie numer 8. Wyznacz różnicę ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy składnik wynosi 66, a iloczyn drugiego i dwunastego składnika jest najmniejszy z możliwych.

Rozwiązanie. Zapiszmy wszystko, co wiemy:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \koniec(wyrównaj)\]

Nie znamy więc różnicy progresji $d$. Właściwie całe rozwiązanie zostanie zbudowane wokół różnicy, ponieważ iloczyn $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \koniec(wyrównaj)\]

Dla tych w zbiorniku: wziąłem wspólny czynnik 11 z drugiego przedziału. Zatem pożądany iloczyn jest funkcją kwadratową względem zmiennej $d$. Rozważmy zatem funkcję $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej wykres będzie parabolą z rozgałęzieniami do góry, ponieważ jeśli otworzymy nawiasy, otrzymamy:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(wyrównaj)\]

Jak widać, współczynnik o najwyższym członie wynosi 11 - jest to liczba dodatnia, więc tak naprawdę mamy do czynienia z parabolą z rozgałęzieniami do góry:

wykres funkcji kwadratowej - parabola
Uwaga: ta parabola przyjmuje swoją minimalną wartość w wierzchołku z odciętą $((d)_(0))$. Oczywiście tę odciętą możemy obliczyć według standardowego schematu (jest wzór $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale znacznie rozsądniej byłoby zauważ, że żądany wierzchołek leży na osi symetrii paraboli, więc punkt $((d)_(0))$ jest w równej odległości od pierwiastków równania $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(wyrównaj) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Dlatego nie spieszyłem się z otwieraniem nawiasów: w pierwotnej formie korzenie były bardzo, bardzo łatwe do znalezienia. Zatem odcięta jest równa średniej arytmetycznej liczb -66 i -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Co daje nam odkrytą liczbę? Dzięki niej wymagany iloczyn przyjmuje najmniejszą wartość (swoją drogą nie obliczyliśmy $((y)_(\min ))$ - nie jest to od nas wymagane). Jednocześnie liczba ta jest różnicą progresji początkowej, tj. znaleźliśmy odpowiedź :)

Odpowiedź: -36

Zadanie numer 9. Wstaw trzy liczby pomiędzy liczby $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ tak, aby razem z podanymi liczbami tworzyły ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie. W rzeczywistości musimy stworzyć sekwencję pięciu liczb, przy czym pierwsza i ostatnia liczba jest już znana. Oznacz brakujące liczby przy pomocy zmiennych $x$, $y$ i $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Zauważ, że liczba $y$ jest "środkiem" naszego ciągu - jest w równej odległości od liczb $x$ i $z$ oraz od liczb $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)(6)$. A jeśli w tej chwili nie możemy uzyskać $y$ z liczb $x$ i $z$, to sytuacja jest inna z końcami progresji. Zapamiętaj średnią arytmetyczną:

Teraz, znając $y$, znajdziemy pozostałe liczby. Zauważ, że $x$ leży między $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$ właśnie znalezioną. Dlatego

Argumentując podobnie, znajdujemy pozostałą liczbę:

Gotowy! Znaleźliśmy wszystkie trzy numery. Zapiszmy je w odpowiedzi w kolejności, w jakiej powinny być wstawione pomiędzy oryginalne liczby.

Odpowiedź: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadanie nr 10. Pomiędzy cyframi 2 i 42 wstaw kilka liczb, które wraz z podanymi liczbami tworzą ciąg arytmetyczny, jeśli wiadomo, że suma pierwszej, drugiej i ostatniej z wprowadzonych liczb wynosi 56.

Rozwiązanie. Jeszcze trudniejsze zadanie, które jednak rozwiązuje się identycznie jak poprzednie – poprzez średnią arytmetyczną. Problem polega na tym, że nie wiemy dokładnie, ile liczb wstawić. Dlatego dla jednoznaczności zakładamy, że po wstawieniu będzie dokładnie $n$ liczb, a pierwsza z nich to 2, a ostatnia to 42. W tym przypadku pożądany ciąg arytmetyczny można przedstawić jako:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \prawo$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Zauważ jednak, że liczby $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ są otrzymywane z liczb 2 i 42 stojących na krawędziach o jeden krok do siebie , czyli . do środka sekwencji. A to oznacza, że

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale wtedy powyższe wyrażenie można przepisać w ten sposób:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Znając $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$ możemy łatwo znaleźć różnicę progresji:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Strzałka w prawo d=5. \\ \koniec(wyrównaj)\]

Pozostaje tylko znaleźć pozostałych członków:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \koniec(wyrównaj)\]

Tak więc już w 9 kroku dojdziemy do lewego końca ciągu - liczby 42. W sumie trzeba było wstawić tylko 7 liczb: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpowiedź: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Zadania tekstowe z postępami

Na zakończenie chciałbym rozważyć kilka stosunkowo prostych problemów. Cóż, jako proste: dla większości uczniów, którzy studiują matematykę w szkole i nie czytali tego, co jest napisane powyżej, zadania te mogą wydawać się gestem. Niemniej jednak to właśnie takie zadania pojawiają się w OGE i USE w matematyce, dlatego polecam zapoznać się z nimi.

Zadanie numer 11. W styczniu zespół wyprodukował 62 części, a w każdym kolejnym miesiącu wyprodukował o 14 więcej części niż w poprzednim. Ile części wyprodukowała brygada w listopadzie?

Rozwiązanie. Oczywiście, liczba części malowanych z miesiąca na miesiąc będzie coraz większym postępem arytmetycznym. I:

\[\begin(wyrównaj) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Listopad jest 11 miesiącem roku, więc musimy znaleźć $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Dlatego w listopadzie wyprodukowanych zostanie 202 części.

Zadanie numer 12. W styczniu introligatornia oprawiała 216 książek, a każdego miesiąca oprawiała o 4 książki więcej niż w poprzednim miesiącu. Ile książek oprawiły warsztaty w grudniu?

Rozwiązanie. Wszystkie takie same:

$\begin(wyrównaj) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Grudzień jest ostatnim, 12. miesiącem roku, więc szukamy $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Oto odpowiedź - 260 książek zostanie oprawionych w grudniu.

Cóż, jeśli doczytałeś tak daleko, spieszę ci pogratulować: pomyślnie ukończyłeś „kurs dla młodych wojowników” w progresjach arytmetycznych. Możemy spokojnie przejść do kolejnej lekcji, gdzie przestudiujemy formułę sumy progresji, a także ważne i bardzo przydatne konsekwencje z niej płynące.

IV Jakowlew | Materiały matematyczne | MathUs.ru

Postęp arytmetyczny

Postęp arytmetyczny to szczególny rodzaj ciągu. Dlatego przed zdefiniowaniem ciągu arytmetycznego (a następnie geometrycznego) musimy krótko omówić ważne pojęcie ciągu liczb.

Podciąg

Wyobraź sobie urządzenie na ekranie, którego niektóre liczby są wyświetlane jedna po drugiej. Powiedzmy, że 2; 7; 13; jeden; 6; 0; 3; : : : Taki zbiór liczb to tylko przykład ciągu.

Definicja. Sekwencja liczbowa to zbiór liczb, w którym każdej liczbie można przypisać niepowtarzalną liczbę (czyli odpowiadać jednej liczbie naturalnej)1. Liczba o numerze n nazywana jest n-tym elementem ciągu.

Tak więc w powyższym przykładzie pierwsza liczba ma liczbę 2, która jest pierwszym elementem ciągu, który może być oznaczony przez a1 ; liczba pięć ma liczbę 6, która jest piątym elementem ciągu, który może być oznaczony jako a5 . Ogólnie rzecz biorąc, n-ty element sekwencji jest oznaczony przez an (lub bn , cn , itd.).

Bardzo dogodna sytuacja ma miejsce, gdy n-ty element ciągu może być określony przez jakiś wzór. Na przykład formuła an = 2n 3 określa sekwencję: 1; jeden; 3; 5; 7; : : : Formuła an = (1)n definiuje sekwencję: 1; jeden; jeden; jeden; : : :

Nie każdy zestaw liczb jest sekwencją. Tak więc segment nie jest sekwencją; zawiera ¾zbyt wiele¿ liczb, aby można było zmienić ich numerację. Zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych również nie jest ciągiem. Fakty te są udowadniane w toku analizy matematycznej.

Postęp arytmetyczny: podstawowe definicje

Teraz jesteśmy gotowi do zdefiniowania progresji arytmetycznej.

Definicja. Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz (począwszy od drugiego) jest równy sumie wyrazu poprzedniego i pewnej ustalonej liczby (zwanej różnicą ciągu arytmetycznego).

Na przykład sekwencja 2; 5; osiem; jedenaście; : : : to ciąg arytmetyczny z pierwszym terminem 2 i różnicą 3. Sekwencja 7; 2; 3; osiem; : : : to ciąg arytmetyczny z pierwszym terminem 7 i różnicą 5. Sekwencja 3; 3; 3; : : : to ciąg arytmetyczny z zerową różnicą.

Definicja równoważna: Sekwencja an nazywana jest postępem arytmetycznym, jeśli różnica an+1 an jest stała (nie zależna od n).

Mówi się, że postęp arytmetyczny wzrasta, jeśli jego różnica jest dodatnia, i maleje, jeśli jego różnica jest ujemna.

1 A oto bardziej zwięzła definicja: ciąg to funkcja zdefiniowana na zbiorze liczb naturalnych. Na przykład ciąg liczb rzeczywistych to funkcja f:N! R.

Domyślnie sekwencje są uważane za nieskończone, to znaczy zawierające nieskończoną liczbę liczb. Ale nikt nie zawraca sobie głowy rozważaniem również ciągów skończonych; w rzeczywistości każdy skończony zbiór liczb można nazwać ciągiem skończonym. Na przykład końcowa sekwencja 1; 2; 3; cztery; 5 składa się z pięciu liczb.

Formuła n-tego elementu progresji arytmetycznej

Łatwo zrozumieć, że postęp arytmetyczny jest całkowicie określony przez dwie liczby: pierwszy wyraz i różnicę. Powstaje zatem pytanie: jak, znając pierwszy wyraz i różnicę, znaleźć dowolny wyraz postępu arytmetycznego?

Uzyskanie pożądanego wzoru na n-ty wyraz postępu arytmetycznego nie jest trudne. Niech

progresja arytmetyczna z różnicą d. Mamy:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
W szczególności piszemy:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
a teraz staje się jasne, że wzór na a to:
an = a1 + (n 1)d:

Zadanie 1. W progresji arytmetycznej 2; 5; osiem; jedenaście; : : : znajdź wzór n-tego wyrazu i oblicz setny wyraz.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (1) mamy:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Własność i znak postępu arytmetycznego

właściwość postępu arytmetycznego. W postępie arytmetycznym i dla każdego

Innymi słowy, każdy element ciągu arytmetycznego (począwszy od drugiego) jest średnią arytmetyczną sąsiednich elementów.

	Dowód. Mamy:
	za n 1+ za n+1		(i d) + (i + d)

co było wymagane.

Bardziej ogólnie, postęp arytmetyczny spełnia równość

a n = a n k+ a n+k

dla dowolnego n > 2 i dowolnego naturalnego k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Okazuje się, że wzór (2) jest nie tylko warunkiem koniecznym, ale i wystarczającym, aby ciąg był ciągiem arytmetycznym.

Znak postępu arytmetycznego. Jeśli równość (2) zachodzi dla wszystkich n > 2, to ciąg an jest ciągiem arytmetycznym.

Dowód. Zapiszmy formułę (2) w następujący sposób:

a na n 1= a n+1a n:

To pokazuje, że różnica an+1 an nie zależy od n, a to po prostu oznacza, że ciąg an jest ciągiem arytmetycznym.

Własność i znak postępu arytmetycznego można sformułować jako jedno zdanie; dla wygody zrobimy to dla trzech liczb (jest to sytuacja, która często występuje w problemach).

Charakteryzacja ciągu arytmetycznego. Trzy liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy 2b = a + c.

Zadanie 2. (Moskiewski Uniwersytet Państwowy, Wydział Ekonomiczny, 2007) Trzy liczby 8x, 3 x2 i 4 w określonej kolejności tworzą malejący ciąg arytmetyczny. Znajdź x i zapisz różnicę tego progresji.

Rozwiązanie. Na podstawie własności postępu arytmetycznego mamy:

2(3x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Jeśli x = 1, to otrzymuje się progresję malejącą 8, 2, 4 z różnicą 6. Jeśli x = 5, to otrzymuje się progresję rosnącą 40, 22, 4; ten przypadek nie działa.

Odpowiedź: x = 1, różnica wynosi 6.

Suma pierwszych n wyrazów progresji arytmetycznej

Legenda głosi, że pewnego razu nauczycielka kazała dzieciom znaleźć sumę liczb od 1 do 100 i usiadła do cichego czytania gazety. Jednak w ciągu kilku minut jeden z chłopców powiedział, że rozwiązał problem. Był to 9-letni Carl Friedrich Gauss, późniejszy jeden z najwybitniejszych matematyków w historii.

Pomysł małego Gaussa był taki. Wynajmować

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapiszmy tę sumę w odwrotnej kolejności:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

i dodaj te dwie formuły:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Każdy termin w nawiasie jest równy 101, a w sumie jest 100 takich terminów

2S = 101 100 = 10100;

Używamy tego pomysłu, aby wyprowadzić wzór sumy

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Przydatną modyfikację wzoru (3) uzyskuje się przez podstawienie do niego wzoru dla n-tego członu an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

Zadanie 3. Znajdź sumę wszystkich dodatnich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 13.

Rozwiązanie. Liczby trzycyfrowe, które są wielokrotnościami 13, tworzą postęp arytmetyczny z pierwszym terminem 104 i różnicą 13; Termin n tej progresji to:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Dowiedzmy się, ilu członków zawiera nasza progresja. Aby to zrobić, rozwiązujemy nierówność:

6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

W naszym progresji jest więc 69 członków. Zgodnie ze wzorem (4) znajdujemy wymaganą ilość:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Lub arytmetyka - jest to rodzaj uporządkowanego ciągu liczbowego, którego właściwości są badane na szkolnym kursie algebry. W tym artykule szczegółowo omówiono pytanie, jak znaleźć sumę progresji arytmetycznej.

Czym jest ten postęp?

Przed przystąpieniem do rozważania pytania (jak znaleźć sumę ciągu arytmetycznego) warto zrozumieć, o czym będzie mowa.

Każdy ciąg liczb rzeczywistych uzyskany przez dodanie (odjęcie) pewnej wartości od każdej poprzedniej liczby nazywa się postępem algebraicznym (arytmetycznym). Definicja ta, przetłumaczona na język matematyki, przyjmuje postać:

Tutaj i jest liczbą porządkową elementu szeregu a i . W ten sposób, znając tylko jedną początkową liczbę, możesz łatwo przywrócić całą serię. Parametr d we wzorze nazywa się różnicą progresji.

Można łatwo wykazać, że dla rozpatrywanego szeregu liczb obowiązuje następująca równość:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To znaczy, aby znaleźć wartość n-tego elementu w kolejności, dodaj różnicę d do pierwszego elementu a 1 n-1 razy.

Jaka jest suma ciągu arytmetycznego: wzór

Przed podaniem wzoru na wskazaną kwotę warto zastanowić się nad prostym przypadkiem szczególnym. Biorąc pod uwagę progresję liczb naturalnych od 1 do 10, musisz znaleźć ich sumę. Ponieważ w progresji jest niewiele terminów (10), możliwe jest rozwiązanie problemu bezpośrednio, czyli zsumowanie wszystkich elementów w kolejności.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Warto rozważyć jedną interesującą rzecz: ponieważ każdy termin różni się od następnego o tę samą wartość d \u003d 1, to sumowanie parami pierwszego z dziesiątym, drugiego z dziewiątym itd. da ten sam wynik . Naprawdę:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Jak widać, tych sum jest tylko 5, czyli dokładnie dwa razy mniej niż liczba elementów w serii. Następnie mnożąc liczbę sum (5) przez wynik każdej sumy (11), dojdziesz do wyniku otrzymanego w pierwszym przykładzie.

Jeśli uogólnimy te argumenty, możemy napisać następujące wyrażenie:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Wyrażenie to pokazuje, że nie jest konieczne sumowanie wszystkich elementów w rzędzie, wystarczy znać wartość pierwszego a 1 i ostatniego a n oraz całkowitą liczbę terminów n.

Uważa się, że Gauss po raz pierwszy pomyślał o tej równości, gdy szukał rozwiązania problemu postawionego przez swojego nauczyciela w szkole: sumowanie pierwszych 100 liczb całkowitych.

Suma elementów od m do n: wzór

Wzór podany w poprzednim akapicie odpowiada na pytanie, jak obliczyć sumę progresji arytmetycznej (pierwszych elementów), ale często w zadaniach konieczne jest zsumowanie szeregu liczb w środku progresji. Jak to zrobić?

Najłatwiej odpowiedzieć na to pytanie, rozpatrując następujący przykład: niech będzie konieczne znalezienie sumy wyrazów od m-tego do n-tego. Aby rozwiązać problem, dany odcinek od m do n progresji należy przedstawić jako nową serię liczb. W tej reprezentacji m-ty składnik a m będzie pierwszym, a n będzie ponumerowane n-(m-1). W takim przypadku, stosując standardowy wzór na sumę, otrzymamy następujące wyrażenie:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Przykład użycia formuł

Wiedząc, jak obliczyć sumę postępu arytmetycznego, warto rozważyć prosty przykład użycia powyższych wzorów.

Poniżej znajduje się ciąg liczbowy, powinieneś znaleźć sumę jego członków, zaczynając od 5 i kończąc na 12:

Podane liczby wskazują, że różnica d jest równa 3. Używając wyrażenia dla n-tego elementu, można znaleźć wartości 5. i 12. terminu progresji. Okazuje się:

5 \u003d 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
12 \u003d 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Znając wartości liczb na końcach rozważanego postępu algebraicznego, a także wiedząc, jakie liczby w szeregu zajmują, możesz użyć wzoru na sumę uzyskaną w poprzednim akapicie. Dostać:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Warto zauważyć, że tę wartość można uzyskać inaczej: najpierw znajdź sumę pierwszych 12 elementów za pomocą standardowego wzoru, następnie oblicz sumę pierwszych 4 elementów za pomocą tego samego wzoru, a następnie odejmij drugi od pierwszej sumy .

Jeśli każda liczba naturalna n dopasuj liczbę rzeczywistą jakiś , to mówią, że dane sekwencja liczb :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , jakiś , . . . .

Tak więc sekwencja liczbowa jest funkcją argumentu naturalnego.

Numer a 1 nazywa pierwszy członek ciągu , numer a 2 — drugi członek ciągu , numer a 3 — trzeci i tak dalej. Numer jakiś nazywa n-ty członek ciągu , a liczba naturalna n — jego numer .

Od dwóch sąsiednich członków jakiś oraz jakiś +1 sekwencje członków jakiś +1 nazywa późniejszy (w stronę jakiś ), a jakiś — poprzedni (w stronę jakiś +1 ).

Aby określić sekwencję, musisz określić metodę, która umożliwia znalezienie elementu sekwencji o dowolnej liczbie.

Często sekwencja jest podawana z formuły n-tego terminu , czyli formuła, która pozwala określić element sekwencji na podstawie jego numeru.

Na przykład,

ciąg dodatnich liczb nieparzystych można podać wzorem

jakiś= 2n- 1,

i kolejność naprzemiennych 1 oraz -1 - formuła

b n = (-1)n +1 . ◄

Sekwencja może być określona powtarzająca się formuła, to jest formuła, która wyraża dowolny element sekwencji, zaczynając od niektórych, aż do poprzednich (jednego lub więcej) elementów.

Na przykład,

jeśli a 1 = 1 , a jakiś +1 = jakiś + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jeśli 1= 1, 2 = 1, jakiś +2 = jakiś + jakiś +1 , wtedy pierwsze siedem członów ciągu liczbowego ustala się w następujący sposób:

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekwencje mogą być finał oraz nieskończony .

Sekwencja nazywa się ostateczny jeśli ma skończoną liczbę członków. Sekwencja nazywa się nieskończony jeśli ma nieskończenie wielu członków.

Na przykład,

ciąg dwucyfrowych liczb naturalnych:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finał.

Sekwencja liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nieskończony. ◄

Sekwencja nazywa się wzrastający , jeśli każdy z jej członków, począwszy od drugiego, jest większy od poprzedniego.

Sekwencja nazywa się zanikający , jeśli każdy z jej członków, począwszy od drugiego, jest mniejszy od poprzedniego.

Na przykład,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . jest sekwencją rosnącą;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . jest sekwencją malejącą. ◄

Ciąg, którego elementy nie maleją wraz ze wzrostem liczby lub odwrotnie, nie rosną, nazywa się monotonna sekwencja .

W szczególności sekwencje monotoniczne są sekwencjami rosnącymi i sekwencjami malejącymi.

Postęp arytmetyczny

Postęp arytmetyczny wywoływana jest sekwencja, której każdy członek, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu, do którego dodaje się tę samą liczbę.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , jakiś, . . .

jest ciągiem arytmetycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej n warunek jest spełniony:

jakiś +1 = jakiś + d,

gdzie d - jakaś liczba.

Zatem różnica między następnymi a poprzednimi elementami danego ciągu arytmetycznego jest zawsze stała:

2 - a 1 = 3 - a 2 = . . . = jakiś +1 - jakiś = d.

Numer d nazywa różnica postępu arytmetycznego.

Aby ustalić ciąg arytmetyczny, wystarczy określić jego pierwszy termin i różnicę.

Na przykład,

jeśli a 1 = 3, d = 4 , to pierwsze pięć wyrazów ciągu znajduje się w następujący sposób:

1 =3,

2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + d= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Dla progresji arytmetycznej z pierwszym terminem a 1 i różnica d ją n

jakiś = 1 + (n- 1)d.

Na przykład,

znajdź trzydziesty wyraz progresji arytmetycznej

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (n- 2)d,

jakiś= 1 + (n- 1)d,

jakiś +1 = a 1 + znaleźć,

to oczywiście

jakiś=	a n-1 + a n+1
	2

każdy element progresji arytmetycznej, począwszy od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej poprzedniego i kolejnych elementów.

Liczby a, b i c są kolejnymi elementami pewnego ciągu arytmetycznego wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z nich jest równa średniej arytmetycznej dwóch pozostałych.

Na przykład,

jakiś = 2n- 7 , to postęp arytmetyczny.

Użyjmy powyższego stwierdzenia. Mamy:

jakiś = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

W konsekwencji,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = jakiś,
2		2

◄

Zauważ, że n -ty element ciągu arytmetycznego można znaleźć nie tylko poprzez a 1 , ale także wszelkie poprzednie K

jakiś = K + (n- k)d.

Na przykład,

dla a 5 można napisać

5 = 1 + 4d,

5 = 2 + 3d,

5 = 3 + 2d,

5 = 4 + d. ◄

jakiś = n-k + kd,

jakiś = n+k - kd,

to oczywiście

jakiś=	a n-k + a n+k
	2

każdy członek postępu arytmetycznego, począwszy od drugiego, jest równy połowie sumy członków tego postępu arytmetycznego w równych odstępach od niego.

Ponadto dla każdego ciągu arytmetycznego równość jest prawdziwa:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Na przykład,

w postępie arytmetycznym

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, dlatego

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ jakiś,

pierwszy n elementy ciągu arytmetycznego są równe iloczynowi połowy sumy skrajnych wyrazów przez liczbę wyrazów:

Z tego w szczególności wynika, że jeśli konieczne jest zsumowanie warunków

K, K +1 , . . . , jakiś,

wtedy poprzednia formuła zachowuje swoją strukturę:

Na przykład,

w postępie arytmetycznym 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jeśli podano ciąg arytmetyczny, to ilości a 1 , jakiś, d, n orazS n połączone dwiema formułami:

Dlatego też, jeśli podane zostaną wartości trzech z tych wielkości, to odpowiednie wartości pozostałych dwóch wielkości są określane z tych wzorów połączonych w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Postęp arytmetyczny to ciąg monotoniczny. W którym:

jeśli d > 0 , to wzrasta;
jeśli d < 0 , to maleje;
jeśli d = 0 , to sekwencja będzie nieruchoma.

Postęp geometryczny

postęp geometryczny wywoływany jest ciąg, którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest równy poprzedniemu pomnożonemu przez tę samą liczbę.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

jest postępem geometrycznym, jeśli dla dowolnej liczby naturalnej n warunek jest spełniony:

b n +1 = b n · q,

gdzie q ≠ 0 - jakaś liczba.

Zatem stosunek następnego wyrazu tego postępu geometrycznego do poprzedniego jest liczbą stałą:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numer q nazywa mianownik postępu geometrycznego.

Aby ustawić ciąg geometryczny, wystarczy podać jego pierwszy wyraz i mianownik.

Na przykład,

jeśli b 1 = 1, q = -3 , to pierwsze pięć wyrazów ciągu znajduje się w następujący sposób:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 i mianownik q ją n -ty termin można znaleźć według wzoru:

b n = b 1 · q n -1 .

Na przykład,

znajdź siódmy wyraz postępu geometrycznego 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

to oczywiście

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

każdy element postępu geometrycznego, począwszy od drugiego, jest równy średniej geometrycznej (proporcjonalnej) poprzedniego i kolejnych elementów.

Ponieważ odwrotność jest również prawdziwa, obowiązuje następujące twierdzenie:

liczby a, b i c są kolejnymi elementami pewnego ciągu geometrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy kwadrat jednej z nich jest równy iloczynowi dwóch pozostałych, to znaczy jedna z liczb jest średnią geometryczną pozostałych dwóch.

Na przykład,

udowodnijmy, że ciąg podany wzorem b n= -3 2 n , to postęp geometryczny. Użyjmy powyższego stwierdzenia. Mamy:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

W konsekwencji,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

co potwierdza wymagane twierdzenie. ◄

Zauważ, że n Termin postępu geometrycznego można znaleźć nie tylko poprzez b 1 , ale także dowolny poprzedni termin b k , dla którego wystarczy zastosować wzór

b n = b k · q n - k.

Na przykład,

dla b 5 można napisać

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

to oczywiście

b n 2 = b n - k· b n + k

kwadrat dowolnego elementu postępu geometrycznego, począwszy od drugiego, jest równy iloczynowi elementów tego postępu w równej odległości od niego.

Ponadto dla dowolnego postępu geometrycznego równość jest prawdziwa:

bm· b n= b k· b ja,

m+ n= k+ ja.

Na przykład,

wykładniczo

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , dlatego

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pierwszy n elementy ciągu geometrycznego z mianownikiem q ≠ 0 obliczona według wzoru:

I kiedy q = 1 - według wzoru

S n= n.b. 1

Zauważ, że jeśli musimy zsumować warunki

b k, b k +1 , . . . , b n,

wtedy stosuje się wzór:

S n- Sk -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Na przykład,

wykładniczo 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jeśli podano postęp geometryczny, to ilości b 1 , b n, q, n oraz S n połączone dwiema formułami:

Dlatego jeśli podane zostaną wartości dowolnych trzech z tych wielkości, wówczas odpowiednie wartości pozostałych dwóch wielkości są określane na podstawie tych wzorów połączonych w układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Dla postępu geometrycznego z pierwszym terminem b 1 i mianownik q mają miejsce następujące zdarzenia właściwości monotoniczności :

progresja rośnie, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:

b 1 > 0 oraz q> 1;

b 1 < 0 oraz 0 < q< 1;

Progresja maleje, jeśli spełniony jest jeden z następujących warunków:

b 1 > 0 oraz 0 < q< 1;

b 1 < 0 oraz q> 1.

Jeśli q< 0 , to postęp geometryczny ma charakter naprzemienny: jego wyrazy o nieparzystych numerach mają ten sam znak co jego pierwszy wyraz, a wyrazy o numerach parzystych mają znak przeciwny. Oczywiste jest, że naprzemienny postęp geometryczny nie jest monotoniczny.

Produkt pierwszego n warunki postępu geometrycznego można obliczyć ze wzoru:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Na przykład,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nieskończenie zmniejszający się postęp geometryczny

Nieskończenie zmniejszający się postęp geometryczny nazywa się nieskończonym postępem geometrycznym, którego moduł mianownika jest mniejszy niż 1 , to znaczy

|q| < 1 .

Zauważ, że nieskończenie malejący postęp geometryczny może nie być ciągiem malejącym. To pasuje do przypadku

1 < q< 0 .

Przy takim mianowniku sekwencja jest naprzemienna. Na przykład,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego nazwij numer, do którego suma pierwszego n warunki progresji z nieograniczonym wzrostem liczby n . Liczba ta jest zawsze skończona i wyraża się wzorem

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Na przykład,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Związek między postępami arytmetycznymi i geometrycznymi

Progresje arytmetyczne i geometryczne są ze sobą ściśle powiązane. Rozważmy tylko dwa przykłady.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , następnie

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Na przykład,

1, 3, 5, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą 2 oraz

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . to postęp geometryczny z mianownikiem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . to postęp geometryczny z mianownikiem q , następnie

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą zaloguj sięq .

Na przykład,

2, 12, 72, . . . to postęp geometryczny z mianownikiem 6 oraz

LG 2, LG 12, LG 72, . . . — postęp arytmetyczny z różnicą LG 6 . ◄

Suma postępu arytmetycznego.

Suma postępu arytmetycznego to prosta rzecz. Zarówno w znaczeniu, jak iw formule. Ale na ten temat jest wiele zadań. Od elementarnych do całkiem solidnych.

Najpierw zajmijmy się znaczeniem i formułą sumy. A potem zdecydujemy. Dla własnej przyjemności.) Znaczenie sumy jest tak proste, jak niskie. Aby znaleźć sumę postępu arytmetycznego, wystarczy ostrożnie dodać wszystkie jego elementy. Jeśli tych terminów jest niewiele, możesz je dodać bez żadnych formuł. Ale jeśli jest dużo, albo dużo… dodatek jest denerwujący.) W tym przypadku formuła oszczędza.

Wzór sumy jest prosty:

Zastanówmy się, jakie litery są zawarte w formule. To dużo wyjaśni.

S n jest sumą postępu arytmetycznego. Wynik dodawania wszystko członkowie, z pierwszy na ostatni. To jest ważne. Dodaj dokładnie wszystko członków w rzędzie, bez przerw i skoków. I dokładnie, zaczynając od pierwszy. W problemach, takich jak znalezienie sumy trzeciego i ósmego wyrazu lub sumy wyrazów od piątego do dwudziestego, bezpośrednie zastosowanie wzoru będzie rozczarowujące.)

1 - pierwszy członek progresji. Tutaj wszystko jest jasne, to proste pierwszy Numer wiersza.

jakiś- ostatni członek progresji. Ostatni numer rzędu. Niezbyt znana nazwa, ale po zastosowaniu do kwoty jest bardzo odpowiednia. Wtedy sam się przekonasz.

n to numer ostatniego członka. Ważne jest, aby zrozumieć, że w formule ta liczba zbiega się z liczbą dodanych członków.

Zdefiniujmy pojęcie ostatni członek jakiś. Wypełniające pytanie: jaki członek będzie ostatni, jeśli podano nieskończony postęp arytmetyczny?

Aby uzyskać pewną odpowiedź, musisz zrozumieć podstawowe znaczenie postępu arytmetycznego i ... uważnie przeczytać zadanie!)

W zadaniu znalezienia sumy postępu arytmetycznego zawsze pojawia się ostatni wyraz (bezpośrednio lub pośrednio), które powinny być ograniczone. W przeciwnym razie skończona, konkretna kwota po prostu nie istnieje. Dla rozwiązania nie ma znaczenia, jaki rodzaj progresji jest dany: skończony czy nieskończony. Nie ma znaczenia, jak to jest podane: przez szereg liczb, czy przez formułę n-tego członka.

Najważniejszą rzeczą jest zrozumienie, że formuła działa od pierwszego terminu progresji do terminu z liczbą n. Właściwie pełna nazwa formuły wygląda tak: suma pierwszych n członów postępu arytmetycznego. Liczba tych pierwszych członków, tj. n, zależy wyłącznie od zadania. W zadaniu wszystkie te cenne informacje są często szyfrowane, tak… Ale nic, w poniższych przykładach ujawnimy te tajemnice.)

Przykłady zadań na sumę postępu arytmetycznego.

Przede wszystkim przydatne informacje:

Główną trudnością w zadaniach na sumę progresji arytmetycznej jest prawidłowe określenie elementów wzoru.

Autorzy zadań szyfrują te właśnie elementy bezgraniczną wyobraźnią.) Najważniejsze, żeby się nie bać. Rozumiejąc istotę żywiołów, wystarczy je rozszyfrować. Przyjrzyjmy się szczegółowo kilku przykładom. Zacznijmy od zadania opartego na prawdziwym GIA.

1. Postęp arytmetyczny określa warunek: a n = 2n-3,5. Znajdź sumę pierwszych 10 warunków.

Dobra robota. To proste.) Co musimy wiedzieć, aby określić kwotę zgodnie ze wzorem? Pierwszy członek 1, ostatni termin jakiś, tak numer ostatniego terminu n.

Skąd wziąć ostatni numer członkowski n? Tak, w tym samym miejscu, w stanie! Mówi znajdź sumę pierwszych 10 członków. Cóż, jaki to będzie numer ostatni, dziesiąty członek?) Nie uwierzysz, jego numer to dziesiąty!) Dlatego zamiast jakiś podstawimy do formuły 10, lecz n- dziesięć. Ponownie, liczba ostatniego członka jest taka sama jak liczba członków.

Pozostaje do ustalenia 1 oraz 10. Można to łatwo obliczyć za pomocą wzoru n-tego członu, który jest podany w opisie problemu. Nie wiesz jak to zrobić? Odwiedź poprzednią lekcję, bez tego - nic.

1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Odkryliśmy znaczenie wszystkich elementów wzoru na sumę ciągu arytmetycznego. Pozostaje je zastąpić i policzyć:

To wszystko. Odpowiedź: 75.

Kolejne zadanie oparte na GIA. Nieco bardziej skomplikowane:

2. Mając ciąg arytmetyczny (a n), którego różnica wynosi 3,7; 1 \u003d 2,3. Znajdź sumę pierwszych 15 warunków.

Natychmiast piszemy formułę sumy:

Ta formuła pozwala nam znaleźć wartość dowolnego członka po jego liczbie. Poszukujemy prostego zamiennika:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Pozostaje zamienić wszystkie elementy we wzorze na sumę postępu arytmetycznego i obliczyć odpowiedź:

Odpowiedź: 423.

Nawiasem mówiąc, jeśli we wzorze sumy zamiast jakiś wystarczy zastąpić formułę n-tego członu, otrzymujemy:

Podajemy podobne, otrzymujemy nowy wzór na sumę członków postępu arytmetycznego:

Jak widać, n-ty termin nie jest tutaj wymagany. jakiś. W niektórych zadaniach ta formuła bardzo pomaga, tak ... Możesz zapamiętać tę formułę. I możesz go po prostu wycofać w odpowiednim czasie, tak jak tutaj. W końcu wzór na sumę i wzór na n-ty termin należy zapamiętać pod każdym względem.)

Teraz zadanie w postaci krótkiego szyfrowania):

3. Znajdź sumę wszystkich dodatnich liczb dwucyfrowych, które są wielokrotnościami trzech.

Jak! Bez pierwszego członka, bez ostatniego, bez progresji... Jak żyć!?

Będziesz musiał myśleć głową i wyciągnąć z warunku wszystkie elementy sumy postępu arytmetycznego. Czym są liczby dwucyfrowe - wiemy. Składają się z dwóch liczb.) Jaka będzie liczba dwucyfrowa pierwszy? prawdopodobnie 10). Ostatnia rzecz dwucyfrowy numer? 99, oczywiście! Za nim pójdą trzycyfrowe...

Wielokrotność trzech... Hm... To są liczby, które można równomiernie podzielić przez trzy! Dziesięć nie jest podzielne przez trzy, 11 nie jest podzielne... 12... jest podzielne! Więc coś się pojawia. Możesz już napisać serię zgodnie ze stanem problemu:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Czy ta seria będzie postępem arytmetycznym? Oczywiście! Każdy termin różni się od poprzedniego ściśle o trzy. Jeśli do terminu zostanie dodane 2 lub 4, powiedzmy wynik, tj. nowa liczba nie będzie już dzielona przez 3. Możesz od razu określić różnicę postępu arytmetycznego do sterty: d = 3. Użyteczne!)

Możemy więc spokojnie zapisać kilka parametrów progresji:

Jaki będzie numer n ostatni członek? Każdy, kto myśli, że 99 jest fatalnie w błędzie… Liczby – idą zawsze w rzędzie, a nasi członkowie przeskakują nad pierwszą trójkę. Nie pasują.

Są tu dwa rozwiązania. Jednym ze sposobów jest super pracowity. Możesz namalować progresję, całą serię liczb i policzyć liczbę wyrazów palcem.) Drugi sposób jest dla zamyślonych. Musisz zapamiętać wzór na n-ty termin. Jeśli zastosujemy wzór do naszego problemu, otrzymamy, że 99 jest trzydziestym członkiem progresji. Tych. n = 30.

Patrzymy na wzór na sumę ciągu arytmetycznego:

Patrzymy i radujemy się.) Wyciągnęliśmy wszystko, co niezbędne do obliczenia kwoty ze stanu problemu:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Pozostaje elementarna arytmetyka. Zastąp liczby we wzorze i oblicz:

Odpowiedź: 1665

Kolejny rodzaj popularnych łamigłówek:

4. Podano ciąg arytmetyczny:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Znajdź sumę terminów od dwudziestego do trzydziestego czwartego.

Patrzymy na formułę sumy i ... jesteśmy zdenerwowani.) Formuła, przypomnę, oblicza sumę od pierwszego członek. A w zadaniu musisz obliczyć sumę od dwudziestego... Formuła nie zadziała.

Można oczywiście pomalować całą progresję pod rząd i ustawić członków od 20 do 34. Ale… jakoś się to okazuje głupio i długo, prawda?)

Jest bardziej eleganckie rozwiązanie. Podzielmy naszą serię na dwie części. Pierwsza część będzie od pierwszego do dziewiętnastego terminu. Druga część - dwadzieścia do trzydziestu czterech. Oczywiste jest, że jeśli obliczymy sumę warunków pierwszej części S 1-19, dodajmy to do sumy członków drugiej części S 20-34 otrzymujemy sumę progresji od pierwszego semestru do trzydziestego czwartego S 1-34. Lubię to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

To pokazuje, że aby znaleźć sumę S 20-34 można to zrobić przez proste odejmowanie

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Uwzględniane są obie sumy po prawej stronie od pierwszego członek, tj. standardowa formuła sumy ma do nich zastosowanie. Czy zaczynamy?

Parametry progresji wyodrębniamy z warunku zadania:

d = 1,5.

1= -21,5.

Aby obliczyć sumy pierwszych 19 i pierwszych 34 wyrazów, będziemy potrzebować 19 i 34 wyrazów. Liczymy je zgodnie ze wzorem n-tego członu, jak w zadaniu 2:

19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nic nie zostało. Odejmij sumę 19 terminów od sumy 34 terminów:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpowiedź: 262,5

Jedna ważna uwaga! Istnieje bardzo przydatna funkcja w rozwiązaniu tego problemu. Zamiast bezpośredniej kalkulacji czego potrzebujesz (S 20-34), liczyliśmy co wydaje się, że nie jest potrzebne - S 1-19. A potem zdecydowali S 20-34, usuwając niepotrzebne z pełnego wyniku. Taka „zwód z uszami” często ratuje w złych zagadkach.)

W tej lekcji zbadaliśmy problemy, dla których wystarczy zrozumieć znaczenie sumy postępu arytmetycznego. Cóż, musisz znać kilka formuł.)

Praktyczne porady:

Rozwiązując jakikolwiek problem dla sumy postępu arytmetycznego, polecam od razu wypisać dwie główne formuły z tego tematu.

Formuła n-tego terminu:

Te formuły od razu podpowiedzą, czego szukać, w jakim kierunku myśleć, aby rozwiązać problem. Pomaga.

A teraz zadania do samodzielnego rozwiązania.

5. Znajdź sumę wszystkich liczb dwucyfrowych, które nie są podzielne przez trzy.

Fajnie?) Podpowiedź jest ukryta w notatce do problemu 4. Cóż, problem 3 pomoże.

6. Postęp arytmetyczny określa warunek: a 1 =-5,5; n+1 = n +0,5. Znajdź sumę pierwszych 24 warunków.

Niezwykłe?) To powtarzająca się formuła. Możesz o tym przeczytać w poprzedniej lekcji. Nie ignoruj linku, takie łamigłówki często znajdują się w GIA.

7. Wasia zaoszczędziła pieniądze na Święta. Aż 4550 rubli! I postanowiłem podarować ukochanej osobie (sobie) kilka dni szczęścia). Żyj pięknie, nie odmawiając sobie niczego. Wydaj 500 rubli pierwszego dnia, a każdego kolejnego dnia wydaj 50 rubli więcej niż w poprzednim! Dopóki nie skończą się pieniądze. Ile dni szczęścia miała Wasia?

Czy to trudne?) Pomoże w tym dodatkowa formuła z zadania 2.

Odpowiedzi (w nieładzie): 7, 3240, 6.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.