Podział frakcji mieszanej przez liczbę naturalną. Mnożenie ułamków prostych i mieszanych o różnych mianownikach

) i mianownik przez mianownik (otrzymujemy mianownik iloczynu).

Wzór na mnożenie ułamków:

Na przykład:

Przed przystąpieniem do mnożenia liczników i mianowników należy sprawdzić możliwość zmniejszenia ułamka. Jeśli uda ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie ci kontynuować obliczenia.

Podział zwykłego ułamka przez ułamek.

Podział ułamków z udziałem liczby naturalnej.

To nie jest tak przerażające, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania, liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek z jednostką w mianowniku. Na przykład:

Mnożenie ułamków mieszanych.

Zasady mnożenia ułamków (mieszane):

• konwertuj ułamki mieszane na niewłaściwe;
• pomnóż liczniki i mianowniki ułamków;
• zmniejszamy ułamek;
• jeśli otrzymamy ułamek niewłaściwy, to zamieniamy ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.

Notatka! Aby pomnożyć ułamek mieszany przez inny ułamek mieszany, należy najpierw doprowadzić je do postaci ułamków niewłaściwych, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.

Drugi sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną.

Bardziej wygodne może być użycie drugiej metody mnożenia zwykłego ułamka przez liczbę.

Notatka! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.

Z powyższego przykładu jasno wynika, że ​​ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka jest dzielony bez reszty przez liczbę naturalną.

Ułamki wielopoziomowe.

W szkole średniej często znajdują się trzypiętrowe (lub więcej) ułamki. Przykład:

Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej formy, stosuje się podział przez 2 punkty:

Notatka! Podczas dzielenia ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, tutaj łatwo się pomylić.

Notatka, na przykład:

Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynik będzie tym samym ułamkiem, tylko odwróconym:

Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków:

1. Najważniejszą rzeczą w pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj starannie i dokładnie, skoncentrowanie i przejrzyście. Lepiej napisać kilka dodatkowych linijek w szkicu, niż gubić się w obliczeniach w głowie.

2. W zadaniach z różnymi typami ułamków - przejdź do typu ułamków zwykłych.

3. Redukujemy wszystkie ułamki, aż nie będzie już możliwe zmniejszenie.

4. Wprowadzamy wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe do zwykłych, stosując podział przez 2 punkty.

5. W naszym umyśle dzielimy jednostkę na ułamek, po prostu odwracając ułamek.

Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszym momentem w tych akcjach było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.

Teraz pora zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobrą wiadomością jest to, że te operacje są jeszcze łatwiejsze niż dodawanie i odejmowanie. Na początek rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa dodatnie ułamki bez wyodrębnionej części całkowitej.

Aby pomnożyć dwa ułamki, należy osobno pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.

Aby podzielić dwa ułamki, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi.

Przeznaczenie:

Z definicji wynika, że ​​dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby odwrócić ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego całą lekcję rozważymy głównie mnożenie.

W wyniku mnożenia może powstać ułamek zmniejszony (i często powstaje) - oczywiście musi zostać zmniejszony. Jeżeli po wszystkich redukcjach ułamek okazał się błędny, należy w nim wyróżnić całą część. Ale w przypadku mnożenia nie dojdzie do redukcji do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, współczynników maksymalnych i najmniejszych wspólnych wielokrotności.

Z definicji mamy:

Mnożenie ułamków przez część całkowitą i ułamki ujemne

Jeśli w ułamkach występuje część całkowita, należy je przeliczyć na ułamki niewłaściwe - a dopiero potem pomnożyć według schematów przedstawionych powyżej.

Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go wyjąć z granic mnożenia lub całkowicie usunąć zgodnie z następującymi zasadami:

1. Plus razy minus daje minus;
2. Dwa negatywy dają odpowiedź twierdzącą.

Do tej pory z tymi regułami spotykano się tylko przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy trzeba było pozbyć się całej części. W przypadku produktu można je uogólnić, aby „spalić” kilka minusów naraz:

1. Minusy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnym przypadku może przetrwać jeden minus - ten, który nie znalazł dopasowania;
2. Jeśli nie pozostały żadne minusy, operacja jest zakończona - możesz zacząć mnożyć. Jeśli ostatni minus nie zostanie przekreślony, ponieważ nie znalazł pary, wyjmujemy go poza granice mnożenia. Otrzymasz ułamek ujemny.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Wszystkie ułamki tłumaczymy na ułamki niewłaściwe, a następnie wyjmujemy minusy poza granice mnożenia. To, co pozostaje, mnoży się zgodnie ze zwykłymi zasadami. Otrzymujemy:

Przypomnę jeszcze raz, że minus przed ułamkiem z podświetloną częścią całkowitą odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego części całkowitej (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).

Zwróć także uwagę na liczby ujemne: po pomnożeniu są one ujęte w nawiasy kwadratowe. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i doprecyzowania całej notacji.

Redukcja ułamków w locie

Mnożenie to bardzo pracochłonna operacja. Liczby tutaj są dość duże i aby uprościć zadanie, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, w istocie liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami, a zatem można je redukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

Z definicji mamy:

We wszystkich przykładach liczby, które zostały zredukowane i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.

Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na swoich miejscach pozostały jednostki, które generalnie można pominąć. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć pełnej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal malała.

Jednak w żadnym wypadku nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami są podobne liczby, które po prostu chcesz zmniejszyć. Tutaj spójrz:

Nie możesz tego zrobić!

Błąd występuje ze względu na fakt, że przy dodawaniu licznika ułamka w liczniku pojawia się suma, a nie iloczyn liczb. Dlatego niemożliwe jest zastosowanie głównej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy w szczególności mnożenia liczb.

Po prostu nie ma innego powodu, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzedniego problemu wygląda tak:

Dobra decyzja:

Jak widać, poprawna odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie bądź ostrożny.

§ 87. Dodawanie ułamków.

Dodawanie ułamków ma wiele podobieństw do dodawania liczb całkowitych. Dodawanie ułamków to czynność polegająca na połączeniu kilku podanych liczb (wyrazów) w jedną liczbę (suma), która zawiera wszystkie jednostki i ułamki jednostek wyrazów.

Po kolei rozważymy trzy przypadki:

1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach.
2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Dodawanie liczb mieszanych.

1. Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach.

Rozważmy przykład: 1 / 5 + 2 / 5 .

Weź segment AB (ryc. 17), weź go jako jednostkę i podziel na 5 równych części, wtedy część AC tego segmentu będzie równa 1/5 segmentu AB, a część tego samego segmentu CD będzie równa 2/5 AB.

Z rysunku widać, że jeśli weźmiemy odcinek AD, to będzie on równy 3/5 AB; ale segment AD jest dokładnie sumą segmentów AC i CD. Możemy więc napisać:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Biorąc pod uwagę te wyrazy i otrzymaną kwotę, widzimy, że licznik sumy uzyskano przez dodanie liczników wyrazów, a mianownik pozostał niezmieniony.

Z tego otrzymujemy następującą zasadę: Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić ten sam mianownik.

Rozważ przykład:

2. Dodawanie ułamków o różnych mianownikach.

Dodajmy ułamki: 3/4 + 3/8 Najpierw należy je sprowadzić do najniższego wspólnego mianownika:

Link pośredni 6/8 + 3/8 nie mógł zostać napisany; napisaliśmy to tutaj dla większej jasności.

Tak więc, aby dodać ułamki o różnych mianownikach, należy najpierw sprowadzić je do najniższego wspólnego mianownika, dodać ich liczniki i podpisać wspólny mianownik.

Rozważ przykład (na odpowiednich ułamkach napiszemy dodatkowe czynniki):

3. Dodawanie liczb mieszanych.

Dodajmy liczby: 2 3/8 + 3 5/6.

Najpierw sprowadźmy części ułamkowe naszych liczb do wspólnego mianownika i przepiszmy je ponownie:

Teraz dodaj kolejno części całkowite i ułamkowe:

§ 88. Odejmowanie ułamków.

Odejmowanie ułamków jest takie samo jak odejmowanie liczb całkowitych. Jest to akcja, dzięki której po zsumowaniu dwóch wyrazów i jednego z nich znajduje się inny wyraz. Rozważmy kolejno trzy przypadki:

1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach.
2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.
3. Odejmowanie liczb mieszanych.

1. Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach.

Rozważ przykład:

13 / 15 - 4 / 15

Weźmy odcinek AB (ryc. 18), weźmy go jako jednostkę i podzielmy na 15 równych części; wtedy część AC tego segmentu będzie wynosić 1/15 AB, a część AD tego samego segmentu będzie odpowiadać 13/15 AB. Odłóżmy na bok inny segment ED, równy 4/15 AB.

Musimy odjąć 4/15 od 13/15. Na rysunku oznacza to, że segment ED należy odjąć od segmentu AD. W efekcie pozostanie segment AE, który stanowi 9/15 segmentu AB. Możemy więc napisać:

Wykonany przez nas przykład pokazuje, że licznik różnicy został uzyskany przez odjęcie liczników, a mianownik pozostał ten sam.

Dlatego, aby odjąć ułamki o tych samych mianownikach, musisz odjąć licznik odjemnika od licznika odjemnika i pozostawić ten sam mianownik.

2. Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

Przykład. 3/4 - 5/8

Najpierw sprowadźmy te ułamki do najmniejszego wspólnego mianownika:

Link pośredni 6/8 - 5/8 jest tutaj napisany dla jasności, ale można go pominąć w przyszłości.

Tak więc, aby odjąć ułamek od ułamka, musisz najpierw doprowadzić je do najmniejszego wspólnego mianownika, a następnie odjąć licznik odjemnika od licznika odjemnika i podpisać wspólny mianownik pod ich różnicą.

Rozważ przykład:

3. Odejmowanie liczb mieszanych.

Przykład. 10 3/4 - 7 2/3.

Sprowadźmy części ułamkowe odjemnej i odjemnej do najniższego wspólnego mianownika:

Odejmowaliśmy całość od całości i ułamek od ułamka. Ale zdarzają się przypadki, gdy część ułamkowa odjemnika jest większa niż część ułamkowa odjemnej. W takich przypadkach musisz wziąć jedną jednostkę z części całkowitej zredukowanej, podzielić ją na te części, w których wyrażona jest część ułamkowa, i dodać do części ułamkowej zredukowanej. A potem odejmowanie zostanie wykonane w taki sam sposób jak w poprzednim przykładzie:

§ 89. Mnożenie ułamków.

Studiując mnożenie ułamków, rozważymy następujące pytania:

1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.
2. Znalezienie ułamka podanej liczby.
3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Mnożenie ułamka przez ułamek.
5. Mnożenie liczb mieszanych.
6. Pojęcie interesu.
7. Znalezienie procentów danej liczby. Rozważmy je po kolei.

1. Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą.

Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą ma takie samo znaczenie, jak mnożenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą. Mnożenie ułamka (mnożnika) przez liczbę całkowitą (mnożnik) oznacza złożenie sumy identycznych wyrazów, w której każdy wyraz jest równy mnożnikowi, a liczba wyrazów jest równa mnożnikowi.

Jeśli więc musisz pomnożyć 1/9 przez 7, możesz to zrobić w ten sposób:

Wynik uzyskaliśmy łatwo, ponieważ akcja sprowadzała się do dodawania ułamków o tych samych mianownikach. W konsekwencji,

Rozważenie tego działania pokazuje, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą jest równoznaczne z zwiększeniem tego ułamka tyle razy, ile jest jednostek w liczbie całkowitej. A ponieważ wzrost ułamka osiąga się albo przez zwiększenie jego licznika

lub zmniejszając jego mianownik , to możemy albo pomnożyć licznik przez liczbę całkowitą, albo podzielić przez niego mianownik, jeśli taki podział jest możliwy.

Stąd otrzymujemy regułę:

Aby pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, należy pomnożyć licznik przez tę liczbę całkowitą i pozostawić ten sam mianownik lub, jeśli to możliwe, podzielić mianownik przez tę liczbę, pozostawiając licznik bez zmian.

Przy mnożeniu możliwe są skróty, na przykład:

2. Znalezienie ułamka podanej liczby. Istnieje wiele problemów, w których musisz znaleźć lub obliczyć część podanej liczby. Różnica między tymi zadaniami a innymi polega na tym, że podają liczbę niektórych obiektów lub jednostek miary i trzeba znaleźć część tej liczby, na co również wskazuje pewien ułamek. Aby ułatwić zrozumienie, najpierw podamy przykłady takich problemów, a następnie przedstawimy sposób ich rozwiązywania.

Zadanie 1. Miałem 60 rubli; 1/3 tych pieniędzy wydałem na zakup książek. Ile kosztowały książki?

Zadanie 2. Pociąg musi pokonać odległość między miastami A i B równą 300 km. Pokonał już 2/3 tego dystansu. Ile to kilometrów?

Zadanie 3. We wsi jest 400 domów, 3/4 murowanych, pozostałe drewniane. Ile jest tam murowanych domów?

Oto niektóre z wielu problemów, z którymi musimy się zmierzyć, aby znaleźć ułamek danej liczby. Nazywa się je zwykle problemami znajdowania ułamka danej liczby.

Rozwiązanie problemu 1. Od 60 rubli. wydałem 1/3 na książki; Aby znaleźć koszt książek, musisz podzielić liczbę 60 przez 3:

Rozwiązanie problemu 2. Problem polega na tym, że musisz znaleźć 2/3 300 km. Oblicz pierwszą 1/3 z 300; osiąga się to dzieląc 300 km przez 3:

300: 3 = 100 (to 1/3 z 300).

Aby znaleźć dwie trzecie z 300, musisz podwoić otrzymany iloraz, czyli pomnożyć przez 2:

100 x 2 = 200 (to 2/3 z 300).

Rozwiązanie problemu 3. Tutaj musisz określić liczbę domów murowanych, które stanowią 3/4 z 400. Najpierw znajdźmy 1/4 z 400,

400: 4 = 100 (to 1/4 z 400).

Aby obliczyć trzy czwarte z 400, otrzymany iloraz należy potroić, czyli pomnożyć przez 3:

100 x 3 = 300 (czyli 3/4 z 400).

Na podstawie rozwiązania tych problemów możemy wyprowadzić następującą zasadę:

Aby znaleźć wartość ułamka danej liczby, należy podzielić tę liczbę przez mianownik ułamka i pomnożyć otrzymany iloraz przez jego licznik.

3. Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek.

Wcześniej (§ 26) ustalono, że mnożenie liczb całkowitych należy rozumieć jako dodanie identycznych terminów (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). W tym paragrafie (paragraf 1) ustalono, że pomnożenie ułamka przez liczbę całkowitą oznacza znalezienie sumy identycznych wyrazów równej temu ułamkowi.

W obu przypadkach mnożenie polegało na znalezieniu sumy identycznych wyrazów.

Teraz przechodzimy do mnożenia liczby całkowitej przez ułamek. Tutaj spotkamy się np. z mnożeniem: 9 2/3. Jest całkiem oczywiste, że poprzednia definicja mnożenia nie ma w tym przypadku zastosowania. Wynika to z faktu, że nie możemy zastąpić takiego mnożenia przez dodanie równych liczb.

Z tego powodu będziemy musieli podać nową definicję mnożenia, czyli innymi słowy odpowiedzieć na pytanie, co należy rozumieć przez mnożenie przez ułamek, jak należy rozumieć to działanie.

Znaczenie mnożenia liczby całkowitej przez ułamek wynika z poniższej definicji: pomnożenie liczby całkowitej (mnożnika) przez ułamek (mnożnik) oznacza znalezienie tego ułamka mnożnika.

Mnożenie 9 przez 2/3 oznacza znalezienie 2/3 z dziewięciu jednostek. W poprzednim akapicie takie problemy zostały rozwiązane; więc łatwo się domyślić, że mamy 6.

Ale teraz pojawia się interesujące i ważne pytanie: dlaczego tak pozornie różne czynności, jak znalezienie sumy równych liczb i znalezienie ułamka liczby, nazywamy w arytmetyce tym samym słowem „mnożenie”?

Dzieje się tak, ponieważ poprzednia czynność (kilkakrotne powtórzenie liczby z wyrazami) i nowa czynność (znalezienie ułamka liczby) dają odpowiedź na jednorodne pytania. Oznacza to, że wychodzimy tutaj z rozważań, że jednorodne pytania lub zadania rozwiązuje jedno i to samo działanie.

Aby to zrozumieć, rozważ następujący problem: „1 m materiału kosztuje 50 rubli. Ile będą kosztować 4 m takiej tkaniny?

Problem ten rozwiązuje się, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubli).

Weźmy ten sam problem, ale w nim ilość materiału zostanie wyrażona jako liczba ułamkowa: „1 m materiału kosztuje 50 rubli. Ile będzie kosztować 3/4 m takiej tkaniny?

Ten problem również należy rozwiązać, mnożąc liczbę rubli (50) przez liczbę metrów (3/4).

Możesz też zmieniać w nim liczby kilka razy bez zmiany znaczenia problemu, na przykład weź 9/10 m lub 2 3/10 m itp.

Ponieważ problemy te mają tę samą treść i różnią się tylko liczbami, czynności stosowane przy ich rozwiązywaniu nazywamy tym samym słowem - mnożenie.

Jak liczba całkowita jest pomnożona przez ułamek?

Weźmy liczby napotkane w ostatnim zadaniu:

Zgodnie z definicją musimy znaleźć 3/4 z 50. Najpierw znajdujemy 1/4 z 50, a potem 3/4.

1/4 z 50 to 50/4;

3/4 z 50 to .

W konsekwencji.

Rozważ inny przykład: 12 5 / 8 = ?

1/8 z 12 to 12/8,

5/8 liczby 12 to .

W konsekwencji,

Stąd otrzymujemy regułę:

Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek, należy pomnożyć liczbę całkowitą przez licznik ułamka i uczynić ten iloczyn licznikiem, a mianownikiem podpisać mianownik danego ułamka.

Piszemy tę zasadę za pomocą liter:

Aby ta zasada była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można traktować jako iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą mnożenia liczby przez iloraz, która została określona w § 38

Należy pamiętać, że przed wykonaniem mnożenia należy zrobić (jeśli to możliwe) cięcia, na przykład:

4. Mnożenie ułamka przez ułamek. Mnożenie ułamka przez ułamek ma takie samo znaczenie, jak mnożenie liczby całkowitej przez ułamek, to znaczy, mnożąc ułamek przez ułamek, należy znaleźć ułamek w mnożniku z pierwszego ułamka (mnożnik).

Mianowicie pomnożenie 3/4 przez 1/2 (połowa) oznacza znalezienie połowy 3/4.

Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?

Weźmy przykład: 3/4 razy 5/7. Oznacza to, że musisz znaleźć 5/7 z 3/4. Znajdź pierwszą 1/7 z 3/4, a potem 5/7

1/7 z 3/4 będzie wyrażona w ten sposób:

5/7 cyfry 3/4 będą wyrażone w następujący sposób:

W ten sposób,

Inny przykład: 5/8 razy 4/9.

1/9 z 5/8 to ,

4/9 cyfry 5/8 to .

W ten sposób,

Z tych przykładów można wywnioskować następującą regułę:

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i uczynić pierwszy iloczyn licznikiem, a drugi iloczynem mianownik iloczynu.

Zasadę tę można ogólnie zapisać w następujący sposób:

Przy mnożeniu konieczne jest dokonanie (jeśli to możliwe) redukcji. Rozważ przykłady:

5. Mnożenie liczb mieszanych. Ponieważ liczby mieszane można łatwo zastąpić ułamkami niewłaściwymi, ta okoliczność jest zwykle używana podczas mnożenia liczb mieszanych. Oznacza to, że w tych przypadkach, w których mnożnik, mnożnik lub oba czynniki są wyrażone jako liczby mieszane, są one zastępowane ułamkami niewłaściwymi. Pomnóż na przykład liczby mieszane: 2 1/2 i 3 1/5. Każdy z nich zamieniamy na ułamek niewłaściwy, a następnie otrzymane ułamki mnożymy zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek:

Reguła. Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamka przez ułamek.

Notatka. Jeżeli jeden z czynników jest liczbą całkowitą, to mnożenie można wykonać w oparciu o prawo dystrybucji w następujący sposób:

6. Pojęcie interesu. Podczas rozwiązywania problemów i wykonywania różnych praktycznych obliczeń używamy wszelkiego rodzaju ułamków. Należy jednak pamiętać, że wiele wielkości dopuszcza dla nich nie jakiekolwiek, ale naturalne podziały. Na przykład możesz wziąć jedną setną (1/100) rubla, będzie to grosz, dwie setne to 2 kopiejki, trzy setne to 3 kopiejki. Możesz wziąć 1/10 rubla, będzie to „10 kopiejek lub dziesięciocentówka. Możesz wziąć ćwierć rubla, tj. 25 kopiejek, pół rubla, tj. 50 kopiejek (pięćdziesiąt kopiejek). Ale praktycznie nie Nie bierz np. 2/7 rubli bo rubel nie dzieli się na siódme.

Jednostka miary wagi, czyli kilogram, pozwala przede wszystkim na podział dziesiętny, na przykład 1/10 kg lub 100 g. I takie ułamki kilograma, jak 1/6, 1/11, 1/ 13 są rzadkie.

Ogólnie rzecz biorąc, nasze miary (metryczne) są dziesiętne i pozwalają na podziały dziesiętne.

Należy jednak zauważyć, że niezwykle przydatne i wygodne w wielu różnych przypadkach jest stosowanie tej samej (jednolitej) metody dzielenia ilości. Wieloletnie doświadczenie pokazało, że tak dobrze uzasadnionym podziałem jest podział na „setki”. Rozważmy kilka przykładów związanych z najróżniejszymi obszarami ludzkiej praktyki.

1. Cena książek obniżyła się o 12/100 dotychczasowej ceny.

Przykład. Poprzednia cena książki to 10 rubli. Spadła o 1 rubel. 20 kop.

2. Banki oszczędnościowe wypłacają w ciągu roku deponentom 2/100 kwoty odkładanej na oszczędności.

Przykład. Do kasy wpłaca się 500 rubli, dochód z tej kwoty za rok wynosi 10 rubli.

3. Liczba absolwentów jednej szkoły wynosiła 5/100 ogólnej liczby uczniów.

PRZYKŁAD W szkole uczyło się tylko 1200 uczniów, 60 z nich ukończyło szkołę.

Setna liczba nazywana jest procentem..

Słowo „procent” zostało zapożyczone z języka łacińskiego, a jego rdzeń „cent” oznacza sto. Wraz z przyimkiem (pro centum) słowo to oznacza „za sto”. Znaczenie tego wyrażenia wynika z tego, że początkowo w starożytnym Rzymie odsetkami były pieniądze, które dłużnik płacił pożyczkodawcy „za każdą setkę”. Słowo „cent” słyszy się w tak znanych słowach: centner (sto kilogramów), centymetr (mówi się, że centymetr).

Na przykład, zamiast mówić, że zakład wyprodukował 1/100 wszystkich wyprodukowanych przez siebie produktów w ciągu ostatniego miesiąca, powiemy tak: zakład wyprodukował jeden procent odrzutów w ciągu ostatniego miesiąca. Zamiast mówić: zakład wyprodukował o 4/100 więcej produktów niż zakładał plan, powiemy: zakład przekroczył plan o 4 proc.

Powyższe przykłady można wyrazić inaczej:

1. Cena książek spadła o 12% poprzedniej ceny.

2. Banki oszczędnościowe wypłacają deponentom 2% rocznie od kwoty odkładanej na oszczędności.

3. Liczba absolwentów jednej szkoły stanowiła 5% liczby wszystkich uczniów w szkole.

Aby skrócić literę, zwyczajowo pisze się znak% zamiast słowa „procent”.

Należy jednak pamiętać, że znak % zwykle nie jest zapisywany w obliczeniach, można go zapisać w opisie problemu i wyniku końcowym. Podczas wykonywania obliczeń musisz wpisać ułamek z mianownikiem 100 zamiast liczby całkowitej za pomocą tej ikony.

Musisz być w stanie zastąpić liczbę całkowitą podaną ikoną ułamkiem o mianowniku 100:

I odwrotnie, musisz przyzwyczaić się do pisania liczby całkowitej ze wskazaną ikoną zamiast ułamka o mianowniku 100:

7. Znalezienie procentów danej liczby.

Zadanie 1. Szkoła otrzymała 200 metrów sześciennych. m drewna opałowego, przy czym drewno opałowe brzozowe stanowi 30%. Ile tam było drewna brzozowego?

Znaczenie tego problemu jest takie, że drewno opałowe brzozowe stanowiło tylko część drewna opałowego dostarczonego do szkoły, a ta część jest wyrażona jako ułamek 30/100. Tak więc stoimy przed zadaniem znalezienia ułamka liczby. Aby go rozwiązać, musimy pomnożyć 200 przez 30/100 (zadania znalezienia ułamka liczby rozwiązuje się, mnożąc liczbę przez ułamek.).

Więc 30% z 200 równa się 60.

Ułamek 30/100 napotkany w tym problemie można zmniejszyć o 10. Możliwe byłoby wykonanie tej redukcji od samego początku; rozwiązanie problemu się nie zmieni.

Zadanie 2. W obozie przebywało 300 dzieci w różnym wieku. Dzieci w wieku 11 lat stanowiły 21%, dzieci w wieku 12 lat 61%, a 13-latki 18%. Ile dzieci w każdym wieku było w obozie?

W tym zadaniu należy wykonać trzy obliczenia, czyli kolejno znaleźć liczbę dzieci w wieku 11 lat, następnie 12 lat, a na końcu 13 lat.

Tak więc tutaj konieczne będzie znalezienie ułamka liczby trzy razy. Zróbmy to:

1) Ile dzieci miało 11 lat?

2) Ile dzieci miało 12 lat?

3) Ile dzieci miało 13 lat?

Po rozwiązaniu problemu warto dodać znalezione liczby; ich suma powinna wynosić 300:

63 + 183 + 54 = 300

Należy również zwrócić uwagę na fakt, że suma wartości procentowych podanych w stanie problemu wynosi 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Sugeruje to, że łączną liczbę dzieci w obozie przyjęto za 100%.

3 na dzień 3. Pracownik otrzymywał 1200 rubli miesięcznie. Spośród nich 65% wydał na żywność, 6% na mieszkanie i ogrzewanie, 4% na gaz, prąd i radio, 10% na potrzeby kulturalne i 15% zaoszczędził. Ile pieniędzy wydano na potrzeby wskazane w zadaniu?

Aby rozwiązać ten problem, musisz 5 razy znaleźć ułamek liczby 1200. Zróbmy to.

1) Ile pieniędzy wydaje się na żywność? Zadanie mówi, że ten wydatek to 65% wszystkich zarobków, czyli 65/100 liczby 1200. Zróbmy obliczenie:

2) Ile pieniędzy zapłacono za mieszkanie z ogrzewaniem? Argumentując podobnie jak poprzedni, dochodzimy do następującego obliczenia:

3) Ile zapłaciłeś za gaz, prąd i radio?

4) Ile pieniędzy wydaje się na potrzeby kulturalne?

5) Ile pieniędzy zaoszczędził pracownik?

W celu weryfikacji warto dodać liczby znajdujące się w tych 5 pytaniach. Kwota powinna wynosić 1200 rubli. Wszystkie zarobki są traktowane jako 100%, co można łatwo sprawdzić, sumując wartości procentowe podane w opisie problemu.

Rozwiązaliśmy trzy problemy. Pomimo tego, że zadania te dotyczyły różnych rzeczy (dostawa drewna opałowego do szkoły, liczba dzieci w różnym wieku, wydatki pracownika), zostały rozwiązane w ten sam sposób. Stało się tak, ponieważ we wszystkich zadaniach trzeba było znaleźć kilka procent podanych liczb.

§ 90. Podział ułamków.

Studiując podział ułamków, rozważymy następujące pytania:

1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.
2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą
3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.
4. Podział ułamka przez ułamek.
5. Podział liczb mieszanych.
6. Znalezienie liczby na podstawie jej ułamka.
7. Znalezienie liczby według jej procentu.

Rozważmy je po kolei.

1. Podziel liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą.

Jak wskazano w podrozdziale o liczbach całkowitych, dzielenie to czynność polegająca na tym, że z iloczynu dwóch czynników (dywidenda) i jednego z tych czynników (dzielnik) znajduje się inny czynnik.

Dzielenie liczby całkowitej przez liczbę całkowitą rozważaliśmy w dziale liczb całkowitych. Spotkaliśmy tam dwa przypadki dzielenia: dzielenie bez reszty, czyli „w całości” (150:10 = 15), oraz dzielenie z resztą (100:9 = 11 i 1 w reszcie). Można więc powiedzieć, że w dziedzinie liczb całkowitych dzielenie dokładne nie zawsze jest możliwe, ponieważ dzielna nie zawsze jest iloczynem dzielnika i liczby całkowitej. Po wprowadzeniu mnożenia przez ułamek możemy rozważyć każdy przypadek dzielenia liczb całkowitych jako możliwy (wyłączone jest tylko dzielenie przez zero).

Na przykład podzielenie 7 przez 12 oznacza znalezienie liczby, której iloczyn razy 12 będzie 7. Ta liczba jest ułamkiem 7/12, ponieważ 7/12 12 = 7. Inny przykład: 14: 25 = 14/25, ponieważ 14/25 25 = 14.

Tak więc, aby podzielić liczbę całkowitą przez liczbę całkowitą, musisz utworzyć ułamek, którego licznik jest równy dywidendy, a mianownikiem jest dzielnik.

2. Dzielenie ułamka przez liczbę całkowitą.

Podziel ułamek 6/7 przez 3. Zgodnie z definicją podziału podaną powyżej mamy tu iloczyn (6/7) i jeden z czynników (3); wymagane jest znalezienie takiego drugiego czynnika, który po pomnożeniu przez 3 dawałby dany iloczyn 6/7. Oczywiście powinien być trzykrotnie mniejszy niż ten produkt. Oznacza to, że postawione przed nami zadanie polegało na zmniejszeniu ułamka 6/7 o 3 razy.

Wiemy już, że redukcji ułamka można dokonać albo zmniejszając jego licznik, albo zwiększając jego mianownik. Dlatego możesz napisać:

W tym przypadku licznik 6 jest podzielny przez 3, więc licznik powinien zostać zmniejszony 3 razy.

Weźmy inny przykład: 5/8 podzielone przez 2. Tutaj licznik 5 nie jest podzielny przez 2, co oznacza, że ​​mianownik trzeba będzie pomnożyć przez tę liczbę:

Na tej podstawie możemy sformułować regułę: Aby podzielić ułamek przez liczbę całkowitą, musisz podzielić licznik ułamka przez tę liczbę całkowitą(Jeśli to możliwe), pozostawiając ten sam mianownik lub pomnóż mianownik ułamka przez tę liczbę, pozostawiając ten sam licznik.

3. Dzielenie liczby całkowitej przez ułamek.

Niech trzeba będzie podzielić 5 przez 1/2, czyli znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 1/2 da iloczyn 5. Oczywiście ta liczba musi być większa od 5, ponieważ 1/2 to właściwy ułamek, a mnożąc liczbę przez odpowiedni ułamek, iloczyn musi być mniejszy niż wielokrotność. Aby było to jaśniejsze, zapiszmy nasze działania w następujący sposób: 5: 1 / 2 = X , więc x 1/2 \u003d 5.

Musimy znaleźć taką liczbę X , co po pomnożeniu przez 1/2 daje 5. Skoro pomnożenie pewnej liczby przez 1/2 oznacza znalezienie 1/2 tej liczby, zatem 1/2 nieznanej liczby X to 5, a liczba całkowita X dwa razy więcej, tj. 5 2 \u003d 10.

Więc 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Sprawdźmy:

Rozważmy jeszcze jeden przykład. Niech trzeba będzie podzielić 6 przez 2/3. Spróbujmy najpierw znaleźć pożądany wynik za pomocą rysunku (ryc. 19).

Rys.19

Narysuj odcinek AB równy 6 niektórych jednostek i podziel każdą jednostkę na 3 równe części. W każdej jednostce trzy trzecie (3/3) w całym segmencie AB jest 6 razy większe, tj. e. 18/3. Łączymy za pomocą małych wsporników 18 otrzymanych segmentów po 2; Będzie tylko 9 segmentów. Oznacza to, że ułamek 2/3 jest zawarty w b jednostkach 9 razy, czyli innymi słowy ułamek 2/3 jest 9 razy mniejszy niż 6 jednostek całkowitych. W konsekwencji,

Jak uzyskać ten wynik bez rysunku używając tylko obliczeń? Będziemy argumentować w następujący sposób: wymagane jest podzielenie 6 przez 2/3, tj. wymagane jest udzielenie odpowiedzi na pytanie, ile razy 2/3 jest zawarte w 6. Dowiedzmy się najpierw: ile razy to 1/3 zawarte w 6? W całości - 3 trzecie, a w 6 jednostkach - 6 razy więcej, czyli 18 trzecich; aby znaleźć tę liczbę, musimy pomnożyć 6 przez 3. Stąd 1/3 jest zawarta w b jednostkach 18 razy, a 2/3 jest zawarta w b nie 18 razy, ale o połowę mniej, tj. 18:2 = 9. Dlatego dzieląc 6 przez 2/3 zrobiliśmy co następuje:

Stąd otrzymujemy regułę dzielenia liczby całkowitej przez ułamek. Aby podzielić liczbę całkowitą przez ułamek, należy pomnożyć tę liczbę przez mianownik danego ułamka i czyniąc z tego iloczynu licznik, podzielić go przez licznik danego ułamka.

Regułę piszemy za pomocą liter:

Aby ta zasada była całkowicie jasna, należy pamiętać, że ułamek można traktować jako iloraz. Dlatego warto porównać znalezioną regułę z regułą dzielenia liczby przez iloraz, która została określona w § 38. Zauważ, że uzyskano tam ten sam wzór.

Przy podziale możliwe są skróty, na przykład:

4. Podział ułamka przez ułamek.

Niech będzie wymagane podzielenie 3/4 przez 3/8. Co będzie oznaczać liczbę, która zostanie uzyskana w wyniku podziału? Odpowie na pytanie, ile razy ułamek 3/8 jest zawarty w ułamku 3/4. Aby zrozumieć ten problem, zróbmy rysunek (ryc. 20).

Weź segment AB, weź go jako jednostkę, podziel na 4 równe części i zaznacz 3 takie części. Segment AC będzie równy 3/4 segmentu AB. Podzielmy teraz każdy z czterech początkowych odcinków na pół, wtedy odcinek AB zostanie podzielony na 8 równych części i każda taka część będzie równa 1/8 odcinka AB. Łączymy 3 takie segmenty łukami, wtedy każdy z segmentów AD i DC będzie równy 3/8 segmentu AB. Rysunek pokazuje, że segment równy 3/8 jest zawarty w segmencie równym 3/4 dokładnie 2 razy; Wynik dzielenia można więc zapisać tak:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Rozważmy jeszcze jeden przykład. Niech będzie wymagane podzielenie 15/16 przez 3/32:

Możemy rozumować w ten sposób: musimy znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 3/32 da iloczyn równy 15/16. Zapiszmy obliczenia w ten sposób:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 nieznany numer X makijaż 15/16

1/32 nieznany numer X jest ,

32 / 32 numery X makijaż .

W konsekwencji,

Tak więc, aby podzielić ułamek przez ułamek, należy pomnożyć licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i pomnożyć mianownik pierwszego ułamka przez licznik drugiego i uczynić pierwszy iloczyn licznikiem i drugi mianownik.

Napiszmy regułę za pomocą liter:

Przy podziale możliwe są skróty, na przykład:

5. Podział liczb mieszanych.

Podczas dzielenia liczb mieszanych należy je najpierw zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie powstałe ułamki należy podzielić zgodnie z zasadami dzielenia liczb ułamkowych. Rozważ przykład:

Zamiana liczb mieszanych na ułamki niewłaściwe:

Teraz podzielmy:

Tak więc, aby podzielić liczby mieszane, należy je zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie podzielić zgodnie z zasadą dzielenia ułamków.

6. Znalezienie liczby na podstawie jej ułamka.

Wśród różnych zadań na ułamkach bywają takie, w których podaje się wartość jakiegoś ułamka nieznanej liczby i wymagane jest znalezienie tej liczby. Ten rodzaj problemu będzie odwrotnością problemu znalezienia ułamka danej liczby; tam podano liczbę i trzeba było znaleźć jakiś ułamek tej liczby, tu podano ułamek liczby i trzeba znaleźć tę liczbę samo. Ten pomysł stanie się jeszcze jaśniejszy, jeśli przejdziemy do rozwiązania tego typu problemu.

Zadanie 1. Pierwszego dnia szklarze oszkleli 50 okien, co stanowi 1/3 wszystkich okien budowanego domu. Ile okien jest w tym domu?

Rozwiązanie. Problem polega na tym, że 50 przeszklonych okien stanowi 1/3 wszystkich okien domu, co oznacza, że ​​w sumie okien jest 3 razy więcej, tj.

Dom miał 150 okien.

Zadanie 2. Sklep sprzedał 1500 kg mąki, co stanowi 3/8 całkowitego zapasu mąki w sklepie. Jakie były początkowe zapasy mąki w sklepie?

Rozwiązanie. Ze stanu problemu widać, że sprzedane 1500 kg mąki stanowi 3/8 całego zapasu; oznacza to, że 1/8 tego zapasu będzie 3 razy mniejsze, tzn. aby to obliczyć, trzeba zmniejszyć 1500 o 3 razy:

1500: 3 = 500 (to 1/8 zapasów).

Oczywiście cały zapas będzie 8 razy większy. W konsekwencji,

500 8 \u003d 4000 (kg).

Początkowy zapas mąki w sklepie wynosił 4000 kg.

Z rozpatrzenia tego problemu można wyprowadzić następującą regułę.

Aby znaleźć liczbę przez podaną wartość jej ułamka, wystarczy podzielić tę wartość przez licznik ułamka i pomnożyć wynik przez mianownik ułamka.

Rozwiązaliśmy dwa problemy ze znalezieniem liczby na podstawie jej ułamka. Takie problemy, co szczególnie dobrze widać z ostatniego, rozwiązują dwie czynności: dzielenie (gdy znajduje się jedna część) i mnożenie (gdy zostaje znaleziona liczba całkowita).

Jednak po przestudiowaniu dzielenia ułamków powyższe problemy można rozwiązać w jednej akcji, a mianowicie: dzielenie przez ułamek.

Na przykład ostatnie zadanie można rozwiązać w jednej akcji w ten sposób:

W przyszłości rozwiążemy problem znajdowania liczby przez jej ułamek w jednej akcji - dzieleniu.

7. Znalezienie liczby według jej procentu.

W tych zadaniach będziesz musiał znaleźć liczbę, znając kilka procent tej liczby.

Zadanie 1. Na początku tego roku otrzymałem z kasy oszczędnościowej 60 rubli. dochód z kwoty, którą rok temu odłożyłem na oszczędności. Ile pieniędzy włożyłem do banku oszczędnościowego? (Kasy kasowe dają deponentom 2% dochodu rocznie.)

Problem polega na tym, że pewna suma pieniędzy została przeze mnie włożona do kasy oszczędnościowej i leżała tam przez rok. Po roku otrzymałem od niej 60 rubli. dochód, czyli 2/100 wpłaconych przeze mnie pieniędzy. Ile pieniędzy wpłaciłem?

Znając zatem część tych pieniędzy, wyrażoną na dwa sposoby (w rublach i ułamkach), musimy znaleźć całą, nieznaną jeszcze kwotę. Jest to zwykły problem ze znalezieniem liczby na podstawie jej ułamka. Następujące zadania są rozwiązywane przez podział:

Tak więc do kasy oszczędnościowej trafiło 3000 rubli.

Zadanie 2. W ciągu dwóch tygodni rybacy zrealizowali miesięczny plan o 64%, przygotowując 512 ton ryb. Jaki był ich plan?

Ze stanu problemu wiadomo, że rybacy zrealizowali część planu. Ta część to 512 ton, co stanowi 64% planu. Ile ton ryb trzeba zebrać zgodnie z planem, nie wiemy. Rozwiązanie problemu będzie polegało na znalezieniu tej liczby.

Takie zadania rozwiązuje się, dzieląc:

Tak więc, zgodnie z planem, musisz przygotować 800 ton ryb.

Zadanie 3. Pociąg jechał z Rygi do Moskwy. Kiedy mijał 276 kilometr, jeden z pasażerów zapytał przejeżdżającego konduktora, jak dużą część podróży już przebyli. Na to konduktor odpowiedział: „Pokonaliśmy już 30% całej podróży”. Jaka jest odległość z Rygi do Moskwy?

Z warunku problemu wynika, że ​​30% trasy z Rygi do Moskwy to 276 km. Musimy znaleźć całą odległość między tymi miastami, czyli dla tej części znaleźć całość:

§ 91. Liczby wzajemne. Zastąpienie dzielenia mnożeniem.

Weź ułamek 2/3 i przestaw licznik na miejsce mianownika, otrzymamy 3/2. Mamy ułamek, odwrotność tego.

Aby otrzymać odwrotność ułamka danego ułamka należy w miejscu mianownika wstawić jego licznik, a w miejsce licznika mianownik. W ten sposób możemy otrzymać ułamek będący odwrotnością dowolnego ułamka. Na przykład:

3/4 , wstecz 4 / 3 ; 5/6, odwrotna 6/5

Dwie ułamki, które mają tę właściwość, że licznik pierwszego jest mianownikiem drugiego, a mianownik pierwszego jest licznikiem drugiego, są nazywane wzajemnie odwrotne.

Zastanówmy się teraz, jaki ułamek będzie odwrotnością 1/2. Oczywiście będzie to 2/1, czyli tylko 2. Szukając odwrotności tego, otrzymaliśmy liczbę całkowitą. I ta sprawa nie jest odosobniona; wręcz przeciwnie, dla wszystkich ułamków z licznikiem 1 (jeden) odwrotności będą liczbami całkowitymi, na przykład:

1 / 3, odwrotność 3; 1 / 5, wstecz 5

Ponieważ przy wyszukiwaniu odwrotności spotkaliśmy się również z liczbami całkowitymi, w przyszłości nie będziemy mówić o odwrotnościach, ale o odwrotnościach.

Zastanówmy się, jak napisać odwrotność liczby całkowitej. W przypadku ułamków jest to rozwiązane po prostu: musisz umieścić mianownik w miejscu licznika. W ten sam sposób możesz uzyskać odwrotność liczby całkowitej, ponieważ każda liczba całkowita może mieć mianownik równy 1. Zatem odwrotność 7 wyniesie 1/7, ponieważ 7 \u003d 7/1; dla liczby 10 odwrotność wynosi 1 / 10, ponieważ 10 = 10 / 1

Ten pomysł można wyrazić w inny sposób: odwrotność danej liczby otrzymujemy dzieląc jedynkę przez podaną liczbę. To stwierdzenie dotyczy nie tylko liczb całkowitych, ale także ułamków. Rzeczywiście, jeśli chcesz napisać liczbę, która jest odwrotnością ułamka 5/9, to możemy wziąć 1 i podzielić ją przez 5/9, czyli

Teraz zwróćmy uwagę na jedną własność wzajemne liczby, które nam się przydadzą: iloczyn wzajemnie odwrotnych liczb jest równy jeden. Rzeczywiście:

Korzystając z tej właściwości, możemy znaleźć odwrotności w następujący sposób. Znajdźmy odwrotność 8.

Oznaczmy to literą X , następnie 8 X = 1, stąd X = 1/8. Znajdźmy inną liczbę, odwrotność 7/12, oznaczmy ją literą X , następnie 7/12 X = 1, stąd X = 1:7 / 12 lub X = 12 / 7 .

Wprowadziliśmy tutaj pojęcie liczb odwrotnych, aby nieco uzupełnić informacje o dzieleniu ułamków.

Dzieląc liczbę 6 przez 3/5, robimy co następuje:

Zwróć szczególną uwagę na wyrażenie i porównaj je z podanym: .

Jeśli weźmiemy wyrażenie osobno, bez połączenia z poprzednim, nie da się rozwiązać pytania, skąd ono pochodzi: z dzielenia 6 przez 3/5 lub z pomnożenia 6 przez 5/3. W obu przypadkach wynik jest taki sam. Więc możemy powiedzieć że dzielenie jednej liczby przez drugą można zastąpić pomnożeniem dzielnej przez odwrotność dzielnika.

Przykłady, które podajemy poniżej, w pełni potwierdzają ten wniosek.

Zwykłe liczby ułamkowe po raz pierwszy spotykają się z uczniami w piątej klasie i towarzyszą im przez całe życie, ponieważ w życiu codziennym często trzeba rozważyć lub użyć jakiegoś przedmiotu nie w całości, ale w osobnych kawałkach. Początek badania tego tematu - udostępnij. Akcje są równe części na które podzielony jest obiekt. W końcu nie zawsze da się wyrazić jako liczbę całkowitą np. długość lub cenę produktu, należy brać pod uwagę części lub udziały jakiejkolwiek miary. Utworzony od czasownika „zmiażdżyć” - podzielić na części i mający arabskie korzenie, w VIII wieku samo słowo „ułamek” pojawiło się w języku rosyjskim.

Wyrażenia ułamkowe od dawna uważane są za najtrudniejszą sekcję matematyki. W XVII wieku, kiedy pojawiły się pierwsze podręczniki do matematyki, nazywano je „złamanymi liczbami”, co było bardzo trudne do wyświetlenia w zrozumieniu ludzi.

Nowoczesną formę prostych pozostałości frakcyjnych, których części są oddzielone dokładnie linią poziomą, jako pierwszy promował Fibonacci – Leonardo z Pizy. Jego pisma datowane są na 1202. Ale celem tego artykułu jest proste i jasne wyjaśnienie czytelnikowi, w jaki sposób następuje mnożenie mieszanych ułamków o różnych mianownikach.

Mnożenie ułamków o różnych mianownikach

Początkowo konieczne jest ustalenie odmiany frakcji:

• prawidłowy;
• zło;
• mieszany.

Następnie musisz pamiętać, jak mnoży się liczby ułamkowe o tych samych mianownikach. Sama reguła tego procesu jest łatwa do samodzielnego sformułowania: wynikiem mnożenia prostych ułamków o tych samych mianownikach jest wyrażenie ułamkowe, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników tych ułamków . Oznacza to, że w rzeczywistości nowym mianownikiem jest kwadrat jednego z istniejących początkowo.

Podczas mnożenia proste ułamki o różnych mianownikach dla dwóch lub więcej czynników zasada nie ulega zmianie:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Jedyna różnica polega na tym, że utworzona liczba pod słupkiem ułamkowym będzie iloczynem różnych liczb i oczywiście nie można jej nazwać kwadratem jednego wyrażenia liczbowego.

Warto rozważyć mnożenie ułamków o różnych mianownikach na przykładach:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

W przykładach użyto sposobów redukcji wyrażeń ułamkowych. Można redukować tylko liczby w liczniku liczbami w mianowniku; sąsiednie współczynniki powyżej lub poniżej słupka ułamkowego nie mogą zostać zmniejszone.

Wraz z prostymi liczbami ułamkowymi istnieje pojęcie ułamków mieszanych. Liczba mieszana składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej, czyli jest sumą tych liczb:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Jak działa mnożenie?

Do rozważenia jest kilka przykładów.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

W przykładzie zastosowano mnożenie liczby przez zwykła część ułamkowa, regułę dla tej akcji możesz zapisać wzorem:

a* b/c = a*b /c.

W rzeczywistości taki iloczyn jest sumą identycznych reszt ułamkowych, a liczba wyrazów wskazuje na tę liczbę naturalną. Szczególny przypadek:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Istnieje inna opcja rozwiązania mnożenia liczby przez resztę ułamkową. Wystarczy podzielić mianownik przez tę liczbę:

d* mi/f = mi/f: re.

Ta technika jest przydatna, gdy mianownik jest dzielony przez liczbę naturalną bez reszty lub, jak mówią, całkowicie.

Zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe i uzyskaj iloczyn w opisany wcześniej sposób:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Ten przykład dotyczy sposobu przedstawienia ułamka mieszanego jako ułamka niewłaściwego, można go również przedstawić jako ogólną formułę:

a bc = a*b+ c / c, gdzie mianownik nowego ułamka jest tworzony przez pomnożenie części całkowitej przez mianownik i dodanie jej do licznika oryginalnej reszty ułamkowej, a mianownik pozostaje taki sam.

Ten proces działa również w odwrotnym kierunku. Aby wybrać część całkowitą i resztę ułamkową, należy podzielić licznik ułamka niewłaściwego przez jego mianownik z „rogem”.

Mnożenie ułamków niewłaściwych produkowane w zwykły sposób. Gdy wpis znajduje się pod jedną linią ułamkową, w razie potrzeby należy zmniejszyć ułamki, aby zmniejszyć liczby za pomocą tej metody i łatwiej jest obliczyć wynik.

W Internecie jest wielu asystentów do rozwiązywania nawet złożonych problemów matematycznych w różnych odmianach programu. Wystarczająca liczba takich usług oferuje pomoc w obliczaniu mnożenia ułamków o różnych liczbach w mianownikach - tak zwane kalkulatory internetowe do obliczania ułamków. Są w stanie nie tylko mnożyć, ale także wykonywać wszystkie inne proste operacje arytmetyczne ze zwykłymi ułamkami i liczbami mieszanymi. Praca z nim nie jest trudna, odpowiednie pola są wypełniane na stronie witryny, wybierany jest znak działania matematycznego i naciskany jest „oblicz”. Program liczy się automatycznie.

Temat operacji arytmetycznych z liczbami ułamkowymi jest istotny w całej edukacji uczniów szkół średnich i starszych. W szkole średniej nie rozważają już najprostszych gatunków, ale wyrażenia ułamkowe liczb całkowitych, ale wcześniej uzyskana wiedza o regułach przekształceń i obliczeń stosowana jest w oryginalnej formie. Dobrze wyuczona podstawowa wiedza daje pełne zaufanie do pomyślnego rozwiązania najbardziej skomplikowanych zadań.

Podsumowując, warto przytoczyć słowa Lwa Tołstoja, który napisał: „Człowiek to ułamek. Nie jest w mocy człowieka zwiększanie swojego licznika – własnych zasług, ale każdy może pomniejszyć swój mianownik – swoją opinię o sobie i tym samym zbliżyć się do swojej doskonałości.

Wcześniej czy później wszystkie dzieci w szkole zaczynają uczyć się ułamków: ich dodawania, dzielenia, mnożenia i wszystkich możliwych działań, które można wykonać tylko z ułamkami. Aby zapewnić dziecku odpowiednią pomoc, sami rodzice nie powinni zapominać, jak liczby całkowite dzielą się na ułamki, w przeciwnym razie nie będziesz w stanie mu w żaden sposób pomóc, a jedynie go pomylić. Jeśli musisz zapamiętać to działanie, ale nie możesz zebrać wszystkich informacji w swojej głowie w jedną regułę, ten artykuł pomoże ci: nauczysz się dzielić liczbę przez ułamek i zobaczysz ilustracyjne przykłady.

Jak podzielić liczbę na ułamek?

Zapisz swój przykład na szkicu, aby móc robić notatki i kleiki. Pamiętaj, że między komórkami, tuż przy ich przecięciu, wpisana jest liczba całkowita, a liczby ułamkowe – każda w osobnej komórce.

• W tej metodzie musisz odwrócić ułamek do góry nogami, to znaczy zapisać mianownik do licznika, a licznik do mianownika.
• Znak dzielenia należy zmienić na mnożenie.
• Teraz wystarczy wykonać mnożenie zgodnie z już zbadanymi zasadami: licznik jest mnożony przez liczbę całkowitą, a mianownik nie jest dotykany.

Oczywiście w wyniku takiego działania otrzymasz bardzo dużą liczbę w liczniku. W tym stanie nie da się zostawić ułamka - nauczyciel po prostu nie zaakceptuje tej odpowiedzi. Zmniejsz ułamek, dzieląc licznik przez mianownik. Wpisz wynikową liczbę całkowitą po lewej stronie ułamka w środku komórek, a reszta będzie nowym licznikiem. Mianownik pozostaje niezmieniony.

Ten algorytm jest dość prosty, nawet dla dziecka. Po wykonaniu go pięć lub sześć razy dziecko zapamięta zabieg i będzie mógł zastosować go do dowolnych frakcji.

Jak podzielić liczbę przez ułamek dziesiętny

Istnieją inne rodzaje ułamków zwykłych - ułamki dziesiętne. Podział na nie następuje według zupełnie innego algorytmu. Jeśli masz do czynienia z takim przykładem, postępuj zgodnie z instrukcjami:

• Najpierw przekonwertuj obie liczby na ułamki dziesiętne. Jest to łatwe: twój dzielnik jest już reprezentowany jako ułamek, a podzielną liczbę naturalną oddzielasz przecinkiem, otrzymując ułamek dziesiętny. Oznacza to, że jeśli dywidenda była liczbą 5, otrzymujesz ułamek 5,0. Liczbę należy oddzielić tyle cyfr, ile jest po przecinku i dzielniku.
• Następnie musisz uczynić oba ułamki dziesiętne liczbami naturalnymi. Na początku może się to wydawać nieco mylące, ale jest to najszybszy sposób na podział i zajmie Ci kilka sekund po kilku sesjach treningowych. Ułamek 5,0 stanie się liczbą 50, ułamek 6,23 będzie 623.
• Czy podział. Jeśli liczby okazały się duże lub podział nastąpi z resztą, wykonaj to w kolumnie. Więc wyraźnie zobaczysz wszystkie działania tego przykładu. Nie musisz specjalnie umieszczać przecinka, ponieważ pojawi się on w procesie dzielenia na kolumnę.

Ten rodzaj dzielenia początkowo wydaje się zbyt mylący, ponieważ trzeba zamienić dzielną i dzielnik na ułamek, a następnie z powrotem na liczby naturalne. Ale po krótkim treningu od razu zaczniesz widzieć te liczby, które wystarczy podzielić przez siebie.

Pamiętaj, że umiejętność poprawnego dzielenia na nie ułamków i liczb całkowitych może przydać się niejednokrotnie w życiu, dlatego dziecko musi doskonale znać te reguły i proste zasady, aby w starszych klasach nie stały się przeszkodą, z powodu której dziecko nie może decydować o bardziej złożonych zadaniach.