Trzecia pierwiastkowa pochodna x. Pochodna funkcji zespolonej. Przykłady rozwiązań

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej (x do potęgi a). Rozważane są pochodne pierwiastków z x. Wzór na pochodną funkcji potęgowej wyższego rzędu. Przykłady obliczania pochodnych.

Pochodna x do potęgi a to a razy x do potęgi minus jeden:
(1) .

Pochodna n-tego pierwiastka z x do m-tej potęgi to:
(2) .

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji potęgowej

Przypadek x > 0

Rozważ funkcję potęgową zmiennej x z wykładnikiem a :
(3) .
Tutaj a jest dowolną liczbą rzeczywistą. Rozważmy najpierw sprawę.

Aby znaleźć pochodną funkcji (3), korzystamy z własności funkcji potęgowej i przekształcamy ją do postaci:
.

Teraz obliczamy pochodną stosując:
;
.
Tutaj .

Formuła (1) została udowodniona.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną pierwiastka stopnia n od x do stopnia m

Rozważmy teraz funkcję, która jest pierwiastkiem następującej postaci:
(4) .

Aby znaleźć pochodną, zamieniamy pierwiastek na funkcję potęgową:
.
Porównując ze wzorem (3) widzimy, że
.
Następnie
.

Ze wzoru (1) znajdujemy pochodną:
(1) ;
;
(2) .

W praktyce nie ma potrzeby zapamiętywania wzoru (2). O wiele wygodniej jest najpierw zamienić pierwiastki na funkcje potęgowe, a następnie znaleźć ich pochodne za pomocą wzoru (1) (patrz przykłady na końcu strony).

Przypadek x = 0

Jeśli , to funkcja wykładnicza jest również zdefiniowana dla wartości zmiennej x = 0 . Znajdźmy pochodną funkcji (3) dla x = 0 . W tym celu korzystamy z definicji pochodnej:
.

Zastąp x = 0 :
.
W tym przypadku przez pochodną rozumiemy prawostronną granicę, dla której .

Więc znaleźliśmy:
.
Z tego widać, że w , .
Na , .
Na , .
Wynik ten uzyskuje się również ze wzoru (1):
(1) .
Dlatego wzór (1) jest ważny również dla x = 0 .

przypadek x< 0

Rozważ ponownie funkcję (3):
(3) .
Dla niektórych wartości stałej a jest również zdefiniowana dla wartości ujemne zmienna x . Mianowicie, niech a będzie liczbą wymierną. Wtedy można go przedstawić jako ułamek nieredukowalny:
,
gdzie m i n są liczbami całkowitymi bez wspólny dzielnik.

Jeśli n jest nieparzyste, to funkcja wykładnicza jest również zdefiniowana dla ujemnych wartości zmiennej x. Na przykład dla n = 3 i m = 1 mamy pierwiastek sześcienny od x :
.
Jest również zdefiniowany dla ujemnych wartości x .

Znajdźmy pochodną funkcji potęgowej (3) dla i dla wartości wymiernych stałej a , dla której jest ona zdefiniowana. Aby to zrobić, reprezentujemy x w następującej postaci:
.
Następnie ,
.
Pochodną obliczamy, usuwając stałą ze znaku pochodnej i stosując regułę różniczkowania funkcji zespolonej:

.
Tutaj . Ale
.
Ponieważ wtedy
.
Następnie
.
Oznacza to, że wzór (1) jest również ważny dla:
(1) .

Pochodne wyższych rzędów

Teraz znajdujemy pochodne wyższego rzędu funkcji potęgowej
(3) .
Znaleźliśmy już pochodną pierwszego rzędu:
.

Wyciągając stałą a ze znaku pochodnej, znajdujemy pochodną drugiego rzędu:
.
Podobnie znajdujemy pochodne trzeciego i czwartego rzędu:
;

.

Stąd jest jasne, że pochodna dowolnego n-tego rzędu ma następującą postać:
.

Zauważ, że jeśli jest Liczba naturalna , , to n-ta pochodna jest stała:
.
Wtedy wszystkie kolejne pochodne są równe zeru:
,
w .

Przykłady pochodne

Przykład

Znajdź pochodną funkcji:
.

Rozwiązanie

Zamieńmy pierwiastki na potęgi:
;
.
Wówczas pierwotna funkcja przyjmuje postać:
.

Znajdujemy pochodne stopni:
;
.
Pochodna stałej wynosi zero:
.

Operacja znajdowania pochodnej nazywana jest różniczkowaniem.

W wyniku rozwiązania problemów znajdowania pochodnych dla najprostszych (i niezbyt prostych) funkcji, definiując pochodną jako granicę stosunku przyrostu do przyrostu argumentu, powstała tablica pochodnych i dokładnie pewne zasady różnicowanie. Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) jako pierwsi zajęli się znajdowaniem pochodnych.

Dlatego w naszych czasach, aby znaleźć pochodną dowolnej funkcji, nie trzeba obliczać wspomnianej powyżej granicy stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, a wystarczy skorzystać z tabeli pochodnych i reguł różniczkowania. Poniższy algorytm jest odpowiedni do znalezienia pochodnej.

Aby znaleźć pochodną, potrzebujesz wyrażenia pod znakiem obrysu rozbić proste funkcje i określić, jakie działania (iloczyn, suma, iloraz) te funkcje są ze sobą powiązane. Dalej, pochodne funkcji elementarnych znajdujemy w tablicy pochodnych, a wzory na pochodne iloczynu, sumy i ilorazu - w regułach różniczkowania. Tablicę pochodnych i reguły różniczkowania podano po pierwszych dwóch przykładach.

Przykład 1 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Z reguł różniczkowania dowiadujemy się, że pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych funkcji, tj.

Z tablicy pochodnych dowiadujemy się, że pochodna „X” jest równa jeden, a pochodna sinusa to cosinus. Podstawiamy te wartości w sumie pochodnych i znajdujemy pochodną wymaganą przez warunek problemu:

Przykład 2 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Rozróżnij jako pochodną sumy, w której drugi wyraz ze stałym współczynnikiem można wyjąć ze znaku pochodnej:

Jeśli nadal istnieją pytania, skąd coś się bierze, z reguły stają się one jasne po przeczytaniu tabeli pochodnych i najprostszych reguł różniczkowania. Właśnie do nich jedziemy.

Tablica pochodnych funkcji prostych

1. Pochodna stałej (liczby). Dowolna liczba (1, 2, 5, 200...) występująca w wyrażeniu funkcji. Zawsze zero. Jest to bardzo ważne, aby o tym pamiętać, ponieważ jest to bardzo często wymagane
2. Pochodna zmiennej niezależnej. Najczęściej „x”. Zawsze równy jeden. Należy o tym również pamiętać
3. Pochodna stopnia. Rozwiązując problemy, musisz zamienić pierwiastki inne niż kwadratowe na potęgę.
4. Pochodna zmiennej do potęgi -1
5. Pochodna pierwiastek kwadratowy
6. Pochodna sinusoidalna
7. Pochodna cosinusowa
8. Pochodna styczna
9. Pochodna cotangensa
10. Pochodna funkcji arcus sinus
11. Pochodna łuku cosinus
12. Pochodna łuku stycznego
13. Pochodna tangensa odwrotnego
14. Pochodna logarytmu naturalnego
15. Pochodna funkcji logarytmicznej
16. Pochodna wykładnika
17. Pochodna funkcji wykładniczej

Reguły różniczkowania

1. Pochodna sumy lub różnicy
2. Pochodna produktu
2a. Pochodna wyrażenia pomnożonego przez stały czynnik
3. Pochodna ilorazu
4. Pochodna funkcji zespolonej

Zasada nr 1Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym punkcie, to w tym samym punkcie funkcje

oraz

tych. pochodna sumy algebraicznej funkcji wynosi suma algebraiczna pochodne tych funkcji.

Konsekwencja. Jeśli dwie różniczkowalne funkcje różnią się o stałą, to ich pochodne są, tj.

Zasada 2Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym punkcie, to ich iloczyn jest również różniczkowalny w tym samym punkcie

oraz

tych. pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji i pochodnej drugiej.

Konsekwencja 1. Stały czynnik można wyjąć ze znaku pochodnej:

Konsekwencja 2. Pochodna iloczynu kilku funkcji różniczkowalnych jest równa sumie iloczynów pochodnej każdego z czynników i wszystkich pozostałych.

Na przykład dla trzech mnożników:

Zasada 3Jeśli funkcje

różniczkowalna w pewnym momencie oraz , to w tym momencie ich iloraz jest również różniczkowalny.u/v , i

tych. pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznik jest różnicą iloczynów mianownika i pochodnej licznika oraz licznika i pochodnej mianownika, a mianownik jest kwadratem poprzedniego licznika .

Gdzie szukać na innych stronach

Podczas znajdowania pochodnej iloczynu i ilorazu w rzeczywistych problemach zawsze konieczne jest jednoczesne zastosowanie kilku zasad różniczkowania, dlatego więcej przykładów dotyczących tych pochodnych znajduje się w artykule.„Pochodna iloczynu i ilorazu”.

Komentarz. Nie należy mylić stałej (czyli liczby) z wyrazem sumy i stałym czynnikiem! W przypadku terminu jego pochodna jest równa zeru, aw przypadku czynnika stałego jest on wyjmowany ze znaku pochodnych. to typowy błąd, który występuje na etap początkowy uczą się pochodnych, ale gdy rozwiązują kilka przykładów jedno-dwuskładnikowych, przeciętny uczeń nie popełnia już tego błędu.

A jeśli podczas różniczkowania iloczynu lub ilorazu masz termin u"w, w którym u- liczba np. 2 lub 5, czyli stała, to pochodna tej liczby będzie równa zeru, a zatem cały wyraz będzie równy zeru (taki przypadek jest analizowany w przykładzie 10) .

Inny częsty błąd- mechaniczne rozwiązanie pochodnej funkcji zespolonej jako pochodnej funkcji prostej. Dlatego pochodna funkcji zespolonej poświęcono osobnemu artykułowi. Ale najpierw nauczymy się znajdować pochodne prostych funkcji.

Po drodze nie można obejść się bez przekształceń wyrażeń. Aby to zrobić, może być konieczne otwarcie w nowych instrukcjach systemu Windows Działania z mocami i korzeniami oraz Akcje z ułamkami .

Jeśli szukasz rozwiązań pochodnych z potęgami i pierwiastkami, czyli jak wygląda funkcja , a następnie postępuj zgodnie z lekcją „Pochodna sumy ułamków z potęgami i pierwiastkami”.

Jeśli masz zadanie np , to jesteś na lekcji „Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych”.

Przykłady krok po kroku - jak znaleźć pochodną

Przykład 3 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Określamy części wyrażenia funkcji: całe wyrażenie reprezentuje iloczyn, a jego czynnikami są sumy, w drugim z których jeden z wyrazów zawiera czynnik stały. Stosujemy regułę różniczkowania produktu: pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji i pochodnej drugiej:

Następnie stosujemy zasadę różniczkowania sumy: pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji. W naszym przypadku w każdej sumie drugi wyraz ze znakiem minus. W każdej sumie widzimy zarówno zmienną niezależną, której pochodna jest równa jeden, jak i stałą (liczbę), której pochodna jest równa zeru. Tak więc „x” zamienia się w jeden, a minus 5 w zero. W drugim wyrażeniu „x” jest mnożone przez 2, więc mnożymy dwa przez tę samą jednostkę co pochodna „x”. Otrzymujemy następujące wartości pochodnych:

Podstawiamy znalezione pochodne do sumy produktów i otrzymujemy pochodną całej funkcji wymaganej przez warunek problemu:

Przykład 4 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Musimy znaleźć pochodną ilorazu. Stosujemy wzór na różniczkowanie ilorazu: pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznik jest różnicą iloczynów mianownika i pochodnej licznika oraz licznika i pochodnej mianownika, oraz mianownik jest kwadratem poprzedniego licznika. Otrzymujemy:

Znaleźliśmy już pochodną czynników w liczniku w przykładzie 2. Nie zapominajmy również, że iloczyn, który jest drugim czynnikiem w liczniku w bieżącym przykładzie, jest mierzony ze znakiem minus:

Jeśli szukasz rozwiązań takich problemów, w których musisz znaleźć pochodną funkcji, w której występuje ciągły stos pierwiastków i stopni, jak np. w takim razie witaj w klasie „Pochodna sumy ułamków z potęgami i pierwiastkami” .

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o pochodnych sinusów, cosinusów, tangensów i innych funkcji trygonometrycznych, czyli kiedy funkcja wygląda , to masz lekcję „Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych” .

Przykład 5 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. W tej funkcji widzimy iloczyn, którego jednym z czynników jest pierwiastek kwadratowy zmiennej niezależnej, z pochodną której zapoznaliśmy się w tablicy pochodnych. Zgodnie z regułą różniczkowania produktu i wartością tabelaryczną pochodnej pierwiastka kwadratowego otrzymujemy:

Przykład 6 Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. W tej funkcji widzimy iloraz, którego dywidenda jest pierwiastkiem kwadratowym zmiennej niezależnej. Zgodnie z regułą różniczkowania ilorazu, którą powtórzyliśmy i zastosowaliśmy w przykładzie 4, oraz wartością tabelaryczną pochodnej pierwiastka kwadratowego otrzymujemy:

Aby pozbyć się ułamka w liczniku, pomnóż licznik i mianownik przez .

Na którym analizowaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznawaliśmy się z zasadami różniczkowania i niektórymi technikami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry w obliczaniu pochodnych funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę nastroić się na poważny nastrój - materiał nie jest łatwy, ale mimo to postaram się przedstawić go w prosty i przejrzysty sposób.

W praktyce z pochodną funkcji zespolonej masz do czynienia bardzo często, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostajesz zadanie znalezienia pochodnej.

Patrzymy w tabeli na regułę (nr 5) różniczkowania funkcji zespolonej:

Rozumiemy. Przede wszystkim spójrzmy na notację. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc obrazowo, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego rodzaju (gdy jedna funkcja jest zagnieżdżona w innej) nazywana jest funkcją złożoną.

Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona)..

! Definicje te nie są teoretyczne i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. ubiegam się wyrażenia nieformalne„funkcja zewnętrzna”, „wewnętrzna” funkcja tylko po to, aby ułatwić zrozumienie materiału.

Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji

Pod sinusem mamy nie tylko literę „x”, ale całe wyrażenie, więc znalezienie pochodnej od razu z tabeli nie zadziała. Zauważamy również, że nie da się tu zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że nie da się „rozerwać” sinusa:

W tym przykładzie już intuicyjnie wynika z moich wyjaśnień, że funkcja jest funkcją zespoloną, a wielomian to funkcja wewnętrzna(osadzanie), oraz - funkcja zewnętrzna.

Pierwszy krok, które należy wykonać, aby znaleźć pochodną funkcji zespolonej zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.

Kiedy proste przykłady wydaje się jasne, że wielomian jest zagnieżdżony pod sinusem. Ale co, jeśli nie jest to oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, proponuję zastosować następującą technikę, którą można wykonać mentalnie lub na szkicu.

Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia za pomocą kalkulatora (zamiast jednego może być dowolna liczba).

Co obliczamy najpierw? Po pierwsze trzeba będzie zrobić Następna akcja: , więc wielomian będzie funkcją wewnętrzną :

Po drugie będziesz musiał znaleźć, więc sinus - będzie funkcją zewnętrzną:

Po tym, jak my ROZUMIESZ z funkcjami wewnętrznymi i zewnętrznymi nadszedł czas, aby zastosować regułę różniczkowania funkcji złożonej .

Zaczynamy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się tak - umieszczamy wyrażenie w nawiasach i kładziemy kreskę w prawym górnym rogu:

Pierwszy znajdź pochodną funkcja zewnętrzna(sinus), spójrz na tablicę pochodnych funkcji elementarnych i zauważ, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają zastosowanie, nawet jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:

Zauważ, że funkcja wewnętrzna się nie zmienił, nie dotykamy go.

Cóż, to dość oczywiste

Wynik zastosowania formuły czysty wygląda tak:

Stały czynnik jest zwykle umieszczany na początku wyrażenia:

W przypadku nieporozumień zapisz decyzję na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Jak zwykle piszemy:

Dowiadujemy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (w myślach lub na szkicu) obliczyć wartość wyrażenia dla . Co należy zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, jaka jest podstawa:, co oznacza, że wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I dopiero wtedy przeprowadzane jest potęgowanie, dlatego funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną:

Zgodnie z formułą , najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Szukamy żądanej formuły w tabeli:. Powtarzamy ponownie: każda formuła tabelaryczna jest ważna nie tylko dla „x”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej następny:

Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, funkcja wewnętrzna się nie zmieni:

Teraz pozostaje znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i trochę „przeczesać” wynik:

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Aby utrwalić zrozumienie pochodnej funkcji zespolonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuj samodzielnie to rozgryźć, dlaczego, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?

Przykład 5

a) Znajdź pochodną funkcji

b) Znajdź pochodną funkcji

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy pierwiastek i aby rozróżnić pierwiastek, musi on być przedstawiony jako stopień. W ten sposób najpierw doprowadzamy funkcję do postaci właściwej dla różniczkowania:

Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a potęgowanie jest funkcją zewnętrzną. Stosujemy regułę różniczkowania funkcji zespolonej :

Stopień jest ponownie reprezentowany jako pierwiastek (pierwiastek), a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą regułę różniczkowania sumy:

Gotowy. Możesz także sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy uzyskuje się kłopotliwe długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a nauczycielowi będzie niewygodnie to sprawdzić).

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji zespolonej można użyć reguły różniczkowania ilorazu , ale takie rozwiązanie będzie wyglądać jak niezwykła perwersja. Oto typowy przykład:

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz skorzystać z reguły różniczkowania ilorazu , ale znacznie bardziej opłaca się znaleźć pochodną za pomocą reguły różniczkowania funkcji zespolonej:

Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - usuwamy znak minus z pochodnej i podnosimy cosinus do licznika:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły :

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej, resetujemy cosinus z powrotem:

Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Nawiasem mówiąc, spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły , odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład samodzielnego rozwiązania (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory rozważaliśmy przypadki, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji złożonej. W praktycznych zadaniach często można spotkać pochodne, w których, podobnie jak zagnieżdżanie lalek, jedna w drugiej, zagnieżdżonych jest jednocześnie 3, a nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Rozumiemy załączniki tej funkcji. Próbujemy oszacować wyrażenie za pomocą wartości eksperymentalnej. Jak byśmy liczyli na kalkulatorze?

Najpierw musisz znaleźć, co oznacza, że arcus sinus jest najgłębszym zagnieżdżeniem:

Ten arcus sinus jedności należy następnie podnieść do kwadratu:

I na koniec podnosimy siódemkę do potęgi:

Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa zagnieżdżenia, podczas gdy najbardziej wewnętrzną funkcją jest arcus sinus, a najbardziej zewnętrzną funkcją jest funkcja wykładnicza.

Zaczynamy decydować

Zgodnie z regułą najpierw musisz wziąć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tablicę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyna różnica polega na tym, że zamiast „x” mamy złożone wyrażenie, które nie neguje ważności tego wzoru. A więc wynik zastosowania zasady różniczkowania funkcji zespolonej następny.