Jak skonstruować styczną do wykresu funkcji. Równanie stycznej do wykresu funkcji. Kompleksowy przewodnik (2019)

Rozważ następujący rysunek:

Przedstawia pewną funkcję y = f(x), która jest różniczkowalna w punkcie a. Zaznaczono punkt M o współrzędnych (a; f(a)). Sieczny MR jest rysowany przez dowolny punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) wykresu.

Jeśli teraz punkt P zostanie przesunięty na wykresie do punktu M, to linia prosta MR będzie się obracać wokół punktu M. W tym przypadku ∆x będzie dążyć do zera. Stąd możemy sformułować definicję stycznej do wykresu funkcji.

Styczna do wykresu funkcji

Styczna do wykresu funkcji jest pozycją graniczną siecznej, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Należy rozumieć, że istnienie pochodnej funkcji f w punkcie x0 oznacza, że w tym punkcie wykresu tangens do niego.

W tym przypadku współczynnik kątowy stycznej będzie równy pochodnej tej funkcji w tym punkcie f’(x0). To jest geometryczne znaczenie pochodnej. Styczna do wykresu funkcji f różniczkowalnej w punkcie x0 jest pewną linią prostą przechodzącą przez ten punkt (x0;f(x0)) i posiadającą współczynnik kątowy f’(x0).

Równanie styczne

Spróbujmy otrzymać równanie stycznej do wykresu jakiejś funkcji f w punkcie A(x0; f(x0)). Równanie prostej o nachyleniu k ma postać:

Ponieważ nasz współczynnik nachylenia jest równy pochodnej f’(x0), wówczas równanie przyjmie postać: y = f’(x0)*x + b.

Teraz obliczmy wartość b. W tym celu wykorzystujemy fakt, że funkcja przechodzi przez punkt A.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, stąd wyrażamy b i otrzymujemy b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Otrzymaną wartość podstawiamy do równania stycznego:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x – x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Rozważmy następujący przykład: znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 w punkcie x = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Podstaw otrzymane wartości do wzoru stycznego, otrzymamy: y = 1 + 4*(x - 2). Otwierając nawiasy i wprowadzając podobne wyrazy, otrzymujemy: y = 4*x - 7.

Odpowiedź: y = 4*x - 7.

Ogólny schemat tworzenia równania stycznego do wykresu funkcji y = f(x):

1. Określ x0.

2. Oblicz f(x0).

3. Oblicz f’(x)

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

Jeżeli zaistnieje konieczność – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie wniosków publicznych lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Y = f(x) i jeśli w tym miejscu można poprowadzić styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do osi odciętych, to współczynnik kątowy stycznej jest równy f”(a). Mamy już użyłem tego kilka razy. Na przykład w § 33 ustalono, że wykres funkcji y = sin x (sinusoida) w początku tworzy z osią x kąt 45° (a dokładniej styczną do osi). wykres na początku tworzy kąt 45° z dodatnim kierunkiem osi x), a w przykładzie 5 w podanym harmonogramie znaleziono punkty 33 Funkcje, w którym styczna jest równoległa do osi x. W przykładzie 2 z § 33 sporządzono równanie dla stycznej do wykresu funkcji y = x 2 w punkcie x = 1 (dokładniej w punkcie (1; 1), ale częściej jest to tylko wartość odciętej wskazano, wierząc, że jeśli znana jest wartość odciętej, to wartość rzędnej można znaleźć z równania y = f(x)). W tej części opracujemy algorytm tworzenia równania stycznego z wykresem dowolnej funkcji.

Niech będzie dana funkcja y = f(x) i punkt M (a; f(a)), wiadomo też, że istnieje f”(a). Ułóżmy równanie na styczną do wykresu a dana funkcja w danym punkcie. To równanie jest podobne do równania dowolnej prostej oś równoległa współrzędne mają postać y = kx+m, więc zadaniem jest znalezienie wartości współczynników k i m.

Ze współczynnikiem kątowym k nie ma problemów: wiemy, że k = f "(a). Do obliczenia wartości m wykorzystujemy fakt, że pożądana prosta przechodzi przez punkt M(a; f (a)) Oznacza to, że jeśli do równania prostej podstawimy współrzędne punktu M, otrzymamy poprawną równość: f(a) = ka+m, z czego wynika, że m = f(a) - ka.
Pozostaje zastąpić znalezione wartości współczynników zestawu równanie prosty:

Otrzymaliśmy równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie x=a.
Jeśli, powiedzmy,
Podstawiając znalezione wartości a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 do równania (1), otrzymujemy: y = 1+2(x-f), czyli y = 2x-1.
Porównaj ten wynik z wynikiem uzyskanym w przykładzie 2 z § 33. Naturalnie stało się to samo.
Utwórzmy równanie stycznej do wykresu funkcji y = tan x w początku układu współrzędnych. Mamy: oznacza to cos x f"(0) = 1. Podstawiając znalezione wartości a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 do równania (1), otrzymujemy: y = x.
Dlatego w § 15 (patrz rys. 62) narysowaliśmy styczną przez początek współrzędnych pod kątem 45° do osi odciętych.
Wystarczy je rozwiązać proste przykłady, faktycznie zastosowaliśmy pewien algorytm, który zawiera wzór (1). Wyjaśnijmy ten algorytm wyraźnie.

ALGORYTM OPRACOWANIA RÓWNAŃ NA STYCZNĄ DO WYKRESU FUNKCJI y = f(x)

1) Oznacz odciętą punktu stycznego literą a.
2) Oblicz 1 (a).
3) Znajdź f”(x) i oblicz f”(a).
4) Podstaw znalezione liczby a, f(a), (a) do wzoru (1).

Przykład 1. Zapisz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie x = 1.
Użyjmy algorytmu, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie

Na ryc. Na rys. 126 przedstawiono hiperbolę, konstruowana jest linia prosta y = 2.
Rysunek potwierdza powyższe obliczenia: rzeczywiście prosta y = 2 styka się z hiperbolą w punkcie (1; 1).

Odpowiedź: y = 2- x.
Przykład 2. Narysuj styczną do wykresu funkcji tak, aby była równoległa do prostej y = 4x - 5.
Wyjaśnijmy sformułowanie problemu. Wymóg „narysowania stycznej” zwykle oznacza „utworzenie równania stycznej”. Jest to logiczne, ponieważ jeśli ktoś byłby w stanie stworzyć równanie stycznej, jest mało prawdopodobne, aby miał trudności z konstruowaniem płaszczyzna współrzędnych prostą zgodnie z jej równaniem.
Skorzystajmy z algorytmu układania równania stycznego, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie. Jednak w przeciwieństwie do poprzedniego przykładu istnieje niejednoznaczność: odcięta punktu stycznego nie jest wyraźnie wskazana.
Zacznijmy myśleć w ten sposób. Pożądana styczna musi być równoległa do prostej y = 4x-5. Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe. Oznacza to, że współczynnik kątowy stycznej musi być równy współczynnikowi kątowemu danej prostej: Zatem wartość a możemy znaleźć z równania f”(a) = 4.
Mamy:
Z równania Oznacza to, że istnieją dwie styczne spełniające warunki zadania: jedna w punkcie z odciętą 2, druga w punkcie z odciętą -2.
Teraz możesz działać zgodnie z algorytmem.

Przykład 3. Z punktu (0; 1) narysuj styczną do wykresu funkcji
Skorzystajmy z algorytmu układania równania stycznego, biorąc pod uwagę, że w tym przykładzie. Należy zauważyć, że tutaj, podobnie jak w przykładzie 2, odcięta punktu stycznego nie jest wyraźnie wskazana. Niemniej jednak postępujemy zgodnie z algorytmem.

Warunek: styczna przechodzi przez punkt (0; 1). Podstawiając wartości x = 0, y = 1 do równania (2), otrzymujemy:
Jak widać, w tym przykładzie dopiero w czwartym kroku algorytmu udało nam się znaleźć odciętą punktu stycznego. Podstawiając wartość a =4 do równania (2) otrzymujemy:

Na ryc. 127 przedstawia ilustrację geometryczną rozważanego przykładu: wykreślany jest wykres funkcji

W § 32 zauważyliśmy, że dla funkcji y = f(x) mającej pochodną w stałym punkcie x obowiązuje przybliżona równość:

Dla wygody dalszego rozumowania zmieńmy oznaczenie: zamiast x napiszemy a, zamiast x i odpowiednio zamiast x-a. Wtedy przybliżona równość zapisana powyżej będzie miała postać:

Teraz spójrz na rys. 128. Do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie M (a; f (a)) poprowadzono styczną. Punkt x jest zaznaczony na osi x w pobliżu a. Jasne jest, że f(x) jest rzędną wykresu funkcji w określonym punkcie x. Co to jest f(a) + f”(a) (x-a)? Jest to rzędna stycznej odpowiadającej temu samemu punktowi x - patrz wzór (1). Co oznacza przybliżona równość (3)? Fakt że Aby obliczyć przybliżoną wartość funkcji, należy przyjąć wartość rzędnej stycznej.

Przykład 4. Znajdź przybliżoną wartość wyrażenie numeryczne 1,02 7 .
Mówimy o znalezieniu wartości funkcji y = x 7 w punkcie x = 1,02. Skorzystajmy ze wzoru (3), uwzględniając to w tym przykładzie
W rezultacie otrzymujemy:

Jeśli użyjemy kalkulatora, otrzymamy: 1,02 7 = 1,148685667...
Jak widać dokładność aproksymacji jest całkiem akceptowalna.
Odpowiedź: 1,02 7 =1,14.

A.G. Algebra Mordkowicza 10. klasa

Planowanie kalendarzowo-tematyczne w matematyce, wideo z matematyki online, Matematyka w szkole do pobrania

Treść lekcji notatki z lekcji ramka wspomagająca prezentację lekcji metody przyspieszania technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje pliki audio, wideo i multimedia fotografie, obrazy, grafiki, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzenia, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły sztuczki dla ciekawskich szopki podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcjipoprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika, elementy innowacji na lekcji, wymiana przestarzałej wiedzy na nową Tylko dla nauczycieli doskonałe lekcje plan kalendarza na dany rok wytyczne programy dyskusyjne Zintegrowane Lekcje

Instrukcje

Wyznaczamy współczynnik kątowy stycznej do krzywej w punkcie M.
Krzywa reprezentująca wykres funkcji y = f(x) jest ciągła w pewnym sąsiedztwie punktu M (uwzględniając sam punkt M).

Jeśli wartość f‘(x0) nie istnieje, to albo nie ma stycznej, albo przebiega ona pionowo. W związku z tym obecność pochodnej funkcji w punkcie x0 wynika z istnienia niepionowej stycznej stycznej do wykresu funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W tym przypadku współczynnik kątowy stycznej będzie równy f "(x0). Zatem geometryczne znaczenie pochodnej staje się jasne - obliczenie współczynnika kątowego stycznej.

Znajdź wartość odciętej punktu stycznego, który jest oznaczony literą „a”. Jeśli pokrywa się z danym punktem stycznym, wówczas „a” będzie jego współrzędną x. Określ wartość Funkcje f(a) poprzez podstawienie do równania Funkcje wartość odciętej.

Wyznacz pierwszą pochodną równania Funkcje f’(x) i podstawiamy do niego wartość punktu „a”.

Weź ogólne równanie styczne, które jest zdefiniowane jako y = f(a) = f (a)(x – a) i podstaw do niego znalezione wartości a, f(a), f „(a). W rezultacie zostanie znalezione rozwiązanie wykresu i styczne.

Rozwiąż problem w inny sposób, jeśli punkt zadany styczna nie pokrywała się z punktem styku. W takim przypadku konieczne jest podstawienie „a” zamiast liczb w równaniu stycznym. Następnie zamiast liter „x” i „y” podstawia się wartość współrzędnych danego punktu. Rozwiąż powstałe równanie, w którym „a” jest niewiadomą. Podstaw wynikową wartość do równania stycznego.

Napisz równanie stycznej z literą „a”, jeśli opis problemu określa równanie Funkcje oraz równanie linii równoległej względem żądanej stycznej. Następnie potrzebujemy pochodnej Funkcje, do współrzędnej w punkcie „a”. Podstaw odpowiednią wartość do równania stycznego i rozwiąż funkcję.

W artykule szczegółowo wyjaśniono definicje, znaczenie geometryczne pochodnej wraz z oznaczeniami graficznymi. Równanie stycznej zostanie omówione na przykładach, znalezione zostaną równania stycznej do krzywych drugiego rzędu.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1

Kąt nachylenia prostej y = k x + b nazywany jest kątem α i mierzonym od dodatniego kierunku osi x do prostej y = k x + b w kierunku dodatnim.

Na rysunku kierunek x jest oznaczony zieloną strzałką i zielonym łukiem, a kąt nachylenia czerwonym łukiem. Niebieska linia odnosi się do linii prostej.

Definicja 2

Nachylenie prostej y = k x + b nazywa się współczynnikiem liczbowym k.

Współczynnik kątowy jest równy tangensowi prostej, czyli k = t g α.

Kąt nachylenia prostej jest równy 0 tylko wtedy, gdy jest równoległa względem x, a nachylenie jest równe zero, ponieważ tangens zera jest równy 0. Oznacza to, że równanie będzie miało postać y = b.
Jeżeli kąt nachylenia prostej y = k x + b jest ostry, to warunek 0 jest spełniony< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, a na wykresie następuje wzrost.
Jeśli α = π 2, to położenie prostej jest prostopadłe do x. Równość jest określona przez x = c, gdzie wartość c jest liczbą rzeczywistą.
Jeżeli kąt nachylenia prostej y = k x + b jest rozwarty, to odpowiada warunkom π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает negatywne znaczenie, a wykres maleje.

Definicja 3

Sieczna to prosta przechodząca przez 2 punkty funkcji f (x). Inaczej mówiąc, sieczna to linia prosta przechodząca przez dowolne dwa punkty na wykresie danej funkcji.

Rysunek pokazuje, że AB jest sieczną, a f (x) jest czarną krzywą, α jest czerwonym łukiem, wskazującym kąt nachylenia siecznej.

Gdy współczynnik kątowy linii prostej jest równy tangensowi kąta nachylenia, jasne jest, że tangens trójkąta prostokątnego A B C można znaleźć poprzez stosunek przeciwnej strony do sąsiedniej.

Definicja 4

Otrzymujemy wzór na znalezienie secansu postaci:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, gdzie odcięte punktów A i B są wartościami x A, x B i f (x A), f (x B) są funkcjami wartości w tych punktach.

Oczywiście współczynnik kątowy siecznej wyznacza się za pomocą równości k = f (x B) - f (x A) x B - x A lub k = f (x A) - f (x B) x A - x B , a równanie należy zapisać jako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) lub
y = fa (x ZA) - fa (x B) x A - x B x - x B + fa (x B) .

Sieczna dzieli wykres wizualnie na 3 części: na lewo od punktu A, od A do B, na prawo od B. Poniższy rysunek pokazuje, że istnieją trzy sieczne, które są uważane za zbieżne, to znaczy są ustalane za pomocą podobne równanie.

Z definicji jasne jest, że linia prosta i jej sieczna w tym przypadku pokrywają się.

Sieczna może przecinać wykres danej funkcji wielokrotnie. Jeśli dla siecznej istnieje równanie w postaci y = 0, to liczba punktów przecięcia z sinusoidą jest nieskończona.

Definicja 5

Styczna do wykresu funkcji f (x) w punkcie x 0 ; f (x 0) jest linią prostą przechodzącą przez dany punkt x 0; f (x 0), z obecnością segmentu, który ma wiele wartości x bliskich x 0.

Przykład 1

Przyjrzyjmy się bliżej poniższemu przykładowi. Wtedy widać, że prostą wyznaczoną funkcją y = x + 1 uważa się za styczną do y = 2 x w punkcie o współrzędnych (1; 2). Dla jasności należy wziąć pod uwagę wykresy o wartościach bliskich (1; 2). Funkcja y = 2 x jest zaznaczona kolorem czarnym, niebieska linia to styczna, a czerwona kropka to punkt przecięcia.

Oczywiście y = 2 x łączy się z linią y = x + 1.

Aby wyznaczyć styczną, powinniśmy rozważyć zachowanie stycznej A B, gdy punkt B zbliża się do punktu A w nieskończoność. Dla przejrzystości przedstawiamy rysunek.

Sieczna A B, oznaczona niebieską linią, zmierza do położenia samej stycznej, a kąt nachylenia siecznej α zacznie zmierzać do kąta nachylenia samej stycznej α x.

Definicja 6

Styczną do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie A uważa się za położenie graniczne siecznej A B, ponieważ B dąży do A, czyli B → A.

Przejdźmy teraz do rozważenia geometrycznego znaczenia pochodnej funkcji w punkcie.

Przejdźmy do rozważenia siecznej A B dla funkcji f (x), gdzie A i B o współrzędnych x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), i ∆ x wynoszą oznaczane jako przyrost argumentu. Teraz funkcja przyjmie postać ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Dla jasności podamy przykład rysunku.

Rozważ powstały trójkąt prostokątny A B C. Do rozwiązania używamy definicji stycznej, czyli otrzymujemy relację ∆ y ∆ x = t g α . Z definicji stycznej wynika, że lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Zgodnie z zasadą pochodnej w punkcie mamy, że pochodna f (x) w punkcie x 0 nazywana jest granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdzie ∆ x → 0 , oznaczamy to jako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Wynika z tego, że f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdzie k x oznacza się jako nachylenie stycznej.

Oznacza to, że f ’ (x) może istnieć w punkcie x 0 i podobnie jak styczna do podany harmonogram funkcja w punkcie styczności równej x 0, f 0 (x 0), gdzie wartość nachylenia stycznej w punkcie jest równa pochodnej w punkcie x 0. Wtedy otrzymujemy, że k x = f " (x 0) .

Znaczenie geometryczne pochodnej funkcji w punkcie polega na tym, że daje ona pojęcie o istnieniu stycznej do wykresu w tym samym punkcie.

Aby napisać równanie dowolnej linii prostej na płaszczyźnie, konieczne jest posiadanie współczynnika kątowego z punktem, przez który przechodzi. Przyjmuje się, że jego zapis wynosi x 0 na przecięciu.

Równanie styczne do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie x 0, f 0 (x 0) przyjmuje postać y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Oznacza to, że ostateczna wartość pochodnej f "(x 0) może określić położenie stycznej, czyli w pionie, pod warunkiem, że lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 fa "(x ) = ∞ lub w ogóle nieobecny pod warunkiem lim x → x 0 + 0 fa " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 fa " (x) .

Położenie stycznej zależy od wartości jej współczynnika kątowego k x = f "(x 0). Przy równoległości do osi o x otrzymujemy, że k k = 0, gdy równolegle do o y - k x = ∞, oraz postać równanie styczne x = x 0 rośnie wraz z k x > 0, maleje wraz z k x< 0 .

Przykład 2

Ułóż równanie stycznej do wykresu funkcji y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 w punkcie o współrzędnych (1; 3) i wyznacz kąt nachylenia.

Rozwiązanie

Pod warunkiem mamy, że funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Stwierdzamy, że punkt o współrzędnych określonych warunkiem (1; 3) jest punktem styczności, wówczas x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Należy znaleźć pochodną w punkcie o wartości - 1. Rozumiemy to

y " = mi x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = mi x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = mi x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = mi - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Wartość f' (x) w punkcie styczności jest nachyleniem stycznej, która jest równa stycznej nachylenia.

Następnie k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Wynika z tego, że α x = a r do t sol 3 3 = π 6

Odpowiedź: równanie styczne przyjmuje postać

y = fa " (x 0) x - x 0 + fa (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Dla przejrzystości podajemy przykład na ilustracji graficznej.

Na wykresie oryginalnej funkcji zastosowano kolor czarny, Kolor niebieski– obraz stycznej, czerwona kropka – punkt styczności. Rysunek po prawej stronie przedstawia widok w powiększeniu.

Przykład 3

Ustalić istnienie stycznej do wykresu danej funkcji
y = 3 · x - 1 5 + 1 w punkcie o współrzędnych (1 ; 1) . Napisz równanie i określ kąt nachylenia.

Rozwiązanie

Pod warunkiem mamy, że za dziedzinę definicji danej funkcji uważa się zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Przejdźmy do znalezienia pochodnej

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Jeśli x 0 = 1, to f' (x) jest nieokreślone, ale granice są zapisywane jako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , co oznacza istnienie stycznej pionowej w punkcie (1; 1).

Odpowiedź: równanie przyjmie postać x = 1, gdzie kąt nachylenia będzie równy π 2.

Dla jasności przedstawmy to graficznie.

Przykład 4

Znajdź punkty na wykresie funkcji y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, gdzie

Nie ma stycznej;
Styczna jest równoległa do x;
Styczna jest równoległa do prostej y = 8 5 x + 4.

Rozwiązanie

Należy zwrócić uwagę na zakres definicji. Pod warunkiem mamy, że funkcja jest zdefiniowana na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Rozbudowujemy moduł i rozwiązujemy układ o przedziałach x ∈ - ∞ ; 2 i [- 2; + ∞) . Rozumiemy to

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Konieczne jest różniczkowanie funkcji. Mamy to

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Gdy x = − 2, to pochodna nie istnieje, ponieważ jednostronne granice nie są w tym punkcie równe:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Obliczamy wartość funkcji w punkcie x = - 2, gdzie to otrzymujemy

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, czyli styczna w punkcie ( - 2; - 2) nie będzie istnieć.
Styczna jest równoległa do x, gdy nachylenie wynosi zero. Następnie k x = t g α x = f "(x 0). Oznacza to, że konieczne jest znalezienie wartości takiego x, gdy pochodna funkcji zamienia ją na zero. To znaczy wartości f ' (x) będą punktami styczności, gdzie styczna jest równoległa do x .

Kiedy x ∈ - ∞ ; - 2, wówczas - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, a dla x ∈ (- 2; + ∞) otrzymujemy 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 re = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 re = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Oblicz odpowiednie wartości funkcji

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Stąd - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 są uważane za wymagane punkty wykresu funkcji.

Spójrzmy na graficzną reprezentację rozwiązania.

Czarna linia to wykres funkcji, czerwone kropki to punkty styczności.

Gdy linie są równoległe, współczynniki kątowe są równe. Następnie należy poszukać na wykresie funkcji punktów, w których nachylenie będzie równe wartości 8 5. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie postaci y "(x) = 8 5. Następnie, jeśli x ∈ - ∞; - 2, otrzymujemy to - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a jeśli x ∈ ( - 2 ; + ∞), to 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Pierwsze równanie nie ma pierwiastków, ponieważ dyskryminator jest mniejszy od zera. Zapiszmy to

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Zatem inne równanie ma dwa rzeczywiste pierwiastki

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 re = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Przejdźmy do znalezienia wartości funkcji. Rozumiemy to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Punkty o wartościach - 1; 4 15, 5; 8 3 to punkty, w których styczne są równoległe do prostej y = 8 5 x + 4.

Odpowiedź: linia czarna – wykres funkcji, linia czerwona – wykres y = 8 5 x + 4, linia niebieska – styczne w punktach - 1; 4 15, 5; 8 3.

Dla danych funkcji może istnieć nieskończona liczba tangensów.

Przykład 5

Zapisz równania wszystkich dostępnych stycznych funkcji y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, które leżą prostopadle do prostej y = - 2 x + 1 2.

Rozwiązanie

Aby skompilować równanie styczne, należy znaleźć współczynnik i współrzędne punktu stycznego, w oparciu o warunek prostopadłości linii. Definicja jest następująca: iloczyn współczynników kątowych prostopadłych do prostych jest równy -1, czyli zapisywany jako k x · k ⊥ = - 1. Z warunku mamy, że współczynnik kątowy leży prostopadle do prostej i jest równy k ⊥ = - 2, wówczas k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Teraz musisz znaleźć współrzędne punktów dotyku. Musisz znaleźć x, a następnie jego wartość dla danej funkcji. Należy zauważyć, że z geometrycznego znaczenia pochodnej w punkcie
x 0 otrzymujemy, że k x = y "(x 0). Z tej równości znajdujemy wartości x dla punktów styku.

Rozumiemy to

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - grzech 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 grzech 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 grzech 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 grzech 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ grzech 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Ten równanie trygonometryczne zostaną użyte do obliczenia współrzędnych punktów stycznych.

3 2 x 0 - π 4 = a r do sin - 1 9 + 2 πk lub 3 2 x 0 - π 4 = π - a r do grzech - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r do grzech 1 9 + 2 πk lub 3 2 x 0 - π 4 = π + za r do grzech 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - za r do sin 1 9 + 2 πk lub x 0 = 2 3 5 π 4 + za r do sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z jest zbiorem liczb całkowitych.

znaleziono x punktów kontaktowych. Teraz musisz przejść do wyszukiwania wartości y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - grzech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 lub y 0 = 3 - 1 - grzech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 lub y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 lub y 0 = - 4 5 + 1 3

Z tego otrzymujemy, że 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r do grzech 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 to punkty styczności.

Odpowiedź: niezbędne równania zostaną zapisane jako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - za r do grzech 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + za r do grzech 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Aby uzyskać reprezentację wizualną, rozważ funkcję i styczną na linii współrzędnych.

Z rysunku wynika, że funkcja znajduje się na przedziale [-10; 10 ], gdzie czarna linia to wykres funkcji, niebieskie linie to styczne, które leżą prostopadle do danej prostej postaci y = - 2 x + 1 2. Czerwone kropki to punkty dotykowe.

Równania kanoniczne krzywych drugiego rzędu nie są funkcjami jednowartościowymi. Równania styczne dla nich są zestawiane według znanych schematów.

Styczna do okręgu

Aby zdefiniować okrąg ze środkiem w punkcie x środek t e r ; y c e n t e r i promień R, zastosuj wzór x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Równość tę można zapisać jako sumę dwóch funkcji:

y = R 2 - x - x do mi n t mi r 2 + y do mi n t e r y = - R 2 - x - x do mi n t mi r 2 + y do mi n t mi r

Pierwsza funkcja znajduje się na górze, a druga na dole, jak pokazano na rysunku.

Aby skompilować równanie okręgu w punkcie x 0; y 0 , który znajduje się w górnym lub dolnym półkolu, powinieneś znaleźć równanie wykresu funkcji postaci y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r lub y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + centrum we wskazanym punkcie.

Kiedy w punktach x cent e r ; y c e n t e r + R i x c e n t e r ; y c e n t e r - R styczne można wyrazić za pomocą równań y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R oraz w punktach x c e n t e r + R ; y centrum i
x środek t e r - R ; y c e n t e r będzie równoległe do o y, wówczas otrzymamy równania postaci x = x c e n t e r + R i x = x c e n t e r - R .

Styczna do elipsy

Gdy elipsa ma środek w xcenter r ; y centrum t e r z półosiami a i b, to można to określić za pomocą równania x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Elipsę i okrąg można oznaczyć poprzez połączenie dwóch funkcji, a mianowicie górnej i dolnej półelipsy. Wtedy to zrozumiemy

y = b za · za 2 - (x - x do e n t mi r) 2 + y do mi n t e r y = - b a · za 2 - (x - x do mi n t e r) 2 + y do mi n t mi r

Jeżeli styczne znajdują się na wierzchołkach elipsy, to są one równoległe względem x lub y. Poniżej, dla jasności, rozważ rysunek.

Przykład 6

Zapisz równanie stycznej do elipsy x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 w punktach o wartościach x równych x = 2.

Rozwiązanie

Konieczne jest znalezienie punktów stycznych odpowiadających wartości x = 2. Podstawiamy do istniejącego równania elipsy i znajdujemy to

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Następnie 2; 5 3 2 + 5 i 2; - 5 3 2 + 5 to punkty styczne należące do górnej i dolnej półelipsy.

Przejdźmy do znalezienia i rozwiązania równania elipsy względem y. Rozumiemy to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Oczywiście górną półelipsę określa się funkcją w postaci y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, a dolną półelipsę y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Zastosujmy standardowy algorytm do utworzenia równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie. Napiszmy, że równanie dla pierwszej stycznej w punkcie 2; 5 3 2 + 5 będzie wyglądać

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Stwierdzamy, że równanie drugiej stycznej z wartością w punkcie
2; - 5 3 2 + 5 przyjmuje formę

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficznie styczne są oznaczone w następujący sposób:

Styczna do hiperboli

Kiedy hiperbola ma środek w x centrum ; y środek i wierzchołki x środek t e r + α ; y centrum t i x cen t e r - α; y c e n t e r , nierówność x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ma miejsce, jeśli z wierzchołkami x c e n t e r ; y c e n t e r + b i x c e n t e r ; y c e n t e r - b , to określa się za pomocą nierówności x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbolę można przedstawić jako dwie połączone funkcje formy

y = b za · (x - x do e n t e r) 2 - za 2 + y do mi n t e r y = - b a · (x - x do mi n t e r) 2 - za 2 + y c e n t e r lub y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + za 2 + y do e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + za 2 + y c e n t e r

W pierwszym przypadku mamy, że styczne są równoległe do y, a w drugim są równoległe do x.

Wynika z tego, że aby znaleźć równanie stycznej do hiperboli, należy dowiedzieć się, do jakiej funkcji należy punkt styczności. Aby to ustalić, należy podstawić równania i sprawdzić identyczność.

Przykład 7

Napisz równanie stycznej do hiperboli x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 w punkcie 7; - 3 3 - 3 .

Rozwiązanie

Konieczne jest przekształcenie zapisu rozwiązania w celu znalezienia hiperboli za pomocą 2 funkcji. Rozumiemy to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 i y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Należy określić do jakiej funkcji należy dany punkt o współrzędnych 7; - 3 3 - 3 .

Oczywiście do sprawdzenia pierwszej funkcji potrzebne jest y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, wtedy punkt nie należy do wykresu, ponieważ równość nie zachodzi.

Dla drugiej funkcji mamy, że y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, co oznacza, że punkt należy do danego wykresu. Stąd powinieneś znaleźć zbocze.

Rozumiemy to

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Odpowiedź: równanie styczne można przedstawić jako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Jest to wyraźnie przedstawione w ten sposób:

Styczna do paraboli

Aby utworzyć równanie stycznej do paraboli y = a x 2 + b x + c w punkcie x 0, y (x 0), należy zastosować standardowy algorytm, wówczas równanie przybierze postać y = y ”(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Taka styczna w wierzchołku jest równoległa do x.

Powinieneś zdefiniować parabolę x = a y 2 + b y + c jako sumę dwóch funkcji. Dlatego musimy rozwiązać równanie dla y. Rozumiemy to

x = za y 2 + b y + do ⇔ za y 2 + b y + do - x = 0 re = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Przedstawmy to graficznie jako:

Aby dowiedzieć się czy punkt x 0, y (x 0) należy do funkcji, postępuj delikatnie według standardowego algorytmu. Taka styczna będzie równoległa do oy względem paraboli.

Przykład 8

Zapisz równanie stycznej do wykresu x - 2 y 2 - 5 y + 3 gdy mamy kąt styczny równy 150°.

Rozwiązanie

Rozwiązanie zaczynamy od przedstawienia paraboli jako dwóch funkcji. Rozumiemy to

2 lata 2 - 5 lat + 3 - x = 0 re = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Wartość nachylenia jest równa wartości pochodnej w punkcie x 0 tej funkcji i jest równa tangensowi kąta nachylenia.

Otrzymujemy:

k x = y "(x 0) = t sol α x = t g 150 ° = - 1 3

Stąd określamy wartość x dla punktów styku.

Pierwsza funkcja zostanie zapisana jako

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Oczywiście nie ma prawdziwych pierwiastków, ponieważ otrzymaliśmy wartość ujemną. Dochodzimy do wniosku, że dla takiej funkcji nie ma stycznej o kącie 150°.

Druga funkcja zostanie zapisana jako

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Mamy, że punktów styku jest 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Odpowiedź: równanie styczne przyjmuje postać

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Przedstawmy to graficznie w ten sposób:

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter