Najmniejsza wspólna wielokrotność LCM. Wspólny dzielnik i wielokrotność

Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch lub dowolną inną liczbę liczb.

Kalkulator do znajdowania GCD i NOC

Znajdź GCD i NOC

Znaleziono GCD i NOC: 5806

Jak korzystać z kalkulatora

Wprowadź liczby w polu wprowadzania
W przypadku wpisania błędnych znaków pole wejściowe zostanie podświetlone na czerwono
naciśnij przycisk "Znajdź GCD i NOC"

Jak wpisywać cyfry

Liczby są wprowadzane oddzielone spacjami, kropkami lub przecinkami
Długość wprowadzanych liczb nie jest ograniczona, więc znajdź gcd i lcm długie liczby nie sprawi żadnych kłopotów

Co to jest NOD i NOK?

Największy wspólny dzielnik kilku liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik jest w skrócie GCD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb to najmniejsza liczba podzielna przez każdą z pierwotnych liczb bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest skrócona jako NOC.

Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?

Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez drugą bez reszty, możesz użyć pewnych własności podzielności liczb. Następnie łącząc je można sprawdzić podzielność przez niektóre z nich i ich kombinacje.

Niektóre oznaki podzielności liczb

1. Znak podzielności liczby przez 2
Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, co oznacza, że jest podzielna przez 2.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że liczba jest podzielna przez dwa.

2. Znak podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Tak więc, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, musisz obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr okazała się bardzo duża, możesz powtórzyć ten sam proces ponownie.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie: liczymy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że liczba jest podzielna przez trzy.

3. Znak podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnia cyfra to zero lub pięć.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że liczba NIE jest podzielna przez pięć.

4. Znak podzielności liczby przez 9
Ten znak jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: określić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie: obliczamy sumę cyfr: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że liczba jest podzielna przez dziewięć.

Jak znaleźć GCD i LCM dwóch liczb?

Jak znaleźć NWD dwóch liczb

Bardzo w prosty sposób obliczenie największego wspólnego dzielnika dwóch liczb polega na znalezieniu wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybraniu największej z nich.

Rozważ tę metodę na przykładzie znalezienia GCD(28, 36) :

Rozkładamy obie liczby na czynniki: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
Znajdujemy wspólne czynniki, czyli takie, które obie liczby mają: 1, 2 i 2.
Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 \u003d 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.

Jak znaleźć LCM dwóch liczb

Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwszy sposób polega na tym, że możesz wypisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich taką liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. Drugim jest znalezienie GCD tych liczb. Po prostu rozważmy to.

Aby obliczyć LCM, musisz obliczyć iloczyn pierwotnych liczb, a następnie podzielić go przez poprzednio znaleziony GCD. Znajdźmy LCM dla tych samych numerów 28 i 36:

Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28 36 = 1008
gcd(28, 36) jest już znane jako 4
LCM(28, 36) = 1008/4 = 252.

Znajdowanie GCD i LCM dla wielu liczb

Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dla dwóch. W tym celu liczby do wyszukania dla największego wspólnego dzielnika są rozkładane na czynniki pierwsze, a następnie znajduje się iloczyn wspólnych czynników pierwszych tych liczb. Ponadto, aby znaleźć GCD kilku liczb, możesz użyć następującej relacji: nwd(a, b, c) = nwd(ww(a, b), c).

Podobna zależność dotyczy również najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb: LKM(a, b, c) = LKM(LCM(a, b), c)

Przykład: znajdź GCD i LCM dla numerów 12, 32 i 36.

Najpierw rozliczmy liczby na czynniki: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2 .
Ich iloczyn da gcd: 1 2 2 = 4
Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdujemy LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
Aby znaleźć LCM wszystkich trzech liczb, musisz znaleźć NWD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , NWD = 1 2. 2 3 = 12 .
LCM(12,32,36) = 96 36/12 = 288.

Aby zrozumieć, jak obliczyć LCM, należy najpierw określić znaczenie terminu „wielokrotność”.

Mnożnik A jest liczbą naturalną podzielną bez reszty przez A. Tak więc 15, 20, 25 itd. można uznać za wielokrotności 5.

Może istnieć ograniczona liczba dzielników określonej liczby, ale istnieje nieskończona liczba wielokrotności.

Wspólna wielokrotność liczb naturalnych to liczba podzielna przez nie bez reszty.

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczb (dwa, trzy lub więcej) to najmniejsza liczba naturalna podzielna przez wszystkie te liczby.

Aby znaleźć NOC, możesz użyć kilku metod.

W przypadku małych liczb wygodnie jest wypisać wszystkie wielokrotności tych liczb w jednym wierszu, dopóki nie znajdzie się między nimi jedna wspólna. Wielokrotności są oznaczone w rekordzie wielką literą K.

Na przykład wielokrotności 4 można zapisać w następujący sposób:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Widać więc, że najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 4 i 6 jest liczba 24. Ten wpis jest wykonywany w następujący sposób:

LCM(4, 6) = 24

Jeśli liczby są duże, znajdź wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb, wtedy lepiej użyć innego sposobu obliczenia LCM.

Aby wykonać zadanie, konieczne jest rozłożenie proponowanych liczb na czynniki pierwsze.

Najpierw musisz wypisać rozwinięcie największej z liczb w linii, a pod nią - resztę.

W rozszerzeniu każdej liczby może być inna ilość mnożniki.

Na przykład podzielmy liczby 50 i 20 na czynniki pierwsze.

W dekompozycji mniejszej liczby należy podkreślić czynniki, których nie ma w dekompozycji pierwszej największej liczby, a następnie dodać je do niej. W prezentowanym przykładzie brakuje dwójki.

Teraz możemy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność 20 i 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tak więc iloczyn czynników pierwszych jeszcze a czynniki drugiej liczby, które nie są uwzględnione w rozwinięciu większej liczby, będą najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, wszystkie z nich należy rozłożyć na czynniki pierwsze, tak jak w poprzednim przypadku.

Jako przykład możesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tak więc tylko dwie dwójki z rozkładu szesnastu (jedna jest w dekompozycji dwudziestu czterech) nie weszły w faktoryzację większej liczby.

Dlatego należy je dodać do rozkładu większej liczby.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Istnieją szczególne przypadki wyznaczania najmniejszej wspólnej wielokrotności. Jeśli więc jedną z liczb można podzielić bez reszty przez drugą, to większa z tych liczb będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością.

Na przykład, dwanaście i dwadzieścia cztery NOCs będą miały dwadzieścia cztery.

Jeśli chcesz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność wzajemności liczby pierwsze, które nie mają takich samych dzielników, to ich LCM będzie równy ich iloczynowi.

Na przykład LCM(10, 11) = 110.

Ale wiele liczby całkowite są równomiernie podzielne przez inne liczby naturalne.

Na przykład:

Liczba 12 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12;

Liczba 36 jest podzielna przez 1, przez 2, przez 3, przez 4, przez 6, przez 12, przez 18, przez 36.

Liczby, według których liczba jest podzielna (dla 12 jest to 1, 2, 3, 4, 6 i 12) są nazywane dzielniki liczb. Dzielnik liczby naturalnej a jest liczbą naturalną dzielącą podaną liczbę a bez śladu. Liczba naturalna, która ma więcej niż dwa czynniki, nazywa się złożony .

Zauważ, że liczby 12 i 36 mają wspólne dzielniki. Są to liczby: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Największym dzielnikiem tych liczb jest 12. wspólny dzielnik dwie podane liczby a oraz b to liczba, przez którą obie podane liczby są podzielne bez reszty a oraz b.

wspólna wielokrotność kilka liczb nazywamy liczbą podzielną przez każdą z tych liczb. Na przykład, liczby 9, 18 i 45 mają wspólną wielokrotność 180. Ale 90 i 360 są również ich wspólnymi wielokrotnościami. Wśród wszystkich jwspólnych wielokrotności zawsze jest najmniejsza, w tym przypadku jest to 90. Liczba ta nazywa się najmniejwspólna wielokrotność (LCM).

LCM jest zawsze liczbą naturalną, która musi być większa niż największa z liczb, dla których jest zdefiniowana.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM). Nieruchomości.

Przemienność:

Łączność:

W szczególności, jeśli i są liczbami względnie pierwszymi , to:

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb całkowitych m oraz n jest dzielnikiem wszystkich innych wspólnych wielokrotności m oraz n. Ponadto zbiór wspólnych wielokrotności m, n pokrywa się ze zbiorem wielokrotności dla LCM( m, n).

Asymptotyka dla może być wyrażona w postaci pewnych funkcji teorii liczb.

Więc, Funkcja Czebyszewa. Jak również:

Wynika to z definicji i własności funkcji Landaua g(n).

Co wynika z prawa rozkładu liczb pierwszych.

Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM).

NOC( a, b) można obliczyć na kilka sposobów:

1. Jeśli znany jest największy wspólny dzielnik, możesz wykorzystać jego relację z LCM:

2. Niech będzie znany rozkład kanoniczny obu liczb na czynniki pierwsze:

gdzie p 1 ,...,p k są różnymi liczbami pierwszymi i d 1 ,...,dk oraz e 1 ,...,ek są nieujemnymi liczbami całkowitymi (mogą wynosić zero, jeśli odpowiadająca im liczba pierwsza nie znajduje się w rozwinięciu).

Następnie LCM ( a,b) oblicza się według wzoru:

Innymi słowy, rozwinięcie LCM zawiera wszystkie czynniki pierwsze, które są zawarte w co najmniej jednym z rozwinięć liczb a, b i brany jest pod uwagę największy z dwóch wykładników tego czynnika.

Przykład:

Obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności kilku liczb można sprowadzić do kilku kolejnych obliczeń LCM dwóch liczb:

Reguła. Aby znaleźć LCM serii liczb, potrzebujesz:

- rozłożyć liczby na czynniki pierwsze;

- przenieść największą ekspansję na czynniki pożądanego iloczynu (iloczyn czynników największej liczby danych), a następnie dodać czynniki z rozwinięcia innych liczb, które nie występują w pierwszej liczbie lub są w niej mniejsza liczba razy;

- otrzymany iloczyn czynników pierwszych będzie LCM podanych liczb.

Co najmniej dwie liczby naturalne mają swój własny LCM. Jeśli liczby nie są wielokrotnościami siebie lub nie mają tych samych współczynników w rozwinięciu, to ich LCM jest równy iloczynowi tych liczb.

Czynniki pierwsze liczby 28 (2, 2, 7) zostały uzupełnione o czynnik 3 (liczba 21), otrzymany iloczyn (84) będzie najmniejsza liczba, która jest podzielna przez 21 i 28 .

Czynniki pierwsze największej liczby 30 zostały uzupełnione o czynnik 5 liczby 25, wynikowy iloczyn 150 jest większy od największej liczby 30 i jest podzielny przez wszystkie podane liczby bez reszty. Jest to najmniejszy możliwy iloczyn (150, 250, 300...), którego wszystkie podane liczby są wielokrotnościami.

Liczby 2,3,11,37 są pierwsze, więc ich LCM jest równy iloczynowi danych liczb.

reguła. Aby obliczyć LCM liczb pierwszych, musisz pomnożyć wszystkie te liczby.

Inna opcja:

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) kilku liczb, potrzebujesz:

1) reprezentują każdą liczbę jako iloczyn jej czynników pierwszych, na przykład:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapisz potęgi wszystkich czynników pierwszych:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) wypisz wszystkie dzielniki pierwsze (mnożniki) każdej z tych liczb;

4) wybrać największy stopień każdego z nich, znaleziony we wszystkich rozwinięciach tych liczb;

5) pomnóż te uprawnienia.

Przykład. Znajdź LCM liczb: 168, 180 i 3024.

Rozwiązanie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Wypisujemy największe potęgi wszystkich dzielników pierwszych i mnożymy je:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Kontynuujmy dyskusję na temat najmniejszej wspólnej wielokrotności, którą rozpoczęliśmy w sekcji LCM - Najmniejsza wspólna wielokrotność, definicja, przykłady. W tym temacie przyjrzymy się sposobom znalezienia LCM dla trzech liczb lub więcej, przeanalizujemy pytanie, jak znaleźć LCM liczby ujemnej.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) przez gcd

Ustaliliśmy już relację między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem. Teraz nauczmy się definiować LCM poprzez GCD. Najpierw zastanówmy się, jak to zrobić dla liczb dodatnich.

Definicja 1

Najmniejszą wspólną wielokrotność można znaleźć przez największy wspólny dzielnik za pomocą wzoru LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Przykład 1

Konieczne jest znalezienie LCM o numerach 126 i 70.

Rozwiązanie

Weźmy a = 126 , b = 70 . Zastąp wartości we wzorze obliczania najmniejszej wspólnej wielokrotności przez największy wspólny dzielnik LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Znajduje NWD liczb 70 i 126. W tym celu potrzebujemy algorytmu Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , stąd gcd (126 , 70) = 14 .

Obliczmy LCM: LCM (126, 70) = 126 70: NWD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Odpowiadać: LCM (126, 70) = 630.

Przykład 2

Znajdź nok liczb 68 i 34.

Rozwiązanie

GCD w tym przypadku jest łatwe do znalezienia, ponieważ 68 jest podzielne przez 34. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność, korzystając ze wzoru: LCM (68, 34) = 68 34: NWD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odpowiadać: LCM(68, 34) = 68.

W tym przykładzie zastosowaliśmy zasadę znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności dodatnich liczb całkowitych aib: jeśli pierwsza liczba jest podzielna przez drugą, to LCM tych liczb będzie równy pierwszej liczbie.

Znalezienie LCM przez rozłożenie liczb na czynniki pierwsze

Przyjrzyjmy się teraz, jak znaleźć LCM, który opiera się na rozkładzie liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 2

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, musimy wykonać kilka prostych kroków:

tworzymy iloczyn wszystkich czynników pierwszych liczb, dla których musimy znaleźć LCM;
wykluczamy wszystkie czynniki pierwsze z otrzymanych produktów;
iloczyn otrzymany po wyeliminowaniu wspólnych czynników pierwszych będzie równy LCM danych liczb.

Ten sposób znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności opiera się na równości LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jeśli spojrzysz na wzór, stanie się jasne: iloczyn liczb a i b jest równy iloczynowi wszystkich czynników, które biorą udział w ekspansji tych dwóch liczb. W tym przypadku NWD dwóch liczb jest równy produktowi wszystkie czynniki pierwsze, które są jednocześnie obecne w faktoryzacji danych dwóch liczb.

Przykład 3

Mamy dwie liczby 75 i 210 . Możemy je rozłożyć w ten sposób: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Jeśli zrobisz iloczyn wszystkich czynników dwóch pierwotnych liczb, otrzymasz: 2 3 3 5 5 5 7.

Jeśli wykluczymy czynniki wspólne dla liczb 3 i 5, otrzymamy iloczyn postaci: 2 3 5 5 7 = 1050. Ten produkt będzie naszym LCM dla numerów 75 i 210.

Przykład 4

Znajdź LCM liczb 441 oraz 700 , rozkładając obie liczby na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Znajdźmy wszystkie czynniki pierwsze liczb podanych w warunku:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Otrzymujemy dwa łańcuchy liczb: 441 = 3 3 7 7 i 700 = 2 2 5 5 7 .

Iloczyn wszystkich czynników, które brały udział w ekspansji tych liczb będzie wyglądał następująco: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Znajdźmy wspólne czynniki. Ta liczba to 7 . Wykluczamy go z produktu ogólnego: 2 2 3 3 5 5 7 7. Okazuje się, że NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odpowiadać: LCM (441, 700) = 44 100 .

Podajmy jeszcze jedno sformułowanie metody znajdowania LCM przez rozkład liczb na czynniki pierwsze.

Definicja 3

Wcześniej wykluczyliśmy z całkowitej liczby czynników wspólnych dla obu liczb. Teraz zrobimy to inaczej:

Rozłóżmy obie liczby na czynniki pierwsze:
dodaj do iloczynu czynników pierwszych pierwszej liczby brakujące czynniki drugiej liczby;
otrzymujemy produkt, który będzie pożądanym LCM dwóch liczb.

Przykład 5

Wróćmy do liczb 75 i 210 , dla których szukaliśmy już LCM w jednym z poprzednich przykładów. Podzielmy je na proste czynniki: 75 = 3 5 5 oraz 210 = 2 3 5 7. Do iloczynu czynników 3 , 5 i 5 numer 75 dodaj brakujące czynniki 2 oraz 7 numery 210 . Otrzymujemy: 2 3 5 5 7 . To jest LCM liczb 75 i 210.

Przykład 6

Konieczne jest obliczenie LCM liczb 84 i 648.

Rozwiązanie

Rozłóżmy liczby z warunku na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 oraz 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Dodaj do iloczynu czynników 2 , 2 , 3 i 7 liczby 84 brakujące czynniki 2 , 3 , 3 i
3 numery 648 . Otrzymujemy produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność 84 i 648.

Odpowiadać: LCM (84, 648) = 4536.

Znalezienie LCM trzech lub więcej liczb

Niezależnie od tego, z iloma liczbami mamy do czynienia, algorytm naszych działań zawsze będzie taki sam: konsekwentnie znajdziemy LCM dwóch liczb. W tym przypadku istnieje twierdzenie.

Twierdzenie 1

Załóżmy, że mamy liczby całkowite a 1 , a 2 , … , a k. NOC mk z tych liczb znajduje się w kolejnych obliczeniach m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Przyjrzyjmy się teraz, w jaki sposób twierdzenie można zastosować do konkretnych problemów.

Przykład 7

Należy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotność czterech liczb 140 , 9 , 54 i 250 .

Rozwiązanie

Wprowadźmy notację: 1 \u003d 140, 2 \u003d 9, 3 \u003d 54, 4 \u003d 250.

Zacznijmy od obliczenia m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9 ). Użyjmy algorytmu Euklidesa, aby obliczyć NWD liczb 140 i 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Otrzymujemy: NWD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: NWD(140, 9) = 140 9:1 = 1260. Dlatego m 2 = 1 260 .

Teraz obliczmy według tego samego algorytmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . W trakcie obliczeń otrzymujemy m 3 = 3 780.

Pozostaje nam obliczyć m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Działamy według tego samego algorytmu. Otrzymujemy m 4 \u003d 94 500.

LCM czterech liczb z przykładowego warunku to 94500 .

Odpowiadać: LCM (140, 9, 54, 250) = 94500.

Jak widać obliczenia są proste, ale dość pracochłonne. Aby zaoszczędzić czas, możesz iść w drugą stronę.

Definicja 4

Oferujemy następujący algorytm działań:

rozłożyć wszystkie liczby na czynniki pierwsze;
do iloczynu czynników pierwszej liczby dodaj brakujące czynniki z iloczynu drugiej liczby;
dodaj brakujące czynniki trzeciej liczby do iloczynu otrzymanego na poprzednim etapie itp.;
wynikowy iloczyn będzie najmniejszą wspólną wielokrotnością wszystkich liczb z warunku.

Przykład 8

Konieczne jest znalezienie LCM pięciu liczb 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Rozwiązanie

Rozłóżmy wszystkie pięć liczb na czynniki pierwsze: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Liczby pierwsze, czyli liczba 7, nie mogą być rozłożone na czynniki pierwsze. Takie liczby pokrywają się z ich rozkładem na czynniki pierwsze.

Teraz weźmy iloczyn czynników pierwszych 2, 2, 3 i 7 liczby 84 i dodajmy do nich brakujące czynniki drugiej liczby. Rozłożyliśmy liczbę 6 na 2 i 3. Te czynniki są już w iloczynie pierwszej liczby. Dlatego je pomijamy.

Nadal dodajemy brakujące mnożniki. Zwracamy się do liczby 48, z iloczynu czynników pierwszych, z których bierzemy 2 i 2. Następnie dodajemy prosty czynnik 7 z czwartej liczby oraz dzielniki 11 i 13 piątej. Otrzymujemy: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Jest to najmniejsza wspólna wielokrotność z pięciu pierwotnych liczb.

Odpowiadać: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Znajdowanie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb ujemnych

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność liczby ujemne, liczby te należy najpierw zastąpić liczbami o przeciwnym znaku, a następnie wykonać obliczenia według powyższych algorytmów.

Przykład 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) i LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888).

Takie działania są dopuszczalne ze względu na to, że jeśli przyjmie się, że a oraz − a- liczby przeciwne
następnie zbiór wielokrotności a pokrywa się ze zbiorem wielokrotności liczby − a.

Przykład 10

Konieczne jest obliczenie LCM liczb ujemnych − 145 oraz − 45 .

Rozwiązanie

Zmieńmy liczby − 145 oraz − 45 do ich przeciwnych numerów 145 oraz 45 . Teraz, korzystając z algorytmu, obliczamy LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 po wcześniejszym określeniu GCD za pomocą algorytmu Euclid.

Otrzymujemy, że LCM liczb − 145 i − 45 równa się 1 305 .

Odpowiadać: LCM (-145, -45) = 1 305.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Rozważ trzy sposoby znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności.

Wyszukiwanie przez faktoring

Pierwszym sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez rozłożenie podanych liczb na czynniki pierwsze.

Załóżmy, że musimy znaleźć LCM liczb: 99, 30 i 28. Aby to zrobić, rozkładamy każdą z tych liczb na czynniki pierwsze:

Aby żądana liczba była podzielna przez 99, 30 i 28, konieczne i wystarczające jest, aby zawierała wszystkie czynniki pierwsze tych dzielników. Aby to zrobić, musimy wziąć wszystkie czynniki pierwsze tych liczb do najwyższej występującej potęgi i pomnożyć je przez siebie:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Tak więc LCM (99, 30, 28) = 13 860. Żadna inna liczba mniejsza niż 13 860 nie jest podzielna przez 99, 30 lub 28.

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność podanych liczb, musisz rozłożyć je na czynniki pierwsze, a następnie wziąć każdy czynnik pierwszy o największym wykładniku, jaki występuje, i pomnożyć te czynniki przez siebie.

Ponieważ liczby względnie pierwsze nie mają wspólnych czynników pierwszych, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa iloczynowi tych liczb. Na przykład trzy liczby: 20, 49 i 33 są względnie pierwsze. Dlatego

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32 340.

To samo należy zrobić, szukając najmniejszej wspólnej wielokrotności różnych liczb pierwszych. Na przykład LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Znajdowanie według wyboru

Drugim sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności przez dopasowanie.

Przykład 1. Gdy największa z podanych liczb jest równo podzielna przez inne podane liczby, to LCM tych liczb jest równy większej z nich. Na przykład, biorąc pod uwagę cztery liczby: 60, 30, 10 i 6. Każda z nich jest podzielna przez 60, zatem:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

W innych przypadkach, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, stosuje się następującą procedurę:

Określ największą liczbę z podanych liczb.
Następnie znajdź liczby, które są wielokrotnościami największa liczba, mnożąc ją przez liczby naturalne w kolejności rosnącej i sprawdzając, czy pozostałe podane liczby są podzielne przez otrzymany iloczyn.

Przykład 2. Mając trzy liczby 24, 3 i 18. Wyznacz największą z nich - jest to liczba 24. Następnie znajdź liczby będące wielokrotnościami 24, sprawdzając, czy każda z nich jest podzielna przez 18 i przez 3:

24 1 = 24 jest podzielne przez 3, ale nie jest podzielne przez 18.

24 2 = 48 - podzielne przez 3, ale niepodzielne przez 18.

24 3 \u003d 72 - podzielne przez 3 i 18.

Zatem LCM(24, 3, 18) = 72.

Wyszukiwanie za pomocą wyszukiwania sekwencyjnego LCM

Trzecim sposobem jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności poprzez sukcesywne znajdowanie LCM.

LCM dwóch danych liczb jest równy iloczynowi tych liczb podzielonemu przez ich największy wspólny dzielnik.

Przykład 1. Znajdź LCM dwóch podanych liczb: 12 i 8. Określ ich największy wspólny dzielnik: NWD (12, 8) = 4. Pomnóż te liczby:

Produkt dzielimy na ich GCD:

Tak więc LCM(12, 8) = 24.

Aby znaleźć LCM trzech lub więcej liczb, stosuje się następującą procedurę:

Najpierw znajduje się LCM dowolnych dwóch z podanych liczb.
Następnie LCM odnalezionej najmniejszej wspólnej wielokrotności i trzeciej podany numer.
Następnie LCM wynikowej najmniejszej wspólnej wielokrotności i czwartej liczby, i tak dalej.
W ten sposób wyszukiwanie LCM jest kontynuowane, dopóki istnieją liczby.

Przykład 2. Znajdźmy LCM trzech podanych liczb: 12, 8 i 9. W poprzednim przykładzie znaleźliśmy LCM liczb 12 i 8 (jest to liczba 24). Pozostaje znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność 24 i trzecią podaną liczbę - 9. Wyznacz ich największy wspólny dzielnik: gcd (24, 9) = 3. Pomnóż LCM przez liczbę 9:

Produkt dzielimy na ich GCD:

Tak więc LCM(12, 8, 9) = 72.