Wykreślanie nierówności w Internecie. Budujemy wykres funkcji online
Wybierzmy na płaszczyźnie prostokątny układ współrzędnych i narysujmy wartości argumentu na osi odciętych X, a na rzędnej - wartości funkcji y = f(x).
Wykres funkcji y = f(x) to zbiór wszystkich punktów, których odcięte należą do dziedziny definicji funkcji, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji.
Innymi słowy wykres funkcji y = f (x) jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny, współrzędnych X, Na które spełniają relację y = f(x).
Na ryc. Rys. 45 i 46 przedstawiają wykresy funkcji y = 2x + 1 I y = x 2 - 2x.
Ściśle rzecz biorąc, należy rozróżnić wykres funkcji (której dokładną matematyczną definicję podano powyżej) od narysowanej krzywej, która zawsze daje jedynie mniej lub bardziej dokładny szkic wykresu (a nawet wtedy z reguły nie cały wykres, a jedynie jego część zlokalizowana w końcowych częściach płaszczyzny). Jednakże w dalszej części będziemy zazwyczaj mówić „wykres”, a nie „szkic wykresu”.
Korzystając z wykresu, możesz znaleźć wartość funkcji w punkcie. Mianowicie, jeśli o to chodzi x = a należy do dziedziny definicji funkcji y = f(x), a następnie znajdź numer fa)(tj. wartości funkcji w punkcie x = a) powinieneś to zrobić. Jest to konieczne przez punkt odciętej x = a narysuj linię prostą równolegle do osi rzędna; ta prosta przetnie wykres funkcji y = f(x) w jednym punkcie; rzędna tego punktu będzie, zgodnie z definicją wykresu, równa fa)(ryc. 47).
Na przykład dla funkcji f(x) = x 2 - 2x korzystając z wykresu (ryc. 46) znajdujemy f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.
Wykres funkcji wyraźnie ilustruje zachowanie i właściwości funkcji. Na przykład, biorąc pod uwagę rys. 46 jasne jest, że funkcja y = x 2 - 2x przyjmuje wartości dodatnie, gdy X< 0 i o godz x > 2, ujemny - przy 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x przyjmuje o godz x = 1.
Aby wykreślić funkcję k(x) musisz znaleźć wszystkie punkty płaszczyzny, współrzędne X,Na które spełniają równanie y = f(x). W większości przypadków jest to niemożliwe, ponieważ istnieje nieskończona liczba takich punktów. Dlatego wykres funkcji jest przedstawiony w przybliżeniu - z większą lub mniejszą dokładnością. Najprostsza jest metoda wykreślenia wykresu z wykorzystaniem kilku punktów. Polega ona na tym, że argument X podaj skończoną liczbę wartości - powiedzmy x 1, x 2, x 3,..., x k i utwórz tabelę zawierającą wartości wybranych funkcji.
Tabela wygląda następująco:
Po skompilowaniu takiej tabeli możemy zarysować kilka punktów na wykresie funkcji y = f(x). Następnie łącząc te punkty gładką linią otrzymujemy przybliżony widok wykresu funkcji y = f(x).
Należy jednak zaznaczyć, że metoda wykresu wielopunktowego jest bardzo zawodna. W rzeczywistości zachowanie wykresu pomiędzy zamierzonymi punktami i jego zachowanie poza odcinkiem pomiędzy wziętymi skrajnymi punktami pozostaje nieznane.
Przykład 1. Aby wykreślić funkcję y = f(x) ktoś skompilował tabelę wartości argumentów i funkcji:
Odpowiednie pięć punktów pokazano na ryc. 48.
Na podstawie położenia tych punktów doszedł do wniosku, że wykres funkcji jest linią prostą (pokazaną na rys. 48 linią przerywaną). Czy wniosek ten można uznać za wiarygodny? O ile nie istnieją dodatkowe względy na poparcie tego wniosku, trudno go uznać za wiarygodny. niezawodny.
Aby uzasadnić nasze stwierdzenie, rozważmy funkcję
.
Z obliczeń wynika, że wartości tej funkcji w punktach -2, -1, 0, 1, 2 dokładnie opisuje powyższa tabela. Wykres tej funkcji wcale nie jest jednak linią prostą (pokazuje to rys. 49). Innym przykładem może być funkcja y = x + l + sinπx; jego znaczenie opisano również w tabeli powyżej.
Przykłady te pokazują, że w „czystej” postaci metoda wykreślania wykresu z wykorzystaniem kilku punktów jest zawodna. Dlatego też, aby wykreślić wykres danej funkcji, z reguły należy postępować w następujący sposób. Najpierw badamy właściwości tej funkcji, za pomocą których możemy zbudować szkic wykresu. Następnie, obliczając wartości funkcji w kilku punktach (których wybór zależy od ustalonych właściwości funkcji), znajdują się odpowiednie punkty wykresu. Na koniec przez skonstruowane punkty rysuje się krzywą, wykorzystując właściwości tej funkcji.
Niektórym (najprostszym i najczęściej używanym) właściwościom funkcji używanych do wyszukiwania szkicu grafu przyjrzymy się później, ale teraz przyjrzymy się niektórym powszechnie stosowanym metodom konstruowania grafów.
Wykres funkcji y = |f(x)|.
Często konieczne jest wykreślenie funkcji y = |f(x)|, gdzie f(x) - za tę funkcję. Przypomnijmy, jak to się robi. A-przeorat całkowita wartość można pisać liczby
Oznacza to, że wykres funkcji y =|f(x)| można uzyskać z wykresu funkcji y = f(x) w następujący sposób: wszystkie punkty na wykresie funkcji y = f(x), którego rzędne są nieujemne, należy pozostawić bez zmian; dalej, zamiast punktów wykresu funkcji y = f(x) mając współrzędne ujemne, należy skonstruować odpowiednie punkty na wykresie funkcji y = -f(x)(tj. część wykresu funkcji
y = f(x), która leży poniżej osi X, powinny być odzwierciedlone symetrycznie względem osi X).
Przykład 2. Wykres funkcji y = |x|.
Weźmy wykres funkcji y = x(ryc. 50, a) i część tego wykresu o godz X< 0 (leży pod osią X) symetrycznie odbite względem osi X. W rezultacie otrzymujemy wykres funkcji y = |x|(ryc. 50, b).
Przykład 3. Wykres funkcji y = |x 2 - 2x|.
Najpierw narysujmy funkcję y = x 2 - 2x. Wykres tej funkcji jest parabolą, której gałęzie są skierowane w górę, wierzchołek paraboli ma współrzędne (1; -1), jej wykres przecina oś x w punktach 0 i 2. W przedziale (0; 2) funkcja przyjmuje wartości ujemne, dlatego ta część wykresu jest odzwierciedlona symetrycznie względem osi odciętych. Rysunek 51 przedstawia wykres funkcji y = |x 2 -2x|, na podstawie wykresu funkcji y = x 2 - 2x
Wykres funkcji y = f(x) + g(x)
Rozważmy problem skonstruowania wykresu funkcji y = f(x) + g(x). jeśli podane są wykresy funkcji y = f(x) I y = g(x).
Należy zauważyć, że dziedzina definicji funkcji y = |f(x) + g(x)| to zbiór wszystkich wartości x, dla których zdefiniowane są obie funkcje y = f(x) i y = g(x), tj. ta dziedzina definicji jest przecięciem dziedzin definicji, funkcji f(x) i g(x).
Niech punkty (x 0 , y 1) I (x 0, y 2) należą odpowiednio do wykresów funkcji y = f(x) I y = g(x), tj. y 1 = f(x 0), y 2 = g(x 0). Wtedy punkt (x0;. y1 + y2) należy do wykresu funkcji y = f(x) + g(x)(Do f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. i dowolny punkt na wykresie funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać w ten sposób. Dlatego wykres funkcji y = f(x) + g(x) można uzyskać z wykresów funkcji y = f(x). I y = g(x) zastępując każdy punkt ( x n, y 1) grafika funkcyjna y = f(x) kropka (x n, y 1 + y 2), Gdzie y 2 = g(x n), czyli przesuwając każdy punkt ( x n, y 1) wykres funkcji y = f(x) wzdłuż osi Na według kwoty y 1 = g(x n). W tym przypadku brane są pod uwagę tylko takie punkty X n, dla którego zdefiniowano obie funkcje y = f(x) I y = g(x).
Ta metoda wykreślania funkcji y = f(x) + g(x) nazywa się dodawaniem wykresów funkcji y = f(x) I y = g(x)
Przykład 4. Na rysunku skonstruowano wykres funkcji metodą dodawania wykresów
y = x + sinx.
Podczas kreślenia funkcji y = x + sinx tak myśleliśmy f(x) = x, A g(x) = sinx. Aby wykreślić wykres funkcji, wybieramy punkty z odciętymi -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Wartości f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Wykonajmy obliczenia w wybranych punktach i umieśćmy wyniki w tabeli.
Konstruowanie wykresów funkcji zawierających moduły sprawia zwykle uczniom duże trudności. Jednak wszystko nie jest takie złe. Wystarczy zapamiętać kilka algorytmów rozwiązywania takich problemów i można łatwo zbudować wykres nawet dla najbardziej pozornie złożona funkcja. Zastanówmy się, jakie to są algorytmy.
1. Wykreślenie wykresu funkcji y = |f(x)|
Należy pamiętać, że zbiór wartości funkcji y = |f(x)| : y ≥ 0. Zatem wykresy takich funkcji zawsze leżą całkowicie w górnej półpłaszczyźnie.
Rysowanie wykresu funkcji y = |f(x)| składa się z czterech prostych kroków.
1) Ostrożnie i starannie skonstruuj wykres funkcji y = f(x).
2) Pozostaw bez zmian wszystkie punkty na wykresie, które znajdują się powyżej lub na osi 0x.
3) Wyświetl część wykresu leżącą poniżej osi 0x symetrycznie względem osi 0x.
Przykład 1. Narysuj wykres funkcji y = |x 2 – 4x + 3|
1) Budujemy wykres funkcji y = x 2 – 4x + 3. Oczywiście wykresem tej funkcji jest parabola. Znajdźmy współrzędne wszystkich punktów przecięcia paraboli z osiami współrzędnych i współrzędnymi wierzchołka paraboli.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Dlatego parabola przecina oś 0x w punktach (3, 0) i (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Zatem parabola przecina oś 0y w punkcie (0, 3).
Współrzędne wierzchołka paraboli:
x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Zatem punkt (2, -1) jest wierzchołkiem tej paraboli.
Na podstawie uzyskanych danych narysuj parabolę (ryc. 1)
2) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem osi 0x.
3) Otrzymujemy wykres oryginalnej funkcji ( Ryż. 2, zaznaczone linią przerywaną).
2. Wykreślanie funkcji y = f(|x|)
Zauważ, że funkcje postaci y = f(|x|) są parzyste:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Oznacza to, że wykresy takich funkcji są symetryczne względem osi 0y.
Wykreślenie wykresu funkcji y = f(|x|) składa się z następującego prostego łańcucha działań.
1) Naszkicuj funkcję y = f(x).
2) Pozostaw tę część wykresu, dla której x ≥ 0, czyli tę część wykresu, która leży w prawej półpłaszczyźnie.
3) Wyświetlić część wykresu określoną w pkt. (2) symetrycznie do osi 0y.
4) Jako końcowy wykres wybierz sumę krzywych uzyskanych w punktach (2) i (3).
Przykład 2. Narysuj wykres funkcji y = x 2 – 4 · |x| + 3
Ponieważ x 2 = |x| 2, wówczas pierwotną funkcję można zapisać w następującej postaci: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Teraz możemy zastosować zaproponowany powyżej algorytm.
1) Starannie i starannie budujemy wykres funkcji y = x 2 – 4 x + 3 (patrz także Ryż. 1).
2) Pozostawiamy tę część wykresu, dla której x ≥ 0, czyli tę część wykresu, która leży w prawej półpłaszczyźnie.
3) Wyświetlacz prawa strona grafika jest symetryczna do osi 0y.
(ryc. 3).
Przykład 3. Narysuj wykres funkcji y = log 2 |x|
Stosujemy schemat podany powyżej.
1) Wykres funkcji y = log 2 x (ryc. 4).
3. Wykreślenie funkcji y = |f(|x|)|
Zauważ, że funkcje postaci y = |f(|x|)| są również równe. Rzeczywiście, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), dlatego ich wykresy są symetryczne względem osi 0y. Zbiór wartości takich funkcji: y ≥ 0. Oznacza to, że wykresy takich funkcji leżą całkowicie w górnej półpłaszczyźnie.
Aby wykreślić funkcję y = |f(|x|)|, należy:
1) Ostrożnie skonstruuj wykres funkcji y = f(|x|).
2) Pozostaw bez zmian część wykresu znajdującą się powyżej lub na osi 0x.
3) Wyświetl część wykresu znajdującą się poniżej osi 0x symetrycznie względem osi 0x.
4) Jako końcowy wykres wybierz sumę krzywych uzyskanych w punktach (2) i (3).
Przykład 4. Narysuj wykres funkcji y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Zauważ, że x 2 = |x| 2. Oznacza to, że zamiast pierwotnej funkcji y = -x 2 + 2|x| - 1
możesz użyć funkcji y = -|x| 2 + 2|x| – 1, gdyż ich wykresy są zbieżne.
Budujemy graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. W tym celu używamy algorytmu 2.
a) Naszkicuj funkcję y = -x 2 + 2x – 1 (ryc. 6).
b) Pozostawiamy tę część wykresu, która znajduje się w prawej półpłaszczyźnie.
c) Wynikową część wykresu wyświetlamy symetrycznie do osi 0y.
d) Wynikowy wykres pokazano linią przerywaną na rysunku (ryc. 7).
2) Powyżej osi 0x nie ma punktów; punkty na osi 0x pozostawiamy bez zmian.
3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x jest wyświetlana symetrycznie względem 0x.
4) Wynikowy wykres pokazano na rysunku linią przerywaną (ryc. 8).
Przykład 5. Wykres funkcji y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Najpierw musisz wykreślić funkcję y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby to zrobić, wracamy do algorytmu 2.
a) Ostrożnie wykreśl funkcję y = (2x – 4) / (x + 3) (ryc. 9).
Należy zauważyć, że ta funkcja jest ułamkowa i jej wykres jest hiperbolą. Aby wykreślić krzywą, należy najpierw znaleźć asymptoty wykresu. Pozioma – y = 2/1 (stosunek współczynników x w liczniku i mianowniku ułamka), pionowa – x = -3.
2) Tę część wykresu, która znajduje się powyżej osi 0x lub na niej, pozostawimy bez zmian.
3) Część wykresu znajdująca się poniżej osi 0x będzie wyświetlana symetrycznie względem 0x.
4) Ostateczny wykres pokazano na rysunku (ryc. 11).
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
„Logarytm naturalny” - 0,1. Logarytmy naturalne. 4. Rzutki logarytmiczne. 0,04. 7.121.
„Funkcja mocy stopień 9” - U. Parabola sześcienna. Y = x3. Nauczycielka 9. klasy Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y = xn, y = x-n, gdzie n jest dane Liczba naturalna. X. Wykładnik jest parzystą liczbą naturalną (2n).
„Funkcja kwadratowa” – 1 definicja funkcja kwadratowa 2 Właściwości funkcji 3 Wykresy funkcji 4 Nierówności kwadratowe 5 Wniosek. Właściwości: Nierówności: Opracowano przez ucznia klasy 8A Andreya Gerlitza. Plan: Wykres: -Przedziały monotoniczności dla a > 0 dla a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
„Funkcja kwadratowa i jej wykres” - Rozwiązanie.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-należy. Gdy a=1, wzór y=ax przyjmuje postać.
„Funkcja kwadratowa ósmej klasy” - 1) Skonstruuj wierzchołek paraboli. Rysowanie wykresu funkcji kwadratowej. X. -7. Zbuduj wykres funkcji. Algebra 8. klasy Nauczyciel 496 Bovina school T.V. -1. Plan budowy. 2) Skonstruuj oś symetrii x=-1. y.
Lekcja na temat: „Wykres i właściwości funkcji $y=x^3$. Przykłady rysowania wykresów”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 7
Podręcznik elektroniczny dla klasy 7 „Algebra w 10 minut”
Kompleks edukacyjny 1C „Algebra, klasy 7-9”
Własności funkcji $y=x^3$
Opiszmy właściwości tej funkcji:
1. x jest zmienną niezależną, y jest zmienną zależną.
2. Dziedzina definicji: oczywiste jest, że dla dowolnej wartości argumentu (x) można obliczyć wartość funkcji (y). Zatem dziedziną definicji tej funkcji jest cała oś liczbowa.
3. Zakres wartości: y może być dowolne. W związku z tym zakres wartości jest również całą osią liczbową.
4. Jeśli x= 0, to y= 0.
Wykres funkcji $y=x^3$
1. Stwórzmy tabelę wartości:
2. Dla dodatnich wartości x wykres funkcji $y=x^3$ jest bardzo podobny do paraboli, której gałęzie są bardziej „dociśnięte” do osi OY.
3. Ponieważ dla wartości ujemne funkcja x $y=x^3$ ma przeciwne wartości, to wykres funkcji jest symetryczny względem początku.
Teraz zaznaczmy punkty dalej płaszczyzna współrzędnych i zbuduj wykres (patrz ryc. 1).
Krzywa ta nazywana jest parabolą sześcienną.
Przykłady
I. Na małym statku wszystko się skończyło świeża woda. Konieczne jest doprowadzenie wystarczającej ilości wody z miasta. Wodę zamawia się z wyprzedzeniem i płaci za pełną kostkę, nawet jeśli napełni się ją trochę mniej. Ile kostek powinienem zamówić, aby nie przepłacić za dodatkową kostkę i całkowicie zapełnić zbiornik? Wiadomo, że zbiornik ma tę samą długość, szerokość i wysokość, które wynoszą 1,5 m. Rozwiążmy to zadanie bez wykonywania obliczeń.
Rozwiązanie:
1. Zbudujmy wykres funkcji $y=x^3$.
2. Znajdź punkt A, współrzędną x, która jest równa 1,5. Widzimy, że współrzędna funkcji mieści się w przedziale od 3 do 4 (patrz ryc. 2). Musisz więc zamówić 4 kostki.