Przyrównujemy równania stycznych y1. Kalkulator online. Równanie stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie
Artykuł zawiera szczegółowe wyjaśnienie definicji, geometrycznego znaczenia pochodnej z zapisem graficznym. Równanie stycznej zostanie omówione na przykładach, zostaną znalezione równania stycznej do krzywych drugiego rzędu.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1
Kąt nachylenia linii prostej y \u003d k x + b nazywany jest kątem α, który jest mierzony od dodatniego kierunku osi x do linii prostej y \u003d k x + b w kierunku dodatnim.
Na rysunku kierunek wół jest oznaczony zieloną strzałką i zielonym łukiem, a kąt nachylenia czerwonym łukiem. Niebieska linia odnosi się do linii prostej.
Definicja 2
Nachylenie linii prostej y \u003d k x + b nazywa się współczynnikiem liczbowym k.
Nachylenie jest równe nachyleniu linii prostej, czyli k = t g α .
- Nachylenie linii prostej wynosi 0 tylko wtedy, gdy ox jest równoległe i nachylenie jest równe zeru, ponieważ styczna zera wynosi 0. Tak więc forma równania będzie y = b.
- Jeżeli kąt nachylenia prostej y = k x + b jest ostry, to warunki 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , a na wykresie widać wzrost.
- Jeśli α \u003d π 2, położenie linii jest prostopadłe do x. Równość jest określona przez równość x = c, gdzie wartość c jest liczbą rzeczywistą.
- Jeżeli kąt nachylenia prostej y = k x + b jest rozwarty, to odpowiada warunkom π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Sieczna to linia prosta przechodząca przez 2 punkty funkcji f (x). Innymi słowy sieczna to linia prosta, która przechodzi przez dowolne dwa punkty na wykresie danej funkcji.
Rysunek pokazuje, że A B jest sieczną, a f (x) jest czarną krzywą, α jest czerwonym łukiem, wskazującym kąt nachylenia siecznej.
Gdy nachylenie prostej jest równe stycznej do kąta pochylenia, widać wyraźnie, że styczną z trójkąta prostokątnego A B C można znaleźć w stosunku do przeciwległej odnogi do sąsiedniej.
Definicja 4
Otrzymujemy wzór na znalezienie siecznej formy:
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , gdzie odcięte punkty A i B są wartościami x A , x B i f (x A) , f (x B) są funkcjami wartości w tych punktach.
Oczywiście nachylenie siecznej definiuje się za pomocą równości k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A lub k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, a równanie musi być zapisane jako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) lub
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .
Sieczna wizualnie dzieli wykres na 3 części: na lewo od punktu A, od A do B, na prawo od B. Poniższy rysunek pokazuje, że istnieją trzy sieczne, które są uważane za takie same, to znaczy są ustawić przy użyciu podobnego równania.
Z definicji jasne jest, że linia i jej sieczna pokrywają się w tym przypadku.
Sieczna może wielokrotnie przecinać wykres danej funkcji. Jeśli istnieje równanie postaci y \u003d 0 dla siecznej, liczba punktów przecięcia z sinusoidą jest nieskończona.
Definicja 5
Styczna do wykresu funkcji f (x) w punkcie x 0 ; f (x 0) nazywamy linią prostą przechodzącą przez dany punkt x 0; f (x 0) , z obecnością segmentu, który ma wiele wartości x bliskich x 0 .
Przykład 1
Przyjrzyjmy się bliżej poniższemu przykładowi. Wtedy widać, że prosta określona funkcją y = x + 1 jest uważana za styczną do y = 2 x w punkcie o współrzędnych (1 ; 2 ) . Dla jasności należy wziąć pod uwagę wykresy o wartościach zbliżonych do (1; 2). Funkcja y = 2 x zaznaczona jest na czarno, niebieska linia to styczna, czerwona kropka to punkt przecięcia.
Oczywiście y \u003d 2 x łączy się z linią y \u003d x + 1.
Aby określić styczną, rozważ zachowanie stycznej A B, gdy punkt B zbliża się w nieskończoność do punktu A. Dla jasności przedstawiamy figurę.
Sieczna AB, oznaczona linią niebieską, dąży do położenia samej stycznej, a kąt nachylenia siecznej α zacznie dążyć do kąta nachylenia samej stycznej αx.
Definicja 6
Styczna do wykresu funkcji y \u003d f (x) w punkcie A jest położeniem granicznym siecznej A B w B zmierzającym do A, to znaczy B → A.
Teraz przejdziemy do rozważenia geometrycznego znaczenia pochodnej funkcji w punkcie.
Przejdźmy do rozważenia siecznej A B dla funkcji f (x), gdzie A i B o współrzędnych x 0, f (x 0) i x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) i ∆ x to oznaczany jako przyrost argumentu . Teraz funkcja przyjmie postać ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Dla jasności weźmy zdjęcie jako przykład.
Rozważmy otrzymany trójkąt prostokątny A B C. Używamy definicji stycznej do rozwiązania, to znaczy otrzymujemy stosunek ∆ y ∆ x = t g α . Z definicji stycznej wynika, że lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Zgodnie z regułą pochodnej w punkcie mamy, że pochodną f (x) w punkcie x 0 nazywamy granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdzie ∆ x → 0, to oznaczone jako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Wynika z tego, że f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, gdzie k x jest oznaczane jako nachylenie stycznej.
Oznacza to, że otrzymujemy, że f ' (x) może istnieć w punkcie x 0 i podobnie jak styczna do danego wykresu funkcji w punkcie styku równa x 0 , f 0 (x 0) , gdzie wartość nachylenia stycznej w punkcie jest równa pochodnej w punkcie x 0 . Wtedy otrzymujemy, że k x = f "(x 0) .
Geometryczne znaczenie pochodnej funkcji w punkcie jest takie, że dane jest pojęcie istnienia stycznej do wykresu w tym samym punkcie.
Aby napisać równanie dowolnej linii prostej w płaszczyźnie, konieczne jest nachylenie z punktem, przez który przechodzi. Jego oznaczenie przyjmuje się jako x 0 na skrzyżowaniu.
Równanie stycznej do wykresu funkcji y \u003d f (x) w punkcie x 0, f 0 (x 0) przyjmuje postać y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .
Oznacza to, że ostateczna wartość pochodnej f „(x 0) może określić położenie stycznej, czyli w pionie pod warunkiem lim x → x 0 + 0 f” (x) = ∞ i lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ lub w ogóle brak pod warunkiem lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .
Położenie stycznej zależy od wartości jej nachylenia k x \u003d f ”(x 0). Gdy jest równoległy do osi ox, otrzymujemy to k k \u003d 0, gdy jest równoległy do o y - k x \u003d ∞, a forma równania stycznej x \u003d x 0 wzrasta wraz z k x > 0 , maleje jako k x< 0 .
Przykład 2
Skompiluj równanie stycznej z wykresem funkcji y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 w punkcie o współrzędnych (1; 3) z definicją kąta nachylenie.
Rozwiązanie
Z założenia mamy, że funkcja jest zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych. Otrzymujemy, że punkt o współrzędnych określonych przez warunek (1 ; 3) jest punktem styku, wtedy x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .
Konieczne jest znalezienie pochodnej w punkcie o wartości -1 . Rozumiemy to
y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
Wartość f ’ (x) w punkcie styku jest nachyleniem stycznej, która jest równa stycznej nachylenia.
Wtedy k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3
Wynika z tego, że α x = a r c t g 3 3 = π 6
Odpowiadać: równanie styczne przyjmuje postać
y \u003d f ”(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3
Dla jasności podajemy przykład na ilustracji graficznej.
Kolor czarny jest używany do wykresu oryginalnej funkcji, kolor niebieski to obraz styczny, czerwona kropka to punkt kontaktu. Rysunek po prawej pokazuje powiększony widok.
Przykład 3
Znajdź istnienie stycznej do wykresu danej funkcji
y = 3 x - 1 5 + 1 w punkcie o współrzędnych (1 ; 1 ) . Napisz równanie i określ kąt nachylenia.
Rozwiązanie
Z założenia mamy, że dziedziną danej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.
Przejdźmy do znalezienia pochodnej
y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5
Jeśli x 0 = 1 , to f ' (x) nie jest zdefiniowane, ale granice są zapisane jako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ i lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , co oznacza istnienie stycznej pionowej w punkt (1 ; 1) .
Odpowiadać: równanie przyjmie postać x \u003d 1, gdzie kąt nachylenia będzie równy π 2.
Narysujmy to dla jasności.
Przykład 4
Znajdź punkty wykresu funkcji y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , gdzie
- Styczna nie istnieje;
- Styczna jest równoległa do x;
- Styczna jest równoległa do prostej y = 8 5 x + 4 .
Rozwiązanie
Należy zwrócić uwagę na dziedzinę definicji. Z założenia mamy, że funkcja jest zdefiniowana na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych. Rozwiń moduł i rozwiąż układ w przedziałach x ∈ - ∞ ; 2 i [-2; +∞) . Rozumiemy to
y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x [ - 2 ; +∞)
Funkcja musi być zróżnicowana. Mamy to
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)
Gdy x = -2, to pochodna nie istnieje, ponieważ granice jednostronne nie są równe w tym punkcie:
lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
Obliczamy wartość funkcji w punkcie x \u003d - 2, gdzie to otrzymujemy
- y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, czyli styczna na punkt (- 2; - 2) nie będzie istniał.
- Styczna jest równoległa do x, gdy nachylenie wynosi zero. Następnie k x \u003d t g α x \u003d f ”(x 0). Oznacza to, że konieczne jest znalezienie wartości takiego x, gdy pochodna funkcji zamienia ją na zero. To znaczy wartości \u200b\u200bf '(x) i będą punktami styku, w których styczna jest równoległa do x .
Gdy x ∈ - ∞ ; -2 , wtedy -1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , a dla x ∈ (- 2 ; + ∞) otrzymujemy 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞
Obliczamy odpowiednie wartości funkcji
r 1 = r - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 r 2 = r (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Stąd - 5; 8 5,-4; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 są uważane za pożądane punkty wykresu funkcji.
Rozważ graficzną reprezentację rozwiązania.
Czarna linia to wykres funkcji, czerwone kropki to punkty dotykowe.
- Gdy linie są równoległe, zbocza są równe. Następnie należy poszukać punktów wykresu funkcji, w których nachylenie będzie równe wartości 8 5 . Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie postaci y "(x) = 8 5. Następnie, jeśli x ∈ - ∞; - 2, otrzymujemy, że - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a jeśli x ( - 2 ; + ∞ ), to 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .
Pierwsze równanie nie ma pierwiastków, ponieważ dyskryminator jest mniejszy od zera. Zapiszmy to
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0
Kolejne równanie ma zatem dwa pierwiastki rzeczywiste
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞
Przejdźmy do znalezienia wartości funkcji. Rozumiemy to
y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Punkty z wartościami - 1 ; 4 15, 5; 8 3 to punkty, w których styczne są równoległe do prostej y = 8 5 x + 4 .
Odpowiadać: czarna linia - wykres funkcji, czerwona linia - wykres y \u003d 8 5 x + 4, niebieska linia - styczne w punktach - 1; 4 15, 5; 8 3 .
Możliwe jest istnienie nieskończonej liczby stycznych dla danych funkcji.
Przykład 5
Napisz równania wszystkich dostępnych stycznych funkcji y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , które są prostopadłe do prostej y = - 2 x + 1 2 .
Rozwiązanie
Aby skompilować równanie styczne, konieczne jest znalezienie współczynnika i współrzędnych punktu stycznego na podstawie warunku prostopadłości prostych. Definicja brzmi tak: iloczyn nachyleń prostopadłych do linii prostych jest równy - 1, to znaczy jest zapisany jako k x · k ⊥ = - 1. Z warunku mamy, że nachylenie jest prostopadłe do prostej i wynosi k ⊥ = -2, a następnie k x = -1 k ⊥ = -1 - 2 = 1 2 .
Teraz musimy znaleźć współrzędne punktów styku. Musisz znaleźć x, po czym jego wartość dla danej funkcji. Zauważ, że z geometrycznego znaczenia pochodnej w punkcie
x 0 otrzymujemy to k x \u003d y ”(x 0) . Z tej równości znajdujemy wartości x dla punktów dotyku.
Rozumiemy to
y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 grzech 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 grzech 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ grzech 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
To równanie trygonometryczne zostanie użyte do obliczenia współrzędnych punktów styku.
3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk lub 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk lub 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk lub x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z
Z jest zbiorem liczb całkowitych.
Znaleziono x punktów kontaktowych. Teraz musisz przejść do wyszukiwania wartości y:
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - grzech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 lub y 0 = 3 - 1 - grzech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 lub y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3
r 0 = 4 5 - 1 3 lub r 0 = - 4 5 + 1 3
Stąd otrzymujemy, że 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 to punkty dotykowe.
Odpowiadać: niezbędne równania zostaną zapisane jako
y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z
Aby przedstawić wizualną reprezentację, rozważ funkcję i styczną na linii współrzędnych.
Rysunek pokazuje, że lokalizacja funkcji znajduje się w przedziale [-10; 10 ] , gdzie linia czarna jest wykresem funkcji, linie niebieskie to styczne prostopadłe do danej prostej postaci y = - 2 x + 1 2 . Czerwone kropki to punkty dotykowe.
Równania kanoniczne krzywych drugiego rzędu nie są funkcjami jednowartościowymi. Równania styczne dla nich są zestawiane zgodnie ze znanymi schematami.
Styczna do okręgu
Aby ustawić okrąg o środku w punkcie x c e n t e r ; y c e n t e r i promień R, stosuje się wzór x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.
Tę równość można zapisać jako połączenie dwóch funkcji:
y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r
Pierwsza funkcja znajduje się na górze, a druga na dole, jak pokazano na rysunku.
Aby sporządzić równanie okręgu w punkcie x 0 ; y 0 , który znajduje się w górnym lub dolnym półokręgu, powinieneś znaleźć równanie wykresu funkcji postaci y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r lub y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r w określonym punkcie.
Kiedy w punktach x c e n t e r ; y c e n t e r + R i x c e n t e r ; y c e n t e r - R styczne mogą być podane równaniami y = y c e n t e r + R i y = y c e n t e r - R oraz w punktach x c e n t e r + R ; y c e n t e r i
x c e n t e r - R ; y c e n t e r będzie równoległe do y, to otrzymamy równania postaci x = x c e n t e r + R oraz x = x c e n t e r - R .
Styczna do elipsy
Kiedy elipsa jest wyśrodkowana w punkcie x e n t e r ; y c e n t e r o półosiach a i b , to może być podane równaniem x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .
Elipsę i okrąg można oznaczyć łącząc dwie funkcje, a mianowicie górną i dolną półelipsę. Wtedy to rozumiemy
y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r
Jeżeli styczne znajdują się w wierzchołkach elipsy, to są równoległe względem x lub około y. Dla jasności rozważ poniższy rysunek.
Przykład 6
Napisz równanie stycznej do elipsy x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 w punktach o wartościach x równych x = 2 .
Rozwiązanie
Konieczne jest znalezienie punktów dotykowych, które odpowiadają wartości x = 2. Dokonujemy podstawienia do istniejącego równania elipsy i otrzymujemy, że
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Następnie 2 ; 5 3 2 + 5 i 2 ; - 5 3 2 + 5 to punkty styczne należące do górnej i dolnej półelipsy.
Przejdźmy do znalezienia i rozwiązania równania elipsy względem y. Rozumiemy to
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Jest oczywiste, że górną półelipsę określa się funkcją postaci y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , a dolną y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .
Stosujemy standardowy algorytm w celu sformułowania równania stycznej do wykresu funkcji w punkcie. Piszemy, że równanie dla pierwszej stycznej w punkcie 2 ; 5 3 2 + 5 będzie wyglądać
y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - (x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
Otrzymujemy, że równanie drugiej stycznej z wartością w punkcie
2; - 5 3 2 + 5 staje się
y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Graficznie styczne oznaczono w następujący sposób:
Styczna do hiperboli
Kiedy hiperbola ma środek w punkcie x c e n t e r ; y c e n t e r i wierzchołki x c e n t e r + α ; y c e n t e r i x c e n t e r - α ; y c e n t e r , nierówność x - x c e n t e r 2 α 2 - y - r e n t e r 2 b 2 = 1 jest podana jeśli z wierzchołkami x c e n t e r ; y c e n t e r + b i x c e n t e r ; y c e n t e r - b jest wtedy podane przez nierówność x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = -1 .
Hiperbolę można przedstawić jako dwie połączone funkcje postaci
y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r lub y = b a (x - x c e n t e r ) ) 2 + a 2 + y c e n t e r
W pierwszym przypadku mamy, że styczne są równoległe do y, aw drugim są równoległe do x.
Wynika z tego, że aby znaleźć równanie stycznej do hiperboli, konieczne jest ustalenie, do której funkcji należy punkt styczny. Aby to ustalić, konieczne jest dokonanie podstawienia w równaniach i sprawdzenie ich identyczności.
Przykład 7
Napisz równanie stycznej do hiperboli x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 w punkcie 7; - 3 3 - 3 .
Rozwiązanie
Konieczne jest przekształcenie zapisu rozwiązania znalezienia hiperboli za pomocą 2 funkcji. Rozumiemy to
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 lub y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3
Konieczne jest ustalenie, do jakiej funkcji należy dany punkt o współrzędnych 7; - 3 3 - 3 .
Oczywiście do sprawdzenia pierwszej funkcji konieczne jest y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , wtedy punkt nie należy do wykresu, ponieważ równość nie jest spełniona.
Dla drugiej funkcji mamy, że y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , co oznacza, że punkt należy do danego wykresu. Stąd powinieneś znaleźć współczynnik nachylenia.
Rozumiemy to
y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Odpowiadać: równanie styczne można przedstawić jako
y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3
Jest wizualizowany w następujący sposób:
Styczna do paraboli
Aby skomponować równanie stycznej do paraboli y \u003d a x 2 + b x + c w punkcie x 0, y (x 0) , musisz użyć standardowego algorytmu, wówczas równanie przyjmie postać y \u003d y ” (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Taka styczna do wierzchołka jest równoległa do x.
Parabola x = a y 2 + b y + c powinna być zdefiniowana jako suma dwóch funkcji. Dlatego musimy rozwiązać równanie dla y. Rozumiemy to
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
Narysujmy to jako:
Aby dowiedzieć się, czy punkt x 0 , y (x 0) należy do funkcji, delikatnie postępuj zgodnie ze standardowym algorytmem. Taka styczna będzie równoległa do y względem paraboli.
Przykład 8
Napisz równanie stycznej do wykresu x - 2 y 2 - 5 y + 3 gdy mamy nachylenie stycznej 150 °.
Rozwiązanie
Rozwiązanie zaczynamy od przedstawienia paraboli jako dwóch funkcji. Rozumiemy to
2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4
Wartość nachylenia jest równa wartości pochodnej w punkcie x 0 tej funkcji i jest równa tangensowi nachylenia.
Otrzymujemy:
k x \u003d y ”(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3
Stąd określamy wartość x dla punktów styku.
Pierwsza funkcja zostanie zapisana jako
y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Oczywiście nie ma prawdziwych pierwiastków, ponieważ otrzymaliśmy wartość ujemną. Dochodzimy do wniosku, że dla takiej funkcji nie ma stycznej o kącie 150 °.
Druga funkcja zostanie zapisana jako
y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Mamy, że punkty styku - 23 4 ; - 5 + 3 4 .
Odpowiadać: równanie styczne przyjmuje postać
y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4
Narysujmy to tak:
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Przykład 1 Biorąc pod uwagę funkcję f(x) = 3x 2 + 4x– 5. Zapiszmy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie wykresu z odciętą x 0 = 1.
Rozwiązanie. Pochodna funkcji f(x) istnieje dla dowolnego x R . Znajdźmy to:
= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.
Następnie f(x 0) = f(1) = 2; (x 0) = = 10. Równanie styczne ma postać:
tak = (x 0) (x – x 0) + f(x 0),
tak = 10(x – 1) + 2,
tak = 10x – 8.
Odpowiadać. tak = 10x – 8.
Przykład 2 Biorąc pod uwagę funkcję f(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. Zapiszmy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x), równolegle do linii tak = 2x – 11.
Rozwiązanie. Pochodna funkcji f(x) istnieje dla dowolnego x R . Znajdźmy to:
= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.
Od stycznej do wykresu funkcji f(x) w miejscu z odciętą x 0 jest równoległa do linii tak = 2x– 11, to jej nachylenie wynosi 2, czyli ( x 0) = 2. Znajdź tę odciętą z warunku, że 3 x– 6x 0 + 2 = 2. Ta równość obowiązuje tylko dla x 0 = 0 i x 0 = 2. Ponieważ w obu przypadkach f(x 0) = 5, to linia prosta tak = 2x + b dotyka wykresu funkcji w punkcie (0; 5) lub w punkcie (2; 5).
W pierwszym przypadku równość liczbowa jest prawdziwa 5 = 2×0 + b, gdzie b= 5, a w drugim przypadku równość liczbowa jest prawdziwa 5 = 2 × 2 + b, gdzie b = 1.
Więc są dwie styczne tak = 2x+ 5 i tak = 2x+ 1 do wykresu funkcji f(x) równolegle do linii tak = 2x – 11.
Odpowiadać. tak = 2x + 5, tak = 2x + 1.
Przykład 3 Biorąc pod uwagę funkcję f(x) = x 2 – 6x+ 7. Zapiszmy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) przechodząc przez punkt A (2; –5).
Rozwiązanie. Dlatego f(2) –5, to punkt A nie należy do wykresu funkcji f(x). Wynajmować x 0 - odcięta punktu dotykowego.
Pochodna funkcji f(x) istnieje dla dowolnego x R . Znajdźmy to:
= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.
Następnie f(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. Równanie styczne ma postać:
tak = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,
tak = (2x 0 – 6)x– x+ 7.
Od punktu A należy do stycznej, to równość liczbowa jest prawdziwa
–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,
gdzie x 0 = 0 lub x 0 = 4. Oznacza to, że przez punkt A do wykresu funkcji można narysować dwie styczne f(x).
Jeśli x 0 = 0, to równanie styczne ma postać tak = –6x+ 7. Jeśli x 0 = 4, to równanie styczne ma postać tak = 2x – 9.
Odpowiadać. tak = –6x + 7, tak = 2x – 9.
Przykład 4 Podane funkcje f(x) = x 2 – 2x+ 2 i g(x) = –x 2 - 3. Napiszmy równanie wspólnej stycznej do wykresów tych funkcji.
Rozwiązanie. Wynajmować x 1 - odcięta punktu styku żądanej linii z wykresem funkcji f(x), a x 2 - odcięta punktu styku tej samej linii z wykresem funkcji g(x).
Pochodna funkcji f(x) istnieje dla dowolnego x R . Znajdźmy to:
= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.
Następnie f(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. Równanie styczne ma postać:
tak = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,
tak = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)
Znajdźmy pochodną funkcji g(x):
= (–x 2 – 3)′ = –2 x.
Rozważmy następujący rysunek:
Pokazuje pewną funkcję y = f(x), która jest różniczkowalna w punkcie a. Zaznaczony punkt M współrzędnymi (a; f(a)). Poprzez dowolny punkt P(a + ∆x; f(a + ∆x)) wykresu rysowany jest sieczny MP.
Jeśli teraz punkt P zostanie przesunięty wzdłuż wykresu do punktu M, to prosta MP obróci się wokół punktu M. W tym przypadku ∆x będzie dążył do zera. Stąd możemy sformułować definicję stycznej do wykresu funkcji.
Wykres stycznej do funkcji
Styczna do wykresu funkcji to graniczna pozycja siecznej, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Należy rozumieć, że istnienie pochodnej funkcji f w punkcie x0 oznacza, że w tym punkcie wykresu istnieje tangens do niego.
W tym przypadku nachylenie stycznej będzie równe pochodnej tej funkcji w tym punkcie f’(x0). To jest geometryczne znaczenie pochodnej. Styczna do wykresu funkcji f różniczkowalnej w punkcie x0 to pewna prosta przechodząca przez punkt (x0;f(x0)) i mająca nachylenie f’(x0).
Równanie styczne
Spróbujmy uzyskać równanie stycznej do wykresu jakiejś funkcji f w punkcie A(x0; f(x0)). Równanie prostej o nachyleniu k ma postać:
Ponieważ nasze nachylenie jest równe pochodnej f'(x0), to równanie przyjmie postać: y = f'(x0)*x + b.
Teraz obliczmy wartość b. Aby to zrobić, wykorzystujemy fakt, że funkcja przechodzi przez punkt A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, stąd wyrażamy b i otrzymujemy b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Otrzymaną wartość podstawiamy do równania stycznego:
y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
Rozważmy następujący przykład: znajdź równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 w punkcie x \u003d 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Zastąp otrzymane wartości formułą styczną, otrzymujemy: y = 1 + 4*(x - 2). Otwierając nawiasy i przynosząc podobne terminy, otrzymujemy: y = 4*x - 7.
Odpowiedź: y = 4*x - 7.
Ogólny schemat kompilacji równania stycznego do wykresu funkcji y = f(x):
1. Określ x0.
2. Oblicz f(x0).
3. Oblicz f'(x)
Instrukcja
Określamy nachylenie stycznej do krzywej w punkcie M.
Krzywa przedstawiająca wykres funkcji y = f(x) jest ciągła w pewnym sąsiedztwie punktu M (łącznie z samym punktem M).
Jeśli wartość f‘(x0) nie istnieje, to albo nie ma stycznej, albo przechodzi w pionie. W związku z tym obecność pochodnej funkcji w punkcie x0 wynika z istnienia stycznej niepionowej, która styka się z wykresem funkcji w punkcie (x0, f(x0)). W takim przypadku nachylenie stycznej będzie równe f ”(x0). W ten sposób geometryczne znaczenie pochodnej staje się jasne - obliczenie nachylenia stycznej.
Znajdź wartość odciętej punktu kontaktu, która jest oznaczona literą „a”. Jeśli pokrywa się z danym punktem stycznym, to „a” będzie jego współrzędną x. Określ wartość Funkcje f(a), podstawiając do równania Funkcje wielkość odciętej.
Wyznacz pierwszą pochodną równania Funkcje f'(x) i wstaw do niego wartość punktu „a”.
Weź ogólne równanie styczne, które jest zdefiniowane jako y \u003d f (a) \u003d f (a) (x - a) i zastąp znalezione wartości a, f (a), f ”( a) do niego.W rezultacie rozwiązanie wykresu zostanie znalezione i styczne.
Rozwiąż problem w inny sposób, jeśli dany punkt styczny nie pokrywał się z punktem stycznym. W takim przypadku konieczne jest podstawienie „a” zamiast liczb w równaniu stycznych. Następnie zamiast liter „x” i „y” podmień wartość współrzędnych danego punktu. Rozwiąż otrzymane równanie, w którym „a” jest niewiadomą. Otrzymaną wartość wstawiamy do równania stycznego.
Napisz równanie dla stycznej z literą „a”, jeśli równanie jest podane w warunku problemu Funkcje oraz równanie linii równoległej w odniesieniu do pożądanej stycznej. Potem potrzebujesz pochodnej Funkcje do współrzędnej w punkcie „a”. Wstaw odpowiednią wartość do równania stycznego i rozwiąż funkcję.
Ten program matematyczny znajduje równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x) \) w określonym przez użytkownika punkcie \(a \).
Program wyświetla nie tylko równanie styczne, ale także proces rozwiązywania problemu.
Ten kalkulator online może być przydatny dla uczniów szkół średnich w przygotowaniach do testów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Examination, a także dla rodziców do kontrolowania rozwiązywania wielu problemów z matematyki i algebry. A może za drogo zatrudnisz korepetytora lub kupisz nowe podręczniki? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić pracę domową z matematyki lub algebry? W takim przypadku możesz również skorzystać z naszych programów ze szczegółowym rozwiązaniem.
W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci lub sióstr, jednocześnie podnosząc poziom edukacji w zakresie zadań do rozwiązania.
Jeśli chcesz znaleźć pochodną funkcji, to mamy do tego zadanie Znajdź pochodną.
Jeśli nie znasz zasad wprowadzania funkcji, zalecamy zapoznanie się z nimi.
Wprowadź wyrażenie funkcyjne \(f(x)\) i liczbę \(a\) Znajdź równanie styczne Stwierdzono, że niektóre skrypty potrzebne do rozwiązania tego zadania nie zostały załadowane, a program może nie działać.
Możesz mieć włączony AdBlock.
W takim przypadku wyłącz go i odśwież stronę.
Aby rozwiązanie się pojawiło, musi być włączony JavaScript.
Oto instrukcje, jak włączyć JavaScript w przeglądarce.
Dlatego Jest wiele osób, które chcą rozwiązać problem, Twoja prośba jest w kolejce.
Po kilku sekundach rozwiązanie pojawi się poniżej.
Poczekaj proszę sek...
Jeśli ty zauważyłem błąd w rozwiązaniu, możesz o tym napisać w Formularzu Informacji Zwrotnej .
Nie zapomnij wskaż, które zadanie Ty decydujesz co? wpisz w polach.
Nasze gry, puzzle, emulatory:
Trochę teorii.
Nachylenie linii prostej
Przypomnijmy, że wykres funkcji liniowej \(y=kx+b\) jest linią prostą. Liczba \(k=tg \alpha \) nazywa się nachylenie linii prostej, a kąt \(\alpha \) jest kątem między tą linią a osią Ox
Jeśli \(k>0\), to \(0 If \(kRównanie stycznej do wykresu funkcji
Jeśli punkt M (a; f (a)) należy do wykresu funkcji y \u003d f (x) i jeśli w tym momencie można narysować styczną do wykresu funkcji, która nie jest prostopadła do oś x, to z geometrycznego znaczenia pochodnej wynika, że nachylenie stycznej jest równe f”(a). Następnie opracujemy algorytm kompilacji równania stycznej na wykres dowolnej funkcji.
Niech zostanie podana funkcja y \u003d f (x) i punkt M (a; f (a)) na wykresie tej funkcji; niech będzie wiadomo, że f "(a) istnieje. Skomponujmy równanie stycznej do wykresu danej funkcji w danym punkcie. To równanie, podobnie jak równanie dowolnej prostej, która nie jest równoległa do osi y , ma postać y \u003d kx + b, więc problemem jest znalezienie wartości współczynników k i b.
Wszystko jest jasne z nachyleniem k: wiadomo, że k \u003d f ”(a). Aby obliczyć wartość b, wykorzystujemy fakt, że pożądana linia prosta przechodzi przez punkt M (a; f (a)) Oznacza to, że jeśli podstawimy współrzędne punktu M do równania linii prostej, otrzymamy poprawną równość: \ (f (a) \u003d ka + b \), tj. \ (b \u003d f (a ) - ka \).
Pozostaje zastąpić znalezione wartości współczynników k i b równaniem linii prostej:
Otrzymaliśmy równanie stycznej do wykresu funkcji\(y = f(x) \) w punkcie \(x=a \).
Algorytm znajdowania równania stycznej do wykresu funkcji \(y=f(x)\)
1. Oznacz odcięty punkt kontaktu literą \ (a \)
2. Oblicz \(f(a)\)
3. Znajdź \(f"(x) \) i oblicz \(f"(a) \)
4. Zastąp znalezione liczby \ (a, f (a), f "(a) \) do wzoru \ (y \u003d f (a) + f "(a) (x-a) \)