Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności: metody, przykłady znajdowania LCM

Kontynuujmy dyskusję o najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą rozpoczęliśmy w sekcji LCM - najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady. W tym temacie przyjrzymy się sposobom znalezienia LCM dla trzech lub więcej liczb, przeanalizujemy pytanie, jak znaleźć LCM liczby ujemnej.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Ustaliliśmy już związek między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem. Teraz nauczmy się definiować LCM za pomocą GCD. Najpierw wymyślmy, jak to zrobić dla liczb dodatnich.

Definicja 1

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność przez największą wspólny dzielnik możesz użyć wzoru LCM (a, b) = a b: NWD (a, b) .

Przykład 1

Konieczne jest znalezienie LCM liczb 126 i 70.

Rozwiązanie

Weźmy a = 126 , b = 70 . Zastąp wartości we wzorze do obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności przez największy wspólny dzielnik LCM (a, b) = a · b: NWD (a, b) .

Znajduje NWD liczb 70 i 126. Do tego potrzebujemy algorytmu Euklidesa: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , stąd gcd (126 , 70) = 14 .

Obliczmy LCM: LCM (126, 70) = 126 70: NWD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Odpowiadać: LCM (126, 70) = 630.

Przykład 2

Znajdź nok liczb 68 i 34.

Rozwiązanie

NWD w tym przypadku jest łatwe do znalezienia, ponieważ 68 jest podzielne przez 34. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność za pomocą wzoru: LCM (68, 34) = 68 34: NWD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odpowiadać: LCM(68, 34) = 68.

W tym przykładzie zastosowaliśmy regułę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb całkowitych dodatnich aib: jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, to LCM tych liczb będzie równy pierwszej liczbie.

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Przyjrzyjmy się teraz sposobowi znalezienia LCM, który opiera się na rozkładzie liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 2

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musimy wykonać kilka prostych kroków:

• tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszych liczb, dla których musimy znaleźć LCM;
• wykluczamy wszystkie czynniki pierwsze z ich otrzymanych iloczynów;
• iloczyn otrzymany po wyeliminowaniu wspólnych czynników pierwszych będzie równy LCM danych liczb.

Ten sposób znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności opiera się na równości LCM (a , b) = a b: NWD (a , b) . Jeśli spojrzysz na wzór, stanie się jasne: iloczyn liczb aib jest równy iloczynowi wszystkich czynników, które biorą udział w rozwinięciu tych dwóch liczb. W tym przypadku NWD dwóch liczb jest równy produktowi wszystkie czynniki pierwsze, które są jednocześnie obecne w rozkładach na czynniki danych dwóch liczb.

Przykład 3

Mamy dwie liczby 75 i 210 . Możemy je rozłożyć w następujący sposób: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Jeśli zrobisz iloczyn wszystkich czynników dwóch oryginalnych liczb, otrzymasz: 2 3 3 5 5 5 7.

Jeśli wykluczymy czynniki wspólne dla obu liczb 3 i 5, otrzymamy iloczyn o następującej postaci: 2 3 5 5 7 = 1050. Ten produkt będzie naszym LCM dla numerów 75 i 210.

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 441 oraz 700 , rozkładając obie liczby na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Znajdźmy wszystkie czynniki pierwsze liczb podanych w warunku:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Otrzymujemy dwa łańcuchy liczb: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .

Iloczyn wszystkich czynników, które brały udział w ekspansji tych liczb, będzie wyglądał następująco: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Znajdźmy wspólne czynniki. Ta liczba to 7. Wykluczamy to z produktu ogólnego: 2 2 3 3 5 5 7 7. Okazuje się, że NIK (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odpowiadać: LCM (441, 700) = 44 100.

Podajmy jeszcze jedno sformułowanie metody znajdowania LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 3

Wcześniej wykluczaliśmy z ogólnej liczby czynników wspólnych dla obu liczb. Teraz zrobimy to inaczej:

• Rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
• dodać do iloczynu czynników pierwszych pierwszej liczby brakujące czynniki drugiej liczby;
• otrzymamy iloczyn, który będzie pożądanym LCM dwóch liczb.

Przykład 5

Wróćmy do liczb 75 i 210 , których LCM szukaliśmy już w jednym z poprzednich przykładów. Podzielmy je na proste czynniki: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Do iloczynu czynników 3 , 5 i 5 numer 75 dodaj brakujące czynniki 2 oraz 7 numery 210 . Otrzymujemy: 2 3 5 5 7 . To jest LCM liczb 75 i 210.

Przykład 6

Konieczne jest obliczenie LCM liczb 84 i 648.

Rozwiązanie

Rozłóżmy liczby z warunku na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 oraz 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodaj do iloczynu czynników 2 , 2 , 3 i 7 liczby 84 brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i
3 numery 648 . Otrzymujemy produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 84 i 648.

Odpowiadać: LCM (84, 648) = 4536.

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Bez względu na to, z iloma liczbami mamy do czynienia, algorytm naszych działań będzie zawsze ten sam: konsekwentnie będziemy znajdować LCM dwóch liczb. Istnieje twierdzenie dla tego przypadku.

Twierdzenie 1

Załóżmy, że mamy liczby całkowite za 1 , za 2 , … , za k. NOC m k tych liczb można znaleźć w obliczeniach sekwencyjnych m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Przyjrzyjmy się teraz, jak to twierdzenie można zastosować do konkretnych problemów.

Przykład 7

Musisz obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Rozwiązanie

Wprowadźmy zapis: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Zacznijmy od obliczenia m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Użyjmy algorytmu Euklidesa do obliczenia NWD liczb 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Otrzymujemy: NWD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: NWD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Zatem m2 = 1 260 .

Teraz obliczmy według tego samego algorytmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . W trakcie obliczeń otrzymujemy m 3 = 3 780.

Pozostaje nam obliczyć m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Działamy według tego samego algorytmu. Otrzymujemy m 4 \u003d 94 500.

LCM czterech liczb z przykładowego warunku to 94500 .

Odpowiadać: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Jak widać obliczenia są proste, ale dość pracochłonne. Aby zaoszczędzić czas, możesz przejść w drugą stronę.

Definicja 4

Oferujemy Państwu następujący algorytm działań:

• rozłożyć wszystkie liczby na czynniki pierwsze;
• do iloczynu czynników pierwszej liczby dodaj brakujące czynniki z iloczynu drugiej liczby;
• dodać brakujące czynniki trzeciej liczby do iloczynu otrzymanego na poprzednim etapie itp.;
• wynikowy iloczyn będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb z warunku.

Przykład 8

Należy znaleźć LCM pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Rozwiązanie

Rozłóżmy wszystkie pięć liczb na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . liczby pierwsze, która jest liczbą 7 , nie może być rozłożona na czynniki pierwsze. Takie liczby pokrywają się z ich rozkładem na czynniki pierwsze.

Teraz weźmy iloczyn czynników pierwszych 2, 2, 3 i 7 liczby 84 i dodajmy do nich brakujące czynniki drugiej liczby. Rozłożyliśmy liczbę 6 na 2 i 3. Te czynniki są już w iloczynie pierwszej liczby. Dlatego je pomijamy.

Kontynuujemy dodawanie brakujących mnożników. Zwracamy się do liczby 48, z iloczynu czynników pierwszych, z których bierzemy 2 i 2. Następnie dodajemy prosty czynnik 7 z czwartej liczby i czynniki 11 i 13 z piątej. Otrzymujemy: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność pięciu liczb pierwotnych.

Odpowiadać: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczby ujemne, liczby te należy najpierw zastąpić liczbami o przeciwnym znaku, a następnie przeprowadzić obliczenia zgodnie z powyższymi algorytmami.

Przykład 9

LCW(54, −34) = LCW(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Takie działania są dopuszczalne z uwagi na to, że jeśli się to przyjmie a oraz − za- liczby przeciwne
następnie zbiór wielokrotności a pokrywa się ze zbiorem wielokrotności liczby − za.

Przykład 10

Konieczne jest obliczenie LCM liczb ujemnych − 145 oraz − 45 .

Rozwiązanie

Zmieńmy liczby − 145 oraz − 45 do ich przeciwnych liczb 145 oraz 45 . Teraz za pomocą algorytmu obliczamy LCM (145 , 45) = 145 45: NWD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , po uprzednim wyznaczeniu NWD za pomocą algorytmu Euclid.

Otrzymujemy, że LCM liczb − 145 i − 45 równa się 1 305 .

Odpowiadać: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Drugi numer: b=

Separator cyfr Brak separatora spacji „ ´

Wynik:

Największy wspólny dzielnik gcd( a,b)=6

Najmniejsza wspólna wielokrotność LCM( a,b)=468

Największy Liczba naturalna, przez którą liczby a i b są podzielne bez reszty, nazywa się Największy wspólny dzielnik(gcd) tych liczb. Oznaczane gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) lub hcf(a,b).

Najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) dwóch liczb całkowitych aib to najmniejsza liczba naturalna, która jest podzielna przez aib bez reszty. Oznaczone LCM(a,b) lub lcm(a,b).

Liczby całkowite a i b są nazywane względnie pierwsze jeśli nie mają wspólnych dzielników innych niż +1 i −1.

Największy wspólny dzielnik

Niech dane będą dwie liczby dodatnie a 1 i a 2 1). Należy znaleźć wspólny dzielnik tych liczb, tj. znaleźć taką liczbę λ , która dzieli liczby a 1 i a 2 w tym samym czasie. Opiszmy algorytm.

1) W tym artykule słowo liczba będzie oznaczać liczbę całkowitą.

Wynajmować a 1 ≥ a 2 i niech

gdzie m 1 , a 3 to pewne liczby całkowite, a 3 <a 2 (reszta z podziału a 1 na a 2 powinno być mniej a 2).

Udawajmy, że λ dzieli a 1 i a 2, w takim razie λ dzieli m 1 a 2 i λ dzieli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Twierdzenie 2 artykułu „Podzielność liczb. Znak podzielności”). Wynika z tego, że każdy wspólny dzielnik a 1 i a 2 jest wspólnym dzielnikiem a 2 i a 3 . Odwrotność jest również prawdziwa, jeśli λ wspólny dzielnik a 2 i a 3, w takim razie m 1 a 2 i a 1 =m 1 a 2 +a 3 są również podzielone na λ . Stąd wspólny dzielnik a 2 i a 3 jest również wspólnym dzielnikiem a 1 i a 2. Dlatego a 3 <a 2 ≤a 1 , to możemy powiedzieć, że rozwiązanie problemu znalezienia wspólnego dzielnika liczb a 1 i a 2 zredukowane do prostszego problemu znalezienia wspólnego dzielnika liczb a 2 i a 3 .

Jeśli a 3 ≠0, to możemy podzielić a 2 na a 3 . Następnie

,

gdzie m 1 i a 4 to niektóre liczby całkowite, ( a 4 reszta z dzielenia a 2 na a 3 (a 4 <a 3)). Z podobnego rozumowania dochodzimy do wniosku, że wspólne dzielniki liczb a 3 i a 4 jest tym samym, co wspólne dzielniki liczb a 2 i a 3 , a także ze wspólnymi dzielnikami a 1 i a 2. Dlatego a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... liczby, które stale maleją, a ponieważ istnieje skończona liczba liczb całkowitych między nimi a 2 i 0, a następnie w pewnym kroku n, reszta z podziału a n wł a n+1 będzie równe zeru ( a n+2=0).

.

Każdy wspólny dzielnik λ liczby a 1 i a 2 jest również dzielnikiem liczb a 2 i a 3 , a 3 i a 4 , .... a n i a n+1 . Odwrotność jest również prawdziwa, wspólne dzielniki liczb a n i a n+1 są również dzielnikami liczb a n−1 i a n , .... , a 2 i a 3 , a 1 i a 2. Ale wspólny dzielnik a n i a n+1 to liczba a n+1 , ponieważ a n i a n+1 są podzielne przez a n+1 (pamiętaj, że a n+2=0). w konsekwencji a n+1 jest również dzielnikiem liczb a 1 i a 2 .

Zwróć uwagę, że liczba a n+1 to największy dzielnik liczby a n i a n+1 , od największego dzielnika a n+1 jest sobą a n+1 . Jeśli a n + 1 można przedstawić jako iloczyn liczb całkowitych, wtedy liczby te są również wspólnymi dzielnikami liczb a 1 i a 2. Numer a nazywa się n+1 Największy wspólny dzielnik liczby a 1 i a 2 .

Liczby a 1 i a 2 mogą być zarówno liczbami dodatnimi, jak i ujemnymi. Jeżeli jedna z liczb jest równa zeru, to największy wspólny dzielnik tych liczb będzie równy wartości bezwzględnej drugiej liczby. Największy wspólny dzielnik liczb zerowych nie jest zdefiniowany.

Powyższy algorytm nazywa się Algorytm Euklidesa znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb całkowitych.

Przykład znajdowania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb

Znajdź największy wspólny dzielnik dwóch liczb 630 i 434.

• Krok 1. Podziel liczbę 630 przez 434. Reszta to 196.
• Krok 2. Podziel liczbę 434 przez 196. Reszta to 42.
• Krok 3. Podziel liczbę 196 przez 42. Reszta to 28.
• Krok 4. Podziel liczbę 42 przez 28. Reszta to 14.
• Krok 5. Podziel liczbę 28 przez 14. Reszta to 0.

W kroku 5 reszta z dzielenia wynosi 0. Zatem największym wspólnym dzielnikiem liczb 630 i 434 jest 14. Zauważ, że liczby 2 i 7 są również dzielnikami liczb 630 i 434.

Liczby względnie pierwsze

Definicja 1. Niech największy wspólny dzielnik liczb a 1 i a 2 równa się jeden. Następnie te numery są wywoływane liczby względnie pierwsze które nie mają wspólnego dzielnika.

Twierdzenie 1. Jeśli a 1 i a 2 względnie pierwsze liczby i λ jakąś liczbę, a następnie dowolny wspólny dzielnik liczb λa 1 i a 2 jest również wspólnym dzielnikiem liczb λ oraz a 2 .

Dowód. Rozważ algorytm Euklidesa do znajdowania największego wspólnego dzielnika liczb a 1 i a 2 (patrz wyżej).

.

Z warunków twierdzenia wynika, że ​​największy wspólny dzielnik liczb a 1 i a 2, a zatem a n i a n+1 to 1. Tj. a n+1=1.

Pomnóżmy wszystkie te równości przez λ , następnie

.

Niech wspólny dzielnik a 1 λ oraz a 2 jest δ . Następnie δ wchodzi jako czynnik a 1 λ , m 1 a 2 λ i w a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Patrz „Podzielność liczb”, Stwierdzenie 2). Dalej δ wchodzi jako czynnik a 2 λ oraz m 2 a 3 λ , a zatem wchodzi jako czynnik w a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Rozumując w ten sposób, jesteśmy o tym przekonani δ wchodzi jako czynnik a n−1 λ oraz m n−1 a n λ , a więc w a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Dlatego a zatem n+1 = 1 δ wchodzi jako czynnik λ . Stąd liczba δ jest wspólnym dzielnikiem liczb λ oraz a 2 .

Rozważ szczególne przypadki Twierdzenia 1.

Konsekwencja 1. Wynajmować a oraz c liczby pierwsze są względne b. Potem ich produkt ak jest liczbą pierwszą względem b.

Naprawdę. Z Twierdzenia 1 ak oraz b mają takie same wspólne dzielniki jak c oraz b. Ale liczby c oraz b względnie pierwsze, tj. mają jeden wspólny dzielnik 1. Wtedy ak oraz b mają również jeden wspólny dzielnik 1. Stąd ak oraz b wzajemnie proste.

Konsekwencja 2. Wynajmować a oraz b liczby względnie pierwsze i niech b dzieli tak. Następnie b dzieli i k.

Naprawdę. Z warunku asercji tak oraz b mają wspólny dzielnik b. Na mocy Twierdzenia 1, b musi być wspólnym dzielnikiem b oraz k. w konsekwencji b dzieli k.

Wniosek 1 można uogólnić.

Konsekwencja 3. 1. Niech liczby a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m są liczbami pierwszymi względem liczby b. Następnie a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , iloczyn tych liczb jest liczbą pierwszą względem tej liczby b.

2. Niech mamy dwa rzędy liczb

tak, że każda liczba w pierwszym rzędzie jest pierwsza względem każdej liczby w drugim rzędzie. Następnie produkt

Wymagane jest znalezienie takich liczb, które są podzielne przez każdą z tych liczb.

Jeżeli liczba jest podzielna przez a 1, tak to wygląda sa 1, gdzie s jakiś numer. Jeśli q jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a 1 i a 2, w takim razie

gdzie s 1 to pewna liczba całkowita. Następnie

jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb a 1 i a 2 .

a 1 i a 2 względnie pierwsze, a następnie najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb a 1 i a 2:

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb.

Z powyższego wynika, że ​​dowolna wielokrotność liczb a 1 , a 2 , a 3 musi być wielokrotnością liczby ε oraz a 3 i odwrotnie. Niech najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ε oraz a 3 jest ε jeden . Ponadto wielokrotność liczb a 1 , a 2 , a 3 , a 4 musi być wielokrotnością liczby ε 1 i a cztery . Niech najmniejsza wspólna wielokrotność liczb ε 1 i a 4 jest ε 2. W ten sposób dowiedzieliśmy się, że wszystkie wielokrotności liczb a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m pokrywają się z wielokrotnościami określonej liczby ε n , która jest nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością podanych liczb.

W szczególnym przypadku, gdy liczby a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m względnie pierwsza, to najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb a 1 , a 2, jak pokazano powyżej, ma postać (3). Dalej, ponieważ a 3 pierwsze w odniesieniu do liczb a 1 , a 2, w takim razie a 3 to pierwsza liczba względna a jeden · a 2 (Wniosek 1). Czyli najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb a 1 ,a 2 ,a 3 to liczba a jeden · a 2 · a 3 . Argumentując w podobny sposób, dochodzimy do następujących twierdzeń.

Oświadczenie 1. Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb względnie pierwszych a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m jest równe ich iloczynowi a jeden · a 2 · a 3 ··· a m .

Oświadczenie 2. Dowolna liczba, która jest podzielna przez każdą z liczb względnie pierwszych a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m jest również podzielna przez ich iloczyn a jeden · a 2 · a 3 ··· a m .

Definicja. Nazywa się największą liczbę naturalną, przez którą liczby a i b są podzielne bez reszty największy wspólny dzielnik (gcd) te liczby.

Znajdźmy największy wspólny dzielnik liczb 24 i 35.
Dzielnikami liczby 24 będą liczby 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a dzielnikami liczby 35 będą liczby 1, 5, 7, 35.
Widzimy, że liczby 24 i 35 mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Takie liczby nazywane są względnie pierwsze.

Definicja. Liczby naturalne nazywamy względnie pierwsze jeśli ich największy wspólny dzielnik (gcd) wynosi 1.

Największy wspólny dzielnik (NWD) można znaleźć bez wypisywania wszystkich dzielników podanych liczb.

Rozkładając liczby 48 i 36 na czynniki, otrzymujemy:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z czynników wchodzących w skład rozwinięcia pierwszej z tych liczb usuwamy te, które nie wchodzą w rozwinięcie drugiej liczby (tj. dwie dwójki).
Pozostają czynniki 2 * 2 * 3. Ich iloczyn wynosi 12. Ta liczba jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36. Znaleziono również największy wspólny dzielnik trzech lub więcej liczb.

Znaleźć Największy wspólny dzielnik

2) spośród czynników wchodzących w skład rozszerzenia jednej z tych liczb wykreślić te, które nie wchodzą w skład rozszerzenia innych liczb;
3) znaleźć iloczyn pozostałych czynników.

Jeśli wszystkie podane liczby są podzielne przez jedną z nich, to ta liczba jest podzielna Największy wspólny dzielnik podane liczby.
Na przykład największym wspólnym dzielnikiem 15, 45, 75 i 180 jest 15, ponieważ dzieli wszystkie inne liczby: 45, 75 i 180.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)

Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczby naturalne a i b to najmniejsza liczba naturalna, która jest wielokrotnością zarówno a, jak i b. Najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) liczb 75 i 60 można znaleźć bez wypisywania wielokrotności tych liczb z rzędu. Aby to zrobić, rozkładamy 75 i 60 na proste czynniki: 75 \u003d 3 * 5 * 5 i 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Wypisujemy czynniki zawarte w rozwinięciu pierwszej z tych liczb i dodajemy do nich brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia drugiej liczby (czyli łączymy czynniki).
Otrzymujemy pięć czynników 2 * 2 * 3 * 5 * 5, których iloczyn wynosi 300. Ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.

Znajdź również najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb.

Do znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność kilka liczb naturalnych, potrzebujesz:
1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;
2) wypisz czynniki zawarte w rozwinięciu jednej z liczb;
3) dodać do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;
4) znaleźć iloczyn otrzymanych czynników.

Zauważ, że jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez wszystkie inne liczby, to ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
Na przykład najmniejszą wspólną wielokrotnością 12, 15, 20 i 60 byłoby 60, ponieważ jest podzielna przez wszystkie podane liczby.

Pitagoras (VI wiek p.n.e.) i jego uczniowie badali kwestię podzielności liczb. Liczbę równą sumie wszystkich jej dzielników (bez samej liczby), nazywali liczbą doskonałą. Na przykład liczby 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) są idealne. Kolejne liczby doskonałe to 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejczycy znali tylko trzy pierwsze liczby doskonałe. Czwarty - 8128 - stał się znany w I wieku. n. mi. Piąty - 33 550 336 - został znaleziony w XV wieku. Do 1983 roku znanych było już 27 liczb doskonałych. Ale do tej pory naukowcy nie wiedzą, czy istnieją nieparzyste liczby doskonałe, czy istnieje największa liczba doskonała.
Zainteresowanie starożytnych matematyków liczbami pierwszymi wynika z faktu, że każda liczba jest albo pierwszą, albo może być przedstawiona jako iloczyn liczb pierwszych, to znaczy liczby pierwsze są jak cegły, z których zbudowana jest reszta liczb naturalnych.
Zapewne zauważyłeś, że liczby pierwsze w szeregu liczb naturalnych występują nierównomiernie - w niektórych częściach szeregu jest ich więcej, w innych mniej. Ale im dalej posuwamy się w szeregu liczb, tym rzadsze są liczby pierwsze. Powstaje pytanie: czy istnieje ostatnia (największa) liczba pierwsza? Starożytny grecki matematyk Euklides (III wiek p.n.e.) w swojej książce „Początki”, która przez dwa tysiące lat była głównym podręcznikiem matematyki, udowodnił, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych, to znaczy za każdą liczbą pierwszą stoi parzysta liczba większa liczba pierwsza.
Aby znaleźć liczby pierwsze, inny grecki matematyk z tego samego czasu, Eratostenes, wymyślił taką metodę. Zapisał wszystkie liczby od 1 do jakiejś liczby, a następnie skreślił jednostkę, która nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, a następnie przekreślił przez jedynkę wszystkie liczby po 2 (liczby, które są wielokrotnościami 2, czyli 4, 6, 8 itd.). Pierwszą pozostałą liczbą po 2 było 3. Następnie po dwóch skreślono wszystkie liczby po 3 (liczby, które są wielokrotnościami 3, tj. 6, 9, 12 itd.). ostatecznie tylko liczby pierwsze pozostały nie przekreślone.

Wielokrotność liczby to liczba, która jest podzielna przez daną liczbę bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) grupy liczb to najmniejsza liczba, która jest równo podzielna przez każdą liczbę w grupie. Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musisz znaleźć czynniki pierwsze podanych liczb. Ponadto LCM można obliczyć za pomocą wielu innych metod, które mają zastosowanie do grup dwóch lub więcej liczb.

Kroki

Seria wielokrotności

Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej stosować, gdy podane są dwie liczby mniejsze niż 10. Jeśli podane są duże liczby, użyj innej metody.

• Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 5 i 8. Są to małe liczby, więc można zastosować tę metodę.

1. Wielokrotność liczby to liczba, która jest podzielna przez daną liczbę bez reszty. Wiele liczb można znaleźć w tabliczce mnożenia.

   • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 5 to: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapisz szereg liczb, które są wielokrotnościami pierwszej liczby. Zrób to pod wielokrotnościami pierwszej liczby, aby porównać dwa rzędy liczb.

   • Na przykład liczby będące wielokrotnościami 8 to: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Znajdź najmniejszą liczbę, która pojawia się w obu seriach wielokrotności. Być może będziesz musiał napisać długą serię wielokrotności, aby znaleźć sumę. Najmniejsza liczba występująca w obu seriach wielokrotności jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.

   • Na przykład najmniejsza liczba pojawiająca się w serii wielokrotności 5 i 8 to 40. Zatem 40 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 5 i 8.

   Rozkład na czynniki pierwsze

   1. Spójrz na te liczby. Opisaną tutaj metodę najlepiej stosować, gdy podane są dwie liczby, które są większe niż 10. Jeśli podane są mniejsze liczby, użyj innej metody.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 20 i 84. Każda z liczb jest większa niż 10, więc można użyć tej metody.

   2. Rozłóż pierwszą liczbę na czynniki. Oznacza to, że musisz znaleźć takie liczby pierwsze, po pomnożeniu otrzymasz daną liczbę. Po znalezieniu czynników pierwszych zapisz je jako równość.

      • Na przykład, 2 × 10 = 20 (\ Displaystyle (\ mathbf (2) ) \ razy 10 = 20) oraz 2 × 5 = 10 (\ Displaystyle (\ mathbf (2) ) \ razy (\ mathbf (5) ) = 10). Zatem czynnikami pierwszymi liczby 20 są liczby 2, 2 i 5. Zapisz je jako wyrażenie: .

   3. Rozłóż drugą liczbę na czynniki pierwsze. Zrób to w taki sam sposób, jak rozłożyłeś pierwszą liczbę na czynniki, czyli znajdź takie liczby pierwsze, które po pomnożeniu dadzą tę liczbę.

      • Na przykład, 2 × 42 = 84 (\ Displaystyle (\ mathbf (2) ) \ razy 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ Displaystyle (\ mathbf (7) ) \ razy 6 = 42) oraz 3 × 2 = 6 (\ Displaystyle (\ mathbf (3) ) \ razy (\ mathbf (2) ) = 6). Zatem czynnikami pierwszymi liczby 84 są liczby 2, 7, 3 i 2. Zapisz je jako wyrażenie: .

   4. Zapisz dzielniki wspólne dla obu liczb. Zapisz takie czynniki jako operację mnożenia. Zapisując każdy czynnik, przekreśl go w obu wyrażeniach (wyrażeniach opisujących rozkład liczb na czynniki pierwsze).

      • Na przykład wspólny czynnik dla obu liczb to 2, więc napisz 2 × (\ displaystyle 2 \ razy) i przekreśl cyfrę 2 w obu wyrażeniach.
      • Wspólnym dzielnikiem dla obu liczb jest kolejny dzielnik 2, więc napisz 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ razy 2) i przekreśl drugie 2 w obu wyrażeniach.

   5. Dodaj pozostałe czynniki do operacji mnożenia. Są to czynniki, które nie są przekreślone w obu wyrażeniach, czyli czynniki, które nie są wspólne dla obu liczb.

      • Na przykład w wyrażeniu 20 = 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 20 = 2 \ razy 2 \ razy 5) obie dwójki (2) są przekreślone, ponieważ są czynnikami wspólnymi. Współczynnik 5 nie jest przekreślony, więc operację mnożenia zapisz w następujący sposób: 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5)
      • w wyrażeniu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ Displaystyle 84 = 2 \ razy 7 \ razy 3 \ razy 2) obie dwójki (2) są również przekreślone. Czynniki 7 i 3 nie są przekreślone, więc operację mnożenia zapisz w następujący sposób: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5 \ razy 7 \ razy 3).

   6. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność. Aby to zrobić, pomnóż liczby w pisemnej operacji mnożenia.

      • Na przykład, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ Displaystyle 2 \ razy 2 \ razy 5 \ razy 7 \ razy 3 = 420). Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością 20 i 84 jest 420.

   Znajdowanie wspólnych dzielników

   1. Narysuj siatkę, tak jak w przypadku gry w kółko i krzyżyk. Taka siatka składa się z dwóch równoległych linii, które przecinają się (pod kątem prostym) z dwoma innymi równoległymi liniami. Spowoduje to powstanie trzech wierszy i trzech kolumn (siatka wygląda bardzo podobnie do znaku #). Wpisz pierwszą liczbę w pierwszym rzędzie i drugiej kolumnie. Wpisz drugą liczbę w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie.

      • Na przykład znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 18 i 30. Wpisz 18 w pierwszym rzędzie i drugiej kolumnie, a 30 w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie.

   2. Znajdź dzielnik wspólny dla obu liczb. Zapisz to w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie. Lepiej jest szukać dzielników pierwszych, ale nie jest to warunek wstępny.

      • Na przykład 18 i 30 to liczby parzyste, więc ich wspólnym dzielnikiem jest 2. Wpisz więc 2 w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie.

   3. Podziel każdą liczbę przez pierwszy dzielnik. Wpisz każdy iloraz pod odpowiednią liczbą. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb.

      • Na przykład, 18 ÷ 2 = 9 (\ Displaystyle 18 \ dział 2 = 9), więc napisz 9 poniżej 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ Displaystyle 30 \ dział 2 = 15), więc napisz 15 poniżej 30.

   4. Znajdź dzielnik wspólny dla obu ilorazów. Jeśli nie ma takiego dzielnika, pomiń kolejne dwa kroki. W przeciwnym razie zapisz dzielnik w drugim wierszu i pierwszej kolumnie.

      • Na przykład 9 i 15 są podzielne przez 3, więc wpisz 3 w drugim rzędzie i pierwszej kolumnie.

   5. Podziel każdy iloraz przez drugi dzielnik. Zapisz każdy wynik dzielenia pod odpowiednim ilorazem.

      • Na przykład, 9 ÷ 3 = 3 (\ Displaystyle 9 \ dział 3 = 3), więc napisz 3 poniżej 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ Displaystyle 15 \ dział 3 = 5), więc napisz 5 poniżej 15.

   6. W razie potrzeby uzupełnij siatkę o dodatkowe komórki. Powtarzaj powyższe kroki, aż ilorazy będą miały wspólny dzielnik.

   7. Zakreśl liczby w pierwszej kolumnie i ostatnim rzędzie siatki. Następnie zapisz podświetlone liczby jako operację mnożenia.

      • Na przykład liczby 2 i 3 znajdują się w pierwszej kolumnie, a liczby 3 i 5 w ostatnim wierszu, więc zapisz operację mnożenia w następujący sposób: 2 × 3 × 3 × 5 (\ Displaystyle 2 \ razy 3 \ razy 3 \ razy 5).

   8. Znajdź wynik mnożenia liczb. Spowoduje to obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności dwóch podanych liczb.

      • Na przykład, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ Displaystyle 2 \ razy 3 \ razy 3 \ razy 5 = 90). Zatem najmniejszą wspólną wielokrotnością 18 i 30 jest 90.

   Algorytm Euklidesa

   1. Zapamiętaj terminologię związaną z operacją dzielenia. Dywidenda to liczba, która jest dzielona. Dzielnik to liczba, przez którą należy dzielić. Iloraz jest wynikiem dzielenia dwóch liczb. Reszta to liczba, która pozostała po podzieleniu dwóch liczb.

      • Na przykład w wyrażeniu 15 ÷ 6 = 2 (\ Displaystyle 15 \ div 6 = 2) reszta. 3:
        15 jest podzielne
        6 to dzielnik
        2 jest prywatny
        3 to reszta.

Największy wspólny dzielnik

Definicja 2

Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, to $b$ nazywamy dzielnikiem $a$, a liczbę $a$ nazywamy wielokrotnością $b$.

Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczba $c$ jest nazywana wspólnym dzielnikiem zarówno dla $a$, jak i dla $b$.

Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników jest największy, który nazywany jest największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$, a do jego oznaczenia służy notacja:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​lub \ D \ (a;b)$

Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb:

1. Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

Przykład 1

Znajdź gcd liczb $121$ i $132.$

242 $=2\ckropka 11\ckropka 11$

$132=2\ckropka 2\ckropka 3\ckropka 11$

Wybierz liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb

242 $=2\ckropka 11\ckropka 11$

$132=2\ckropka 2\ckropka 3\ckropka 11$

Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

$gcd=2\cdot 11=22$

Przykład 2

Znajdź NWD jednomianów $63$ i $81$.

Znajdziemy według przedstawionego algorytmu. Dla tego:

Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\ckropka 3\ckropka 3\ckropka 3$

Wybieramy liczby, które są zawarte w rozwinięciu tych liczb

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\ckropka 3\ckropka 3\ckropka 3$

Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.

$gcd=3\cdot 3=9$

Możesz znaleźć NWD dwóch liczb w inny sposób, używając zestawu dzielników liczb.

Przykład 3

Znajdź gcd liczb $48$ i $60$.

Rozwiązanie:

Znajdź zbiór dzielników $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Teraz znajdźmy zbiór dzielników $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ten zbiór wyznaczy zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Więc największym wspólnym dzielnikiem 48$ i 60$ jest 12$.

Definicja NOC

Definicja 3

wspólna wielokrotność liczb naturalnych$a$ i $b$ to liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.

Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które są podzielne przez oryginał bez reszty. Na przykład dla liczb 25 $ i 50 $ wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50 100 150 200 $ itd.

Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i oznaczona jako LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$

Aby znaleźć LCM dwóch liczb, potrzebujesz:

1. Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
2. Wypisz czynniki, które są częścią pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiej i nie przechodzą do pierwszej

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.

Znajdziemy według przedstawionego algorytmu. Dla tego

Rozłóż liczby na czynniki pierwsze

99 $=3\ckropka 3\ckropka 11$

Zapisz czynniki zawarte w pierwszym

dodaj do nich czynniki, które są częścią drugiego i nie przechodzą do pierwszego

Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Otrzymana liczba będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sporządzanie list dzielników liczb jest często bardzo czasochłonne. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euclida.

Stwierdzenia, na których opiera się algorytm Euklidesa:

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vkropki b$, to $D(a;b)=b$

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b

Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie zmniejszać rozważane liczby, aż dojdziemy do takiej pary liczb, że jedna z nich jest podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem dla liczb $a$ i $b$.

Własności NWD i LCM

1. Każda wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
2. Jeśli $a\vdots b$ , to K$(a;b)=a$

Jeśli K$(a;b)=k$ i $m$-liczba naturalna, to K$(am;bm)=km$

Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem dla $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$

Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ równość

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Każdy wspólny dzielnik $a$ i $b$ jest dzielnikiem $D(a;b)$