Skonstruuj wykres funkcji danej fragmentarycznie online. Budowanie wykresu funkcji online

Niestety nie wszyscy uczniowie i uczniowie znają i kochają algebrę, ale każdy musi przygotowywać prace domowe, rozwiązywać testy i zdawać egzaminy. Wielu osobom szczególnie trudno jest znaleźć zadania do rysowania wykresów funkcji: jeśli gdzieś czegoś nie rozumiesz, nie kończ tego, przegap, błędy są nieuniknione. Ale kto chce dostawać złe oceny?

Czy chciałbyś dołączyć do grona krasnoludów i przegranych? Można to zrobić na dwa sposoby: sięgnąć po podręczniki i uzupełnić luki w wiedzy lub skorzystać z wirtualnego asystenta – usługi umożliwiającej automatyczne wykreślanie wykresów funkcji według określonych warunków. Z decyzją lub bez. Dziś przedstawimy Wam kilka z nich.

Najlepszą rzeczą w Desmos.com jest wysoce konfigurowalny interfejs, interaktywność, możliwość rozkładania wyników na tabele i przechowywania swojej pracy w bazie danych zasobów za darmo, bez ograniczeń czasowych. Wadą jest to, że usługa nie jest w pełni przetłumaczona na język rosyjski.

Grafikus.ru

Grafikus.ru to kolejny godny uwagi rosyjskojęzyczny kalkulator wykresów. Co więcej, buduje je nie tylko w przestrzeni dwuwymiarowej, ale także trójwymiarowej.

Oto niepełna lista zadań, z którymi ta usługa skutecznie radzi sobie:

Rysowanie wykresów 2D prostych funkcji: prostych, paraboli, hiperboli, trygonometrycznych, logarytmicznych itp.
Rysowanie wykresów 2D funkcji parametrycznych: okręgów, spiral, figur Lissajous i innych.
Rysowanie wykresów 2D we współrzędnych biegunowych.
Konstrukcja powierzchni 3D prostych funkcji.
Konstrukcja powierzchni 3D funkcji parametrycznych.

Gotowy wynik otwiera się w osobnym oknie. Użytkownik ma możliwość pobrania, wydrukowania i skopiowania łącza do niego. W tym drugim przypadku będziesz musiał zalogować się do usługi za pomocą przycisków sieci społecznościowych.

Płaszczyzna współrzędnych Grafikus.ru umożliwia zmianę granic osi, ich etykiet, odstępów siatki, a także szerokości i wysokości samej płaszczyzny oraz rozmiaru czcionki.

Najbardziej forte Grafikus.ru - możliwość budowania wykresów 3D. W przeciwnym razie nie działa gorzej i nie lepiej niż zasoby analogowe.

Na tej stronie staraliśmy się zebrać dla Was jak najwięcej pełna informacja o badaniu funkcji. Koniec z googlowaniem! Wystarczy przeczytać, przestudiować, pobrać i skorzystać z wybranych linków.

Ogólny schemat badania

Czego potrzebujesz w tym badaniu, pytasz, czy istnieje wiele usług, które zostaną zbudowane dla najbardziej skomplikowanych funkcji? Aby poznać właściwości i cechy tej funkcji: jak zachowuje się w nieskończoności, jak szybko zmienia znak, jak płynnie lub gwałtownie rośnie lub maleje, gdzie skierowane są „garby” wypukłości, gdzie są wartości nie określono itp.

I już na podstawie tych „cech” budowany jest układ wykresu – obraz, który właściwie jest drugorzędny (choć ma znaczenie edukacyjne i potwierdza słuszność decyzji).

Zacznijmy oczywiście od plan. Badania funkcji - obszerne zadanie(być może najbardziej obszerny z tradycyjnego kursu matematyki wyższej, zwykle od 2 do 4 stron łącznie z rysunkiem), dlatego aby nie zapomnieć, co robić w jakiej kolejności, postępuj zgodnie z punktami opisanymi poniżej.

Algorytm

Znajdź dziedzinę definicji. Wybierz punkty specjalne (punkty przerwania).
Sprawdź obecność asymptot pionowych w punktach nieciągłości i na granicach dziedziny definicji.
Znajdź punkty przecięcia z osiami współrzędnych.
Określ, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta.
Określ, czy funkcja jest okresowa, czy nie (tylko dla funkcji trygonometrycznych).
Znajdź punkty ekstremalne i przedziały monotoniczności.
Znajdź punkty przegięcia i przedziały wypukłości-wklęsłości.
Znajdź asymptoty ukośne. Zbadaj zachowanie w nieskończoności.
Wybierz dodatkowe punkty i oblicz ich współrzędne.
Narysuj wykres i asymptoty.

W różnych źródłach (podręcznikach, podręcznikach, wykładach Twojego nauczyciela) lista może wyglądać inaczej niż ta: niektóre pozycje są zamieniane, łączone z innymi, zmniejszane lub usuwane. Projektując rozwiązanie, weź pod uwagę wymagania/preferencje nauczyciela.

Schemat studiów w formacie pdf: pobierz.

Przykład kompletnego rozwiązania online

Przeprowadź pełne badanie i wykreśl funkcję $$ y(x)=\frac(x^2+8)(1-x). $$

1) Zakres funkcji. Ponieważ funkcja jest ułamkiem zwykłym, należy znaleźć zera mianownika. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Wyłącz z dziedziny funkcji jedyny punkt $x=1$ i otrzymaj: $$ D(y)=(-\infty; 1 ) \cup (1;+\infty). $$

2) Badamy zachowanie funkcji w pobliżu punktu nieciągłości. Znajdź granice jednostronne:

Ponieważ granice są równe nieskończoności, punkt $x=1$ jest nieciągłością drugiego rodzaju, prosta $x=1$ jest asymptotą pionową.

3) Wyznacz punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych.

Znajdźmy punkty przecięcia z osią y $Oy$, dla których przyrównujemy $x=0$:

Zatem punkt przecięcia z osią $Oy$ ma współrzędne $(0;8)$.

Znajdźmy punkty przecięcia z osią odciętej $Ox$, dla której ustawiamy $y=0$:

Równanie nie ma pierwiastków, więc nie ma punktów przecięcia z osią $Wół$.

Zauważ, że $x^2+8>0$ dla dowolnego $x$. Zatem dla $x \in (-\infty; 1)$ funkcja $y>0$ (przyjmuje wartości dodatnie, wykres znajduje się nad osią x), dla $x \in (1; +\infty)$ funkcja $y\lt $0 (akceptuje wartości ujemne, wykres znajduje się poniżej osi x).

4) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, ponieważ:

5) Badamy funkcję okresowości. Funkcja nie jest okresowa, ponieważ jest to ułamkowa funkcja wymierna.

6) Badamy funkcję ekstremów i monotoniczności. Aby to zrobić, znajdujemy pierwszą pochodną funkcji:

Przyrównaj pierwszą pochodną do zera i znajdź punkty stacjonarne (w których $y"=0$):

dostałem trzy punkt krytyczny: $x=-2, x=1, x=4$. Całą dziedzinę funkcji dzielimy na przedziały przez dane punkty i wyznaczamy znaki pochodnej w każdym przedziale:

Dla $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ pochodną jest $y" \lt 0$, więc funkcja maleje w tych przedziałach.

Dla $x \in (-2; 1), (1;4)$ pochodnej $y" >0$ funkcja rośnie w tych przedziałach.

W tym przypadku $x=-2$ jest lokalnym minimum (funkcja maleje, a następnie rośnie), $x=4$ jest lokalnym maksimum (funkcja rośnie, a następnie maleje).

Znajdźmy wartości funkcji w tych punktach:

Zatem minimalny punkt to $(-2;4)$, maksymalny punkt to $(4;-8)$.

7) Sprawdzamy funkcję pod kątem załamań i wypukłości. Znajdźmy drugą pochodną funkcji:

Przyrównaj drugą pochodną do zera:

Powstałe równanie nie ma pierwiastków, więc nie ma punktów przegięcia. Co więcej, gdy wykonywana jest funkcja $x \in (-\infty; 1)$ $y"" \gt 0$, czyli funkcja jest wklęsła, gdy $x \in (1;+\infty)$ $y" " \ lt 0$, czyli funkcja jest wypukła.

8) Badamy zachowanie funkcji w nieskończoności, czyli w .

Ponieważ granice są nieskończone, nie ma asymptot poziomych.

Spróbujmy wyznaczyć asymptoty ukośne postaci $y=kx+b$. Wartości $k, b$ obliczamy korzystając ze znanych wzorów:

Otrzymaliśmy, że funkcja ma jedną asymptotę ukośną $y=-x-1$.

9) Dodatkowe punkty. Obliczmy wartość funkcji w innych punktach, aby dokładniej zbudować wykres.

$$y(-5)=5,5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9,5. $$

10) Na podstawie uzyskanych danych zbudujemy wykres, uzupełnimy go o asymptoty $x=1$ (niebieski), $y=-x-1$ (zielony) i zaznaczymy punkty charakterystyczne (przecięcie z y- oś jest fioletowa, ekstrema są pomarańczowe, dodatkowe punkty są czarne):

Przykładowe rozwiązania badania funkcji

Różne funkcje (wielomiany, logarytmy, ułamki zwykłe) mają ich charakterystykę w badaniu(nieciągłości, asymptoty, liczba ekstremów, ograniczona dziedzina definicji), dlatego tutaj staraliśmy się zebrać przykłady z kontroli do badania funkcji najczęstszych typów. Powodzenia w nauce!

Zadanie 1. Zbadaj funkcję metodami rachunku różniczkowego i zbuduj wykres.

$$y=\frac(e^x)(x).$$

Zadanie 2. Zbadaj funkcję i narysuj jej wykres.

$$y=-\frac(1)(4)(x^3-3x^2+4).$$

Zadanie 3. Zbadaj funkcję za pomocą pochodnej i zbuduj wykres.

$$y=\ln \frac(x+1)(x+2).$$

Zadanie 4. Przeprowadź pełne badanie funkcji i zbuduj wykres.

$$y=\frac(x)(\sqrt(x^2+x)).$$

Zadanie 5. Zbadaj funkcję metodą rachunku różniczkowego i zbuduj wykres.

$$y=\frac(x^3-1)(4x^2).$$

Zadanie 6. Zbadaj funkcję pod względem ekstremów, monotoniczności, wypukłości i zbuduj wykres.

$$y=\frac(x^3)(x^2-1).$$

Zadanie 7. Przeprowadź badania funkcji za pomocą wykresów.

$$y=\frac(x^3)(2(x+5)^2).$$

Jak zbudować wykres online?

Nawet jeśli nauczyciel poprosi Cię o oddanie zadania, ręcznie, z rysunkiem na kartce w pudełku, będzie Ci niezwykle przydatny podczas podejmowania decyzji o budowie wykresu w specjalnym programie (lub serwisie), aby sprawdzić postęp rozwiązania, porównać jego wygląd z tym, co uzyskano ręcznie, można znaleźć błędy w obliczeniach (gdy wykresy wyraźnie zachowują się inaczej).

Poniżej znajdziesz kilka linków do stron, które pozwalają budować wygodną, szybką, piękną i oczywiście bezpłatną grafikę dla niemal każdej funkcji. Tak naprawdę takich usług jest znacznie więcej, ale czy warto szukać, jeśli wybiera się te najlepsze?

Kalkulator graficzny Desmos

Drugi link jest praktyczny, dla tych, którzy chcą nauczyć się budować piękne wykresy w Desmos.com (patrz opis powyżej): Pełna instrukcja pracy z Desmos. Ta instrukcja jest dość stara, od tego czasu interfejs strony uległ zmianie lepsza strona, ale podstawy pozostają niezmienione i pomogą Ci szybko sobie z tym poradzić ważne funkcje praca.

oficjalne instrukcje, przykłady i instrukcje wideo w języku angielskim można znaleźć tutaj: Naucz się Desmos.

Reszewbnik

pilnie potrzebny ukończone zadanie? Ponad sto różnych funkcji pełne badania już na Ciebie czekają. Szczegółowe rozwiązanie, szybka płatność SMS-em i niska cena- w pobliżu 50 rubli. Może Twoje zadanie jest już gotowe? Sprawdź to!

Przydatne filmy

Webinarium na temat pracy z Desmos.com. To już pełny przegląd funkcji serwisu, trwający całe 36 minut. Niestety, jest język angielski, ale do zrozumienia większości wystarczy podstawowa znajomość języka i uważność.

Fajny stary film popularnonaukowy "Matematyka. Funkcje i wykresy". Wyjaśnienia na palcach w dosłownym znaczeniu tego słowa, same podstawy.

Budowa wykresów funkcji zawierających moduły sprawia zwykle uczniom duże trudności. Jednak wszystko nie jest takie złe. Wystarczy pamiętać kilka algorytmów rozwiązywania takich problemów i można łatwo zbudować wykres nawet dla najbardziej pozornie złożona funkcja. Zobaczmy, jakie są te algorytmy.

1. Wykreślenie funkcji y = |f(x)|

Należy pamiętać, że zbiór wartości funkcji y = |f(x)| : y ≥ 0. Zatem wykresy takich funkcji zawsze leżą całkowicie w górnej półpłaszczyźnie.

Wykreślanie funkcji y = |f(x)| składa się z czterech prostych kroków.

1) Starannie i starannie skonstruuj wykres funkcji y = f(x).

2) Pozostaw bez zmian wszystkie punkty wykresu znajdujące się powyżej lub na osi 0x.

3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem osi 0x.

Przykład 1. Narysuj wykres funkcji y = |x 2 - 4x + 3|

1) Budujemy wykres funkcji y \u003d x 2 - 4x + 3. Oczywiste jest, że wykres tej funkcji jest parabolą. Znajdźmy współrzędne wszystkich punktów przecięcia paraboli z osiami współrzędnych i współrzędnymi wierzchołka paraboli.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Dlatego parabola przecina oś 0x w punktach (3, 0) i (1, 0).

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Zatem parabola przecina oś 0y w punkcie (0, 3).

Współrzędne wierzchołka paraboli:

x in \u003d - (-4/2) \u003d 2, y in \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

Zatem punkt (2, -1) jest wierzchołkiem tej paraboli.

Na podstawie otrzymanych danych narysuj parabolę (ryc. 1)

2) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem osi 0x.

3) Otrzymujemy wykres oryginalnej funkcji ( Ryż. 2, zaznaczone linią przerywaną).

2. Wykreślanie funkcji y = f(|x|)

Zauważ, że funkcje postaci y = f(|x|) są parzyste:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Oznacza to, że wykresy takich funkcji są symetryczne względem osi 0y.

Wykreślanie funkcji y = f(|x|) składa się z następującego prostego łańcucha działań.

1) Wykreśl funkcję y = f(x).

2) Pozostaw tę część wykresu, dla której x ≥ 0, czyli tę część wykresu, która leży w prawej półpłaszczyźnie.

3) Wyświetlić część wykresu określoną w ust. 2 symetrycznie do osi 0y.

4) Jako końcowy wykres wybierz sumę krzywych uzyskanych w punktach (2) i (3).

Przykład 2. Narysuj wykres funkcji y = x 2 – 4 · |x| + 3

Ponieważ x 2 = |x| 2, wówczas pierwotną funkcję można przepisać w następujący sposób: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. I teraz możemy zastosować zaproponowany powyżej algorytm.

1) Starannie i starannie budujemy wykres funkcji y \u003d x 2 - 4 x + 3 (patrz także Ryż. 1).

2) Pozostawiamy tę część wykresu, dla której x ≥ 0, czyli tę część wykresu, która leży w prawej półpłaszczyźnie.

3) Wyświetlacz prawa strona grafika symetryczna do osi 0y.

(ryc. 3).

Przykład 3. Narysuj wykres funkcji y = log 2 |x|

Stosujemy schemat podany powyżej.

1) Wykreślamy funkcję y = log 2 x (ryc. 4).

3. Wykreślenie funkcji y = |f(|x|)|

Zauważ, że funkcje postaci y = |f(|x|)| są również równe. Rzeczywiście, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), dlatego ich wykresy są symetryczne względem osi 0y. Zbiór wartości takich funkcji: y ≥ 0. Zatem wykresy takich funkcji leżą całkowicie w górnej półpłaszczyźnie.

Aby wykreślić funkcję y = |f(|x|)|, należy:

1) Skonstruuj prosty wykres funkcji y = f(|x|).

2) Pozostaw bez zmian część wykresu znajdującą się powyżej lub na osi 0x.

3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x powinna być wyświetlona symetrycznie względem osi 0x.

4) Jako końcowy wykres wybierz sumę krzywych uzyskanych w punktach (2) i (3).

Przykład 4. Narysuj wykres funkcji y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Zauważ, że x 2 = |x| 2. Zatem zamiast pierwotnej funkcji y = -x 2 + 2|x| - 1

możesz użyć funkcji y = -|x| 2 + 2|x| – 1, gdyż ich wykresy są takie same.

Budujemy graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. W tym celu używamy algorytmu 2.

a) Wykreślamy funkcję y \u003d -x 2 + 2x - 1 (ryc. 6).

b) Pozostawiamy tę część wykresu, która znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.

c) Wyświetl wynikową część wykresu symetrycznie do osi 0y.

d) Wynikowy wykres pokazano na rysunku linią przerywaną (ryc. 7).

2) Powyżej osi 0x nie ma punktów, punkty na osi 0x pozostawiamy bez zmian.

3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem 0x.

4) Wynikowy wykres pokazano na rysunku linią przerywaną (ryc. 8).

Przykład 5. Wykreśl funkcję y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Najpierw musisz wykreślić funkcję y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby to zrobić, wracamy do algorytmu 2.

a) Ostrożnie wykreśl funkcję y = (2x – 4) / (x + 3) (ryc. 9).

Zauważ, że dana funkcja jest liniowo-ułamkowa, a jej wykres jest hiperbolą. Aby zbudować krzywą, należy najpierw znaleźć asymptoty wykresu. Poziomy - y \u003d 2/1 (stosunek współczynników przy x w liczniku i mianowniku ułamka), pionowy - x \u003d -3.

2) Część wykresu znajdująca się powyżej lub na osi 0x pozostanie niezmieniona.

3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x będzie wyświetlana symetrycznie względem 0x.

4) Ostateczny wykres pokazano na rysunku (ryc. 11).

stronie, przy pełnym lub częściowym kopiowaniu materiału wymagany jest link do źródła.

Wybieramy prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie i wykreślamy wartości argumentu na osi odciętych X, a na osi Y - wartości funkcji y = f(x).

Wykres funkcji y = f(x) wywoływany jest zbiór wszystkich punktów, dla których odcięte należą do dziedziny funkcji, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji.

Innymi słowy, wykres funkcji y \u003d f (x) to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, współrzędne X, Na które spełniają relację y = f(x).

Na ryc. Liczby 45 i 46 to wykresy funkcji y = 2x + 1 I y \u003d x 2 - 2x.

Ściśle rzecz biorąc, należy rozróżnić wykres funkcji (której dokładną matematyczną definicję podano powyżej) od narysowanej krzywej, która zawsze daje jedynie mniej lub bardziej dokładny szkic wykresu (a nawet wtedy z reguły nie cały wykres, a jedynie jego część zlokalizowana w końcowych częściach płaszczyzny). Jednakże w dalszej części będziemy zwykle odnosić się do „wykresu”, a nie „szkicu wykresu”.

Korzystając z wykresu, możesz znaleźć wartość funkcji w punkcie. Mianowicie, jeśli o to chodzi x = a należy do zakresu funkcji y = f(x), a następnie znajdź numer fa)(tj. wartości funkcji w punkcie x = a) powinien to zrobić. Trzeba przez kropkę z odciętą x = a narysuj linię prostą równolegle do osi rzędna; ta prosta przetnie wykres funkcji y = f(x) w jednym punkcie; rzędna tego punktu będzie, zgodnie z definicją wykresu, równa fa)(ryc. 47).

Na przykład dla funkcji f(x) = x 2 - 2x korzystając z wykresu (ryc. 46) znajdujemy f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.

Wykres funkcji wizualnie ilustruje zachowanie i właściwości funkcji. Na przykład, z rozważenia rys. 46 jasne jest, że funkcja y \u003d x 2 - 2x przyjmuje wartości dodatnie, gdy X< 0 i o godz x > 2, ujemny - przy 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x przyjmuje o godz x = 1.

Aby wykreślić funkcję k(x) musisz znaleźć wszystkie punkty płaszczyzny, współrzędne X,Na które spełniają równanie y = f(x). W większości przypadków jest to niemożliwe, ponieważ takich punktów jest nieskończenie wiele. Dlatego wykres funkcji jest przedstawiony w przybliżeniu - z większą lub mniejszą dokładnością. Najprostsza jest metoda kreślenia wielopunktowego. Polega ona na tym, że argument X podaj skończoną liczbę wartości - powiedzmy x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k i utwórz tabelę zawierającą wybrane wartości funkcji.

Tabela wygląda następująco:

Po skompilowaniu takiej tabeli możemy zarysować kilka punktów na wykresie funkcji y = f(x). Następnie łącząc te punkty gładką linią otrzymujemy przybliżony widok wykresu funkcji y = f(x).

Należy jednak zaznaczyć, że metoda wykresu wielopunktowego jest bardzo zawodna. Tak naprawdę zachowanie wykresu pomiędzy zaznaczonymi punktami oraz jego zachowanie poza odcinkiem pomiędzy wziętymi skrajnymi punktami pozostaje nieznane.

Przykład 1. Aby wykreślić funkcję y = f(x) ktoś skompilował tabelę wartości argumentów i funkcji:

Odpowiednie pięć punktów pokazano na ryc. 48.

Na podstawie położenia tych punktów doszedł do wniosku, że wykres funkcji jest linią prostą (pokazaną na ryc. 48 linią przerywaną). Czy wniosek ten można uznać za wiarygodny? O ile nie istnieją dodatkowe względy na poparcie tego wniosku, trudno go uznać za wiarygodny. niezawodny.

Aby uzasadnić nasze twierdzenie, rozważmy funkcję

Obliczenia pokazują, że wartości tej funkcji w punktach -2, -1, 0, 1, 2 opisuje właśnie powyższa tabela. Jednak wykres tej funkcji wcale nie jest linią prostą (pokazuje to na ryc. 49). Innym przykładem jest funkcja y = x + l + sinx; jego znaczenie opisano również w tabeli powyżej.

Przykłady te pokazują, że w „czystej” postaci metoda kreślenia wielopunktowego jest zawodna. Dlatego też, aby wykreślić daną funkcję, z reguły należy postępować w następujący sposób. Najpierw badane są właściwości tej funkcji, za pomocą których można skonstruować szkic wykresu. Następnie obliczając wartości funkcji w kilku punktach (których wybór zależy od ustawionych właściwości funkcji), znajdują się odpowiednie punkty wykresu. Na koniec przez zbudowane punkty rysuje się krzywą, wykorzystując właściwości tej funkcji.

Niektóre (najprostsze i najczęściej używane) właściwości funkcji służących do znajdowania szkicu grafu rozważymy później, a teraz przeanalizujemy niektóre powszechnie stosowane metody rysowania wykresów.

Wykres funkcji y = |f(x)|.

Często konieczne jest wykreślenie funkcji y = |f(x)|, gdzie f(x) - dana funkcja. Przypomnij sobie, jak to się robi. A-przeorat całkowita wartość można pisać liczby

Oznacza to, że wykres funkcji y=|f(x)| można uzyskać z wykresu, funkcji y = f(x) następująco: wszystkie punkty wykresu funkcji y = f(x), którego rzędne są nieujemne, należy pozostawić bez zmian; dalej zamiast punktów wykresu funkcji y = f(x), mając współrzędne ujemne, należy skonstruować odpowiednie punkty wykresu funkcji y = -f(x)(tj. część wykresu funkcji
y = f(x), która leży poniżej osi X, powinny być odzwierciedlone symetrycznie względem osi X).

Przykład 2 Wykreśl funkcję y = |x|.

Bierzemy wykres funkcji y = x(ryc. 50, a) i część tego wykresu, gdy X< 0 (leży pod osią X) jest odzwierciedlone symetrycznie względem osi X. W rezultacie otrzymujemy wykres funkcji y = |x|(ryc. 50, b).

Przykład 3. Wykreśl funkcję y = |x 2 - 2x|.

Najpierw wykreślamy funkcję y = x 2 - 2x. Wykres tej funkcji jest parabolą, której gałęzie są skierowane do góry, wierzchołek paraboli ma współrzędne (1; -1), jej wykres przecina oś odciętych w punktach 0 i 2. Na przedziale (0; 2 ) funkcja przyjmuje wartości ujemne, dlatego ta część wykresu odzwierciedla się symetrycznie względem osi x. Rysunek 51 przedstawia wykres funkcji y \u003d |x 2 -2x |, na podstawie wykresu funkcji y = x 2 - 2x

Wykres funkcji y = f(x) + g(x)

Rozważmy problem wykreślenia funkcji y = f(x) + g(x). jeśli podane są wykresy funkcji y = f(x) I y = g(x).

Zauważ, że dziedzina funkcji y = |f(x) + g(х)| to zbiór wszystkich wartości x, dla których zdefiniowane są obie funkcje y = f(x) i y = g(x), tj. ta dziedzina definicji jest przecięciem dziedzin definicji, funkcji f(x ) i g(x).

Niech punkty (x 0, y 1) I (x 0, y 2) należą odpowiednio do wykresów funkcji y = f(x) I y = g(x), tj. y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Wtedy punkt (x0;. y1 + y2) należy do wykresu funkcji y = f(x) + g(x)(Do f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. i dowolny punkt wykresu funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać w ten sposób. Dlatego wykres funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać z wykresów funkcji y = f(x). I y = g(x) zastępując każdy punkt ( x n, y 1) grafika funkcyjna y = f(x) kropka (x n, y 1 + y 2), Gdzie y 2 = g(x n), tj. przesuwając każdy punkt ( x n, y 1) wykres funkcji y = f(x) wzdłuż osi Na według kwoty y 1 \u003d g (x n). W tym przypadku brane są pod uwagę tylko takie punkty. X n, dla którego zdefiniowano obie funkcje y = f(x) I y = g(x).

Ta metoda wykreślania wykresu funkcji y = f(x) + g(x) nazywa się dodawaniem wykresów funkcji y = f(x) I y = g(x)

Przykład 4. Na rysunku metodą dodawania wykresów konstruowany jest wykres funkcji
y = x + sinx.

Podczas kreślenia funkcji y = x + sinx zakładaliśmy, że f(x) = x, A g(x) = sinx. Aby zbudować wykres funkcji, wybieramy punkty o odciętych -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Wartości f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx dokonamy obliczeń w wybranych punktach i umieścimy wyniki w tabeli.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania Ci ważnych powiadomień i wiadomości.
Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnym programie motywacyjnym, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnianie osobom trzecim

Nie udostępniamy informacji otrzymanych od Ciebie osobom trzecim.

Wyjątki:

Jeżeli będzie to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, nakazem sądowym, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub wniosków organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach dotyczących prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.