Wyrażenia, konwersja wyrażeń

Wyrażenia potęgowe (wyrażenia z potęgami) i ich transformacja

W tym artykule porozmawiamy o przekształcaniu wyrażeń za pomocą potęg. Najpierw skupimy się na przekształceniach, które są wykonywane za pomocą wyrażeń dowolnego rodzaju, w tym wyrażeń potęgowych, takich jak nawiasy otwierające, redukujące podobne wyrazy. Następnie przeanalizujemy przekształcenia charakterystyczne dla wyrażeń ze stopniami: praca z podstawą i wykładnikiem, wykorzystanie właściwości stopni itp.

Nawigacja po stronie.

Czym są wyrażenia mocy?

Termin " wyrażenia mocy”praktycznie nie występuje w szkolnych podręcznikach matematyki, ale dość często pojawia się w zbiorach zadań, specjalnie zaprojektowanych na przykład do przygotowania do Jednolitego Egzaminu Państwowego i OGE. Po przeanalizowaniu zadań, w których wymagane jest wykonanie dowolnych czynności z wyrażeniami potęgowymi, staje się jasne, że wyrażenia potęgowe są rozumiane jako wyrażenia zawierające w swoich wpisach stopnie. Dlatego dla siebie możesz przyjąć następującą definicję:

Definicja.

Wyrażenia mocy są wyrażeniami zawierającymi potęgi.

przynieśmy przykłady wyrażeń potęgowych. Ponadto przedstawimy je w zależności od tego, jak kształtował się pogląd na stopień wskaźnik naturalny aż do wykładnika rzeczywistego.

Jak wiecie, najpierw zapoznajecie się ze stopniem liczby z wykładnikiem naturalnym, na tym etapie pierwsze najprostsze wyrażenia potęgowe typu 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 za 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nieco później badany jest stopień liczby z wykładnikiem całkowitym, co prowadzi do pojawienia się wyrażeń potęgowych z liczbami całkowitymi. negatywne moce, jak poniżej: 3 −2 , , za -2 +2 b -3 + do 2 .

W klasach maturalnych znów wracają do stopni. Tam wprowadza się stopień z wykładnikiem wymiernym, co prowadzi do pojawienia się odpowiednich wyrażeń potęgowych: , , itp. Wreszcie, rozważane są stopnie z niewymiernymi wykładnikami i wyrażenia je zawierające: , .

Sprawa nie ogranicza się do wymienionych wyrażeń potęgowych: dalej zmienna wnika w wykładnik i są np. takie wyrażenia 2 x 2 +1 lub . A po zapoznaniu się zaczynają pojawiać się wyrażenia z potęgami i logarytmami, na przykład x 2 lgx −5 x lgx.

Doszliśmy więc do pytania, czym są wyrażenia mocy. Następnie nauczymy się, jak je przekształcić.

Główne rodzaje przekształceń wyrażeń potęgowych

Za pomocą wyrażeń potęgowych można wykonać dowolną z podstawowych transformacji tożsamościowych wyrażeń. Na przykład możesz rozwinąć nawiasy, zastąpić wyrażenia numeryczne ich wartościami, dodać podobne terminy i tak dalej. Oczywiście w tym przypadku konieczne jest postępowanie zgodnie z przyjętą procedurą wykonywania czynności. Podajmy przykłady.

Przykład.

Oblicz wartość wyrażenia potęgowego 2 3 ·(4 2 −12) .

Rozwiązanie.

Zgodnie z kolejnością działań, najpierw wykonujemy działania w nawiasach. Tam po pierwsze zamieniamy potęgę 4 2 na jej wartość 16 (zobaczmy czy to konieczne), a po drugie obliczamy różnicę 16−12=4 . Mamy 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

W otrzymanym wyrażeniu zastępujemy potęgę 2 3 jej wartością 8 , po czym obliczamy iloczyn 8·4=32 . To jest pożądana wartość.

Więc, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Odpowiadać:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Przykład.

Uprość wyrażenia mocy 3 za 4 b −7 −1+2 za 4 b −7.

Rozwiązanie.

Oczywiście to wyrażenie zawiera podobne wyrazy 3 · a 4 · b − 7 i 2 · a 4 · b − 7 , i możemy je zredukować: .

Odpowiadać:

3 za 4 b −7 −1+2 za 4 b −7 =5 za 4 b −7 −1.

Przykład.

Wyraź wyrażenie z mocami jako iloczynem.

Rozwiązanie.

Aby poradzić sobie z zadaniem, pozwala przedstawić liczbę 9 jako potęgę 3 2, a następnie użyć skróconego wzoru mnożenia, różnicy kwadratów:

Odpowiadać:

Jest też liczba identyczne przekształcenia, które są nieodłącznie związane z wyrażeniami mocy. Następnie je przeanalizujemy.

Praca z podstawą i wykładnikiem

Istnieją stopnie, których podstawą i/lub wskaźnikiem są nie tylko liczby lub zmienne, ale niektóre wyrażenia. Jako przykład napiszmy (2+0,3 7) 5−3,7 i (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Podczas pracy z takimi wyrażeniami możliwe jest zastąpienie zarówno wyrażenia w podstawie stopnia, jak i wyrażenia we wskaźniku identycznie równym wyrażeniem na DPV jego zmiennych. Innymi słowy, zgodnie ze znanymi nam zasadami, możemy osobno przeliczyć podstawę stopnia, a osobno - wskaźnik. Oczywiste jest, że w wyniku tego przekształcenia uzyskuje się wyrażenie, które jest identycznie równe pierwotnemu.

Takie przekształcenia pozwalają nam upraszczać wyrażenia za pomocą potęg lub osiągać inne potrzebne nam cele. Na przykład we wspomnianym wyżej wyrażeniu potęgowym (2+0,3 · 7) 5−3,7 można wykonać operacje na liczbach w podstawie i wykładniku, co pozwoli przejść do potęgi 4,1 · 1,3. A po otwarciu nawiasów i postawieniu wyrazów podobnych w podstawie stopnia (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) otrzymujemy wyrażenie potęgowe więcej prosta forma za 2 (x+1) .

Korzystanie z właściwości mocy

Jednym z głównych narzędzi do przekształcania wyrażeń z potęgami są równości, które odzwierciedlają . Przypomnijmy główne. Dla dowolnych liczb dodatnich a i b oraz dowolnych liczb rzeczywistych r i s obowiązują następujące właściwości potęgowe:

• za r za s = za r + s ;
• za r:a s =a r-s ;
• (za b) r = za r b r ;
• (a:b) r =a r:br r ;
• (za r) s = za r s .

Zauważ, że w przypadku wykładników naturalnych, całkowitych i dodatnich ograniczenia dotyczące liczb aib mogą nie być tak surowe. Na przykład dla liczb naturalnych m i n równość a m·a n =a m+n jest prawdziwa nie tylko dla liczb dodatnich a , ale także dla liczb ujemnych i dla a=0 .

W szkole główna uwaga w transformacji wyrażeń władzy skupia się właśnie na umiejętności wyboru odpowiedniej właściwości i prawidłowego jej zastosowania. W tym przypadku podstawy stopni są zwykle dodatnie, co pozwala na korzystanie z właściwości stopni bez ograniczeń. To samo tyczy się transformacji wyrażeń zawierających zmienne w podstawach stopni – zakres dopuszczalnych wartości zmiennych jest zwykle taki, że podstawy przyjmują na nim tylko wartości dodatnie, co pozwala na dowolne wykorzystanie właściwości stopni. Ogólnie rzecz biorąc, musisz stale zadawać sobie pytanie, czy w tym przypadku można zastosować jakąkolwiek właściwość stopni, ponieważ niedokładne użycie właściwości może prowadzić do zawężenia ODZ i innych problemów. Punkty te zostały szczegółowo omówione wraz z przykładami w artykule Transformacja wyrażeń z wykorzystaniem właściwości stopni. Tutaj ograniczymy się do kilku prostych przykładów.

Przykład.

Wyraź wyrażenie a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 jako potęgę o podstawie a .

Rozwiązanie.

Najpierw przekształcamy drugi czynnik (a 2) −3 przez właściwość podnoszenia potęgi do potęgi: (za 2) −3 = za 2 (−3) = za −6. W tym przypadku początkowe wyrażenie potęgowe przyjmie postać a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Oczywiście pozostaje skorzystać z własności mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie, jaką mamy
a 2,5 a -6: a -5,5 =
za 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
za −3,5−(−5,5) = za 2 .

Odpowiadać:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Właściwości potęgowe są używane podczas przekształcania wyrażeń potęgowych zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia potęgowego.

Rozwiązanie.

Równość (a·b) r =a r·br r , zastosowana od prawej do lewej, pozwala przejść od pierwotnego wyrażenia do iloczynu formy i dalej. A kiedy mnożymy potęgi przez te same podstawy sumują się wskaźniki: .

Można było przeprowadzić transformację pierwotnego wyrażenia w inny sposób:

Odpowiadać:

.

Przykład.

Mając dane wyrażenie potęgowe a 1,5 −a 0,5 −6 , wprowadź nową zmienną t=a 0,5 .

Rozwiązanie.

Stopień a 1,5 można przedstawić jako 0,5 3 i dalej na podstawie własności stopnia w stopniu (a r) s = a r s zastosowanym od prawej do lewej, przekształcić go do postaci (a 0,5) 3 . W ten sposób, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Teraz łatwo wprowadzić nową zmienną t=a 0.5 , otrzymamy t 3 −t−6 .

Odpowiadać:

t 3 − t − 6 .

Konwersja ułamków zawierających potęgi

Wyrażenia potęgowe mogą zawierać ułamki z potęgami lub reprezentować takie ułamki. Wszelkie podstawowe przekształcenia ułamków, które są właściwe dla ułamków dowolnego rodzaju, są w pełni stosowane do takich ułamków. Oznacza to, że ułamki zawierające stopnie można zmniejszyć, sprowadzić do nowego mianownika, pracować osobno z ich licznikiem i osobno z mianownikiem itp. Aby zilustrować powyższe słowa, rozważ rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Uprość wyrażenie mocy .

Rozwiązanie.

To wyrażenie potęgi jest ułamkiem. Popracujmy nad jego licznikiem i mianownikiem. W liczniku otwieramy nawiasy i upraszczamy otrzymane następnie wyrażenie wykorzystując własności potęg, aw mianowniku przedstawiamy podobne wyrazy:

I zmieniamy również znak mianownika, umieszczając minus przed ułamkiem: .

Odpowiadać:

.

Sprowadzanie ułamków zawierających potęgi do nowego mianownika odbywa się podobnie jak sprowadzanie ułamków wymiernych do nowego mianownika. W tym samym czasie znajduje się również dodatkowy czynnik, przez który mnoży się licznik i mianownik ułamka. Wykonując tę ​​czynność warto pamiętać, że redukcja do nowego mianownika może prowadzić do zawężenia DPV. Aby temu zapobiec, konieczne jest, aby dodatkowy czynnik nie zniknął dla żadnych wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład.

Doprowadź ułamki do nowego mianownika: a) do mianownika a, b) do mianownika.

Rozwiązanie.

a) W tym przypadku dość łatwo jest ustalić, jaki dodatkowy czynnik pomaga osiągnąć pożądany rezultat. To jest mnożnik a 0,3, ponieważ a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Zauważmy, że w przedziale dopuszczalnych wartości zmiennej a (jest to zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych) stopień a 0,3 nie znika, dlatego mamy prawo pomnożyć licznik i mianownik danego ułamka tym dodatkowym czynnikiem:

b) Przyglądając się bliżej mianownikowi, stwierdzamy, że

a pomnożenie tego wyrażenia przez da sumę kostek i , czyli . I to jest nowy mianownik, do którego musimy doprowadzić pierwotny ułamek.

Znaleźliśmy więc dodatkowy czynnik. Wyrażenie nie znika w przedziale dopuszczalnych wartości zmiennych x i y, dlatego możemy przez nie pomnożyć licznik i mianownik ułamka:

Odpowiadać:

a) , b) .

Nie ma też nic nowego w redukcji ułamków zawierających stopnie: licznik i mianownik są reprezentowane jako pewna liczba czynników, a te same czynniki licznika i mianownika są redukowane.

Przykład.

Skróć ułamek: a) , b).

Rozwiązanie.

a) Po pierwsze, licznik i mianownik można zmniejszyć o liczby 30 i 45, co daje 15. Ponadto, oczywiście, możesz zmniejszyć o x 0,5 +1 i przez . Oto, co mamy:

b) W tym przypadku te same czynniki w liczniku i mianowniku nie są od razu widoczne. Aby je zdobyć, musisz wykonać wstępne przekształcenia. W tym przypadku polegają one na rozłożeniu mianownika na czynniki według wzoru na różnicę kwadratów:

Odpowiadać:

a)

b) .

Sprowadzanie ułamków do nowego mianownika i skracanie ułamków służy głównie do wykonywania operacji na ułamkach. Akcje są wykonywane według znanych zasad. Podczas dodawania (odejmowania) ułamków są one redukowane do wspólnego mianownika, po czym liczniki są dodawane (odejmowane), a mianownik pozostaje taki sam. Wynikiem jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Przykład.

Wykonaj kroki .

Rozwiązanie.

Najpierw odejmujemy ułamki w nawiasach. Aby to zrobić, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, którym jest , następnie odejmij liczniki:

Teraz mnożymy ułamki:

Oczywiście możliwa jest redukcja o potęgę x 1/2, po której mamy .

Możesz także uprościć wyrażenie potęgi w mianowniku, używając wzoru na różnicę kwadratów: .

Odpowiadać:

Przykład.

Uprość wyrażenie mocy .

Rozwiązanie.

Oczywiście ułamek ten można skrócić o (x 2,7 +1) 2, co daje ułamek . Oczywiste jest, że z potęgami x należy zrobić coś innego. Aby to zrobić, przekształcamy powstałą frakcję w produkt. Daje nam to możliwość wykorzystania własności dzielenia potęg o tych samych podstawach: . A pod koniec procesu przechodzimy od ostatniego produktu do frakcji.

Odpowiadać:

.

Dodajmy, że jest możliwe iw wielu przypadkach pożądane przeniesienie czynników o ujemnych wykładnikach z licznika do mianownika lub z mianownika do licznika poprzez zmianę znaku wykładnika. Takie przekształcenia często upraszczają dalsze działania. Na przykład wyrażenie potęgi można zastąpić przez .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

Często w wyrażeniach, w których wymagane są pewne przekształcenia, obok stopni z wykładnikami ułamkowymi występują również pierwiastki. Aby przekonwertować takie wyrażenie na właściwy rodzaj, w większości przypadków wystarczy przejść tylko do pierwiastków lub tylko do potęg. Ale ponieważ wygodniej jest pracować ze stopniami, zwykle przechodzą od korzeni do stopni. Jednak wskazane jest przeprowadzenie takiego przejścia, gdy ODZ zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zamianę pierwiastków na stopnie bez konieczności dostępu do modułu lub podzielenie ODZ na kilka przedziałów (szczegółowo omówiliśmy to w artykuł przejście od pierwiastków do potęg i odwrotnie Po zapoznaniu się ze stopniem z wykładnikiem wymiernym wprowadza się stopień z niewymiernym wskaźnikiem, co pozwala mówić o stopniu z dowolnym wskaźnikiem rzeczywistym. szkoła zaczyna się uczyć funkcja wykładnicza, który jest analitycznie podawany przez stopień, na podstawie którego znajduje się liczba, a we wskaźniku - zmienna. Mamy więc do czynienia z wyrażeniami potęgowymi zawierającymi liczby w podstawie stopnia, aw wykładniku - wyrażeniami ze zmiennymi i naturalnie pojawia się potrzeba dokonywania przekształceń takich wyrażeń.

Należy powiedzieć, że przy rozwiązywaniu zwykle trzeba przeprowadzić transformację wyrażeń wskazanego typu równania wykładnicze oraz nierówności wykładnicze, a te przekształcenia są dość proste. W zdecydowanej większości przypadków bazują one na właściwościach stopnia i mają na celu przede wszystkim wprowadzenie w przyszłości nowej zmiennej. Równanie pozwoli nam je wykazać 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Po pierwsze, wykładniki, w których wykładnikach znajduje się suma jakiejś zmiennej (lub wyrażenia ze zmiennymi) i liczby, są zastępowane iloczynami. Dotyczy to pierwszego i ostatniego wyrazu wyrażenia po lewej stronie:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 = 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Następnie obie strony równości są dzielone przez wyrażenie 7 2 x , które dla pierwotnego równania przyjmuje tylko wartości dodatnie zmiennej ODZ x (jest to standardowa technika rozwiązywania tego rodzaju równań, nie mówimy o to teraz, więc skup się na kolejnych przekształceniach wyrażeń z potęgami ):

Teraz ułamki z potęgami są anulowane, co daje .

Ostatecznie stosunek potęg o tych samych wykładnikach jest zastępowany potęgami stosunków, co prowadzi do równania , co jest równoważne . Dokonane przekształcenia pozwalają na wprowadzenie nowej zmiennej, która redukuje rozwiązanie pierwotne równanie wykładnicze do rozwiązania równania kwadratowego

IV Boikov, LD Romanova Zbiór zadań przygotowujących do egzaminu. Część 1. Penza 2003.

Rozważmy temat przekształcania wyrażeń za pomocą potęg, ale najpierw zajmiemy się szeregiem przekształceń, które można przeprowadzić za pomocą dowolnych wyrażeń, w tym potęg. Nauczymy się otwierać nawiasy, podawać wyrazy podobne, pracować z podstawą i wykładnikiem, korzystać z własności stopni.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Czym są wyrażenia mocy?

W kurs szkolny niewiele osób używa wyrażenia „wyrażenia mocy”, ale termin ten stale znajduje się w zbiorach przygotowujących do egzaminu. W większości przypadków fraza oznacza wyrażenia, które zawierają stopnie w swoich wpisach. To właśnie odzwierciedlimy w naszej definicji.

Definicja 1

Wyrażenie mocy jest wyrażeniem zawierającym stopnie.

Podajemy kilka przykładów potęg, zaczynając od stopnia z wykładnikiem naturalnym, a kończąc na stopniu z wykładnikiem rzeczywistym.

Najprostsze wyrażenia potęgowe można uznać za potęgi liczby z wykładnikiem naturalnym: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + za 2 , x 3 - 1 , (za 2) 3 . Oraz potęgi o zerowym wykładniku: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Oraz potęgi o ujemnych potęgach całkowitych: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Trochę trudniej jest pracować ze stopniem, który ma wykładniki wymierne i niewymierne: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 za - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Wskaźnikiem może być zmienna 3 x - 54 - 7 3 x - 58 lub logarytm x 2 l sol x − 5 x l sol x.

Zajmowaliśmy się pytaniem, czym są wyrażenia mocy. Przyjrzyjmy się teraz ich przemianie.

Główne rodzaje przekształceń wyrażeń potęgowych

Przede wszystkim rozważymy podstawowe transformacje tożsamościowe wyrażeń, które można wykonać za pomocą wyrażeń potęgowych.

Przykład 1

Oblicz wartość wyrażenia mocy 2 3 (4 2 - 12).

Rozwiązanie

Wszystkie przekształcenia przeprowadzimy zgodnie z kolejnością działań. W tym przypadku zaczniemy od wykonania działań w nawiasach: zastąpimy stopień wartością cyfrową i obliczymy różnicę między tymi dwiema liczbami. Mamy 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Pozostaje nam wymienić stopień 2 3 znaczenie tego 8 i obliczyć produkt 8 4 = 32. Oto nasza odpowiedź.

Odpowiadać: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

Przykład 2

Uprość wyrażenie za pomocą potęg 3 za 4 b - 7 - 1 + 2 za 4 b - 7.

Rozwiązanie

Wyrażenie podane nam w warunku problemu zawiera podobne terminy, które możemy przytoczyć: 3 za 4 b - 7 - 1 + 2 za 4 b - 7 = 5 za 4 b - 7 - 1.

Odpowiadać: 3 za 4 b - 7 - 1 + 2 za 4 b - 7 = 5 za 4 b - 7 - 1 .

Przykład 3

Wyraź wyrażenie potęgami 9 - b 3 · π - 1 2 jako iloczyn.

Rozwiązanie

Przedstawmy liczbę 9 jako potęgę 3 2 i zastosuj skrócony wzór mnożenia:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Odpowiadać: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A teraz przejdźmy do analizy identycznych przekształceń, które można zastosować konkretnie do wyrażeń potęgowych.

Praca z podstawą i wykładnikiem

Stopień w podstawie lub wykładniku może zawierać liczby, zmienne i niektóre wyrażenia. Na przykład, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 oraz . Praca z takimi dokumentami jest trudna. Znacznie łatwiej jest zastąpić wyrażenie w podstawie stopnia lub wyrażenie w wykładniku identycznie równym wyrażeniem.

Transformacje stopnia i wskaźnika przeprowadzane są według znanych nam zasad niezależnie od siebie. Najważniejsze jest to, że w wyniku przekształceń uzyskuje się wyrażenie identyczne z oryginalnym.

Celem przekształceń jest uproszczenie pierwotnego wyrażenia lub uzyskanie rozwiązania problemu. Na przykład w przykładzie, który podaliśmy powyżej, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 możesz wykonać operacje, aby przejść do stopnia 4 , 1 1 , 3 . Otwierając nawiasy, możemy wprowadzić wyrazy podobne do podstawy stopnia (za (za + 1) - za 2) 2 (x + 1) i uzyskaj wyrażenie mocy o prostszej formie za 2 (x + 1).

Korzystanie z właściwości mocy

Własności stopni, zapisane jako równości, są jednym z głównych narzędzi do przekształcania wyrażeń ze stopniami. Przedstawiamy tutaj główne, biorąc pod uwagę to a oraz b są dowolnymi liczbami dodatnimi i r oraz s- dowolne liczby rzeczywiste:

Definicja 2

• za r za s = za r + s ;
• za r: za s = za r - s ;
• (za b) r = za r b r ;
• (a: b) r = za r: b r ;
• (za r) s = za r s .

W przypadkach, gdy mamy do czynienia z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi, dodatnimi, ograniczenia dotyczące liczb aib mogą być znacznie mniej rygorystyczne. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę równość za m za n = za m + n, gdzie m oraz n są liczbami naturalnymi, to będzie prawdziwe dla dowolnych wartości a, zarówno dodatnich, jak i ujemnych, a także dla za = 0.

Możesz zastosować właściwości stopni bez ograniczeń w przypadkach, gdy podstawy stopni są dodatnie lub zawierają zmienne, których zakres dopuszczalnych wartości jest taki, że podstawy przyjmują na nim tylko wartości dodatnie. W rzeczywistości w ramach szkolnego programu nauczania matematyki zadaniem ucznia jest wybranie odpowiedniej właściwości i prawidłowe jej zastosowanie.

Podczas przygotowań do przyjęcia na uczelnie mogą pojawić się zadania, w których niedokładne zastosowanie właściwości doprowadzi do zawężenia ODZ i innych trudności z rozwiązaniem. W tej części rozważymy tylko dwa takie przypadki. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w temacie „Przekształcanie wyrażeń za pomocą właściwości wykładnika”.

Przykład 4

Reprezentuj wyrażenie za 2 , 5 (za 2) - 3: za - 5 , 5 jako stopień z podstawą a.

Rozwiązanie

Na początek używamy właściwości potęgowania i przekształcamy za jej pomocą drugi czynnik (a 2) - 3. Następnie korzystamy z własności mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie:

za 2 , 5 za - 6: za - 5 , 5 = za 2 , 5 - 6: za - 5 , 5 = za - 3 , 5: za - 5 , 5 = za - 3 , 5 - (- 5 , 5 ) = za 2 .

Odpowiadać: za 2 , 5 (za 2) - 3: za - 5 , 5 = za 2 .

Transformację wyrażeń mocy zgodnie z właściwością stopni można wykonać zarówno od lewej do prawej, jak iw przeciwnym kierunku.

Przykład 5

Znajdź wartość wyrażenia potęgowego 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Rozwiązanie

Jeżeli zastosujemy równość (a b) r = za r b r, od prawej do lewej, to otrzymujemy iloczyn postaci 3 7 1 3 21 2 3 a następnie 21 1 3 21 2 3 . Dodajmy wykładniki podczas mnożenia potęg o tych samych podstawach: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Istnieje inny sposób dokonywania przekształceń:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Odpowiadać: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Przykład 6

Biorąc pod uwagę wyrażenie mocy za 1 , 5 - za 0 , 5 - 6, wprowadź nową zmienną t = za 0 , 5.

Rozwiązanie

Wyobraź sobie stopień 1 , 5 Jak za 0 , 5 3. Korzystanie z właściwości degree w stopniu (za r) s = za r s od prawej do lewej i uzyskaj (a 0 , 5) 3: za 1 , 5 - za 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - za 0 , 5 - 6 . W wynikowym wyrażeniu możesz łatwo wprowadzić nową zmienną t = za 0 , 5: Dostawać t 3 - t - 6.

Odpowiadać: t 3 - t - 6 .

Konwersja ułamków zawierających potęgi

Zwykle mamy do czynienia z dwoma wariantami potęgowania ułamków: wyrażenie jest ułamkiem ze stopniem lub zawiera taki ułamek. Wszystkie podstawowe przekształcenia ułamków mają zastosowanie do takich wyrażeń bez ograniczeń. Można je zmniejszyć, doprowadzić do nowego mianownika, pracować osobno z licznikiem i mianownikiem. Zilustrujmy to przykładami.

Przykład 7

Uprość wyrażenie potęgi 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Rozwiązanie

Mamy do czynienia z ułamkiem, więc przekształcenia przeprowadzimy zarówno w liczniku, jak i mianowniku:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Wstaw minus przed ułamkiem, aby zmienić znak w mianowniku: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Odpowiadać: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Ułamki zawierające potęgi sprowadza się do nowego mianownika w taki sam sposób, jak ułamki wymierne. Aby to zrobić, musisz znaleźć dodatkowy czynnik i pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka. Konieczne jest dobranie dodatkowego czynnika w taki sposób, aby nie znikał on dla żadnych wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład 8

Sprowadź ułamki do nowego mianownika: a) a + 1 a 0, 7 do mianownika a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 do mianownika x + 8 y 1 2 .

Rozwiązanie

a) Wybieramy czynnik, który pozwoli nam sprowadzić do nowego mianownika. za 0 , 7 za 0 , 3 = za 0 , 7 + 0 , 3 = za , dlatego jako dodatkowy czynnik bierzemy za 0 , 3. Zakres dopuszczalnych wartości zmiennej a obejmuje zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. W tej dziedzinie stopień za 0 , 3 nie idzie do zera.

Pomnóżmy licznik i mianownik ułamka przez za 0 , 3:

za + 1 za 0, 7 = za + 1 za 0, 3 za 0, 7 za 0, 3 = za + 1 za 0, 3 za

b) Zwróć uwagę na mianownik:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Pomnóż to wyrażenie przez x 1 3 + 2 · y 1 6 , otrzymamy sumę sześcianów x 1 3 i 2 · y 1 6 , tj. x + 8 · y 1 2 . To jest nasz nowy mianownik, do którego musimy doprowadzić pierwotny ułamek.

Więc znaleźliśmy dodatkowy czynnik x 1 3 + 2 · y 1 6 . O zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych x oraz y wyrażenie x 1 3 + 2 y 1 6 nie znika, więc możemy pomnożyć przez nie licznik i mianownik ułamka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Odpowiadać: a) za + 1 za 0, 7 = za + 1 za 0, 3 za, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Przykład 9

Skróć ułamek: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 za 1 2 - b 1 2.

Rozwiązanie

a) Użyj największego wspólnego mianownika (NWD), przez który można zmniejszyć licznik i mianownik. Dla liczb 30 i 45 jest to 15 . Możemy też zmniejszyć x 0 , 5 + 1 i na x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Otrzymujemy:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Tutaj obecność identycznych czynników nie jest oczywista. Będziesz musiał wykonać pewne przekształcenia, aby uzyskać te same czynniki w liczniku i mianowniku. Aby to zrobić, rozszerzamy mianownik za pomocą wzoru na różnicę kwadratów:

za 1 4 - b 1 4 za 1 2 - b 1 2 = za 1 4 - b 1 4 za 1 4 2 - b 1 2 2 = = za 1 4 - b 1 4 za 1 4 + b 1 4 za 1 4 - b 1 4 = 1 za 1 4 + b 1 4

Odpowiadać: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) za 1 4 - b 1 4 za 1 2 - b 1 2 = 1 za 1 4 + b 1 4 .

Główne operacje na ułamkach obejmują redukcję do nowego mianownika i redukcję ułamków. Obie czynności są wykonywane z zachowaniem szeregu zasad. Podczas dodawania i odejmowania ułamków ułamki są najpierw redukowane do wspólnego mianownika, po czym wykonywane są czynności (dodawanie lub odejmowanie) z licznikami. Mianownik pozostaje ten sam. Efektem naszych działań jest nowy ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników.

Przykład 10

Wykonaj kroki x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Rozwiązanie

Zacznijmy od odjęcia ułamków znajdujących się w nawiasach. Sprowadźmy je do wspólnego mianownika:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odejmijmy liczniki:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Teraz mnożymy ułamki:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Zmniejszmy o stopień x 1 2, otrzymujemy 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Dodatkowo możesz uprościć wyrażenie potęgi w mianowniku za pomocą wzoru na różnicę kwadratów: kwadraty: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Odpowiadać: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Przykład 11

Uprość wyrażenie potęgi x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Rozwiązanie

Ułamek możemy skrócić o (x 2 , 7 + 1) 2. Otrzymujemy ułamek x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Kontynuujmy przekształcenia x potęg x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Teraz możesz użyć własności dzielenia potęg o tych samych podstawach: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Przechodzimy od ostatniego produktu do ułamka x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Odpowiadać: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

W większości przypadków wygodniej jest przenieść mnożniki z ujemnymi wykładnikami z licznika do mianownika i odwrotnie, zmieniając znak wykładnika. Ta czynność upraszcza dalszą decyzję. Podajmy przykład: potęgę wyrażenia (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 można zastąpić przez x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

W zadaniach istnieją wyrażenia potęgowe, które zawierają nie tylko stopnie z wykładnikami ułamkowymi, ale także pierwiastki. Pożądane jest sprowadzenie takich wyrażeń tylko do pierwiastków lub tylko do potęg. Preferowane jest przejście na stopnie, ponieważ łatwiej jest z nimi pracować. Takie przejście jest szczególnie korzystne, gdy DPV zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków potęgami bez konieczności dostępu do modułu lub dzielenia DPV na kilka przedziałów.

Przykład 12

Wyraź wyrażenie x 1 9 x x 3 6 jako potęgę.

Rozwiązanie

Prawidłowy zakres zmiennej x jest określona przez dwie nierówności x ≥ 0 oraz x · x 3 ≥ 0 , które definiują zbiór [ 0 , + ∞) .

Na tym zbiorze mamy prawo przejść od pierwiastków do potęg:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Korzystając z właściwości stopni, upraszczamy wynikowe wyrażenie potęgi.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Odpowiadać: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Konwersja potęg ze zmiennymi w wykładniku

Te przekształcenia są dość proste do wykonania, jeśli poprawnie użyjesz właściwości stopnia. Na przykład, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Możemy zastąpić iloczyn stopnia, pod względem którego znajduje się suma pewnej zmiennej i liczby. Po lewej stronie można to zrobić za pomocą pierwszego i ostatniego wyrazu po lewej stronie wyrażenia:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0 , 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Teraz podzielmy obie strony równania przez 7 2 x. To wyrażenie na ODZ zmiennej x przyjmuje tylko wartości dodatnie:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Skróćmy ułamki potęgami, otrzymamy: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Ostatecznie stosunek potęg o tych samych wykładnikach zastępujemy potęgami stosunków, co prowadzi do równania 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , co odpowiada 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Wprowadzamy nową zmienną t = 5 7 x , która sprowadza rozwiązanie pierwotnego równania wykładniczego do rozwiązania równanie kwadratowe 5 t 2 - 3 t - 2 = 0 .

Konwersja wyrażeń z potęgami i logarytmami

Wyrażenia zawierające potęgi i logarytmy znajdują się również w zadaniach. Przykładami takich wyrażeń są: 1 4 1 - 5 log 2 3 lub log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformacja takich wyrażeń odbywa się przy użyciu omówionych powyżej podejść i właściwości logarytmów, które szczegółowo przeanalizowaliśmy w temacie „Transformacja wyrażeń logarytmicznych”.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Wyrażenie algebraiczne, w zapisie którego obok operacji dodawania, odejmowania i mnożenia wykorzystuje się również dzielenie na wyrażenia literalne, nazywamy ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Takie są na przykład wyrażenia

Nazywamy to ułamkiem algebraicznym wyrażenie algebraiczne, który ma postać ilorazu dwóch całkowitych wyrażeń algebraicznych (na przykład jednomianów lub wielomianów). Takie są na przykład wyrażenia

trzecie z wyrażeń).

Transformacje tożsamości ułamkowych wyrażeń algebraicznych mają w większości na celu przedstawienie ich w formie ułamek algebraiczny. Aby znaleźć wspólny mianownik, stosuje się faktoryzację mianowników ułamków - wyrazów w celu znalezienia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podczas redukcji ułamków algebraicznych można naruszyć ścisłą tożsamość wyrażeń: konieczne jest wykluczenie wartości wielkości, przy których znika czynnik, o który dokonywana jest redukcja.

Podajmy przykłady identycznych przekształceń ułamkowych wyrażeń algebraicznych.

Przykład 1: Uprość wyrażenie

Wszystkie terminy można sprowadzić do wspólnego mianownika (wygodnie jest zmienić znak w mianowniku ostatniego terminu i znak przed nim):

Nasze wyrażenie jest równe jeden dla wszystkich wartości poza tymi wartościami, nie jest zdefiniowane, a redukcja ułamków jest nielegalna).

Przykład 2. Przedstaw wyrażenie jako ułamek algebraiczny

Rozwiązanie. Wyrażenie można przyjąć jako wspólny mianownik. Znajdujemy kolejno:

Ćwiczenia

1. Znajdź wartości wyrażeń algebraicznych dla określonych wartości parametrów:

2. Rozłóż na czynniki.

Jednym z nich jest upraszczanie wyrażeń algebraicznych Kluczowe punkty nauka algebry i niezwykle przydatna umiejętność dla wszystkich matematyków. Uproszczenie umożliwia zredukowanie złożonego lub długiego wyrażenia do prostego wyrażenia, z którym łatwo się pracuje. Podstawowe umiejętności upraszczania są dobre nawet dla tych, którzy nie są entuzjastami matematyki. Przestrzegając kilku prostych zasad, można uprościć wiele najpowszechniejszych typów wyrażeń algebraicznych bez specjalnej wiedzy matematycznej.

Kroki

Ważne definicje

1. Podobni członkowie. Są to elementy ze zmienną tego samego rzędu, elementy z tymi samymi zmiennymi lub elementy wolne (elementy, które nie zawierają zmiennej). Innymi słowy, podobne terminy obejmują jedną zmienną w tym samym stopniu, zawierają kilka identycznych zmiennych lub w ogóle nie zawierają zmiennej. Kolejność terminów w wyrażeniu nie ma znaczenia.

   • Na przykład 3x 2 i 4x 2 są podobnymi wyrazami, ponieważ zawierają zmienną „x” drugiego rzędu (w drugiej potędze). Jednak x i x 2 nie są podobnymi elementami, ponieważ zawierają zmienną „x” różnych rzędów (pierwszego i drugiego). Podobnie -3yx i 5xz nie są podobnymi elementami, ponieważ zawierają różne zmienne.

2. Faktoryzacja. Jest to znalezienie takich liczb, których iloczyn prowadzi do liczby pierwotnej. Każda oryginalna liczba może mieć kilka czynników. Na przykład liczbę 12 można rozłożyć na następny rząd dzielniki: 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, więc możemy powiedzieć, że liczby 1, 2, 3, 4, 6 i 12 są dzielnikami liczby 12. Czynniki są takie same jak dzielniki, czyli , liczby, przez które jest dzielona liczba oryginalna.

   • Na przykład, jeśli chcesz rozłożyć liczbę 20 na czynniki, napisz to w ten sposób: 4×5.
   • Należy pamiętać, że podczas faktoringu brana jest pod uwagę zmienna. Na przykład 20x = 4(5x).
   • Liczb pierwszych nie można rozłożyć na czynniki, ponieważ dzielą się tylko przez siebie i 1.

3. Zapamiętaj i postępuj zgodnie z kolejnością działań, aby uniknąć błędów.

   • Zdanie wtrącone
   • Stopień
   • Mnożenie
   • Podział
   • Dodatek
   • Odejmowanie

   Casting jak członkowie

   1. Zapisz wyrażenie. Najprostsze wyrażenia algebraiczne (które nie zawierają ułamków, pierwiastków itp.) można rozwiązać (uprościć) w zaledwie kilku krokach.

      • Na przykład uprość wyrażenie 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Zdefiniuj podobnych członków (członów ze zmienną tego samego rzędu, prętów z tymi samymi zmiennymi lub wolnych członków).

      • Znajdź podobne terminy w tym wyrażeniu. Terminy 2x i 4x zawierają zmienną tego samego rzędu (pierwsza). Również 1 i -3 są wolnymi członkami (nie zawierają zmiennej). Zatem w tym wyrażeniu warunki 2x i 4x są podobne, a członkowie 1 i -3 są również podobne.

   3. Podaj podobnych członków. Oznacza to dodawanie lub odejmowanie ich i upraszczanie wyrażenia.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Przepisz wyrażenie biorąc pod uwagę podane elementy. Otrzymasz proste wyrażenie z mniejszą liczbą terminów. Nowe wyrażenie jest równe oryginałowi.

      • W naszym przykładzie: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, czyli oryginalne wyrażenie jest uproszczone i łatwiejsze w użyciu.

   5. Przestrzegaj kolejności, w jakiej operacje są wykonywane podczas rzutowania podobnych terminów. W naszym przykładzie łatwo było wprowadzić podobne warunki. Jednak w przypadku wyrażeń złożonych, których człony są ujęte w nawiasy, występują ułamki i pierwiastki, wprowadzenie takich wyrazów nie jest takie proste. W takich przypadkach postępuj zgodnie z kolejnością działań.

      • Weźmy na przykład wyrażenie 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Tutaj błędem byłoby natychmiastowe zdefiniowanie 3x i 2x jako podobnych terminów i zacytowanie ich, ponieważ najpierw trzeba rozwinąć nawiasy. Dlatego wykonuj operacje w ich kolejności.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ale już, gdy wyrażenie zawiera tylko operacje dodawania i odejmowania, można rzutować terminy podobne.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Ujęcie mnożnika w nawias

   1. Znajdź największy wspólny dzielnik (gcd) wszystkich współczynników wyrażenia. NOD jest Największa liczba, przez który podzielone są wszystkie współczynniki wyrażenia.

      • Rozważmy na przykład równanie 9x 2 + 27x - 3. W tym przypadku gcd=3, ponieważ każdy współczynnik tego wyrażenia jest podzielny przez 3.

   2. Podziel każdy wyraz wyrażenia przez gcd. Wynikowe wyrazy będą zawierały mniejsze współczynniki niż w pierwotnym wyrażeniu.

      • W naszym przykładzie podziel każdy termin wyrażenia przez 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Okazało się, że wyrażenie 3x2 + 9x-1. Nie jest równe oryginalnemu wyrażeniu.

   3. Zapisz oryginalne wyrażenie jako równa produktowi GCD dla wynikowego wyrażenia. Oznacza to, że wynikowe wyrażenie należy umieścić w nawiasach i umieścić GCD poza nawiasami.

      • W naszym przykładzie: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Upraszczanie wyrażeń ułamkowych poprzez usunięcie mnożnika z nawiasów. Po co po prostu wyjmować mnożnik z nawiasów, jak to zrobiono wcześniej? Następnie, aby dowiedzieć się, jak uprościć złożone wyrażenia, takie jak wyrażenia ułamkowe. W takim przypadku wyjęcie czynnika z nawiasów może pomóc pozbyć się ułamka (z mianownika).

      • Weźmy na przykład pod uwagę wyrażenie ułamkowe(9x 2 + 27x - 3)/3. Użyj nawiasów, aby uprościć to wyrażenie.
        • Odrzuć czynnik 3 (tak jak wcześniej): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Zauważ, że zarówno licznik, jak i mianownik mają teraz liczbę 3. Można to zmniejszyć i otrzymać wyrażenie: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Ponieważ każdy ułamek, którego mianownik ma liczbę 1, jest równy licznikowi, pierwotne wyrażenie ułamkowe upraszcza się do: 3x2 + 9x-1.

   Dodatkowe techniki upraszczające

4. Rozważmy prosty przykład: √(90). Liczbę 90 można rozłożyć na czynniki: 9 i 10, a z 9 wyodrębnić Pierwiastek kwadratowy(3) i wyjmij 3 spod korzenia.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Upraszczanie wyrażeń za pomocą potęg. W niektórych wyrażeniach występują operacje mnożenia lub dzielenia wyrazów ze stopniem. W przypadku mnożenia wyrazów o jednej podstawie dodaje się ich stopnie; w przypadku dzielenia wyrazów o tej samej podstawie ich stopnie są odejmowane.

   • Rozważmy na przykład wyrażenie 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). W przypadku mnożenia wykładniki należy dodać, w przypadku dzielenia je odjąć.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Poniżej znajduje się wyjaśnienie zasady mnożenia i dzielenia terminów ze stopniem.
     • Mnożenie wyrazów przez potęgi jest równoważne mnożeniu wyrazów przez siebie. Na przykład, skoro x 3 = x × x × x i x 5 = x × x × x × x × x, to x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) lub x 8 .
     • Podobnie dzielenie terminów potęgami jest równoznaczne z dzieleniem terminów przez siebie. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Ponieważ podobne wyrażenia, które występują zarówno w liczniku, jak iw mianowniku, można zredukować, iloczyn dwóch „x” lub x 2 pozostaje w liczniku.

• Zawsze zwracaj uwagę na znaki (plus lub minus) przed wyrażeniami, ponieważ wiele osób ma trudności z wyborem właściwego znaku.
• W razie potrzeby poproś o pomoc!
• Upraszczanie wyrażeń algebraicznych nie jest łatwe, ale jeśli już się tego nauczysz, możesz używać tej umiejętności przez całe życie.

Rozdział 5 WYRAŻENIA I RÓWNANIA

W dziale dowiesz się:

ü o wyrażenia i ich uproszczenia;

ü jakie są własności równości;

ü jak rozwiązywać równania na podstawie własności równości;

ü jakie rodzaje problemów rozwiązuje się za pomocą równań; co to są linie prostopadłe i jak je budować;

ü jakie linie nazywamy równoległymi i jak je budować;

ü co to jest płaszczyzna współrzędnych;

ü jak wyznaczyć współrzędne punktu na płaszczyźnie;

ü co to jest wykres zależności między wielkościami i jak go zbudować;

ü jak zastosować poznany materiał w praktyce

§ 30. WYRAŻENIA I ICH UPROSZCZENIA

Wiesz już, czym są wyrażenia literalne i wiesz, jak je uprościć, korzystając z praw dodawania i mnożenia. Na przykład 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . W wynikowym wyrażeniu liczba -8 jest nazywana współczynnikiem wyrażenia.

Czy wyrażenie płyta CD współczynnik? Więc. Jest równy 1, ponieważ cd - 1 ∙ cd .

Przypomnij sobie, że konwersja wyrażenia z nawiasami na wyrażenie bez nawiasów nazywana jest rozwinięciem nawiasów. Na przykład: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Działanie odwrotne w tym przykładzie polega na umieszczeniu wspólnego czynnika poza nawiasami.

Terminy zawierające te same czynniki literalne nazywane są terminami podobnymi. Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów, tworzy się podobne terminy:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=

Bx + 7y - 5.

Zasady rozszerzania nawiasów

1. Jeżeli przed nawiasami znajduje się znak „+”, to podczas otwierania nawiasów znaki terminów w nawiasach są zachowywane;

2. Jeżeli przed nawiasami znajduje się znak „-”, to po otwarciu nawiasów znaki terminów w nawiasach są odwrócone.

Zadanie 1 . Uprość wyrażenie:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Rozwiązania. 1. Przed nawiasami znajduje się znak „+”, dlatego podczas otwierania nawiasów znaki wszystkich terminów są zachowywane:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Przed nawiasami znajduje się znak „-”, dlatego podczas otwierania nawiasów: znaki wszystkich terminów są odwrócone:

15 - (- 8 + 7 lat) \u003d 15 lat + 8 - 7 lat \u003d 8 lat +8.

Aby otworzyć nawiasy, użyj właściwości rozdzielności mnożenia: a( b + c) = ab + ak. Jeśli a > 0, to znaki wyrazów b i nie zmieniaj. Jeśli< 0, то знаки слагаемых b i od są odwrócone.

Zadanie 2. Uprość wyrażenie:

1) 2(6y -8) + 7y;

2) -5 (2-5x) + 12.

Rozwiązania. 1. Współczynnik 2 przed nawiasami e jest dodatni, dlatego przy otwieraniu nawiasów zachowujemy znaki wszystkich wyrazów: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Współczynnik -5 przed nawiasami e jest ujemny, dlatego otwierając nawiasy, zmieniamy znaki wszystkich wyrazów na przeciwne:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Dowiedz się więcej

1. Słowo „suma” pochodzi z łac suma , co oznacza „ogółem”, „ogółem”.

2. Słowo „plus” pochodzi z łac plus , co oznacza „więcej”, a słowo „minus” - z łac minus , co oznacza „mniej”. Znaki „+” i „-” służą do oznaczenia operacji dodawania i odejmowania. Znaki te wprowadził czeski naukowiec J. Vidman w 1489 roku w książce „Szybki i przyjemny rachunek dla wszystkich kupców”(ryc. 138).

Ryż. 138

PAMIĘTAJ O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZY

1. Jakie terminy nazywamy podobnymi? Jak skonstruowane są podobne terminy?

2. Jak otwiera się nawiasy poprzedzone znakiem „+”?

3. Jak otwiera się nawiasy poprzedzone znakiem „-”?

4. Jak otwierasz nawiasy poprzedzone czynnikiem dodatnim?

5. Jak otwiera się nawiasy poprzedzone czynnikiem ujemnym?

1374”. Nazwij współczynnik wyrażenia:

1) 12 a; 3) -5,6xy;

2)4 6; 4)-s.

1375”. Wymień terminy, które różnią się tylko współczynnikiem:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;

2) pne -4d - pne + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Jak nazywają się te terminy?

1376”. Czy w wyrażeniu występują podobne terminy:

1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - nie?

1377”. Czy należy zmienić znaki terminów w nawiasach, otwierając nawiasy w wyrażeniu:

1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Uprość wyrażenie i podkreśl współczynnik:

1379°. Uprość wyrażenie i podkreśl współczynnik:

1380°. Zmniejsz podobne wyrazy:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 re - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Zmniejsz podobne wyrazy:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów:

1) 1,2a +1,2b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5s + 5d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Wyjmij wspólny czynnik z nawiasów:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.

1384°. Otwórz nawiasy i skróć wyrazy podobne;

1) 5 + (4a-4); 4) -(5c - d) + (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Otwórz nawiasy i skróć wyrazy podobne:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).

1386°. Rozwiń nawiasy i znajdź znaczenie wyrażenia:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Rozwiń nawiasy i znajdź znaczenie wyrażenia:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Otwórz nawias:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 re ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Otwórz nawias:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - re )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Uprość wyrażenie:

1391. Uprość wyrażenie:

1392. Skróć wyrazy podobne:

1393. Zmniejsz podobne wyrazy:

1394. Uprość wyrażenie:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, przez) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Uprość wyrażenie:

1396. Znajdź znaczenie wyrażenia;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), jeśli a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), jeśli = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Znajdź wartość wyrażenia:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), jeśli x = -0,25;

1398*. Znajdź błąd w rozwiązaniu:

1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) \u003d 5a - 12-7a + 8,4 \u003d -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Rozwiń nawiasy i uprość wyrażenie:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Ułóż nawiasy tak, aby uzyskać poprawną równość:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) za -2 b -2 za + b \u003d 3 za -3 b.

1401*. Udowodnij, że dla dowolnych liczb a i b jeśli a > b , to zachodzi następująca równość:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Czy ta równość będzie poprawna, jeśli: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Udowodnij, że dla dowolnego Liczba naturalna a średnia arytmetyczna poprzedniej i następnej liczby jest równa liczbie a.

ZASTOSUJ W PRAKTYCE

1403. Do przygotowania owocowego deseru dla trzech osób potrzebne są: 2 jabłka, 1 pomarańcza, 2 banany i 1 kiwi. Jak zrobić dosłowne wyrażenie, aby określić ilość owoców potrzebnych do przygotowania deseru dla gości? Pomóż Marin obliczyć, ile owoców musi kupić, jeśli przyjdzie w odwiedziny: 1) 5 przyjaciół; 2) 8 przyjaciół.

1404. Dosłownie określ czas potrzebny na odrobienie pracy domowej z matematyki, jeżeli:

1) minutę poświęcono na rozwiązanie problemów; 2) uproszczenie wyrażeń jest 2 razy większe niż przy rozwiązywaniu problemów. Jak długo to zajęło Praca domowa Vasilko, gdyby spędził 15 minut na rozwiązywaniu problemów?

1405. Obiad w stołówce szkolnej składa się z surówki, barszczu, gołąbków i kompotu. Koszt sałatki to 20%, barszcz - 30%, gołąbki - 45%, kompot - 5% całkowity koszt cały obiad. Napisz wyrażenie, aby znaleźć koszt obiadu w szkolnej stołówce. Ile kosztuje obiad, jeśli cena sałatki to 2 UAH?

POWTARZALNE ZADANIA

1406. Rozwiąż równanie:

1407. Tanya spędziła na lodachwszystkie dostępne pieniądze, a na słodycze -reszta. Ile pieniędzy ma Tania?

jeśli słodycze kosztują 12 UAH?