Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie potęg. Jak podnieść liczbę do potęgi ujemnej - przykłady z opisem w Excelu

Erekcja do stopień negatywny- jeden z podstawowych elementów matematyki, często spotykany przy rozwiązywaniu problemów algebraicznych. Poniżej znajduje się szczegółowa instrukcja.

Jak podnieść do potęgi ujemnej - teoria

Kiedy podnosimy liczbę do zwykłej potęgi, mnożymy jej wartość kilka razy. Na przykład 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. W przypadku ułamka ujemnego jest odwrotnie. Ogólna postać zgodnie ze wzorem będzie następująca: a -n = 1/a n . Tak więc, aby podnieść liczbę do potęgi ujemnej, należy podzielić jedynkę przez podaną liczbę, ale już do potęgi dodatniej.

Jak podnieść do potęgi ujemnej - przykłady na liczbach zwykłych

Mając na uwadze powyższą regułę, rozwiążmy kilka przykładów.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odpowiedź: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odpowiedź to -4 -2 = 1/16.

Ale dlaczego odpowiedź w pierwszym i drugim przykładzie jest taka sama? Faktem jest, że gdy liczba ujemna jest podnoszona do potęgi parzystej (2, 4, 6 itd.), znak staje się dodatni. Gdyby stopień był równy, to zachowany jest minus:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Jak podnieść do potęgi ujemnej - liczby od 0 do 1

Przypomnij sobie, że gdy liczba z przedziału od 0 do 1 jest podnoszona do potęgi dodatniej, wartość maleje wraz ze wzrostem potęgi. Na przykład 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Przykład 3: Oblicz 0,5 -2
Rozwiązanie: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odpowiedź: 0,5 -2 = 4

Parsowanie (kolejność działań):

Zamień dziesiętne 0,5 na ułamkowe 1/2. To jest łatwiejsze.
Podnieś 1/2 do potęgi ujemnej. 1/(2) -2 . Podziel 1 przez 1/(2) 2 , otrzymamy 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Przykład 4: Oblicz 0,5 -3
Rozwiązanie: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Przykład 5: Oblicz -0,5 -3
Rozwiązanie: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odpowiedź: -0,5 -3 = -8

Na podstawie czwartego i piątego przykładu wyciągniemy kilka wniosków:

Dla liczby dodatniej z zakresu od 0 do 1 (przykład 4) podniesionej do potęgi ujemnej, niezależnie od tego, czy potęga jest parzysta czy nieparzysta, wartość wyrażenia będzie dodatnia. W tym przypadku im większy stopień, tym większa wartość.
Dla liczby ujemnej z zakresu od 0 do 1 (przykład 5), podniesionej do potęgi ujemnej, niezależnie od tego, czy potęga jest parzysta czy nieparzysta, wartość wyrażenia będzie ujemna. W tym przypadku im wyższy stopień, tym niższa wartość.

Jak podnieść do potęgi ujemnej - potęga jako liczba ułamkowa

Wyrażenia tego typu mają następującą postać: a -m/n, gdzie a jest liczbą zwykłą, m jest licznikiem stopnia, n jest mianownikiem stopnia.

Rozważ przykład:
Oblicz: 8 -1/3

Rozwiązanie (kolejność działań):

Zapamiętaj zasadę podnoszenia liczby do potęgi ujemnej. Otrzymujemy: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
Zauważ, że mianownik to 8 do potęgi ułamkowej. Ogólna postać obliczania stopnia ułamkowego jest następująca: a m/n = n √8 m .
Zatem 1/(8) 1/3 = 1/(3 √ 8 1). dostajemy pierwiastek sześcienny z ośmiu, czyli 2. Stąd 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Odpowiedź: 8 -1/3 = 2

Wykładnik służy do ułatwienia zapisu operacji mnożenia liczby przez samą siebie. Na przykład zamiast pisać, możesz pisać 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5))(wyjaśnienie takiego przejścia podano w pierwszej części tego artykułu). Potęgi ułatwiają pisanie długich lub złożonych wyrażeń lub równań; ponadto potęgi można łatwo dodawać i odejmować, co prowadzi do uproszczenia wyrażenia lub równania (na przykład 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) = 4 ^ (5))).

Notatka: jeśli musisz zdecydować równanie wykładnicze(w takim równaniu niewiadoma jest w wykładniku), odczyt .

Kroki

Rozwiązywanie prostych zadań za pomocą potęg

Pomnóż podstawę wykładnika przez siebie tyle razy, ile wynosi wykładnik. Jeśli musisz rozwiązać problem z wykładnikami ręcznie, przepisz wykładnik jako operację mnożenia, w której podstawa wykładnika jest mnożona przez siebie. Na przykład ze względu na stopień 3 4 (\ Displaystyle 3 ^ (4)). W takim przypadku podstawę stopnia 3 należy pomnożyć przez siebie 4 razy: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\ Displaystyle 3 * 3 * 3 * 3). Oto inne przykłady:

Najpierw pomnóż dwie pierwsze liczby. Na przykład, 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4). Nie martw się - proces obliczania nie jest tak skomplikowany, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Najpierw pomnóż pierwsze dwie czwórki, a następnie zastąp je wynikiem. Lubię to:

4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
- 4 ∗ 4 = 16 (\ Displaystyle 4*4 = 16)

Pomnóż wynik (w naszym przykładzie 16) przez następną liczbę. Każdy kolejny wynik będzie proporcjonalnie wzrastał. W naszym przykładzie pomnóż 16 przez 4. W ten sposób:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
  - 16 ∗ 4 = 64 (\ Displaystyle 16*4 = 64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 64 * 4 * 4)
  - 64 ∗ 4 = 256 (\ Displaystyle 64*4 = 256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 256 * 4)
  - 256 ∗ 4 = 1024 (\ Displaystyle 256*4 = 1024)
- Kontynuuj mnożenie wyniku mnożenia pierwszych dwóch liczb przez następną liczbę, aż uzyskasz ostateczną odpowiedź. Aby to zrobić, pomnóż pierwsze dwie liczby, a następnie pomnóż wynik przez kolejną liczbę w sekwencji. Ta metoda jest ważna dla dowolnego stopnia. W naszym przykładzie powinieneś otrzymać: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .
Rozwiąż następujące problemy. Sprawdź swoją odpowiedź za pomocą kalkulatora.
- 8 2 (\ Displaystyle 8 ^ (2))
- 3 4 (\ Displaystyle 3 ^ (4))
- 10 7 (\ Displaystyle 10 ^ (7))
Na kalkulatorze poszukaj klucza oznaczonego „exp” lub „ x n (\ displaystyle x ^ (n))" lub "^". Za pomocą tego klucza podniesiesz liczbę do potęgi. Praktycznie niemożliwe jest ręczne obliczenie stopnia z dużym wykładnikiem (na przykład stopień 9 15 (\ Displaystyle 9 ^ (15))), ale kalkulator bez problemu poradzi sobie z tym zadaniem. W systemie Windows 7 standardowy kalkulator można przełączyć w tryb inżynierski; aby to zrobić, kliknij „Widok” -\u003e „Inżynieria”. Aby przejść do trybu normalnego, kliknij „Widok” -\u003e „Normalny”.
- Sprawdź otrzymaną odpowiedź za pomocą wyszukiwarki (Google lub Yandex). Za pomocą klawisza „^” na klawiaturze komputera wprowadź wyrażenie do wyszukiwarki, która natychmiast wyświetli poprawną odpowiedź (i ewentualnie zasugeruje podobne wyrażenia do nauki).
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie potęg
1. Możesz dodawać i odejmować potęgi tylko wtedy, gdy mają tę samą podstawę. Jeśli chcesz dodać stopnie za pomocą te same podstawy i wykładników, możesz zastąpić operację dodawania operacją mnożenia. Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie 4 5 + 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). Pamiętaj, że stopień 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5)) można przedstawić jako 1 ∗ 4 5 (\ Displaystyle 1 * 4 ^ (5)); Zatem, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) =2*4^(5))(gdzie 1 +1 = 2). To znaczy policz liczbę podobnych stopni, a następnie pomnóż taki stopień i tę liczbę. W naszym przykładzie podnieś 4 do piątej potęgi, a następnie pomnóż wynik przez 2. Pamiętaj, że operację dodawania można zastąpić operacją mnożenia, na przykład 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\ Displaystyle 3 + 3 = 2 * 3). Oto inne przykłady:
  - 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\ Displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) = 2 * 3 ^ (2))
  - 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 3 * 4 ^ (5))
  - 4 5 - 4 5 + 2 = 2 (\ Displaystyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 = 2)
  - 4 x 2 - 2 x 2 = 2 x 2 (\ Displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) = 2x ^ (2))
2. Podczas mnożenia potęg o tej samej podstawie ich wykładniki są dodawane (podstawa się nie zmienia). Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie x 2 ∗ x 5 (\ Displaystyle x ^ (2) * x ^ (5)). W takim przypadku wystarczy dodać wskaźniki, pozostawiając bazę bez zmian. Zatem, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\ Displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) = x ^ (7)). Oto wizualne wyjaśnienie tej zasady:
  
  Podczas podnoszenia potęgi do potęgi wykładniki są mnożone. Na przykład, biorąc pod uwagę stopień. Skoro wykładniki są mnożone, to (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\ Displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2*5) = x ^ (10)). Znaczenie tej zasady polega na tym, że mnożysz potęgę (x 2) (\ Displaystyle (x ^ (2))) na siebie pięć razy. Lubię to:
  - (x 2) 5 (\ Displaystyle (x ^ (2)) ^ (5))
  - (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\ Displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2)*x^(2)*x^(2))
  - Ponieważ podstawa jest taka sama, wykładniki po prostu sumują się: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\ Displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
3. Wykładnik z wykładnikiem ujemnym należy zamienić na ułamek (do potęgi odwrotnej). Nie ma znaczenia, jeśli nie wiesz, co to jest odwrotność. Jeśli otrzymasz stopień naukowy z ujemnym wykładnikiem, np. 3 - 2 (\ Displaystyle 3 ^ (-2)), zapisz tę potęgę w mianowniku ułamka (w liczniku wstaw 1) i uczyń wykładnik dodatnim. W naszym przykładzie: 1 3 2 (\ Displaystyle (\ frac (1) (3 ^ (2)))). Oto inne przykłady:
  
  Podczas dzielenia potęg o tej samej podstawie ich wykładniki są odejmowane (podstawa się nie zmienia). Operacja dzielenia jest przeciwieństwem operacji mnożenia. Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie 4 4 4 2 (\ Displaystyle (\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2)))). Odejmij wykładnik w mianowniku od wykładnika w liczniku (nie zmieniaj podstawy). Zatem, 4 4 4 2 = 4 4 - 2 = 4 2 (\ Displaystyle (\ Frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) = 4 ^ (4-2) = 4 ^ (2)) = 16 .
  - Stopień w mianowniku można zapisać w następujący sposób: 1 4 2 (\ Displaystyle (\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\ Displaystyle 4 ^ (-2)). Pamiętaj, że ułamek to liczba (potęga, wyrażenie) z ujemnym wykładnikiem.
4. Poniżej znajduje się kilka wyrażeń, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywać problemy z zasilaniem. Powyższe wyrażenia obejmują materiał przedstawiony w tej sekcji. Aby zobaczyć odpowiedź, po prostu zaznacz puste miejsce po znaku równości.
Rozwiązywanie problemów z wykładnikami ułamkowymi
1. Jeśli wykładnik jest ułamek niewłaściwy, to taką potęgę można rozłożyć na dwie potęgi, aby uprościć rozwiązanie problemu. Nie ma w tym nic skomplikowanego - wystarczy zapamiętać zasadę mnożenia potęg. Na przykład, biorąc pod uwagę stopień. Zamień ten wykładnik na pierwiastek, którego wykładnik jest równy mianownikowi wykładnika ułamkowego, a następnie podnieś ten pierwiastek do wykładnika równego licznikowi wykładnika ułamkowego. Aby to zrobić, pamiętaj o tym 5 3 (\ Displaystyle (\ frac (5) (3))) = (1 3) ∗ 5 (\ Displaystyle ((\ Frac (1) (3))) * 5). W naszym przykładzie:
  - x 5 3 (\ displaystyle x ^ (\ frac (5) (3)))
  - x 1 3 = x 3 (\ Displaystyle x ^ (\ Frac (1) (3)) = (\ sqrt [(3)] (x)))
  - x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\ Displaystyle x ^ (\ Frac (5) (3)) = x ^ (5) * x ^ (\ Frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\ Displaystyle ((\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
2. Niektóre kalkulatory mają przycisk do obliczania wykładników (najpierw należy wprowadzić podstawę, następnie nacisnąć przycisk, a następnie wprowadzić wykładnik). Jest oznaczony jako ^ lub x^y.
3. Pamiętaj, że każda liczba jest równa samej sobie do pierwszej potęgi, np. 4 1 = 4. (\ Displaystyle 4 ^ (1) = 4.) Co więcej, każda liczba pomnożona lub podzielona przez jeden jest równa samej sobie, na przykład 5 ∗ 1 = 5 (\ Displaystyle 5 * 1 = 5) I 5 / 1 = 5 (\ Displaystyle 5/1 = 5).
4. Wiedz, że stopień 0 0 nie istnieje (taki stopień nie ma rozwiązania). Kiedy spróbujesz rozwiązać taki stopień na kalkulatorze lub na komputerze, pojawi się błąd. Ale pamiętaj, że każda liczba do potęgi zero jest równa 1, na przykład 4 0 = 1. (\ Displaystyle 4 ^ (0) = 1.)
5. W matematyce wyższej, która operuje liczbami urojonymi: mi za ja x = do o s za x + ja s ja n za x (\ Displaystyle e ^ (a) ix = cosax + isinax), Gdzie ja = (− 1) (\ Displaystyle i = (\ sqrt (()) -1)); e jest stałą w przybliżeniu równą 2,7; a jest dowolną stałą. Dowód tej równości można znaleźć w każdym podręczniku matematyki wyższej.
- Wraz ze wzrostem wykładnika jego wartość znacznie wzrasta. Dlatego jeśli odpowiedź wydaje ci się błędna, w rzeczywistości może się okazać, że jest prawdziwa. Możesz to sprawdzić, wykreślając dowolną funkcję wykładniczą, taką jak 2 x .

W ramach tego materiału przeanalizujemy, czym jest potęga liczby. Oprócz podstawowych definicji sformułujemy, jakie są stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi, wymiernymi i niewymiernymi. Jak zawsze wszystkie koncepcje zostaną zilustrowane przykładami zadań.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najpierw formułujemy podstawową definicję stopnia z wskaźnik naturalny. Aby to zrobić, musimy pamiętać o podstawowych zasadach mnożenia. Wyjaśnijmy z góry, że na razie jako podstawę przyjmiemy liczbę rzeczywistą (oznaczmy ją literą a), a jako wskaźnik - liczbę naturalną (oznaczoną literą n).

Definicja 1

Potęga a z wykładnikiem naturalnym n jest iloczynem n-tej liczby czynników, z których każdy jest równy liczbie a. Stopień jest napisany w następujący sposób: jakiś, aw formie wzoru jego skład można przedstawić w następujący sposób:

Na przykład, jeśli wykładnik to 1, a podstawa to a, to pierwsza potęga a jest zapisywana jako 1. Biorąc pod uwagę, że a to wartość czynnika, a 1 to liczba czynników, możemy to stwierdzić za 1 = za.

Ogólnie możemy powiedzieć, że stopień jest wygodny kształt dokumentacja duża liczba równe mnożniki. A więc zapis formy 8 8 8 8 można zredukować do 8 4 . W podobny sposób praca pomaga nam unikać pisania duża liczba wyrazy (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; omówiliśmy to już w artykule o mnożeniu liczby naturalne.

Jak poprawnie odczytać zapis dyplomu? Ogólnie akceptowaną opcją jest „a do potęgi n”. Możesz też powiedzieć „n-ta potęga a” lub „n-ta potęga”. Jeśli, powiedzmy, w przykładzie jest wpis 8 12 , możemy przeczytać „8 do potęgi 12”, „8 do potęgi 12” lub „12 do potęgi 8”.

Drugi i trzeci stopień liczby mają swoje ugruntowane nazwy: kwadrat i sześcian. Jeśli widzimy drugą potęgę, na przykład liczby 7 (7 2), możemy powiedzieć „7 do kwadratu” lub „kwadrat liczby 7”. Podobnie trzeci stopień czyta się tak: 5 3 to „sześcian liczby 5” lub „5 sześcianów”. Jednak możliwe jest również użycie standardowego sformułowania „w drugim/trzecim stopniu”, nie będzie to pomyłką.

Przykład 1

Spójrzmy na przykład stopnia z naturalnym wskaźnikiem: za 5 7 pięć będzie podstawą, a siedem będzie wskaźnikiem.

Podstawa nie musi być liczbą całkowitą: dla stopnia (4 , 32) 9 podstawą będzie ułamek 4,32, a wykładnikiem będzie dziewięć. Zwróć uwagę na nawiasy: taki zapis jest dokonywany dla wszystkich stopni, których podstawy różnią się od liczb naturalnych.

Na przykład: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Do czego służą wsporniki? Pomagają uniknąć błędów w obliczeniach. Powiedzmy, że mamy dwa wpisy: (− 2) 3 I − 2 3 . Pierwszy z nich oznacza liczbę ujemną minus dwa, podniesioną do potęgi o wykładniku naturalnym trzy; druga to liczba odpowiadająca przeciwnej wartości stopnia 2 3 .

Czasami w książkach można spotkać nieco inną pisownię stopnia liczby - a^ n(gdzie a to podstawa, a n to wykładnik). Więc 4^9 to to samo co 4 9 . W przypadku, gdy n jest liczba wielocyfrowa, jest ujęty w nawiasy. Na przykład 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ale użyjemy notacji jakiś jako bardziej powszechne.

Jak obliczyć wartość stopnia z wykładnikiem naturalnym, łatwo się domyślić z jego definicji: wystarczy pomnożyć n-tą liczbę razy. Więcej na ten temat pisaliśmy w innym artykule.

Pojęcie stopnia jest przeciwieństwem drugiego pojęcie matematyczne- pierwiastek liczby. Jeśli znamy wartość wykładnika i wykładnika, możemy obliczyć jego podstawę. Stopień ma pewne specyficzne właściwości przydatne przy rozwiązywaniu problemów, które przeanalizowaliśmy w osobnym materiale.

Wykładniki mogą zawierać nie tylko liczby naturalne, ale ogólnie dowolne wartości całkowite, w tym ujemne jedynki i zera, ponieważ również należą do zbioru liczb całkowitych.

Definicja 2

Stopień liczby z dodatnim wykładnikiem liczby całkowitej można przedstawić w postaci wzoru: .

Ponadto n jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą.

Zajmijmy się pojęciem stopnia zerowego. W tym celu stosujemy podejście uwzględniające właściwość ilorazu potęg z równe podstawy. Jest sformułowany w ten sposób:

Definicja 3

Równość za m: za n = za m - n będzie prawdziwe w następujących warunkach: m i n są liczbami naturalnymi, m< n , a ≠ 0 .

Ostatni warunek jest ważny, ponieważ pozwala uniknąć dzielenia przez zero. Jeśli wartości m i n są równe, otrzymamy następujący wynik: za n: za n = za n - n = za 0

Ale jednocześnie a n: a n = 1 jest ilorazem równe liczby jakiś i Okazuje się, że stopień zero dowolnej liczby niezerowej jest równy jeden.

Jednak taki dowód nie jest odpowiedni dla zera do potęgi zero. Aby to zrobić, potrzebujemy innej właściwości potęg - własności iloczynów potęg o równych podstawach. To wygląda tak: za m za n = za m + n .

Jeśli n wynosi 0, to za m za 0 = za m(równość ta dowodzi nam również, że 0 = 1). Ale jeśli i jest również równe zeru, nasza równość przybiera formę 0 m 0 0 = 0 m, Będzie to prawdziwe dla dowolnej naturalnej wartości n i nie ma znaczenia, jaka dokładnie jest wartość stopnia 0 0 , to znaczy może być równa dowolnej liczbie i nie wpłynie to na ważność równości. Dlatego zapis formularza 0 0 nie ma własnego specjalnego znaczenia i nie będziemy mu tego przypisywać.

W razie potrzeby łatwo to sprawdzić 0 = 1 jest zbieżny z właściwością stopnia (za m) n = za m n pod warunkiem, że podstawa stopnia nie jest równa zeru. Zatem stopień dowolnej liczby niezerowej z zerowym wykładnikiem jest równy jeden.

Przykład 2

Spójrzmy na przykład z konkretnymi liczbami: Więc, 5 0 - jednostka, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 i wartość 0 0 nieokreślony.

Po zerowym stopniu pozostaje nam dowiedzieć się, czym jest stopień ujemny. Aby to zrobić, potrzebujemy tej samej własności iloczynu potęg o równych podstawach, z której korzystaliśmy już powyżej: a m · a n = a m + n.

Wprowadzamy warunek: m = − n , wtedy a nie może być równe zeru. Wynika, że za - n za n = za - n + n = za 0 = 1. Okazuje się, że n i jakiś mamy wzajemnie odwrotne liczby.

W rezultacie a do ujemnej potęgi całkowitej to nic innego jak ułamek 1 a n .

Sformułowanie to potwierdza, że dla stopnia z ujemnym wykładnikiem całkowitym obowiązują te same własności, które ma stopień z wykładnikiem naturalnym (pod warunkiem, że podstawa nie jest równa zeru).

Przykład 3

Potęgę a z ujemną liczbą całkowitą n można przedstawić jako ułamek 1 a n . Zatem a - n = 1 a n pod warunkiem a ≠ 0 a n jest dowolną liczbą naturalną.

Zilustrujmy nasz pomysł konkretnymi przykładami:

Przykład 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

W ostatniej części akapitu postaramy się przedstawić wszystko, co zostało powiedziane jasno, w jednej formule:

Definicja 4

Potęga a z wykładnikiem naturalnym z wynosi: a z = a z , e c i z jest dodatnią liczbą całkowitą 1 , z = 0 i a ≠ 0 , (jeśli z = 0 i a = 0 otrzymujemy 0 0 , wartości wyrażenie 0 0 nie jest określone) 1 a z , jeśli z jest ujemną liczbą całkowitą i a ≠ 0 (jeśli z jest ujemną liczbą całkowitą i a = 0 otrzymujemy 0 z , to jest a n d e n t i o n )

Co to są stopnie z wykładnikiem wymiernym

Przeanalizowaliśmy przypadki, gdy wykładnik jest liczbą całkowitą. Można jednak również podnieść liczbę do potęgi, gdy jej wykładnik jest liczbą ułamkową. Nazywa się to stopniem z wykładnikiem wymiernym. W tym podrozdziale udowodnimy, że ma ona takie same właściwości jak inne potęgi.

Co to są liczby wymierne? Ich zestaw zawiera zarówno liczby całkowite, jak i ułamkowe, podczas gdy liczby ułamkowe można przedstawić jako ułamki zwykłe (zarówno dodatnie, jak i ujemne). Formułujemy definicję stopnia liczby a z wykładnikiem ułamkowym m / n, gdzie n jest liczbą naturalną, a m jest liczbą całkowitą.

Mamy pewien stopień z wykładnikiem ułamkowym a m n . Aby właściwość potęgi była zachowana w pewnym stopniu, równość a m n n = a m n · n = a m musi być prawdziwa.

Mając definicję n-tego pierwiastka i że a m n n = a m , możemy przyjąć warunek a m n = a m n , jeśli a m n ma sens dla danych wartości m , n i a .

Powyższe własności stopnia z wykładnikiem całkowitym będą prawdziwe pod warunkiem a m n = a m n .

Główny wniosek z naszego rozumowania jest następujący: stopień pewnej liczby a z wykładnikiem ułamkowym m / n jest pierwiastkiem n-tego stopnia od liczby a do potęgi m. Jest to prawdą, jeśli dla danych wartości m, n i a wyrażenie a m n ma sens.

1. Możemy ograniczyć wartość podstawy stopnia: weźmy a, które dla wartości dodatnich m będzie większe lub równe 0, a dla wartości ujemnych będzie ściśle mniejsze (bo dla m ≤ 0 otrzymujemy 0m, ale stopień ten nie jest zdefiniowany). W takim przypadku definicja stopnia z wykładnikiem ułamkowym będzie wyglądać następująco:

Wykładnik ułamkowy m/n dla pewnej liczby dodatniej a jest n-tym pierwiastkiem z a podniesionego do potęgi m. W postaci wzoru można to przedstawić w następujący sposób:

Dla stopnia o podstawie zerowej to postanowienie jest również odpowiednie, ale tylko wtedy, gdy jego wykładnik jest liczbą dodatnią.

Potęgę o podstawie zerowej i dodatnim wykładniku ułamkowym m/n można wyrazić jako

0 m n = 0 m n = 0 pod warunkiem dodatniej liczby całkowitej m i naturalnej n .

Przy ujemnym stosunku m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Zwróćmy uwagę na jedną kwestię. Ponieważ wprowadziliśmy warunek, że a jest większe lub równe zeru, odrzuciliśmy niektóre przypadki.

Wyrażenie a m n czasami nadal ma sens dla niektórych ujemnych wartości a i niektórych ujemnych wartości m . Poprawne są więc wpisy (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , w których podstawa jest ujemna.

2. Drugie podejście polega na osobnym rozważeniu pierwiastka a m n z parzystymi i nieparzystymi wykładnikami. Następnie musimy wprowadzić jeszcze jeden warunek: za stopień a, w którego wykładniku występuje ułamek zwykły redukowalny, uważa się stopień a, w którego wykładniku znajduje się odpowiadający mu ułamek nieredukowalny. Później wyjaśnimy, dlaczego potrzebujemy tego warunku i dlaczego jest to tak ważne. Zatem jeśli mamy zapis a m · k n · k , to możemy go zredukować do a m n i uprościć obliczenia.

Jeśli n jest liczbą nieparzystą, m jest liczbą dodatnią, a a jest dowolną liczbą nieujemną, to a m n ma sens. Warunek dla nieujemnego a jest konieczny, ponieważ pierwiastek stopnia parzystego nie jest wyodrębniany z liczby ujemnej. Jeśli wartość m jest dodatnia, to a może być zarówno ujemna, jak i zero, ponieważ Z dowolnej liczby rzeczywistej można wyciągnąć pierwiastek nieparzysty.

Połączmy wszystkie dane powyżej definicji w jednym wpisie:

Tutaj m/n oznacza ułamek nieredukowalny, m to dowolna liczba całkowita, a n to dowolna liczba naturalna.

Definicja 5

Dla dowolnego zwykłego ułamka zredukowanego m · k n · k stopień można zastąpić przez a m n .

Stopień a z nierozkładalnym wykładnikiem ułamkowym m / n – można wyrazić jako a m n w następujących przypadkach: - dla dowolnych rzeczywistych a , dodatnich wartości całkowitych m i nieparzystych wartości naturalnych n . Przykład: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Dla dowolnych niezerowych liczb rzeczywistych a , liczb całkowitych wartości ujemne m i nieparzyste wartości n , na przykład 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Dla dowolnego nieujemnego a , dodatnie wartości całkowite m, a nawet n , na przykład 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Dla dowolnej dodatniej a , ujemnej liczby całkowitej m a nawet n , na przykład 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

W przypadku innych wartości stopień z wykładnikiem ułamkowym nie jest określany. Przykłady takich potęg: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Wyjaśnijmy teraz znaczenie powyższego warunku: po co zamieniać ułamek z wykładnikiem redukowalnym na ułamek z wykładnikiem nieredukowalnym. Gdybyśmy tego nie zrobili, takie sytuacje okazałyby się, powiedzmy, 6 / 10 = 3 / 5. Wtedy (- 1) 6 10 = - 1 3 5 powinno być prawdziwe, ale - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 i (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicja stopnia z wykładnikiem ułamkowym, którą podaliśmy jako pierwsza, jest wygodniejsza do zastosowania w praktyce niż druga, dlatego będziemy jej nadal używać.

Definicja 6

Zatem potęga liczby dodatniej a z wykładnikiem ułamkowym m / n jest zdefiniowana jako 0 m n = 0 m n = 0 . W przypadku negatywnego A zapis a m n nie ma sensu. Stopień zera dla dodatnich wykładników ułamkowych m/n jest zdefiniowany jako 0 m n = 0 m n = 0 , dla ujemnych wykładników ułamkowych nie definiujemy stopnia zera.

We wnioskach zauważamy, że dowolny wskaźnik ułamkowy można zapisać tak, jak w formularzu pomieszane numery, oraz w formie Ułamek dziesiętny: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Podczas obliczania lepiej zastąpić wykładnik ułamek wspólny a następnie użyj definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym. Dla powyższych przykładów otrzymujemy:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Co to są stopnie z irracjonalnym i rzeczywistym wykładnikiem

Co to są liczby rzeczywiste? Ich zbiór zawiera zarówno liczby wymierne, jak i niewymierne. Dlatego, aby zrozumieć, czym jest stopień z wykładnikiem rzeczywistym, musimy zdefiniować stopnie z wykładnikami wymiernymi i niewymiernymi. O racjonalności wspomnieliśmy już powyżej. Zajmijmy się krok po kroku irracjonalnymi wskaźnikami.

Przykład 5

Załóżmy, że mamy liczbę niewymierną a i ciąg jej przybliżeń dziesiętnych a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Weźmy na przykład wartość a = 1 , 67175331 . . . , Następnie

za 0 = 1 , 6 , za 1 = 1 , 67 , za 2 = 1 , 671 , . . . , za 0 = 1 , 67 , za 1 = 1 , 6717 , za 2 = 1 , 671753 , . . .

Ciągi przybliżeń możemy powiązać z ciągiem potęg a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Jeśli przypomnimy sobie to, o czym mówiliśmy wcześniej o podnoszeniu liczb do potęgi wymiernej, to sami możemy obliczyć wartości tych potęg.

Weź na przykład za = 3, to za za 0 = 3 1 , 67 , za za 1 = 3 1 , 6717 , za za 2 = 3 1 , 671753 , . . . itp.

Ciąg stopni można sprowadzić do liczby, która będzie wartością stopnia o podstawie a i wykładniku niewymiernym a. W rezultacie: stopień z niewymiernym wykładnikiem postaci 3 1 , 67175331 . . można zredukować do liczby 6, 27.

Definicja 7

Potęga liczby dodatniej a z niewymiernym wykładnikiem a jest zapisywana jako a . Jego wartość jest granicą ciągu a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , gdzie 0 , 1 , 2 , . . . są kolejnymi przybliżeniami dziesiętnymi liczby niewymiernej a . Stopień z zerową podstawą można również zdefiniować dla dodatnich irracjonalnych wykładników, podczas gdy 0 a \u003d 0 Więc 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. A w przypadku ujemnych nie można tego zrobić, ponieważ na przykład wartość 0 - 5, 0 - 2 π nie jest zdefiniowana. Na przykład jednostka podniesiona do dowolnej niewymiernej potęgi pozostaje jednostką, a 1 2 , 1 5 w 2 i 1 - 5 będzie równe 1 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Jedną z głównych cech algebry, a właściwie całej matematyki, jest stopień. Oczywiście w XXI wieku wszystkie obliczenia można przeprowadzić na kalkulatorze internetowym, ale dla rozwoju mózgów lepiej jest nauczyć się, jak to zrobić samemu.

W tym artykule przyjrzymy się najbardziej ważne pytania dotyczące tej definicji. Mianowicie zrozumiemy, czym jest w ogóle i jakie są jego główne funkcje, jakie właściwości istnieją w matematyce.

Przyjrzyjmy się przykładom, jak wygląda obliczenie, jakie są podstawowe wzory. Przeanalizujemy główne rodzaje wielkości i różnice między nimi a innymi funkcjami.

Rozumiemy, jak rozwiązać za pomocą tej ilości różne zadania. Pokażemy na przykładach jak podnieść do zera, irracjonalnego, ujemnego itp.

Internetowy kalkulator potęgowania

Jaki jest stopień liczby

Co oznacza wyrażenie „podnieść liczbę do potęgi”?

Stopień n liczby a jest iloczynem czynników wielkości a n razy z rzędu.

Matematycznie wygląda to tak:

za n = za * za * za * … za n .

Na przykład:

2 3 = 2 w trzecim kroku. = 2 * 2 * 2 = 8;
4 2 = 4 w kroku. dwa = 4 * 4 = 16;
5 4 = 5 w kroku. cztery = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
10 5 \u003d 10 w 5 krokach. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
10 4 \u003d 10 w 4 krokach. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Poniżej znajduje się tabela kwadratów i sześcianów od 1 do 10.

Tabela stopni od 1 do 10

Poniżej wyniki podnoszenia liczb naturalnych do potęg dodatnich - "od 1 do 100".

Ch-lo	II stopnia	3 klasa
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Właściwości stopnia

Co jest charakterystyczne dla takiej funkcji matematycznej? Spójrzmy na podstawowe właściwości.

Naukowcy ustalili, co następuje znaki charakterystyczne dla wszystkich stopni:

za n * za m = (a) (n+m) ;
za n: za m = (a) (n-m) ;
(a b) m = (a) (b*m) .

Sprawdźmy na przykładach:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Z drugiej strony 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Podobnie: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Inaczej 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. A jeśli jest inaczej? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Jak widać zasady działają.

Ale jak być z dodawaniem i odejmowaniem? Wszystko jest proste. Najpierw wykonywane jest potęgowanie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie.

Spójrzmy na przykłady:

3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ale w tym przypadku musisz najpierw obliczyć dodatek, ponieważ w nawiasach są działania: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Jak produkować obliczenia w bardziej skomplikowanych przypadkach? Kolejność jest taka sama:

jeśli są nawiasy, musisz zacząć od nich;
następnie potęgowanie;
następnie wykonać operacje mnożenia, dzielenia;
po dodaniu odejmowanie.

Istnieją specyficzne właściwości, które nie są charakterystyczne dla wszystkich stopni:

Pierwiastek n-tego stopnia od liczby a do stopnia m zapiszemy jako: a m / n .
Podczas podnoszenia ułamka do potęgi: zarówno licznik, jak i mianownik podlegają tej procedurze.
Podczas budowania dzieła różne liczby do potęgi, wyrażenie będzie odpowiadać iloczynowi tych liczb do danej potęgi. To znaczy: (a * b) n = za n * b n .
Podnosząc liczbę do potęgi ujemnej, musisz podzielić 1 przez liczbę w tym samym kroku, ale ze znakiem „+”.
Jeśli mianownik ułamka jest w potędze ujemnej, to wyrażenie to będzie równe iloczynowi licznika i mianownika w potędze dodatniej.
Dowolna liczba do potęgi 0 = 1 i do kroku. 1 = do siebie.

Zasady te są ważne w indywidualnych przypadkach, rozważymy je bardziej szczegółowo poniżej.

Stopień z ujemnym wykładnikiem

Co zrobić ze stopniem ujemnym, czyli gdy wskaźnik jest ujemny?

Na podstawie właściwości 4 i 5(patrz punkt powyżej) okazało się:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

I wzajemnie:

1 / ZA (- n) \u003d ZA n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

A jeśli to ułamek?

(A / B) (- n) = (B / ZA) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Jest rozumiany jako stopień o wykładnikach równych liczbom całkowitym.

Rzeczy do zapamiętania:

ZA 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…itp.

ZA 1 = ZA, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… itd.

Ponadto, jeśli (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… to wynik będzie ze znakiem „+”. Jeśli liczba ujemna jest podniesiona do nieparzystej potęgi, to odwrotnie.

Właściwości ogólne i nie tylko konkretne znaki opisane powyżej są również dla nich charakterystyczne.

Stopień ułamkowy

Ten widok można zapisać jako schemat: A m / n. Odczytuje się go jako: pierwiastek n-tego stopnia liczby A do potęgi m.

Za pomocą wskaźnika ułamkowego możesz zrobić wszystko: zmniejszyć, rozłożyć na części, podnieść do innego stopnia itp.

Stopień z niewymiernym wykładnikiem

Niech α będzie liczbą niewymierną, a А ˃ 0.

Aby zrozumieć istotę stopnia z takim wskaźnikiem, Przyjrzyjmy się różnym możliwym przypadkom:

A \u003d 1. Wynik będzie równy 1. Ponieważ istnieje aksjomat - 1 jest równy jeden we wszystkich potęgach;

Ð r 1 ˂ Ð α ˂ Ð r 2 , r 1 ˂ r 2 są liczbami wymiernymi;

0˂˂˂1.

W tym przypadku odwrotnie: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 na takich samych warunkach jak w akapicie drugim.

Na przykład wykładnikiem jest liczba π. To jest racjonalne.

r 1 - w tym przypadku jest równy 3;

r 2 - będzie równe 4.

Wtedy dla A = 1, 1 π = 1.

ZA = 2, wtedy 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, następnie (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Takie stopnie charakteryzują się wszystkimi operacjami matematycznymi i specyficznymi właściwościami opisanymi powyżej.

Wniosek

Podsumujmy - po co są te wartości, jakie są zalety takich funkcji? Oczywiście przede wszystkim upraszczają życie matematykom i programistom przy rozwiązywaniu przykładów, ponieważ pozwalają minimalizować obliczenia, redukować algorytmy, systematyzować dane i wiele więcej.

Gdzie jeszcze ta wiedza może się przydać? W dowolnej specjalności zawodowej: medycyna, farmakologia, stomatologia, budownictwo, technologia, inżynieria, projektowanie itp.

można znaleźć za pomocą mnożenia. Na przykład: 5+5+5+5+5+5=5x6. Mówią o takim wyrażeniu, że suma równych wyrazów została złożona w iloczyn. I odwrotnie, jeśli odczytamy tę równość od prawej do lewej, otrzymamy, że rozszerzyliśmy sumę równych wyrazów. Podobnie możesz złożyć iloczyn kilku równych czynników 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Oznacza to, że zamiast mnożyć sześć identycznych czynników 5x5x5x5x5x5, piszą 5 6 i mówią „pięć do potęgi szóstej”.

Wyrażenie 5 6 jest potęgą liczby, gdzie:

5 - podstawa stopnia;

6 - wykładnik potęgowy.

Operacje, za pomocą których iloczyn równych czynników składa się do potęgi, nazywamy potęgowanie.

W ogólna perspektywa stopień z podstawą „a” i wykładnikiem „n” jest zapisywany jako

Podniesienie liczby a do potęgi n oznacza znalezienie iloczynu n czynników, z których każdy jest równy a

Jeśli podstawa stopnia „a” wynosi 1, wówczas wartość stopnia dla dowolnego naturalnego n będzie równa 1. Na przykład 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Jeśli podbijesz numer „a”, podbij do pierwszy stopień, to otrzymujemy samą liczbę a: za 1 = za

Jeśli podniesiesz dowolną liczbę do zero stopni, to w wyniku obliczeń otrzymujemy jeden. 0 = 1

Druga i trzecia potęga liczby są uważane za specjalne. Wymyślili dla nich nazwy: drugi stopień to tzw kwadrat liczby, trzeci - sześcian ten numer.

Każdą liczbę można podnieść do potęgi - dodatniej, ujemnej lub zerowej. Nie stosuje się jednak następujących zasad:

Po znalezieniu stopnia liczby dodatniej uzyskuje się liczbę dodatnią.

Podczas obliczania zera w stopień naturalny dostajemy zero.

x m х n = x m + n

na przykład: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Do podzielić potęgi o tej samej podstawie nie zmieniamy podstawy, ale odejmujemy wykładniki:

x m / x przym \u003d x m - n , Gdzie, m > rz

np.: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

podczas obliczania potęgowanie Nie zmieniamy podstawy, ale wykładniki mnożymy przez siebie.

(o godz )N = y m N

na przykład: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) rz = x rz · M ,

na przykład: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Podczas wykonywania obliczeń dla potęgowanie ułamka podnosimy licznik i mianownik ułamka do podanej potęgi

(x/y)n = x rz / y n

na przykład: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Kolejność wykonywania obliczeń podczas pracy z wyrażeniami zawierającymi stopień.

Przy wykonywaniu obliczeń wyrażeń bez nawiasów, ale zawierających potęgi, w pierwszej kolejności wykonywane jest potęgowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie.

Jeśli konieczne jest obliczenie wyrażenia zawierającego nawiasy, to najpierw w kolejności wskazanej powyżej wykonujemy obliczenia w nawiasach, a następnie pozostałe czynności w tej samej kolejności od lewej do prawej.

Bardzo szeroko w praktycznych obliczeniach, aby uprościć obliczenia, stosuje się gotowe tabele stopni.